人教版高中数学必修一知识点与重难点教学提纲

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人教版高中数学必修一
各章节知识点与重难点
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
【知识要点】
1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
（1）元素的确定性； （ 2）元素的互异性； （3）元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母 A,B,C,……表示集合，用小写拉丁字母 a,b,c,……表示元素
如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a? A，如果a不属于集合A记作a A 3、常用
数集及其记法
非负整数集（即自然数集）记作：N;正整数集记作：N*或N+ ;整数集记作：Z;有理数 集记作：
Q;实数集记作：R
4、集合的表示法
（ 1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（ 2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
① 语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝
② 数学式子描述法：例：不等式 x-3>2的解集是｛x ? R| x-3>2｝或｛x| x-3>2｝
（ 3）图示法（ Venn 图）
1.1.2 集合间的基本关系
【知识要点】
1、 “包含”关系——子集
一般地，对于两个集合 A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 这两
个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B
2、 “相等”关系
如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的 元
素，我们就说集合 A等于集合B，即：A=B
A B且B A
3、 真子集
如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）
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4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为①
规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 .
1.1.3 集合的基本运算 【知识要点】
1、 交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合
，
叫做A,B的交集.记作A
A
B(读作“A 交
B ”
)
，即 A
A
B={x| x ? A，且 x? B}.
2、 并集的定义
一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作： A
U
B(读作“ A 并 B”
)
，即 A
U
B={x | x ? A，或 x? B}.
3、 交集与并集的性质
A
A
A = A
，
A
A?
=
?
, A
A
B = B
A
A
，
A
U
A = A
，
A
U?
= A , A
U
B = B
U
A.
4、 全集与补集
(1) 全集
如果集合 U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通 常用
U 来表示。
(2) 补集
设U是一个集合，A是U的一个子集(即A U)，由U中所有不属于A的元素组成的集合， 叫做
U 中子集 A 的补集(或余集)。记作： C
U
A ，即 C
S
A ={x | x U 且 x A}
( 3 )性质
C
u
(C
U
A)=A
，
(C
U
A)
A
A=
①，
(C
U
A)
U
A=U
;
(C
U
A)
A
(C
U
B)=C
U
(A
U
B)
，
(C
U
A)
U
(C
U
B)=C
U
(A
A
B).
1.2 函数及其表示
1.2.1函数的概念 【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x， 在
集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f: A - B为从集合A到集合B的一个函 数.记
作： y=f(x) ， x? A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数 值，
函数值的集合 {f(x)| x ? A }叫做函数的值域.
【注意】
( 1)如果只给出解析式 y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个 式子
有意义的实数的集合；
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（2）函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 【定义域补充】 求函数的定义域时列不等
式组的主要依据是 （ 1）分式的分母不等于零； （2）偶次方根的被开方数不小于零； （ 3）对
数式的真数必须大于零 （ 4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于 1. （ 5）如果函数是由
一些基本函数通过四则运算结合而成的
有意义的 x 的值组成的集合 .
（6）指数为零底不可以等于零 （7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .
（注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域 .）
2、构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
【注意】
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定 的，
所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值 的字
母无关。
3、相同函数的判断方法
（1）定义域一致；
（ 2）表达式相同 （两点必须同时具备 ） 【值域补充】 （1）函数的值域取决于定义域和对应法
则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域 .
（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复 杂函数
值域的基础。
4、区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
1.2.2函数的表示法
【知识要点】
1、常用的函数表示法及各自的优点
（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个 图形是
否是函数图象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。
（ 2）函数的表示法
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.那么，它的定义域是使各部分都
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
【注意】
解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

2、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变 量
代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的 表达式
并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况?注意：
值域的并集.
3、复合函数
如果 y=f(u),(u ? M),u=g(x),(x ? A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x ? A)称为 f 是 g 的复合函数.
4、函数图象知识归纳
(1) 定义
在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ? A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，
y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ? A)的图象.
C上每一点的坐标(x，y )均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数 对x、
y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ? A }
图象C 一般的是一条光滑的连续曲线
(
或直线)
，
也可能是由与任意平行于
丫
轴的直线最多只 有
一个交点的若干条曲线或离散点组成?
(2) 画法
A、 描点法
根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相 应的
点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、 图象变换法
常用变换方法有二种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
(1)分段函数
是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是 各段
(I)
对称变换
① 将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=
I
f(x)
I
的图象如：书上P21例5
1
② y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如y a
x
与y a
x
-
aa
x
a
a
③ y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如
y logx
与
y log

x log
1
x
(U)
平移变换
由f(x)得到f(x a)
由f(x)得到f(x) a
(3) 作用
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左加右减；
上加下减

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A、 直观的看出函数的性质；
B、 利用数形结合的方法分析解题的思路；
C、 提高解题的速度；发现解题中的错误。
5、映射
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A中
的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: A B 为从集合 A 到
集合 B 的一个映射。记作“ f： A B”
给定一个集合A到B的映射，如果a? A,b ? B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素 b
叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象
【说明】
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应
(1)
(2)
集合 A、 B 及对应法则 f 是确定的；
对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般
是不同的；
(3)对于映射f: A - B来说，则应满足：
(I)
集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(U)
集合A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；
(川)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、函数的解析式
( 1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出 它们
之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 .
( 2)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等
A、 如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；
B、 已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表 达式
较简单时，也可用凑配法；
C、 若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x)
【重点】 函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念
【难点】 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大(小)值
【知识要点】
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x
i
，x
2
, 当
X
1
VX< br>2
时，都有f(x
i
)vf(x
2
)
，那么就说f( x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区 间；
如果对于区间D上的任意两个自 变量的值x
i
，X
2
，当X
1
VX
2
时， 都有f(x
i
)>f(X
2
)
，那么就说 f(x)
在这个区间上是 减函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 .

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【注意】
(1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
(2) 必须是对于区间D内的任意两个自变量X
1
，X
2
；当X< br>1
VX
2
时，总有f(X
1
)Vf(X
2
)
(或 f
(
X
1
) > f
(
X
2
)
)。
2、图象的特点
如果函数y= f
(
X
)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间 上具有
(
严格的) 单
调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法
① 任取 X
1
，X
2
? D，且 X
1
VX
2
；
② 作差 f(X
1
)
— f(X
2
)；
③ 变形(通常是因式分解和配方)；
④ 定号(即判断差f(X
1
) — f(X
2
)的正负)；
⑤ 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B) 图象法(从图象上看升降
)
(C) 复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密 切
相关，其规律如下：同增异减
【注意】
函数的单调区间只能是其定义域的子区间
4、判断函数的单调性常用的结论
fxx
① 函数
y
()
与
y f
()
的单调性相反；
fxx
② 当函数
y
()
恒为正或恒有负时，
()
与函数
y f
()
的单调性相反；
y fxyx
③ 函数
()
与函数

f
()
C
(
C
为常数)的单调性相同；
y fxy Cgf
④ 当C > 0(C为常数)时，
()
与
(
x)
的单调性相同；
y fxygf
当C < 0(C为常数)时，
()
与

C
(
x)
的单调性相反；
fxgxfxx
⑤ 函数
()
、
()
都是增(减)函数，贝
u
()
g
()
仍是增(减)函数；
⑥ 若
f(x) O,g(x) 0
且
f(x)
与
g(x)
都是增(减)函数，贝
q
f(x)gg(x)
也是增(减)函数；
0,0f(x)(x)
若
f(x) g(x)
且
f(x)
与
g(x)
都是增(减)函数，贝
q
90
也是减(增)函数；
f(x) 0f(x)0)1)
⑦ 设，若在定义域上是增函数，则 肓&、
kgf(x)(k
、口
x)(n
都是增函
数，而
f(x)
1
1
y --------
fx

，
不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集?
是减函数.
5、函数的最大(小)值定义
(i)
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M
满足:
(1) 对于任意的x? I，都有f(x)< M ；
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(2) 存在 x
o
? I，使得 f(x
o
) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值．
(ii)
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M
满足
(1) 对于任意的x? I，都有f(x) > M
(2) 存在 x
o
? I，使得 f(x
0
)
= M 那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值 .
【注意】
① 函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在 x
o
? I，使得f(x
o
) = M
② 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x? I，都有f(x) M).
6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
?利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
②利用图象求函数的最大(小)值
@利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调 递增，在区间［b，c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有
最大值 f(b)；
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调递减，在区间［b，c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处
有 最小值 f(b)；
1.3.2 函数的奇偶性
【知识要点】
1、 偶函数定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f( — x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
2、 奇函数定义
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f( — x)= — f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
【注意】
① 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
② 函数可能没有奇偶性 ,也可能既是奇函数又是偶函数。
③ 由函数的奇偶性定义可知， 函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于定义域内的任意一个
x，则—x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
3、 具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
4、 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
① 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
② 确定f( — x)与f(x)的关系；
③ 作出相应结论：若f( — x) = f(x)或f( — x) — f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若 f( — x) = — f(x)或 f( — x) + f(x) = 0，则 f(x)是奇函数.
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5、函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性， 则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对
称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反?
② 奇函数的图象关于原点对称
，
偶函数的图象关于y轴对称.
③ 若
f(x)
为偶函数，贝
U f ( x) f(x) f(|x|)
.
④ 若奇函数
f(x)
定义域中含有0,则必有
f(0) 0
.
⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数
数
G(x)
的和(或差)”.如设
f (x)
是定义域为R的任一函数,
则
F(x)
卫，
G(x)
f (x) f ( x)
2
.
⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外” ?
⑦ 既奇又偶函数有无穷多个(
f(x) 0
,定义域是关于原点对称的任意一个数集)
第二章基本初等函数
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幕的运算
【知识要点】
1、根式的概念：
负数没有偶次方根；o的任何次方根都是o,记作
n
0
=0.
【注意】
(1)
(
n
a
)
n
a
(2) 当n是奇数时，百a，当n是偶数时，
n
孑|a |
a,a 0
a,a 0
2、分数指数幕
m ________
(1) 正数的正分数指数幕的意义，规
a
n
(a 0, m,n N ,
且
n
定：

m
(a
0, m, n
N ,
且
n 1)
(3)
(2)
0
的正分数指数幕等于
正数的正分数指数幕的意义：
0，0的负分数指数幕没有意义
a_^

3、实数指数幕的运算性质
(1)
r s
a a
a (a
r s

0,r,s R)
(2)
(a
r
)
s
a
rs
(a 0, r, s R)
(3)
(ab)
r
a
r
b
r
(a 0,b 0,r R)


【注意】

— 1 — —
在化简过程中，偶数不能轻易约分；如
[(1
、.
2)
2
]
2
1
；
2
而应=、
2 1
2.1.2指数函数及其性质
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F(x)
与一个偶函
1)

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1指数函数的概念
一般地，函数
y a
x
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 R.
2、指数函数的图象和性质

0

a>1



X
?y
4
-


y
f
■

? :
— ||
■ ■■扌 SM, K ■ a
图象
?-
—
1
1
■ ■■■■■■ |
' -------------------- 1 -------------------------------------------------- --
1——-1 --------------------------------------- 1
宀

f
--------* ------- 1 > 1

D
1
定义域R
，
值域（0, + %）
X
0
1
x
（1）过定点（0, 1）
，
即 x=0 时，y=1
性质
（2）在R上是减函数
(3)当 x>0 时,01

（2）在R上是增函数
(3) 当 x>0 时,y>1; 当 x<0
时,0函数性质
函数的疋义域为R
函数的值域为R
+

非奇非偶函数
过定点（0，1）
减函数
当 x>0 时,0当 x<0 时,y>1
函数值开始减小极快， 到了
某一值后减小速度较 慢；


图象特征
共性
向x轴正负方向无限延伸
函数图象都在x轴上方
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都过定点（0，1）
0自左向右看，图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标都小于 1
在第二象限内的图象纵坐标都大于 1
图象上升趋势是越来越缓
a>1
自左向右看，图象逐渐上升
在第一象限内的图象纵坐标都大于 1
在第二象限内的图象纵坐标都小于 1
图象上升趋势是越来越陡
增函数
当 x>0 时,y>1;
当 x<0 时,0函数值开始增长较慢， 到了

某一值后增长速度极 快；
2.2对数函数
2.2.1对数与对数运算
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1对数的概念
一般地，如果
a
x
N
，那么数x叫做以a为底N的对数，记作： (a—底
数，N —真数，
logN
— 对数式)
a
x log
a
N
【注意】
(1) 注意底数的限制，a>0且a^ 1 ；
(2) 真数 N>0;
(3) 注意对数的书写格式.
2、两个重要对数
(1) 常用对数：以10为底的对数
,
log
i°
N
记为
lg N
;
(2) 自然对数：以无理数e为底的对数的对数
，
log
e
N
记为
In N
.
3、对数式与指数式的互化
x log

N a N
a
x
对数式
【结论】
指数式
对数底数
J
a
-
幕底数 对数
J
x —指数 真数
J
N 一幕
(1) 负数和零没有对数
(2) log
a
a=1, log
a
仁0,特别地，lg10=1, lg仁0 , Ine=1, In1=0
(3) 对数恒等式：
a
log
a
N
N
4、 如果 a > 0，a 1，M > 0，N > 0 有
(1)
log
(
M ?N
)
log

M log

N
aaa
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和
八
M -
K1

MN
(1)
log
a
log
a

log
a

N
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
(3)
log
a
M
n
n log
a
M ( n R
)
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数
【说明】
(1) 简易语言表达
：
”积的对数=对数的和”……
(2) 有时可逆向运用公式
(3) 真数的取值必须是
(
0, + ^)
4)特别注意：
log

MN log

M log

N
aaa
n倍
log

M N log

M log

N
aaa
5、 换底公式
log
a
b
沁恥
a 0,a
loga lga

c
1,c 0,c 1,b

0
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利用换底公式推导下面的结论
①
log
a
b

--------------
②

log
a
bgog
b
cgog
c
d log
b
a
log
a
d
③
log
m
b
n

a
n
m
log
a
b
2.2.2对数函数及其性质
【知识要点】
1、 对数函数的概念
函数
y log

x
(a>0,且a^ 1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0, +^). 【注意】
a
(1)
指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.
(2) 对数函数对底数的限制：a>0,且a^ 1
对数函数的定义与
y log^ri ,
y log
a
x 2
2、 对数函数的图像与性质
对数函数
y logx
(a>0，且1)
a
0
v
a
v
1

a
>
1
y
y
j
1
■
1

象
0
^0 ------------------ _ X
■
1
■
0
?‘°
)
x
疋
义域：
(
0
,+x)
值域：R
在
(0,+
x
)上是增函数
当
当
当
x>1 时，y>0 x=1 时，y=0 0一
点(1 ,0),即当 x = 1 时,y = 0
过.
：
0,+
x
)上是减函数
贡在 x>1 时，y<0
当
x=1 时，y=0

当
00
当
【重要结论】
在log b中，当a ,b同在(0,1)或(1,+^)内时，有log b>0; a a
当a,b不同在(0,1)内 ，或不同在
(
1,+
x)
内时,有log b<0.
a
【口诀】底真同大于0 (底真不同小于0).
(其中，底指底数，真指真数，大于 0指log b的值)
a
3、如图，底数a对函数
y log
a
x
的影响.
规律：底大枝头低
，
头低尾巴翘
4考点
I
、log
a
b,当a,b在1的同侧时,log
a
b >0；当a,b在1的异
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侧时,lOg
a
b <0
U
、 对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较
对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用(
1(=log
a
a)进行传递.
川、求指数型函数的定义域要求真数 >0,值域求法用单调性.
1)的知识不能解决的插进
W
、分辨不同底的对数函数图象利用 仁log
a
a，用y=l去截图象得到对应的底数。
V
、 y=a
x
(a>0且a工1)与y=log
a
x(a>0且a工1)互为反函数，图象关于 y=x对称。

5比较两个幕的形式的数大小的方法
(1)对于底数相同指数不同 的两个幕的大小比较
，
可以利用指数函数的单调性来判断. ⑵对于底数
不同指数相同的两个幕的大小比较
，
可以利用比商法来判断.
⑶对于底数不同也指数不同的两个幕的大小比较
6比较大小的方法
(1)利用函数 单调性
(
同底数);⑵利用中间值(如
：
0,1.); (3)变形后比较；⑷作差比较
2.3幕函数
【知识要点】
1、 幕函数定义
一般地，形如
y x
的函数称为幕函数，其中x是自变量，
a
为
常数.
2、 幕函数性质归纳
(1) 所有的幕函数在(0，+ %)都有定义，并且图象都过点
(1, 1)；
(2)
a
>0时，幕函数的图象通过原点，并且在［0,+
X)
上是 增
函数.特别地，当
a
>1时，幕函数的图象下凸；当0<
a
<1 时，幕
函数的图象上凸；
(3)
a
<0时，幕函数的图象在(0，+
X
)
上是减函数.在第 一象限
内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正
半轴，当x趋于+
X
时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
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，
则应通过中间值来判断.常用1和0.

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第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1 方程的根与函数的零点
【知识要点】
1、函数零点 的概念
对于函数 y=f(x), 使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点 .(实质上是函数 y=f(x) 与 x 轴交点的横 坐
标)
2、函数零点的意义
方程f(x)= O有实数根
？
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
？
函数y=f(x)有零 点.
3、 零点定理
函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的，并且有f (a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)
至少有一个零点c,使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=O的根.
4、 函数零点的求法
求函数 y=f(x) 的零点：
( 1)(代数法)求方程 f(x)=0 的实数根；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
用函数的性质找出零点．
5、 二次函数的零点
二次函数 f(x)=ax
2
+bx+c(a^ 0).
(0,方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与 x轴有两个交点，二次函数有两 个零
点．
(2) △二0,方程f(x)=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二 次函
数有一个二重零点或二阶零点．
(3) ^< 0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.
3.1.2用二分法求方程的近似解
【知识要点】
1 、概念
对于在区 间［a,b］上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的 区
间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .
2、用二分法求方程近似解的步骤
⑴确定区间［a,b］,验证f(a)f(b)<0，给定精确度

y=f(x)的图象联系起来，并利

⑵求区间
(
a,b)的中点c;
⑶计算 f(c),
① 若f(c)=0,则c就是函数的零点；
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② 若f(a)f(c)<0,则令b=c (此时零点x
o
? (a,c))
③ 若f(c)f(b)<0,则令a=c (此时零点x
o
? (c,b))
⑷判断是否达到精确度「即若|a-b|<
?
，
则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵
?
⑷
3.2几类不同增长的函数模型
【知识要点】
1评价模型
给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况
2、几个增长函数模型
一次函数:
y=ax+b(a>0)
指数函数:
y=a
x
(a>1)
幕函数： y=x
n
( n?N*)
指数型函数
y=ka
x
(k>0,a>1)
对数函
y=log
a
x(a>1)
2
数：
二次函数:
y=ax +bx+c(a>0)
增长快慢:
V(a
x
)>V(x
n
)>V(log
a
x)


x2
解不等式
(1) log
2
x< 2 < x


⑵
log
2
x< x
2
< 2
x

3、分段函数的应用
注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间
4、二次函数模型 y=ax
2
+bx+c(a^ 0)先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，
在的话代 进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值

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m ------ n
2 a
f ( m ) 0
f ( n ) 0
0
b
f (m)
f(m)f( n)<0



f (n)
f (p)
f (q)
0
0


0
0

【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增 长
差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含
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