高中数学必修2同步练习-高中数学教研课题的研究
人教
A
版高中数学必修一练习：活页作业
22
幂函数
(1)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列幂函数中，定义域不是R的是( )
1
B．
y＝x
2
4
D．y＝x
3
A．y＝x
C．y＝x
解析：B中y＝x＝，定义域为{x|x≥0}．A中y＝x，C中y＝x＝，D中y＝
x＝，定义域均为R.
答案：B
2．设a＝0.40.5，b＝0.60.5，c＝0.60.3，则a，b，c的大小关系是(
)
B．b＜a＜c
D．c＜a＜b
A．a
＜c＜b
C．a＜b＜c
解析：∵y＝x0.5为(0，＋∞)的增函数，∴0.40.5＜0
.60.5.又y＝0.6x为
R上的减函数，
∴0.60.5＜0.60.3.∴a＜b＜c.
答案：C
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
B．y＝x－1
1
D．y＝x
3
A
．y＝x－2
C．y＝x2
解析：∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x
2虽为偶函数，
但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且
为偶函数，故A满足题意．
答案：A
永定元年，周文
育等败于沌口，为王琳所获。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等将兵攻豫章，进逼周迪，军败，为迪斩执。寻
遁归王琳。王琳败，还朝。天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。迁安成王府司马。光大元年，授壮武将军、庐
陵内史。太建初，迁武毅将军、始兴平南府长史，领长沙内史。
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4．下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A．①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，
②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析：注意到函数 y＝x2≥0，且该函数是偶
函数，其图象关于y轴对称，
该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函
数图象应
与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应．
答案：B
5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象关于原点对称，则m的取值范围
为( )
B．m＝1或m＝2
A．1≤m≤2
C．m
＝2D．m＝1
解析：∵函数y＝(m2－3m＋3)xm－2为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m
2－
3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，
y＝x－1，其图象关于原点对称；
当m＝2时，y＝x0＝1(x≠0)，其图象关于y轴对称，故选
D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若y＝axa2－是幂函数，则该函数的值域是__________．
解析：∵a＝1，∴y＝x，其值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为______．
解析：考
察幂函数y＝x，因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，
3－2m≥0，
?
?
所以
?
m＋1≥0，
?
?
3－2m＞
m＋1，
永定元年，周文育等败于沌口，为王琳所获。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等
将兵攻豫章，进逼周迪，军败，为迪斩执。寻遁归王琳。王琳败，还朝。天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。
迁安成王府司马。光大元年，授壮武将军、庐陵内史。太建初，迁武毅将军、始兴平南府长史，领长沙内史。2 7
解得－1≤m＜.
故m的取值范围是.
?
答案：
?
?
－1，
3
?
??
2
8.，3－，
2的大小关系是______________．
解析：∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，<
br>
又∵3－＝，且＜＜2，
∴3－＜＜2.
2
答案：3－＜＜2
3
三、解
答题(每小题10分，共20分)
9．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图
象的草
图．
解：∵y＝x＝≥0，
∴函数y＝f(x)的定义域为R，
值域为[0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)＝ ＝＝x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
由于＞0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
又f(x)是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减．
根据以上性质可画出函数y＝x图象的草图
如图所示．
10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数？
(2)是正比例函数？
(3)是反比例函数？
(4)是二次函数？
永定元年，周文育等
败于沌口，为王琳所获。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等将兵攻豫章，进逼周迪，军败，为迪斩执。寻遁归
王琳。王琳败，还朝。天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。迁安成王府司马。光大元年，授壮武将军、庐陵内
史。太建初，迁武毅将军、始兴平南府长史，领长沙内史。
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解：(1)∵f(x)是幂函数，∴m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得
m＝－.此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x
)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，
故m＝－1.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数y＝x的图象大致是(
)
解析：由于＞0，故可排除选项A，D.根据幂函数的性质可知，当α＞1时，
幂
函数的图象在第一象限内向下凸，故排除选项C，只有选项B正确．
答案：B
2．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，
则m可能等于( )
A．0
C．2
B．1
D．3
解析：幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－5＜0，即m＜.
又m∈N，∴m＝0,1.
∵f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；
当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．
永定元年，周文育等败于沌口，为王琳所
获。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等将兵攻豫章，进逼周迪，军败，为迪斩执。寻遁归王琳。王琳败，还朝
。天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。迁安成王府司马。光大元年，授壮武将军、庐陵内史。太建初，迁武毅
将军、始兴平南府长史，领长沙内史。
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∴m＝1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈
N)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于
原点对称，则函数f(x)的解析式是__________
____．
解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1＜0，解得－1＜m＜1.
∵图象关于原点对称，且m∈N，
∴m＝0.∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
4．
已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋
∞)上是减函数，则
满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围为
______________________
．
解析：由y＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，
可知m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3.
又∵m∈N*，∴m＝1,2.
当m＝1时，y＝x－4是偶函数；
当m＝2时，y＝x－3是奇函数．
∵函数图象关于y轴对称，
∴该函数是偶函数．
∴m＝1.∴(a＋1)－＜(3－2a)－.
∴a＋1＞3－2a＞0或－3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.
∴a＜－1或＜a＜.
?
答案：(－∞，－1)∪
?
?<
br>3
，
2
?
??
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三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知幂函数
y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上
永定元年，周文育等败于沌口，为
王琳所获。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等将兵攻豫章，进逼周迪，军败，为迪斩执。寻遁归王琳。王琳败
，还朝。天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。迁安成王府司马。光大元年，授壮武将军、庐陵内史。太建初，
迁武毅将军、始兴平南府长史，领长沙内史。
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为增函数，求满足条件(a＋1)＜(3－2a)的实数a的取值范围．
解：∵幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，
∴函数y＝x3－p是偶函数．
又y＝x3－p在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p是偶数且3－p＞0.
∵p∈N*，∴p＝1.
∴不等式(a＋1)＜(3－2a)化为(a＋1)＜(3－2a).
∵函数y＝是[0，＋∞)上的增函数，
?
?
∴?
?a≥－1，
3
a≤
?
?
2
2
a＜，
3
?－1≤a＜.故实数a的取值范围为.
6．已知幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)．
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的
函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)
＋(2m－1)x在区间[0
,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请
说明理由．
解：(1)对于幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，
满足f(2)＜f(3)．
因此2－k＞0，解得k＜2.
因为k∈N*，所以k＝1，f(x)＝x.
(2)g(x)＝1＋(m－1)x，
当m＞1时，函数g(x)为增函数，
故最大值为g(1)＝m＝5.
当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，
故最大值为g(0)＝1≠5，不成立．
永定元年，周文育等败于沌口，为王琳所获
。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等将兵攻豫章，进逼周迪，军败，为迪斩执。寻遁归王琳。王琳败，还朝。
天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。迁安成王府司马。光大元年，授壮武将军、庐陵内史。太建初，迁武毅将
军、始兴平南府长史，领长沙内史。
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当m＝1时，g(x)＝1，不合题意．
综上所述，m＝5.
永定元年，周文育等败于沌口，为王琳所获。琳乘胜将略南中诸郡，遣猛与李孝钦等将兵攻豫章，进逼周
迪，军败，为迪斩执。寻遁归王琳。王琳败，还朝。天嘉二年，授通直散骑常侍、永阳太守。迁安成王府司马。光
大元年，授壮武将军、庐陵内史。太建初，迁武毅将军、始兴平南府长史，领长沙内史。
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