高一数学必修1(人教版)同步练习第二章第二节对数函数

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2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第二章
第二节对数函数
一. 教学内容：
对数运算、对数函数

二. 重点、难点：
1. 对数运算
a?0,b?0,a?1,b?1,M?0,N?0

x
（1）
log
a
N?x
?a?N

（2）
log
a
1?0

（3）
log
a
a?1

（4）
a
log
a
N
?N

（5）
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N

M
?log
a
M?log
a
N
N
（6）
x
logM?x?log
a
M

a
（7）
log
a
（8）
log
a
M?log
b
Mlog< br>b
a

（9）
log
a
x
b
y?
y
log
a
b
x

（10）
log
a
b?log
b
a?1

2. 对数函数
y?log
a
x
，
a?0
且
a?1

定义域 （
0,??
）
值域 R
单调性
a?(0,1)?

a?(1,??)?

奇偶性 非奇非偶
过定点 （1，0）
图象

y?log
a
x
与
y?log
1
x
a
关于
x
轴对称
【典型例题】
[例1] 求值
1
()
log
3
7
?
（1）
9
；
3
log
15
2?log
15
?log
15< br>20?log
15
4?
2
（2） ；
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（3）
(log
2
6
2)?log
6
2?log
6
3?log
6< br>18?
；
（4）
log
9
16?log
32
81?
；
（5）
(log
4
3?log
8
3)(log
3
5?log
9
5)?(log
5
2?log
25
2)?
；
（6）
lg25?lg2?lg50?(lg2)
2
?
。
解：
?2
log
?2
3
7
（1）原式
?(3)?3
?2log
3
7
?3
log
3
7< br>?7
?2
?
1
49

（2）原式
?log
15
15?1

（3）原式
? log
6
2?(log
6
2?log
6
3)?log
6
18

?log
6
2?log
6
18
?log
6
36

?2

448
（4）原式
?(
2
log
3
2)?(
5
log2
3)?
5

（5）原式
?(
5
6
l og
3315
2
3)?(
2
log
3
5)?(2
log
5
2)?
8

（6）原式
?lg25?lg2(lg50?lg2)

?lg25?2lg2
?lg100

?2
log
2
[log
1
(log
2
x)]?log
3
[log
1
(log
3
y)]?log
5
[l og
1
(log
5
z)]?0
例2] 若
x,y,z
满足
235
，
x、y、z
的大小关系。 log
2
[log
1
(log
2
x)]?0
解 ：∵
2

log
1
(log
2
x)?1
∴
2

log
1
1
1
2
x?
2

x?2
2
?8
6

11
1
同理
y?3
3
?9
6

z?6
6
∴
y?x?z

例3] 若
l og
a
1
b
1
?log
a
2
b
2
?
……
?log
a
n
b
n
?
?< br>，则
log
(a
1
a
2
?
a
n)
(b
1
?b
2
?
b
n
)?
。
解：由已知
b
?
??
1
?a
1
，b
2
?a
2
?b
n
?a
n

∴
(b?(a
?
1
?b
n
)
1
?a
n
)

∴
log
(a
1
?
a
n
)
(b
1
b
2
?
b
n
)?
?

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试比较

[

[

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431
3,,,
3510
这四个值，则相对应的C
1
，C
2
，C
3
，C
4-
[例4] 图中四条对数函数
y?log
a
x图象，底数
a
为
的值依次为（ ）
A.
431
3,,,
3510
B.
413431413
3,,,,3,,,3,,
3105
C.
3510
D.
3105

答案：A

[例5] 求下列函数定义域
（1）
y?lg[lg(lgx)]

（2）
y?lg(x?3x?4)

2

y?log
1
(x?1)
（3）
解：
2

（1）
lg[lgx]?0?lg1
∴
lgx?1
∴
x?(10,??)

2
（2）
x?3x?4?0

x?(??,?1)?(4,??)

（3）
0?x?1?1

x?(1,2]


[例6] 求下列函数的增区间
（1）
y?log
2
x?1

y?log
1
(x
2
?2x?8)
（2）
解：
2

t?x?1

(??,1)?(1,??)?
（1）
y?log
2
t?

∴
y?f(x)
在（
1,??
）
?

y?log
1
t?
（2）
2
2

t?x?2x?8

(??,?2)?(4,??)?

∴
y?f(x)
在
(??,?2)?


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[例7] 研究函数
y? f(x)?log
2
(x?1?x)
的定义域、值域、奇偶性、单调性。
22
x?1?x?x?x
∴ 解：（1）
2
x
2
?1?x?0
∴ 定义域为R
（2）
x?R

x
2
?1?x?(0,??)
∴
y?R
为值域
1
x
2
?1?x
22
（3）
f(?x)?log
2
[(?x)?1?(?x)]?log
2
(x?1?x)

?log
2

∴ 奇函数
?log
2
(x
2
?1?x)
?1
??f(x)< br>
（4）
x?(0,??)
时，
y?log
2
(x< br>2
?1?x)?log
2
1
x
2
?1?x

t?
1
x?1?x
2
?
2
t
?
∴
y?f(x)
在
(0,??)
上
?

y?log
∵ 奇函数 ∴
y?f(x)
为R上
?


[例8] 已知
x?(0,1)
，
a?0
且
a? 1
，试比较
log
a
(1?x)
与
log
a
(1?x)
的大小关系。
解：
（1）
a?(0,1)
时，log
a
(1?x)?log
a
(1?x)

??lo g
a
(1?x)?log
a
(1?x)??log
a
(1? x
2
)?0

（2）
a?(1,??)
时，
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?log
a
( 1?x)?log
a
(1?x)

?log
a
(1?x
2
)?0

综上所述，
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)


2
y?f(x)?log(kx?4kx?3)

2
[例9] 函数
（1）若定义域为R，求
k
的取值范围。
（2）若值域为R，求
k
的取值范围。
解：
（1）
k?0
时，
y?log
2
3

x?R

?
k?0
3
3
?0?k?
?k?[0,)
2
4
∴
4

?
?? 16k?12k?0
?
k?0
3
?
?k?[,??)
2??16k?12k?0
?
4
（2）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 求值：
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1
?log
5
2
()?
125
（1） ；
lg4?lg5?1
?
2lg0.5?lg8
（2） ；
（3）
(lg
2
6)(log
3
6)?(log
2
3?log
3
2)?
；
2
lg2?lg3?(lg6)?lg
6
6?2lg6?
。 （4）
xyz
2. 正实数
x,y
满足
3?4?6

111
??
（1）求证：
zx2y

（2）比较
3x,4y,6y
的大小关系
3. 已知
log
3
2?a
，
log
5
2?b
试用
a,b
表示
log
30
90

22
a?logxb?logx
x?(1,d)
dd
4. ，，，< br>c?log
d
(log
d
x)
，试比较
a,b,c< br>大小关系。
ab
log,log,log
b
a,log
a< br>b
ab
2
a?b?a?1
ba
5. 若，则的大小关系是 。
6.
n?m?1
，试比较
log
m
n
与
log
2m
2n
的大小关系。
x
y?f(x)?log( a?1)
（
a?0
且
a?1
）的定义域及单调性。
a
7. 研究函数

【试题答案】

1.
（1）
5
?3(?log
5
2)
?5
log
58
?8

lg
2
?
2
?1
（2）原式
lg

（3）
(1?log
2
3)(1?log
3
2)?(log
2
3?log
3
2)?2

2
lg2?lg3?(lg6?1)?lg6?1?lg6?1
（4）
2.
xyzk
（1）令
3?4?6?10?0

x?
∴
k
lg3
y?
k
lg4
z?
k
lg6

1111
??(lg6?lg3)?lg2
zxkk

1lg41
??lg2
2y2kk
∴ 成立
3x?4y?
（2）
3k4k3lg4?4lg3
??k?
lg3lg4lg3?lg4< br>
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k
?[lg64?lg81]?0

lg3?lg4

4k6kk
4y?6z????[4lg6?6lg4]< br>lg4lg6lg4?lg6

2k
?[lg36?lg64]?0
lg4?lg6

∴
3x?4y?6z

?
?
1
?log
2
3
?
?
a
?
?
1
?log5
2
?
3.
?
b

21
?
ab
?< br>ab?a?2b
?
log
2
901?2log
2
3? log
2
5
11
ab?a?b
log
30
90??
1??
log
2
301?log
ab
2
3?log
2
5

d
x
∵
log
d
x?(0,1)
4.
a?log
d
x?log
d
x

b?2?log
1?
∴
b?a?0?c

ab1
?1?log
a
b?0log?1?log
bb
a?0?(0,)< br>ba2
5.
1ba
loga?(,1)logb?loga?lo g?log
babba
,2)
∴
2

log
ab

a
b?(1

log
2
n1?log
2
nlog
2
n?log
2
mlog
m
n?log
2m
2n????0
log
2m1?log
2
mlog
2
m(1?log
2
m)6.
log
a
7.
x0
a
t?
（1）
a?(0,1)

a?1?a
∴ 定义域为
(??,0)

y?log
t?a
x
?1?
∴
y?f(x)?

x0
（2）
a?(1,??)

a?1?a
∴ 定义域为
(0,??)

y?log
a
t?

t?a
x
?1?
∴
y?f(x)?




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