高中数学必修1+必修4知识点归纳

高中数学必修1+必修4知识点归纳
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、
三角恒等变换。
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定 义法：设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x2
那么
必修1数学
知识点

第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集 合。集合三要素：确定性、互异性、无
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：< br>N
或
N
?
，整数集合：
*
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设
x
1
,x2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x
2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x< br>2
?
=…
(2)导数法：设函数
y?f(x)
在某个区间 内可导，
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数 ；
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
Z
，有理数集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任
意一个元素都是集合B中的元素，则称集 合A是
集合B的子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，
则称集合A是集合B的真子集. 记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子
集，
2?1< br>个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集 合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一 般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B< br>.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集
合B中都有惟一确定 的数
f
?
x
?
和它对应，那么就
称
f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记
作：
y?f
?
x
?
, x?A
.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

- 1 -
n
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般地，如果对于函数
f?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
??x
?
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。
其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
⑴
a
n
m
n
n
n
n
?
m
a
n

*
?
a?0,m,n?N,m?1
；
?

⑵
a
?n
?
1
?
n?0
?
；
a
n
r?s
n
⑶
log
a
M?nlog
a< br>M
.
4、 运算性质：
⑴
aa?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
；
0?a?1

2.5
1.5
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.


图
-1
2.5
1.5
a?1

1
0
6、重要 公式：
log
a
n
b?
7、倒数关系：
log
a< br>b?

m
m
log
a
b

n
1
0.5
0.5
象
-0.5
1
-1< br>0
-0.5
1
-1
-1
-1.5
-1.5
- 2
1
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
-2.5

-2
-2.5

(1)定义域：（0，+∞）
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?


y=log
a
x

0
o
1

a>1

2、性质：
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
y
性
（2）值域：R
，即x=1时，y=0
质
（3）过定点（1，0）
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
(5)
x?1,log
a
x?0
； (5)
x?1,log
a
x?0
；
0?x?1,log
a
x?0
0?x?1,log
a
x?0


x
⑵
a
r
??
s
?a
rs
?
a?0,r, s?Q
?
；
rr
⑶
?
ab
?
?ab?
a?0,b?0,r?Q
?
.
r
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x

y=a
x

a>1
0
1

o


2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
y

x

第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数
- 2 -
x
1、指数与对数互化式：
a?N?x?log
a
N
；
2、对数恒等式：
a
log
a
N
?N
.
3、基本性质：
log
a
1?0
，
log
a
a?1
.
4、运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴< br>log
a
?
MN
?
?log
a
M?log< br>a
N
；
⑵
log
a
?
?
M
?
N
?
?
?log
a
M?log
a
N< br>；
?

y?f
?
x
?< br>在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f
?
c
?
?0
， 这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
数拟合，最后检验.



5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
?

sin
?

0



?
6

?
4

?
3

?
2

2
?
3

3
?
4

?

3
?
2

2
?




























cos
?

tan
?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
.
22
必修4数学
知识点

第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

sin
?
.
cos
?
3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

2、 商数关系：
tan
?
?
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
1、 诱导公式一：
?
??
?
?
?2k
?
,k?Z?
.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
?
?
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,cos
?
?
?2k
?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二：
l
. r
n
?
R
3、弧长公式：
l??
?
R
.
180
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?< br>?
?
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
3、诱 导公式三：
P
?
x,y
?
，那么：
sin
??y,cos
?
?x,tan
?
?
2、 设点
A
?
x,y
y

x
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式四：
那么：（设
?
为角
?
终边上任意一点，
r?x
2
?y
2
）
x
yxy
cot
?
?

cos
?
?
，
tan
?
?
，
sin
?
?
，
y
rrx
3、
sin< br>?
，
cos
?
，
tan
?
在四个象限的符号 和三角
函数线的画法.
y
T

P
正弦线：MP;
余弦线：OM;
O
M
A
x
正切线：AT

- 3 -
sin
?
?
?
?< br>?
?sin
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

tan
??
?
?
?
??tan
?
.
5、诱导公式五：

?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
??
?

6、诱导公式六：

?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
?
?
cos
??
?
?
??sin
?
.
?
2
?

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：

y
y=sinx

?
3
?
7
?
-5
?
-
1

2
22
2
o
?
?
4
?
-2
?
-3
?
-
?
2
?
5
?3
?< br>
-4
?
-7
?
-3
?
-1
22< br>2
2

y

y=cosx

o
?< br>-2
?
-3
?
2
?5
?
-4
?-7
?
-1
2
§1.4.3
2
、正切函数的图象与性质
2
2

-5
?
-3
?
2
-
?
-
?
2



2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、对 称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关键点为： < br>x
?
3
?
（0，0）（，，1）（，
?
，0）（，， -1）（，2
?
，0）.

22
1
?
3
?
2
7
?
3
?
2
4
?
x
y
y=tanx
-
3
?
2
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
x
1 、记住正切函数的图象：



2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. < br>周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T ，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?< br>?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?< br>就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域

R

[-1,1]
R

[-1,1]
{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R


- 4 -

x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1



无
周期性
奇偶性
2
T?2
?

奇
在
[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]
上单调递增
2
T?2
?

偶
在
[2k
?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?

奇
单调性
在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)
上单调递增
22
k?Z

在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?]
上单调递减
在
[2k
?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
?
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?

2
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
?
2
,0)

k
?
2
,0)

§1.5、函数
y?Asin?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数：
纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?
x

y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
?
A?0 ,
?
?0
?
有：振幅A，周
期
T?
1
?< br>|
倍
2
?
?
，初相
?
，相位
?< br>x?
?
，频率
f?
1
T
?
?
2?
.
个单位

y?Asin?
?
?

?
?
x
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平 移伸缩变
换关系.
① 先平移后伸缩：
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin?
?
?

?
x
y?Asin
?
?
x?
?
?

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，
x∈R(A,
?
,
?
为常数，且A≠0)的周期T?
数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x ?k
?
?
常数，且A≠0)的周期
T?
（左加右减）
2
?
；函
|
?
|

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

（上加下减）
?
.
|
?
|
1
?
|
倍
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

(x?
?
和
)y?Acos(
?
x?
?
)
来对于
y?Asin
?
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中 心，
只需令
?
x?
?
?k
?
?
?

② 先伸缩后平移：
2
解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A?
- 5 -
(k?Z)
与
?
x?
?
?k
?
(k?Z)

y?sinx

横坐标不变
y?Asinx


y
max
?y
min
y?y
min
，
B?
max
.
22

?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
?

sin
?

cos
?

tan
?

?
12

6?22
4

6?
4

2?3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?

2、
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

3、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

5、
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
6、
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
2
sin2
?
.
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
升 幂公式：
?
?
?
1?cos2
?
?2cos
??
?2sin
?

?
?
1?cos2
2
?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?
)
降幂公式：
?
?
2

?
?
sin
2
?
?
1
2
(1?cos2
?
)
3、tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2< br>?
4、
tan
?
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
?
sin2
?



§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)

（其中辅助角
?
所在象限由点(a,b)
的象限决
定,
tan
?
?
b
a ).

- 2 -