高一数学必修一必修二概念

必修一
1.集合中元素的性质
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的. 即任何一个对象,都能判断它是或者不是某个集合的元素,二
者必居其一.
(2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的.即同一个元素在一个集合里不能同时出现.
(3)无序性:集合中的元素没有顺序性.
2.元素与集合的关系
(1)如果a
是集合
A
的元素，就说
a
属于集合
A
，记作
a?A
；
(2)如果
a
不是集合
A
的元素，就说
a
不属于集合
A
，记作
a?A
.
3.集合的表示方法
(1) 列举法:列举法是把集合中元素一一列举出来的方法.
(2) 描述法:描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
(3) 图示法（指文氏图法）
4.集合的分类
(1) 有限集:含有有限个元素的集合.
(2) 无限集:含有无限个元素的集合..
5．集合与集合的关系
有“包含”和“不包含”两种情形.
6.集合相等 若
A?B
且
B?A
，则
A?B

7. 子集的性质
（1）A?A （2）A?B, B?C ?A?C
（3）A?B B?A?A=B
(4)A=｛
a
1
,a
2
,a
3
...a
n
｝的所有子集的个数为
2
；
8. 空集（1）空集是任何集合的子集，记作：
?
?A
（2）空集是任何非空集合的真 子集，记作：
?
A（
A?
?
）
n

9. 补集（1）补集的意义：
C
U
A?xx?U,且x?A

（2）补集的特性：
C
U
U?
?
??
C
U
?
?UC
U
?
C
U
A
?
?A

10.交集：A∩B ={x|x?A且x?B} 并集： A∪B ={x|x?A或x?B}
A?A?A
A?A?A
A?
?
?
?
A?
?
?A
A?B?B?A
A?B?B?A
11．交集 、并集的性质
12．
A?B?A?B?AA?B?A?B?B

13.C
U
?
A
?
B
?
?
?
CU
A
?
?
?
C
U
B
?
< br>C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

14. 最基本绝对值不等式|x|＜
a
，|x|＞
a
(
a
＞0)的 解
（1）｜x｜＜
a
，｜x｜＞
a
（
a
＞0）的解
一般地，不等式｜x｜＜
a
（
a
＞0）的解集｛x｜－
a< br>＜x＜
a
｝；
不等式｜x｜＞
a
（
a
＞0 ）的解集是｛x｜x＞
a
，或x＜－
a
｝.
（2）|x|＜
a
，|x|＞
a
(
a
＞0)解的几何意义
①不等式|x|＜
a
，|x|＞
a
(
a
＞0)在数轴上分别表示到原点的距离小于、大于
a
的点，如下图所示：

15. |
a
x+b|＜c，|
a
x+b|＞c (c＞0)型不等式的解法
(1) |
a
x+b|＜c，|
a
x+b|＞c (c＞0)型不等式的解法

①|
a
x+b|＜c (c＞0)型不等 式的解法是：先化为不等式组-c＜
a
x+b＜c，再由不等式的性质求出原不等式
的 解集.
②|
a
x+b|＞c (c＞0)型不等式的解法是：先化为
ax+b＞c或
a
x+b＜-c，再进一步利用不等式性质求出原
不等式的解集.
16.一元二次不等式的解法
17. 复合命题的三种表现形式
p

真
真
假
假
q

真
假
真
假
p
或
q

真
真
真
假
p

真
真
假
假
q

真
假
真
假
p
且
q

真
假
假
假
p

真
假


非
p

假
真


18. 常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下

正面词语
否 定
正面词语
否 定

19.四种命题
至多有一个
至少有两个
等 于
不等于
至少有一个
一个也没有
大于(>)
不大于(≤)
任意的
某个
小于(<)
不小(≥)
所有的
某些
是
不是
至多有n个
至少有n+1个
都是
不都是
任意两个
某两个
一定
不一定
(1)用
p
和
q
分别表示原命题的条件和结论，用
?p
和
?q
分别表示
p
和
q
的否定，则四 种命题的形式为：
原命题：若
p
则
q
逆命题：若
q
则
p

否命题：若
?p
则
?q
逆否命题：若
?q
则
?p

(2)四种命题的关系：










注：一个命题
?
它的逆否命题。当一个命题的真假不易判断时，可转而判断它的逆否命题
20.数量命题中
特称命题的否定是全称命题；全称命题的否定是特称命题.
21.命题的否定与否命题 命题T:若
p
,则
q

否命题若（
?p
则
?q
）
原命题（若
互逆
p
则
q
）
逆命题（若
q
则
p
）
互
否

互逆
互
否

逆否命题（若
?q
则
?p
）

命题T的否定: 若
p
,则
?q
; 命题T的否命题: 若
?p
,则
?q

22.若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件；若
p?q
，则
p
是
q< br>的必要条件；
若
p?q
，且
p?q
，则
p
是
q
的充要条件
23.若
p
是
q
的充分条件,则
?p
是
?q
的必要条件
24.证明
p
是
q
的充要条件的步骤
①充分性:把
p
当作已知条件，结合命题的前提条件，推出
q

②必要性:把
q
当作已知条件，结合命题的前提条件，推出
p

第二章 函数、导数及其应用
1. 映射有如下三个特征(A到B)
（1）A中的任一元素在B中都有象，且象唯一；
（2）A中不同的元素在B中可以有相同的象；
（3）并不要求B中所有元素在A中都有原象.
2.A=
?
a
1< br>,a
2
,a
3
???a
n
?
，B=
?
b
1
,b
2
,b
3
???b
m
?
，从Ａ到Ｂ可以建立
m
n
个不同的映射；

3. 函数的表示方法:常用的有解析法、列表法、图象法三种.
4.函数定义域的求法：列方程（组），解 方程（组）.与实际问题有关的函数，其定义域是使函数解析式有
意义且使实际问题有意义的自变量的范 围.
5.函数值域的求法
(1)
y
=
k
x
+
b

?
单调性法;
(2)
y?af(x)?bf(x)?c
?
配方法；
(4)
y?
2
ax?b

?
反表示法；单调性法; cx?d
a
1
x
2
?b
1
x?c
1< br>(5)
y?
(
a
1
,
a
2
?
0)
?
判别式法；单调性法;
2
a
2
x?b
2
x?c
2
(6)
y?f(x)?
1
?
判别式法；均值不等式法 ；
f(x)
(7)
y?ax?b?mpx?q

?
换元法；单调性法

(8)y=
a
sinx+b；y=
a
cosx+b
?
有界性；
6.函数关系
(1)已知
f
?x
?
，求
f
?
u
?
x
?
?< br>的方法：直接把
f
?
x
?
中的
x
换成
u
?
x
?
即可；
(2)已知
f
?
u< br>?
x
?
?
，求
f
?
x
?
的 方法：
①换元法：设
u
?
x
?
=
t
，反 解
x?
?
?
t
?
，代入即可求得
f
?x
?
；
②配凑法:在
f
?
u
?
x< br>?
?
中凑出
u
?
x
?
，直接将
u< br>?
x
?
换成
x
.
7.反函数

把它写成y=f
?1
(x).
注:
(1)一个函数在其整个定义域内不一定存在反函数，但在某一个区间上有反函数.
(2)反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域.
(3)反函数有下面两条性质：
①在同一坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；反之，如果两个函数的图象关于
直线y=x对称，那么这两个函数是互为反函数；
②函数与其反函数在各自的定义域上有相同的单调性.
③单调递增函数与其反函数图象的交点必在直线y=x上.
(4)求反函数的一般步骤是：
①由已知函数y=f(x)，解出x=f
②把x=f
?1
?1
(y) ；
?1
(y)中的x与y对调，得y=f(x)；
③写出定义域（即原来函数的值域）.
8.奇偶函数的定义
若
f
?
x
?
的定义域I关于原点对称,(即
x?I,
则
?x?I
),且
f
?
?x
?
?f
?
x
?< br>(或
f
?
?x
?
??f
?
x
?),则函数
f
?
x
?
叫偶函数(或奇函数)
9. 奇偶函数的的性质
①
f
?
x
?
是奇函数
?
f
?
x
?
的图象关于原点对称；

f
?< br>x
?
是偶函数
?
f
?
x
?
的图象关 于
y
轴对称。
②奇函数在其对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在其对称区间上具有相反的单调性。
10.判断函数奇偶性的方法
① 定义 法：定义域关于原点对称与
f
?
?x
?
?f
?
x< br>?
，
f
?
?x
?
??f
?
x
?
结合起来判断；
或定义域关于原点对称与
f
?
?x
?
?f
?
x
?
?0?f(x)
是偶函数；
f
?
?x
?
?f
?
x
?
?0?f(x)
是奇 函数
结合起来判断。
② 图象法：利用图象的对称性判断。
11.有关函数奇偶性的重要结论
① 若
f
?
x
?
是偶函数，则
f
?
x
?
?f
?
?x
?< br>?f
?
x
?
?f
?
?x
?

② 若
f
?
x
?
是奇函数，且在
x?0
处 有定义，则f(0)=0;
③ 若
f
?
x
?
?0
且
f
?
x
?
的定义域关于原点对称，则
f
?
x
?
既是奇函数又是偶函数；
12．单调函数的定义
设
A
是
f
?
x
?
定义域内的一个区间，对于任意的
x< br>1
,x
2
?A
，
① 若
x
1
?x
2
时，有
f
?
x
1
?
?f
?x
2
?
，则
f
?
x
?
在
A< br>上为增函数；
② 若
x
1
?x
2
时，有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，则
f
?
x
?
在
A
上为减函数；
13.单调性的判定方法
① 定义法：任取两变量---作差---变形---定号--- 结论；
14.复合函数单调性 同增异减原则
15. 有关函数单调性的重要结论
①若
f
?
x
?
、g
?
x
?
都为 增（或减）函数，则
f
?
x
?
?g
?
x
?
为增（或减）函数;
若
f
?
x
?
为增函数，g
?
x
?
为减函数，则
f
?
x
??g
?
x
?
为增函数;
若
f
?
x< br>?
为减函数，
g
?
x
?
为增函数，则
f?
x
?
?g
?
x
?
为减函数;
②奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反;

③互为反函数的两个函数有相同的单调性;
16．图象的变换
㈠对称变换：
①
y?
关于x轴对称
??????
f
?
x
?
y轴对称
?
关于
?????
y?? f
?
x
?

y?f
?
?x
?

②
y?f
?
x
?
③
y?f
?
x
?
④
y?f
?< br>x
?
⑤
y?f
?
x
?
⑥
y? f
?
x
?
?
关于原点对称
?????
y??f?
?x
?

x轴上方的图象保留，将x轴下方的图象对称的翻到x轴上方
?
将
????????????????
y
?
f
?
x
?

y轴右边的图象，，并作关于y轴对称图象，去掉y轴左边的图象?
保留
??????????????????
y
?
f
?
x
?

y?x
?
关于直线
?????
y
?
f
?1
?
x
?

㈡平移变换：
y?f
?
x
?

y?f
?
x
?
17幂的有关概念
》0，右移；h《0，左 移
?
h
???????y?f
?
x?h
?

》0，上移；k《0，下移
?
k
???????
y
?
f< br>?
x
?
?
k

① 正整数指数幂：
a?a?a?a???an?N
② 零指数幂：
a?
1
?
a?
0
?

0
n
?
?
?

n个
③ 负整数指数幂：
a
④ 正分数指数幂：
a
⑤ 负分数指数幂：
a?p
?
1
?
a
?
0,p
?
N
?
?

p
a
m
n
?
n
a
m
a
?0,
m、n
?
N
?
，且n
?1
??
?
m
n
?
1
a
m
n< br>?
a?
0,
m、n?N，且n?
1
?

?
⑥ 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
18有理指数幂的性质
①
aa
?
a
rs
r
r?s
?
a< br>?0,
r
、
s
?
Q
?
；②
(ar
)
s
?a
rs
?
a?0,r、s?Q
?
rr
③
?
ab
?
?
ab
?
a
?0，
b
?0,
r
?
Q
?

19“指数与对数 ”中的重要公式
b
⑴.
a
?
N
?
b
?log
a
N
⑵.
log
a
1?0

⑶.
log
a
a?1
⑷.
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
⑸.
log
a

b
a? 1
⑹.
a
(7).
log
a
m
b?
⑼.
log
a
n
log
a
b
?b

n
log
a
b
⑻.
log
a
MN?log
a
M?log
a
N

m
N
?log
a
N
?log
a
M
⑽.
log
a
M
n
?nlog
a
M
M
1
⑾.
log
a
n
M?log
a
M
⑿.
lg2?lg5?1

n
20.指数函数的图象及性质
解析式


图

象





定义域
值 域
单调性
奇偶性
y?a
x
?
a?1
?

y?a
x
?
0?a?1
?

y
1
o x

y
1
o
x
?
??,??
?

?
??,??
?

?
0,??
?

在
?
??,??
?
上是增函数
非奇非偶函数
当
x?0
时，
0?y?1

?
0,??
?

在
?
??,??
?
上是减函数
非奇非偶函数
当
x?0
时，
y?1

当
x?0
时，
y?1

当
x?0
时，
0?y?1

x
对
y
的
当
x?0
时，
y?1

影响
当
x?0
时，
y?1

21．对数函数的图象及性质
解析式
y?log
a
x
?
a?1
?

y?log
a
x
?
0?a?1
?

图





象

定义域
值 域
单调性
奇偶性
y
1

y
o
1
o
x
x
?
0,??
?

?
0,??
?

?
??,??
?

在
?
0,??
?
上是减函数
非奇非偶函数
当
0?x?1
时，
y?0

当
x?1
时，
y?0

当
x?1
时，
y?0

?
??,??
?

在
?
0,??
?
上是增函数
非奇非偶函数
当
0?x?1
时，
y?0

x
对
y
的
当
x?1
时，
y?0

影响
当
x?1
时，
y?0

?
22.幂 函数
y
?
x
（
(
?
?R)
的图像及性质（ 几种特殊幂函数的性质）幂函数的性质总结
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象 限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第
一、二象限(图象关于
y
轴对称)；是奇 函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非
偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在
(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1, 1)
．
③单调性：如果
?
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上为增函数．如果
?
?0
，则幂函数的图
象在
(0,??)
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近
x
轴与
y< br>轴．
④奇偶性：当
?
为奇数时，幂函数为奇函数，当
?
为偶 数时，幂函数为偶函数．当
?
?
q
p
q
（其中
p, q
互
p
q
p
质，
p
和
q?Z
）， 若
p
为奇数
q
为奇数时，则
y?x
是奇函数，若
p
为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶
函数，若
p为偶数
q
为奇数时，则
y?x
是非奇非偶函数．
⑤图象特征： 幂函数
y
?
x,x
?
(0,
??
)
，当< br>?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
下方 ，若
x?1
，
?
q
p
其图象在直线
y?x
上方，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x< br>上方，若
x?1
，其图象在直线

y?x
下方．
23.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f(x)?ax?bx?c(a?0)

②顶点式：
f(x)?a(x?h)?k(a?0)

③两根式：
f (x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)

（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③已知抛物 线与
x
轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
f(x)
更方便．
（3）二次函数图象的性质：
①二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为
x??
2
2
2
b
,
顶点坐标是
2a
b4ac?b
2
(?,)
．
2a 4a
②当
a?0
时，抛物线开口向上，函数在
(
??
,?
bbb
时，
]
上递减，在
[?,??)
上递增，当< br>x??
2a2a2a
4ac?b
2
f
min
(x)?
；
4a
当
a?0
时，抛物线开口向下，函数在
(
??
,
?
bbb
时，
]
上递增，在
[?,??)< br>上递减，当
x??
2a2a2a
4ac?b
2
f
ma x
(x)?
．
4a
2
③对于二次函数
f(x)?ax?b x?c(a?0)
，当
??b?4ac?0
时，图象与
x
轴有两个交 点
2
M
1
(x
1
,0),M
2
(x
2
,0),|M
1
M
2
|?|x
1
?x
2
|?
2
?
．
|a|
（4）二次函数
f(x)? ax?bx?c(a?0)
在闭区间
[p,q]
上的最值：可根据抛物线的对称轴与区 间的关系，
利用图像法求值域。一般可分为四种情况：
“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”、“轴动区间动”。

（5）利用二次函数及一元二次方程求解一元二次不等式如下表：
判别式
??
b
?
4ac

2
??0

y

o
x
y
o
??0


x
??0

y

o
x
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
图象
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
2
两相异根
x
1、2
?
?b?b?4ac
2a
2
两等根

x
1
?x
2
??
b
2a
?a?0
?
根

无实数根
ax
2
?bx?c?0

的解集
?
a?0
?

?
xx〈x或x〉x
?

12
b
?

?
?
xx??
?
2a
??
R
ax
2
?bx?c〈0

的解集
?
a?0
?

24．指数方程的解法
⑴
a
⑶
a
⑸
a
f(x)
?
xx〈x〈x< br>?

12
?

?

?
b
?
f
(
x
)?log
a
b
⑵
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

?
b
g(x)
?
f
(
x
)?
g
(
x
)log
a
b
⑷
f(a
x
)?0?令t?a
x

f(x)
f(x)
?g(x)←图象法
.
25对数方程的解法
b
⑴
log
a
f(x)?b?f(x)?a
（2）< br>log
a
f(x)?log
a
g(x)?f(x)?g(x)?0
（3）
f(log
a
x)?0?
令
log
a
x
?
t
（4）
log
a
f(x)?g(x)?
图象法.
26.方程的根与函数的零点
（1）函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x? D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x )(x?D)
的零点。
（2）函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就 是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图
象与
x
轴交点的横坐标。即：
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y? f(x)
有零点．
（3）函数
y?f(x)
零点的求法：
1
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根； ○
2
（ 几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函 ○
数的性质找出零点．
③（零点存在定理）如果函数
y?f(x)
在 区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)? f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?< br>内有零点，即存在
c?(a,b)
，使得
f(c)?0
这个
c
也就

是方程
f(x)?0
的根.
注意:若 函数
y?f(x)
在
(a,b)
上有零点,不一定有
f(a)?f( b)?0
.
④(二分法)对于在区间
?
a,b
?
上连 续不断且
f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数< br>f(x)
的
零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近 似值的方法.
32.三种增长型函数增长速度的比较
xn
在区间
( 0,??)
上,函数
y?a
(
a?
1)
y?log
a
x(a?1)
,
y?x(n?0)
都是增函数,但它们的增长速度
不同.随着
x
的增大,
y?a
(
a?
1)
的增长 速度越来越快,会超过并远远大于
y?x(n?0)
的增长速度;而
xn
y? log
a
x(a?1)
的增长速度则会越来越慢,图象逐渐表现为与
x
轴趋于平行.因此,总会存在一个
x
0
,当
x?x
0
时, 就有
log
a
x?x
n
?a
x

必修二
立体几何
1．“有且只有”命题的证明：须先证存在性，再证唯一性.
2．证明直线在平面内的方法：只需证明直线上有两点在平面内.
3．证明点共线的方法：只需证明这些点是两个不重合平面的公共点.
4．证明线共面的方法 ：先由其中两条平行直线或两条相交直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个
平面内.
5．两条直线垂直的判定
定 理（文字语言）
一直线垂直于一个平面，
则这直线垂直于这个平面
内的任意一条直线。

平面内的一条直线，如果
和这平面的一条斜线的射
A

b
图 形 语 言

b
符 号 语 言
?


a


b?
?
?
?
?b?a
a?
?
?

AB?
?
?
?
BC?b
?
?b?AC
b?
?
?
?

?

B
C

影垂直，那么它也和这斜
线垂直（三垂线定理）
在平面内的一条直线 ，如
果和这平面的一条斜线垂
直，那么它也和这斜线的
射影垂直（三垂线逆定理） < br>如果一条直线和两条平行
线中的一条直线垂直，那
么也和另一条垂直（不一
定相 交）
6. 两条直线平行的判定
定 理（文字语言）
平行于同一条直线的两条
直线平行（平行公理）
图 形 语 言

b

c
符 号 语 言

l

A

b
?

B
C
AB?
?
?
?
AC?b
?
?b?BC
b?
?
?
?
?
a


b
ab
?
?
?l?b
l?a
?

a

ac
?
?
?ab
bc
?

a?
?
?
?
?ab
b?
?
?
垂直于同一平面的两条直线平行
a


b
?



a

一条直线平行于一个平面，
则过这条直线的平面与原
平面的交线 必平行于这条
直线
如果两个平行平面和第三
个平面相交，它们的两条交
线互相平行

?
b

?
?
a?
?
?
?ba< br>?
?
?
?b
?
?

a
?
?

a



?


?
b

?

?
?
?
?
?a
?
?
?
?b
?
?
?
?ab< br>?
?

7．直线与平面垂直的判定：
定 理（文字语言）
一条直线和平面内的两条
相交直线都垂直，那么这
直线和这平面垂直

两条平行线中的一条垂直
于一个平面，那么另一条
直线也垂直于这个平面
一条直线垂直于两个平行
平面中的一个平面，则这
条直线也垂直于另一个平
面
如果两个相交平面都垂直
于第三个平面，那么它们
的交线也必垂直于第三个
平 面
两个平面互相垂直，那么
在一个平面内垂直于它们
交线的直线，垂直于另一
平面
8.直线和平面平行：

b

b

a

图 形 语 言

c

符 号 语 言
?


b
a

a?
?
b?
?
a?b?A
c?a,c?b

c?
?

?

a?
?
?
?
?
ab
?
a
?
?

?

??

?
?
?
?b?
?
b?
?
?

?

l




?


?


?
?
?
?
?
?
?
?
?
?l
?
?
?
?l?
??
?

a

?

b

?

?
?
?
?
?
?
?b
a?
?
a?
?
?
?
?
?
?a?
?
?
?
?

定 理（文字语言）
平面外的 一条直线如果和
这个平面内的一条直线平
行，则这条直线平行于这
个平面.
两个平面互相平行,那么其
中一个平面内的任何一条
直线都平行于另一个平面
若平面外的两条平行直线
中有一条和平面平行,则另
一条也和这个平面平行
9.两平面平行的判定:
定 理（文字语言）
垂直于同一条直线的两个
平面平行

如果一个平面内的两相交
直线都平行于另一个平面,
则这两个平面平行
如果 一个平面内的两相交
直线分别平行于另一个平
面内的两条相交直线,则这
两个平面平行
图 形 语 言

b
符 号 语 言
?


a

a?
?
?
?
b?
?
?
?b
?
ab
?
?

?




b
?
?

?
?
?
?b
?
b?
?
?


a

b
?


a
?
?
?
ab
?
?b
?
b?
?
?
?

图 形 语 言 符 号 语 言

?



b

?
b?< br>?
?
?
?
?

?
b?
?
?< br>
m

n

m?
?
?
?
n ?
?
?
?
m?n?A
?
?
?

?< br>?
m
?
?
?
n
?
?
?
?< br>




?
?
m

n

g

h



?
?
n?
?
?
m?n?A
?
?
g?
?
?
?
?
?

?
h?
?
?
g?h?B
?
?
mg
?
?
nh
?
m?
?

?

?

?
?
?
?
?

?
?

?
?

?
平行于同一个平面的两个
平面平行


10.两平面垂直的判定:
定 理（文字语言）
一个平面经过另一个平面
的一条垂线,那么这两个平
面互相垂直

如果两个平面所成的二面
角是直二面角,则这两个平
面垂直

图 形 语 言 符 号 语 言
?


b

?




?

b?
?
?
?
?
?
?
?
b?
?
?


b

?

a

c

?

?
?c?
?
是
2
?
?
?
?

?
?

?

一个平面垂直于两个平行
平面中的一个,也必垂直于
另一个

?

?

?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?

11.①从空间一点O出发的三条射线 OA，OB，OC.若
?AOB??AOC，
则点A在平面BOC上的射影在
?BOC
的平分线上,
②AB和平面
?
所成的角为
?
1
. ,AD在平面
?
内,AD和AB的射影AC所成的角为
?
2
,
?BAD?
?
,则
cos
?
?cos
?
1
?cos
?
2

12.空间两点间的距离公式

A B?
设
A
?
x
1
,y
1
,z
1< br>?
,B
?
x
2
,y
2
,z
2
?
则
13．向量的模 设
a?
?
x,y,z
?
，则
14点对称
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1?y
2
?
2
?
?
z
1
?z
2
?
2


a?x
2
?y
2
?z< br>2
1
?
x,?y,?z
?
； ⑴点
P< br>?
x,y,z
?
关于
x
轴的对称点
P
⑵点< br>P
?
x,y,z
?
关于
y
轴的对称点
P2
?
?x,y,?z
?
；
⑶点
P
?
x,y,z
?
关于
z
轴的对称点
P
3
?
? x,?y,z
?
；
⑷点
P
?
x,y,z
?
关于原点的对称点
P
4
?
?x,?y,?z
?
；
⑸点
P
?
x,y,z
?
关于坐标平面
XOY
的对 称点
⑹点
P
?
x,y,z
?
关于坐标平面
ZOY< br>的对称点
⑺点
P
?
x,y,z
?
关于坐标平面
XOZ
的对称点
P
5
?
x,y,?z
?
；
；
P
6
?
?x,y,z
?
P
7
?
x,?y,z
?
.
解析几何
1．直线倾斜程度的表示
⑴倾斜角：
?
?
?
0,
?
?
；⑵斜率： 非直角的倾斜角的正切值.
斜率与倾斜角的计算：
①
k?tg
?
(
?
?
?
)
2
已知两点
P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?< br>，则斜率
k?
y
1
?y
2
?
x
1< br>?x
2
?

x
1
?x
2
?
若
x
1
?x
2
，则直线
P
1
P
2
的斜率不存在.此时直线的倾斜角为
90
.
2．直线方程的各种形式
①斜率不存在，方程为
x?x
0
(x
0
为直线在x
轴上的截距）.
②斜率存在，方程可列表如下
形式
点 斜 式
斜 截 式
方程 适用范围
y?y
0
?k(x?x
0
)

?
?90
?

?
?90
?

y?kx?b

两 点 式
截 距 式
x?x
1
y?y
1
?

x
2
?x
1
y
2
?y
1
?
?90
?
??0
?

3.与直线
xy
??1

ab
Ax?By?C?0(A.B
不
Ax?By?C?0(A.B
?
?0
?
?
?90
?
直线不过原点
不同时为0)
适用于所有直线
平行的直线
方程的一般
一般式
同时为0)
形式为
Ax?By?m?0(c?m)

4. 与直线
Ax?By?C?0(A.B
不同时为0)垂直的直线方程的一般形式为
Bx?Ay? m?0

5.两直线的位置关系
⑴若
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,b1
?b
2
②
l
1
与
l
2< br>重合
?
k
1
?k
2
,b
1
?b2
;
③
l
1
与
l
2
相交
? k
1
?k
2
;(特殊地,
l
1
?l
2?k
1
k
2
??1
)
⑵若
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0,

l
2
:A
2
x?B
2
y?C< br>2
?0

当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?
0
时,
l
1
?l
2
;
当
A
1
B
2
?A
2
B
1
?
0
时,且
B
1
C
2
?B
2
C
1
,
l
1
∥
l
2

6. 点
p
(x
0
,
y
0
)
到直线
Ax?By?C?0的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B22

7.
l
1
:
Ax?By?C
1
?
0
与
l
2
:Ax?By?C
2
?0
间 的距离为
d?
8.圆的方程
C
1
?C
2
A?B
22

（x?a)?(y?b)?r
标准方程
222
?
展开
? ??
????
配方
一般方程
x?y?Dx?Ey?F?
0

22
圆心
(a,b)
,半径
r
圆心
(?
D
,?
E
)
半径
1
22
22
2
D
2
?E
2
?4F

9．二元二次 方程
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?
0
表示一个圆的充要条件为
①
A?C?0
②
B?0
③
D?E?
4
AF?
0

22
10.以
p
1
p
2
为直径的圆的方程为
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0

其中
p
1
(
x
1
,
y
1
).< br>p
2
(
x
2
,
y
2
)
< /p>

22
11.点
p
(
x
0
,
y
0
)
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
的位置关系
①点< br>p
(
x
0
,
y
0
)
在圆外,
?x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F? 0

22
②点
p
(
x
0
,
y0
)
在圆上,
?x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F?0

22
③点
p
(
x
0
,
y
0
)
在圆内,
?x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F?0

22
12.直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为
d
,圆的半径为
r
则
直线与圆相离
?d?r
;直线与圆相切
?d?r
;直线与圆相交
?d?r
②将直线方程代入圆的方程,化成关于某个变量的一元二次方程,设根的判别式为
?
,则
??0?l
与
圆相交 ，
??0?l
与圆相切，
?〈0?l
与圆相离
2
222< br>13.过圆
x?y?r
上的点
p(x
0
,y
0
)
的圆的切线方程是
x
0
x?y
0
y?r
222
14．过圆
(x?a)?(y?b)?r
上的点
p(x
0
,y
0
)
的圆的切线方程是
(x
0
?a)(x? a)?(y
0
?b)(y?b)?r
2
.
24.常见的圆系方程
⑴过定直线
l:Ax?By?C?0
和定圆
x?y?Dx?Ey?F?0
两交点的圆系：
22
x
2
?y
2
?Dx?E y?F?
?
?
Ax?By?C
?
?0
;
⑵过两定 圆
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
0< br>和
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0的交点的圆系：
2222
x
2
?y
2
?D
1< br>x?E
1
y?F
1
?
?
x
2
?y< br>2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
， 当
?
??1
时，方程表示两圆公共弦所在
直线方程.
25.弦长的计算
⑴几何方法:
运用圆心距(即圆心到直线的距离)、弦心距及半径构成直角三角形计算
⑵代数方法：
运用韦达定理及弦长公式
AB?1?kx
A
?x
B


?1?k
2
2??
?
x
A
?x
B
?
2
?4x
A
x
B

26．圆与圆的位置关系
设⊙
C
1
:
?
x?a
1
?
?
?
y?b
1
?
?r
1
?
r
1
?
0
?
⊙
C
2
:
?
x?a
2
?
??
y?b
2
?
?r
2
?
r
2
?0
?

222222
①
C
1
C
2
?
r
1
?
r
2
?
⊙
C
1
与⊙
C
2
相离；
②
C
1
C
2
?
r
1
?
r
2
?
⊙
C
1
与⊙
C
2
外切；
③
r
1
?
r
2
?
C
1
C
2
?
r
1
?
r
2
?
⊙
C
1
与⊙
C
2
相交； < br>④
C
1
C
2
?
r
1
?
r< br>2
?
⊙
C
1
与⊙
C
2
内切；
?
r
1
?r
2
?

⑤
C
1C
2
?
r
1
?
r
2
?
⊙C
1
与⊙
C
2
内含；


相

离





相
内

交
切




内

同
含
心
圆



外
切

知识框架
一、空间几何体的结构
棱柱
柱体
圆柱
棱锥
锥体
圆锥
棱台
台体
圆台球体
二、空间几何体的三视图和直观图
中心投影
?
1
?
5730
p?
??
?
2
?
简单组合体
投影
平行投影
三视图
直观图
正视图
侧视图
俯视图
斜二测
画法

三、空间几何体的表面积和体积
圆柱的侧面积：
S?2
?< br>rl
圆锥的侧面积：
S?
?
rl
面积
圆台的侧面积：
S?
?
(r
?
?r)l
球的表面积：
S?4
?
R
2
柱体的体积：
V?Sh
体积
锥体的体积：
V?
台体的体积：
V
球的体积：
?
1
Sh
3
S
?
S?S)h
4
V?
?
R
3
3
1
(S
?
?
3