高一数学必修一重点方法讲解[1]

高中必修一一些重点




函数值域求法十一种 ............................... .................................................. ......................... 2
复合函数 ............. .................................................. .................................................. ............. 9
一、复合函数的概念 .................... .................................................. .............................. 9
二、求复合函数的定义域： .................................................. ...................................... 9
复合函数单调性相关定理 .................................. .................................................. ............ 10
函数奇偶性的判定方法 ................... .................................................. ............................... 10
指数函数： ..... .................................................. .................................................. ............... 12
幂函数的图像与性质 ................. .................................................. ..................................... 15

































1

函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数
解：∵
x?0

y?
1
x
的值域。
1
?0
x
∴
显然函数的值域是：
(??,0)?(0,??)

例2. 求函数
y?3?x
的值域。
解：∵
x?0

??x?0,3?x?3

故函数的值域是：
[??,3]


2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2
例3. 求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
2
解：将函数配方得：
y?(x?1)?4

∵
x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，
ymin
?4
，当
x??1
时，
y
max
?8< br>
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
1?x?x
2
y?
1?x
2
的值域。 例4. 求函数
解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x
2
?(y?1)x?0

（1）当
y?1
时，
x?R

??(?1)
2
?4(y?1)(y?1)?0

13
?y?
2
解得：
2
?
13
?
1?
?
,
?
（2）当y=1时，
x?0
，而
?< br>22
?

?
13
?
?
2
,
2
?
?
故函数的值域为
?

例5. 求函数
y?x?x(2?x)
的值域。
22
解：两边平方整理得：
2x?2(y?1)x?y?0
（1）
∵
x?R

2
∴
??4(y?1)?8y?0

解得：
1?2?y?1?2

但此时的函数的定义域由
x(2?x)?0
，得
0?x?2

22
由
??0
，仅保证关于x的方程：
2x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，
2

?13
?
?
2
,
2
?
?
。 即不能确保方程（1）有实根，由
??0
求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函 数的值域为
?
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
0?x?2

?y?x?x(2?x)?0

?y
min
?0,y?1?2
代入方程（1）
解得：
x< br>1
?
2?2?2
4
2
2
?[0,2]

2?2?2
4
2
x
1
?
2
即当时，
原函数的值域为：
[0,1?2]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若 原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔
除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4
例6. 求函数
5x?6
值域。
x?
解：由 原函数式可得：
则其反函数为：
4?6y
5y?3

y?
4 ?6y
3
x?
5x?3
，其定义域为：
5

3
??
?
??,
?
5
?
故所求函数的值域为：
?

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
e
x
?1
y?
x
e?1
的值域。 例7. 求 函数
e
x
?
解：由原函数式可得：
x
∵
e?0
y?1
?0
y?1
∴
y?1
y?1

解得：
?1?y?1

故所求函数的值域为
(?1,1)


cosx
sinx?3
的值域。 例8. 求函数
解：由原函数式可得：
ysinx?cosx?3y
，可化为：
y?
y
2
?1sinx(x??)?3y

3y
sinx(x??)?
y
2
?1
即
∵
x?R

∴
sinx(x??)?[?1,1]

3

?1?
即
解得：
3y
y?1
?
2
?1

22
?y?
44

?
22
?
?,
??
44
??
?
故函数的值域为
?

6. 函数单调性法
例9. 求函数
y?2
x?5
?log
3
x?1(2?x?10)
的值域。
解：令
y
1
?2,y
2
?log
3
x?1

则
y
1
,y
2
在[2，10]上都是增函数
所以
y?y
1
?y
2
在[2，10]上是增函数
当x=2时，
x?5
y
min
?2
?3
?log
3
2?1?
1
8

5
当x=10时，
y
ma x
?2?log
3
9?33

?
1
?
?
8
,33
?
?
故所求函数的值域为：
?

例10. 求函数
y?x?1?x?1
的值域。
2
y?
x?1?x?1
解：原函数可化为：
令
y
1
?x?1,y
2
?x?1
，显然
y
1
,y
2
在
[1,??]
上为无上界的增函数
所以
y?y
1< br>，
y
2
在
[1,??]
上也为无上界的增函数
2< br>所以当x=1时，
y?y
1
?y
2
有最小值
2
，原函数有最大值
2
显然
y?0
，故原函数的值域为
(0,2]< br>
?2


7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变 为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数
学方法中几种最主要方 法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数
y?x?x?1
的值域。
解：令
x?1?t
，
(t?0)

2
则
x?t?1

13
y?t
2
?t?1 ?(t?)
2
?
24
∵
又
t?0
，由二次函数的性质可知
当
t?0
时，
y
min
?1

当
t?0
时，
y???

故函数的值域为
[1,??)


2
例12. 求函数
y?x?2?1?(x?1)
的值域。
2
解：因
1?(x?1)?0

2
即
(x?1)?1

4

故可令
x?1?cos?,??[0,?]

∴
y?cos??1?1?cos
2
??sin??cos??1

?2sin(??
?
4
)?1

∵
0????,0???
?5
4
?
4
?

??
2
2
?sin(??
?
4
)?1
?0 ?2sin(??
?
4
)?1?1?2

故所求函数的值域为
[0,1?2]

x
3
?x
例13. 求函数
y?
x
4
?2x
2
?1
的值域。
解：原函数可变形为：
?
1
2
?
2x1?x
2
y< br>1?x
2
?
1?x
2

2x1?
可令
x?tg?
，则有
1?x
2
sin2?,
x
2
?
1?x
2
?cos
2
?

?y??
12
sin2??cos2???
1
4
sin4?

当< br>??
k?
2
?
?
8
时，
y?
1max
4

当
??
k?
2
?
?18
时，
y
min
??
4

而此时
tan?
有意义。
?
故所求函数的值域为
?
?
?
11
?
4
,
4
?
?

?1)
x?
?
例14. 求函数
y?(sinx?1)(cosx< br>，
?
??
?
?
?
12
,
2
?
?
的值域。
解：
y?(sinx?1)(cosx?1)

?sinxcosx?sinx?cosx?1

令
sinx?cosx?t
，则
sinxcosx?
1
2
(t
2
?1)

y?
1
2
(t
2
?1)?t?1?
1
2
(t?1)
2

由
t?sinx?cosx?2sin(x??4)

x?
?
且
?
??
?
?
?
12
,
2
?< br>?

2
可得：
2
?t?2

3
23 2
∴当
t?2
时，
y
max
?
2
?2，当
t?
2
时，
y?
4
?
2
?
?
3
?
2
,
3
?2
?
故所求函数的值域 为
?
?
422
?
?
?
。
5

2
例15. 求函数
y?x?4?5?x
的值域。
2
解：由
5?x?0
，可得
|x|?5

故可令
x?5cos?,??[0,?]

?
y?5cos??4?5sin??10sin(??)?4
4

∵
0????

??5?
?????
444

当
???4
时，
y
max
?4?10

当
???
时，
y
min
?4?5

故所求函数的值域为：
[4?5,4?10]


8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目 若运用数形结合法，
往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
22
y?(x?2)?(x?8)
例16. 求函数的值域。
解：原函数可化简得：
y?|x?2|?|x?8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），
B(?8)
间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

故所求函数的值域为：
[10,??]


22
例17. 求函数
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。
解：原函数可变形为：

y?(x?3)
2
?(0?2)
2
?(x?2)
2
?(0?1)
2

上式可看成x轴上的点
P(x,0)
到两定点
A(3,2),B(?2,?1)
的距离之和，
22
y?|AB|?(3?2)?(2?1)?43
，
min
由图 可知当点P为线段与x轴的交点时，
故所求函数的值域为
[43,??]


22
例18. 求函数
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。

2222
解：将函数变形为：
y?(x?3)?(0?2)?(x?2)? (0?1)

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点
B(?2, 1)
到点
P(x,0)
的距离之差。
即：
y?|AP|?|BP|

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点
P'
，则构成
?ABP'
，根据三角形两边之差< br>22
小于第三边，有
||AP'|?|BP'||?|AB|?(3?2)?(2?1) ?26

即：
?26?y?26

6

（ 2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
||AP|?|BP||?|AB|?26

综上所述，可知函数的值域为：
(?26,26]


注：由例17 ，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则
要 使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），
(?2,? 1)
，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），
(2,?1)
，在 x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式
a?b?2ab,a ?b?c?3abc
(a,b,c?R)
，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积< br>为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
解：原函数变形为：
3
?
y?(sinx?
1< br>2
1
2
)?(cosx?)?4
sinxcosx
的值域。
11
?
sin
2
xcos
2
x
y?(si n
2
x?cos
2
x)?
?1?ces
2
x?se c
2
x
?3?tan
2
x?cot
2
x
? 3
3
tan
2
xcot
2
x?2
?5

当且仅当
tanx?cotx

?
x?k??
4
时
(k?z)
，等号成立 即当
故原函数的值域为：
[5,??)


例20. 求函数
y?2sinxsin2x
的值域。
解：
y?4sinxsinxcosx

?4sin
2
xcosx

y?16sin
4
xc os
2
x
?8sin
2
xsin
2
x(2?2si n
2
x)
?8[(sin
2
x?sin
2
x?2? 2sin
2
x)3]
3
?
64
27
22

当且仅当
sinx?2?2sinx
，即当
由
sin
2x?
2
3
时，等号成立。
y
2
?
64
8383
??y?
99
27
可得：
?
8383
?
,
?
?
?< br>99
??
?
故原函数的值域为：
?

10. 一一映射法
7

原理：因为
y?
ax?b
(c? 0)
cx?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求 另
一个变量范围。
y?
1?3x
例21. 求函数
2x?1
的值域。
?
?
x|x??
1
或x ??
1
?
解：∵定义域为
?
22
?
?
< br>由
y?
1?3x
x?
1?y
2x?1
得
2y ?3

x?
1?y
1
1?y
故
2y?3
? ?
2
x???
1
或
2y?32

解得
y??
3
2
或y??
3
2

?
?
??,?
3
??
3
?
故函数的值域为
?
2
?
?
?
?
?
?
2
,???
?


11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
解：令
t?x?2(t ?0)
，则
x?3?t
2
?1

y?
t1
t
2
?1
??
1
1
（1）当
t?0
时，< br>t?
1
2
t
，当且仅当t=1，即
x??1
时取等号 ，所以
0?y?
2
（2）当t=0时，y=0。
?
综上所述，函数 的值域为：
?
?
0,
1
?
2
?
?

注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数
?
1?x?2 x
2
?x
3
?x
4
y
1?2x
2
?x
4
的值域。
解：
y?
1?2x
2
?x
4
x?x
3
1?2x
2
?x
4
?
1?2 x
2
?x
4

?
1?x
2
?
?< br>?
2
?
1?x
?
x
?
2
?
?
?
1?x
2

2
?
?
?
1?x
2
?
?
?cos
2
?
令
x?tan
2
，则
?
?
1?x
2
?
?

x1
1?x
2
?
2
sin?

?y?co s
2
??
11
2
sin???sin
2
??
2
sin??1

??
?
?
1
?
217
?
sin??
4
?
?
?
16
< br>1
17
∴当
sin??
4
时，
y
max?
16

当
sin???1
时，
y
min
??2

?
?
此时
tan
17
2
都存在，故函数的值域为
?
?
?2,
?
16
?
?

8

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用
sin?
的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优 先考虑
直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
复合函数
一、复合函数的概念
如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的
复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数 在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，
将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地 拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的
交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u
2
, u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u
2
与g ( x ) = x + 1
两个函数复合而成。
2
二、求复合函数的定义域：
（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义
域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-12 ，0 ]
例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x
2
)的定义域。
答案： [-1 ，1]
（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。

例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]
（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x
2
– 2 ) 的定义域。
答案：[-√32 ，-√3]∪[√32 ，√3]
三、求复合函数的解析式。
1、待定系数法
：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设
f(x)
是一次函数，且
f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)

解：设
f(x)?ax?b

(a?0)
，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a
2
x?ab?b

?
a?2
?
a
2
?4
?
a??2
　或　　

?
?

?
??
b?1b?3
?
?
ab?b?3
?
?f(x)?2x?1　　或　　f(x)?? 2x?3

9

2、 配凑法
：已知复合函数
f[ g(x)]
的表达式，求
f(x)
的解析式，
f[g(x)]
的表达 式容易配成
g(x)
的运算形式时，
常用配凑法。但要注意所求函数
f(x)
的定义域不是原复合函数的定义域，而是
g(x)
的值域。
11
)?x
2
?
2

(x?0)
，求
f(x)
的解析式
x
x
11
2
1
解：< br>?f(x?)?(x?)?2
，
x??2

xxx
例2 已知
f(x?

?f(x)?x
2
?2

(x?2)

3、换元法：
已知复合函数
f[g(x)]
的 表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的
定义 域的变化。
例3 已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)

解：令
t ?x?1
，则
t?1
，
x?(t?1)
2

f(x?1)?x?2x

?
f(t)?(t?1)
2
?2 (t?1)?t
2
?1,

?f(x)?x
2
?1

(x?1)

?f(x?1)?(x?1)
2
?1?x
2
?2x

(x?0)



复合函数单调性相关定理
1、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y= f(u)在区间(c,d)上是
增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增 函数
证 明 在区间(a,b)内任取两个数x
1
,x
2
， 使a＜x
1
＜x
2
＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是 增函数，所以g(x
1
)＜g(x
2
),记u1=g(x
1
),u2=g(x
2
)即u
1
＜u
2
,且u
1,u
2
∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所 以f(u
1
)＜f(u
2
),即f［g(x
1
)］＜f［f (x
2
)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

2、引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为 (c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)
上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在 区间(a,b)上是增函数.
证明 在区间(a,b)内任取两个数x
1
,x< br>2
，使a＜x
1
＜x
2
＜b.
因为函数u=g(x )在区间(a,b)上是减函数，所以g(x
1
)＞g(x
2
),记u1=g (x
1
),u2=g(x
2
)即u
1
＞u
2
,且u
1
,u
2
∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c ,d)上是减函数，所以f(u
1
)＜f(u
2
),即f［g(x
1
)］＜f［f(x
2
)］，故函数y=f［g(x)］
在区间(a,b)上是 增函数.
3、总结 同增异减
函数奇偶性的判定方法
1．定义域判定法
10

例1 判定
f(x)?(x?1)
（非奇非偶）
x?2
的奇偶性．
2．定义判定法f(x)与f（-x）关系
例2 判断
f(x)?x?a?x?a
的奇偶性．（偶）
3．等价形式判定法
例3 判定
f(x)?
1?x
2
?x?1
1?x?x?1< br>2
的奇偶性．（奇）
评注：常用等价变形形式有：若
f(x)?f(?x)? 0
或
f(?x)
??1
，则
f(x)
为奇函数；若
f(?x)?f(x)?0
或
f(x)
f(?x)
．
?1
，则
f(x)
为偶函数（其中
f(x)?0
）
f(x)
4． 性质判定法
例4 若
a?0
，
f(x)(x?
?
?a，a
?
)
是奇函数，
g(x)(x?R)
是偶函数，试判定
?< br>(x)?f(x)g(x)
的奇偶性．
评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域 关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；
②两个奇函数的和、差是奇函数，积是 偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
5、练习
（1）.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (－∞,－1
]

（2）(★★★★★)若函数f(x)=ax
3
+ bx
2
+cx+d满足f(0)=f(x
1
)=f(x
2
) =0 (01
2
),
递增，则b的取值范围是__(－∞, 0）_______.
(1)令t=|x+1|,则t在(－∞,－1
]
上递减，又 y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1
]
上递减.
(2)∵f(0)=f(x
1
)=f(x
2
)=0,∴f(0)=d=0.f (x)=ax(x－x
1
)(x－x
2
)=ax
3
－a(x
1
+x
2
)x
2
+ax
1
x
2< br>x，
∴b=－a(x
1
+x
2
),又f(x)在［x
2
,+∞
)
单调递增，故a>0.又知0＜x
1
＜x,得x
1
+x
2
>0,
∴b=－a(x
1
+x
2
)＜0.
x
2
,+∞
)
上单调
2.
奇偶性
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，
如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，
则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；
当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复 合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；
当里层的函数是奇函数 、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函
数时，复合 函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
二 加减函数
1.增减性 对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则
2.奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则
三 相乘函数
1.增减性
11

对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而
F(x)=x^2,有增有减.
2.奇偶性
对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*
偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1f(x)], 自己推.
指数函数：
?aa?0且a?1
定义：函数
y
叫指数函数。 定义域为
R
，底数是常数，指数是自变量。
要求函数
y?a
xx
??
中的
a
必须
a?
。因为若
a?0
时，
y?
?
?4
?
，当
x?
0且a?1
x
1
时，函数值不存在。
4
xxx
，
y?0
，当
x?0
，函数值不存在。
a?
时，
y?1
对一切
x
虽有意义，函数值恒为1，但
y?1

a?01
x
的反函数不存在， 因为要求函数
y?a
x
中的
a?
。
0且a?1


?
1
?
x
1、对三个指数函数
y?
的图象的认识。
2，y?y?10
??
，
??
2
图象特征与函数性质：
图象特征 函数性质
（1）
x
取任何实数值时，都有
a?0
；
（2）无论
a
取任何正数，
x?0
时，
y?1
；
x
x
（1）图象都位于
x
轴上方；
（2）图象都经过点（0，1）；
（3）
y?2，y?10
在第一象限内的 纵坐
xx
?
则a
x
?1
?
x?0，
（3） 当
a?
时，
?

1
x
?
则a?1
?
x?0，
标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，
?
1
?< br>y?
??
的图象正好相反；
?
2
?
x
?
则a
x
?1
?
x?0，
当
0
时，
?

?a?1
x
?
则a?1
?
x?0，

x

（4）
y
时，
y?a
是增函数，
? 2，y?10
的图象自左到右逐渐（4）当
a?1
xx
?
1
?
上升，
y?
??
的图象逐渐下降。
?
2
?x
当
0
时，
y?a
是减函数。
?a?1
x

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如
y?2
和
y?10相交于
(0，1)
，当
x?0
时，
y?10
的图象x
22
xxx
0?2
及
10?2
。 在
y?2
的图象的上方，当
x?0
，刚好相反，故有
1
< br>?2?2
?
1
?
x
②
y?2
与
y?
??
的图象关于
y
轴对称。
?
2
?
?< br>1
?
x
0且a?1
③通过
y?2
，
y?10
，
y?
??
三个函数图象，可以画出任意一个函数
y?a
（
a?
）的示意图，
?
2
?
xx
x
x

12

?
1
?
如
y?3
的图 象，一定位于
y?2
和
y?10
两个图象的中间，且过点
(0，1)
，从而
y?
??
也由关于
y
轴的对称
?
3
?
xxx
x
?
1
?
性，可得
y?
??
的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
?
3
?
2、对数：
定义：如果
a?N(a?0且a?1 )
，那么数
b
就叫做以
a
为底的对数，记作
b?
（
a
是底数，
N
是真数，
log
a
N
b
x
）
log
a
N
是对数式。




由于
N
故
log
a
N
中
N
必须大于0。
?a?0
当
N
为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
b
则0.3 2
x
?
x
52
4
?
1
2
求log
0.32
?
?
52
??
52
?
?
解：设
log
0.32
??
?x

?
4
??
4
?
?
8
??
8
?即
??
?
??
?
25
??
25
?
1
∴x??
2
?
52
?
1
即log
0.32
??
??
2
?
4
?
x
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求3?5
中的
x
，
化为对数式
x?log
3
5< br>即成。










（2）对数恒等式： 由
a

?N(1)b?logN (2)
a
将（2）代入（1）得
a
log
a
N
b< br>
?N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数 和对数的底数相同。
计算：
?
3
?
?log
1
2
3
解：原式
?3
1
?log
1
2
2
3
?1
?
?
??
?
3
?
log?2
12
3
。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：
①
l

ogMN?logM?logNM，N?R
??
aaa
?
??
og?logM?logNM，N?R
②
l

aaa
③
l

ogN?nlogNN?R
aa
M
N
n
?
?
?
1
n
???
?
?

n
og?logNNR?
④
l
a
N
a
?
?
?
13

3、对数函数：
定义：指数函数
y?a(a? 0且a?1)
的反函数
x
?(0,??)
叫做对数函数。
y?log
a
x
x
1、对三个对数函数
y
?log，y?log，
2
x
1
x
2
y?lgx
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
（1）图象都位于
y
轴右侧；
（2）图象都过点（1，0）；
+

函数性质
（1）定义域：
R
，值或：
R
；
（2）
x?
时，
y?0
。即
l
；
1og?0
a
1
（3）当
a?1
时，若
x?1
， 则
y?0
，若
，则
y?0
；
0?x?1
时，若< br>x?0
，则
y?0
，若
?a?1
在
x
轴上方 ，当
0
时，图象在
x
轴下
当
0
?x?0
时 ，则
y?0
；
0?x?1
方，
y?logx
与上述情况刚好相反；
（3）
y?
，
y?lgx
当
x?
时，图象
1
log2
x
1
2
时，
y?
是增函数；
1
l og
（4）
y
从左向右图象是上
（4）
a?
?logx，y ?lgx
a
x
2
升，而
y?log
1
x
从 左向右图象是下降。
2
时，
y?
是减函数。
0?a?1
log
a
x
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是
y?
与
y?lgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当
x?0
时，
log
2
x的图象在
y?lgx
的图象上方；而
0
时，
y?
的图象 在
y?lgx
的图象的下方，故有：
?x?1
y?loglog
2< br>x
2
x
；
l
。
log.15?lg1.5og0.1?lg0.1
22


（2）
y?
的图象与
y?log
1
x
的图象关于
x
轴对称。
log
2
x
2
（3）通过
y?
，
y?lgx
，
y?log
1
x
三个函数图象，可以作出任 意一个对数函数的示意图，如作
y?loglog
2
x
3
x
2
的图象，它一定位于
y?
和
y?lgx
两个图象的中间，且过点（ 1,0），
x?0
时，在
y?lgx
的上方，而位于
log
2
x
的下方，
0
时，刚好相反，则对称性，可知
y?log
1
x
的示意图。
?x?1
y?log
2
x
3




因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
log
a
N
logN?
b
l og
a
b

LN?log(其中e?2.71828…)称为N的自然对 数
ne
N
LN?log称为常数对数
g10
N
由换底公式可得：
lgNlgN
LN???2.303lgN

n
lge0.4343
14

由换底公式推出一些常用的结论：
（1）
logb?
a
n
1

或logb·loga?1
ab
loga
b

（2 ）
log
a
n
b
m
?
（4）
log
a
n
a?
m
m
log
a
b

n

oglog
（3）
l

n
b?
a
b
a
m

n
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称
基本型
同底数型
不同底数型
需代换型
题型

a
f
?
x
?
?b
f(x)
?
(x)

a?a
f
?
x
?
x
???

a?b
解法
取以
a
为底的对数
f
?
< br>xlog
?
?
a
b
取以
a
为底的对数
f
?
x
?
x
?
?
??

取同底的对数化为
fx

·lga?x·lgb
????
换 元令
t?a
转化为
t
的代数方程
x
F
a
x
?0

?
??
对数方程的题型与解法：
名称
基本题
同底数型
需代换型
题型

logxb
?
?
a
f
?

logfx?log
?
x
????
aa
解法
对数式转化为指数式
f
?
x
?
?a

b< br>转化为
f
?
x
?
x
?
?
??
（必须验根）
换元令
t?l
转化为代数方程
og
a
x
F
(log
a
x)
?0

幂函数的图像与性质
一、幂函数的定义
?

2
1
3
?
1
4
一般地，形如
y?x
（
x?
R ）的函数称为幂孙函数，其中
x
是自变量，
?
是常数.如
y?x,y ?x,y?x
等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
分数指数幂
正分数指数幂的意义是：
a
负分数指数幂的意义是：
a
1、 幂函数的图像与性质
m
n
?
n
a
m
（
a ?0
，
m
、
n?N
，且
n?1
）
?m
n
?
1
n
a
m
（
a?0
，
m
、
n?N
，且
n?1
）
幂函数
y?x
随着
n
的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法． 熟练掌握
n
y?x
n
，当
n??2,?1,?

11
,,3
的图像和性质，列表如下．
23
15

从中可以归纳出以下结论：
① 它们都过点
?
1,1
?
，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
11
,,1,2,3
时，幂函数图像过原点且在
?
0,??
?
上 是增函数．
32
1
③
a??,?1,?2
时，幂函数图像不过原 点且在
?
0,??
?
上是减函数．
2
②
a?
④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
y?x
n

奇函数
y
偶函数
y
非奇非偶函数
y
n?1

O
x
O
x
O
x

y y

y

0?n?1

O
x
O
x
O
x

y
y

y

n?0

O
x
O

x

O
x


y
例1、 右图 为幂函数
y?x
?
在第一象限的图像，则
a,b,c,d
的大小关系 是 （ ）
y?x
a

y?x
b

y?x
c

(A)
a?b?c?d

(C)
a?b?d?c

解：取
x?
选
(C)
．
(B)
b?a?d?c

(D)
a?d?c?b

cdba
1
?
1
??
1
??
1
??
1
?
，由图像可知：
??
?
??
?
??
?
??
，
?a?b?d?c
，应
2
?
2
? ?
2
??
2
??
2
?
O
x
三．两类基本函数的归纳比较：
① 定义
对数函数的定义：一般地，我们把函数
y?log
a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做 对数函数，其中
x
是自变量，函
16

数的定义域是（0，+∞）．
幂函数的定义：一般地，形如
y?x< br>?
（
x?
R）的函数称为幂孙函数，其中
x
是自变量，
?
是常数.
②性质
对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；
过点（1，0），即当
x
=1，
y
=0；
在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数
幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，
图象都过点（1，1）
x
＞0时，幂函数的图象都通过原点，
在[0，+∞ ]上，
y?x
、
y?x
、
y?x
、
y?x
是增函数，
在（0，+∞）上，

y?x
?1
是减函数。
2?5m?3
例1．已知函数
f
?
x
?
?m?m?1x< br>，当
m
为何值时，
f
?
x
?
：
23
1
2
??
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是
?
0 ,??
?
上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）
m?2
或
m??1
（2）
m??1
（3）
m??
变式训练：已知函数
f
?
x
?
?m?mx< br>2
42
（4）
m??
（5）
m??1

55
??
m
2
?2m?3
，当
m
为何值 时，
f
?
x
?
在第一象限内它的图像是上升曲线。
2?
?
m?m?0
简解：
?
2
解得：
m?
?
??,?1
?
?
?
m?2m?3?0
?
3,? ?
?

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2．比较大小：
（1）
1.5,1.7
（2）
(?1.2) ,(?1.25)
（3）
5.25,5.26,5.26
（4）
0.5
3
,3
0.5
,log
3
0.5

解：（1）∵
y?x
在
[0,??)
上是增函数，
1.5?1.7
，∴< br>1.5?1.7

（2）∵
y?x
在
R
上是增函数，
?1.2??1.25
，∴
(?1.2)?(?1.25)
（3）∵
y?x
在
(0,??)
上是减函数，
5.2 5?5.26
，∴
5.25
∵
y?5.26
是增函数，
?1 ??2
，∴
5.26
综上，
5.25?5.26
3
?1?1
1
2
1
2
33?1?1
1
2
?2
1
2
1
2
333
?1
?1
?5.26
?1
；
x
?1
?5.26
?2
；
?5.26
?2

0.5
（4）∵
0?0.5?1，
3?1
，
log
3
0.5?0
，∴
log< br>3
0.5?0.5
3
?3
0.5


2
例1 求下列函数的单调区间： y=log
4
(x－4x+3)
2
解法一：设 y=log
4
u,u=x－4x+3.由
u＞0,
2
u=x－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
2
当x∈(－∞，1)时，u=x－4 x+3为减函数，而y=log
4
u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当 x
17

∈(3，±∞)时，u=x－4x+3为增函数y=log
4
u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2
解法二：u=x－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2 (u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
2
由于y=log
4
u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)－1的单调性与复合函数的单调性一致，所 以(－∞，
1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.
22
u=x－4x+3=(x－2)－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log
1
(2x－x)
3
2
解： 设 y=log
1
u,u=2x－x.由
3
2
u＞0
2
u=2x－x
解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.
2
由于y=log
1
u在 定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x的单调性正好相反.
3
易知u=2x－x=－(x－1)+1在x≤1时单调增.由
0＜x＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
2
又u=－(x－1)+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得1≤x＜2,所以?1，2)是原复合函数的单调增区间.
例3、求y=
7?6x?x
的单调区间.
解： 设y=
u
,u=7－6x－x,由
u≥0,
2
u=7－6x－x
解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.
2
22
2
因为y=u
在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6 x+7的单调
性相同.
22
易知u=-x-6x+7=-(x+3)+16在x≤-3时单调增加。由
-7≤x≤1,（复合函数定义域）
x≤-3,（u增）
解得-7≤x≤-3.所以?-7，3?是复合函数的单调增区间.
22
易知u=－x－6x+7=－(x+3)+16在x≥－3时单调减，由
－7≤x≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.

1
2
()
x?2x?1
例4 求y=
2
的单调区间.
1
()
u
2
解 ： 设y=
2
.由 u∈R, u=x－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.
1
()
u
2
因为y=
2
在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x－2x－1的单调性与复 合函数的单调性相反.
易知,u=x－2x－1=(x－1)－2在x≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.
注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱 们刚刚学习复
18
22

合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.
练习
求下列复合函数的单调区间.
1.y=log(x
2
3－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)
1
2.y =log
2
(x
2
－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2， +∞)是单调减区间.)
55
3.y=
?x
2
?5x?6
,(答：［2，
2
是单调增区间，］［
2
，3］是单调减区间.)
1
4.y=
0.7
x
;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间. 注意，单调区间之间不可以取并集.)
2
5.y=
2
3?x
;(答 (－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)
(
1
)
x?3< br>6.y=
3
,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)
7.y=
3log
2
x
；(答：(0，+∞)为单调减区间.)
log
1
8.y=
?
(4x?x
2
)
；(答：(0，2)为单调减区 间，(2，4)为单调增区间.)
9.y=
4
x
2
?6x
；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.)
2
10.y=
7< br>2x?x
；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)

19