人教版高中数学必修一教案

根据可图中的曲线可知，时间t的变化范围是数
集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S的变化
范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26} 。并且，对于数集A中
的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟
一确定的臭氧层空 洞面积S和它对应。
引例3、（恩格尔系数变化表）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量 的高
低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八
五计划”以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照（1）、（2）描述恩格尔系数和时间（年）的关系。
问题：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点？
不同点：
实例（1）是用解 析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图象刻画变量之间的对
应关系，实例（3）是用表格刻画 变量之间的对应关系；
共同点：
（1）都有两个非空数集；（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。
三、核心内容整合
1、函数的概念
归纳以上三个实例，我们看到，三个实例中变量之间的关系可以描述为： < br>对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有惟一确定的y和它对
应，记作f : A→B。
定义：设A
、
B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于 集合A中的任意
一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A
到集合B的一个函数，记作：
y?f(x),x?A< br>。
2、函数的三要素
（1）定义域A：自变量x的取值范围。

13

（2）对应法则f ——变化规律；
（3）值域
{f(x)|x?A}
：函数值y的集合。
如：（1）一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
，定义域为R，值域为R；
（2）正比例函数
f(x)?kx(k?0)
，定义域为R，值域为R；
（ 3）反比例函数
f(x)?
k
(k?0)
，定义域为
{x|x?0}
，值域为
{y|y?0}
；
x
（4）二次函数
f(x)? ax
2
?bx?c(a?0)
定义域为R，
4ac?b
2
4ac?b
2
}
；a < 0时，值域为
{y|y?}
。 a > 0时，值域为
{y|y?
4a4a
说明：① 定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素，是一个整体；
② 值域由定义域、对应法则惟一确定；
③ 函数符号y = f (x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积”。
练习1：判断正误
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应（ ）
2、函数的定义域和值域一定是无限集合（ ）
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定（ ）
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素（ ）
5、对于不同的x，y的值也不同（ ）
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量（ ）
归纳：如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？
① 定义域和对应法则是否给出？
② 根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个
函数值y和它对应。
练习2：判断下列对应能否表示y是x的函数：
222222
（1）
y?| x|
；（2）
|y|?x
；（3）
y?x
；（4）
y?x< br>（5）
y?x?1
；（6）
y?x?1
。
练习3：下列图象能表示函数图象的是（ ）




y
y
y
y
0
(A)
x
0
(B)
x
0 x
0
14
x
(C) (D)

四、例题分析示例
例1、已知函数
f(x)?
（1）求函数的定义域；
（2）求
f(?3),f()
的值；
（3）当a > 0时，求
f(a),f(a?1)
的值。
注意：① 研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提
② 函数的定义域常常由其 实际背景决定，若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义
的实数x的集合。
结论：（ 1）如果
y?f(x)
是整式，则定义域是实数集R；（2）如果
y?f(x)
是分式，
则定义域是使分母不等于0的实数的集合；（3）如果
y?f(x)
是二次 根式，则定义域是使
根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）如果
y?f(x)
是由几个部分的式子构成，
则定义域是使各部分都有意义的实数的集合（即各集合的交集）；（5）如 果是实际问题，则
定义域是使实际问题有意义的实数的集合。
练习4：P19练习1、2。
四、三维体系构建
1、函数的概念： 2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
3、会求简单函数的定义域和函数值。
五、课后作业： P24，习题1.2，A组，1，3，4。
教学反思：


x?3?
1
，
x?2
2
3
第二课时 函数的定义域与值域
三维目标构建
〖知识与技能〗1、掌握一次函数、二次函数、反比例函 数的定义域、值域，并会求一
些简单函数的定义域和值域。
2、了解区间的意义，并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。
〖过程与方法〗进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用，明确函数定义域

15

在三要素中的地位与作用。
〖情感、态度、价值观〗培养学生分析、解决问题的能力，养成良好的学习习惯。
教学重、难点
〖重点〗熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。
〖难点〗含字母参数与抽象函数的定义域的求解。
教学过程设计
一、复习引入 < br>1、函数的概念：设A
、
B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A
中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为
从集合A到集合B的一个函数，记作：
y?f(x),x?A
。
练习1：已知
f(x)?x
2
?1
，求
f(?1),f (1),f(a?1),f(2x?1)
。
2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域。
二、核心内容整合
1、区间的概念：
设a，b是两个实数，而且a < b，我们规定：
（1）满足不等式a ≤ x ≤ b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
（2）满足不等式a < x < b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；
（3）满足不等式a ≤ x < b或a < x ≤ b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，
b)或(a，b]。
实数集R可以用区间表示为（-∞,+∞），“∞”读作“无穷大”。满足x ≥ a，x > a，x ≤ b，
x < b的实数的集合分别表示为[a，+∞)、(a，+∞)、(-∞，b]、(-∞，b)。
注意：① 区间是一种表示连续性的数集；② 定义域、值域经常用区间表示；③ 用实
心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。

16

练习2、试用区间表示下列实数集：
（1）{x |5 ≤ x < 6}； （2）{x | x ≥ 9} ；
（3）{x | x ≤ -1} ∩{x | -5 ≤ x < 2}； （4）{x | x < -9}∪{x | 9 < x < 20}。
2、典型例题分析：
例2、下列函数中哪个与函数y = x相等？
x
2
（1）
y?(x)
； （2）
y?x
； （3）
y?x
； （4）
y?
。 < br>x
2
3
32
〖知识提炼〗两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相 等。
练习3：P19练习3。
例3、已知
f(x?1)?x?3x?2
。
（1）求
f(2)
和
f(a)
的值；
（2）求
f(x)
和
f(x?1)
的值。
2
分析：比较
f(2)
与
f(x?1)
，知当x = 1时，得
f(2)?1?3?1?2?1
。
22
2
类似地，令x?1?a
，则
x?a?1
，所以
f(a)?(a?1)?3(a?1) ?2?a?5a?6
。
用x替换a，得
f(x)?x?5x?6
。
2
练习4：（1）已知
f(2x?1)?x?x?1
，求
f(x)
；
2
学生求解。
（2）已知
f(x?)?x?
11
2< br>，求
f(x)
。
xx
2
1
2
分析：令t?x?
，所以
x?tx?1?0
，此时要用x表示t，式子非常复杂，考虑原式
x

17

中右边的特点，可知把t平方即可：
t? (x?)?x?2?
2
1
x
22
11
2
?x??t
2
?2
，所以
22
xx
f(t)?t
2
? 2
，得
f(x)?x
2
?2
。
例4、（1）已知
f(x)
的定义域为[1，4]，求
f(x?2)
的定义域。
分析：令
t?x?2
，因为
f(t)
的定义域为[1。4]，所以
1?t?4?1?x?2?4??1?x?2
，所以的定义域为[– 1，2]。
（ 2）已知
f(x?1)
的定义域为[0，3]，求
f(x)
的定义域。 分析：令
t?x?1
，因为
0?x?3
，所以
1?t?2
，所以
f(t)
的定义域为[1，2]，从
而
f(x)
的定义域的 定义域为 [1，2]。

三、归纳小结：
1、区间的概念：能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。
2、判断两个函数相等：两个函数相等当且仅当定义域与对应法则都相等。
3、求函数的解析式：换元法或整体代入（配凑法）。
4、已知
f(x)
的 定义域，求复合函数
f[
?
(x)]
的定义域。
四、布置作业：
课本P24，习题1.2，A组第2、3题。
x
，
1?x
1
（1）求
f(x)?f()
的值；
x
补 充：已知
f(x)?
（2）求
f(1)?f(2)???f(7)?f(1)?f() ???f()
的值。
教学反思







18
1
2
1
7

1.2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法
三维目标构建
〖知识与技能〗理解并掌握函数的三种表示方法，并能进行简单应用。
〖过程与方法〗通过现 实生活中丰富实例的探究过程，感受不同方法在具体问题中的应
用，渗透数形结合思想方法。
〖情感、态度与价值观〗提高利用函数观点分析和解决问题的能力，通过数学活动，体
验数学的应用意识 ，体会数学的价值。
重、难点
〖重点〗函数的三种表示方法。
〖难点〗利用列表、图象认识函数的意义，以及根据条件，利用恰当方法表示函数及相
互转化。
教学过程设计
一、核心内容整合
函数的表示法：
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如实例1（炮弹发射）。
（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，如实例2（南极臭氧空洞）。
（3）列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系，如实例3（恩格尔系数）。
二、例题分析示例
例1、某种笔记本的单价是5元，买x（x ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5}）个笔记本需要y元，试
用函数的三种表示方法表示函数
y?f(x)
。
分析：解析法：
y?5x,x?
{1，2，3，4，5}；
列表法：

图象法：
笔记本数x
钱数y
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25

19

三种表示方法的特点：
解析法的特点：简明、全面 地概括了变量间的关系；可以通过用解析式求出任意一个自
变量所对应的函数值。
列表法的特点：不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
图像法的特点：直观形象地表示出函数的变化情况 ，有利于通过图形研究函数的某些
性质。
三种表示方法举例：
解析法：
y?kx(k?0),h?
1
2
gt
；
2
列表法：国内生产总值（单位：亿元）
年份
生产总值
1990
18598.4
1991
21662.5
1992
26651.9
1993
34560.5
图象法：我国人口出生变化率曲线：
我国人口出生率变化曲线


20

例2、下表是某校高一（1）班的三名同学在高一学年度六次数学测试的 成绩及班级平
均分数，

设测试序号为X，成绩为Y，
（1）每位同学的成绩Y与测试序号X之间的函数关系能用解析法表示吗？


（2）若要对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析，选用那种方法比较
恰当？
例3、北京市昌平区政府预想在2008年九龙游乐园建造一个直径为20m 的圆形喷水池，
如图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心
4m处达到最 高，高度为6m。另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的
水柱在此处汇合。这个装饰 物的高度应当如何设计？
解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示。由物理学知识可知，喷出的 水柱轨迹
是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系，由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水
21

2
?
?
a
1
(x?4 )?6(?1?x?0)
平距离x（m）与此点的高度y（m）之间的函数关系是
y?
?

2
?
?
a
2
(x?4)?6(0?x?10)

由x = – 10，y = 0，得
a
1
??
11
；由x = 10，y = 0，得
a
2
??
，于是，所求函数解析
66?
1
2
?(x?4)?6(?1?x?0)
?
10
10
?
6
式是
y?
?
，当x = 0时，
y?
，所以装饰物的高度为m。
3
3
?
?
1
(x?4)
2
?6(0?x?10)
?
?
6
三、 学习水平反馈
练习：1、周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框
架（如图所示） ，若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y
关于x的函数，并求出定义域。（拓展：求y的最大 值。）

2、在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），
其方程 为
y?ax?c(a?0)
，D =（6，7）为x轴上给定的区间。
（1）为使物体落在D内，求a的取值范围；
（2）若物体运动时，又经过点P（2，8.1），问它能否落在D
内？并说明理由。
3、课本P23练习1，2。
四、三维体系构建
（1）理解函数的三种表示方法；
（2）在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。
五、课后作业：P24，习题1.2，A组，8，9；B组，4。
教学反思

O 6 7 x
2
D
C
A
y
9
A
?
P
2x
B

22

第二课时 分段函数
三维目标定向
〖知识与技能〗1、会利用图象的对称性画出含有绝对值符号的函数的图象。
2、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的应用。
〖过程与方法〗通过丰富实例的探究过程，体会分段函数在具体问题中的应用。
〖情感、态度与价值观〗体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。
教学重难点
分段函数的理解以及分段函数在实际问题中的运用。
教学过程设计
一、含有绝对值符号的函数的图象
例1、画出函数
y?|x|
的图象。
y
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2 3
x
?
x,x?0
解：由绝对值的概念，我们有
y?
?
，
?x,x?0
?
所以函数
y?|x|
的图象为：
练习1、画出函数
y?|x?2|
的图象。

练习2、画出函数
y?|x?3x?2|
的图象。
练习3、画出函数
y?x?3|x|?2
的图象。








2
2
y
2
2
y
O
y
x
2
O
2
x
2
O
2
x
结论：函数
y?|f(x) |
的图象：把函数
y?f(x)
图象中x轴下方的图象对称到x轴上
方；

23

函数
y?f(|x|)
的图象：先画出函数
y?f(x)
在y轴右方的图象，再关于y轴对称到
左边。
二、分段函数
例2、（公交车票价）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。
如果某条线 路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，
并画出函数的图象。
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量的取值范围是
(0,20]
。
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：
?
2,0?x?5
?
3,5?x?10
?
，其图象为： < br>y?
?
4,10?x?15
?
?
?
5,15?x?2 0
分段函数：
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有
不同的对应法则 的函数，对它应有以下两点基本认识：
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函
数；
y
5
4
3
2
1
0
5
112
x
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
例3、某质点30秒 内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图，用解析式法表示出这
个函数，并求出9秒时质点的速度。
分析：函数的解析式为：
30
25
20
15
10
?
5
O



24
?
v(cms)
??
?
10?t,0?t?5
?
3t,5?t?10
?
，
v(t)?
?
?
30,10?t ?20
?
?
?3t?90,20?t?30
当t = 9时，
v(9)?3?9?27cms
。
5 10
15 20 25 30 35 ts

练习4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金 所得不超过800元
的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累 计计算：
全月应纳税所得额
不超过500元的部分
超过500元至2000元的部分
超过2000元至5000元的部分
税率（%）
5
10
15
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

练习5、如图，在边长为1的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B（起
点）向点 A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，求：
（1）y关于x的函数关系式；
（2）画出y = f (x) 的图象。



三、归纳小结
A
P
x
B
D
C
（1）图象与解析式是 函数最重要的两种表示方法，两者相辅相成，互为补充，要能够
顺利地进行两者的互相转化。
（2）分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解析式不同，
但无论分段函数共 有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。
四、布置作业
1、画出下列函数的图象：
（1）
y?|x?2x?3|
； （2）
y?x?2|x|?3
。
2、课本P25，习题1.2，B组，3。
3、练习5。
教学反思：



22

25

第三课时 映射
三维目标定向
〖知识与技能〗1、了解映射的概念。
2、能解决一些简单的函数解析式问题。
〖过程与方法〗1、结合函数的概念理解映射的概念，明白函数是一种特殊的映射。
2、通过丰富实例的探究过程，体会函数解析式在具体问题中的应用。
〖情感、态度与价值观〗体验数学的应用意识以及数形结合的数学思想的运用。
教学重难点
映射概念的理解以及函数在实际问题中的运用。
教学过程设计
一、映射
问题1：函数是两个非空数集间是一种确定的对应关系。若将数集扩展到任意的集合时，
会得到什么结论 ？
阅读课本P22 ~ 23。
映射的定义：设A
、
B是非空的集合，如 果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A
中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y 和它对应，那么就称对应
f:A?B
为从集合A到集合B的一个映射。
问题2：函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？
函数是从非空数集A到非空数 集B的映射。映射是从集合A到集合B的一种对应关系，
这里的集合A、B可以是数集，也可以是其他集 合。函数是一种特殊的映射。
问题3：如何判断一个对应关系是不是映射？（举例说明）
说明：（1）映射有三要素：两个集合，一个对应法则，三者缺一不可；
（2）A中每个元素在B中必有唯一元素和它对应；
（3）A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一，多对一，但不能是一对多。
例1、以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？
（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表
的实数对应；
（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点}，集合B = {(x , y) | x∈R , y∈R}，对应
关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

26

（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对
应它的内切圆；
（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关
系f：每一个班级都对应班里的学生。
思考：对于例1，如果 将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；
（4）中的对应关系f改为：每一个学 生都对应它的班级，那么对应f：B→A是从集合B到
A的映射吗？
巩固练习：课本P24，4。
补充练习：已知（x，y）在f下的对应元素是（x + y，x
2
– y），求：
（1）A中元素（– 3，2）在B中对应元素；
（2）B中元素（2，– 2）在A中与之对应的元素。
二、函数的简单应用
例2 、已知函数
f(x)
对任意的
x,y?R
，总有
f(x?y)?f( x)?f(y)
，且
f(1)?
求
f(3)
的值。


例3、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个多订购的全部零件的出厂单价
就降低 0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P = f (x)的表达式； < br>（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，
利润 又是多少元？

三、作业：例2、例3、例4。
教学反思

2
，
3
1.3 函数的基本性质

27

1.3.1 单调性与最大（小）值
第一课时 函数的单调性
三维目标定向
〖知识与技能〗
（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；
（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。
〖过程与方法〗
借助二次函数体验 单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进
行判断推理，养成细心观察，严谨论 证的良好思维习惯。
〖情感、态度与价值观〗
渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。
教学重难点
〖重点〗函数单调性的概念。
〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。
教学过程设计
一、问题情境设疑
2
引例：画出一次函数
f(x) ?x
和二次函数
f(x)?x
的图象。（几何画板）





问题：以上两个图象有什么特征？——“上升”、“下降”
上升：随着x的增大，相应的f (x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f (x)减小。
二、核心内容整合
1、函数的单调性的概念：
问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？——学生探究。
增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1
, x
2
，当x
1
< x
2
时，

28

都有f (x
1
) < f (x
2
)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。
学生类比得出
减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1
, x
2
，当x
1
< x
2
时，
都有f (x
1
) > f (x
2
)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。
〖知识提炼〗同增异减




注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
（2）必 须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当
x
1< br>?x
2
时，总有
f(x
1
)?f(x
2
)< br>或
f(x
1
)?f(x
2
)
，分别是增函数和减函数 。
2、函数的单调性的定义
如果函数
y?f(x)
在某个区间上是增函数 或是减函数，那么就说函数
y?f(x)
在这一
区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做
y?f(x)
的单调区间。
3、基本初等函数的单调性
（1）一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
：
当a > 0时，在
(??,??)
上是增函数；
当a < 0时，在
(??,??)
上是减函数。
y
y
y
o x
o
y
x
（2）反比例函数
f(x)?
k
(k?0)
：
x
o
x
当k > 0时，在
(??,0)
和
(0,??)
上是减函数；
当k < 0时，在
(??,0)
和
(0,??)
上是增函数。
（3）二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
：
2
o
x
bb
,??)
上是增函数，在
(??,?]
上是减函数；
2a2a
bb
y
,??)
上是减函数，在
(??,?
当a < 0时，在
[?
y
]
上是增函数；
2a2a
当a > 0时，在
[?

29
o x
o x

三、例题分析示例
例1、如图是定义在区间[– 5，5]上的函数< br>y?f(x)
，根据图象说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，它是增函数还是 减函数？




例2、物理学中的玻意耳定律
p?k
（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当
V
其体积V减小时，压强p将 增大。试用函数的单调性证明之。
〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤：
（1）取值：设x
1
, x
2
是给定区间上任意的两个值，且x
1
< x
2
；
（2）作差变形：f (x
1
) – f (x
2
)；（变形手段：通分、因式分解、配方、有理化等。）
（3）定号：确定f (x
1
) – f (x
2
)的符号；
（4）判断：当f (x
1
) < f (x
2
)时，
f(x)
是增函数；当f (x
1
) > f (x
2
)时，
f(x)
是减函数。
〖探究〗画出反比例函数
y?
1
的图象。
x
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。
四、学习水平反馈：P32练习，1，2，3，4。
五、三维体系构建
函数的单调 性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，
求函数的单调区间时必须要注 意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：
取值——作差——定号——判断
六、课后作业：P39，习题1.3，A组1，2，3。
教学反思
第二课时 函数的最大（小）值

30

三维目标定向
〖知识与技能〗
理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。
〖过程与方法〗
借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。
〖情感、态度与价值观〗
渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。
教学重难点
函数最值的意义及求函数的最值。
教学过程设计
一、引例
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
（1）
f(x)??2x?3
； （2）
f(x)??x
2
?2x?1
。
1）说出
y?f(x)
的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
y
y
o x
o
x

二、核心内容整合
1、函数的最大（小）值的概念
设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意 的
x?I
，都有
f(x)?M
；（2）存在
x
0
? I
，使得
f(x
0
)?M
。
那么称M是函数
y?f (x)
的最大值。
学生类比给出函数最小值的概念：
设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
31

（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M；（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
。
那么称M是函数
y?f(x)
的最小值。
注意：
（ 1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在
x
0
?I
，使得f(x
0
)?M
；
（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（ 小）的，即对于任意的
x?I
，都
有
f(x)?M
（
f(x )?M
）。
2、一元二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?)
的最值：
b
2
4ac?b
2
)?
（1）配方：
y?a(x?
；
2a4a
（2）图象：
（3）a > 0时，
y
min
二、例题分析示例
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一 ，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。
如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为< br>h(t)??4.9t?14.7t?18
，那么烟花
冲出后什么时候是它爆裂的最佳时 刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：
（1）f (x)在[a , b]上为增函数，则f (a)为最小值，f (b)为最大值；
（2）f (x)在[a , b]上为减函数，则f (a)为最大值，f (b)为最小值。


例3、已知函数
y?
2
4ac?b
2
4ac?b
2
?
；a < 0时，
y
max
?
。
4a4a
2
(x?[2,6])
，求函数的最大值和最小值。
x?1
分析：证明函数在给定区间上为减函数。


三、学习水平反馈：P36，练习5。

32

补充练习：
1、函数
f(x)?x
2
?4ax?2
在区间 (– ∞，6] 内递减，则a的取值范围是（ ）
（A）a ≥ 3 （B）a ≤ 3 （C）a ≥ – 3 （D）a ≤ – 3
2、在已知函数
f(x)?4x< br>2
?mx?1
在
(??,?2]
上递减，在
(?2,??]< br>上递增，则
f(x)
在
[1，2]上的值域是____________。
四、三维体系构建
1、函数的最大（小）值的含义。
2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2）利用图象求函数的最大（小）值；
（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。
如果函数
y?f(x)
在区间[a，b]上单调递增，则函数
y?f(x)< br>在x = a处有最小值
f(a)
，在x = b处有最大值
f(b)
；
如果函数
y?f(x)
在区间[a，b] 上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数
y?f(x)
在x = b处有最小值
f(b)
；
五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。
教学反思：











33

第三课时 一元二次函数在给定区间的最值
例1、函数
y?x
2
?4x?6,x?[1,4]
的最小值为 ，最大值为 。
练习：函数
y?x
2
?3x?2,x?[?1,1]
的最小值为 ，最大值为 。
一般结论：
f(x)?ax
2
?bx? c(a?0),x?[m,n]

（Ⅰ）配方，求对称轴
x?x
0
；
（Ⅱ）判断
x?x
0
是否属于给定区间[m , n]：
① 若< br>x
0
?[m,n]
，则
y
min
?f(x
0
)
，再求
f(m),f(n)
，较大者为最大值；
② 若
x
0
?[m,n]
，则求
f(m),f(n)
，较大者为最大值，较 小者为最小值。
练习（1）求函数
y?x
2
?2x(x?[2,4])的最大、最小值。
（2）求函数
y?x
2
?2x(x?[?1,1])
的最大、最小值。


例2、求函数
f(x)??
3(x?1)
2
?3
在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。
4
2
练习（1）（2006年福建高考）求函数
f(x )??x?8x
在区间[t , t + 1]上的最大值。
（2）设函数f (x) = 4x
2
– 4ax + (a
2
– 2a + 2)在[0, 2]上的最大值为3，求a的值。
（3）求函数
y?x?2x(x?[t,t?1])
的最大、最小值。

作业：
1、求函数
f(x)??x?8x
在区间[t , t + 1]上的最大值。
2、已知函数
f(x)?x?2ax?2,x?[?5,5]
。
（1）当a = – 1时，求f (x)的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y = f (x)在[– 5 , 5]上是单调函数。




34
2
2
2

1.3.2 函数的奇偶性
三维目标定向
〖知识与技能〗
结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图象理解奇函数、偶函数；能 判断一些
简单函数的奇偶性，并利用奇偶性简化一些函数的图象。
〖过程与方法〗
体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由
特殊到一般的归纳 推理、论证的思维方法。
〖情感、态度与价值观〗
通过绘制和展示优美的函数图象可以陶冶 我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我
们主动交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的 关系，培养我们探究、推理的思
维能力。
教学重难点
〖重点〗奇偶性概念的理解及应用。
〖难点〗奇偶性的判断与应用。
教学过程设计
一、问题情境设疑
引例：1、展示中心对称与轴对称的有关实例。
2、观察下列四个函数的图象

（1） （2） （3） （4）
问题：以上图象有什么特征？如何由函数值体现？
二、核心内容整合
1、偶函数的概念
（1）（2）的图象关于y轴对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
偶函 数：如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个x，都有
f(?x)?f(x)
，那么函数

35

f(x)
就叫做偶函数。
如 ：
f(x)?x
2
?1
，
f(x)?
2、奇函数的概念 < br>（3）（4）的图象关于原点对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一
对相反数 。
奇函数：如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个x，都有
f(?x) ??f(x)
，那么函数
2
。
2
x?11
f(x)
就叫做奇函数。
如：
f(x)?x
3
?x
（图象关于原点对称）
注意：
（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
（2） 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的
任意一个x，则– x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若
f(x)
为奇函数，则
f(?x)??f(x)
有成立；
若
f(x)
为偶函数，则
f(?x)?f(x)
有成立。
（4）如果一个函数
f(x)
是奇函数或偶函数，那么我们就说函数
f(x)
具有奇偶性。
三、例题分析示例
1、函数奇偶性的判断
（1）定义域关于原点对称；
（2）求
f(?x)
，如果
f(?x )??f(x)
，则
f(x)
为奇函数；
如果
f(?x)?f(x)
，则
f(x)
为偶函数；
例1、判断下列函数的奇偶数：
（1）
f(x)?x
； （2）
f(x)?x
；
（3）
f(x)?x?
45
11
； （4）
f(x)?
2
。
x
x
2n
〖知识提炼〗< br>(?x)?x
2n
,(?x)
2n?1
??x
2n?1


36

（3）非奇非偶函数：存在x
0
，使得
f(?x
0
)??f(x
0
)
且
f(?x
0
)?f(x
0
)
。
如
f(x)?2x?1

2、奇偶函数图象的性质
（1）奇函数的图象关于原点对称；
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数。
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数。
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
（1）简化函数图象的画法；（2）判断函数的奇偶性。
例2、已知函数
y?f(x)
是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边 的图
象。
拓展：如果函数
y?f(x)
是奇函
数，图象又如何？

四、学习水平反馈：P36，练习
五、三维体系构建
1、两个定义：对于
f(x)
定义域内的任意一个x，
（1）如果都有
f(?x)??f(x)?f(x)
为奇函数；
（2）如果都有
f(?x)?f(x)?f(x)
为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数
?
它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数
?
它的图象关于y轴对称
六、课后作业：P39，习题13，A组6，B组3
教学反思



0
x
y

37

函数的性质及综合应用（2课时）
三维目标定向
〖知识与技能〗
进一步领会函数单调性和奇偶性的定义，并在此基础上，熟练应用定义判断和证明函数
的单调性 及奇偶性，初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。
〖过程与方法〗
体会单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能
力。
〖情感、态度与价值观〗
体会转化化归及数形结合思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。
教学重难点
函数的单调性、奇偶性的灵活应用。
案例背景
函数的单调性 和奇偶性是函数的重要性质，知识内容可浅可深，问题涉及分类讨论、数
形结合、探索性，仅用两课时只 能作肤浅的介绍，学生掌握的也只是一些皮毛，不能很好地
展示函数丰富的内涵。但函数的问题既千姿百 态，又有章可循，综合单调性与奇偶性的内容，
可以设计出很多具有挑战性的问题，有利于培养学生提出 问题、分析问题和解决问题的能力，
有利于创新思维和实践意识的发展。因此我们设计了《函数的性质及 综合应用》这一教学案
例，预计用两课时，力图通过种类问题的探究，引导学生领略函数内容的精彩，加 深对函数
性质的深刻理解。
教学过程设计
第一课时
一、温故知新
1、函数的单调性（概念、判断方法、应用——求函数的最值）；
2、函数的奇偶性（概念、图象特征、判断方法）。

二、问题探究
1、函数单调性、奇偶性的理解及性质的判定
单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，对概念 的理解要抓住关键词如“任意”“都有”
“给定区间”等，同时要明确两者的区别：单调性是反映函数的 局部性质，而奇偶性则反映

38

的是函数的整体性质。
例1、已知f (x) = ax
3
+ bx – 4，若f (2) = 6，则f (– 2) = 。

例2、奇函数f (x)在
x?[0,??)
时的表达式是f (x) = x (1 – x)，则
x?(??,0]
时，f (x)
的表达式为 。

练习：（1）已知f (x) = ax
5
+ bx
3
+ cx + 2，若f (– 7) = 7，则f (7) = 。
（2）偶函数f (x)在
x?[0,??)
时的表达式是f (x) = x (1 +
3
x
)，则
x?(??,0]
时，f (x)
的表达式为 。

2、奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上单调性相
反，且有
f(?x)?f(x)?f(|x|)
成 立。
例3、如果偶函数
f(x)
在区间 [3，7] 上是增函数，且最小值为5，最大值为10，那么
f(x)
在区间[– 7，– 3] 上的单调性和最值如何？

例4、已知f (x)是偶函数，而且在(0, +∞)上是减函数，判断f (x)在(– ∞, 0)上是增函数
还是减函数，并证明你的结论。

练习：已知y = f (x)是奇函数，它在(0, +∞)上是增函数，且f (x) < 0，问
F(x)?
(– ∞, 0)上是增函数还是减函数？证明你的结论。







39
1
在
f(x)

第二课时
3、函数性质的应用 函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，运用函数的性质可研究区间、最值的求解，
亦可深入研究 函数图象的特征。
利用函数的单调性和奇偶性，可以将“抽象”化为具体，使问题简化，这也是等价转 化
思想方法的重要体现。
例5、若偶函数f (x)在(– ∞, 0)上是增函数，则满足
f(1)?f(a)
的实数a的取值范围
是 。


例6、已知函数f (x)对任意x , y总有f (x + y) = f (x) + f (y)，且当x > 0时，f (x) <
0,
f(1)??
2

3
（1）求证：f (x)是奇函数；
（2）求证：f (x)是R上的减函数；
（3）求f (x)在[-3, 3]上的最大值及最小值。



练习（1）已知奇函数f (x)在(– 1, 1)上单调递减，且f (1 - a) + f (1 – 2a

) < 0，则实数a
的取值范围是 。

（2）设函数f (x)的定义域为R且x≠0，对任意非零实数x
1
, x
2
满足f (x
1
x
2
) = f (x
1
) + f (x
2
)，
（1）求f (1)的值；
（2）判断f (x)的奇偶性。






40

例7 、如果函数
f(x)?x
2
?bx?c
对任意实数t，都有
f(3? t)?f(3?t)
，那么
f(0),f(3),f(4)
的大小关系是 。
结论：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
（2）二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
的对称轴为
x
0
??
b
，即
f(x
0
?x)?f(x
0
?x)
。
2a
〖拓展〗函数y = f (x)的图象关于直线x = t对称的充要条件是：f (t + x) = f (t – x)，即f (x)
= f (2t – x)。


例8、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系
用图二的 抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式
p?f(t)
；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式
Q?g(t)
；
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元10
2
㎏，时间单位：天）


例9、对于函数
f(x)
，若存在
x
0
，使f(x
0
)?x
0
成立，则
x
0
称为
f(x)
的不动点。已
知函数
f(x)?ax?(b?1)x?(b?1),(a?0 )
。
（1）当a = 1，b = – 2时，求函数
f(x)
的不动点；
（2）若对任意实数b，函数
f(x)
恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围。

2
一次、反比例、二次函数的图象与性质

41

一、一元一次函数
：
y?kx?b(k?0)
——直线
1、图象（两点）：
1、某公司今年一月份推出新产品A，其成本价为492元 件，经试销调查，销售量与
销售价的关系如下：
销售价x（元 件）
650
销售量y（件）
350
662
333
720
281
800
200
销售量与销售价可近似看作一次函数（通常取表中 相距较远的两组数据所得一次函数较
为精确）。销售价定为多少时，一月份利润最大？并求最大利润和此 时的销售量。


2、性质：
（1）定义域
x?R
；值域
y?R
。
（2）奇偶性：
f(x)?kx?b
为奇函数
?b?0
。
（3）单调性：当k > 0时，
f(x)
在R上为增函数；当k < 0时，
f(x)
在R上为减函数。
2、一次函数
f(x)
满足3f(x?1)?2f(x)?2x?7
，求
f(x)
的表达式。
< br>3、当
x?[1,3]
时，关于x的不等式
2t?1??3x?1
恒成 立，求实数t的取值范围。


知识提炼：
t?f(x)
恒成立< br>?t?f(x)
的最大值；
t?f(x)
恒成立
?t?f(x)
的最
小值。
4、函数
f(x)?3ax?1?2a
在 [– 1 , 1] 上存在x
0
，使
f(x
0
)?0(x
0
? ?1)
，求实数a
的取值范围。




42

二、反比例函数
：
y?
1、图象：

k
(k?0)
——双曲线
x
2、性质：定义域
{x|x? R且x?0}
；值域
{y|y?R且y?0}
。
奇偶性：奇函数：
f(?x)??f(x)
。
单调性：k > 0时，
f(x)
在
(??,0),(0,??)
为减函数；
k < 0时，
f(x)
在
(??,0),(0,??)
为增函数。
3、题组训练：
1、（2001年北京春季高考）设函数
f(x)?
并证明
f(x)
在其单调区间的单调性。

x?a
(a?b?0)
，求
f(x)
的单调区间，
x?b
x
2
2、（2002全 国高考）已知函数
f(x)?
，那么
2
1?x
111
f( 1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()?
。
234

3、函数
f(x)?
11
(m?0),x,x?R f(x)?f(x)?
，当x + x = 1时，.
12
1212
24
x
?m
1
8
1
4
7
8
（1）求m的值；
（2）求
f(0)?f()?f()???f()?f(1)
的值。
5、（2003上海春季高考）已知函数
f(x)?
x?x
5
1
3
?
1
3
,g(x)?
x?x
5
1
3?
1
3
。
（1）证明：
f(x)
是奇函数，并求
f(x)
的单调区间；
（2 ）分别计算
f(4)?5f(2)g(2)
和
f(9)?5f(3)g(3)
的值，由此概括出涉及函数
f(x)
和
g(x)
的对所有不等于零的实数x都 成立的一个等式，并加以证明。


43

三、一元二次函 数
：
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
——抛物线
1、解析式：y = ax
2
+ bx + c（一般式）= a (x – h)
2
+ k（顶点式）= a (x – x
1
) (x – x
2
)（两
根式）
b4ac?b
2
,)
；
x
1
,x
2
为方程
ax
2
?bx?c?0
的两根。 顶点：
(h,k)?(?
2a4a
1、已知二次函数
f(x)< br>的顶点坐标为（– 1 , 3），且
f(1)?0
，求
f(x)
的解析式。

2、图象：
（1）草图——顶点、对称轴、与x轴的交点等。
2、若函数
f(x)?x
2
?bx
满足
f(0)?f(2)
，则
f(< br>1
2
),f(1),f(3)
的大小关系是（
（A）
f(
1
)?f(1)?f(3)
（B）
f(
1
22
)?f(3)?f(1)

（C）
f(1)?f(
1
)?f(3)
（D）
f(1)?f(3)?f(
1
22
)

3、对于函数
f(x)?(x?1)
2
，下列性质正确的是 。
① 对于任意
x?R
，都有
f(x)?f(2?x)
； ② 在
(??,0)
上函数单调递减；
③ 在
(0,??)
上函数单调递增； ④
f(0)
是函数
f(x)
的最小值。
（2）基本情况（六种）——对△及a进行讨论
3、性质：
（1）定义域：
x?R
。
（2）形状——抛物线：① 开口方向 ② 顶点坐标 ③ 对称轴
?
b
2
（3）值域（最大值、最小值）——配 方：
y?a(x
2a
)
2
?
4ac?b
4a
，
2
当a > 0时，
y?
4ac?b
2
4ac?b
min
4a
； 当a < 0时，
y
max
?
4a
。
4、已知二次函数< br>f(x)?x
2
?2x?4a
的最小值为3，求a的值。



）
44

引申：已知二次函数
f( x)?ax
2
?2x?4a
的最大值为3，求a的值。



拓展：一元二次函数在给定区间的最大（小）值：
5、函数
y?x
2
?4x?6,x?[1,4]
的最小值为 ，最大值为 。
练习：函数
y?x
2
?3x?2,x?[?1,1]
的最小值为 ，最大值为 。
一般结论：
f(x)?ax
2
?bx? c(a?0),x?[m,n]

（Ⅰ）配方，求对称轴
x?x
0
；
（Ⅱ）判断
x?x
0
是否属于给定区间[m , n]：
① 若< br>x
0
?[m,n]
，则
y
min
?f(x
0
)
，再求
f(m),f(n)
，较大者为最大值；
② 若
x
0
?[m,n]
，则求
f(m),f(n)
，较大者为最大值，较 小者为最小值。
6、求函数
f(x)??





练习1（2006年福建高考）求函数
f(x)??x?8x
在区间[t , t + 1]上的最大值。






2
3
(x?1)
2
?3
在区间 [t – 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。
4

45

2、设函数< br>f(x)?4x
2
?4ax?(a
2
?2a?2)
在[0，2 ]上的最大值为3，求a的值。







（4）奇偶性：y = ax
2
+ bx + c为偶函数的充要条件是b = 0。
（5）单调性：a > 0时，
f(x)
在
(??,?
bb< br>]
上为减函数，在
[?,??)
上为增函数；
2a2a
bb
]
上为增函数，在
[?,??)
上为减函数。 a < 0时，
f(x)
在
(??,?
2a2a
7、已知函数
f(x)?x
2
?2(a?1)x?2
在区间
(??,4]
上是减 函数，则实数a的取值范
围是 。




例8、已知函数
f(x)?x?2ax?2,x?[?5,5]
，
（1）当a = – 1时，求
f(x)
的最值；
（2）求实数a的取值范围，使
f(x)
在[– 5 , 5]上是单调函数。







2

46

四、方程
1、一元一次方程：
ax?b?0?x??
b
b
（与x轴的交点：
(?,0)
）
a
a
2、二元一次方程组——解法：代入法、加减法（消参）。
3、一元二次方程：
ax
2
?bx?c?0(a?0)

（1）
??b?4ac
：△> 0时，方程有两个不等实数根；△= 0时，方程有两个相等实
数根；△< 0时，方程没有实数根。
2
b
?x?x??
2
?
?
1
a
（2）根与系数的关系：
?

c
?
x?x?
12
?
a
?
设二次函数满足
f(x?2)?f(2?x)
，且方程
f(x)?0
的两个实 根平方和为10，
f(x)
的图象过点（0，3），求
f(x)
。


（3）一元二次方程根的分布情况：（参见衔接教材P41）
f(x)?ax2
?bx?c?0
，
x
1
,x
2
为方程的两个 根，
x
0
??
① 两个正根：
b
为函数的对称轴。 2a
x
1
?0,x
2
?0?x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2
?0,??0?af(0)?0,??0,x< br>0
?0
。
② 两个负根：
x
1
?0,x
2
?0?x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2< br>?0,??0?af(0)?0,??0,x
0
?0
。
③ 一个正根 ，一个负根：
x
1
?0,x
2
?0?x
1
?x2
?0?af(0)?0

题组训练：
1、若一元二次方程
( m?1)x?2(m?1)x?m?0
有两个正根，求m的取值范围。

2、若一元二次方程
kx?3kx?k?3?0
有两个负根，求k的取值范围。



47
2
2

3、已知关于x 的方程
x?ax?a?3?0
满足下列条件，分别求实数a的取值范围。
（1）方程两根都是正数；
（2）方程两根都是负数；
（3）方程有一个正根、一个负根。




④ 两根都 比k大：
x
1
?k,x
2
?k?af(k)?0,??0,x
0
?k
。
⑤ 两根都比k小：
x
1
?k,x
2
?k?af(k)?0,??0,x
0
?k
。
⑥ 一个根比k大， 一个根比k小：
x
1
?k,x
2
?k?af(k)?0
。
4、m为何值时，关于x的方程
x
2
?2mx?(m?12)?0
两 根均大于2？




5、当m取何值时，关于x的方程
(m?1)x?(3m?2)x?2m?1?0
有一个根大于1，
另一个根小于1？





⑦ 在区间
[k
1
,k
2
]
上仅有一根：
k
1
?x
1
?k
2?f(k
1
)f(k
2
)?0
。
⑧ 在区间
[k
1
,k
2
]
上有两根：
2
2
k
1
?x
1
,x
2
?k
2
??? 0,af(k
1
)?0,af(k
2
)?0,k
1
?x0
?k
2
。

48

6、实数a在什 么范围内，关于x的方程
3x?5x?a?0
的一个根大于 – 2且小于0，
另一个根大于1且小于3？



7、已知关于x的 方程
x
2
?(m?3)x?m?0
至少有一个正数根，求m的取值范围。




8、设关于x的方程
x?x?m?0
的一 个根小于0，另一个根大于2，求实数m的取值
范围。



9、当m取什么实数时，关于x的方程
x?4|x|?5?m
有四个不相等的实数根？



10、已知函数
y?x?b,y?|x?4x?3|
，试借助函数图象及其变换的知识，解答下列
问题：
（1）当b取何值时，两曲线有一个公共点？两曲线有三个公共点？
（2）当b取何值时，两曲线有两个公共点？
（3）当b取何值时，两曲线有四个公共点？



2
2
2
2
第二章 基本初等函数（Ⅰ）

49

2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）
三维目标定向
〖知识与技能〗
（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；
（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算
和化简。
〖过程与方法〗
通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思 想、化归
与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗
通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学过程设计
一、问题情境设疑
问题1、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展 前景分析》判断，
未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在 2001 ~ 2020
年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？

问题2、 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730
年衰减为原来的一半， 这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14
1
含量P与死亡年数t之间 的关系
P?()
5730
，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t
2< br>年后，体内碳14含量P的值。



二、核心内容整合
t

50

（一）根式
（1）平方根：
x
2
?a(a?0)
；立方根：
x?a
。
（2）n次方根：如果
x?a
，那么x叫做a的次方根。
练习1、填空：
（1）25的平方根等于_________； （2）27的立方根等于__________；
（3）– 32的五次方根等于_____________； （4）16的四次方根等于___________；
（5）a
6
的三次方根等于_____________； （6）0的七次方根等于____________。
性质：
（1）当n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为：
n
n
3
a
。
（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，记为
?
n
a
。
（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。
（4）
(
n
a)
n
?a
。
练习2：求下列各式的值：
（1）
5
?32
； （2）
4
81
； （3）
2
10
； （4）
3
3
12
。
探究：
n
a
n
?a
一定成立吗？
n
?
an为奇数
?
a
n
?
?
< br>?
aa?0
?
|a|?
?
?aa?0
n为偶数
?
?
例1、求下列各式的值：
3242
（1）
3
(?8)
； （2）
(?10)
； （3）
4
(3?
?
)
； （4）
(a?b)(a?b)
。
练习3：（1）计算
3
(?8)?
4
(3?2)?
3
(2?3)
；
（2）若
a
2
?2a?1?a?1
，求a的取值范围；
22
（3）已知
(x?a)?(b?x)?b?a
，则b a（填大于、小于或等于）；
343
（4）已知
x?a?b
，求
4
x
2
?2a
3
x?a
6
的值。
32
（二）分数指数幂

51

（1）整数指数幂 ：
a?
?
a
?
?
?
?a?a
n
（ 简化运算，连加为乘，连乘为乘方）
???
n个
运算性质：
a
m< br>?a
n
?a
m?n
,(a
m
)
n
? a
mn
,(ab)
n
?a
n
b
n

（2）正分数指数幂
引入：
5
a
10
?
5
(a
2
)
5
?a
2
?a
，
4
a
12
?
4
(a
3
)
4
?a
3?a
10
5
12
4

小结：当根式的被开方数的指数能 被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，
（分数指数幂形式）
思考：根式的被开 方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式？
如：
3
a
2
,b,
4
c
5
如何表示？
规定：
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n ?1)

（3）负分数指数幂
规定：
a
?
4
3< br>?
m
n
?
?
2
3
1
n
a< br>m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

如：
5,a(a?0)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
由于整数指数幂，分数指数幂 都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂
的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
a?a?a
例题剖析
rsr?s
； （2）
(a)?a
； （3）
(ab)?ab(a?0,b?0,r,s?Q)
。
rsrsrrr
1
?5
16
?
4
例2、求值：
8,25,(),()

281
?
2
3
1
2
3
例3、用分数指 数幂的形式表示下列各式（其中a > 0）
a
3
?a;a
2
?< br>3
a
2
;a?
3
a.

例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）
(2ab)(?6ab)?(?3ab)
；
（2）
(mn< br>1
4
?
3
8
8
2
3
1
2< br>1
2
1
3
1
6
5
6
)
。
例5、计算下列各式：

52

（1）
(
3
25?125)?
4
25
；
（2）
a
2
a?a
3
2
(a?0)
。
（三）无理指数幂
问题：当指数是无理数时，如
5
2
，我们又应当如何理解它呢？











一般地，无理数指数幂
a
（a > 0，
?
是无理数）是一个确定的 实数。有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂。
四、知识反馈：P54，练习，1，2，3。
补充练习：
1、已知
x?3
?
?1?a
，求
a
2
?2ax
?3
?x
?6
的值。
2、计算下列各式：（1）
a?b
a?b
1
2
1
2
1
2
1
2
?
a?b< br>a?b
1
2
1
2
1
2
1
2
；
（2）
(a?2?a)?(a?a)
。
3、已知，求下列各式的值：
（1）
x?x
4、化简
(

3
6
2?22 ?2
1
2
?
1
2
；（2）
x?x
1
2
?
1
2
。
a
9
)
4
?(< br>6
3
a
9
)
4
的结果是（ ）
53

（A）
a
（B）
a
（C）
a
（D）
a

5、
2
?(2k ?1)
16842
?2
?(2k?1)
?2
?2k
等于（ ）
（B）
2
?
1
2
?(2k?1)
（A ）
2
?2k
（C）
?2
?(2k?1)
（D）2
6、
(|x|?1)
x
有意义，则的取值范围是 。
y
3x?y
2
7、若
10?2,10?3
，则
10?
。
8、
a,b?R
，下列各式总能成立的是（ ）
22n22
（A）
(
6
a?
6
b)
6
?a?b
（B）
n
(a?b)?a?b

（C）
4
a
4?
4
b
4
?a?b
（D）
10
(a?b)
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
10
?a?b

9、化简
(1?2)(1?2)(1?2)(1?2)(1?2)
的结果是（ ）
1
11
1
11
?1
?1
（A）
(1? 2
32
)
（B）
(1?2
32
)
（C）
1?2
32
（D）
1(1?2
32
)

22

五、三维体系构建
1、根式与分数指数幂的意义
2、根式与分数指数幂的相互转化
3、有理指数幂的含义及其运算性质：
（1）
a?a?a
rsr?s
； （2）
(a)?a
； （3）
(ab)?ab(a?0,b?0,r,s?Q)
。
rsrsrrr
六、课后作业：P59，习题2.1，A组：1，2，3，4；B组：2。
教学反思：






2.1.2 指数函数及其性质

54

第一课时 指数函数的图象和性质
三维目标定向
〖知识与技能〗
（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；
（2）能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题。
〖过程与方法〗
通过对 现实问题情境的探究，感受数学与现实生活的密切联系，理解从特殊到一般，转
化与化归等数学思想方法 。
〖情感、态度与价值观〗
在本节的学习过程中要注意列表计算中结果的分析，它是掌握指 数函数的图象和性质的
基础，函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象可以帮助我们记忆函数的性 质和变化
规律，因此，本节的学习要注重类比分析法、发现法、转化与化归等数学思想的应用，了解事物之间的普遍联系与相互转化，体验数学知识在生产生活实际中的应用。
教学重难点
：掌握指数函数的图象、性质及应用。
教学过程设计
一、问题情境设疑
材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个??一个这 样的细胞分
裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？
材料2：当生物死后 ，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年
衰减为原来的一半，这个时间称为 “半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量
P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该 怎样表示呢？
t
1
5730
(t?0)
与函数
y?2x
(x?N
*
)
有什么共同特征？ 思考1：函数
P?()2
1
1
5730
x
如果用字母a来代替数
()
和2，那么以上两个函数都可以表示为形如
y?a
的函
2
数，其中自变量x是 指数，底数a是一个大于0且不等于1的变量。
这就是我们要学习的指数函数：
y?a
（a > 0且
a?1
）。
思考2：
y?a
（a > 0且
a?1
），当x取全体实数对
y?a
中的底数为什么要求a > 0
且
a?1
？

55
xx
x

< br>方法：可举几个“特例”，看一看a为何值时，x不能取全体实数；a为何值时，x可取
全体实数 ；不能取全体实数的将不研究。
结论：当a > 0且
a?1
时，
a
有意义；
当a = 1时，
y?1
x
?1
是常量，无研究价值；
当a = 0时，若x > 0，
a?0?0
无研究价值；若
x?0
，
a?0
无意义；
当a < 0时，
a
不一定有意义，如
(?2)
。
为了便于研究，规定： a > 0且
a?1
。
提问：那么什么是指数函数呢？思考后回答。
二、核心内容整合
1、指数函数的定义：
函数
y?a
x
(a?0且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
练习1：下列函数中，那些是指数函数？ 。
（1）
y?4
x
（2）
y?x
4
（3）
y??4
x
（4）
y?(?4)
x
（5）
y?
?
x
（6）
y?4
2x
（7）
x
xxxx
x
1
2
y?x
x
（8）
y?(2a?1)
x
（
a?
1
且
a?1
）
2
2、指数函数的图象和性质：
思考3：我们研究函数的性质，通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质？
答：1、定义域；2、值域；3、单调性；4、对称性等。
思考4：得到函数的图象一般用什么方法？
列表、求对应的x和y的值、描点、作图。
用描点法画出指数函数
y?2,y?()
的图象。




xx
思考：函数
y?2
的图象和函数
y?()
的 图象有什么关系？可否利用
y?2
的图象
x
1
2
x
1
2
x
画出
y?()
的图象？（两个函数的图象关于轴对称）
1
2
x

56

（3）相关结论
0 < a < 1 a > 1
图
象

定义域
值域
性
质

单调性
对称性
定点
R
(0 , +∞)
过定点（0，1），即x = 0时，y = 1
（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。
在R上是减函数 在R上是增函数

y?a
x
和
y?a
?x
关于y轴对称
三、例题分析示例
例1、已知指数函数
f(x)?a
x
(a?0且 a?1)
的图象经过点（3，π），求
f(0),f(1)
，
f(?3)的值。

例2、比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7
2.5
，1.7
3
； （2）0.8
– 0.1
，0.8
– 0.2
； （3）1.7
0.3
，0.9
3.1
。

四、学习水平反馈：课本P58，练习1、2、3。
五、三维体系构建
1、指数函数的定义；
2、指数函数简图的作法以及应注意的地方；
3、指数函数的图象和性质（见上表）
六、课后作业：P59，习题2.1，A组：5、6、7、8。
教学反思：

第二课时 指数函数性质的应用

57

三维目标定向
〖知识与技能〗
在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比 较大小、
求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题，充分体现指数函数的性质应用，并且会借助指数函数模型求解实际问题。
〖过程与方法〗
通过应用指数函数的性质解决实际问题的 过程，体会应用知识分析问题、解决问题的思
维方法，学会转化和化归的数学思想。
〖情感、态度与价值观〗
增强学生的应用意识，树立学好数学的信心，最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
教学重难点：
指数函数性质的应用。
教学过程设计
一、温故而知新
指数函数的概念、图象与性质（强调单调性）
二、核心内容整合
1、图象的平移与对称变换
一般地，对形如
y?a
得到。
将指数函数的图象通过翻折、对称，再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。
例1、若函 数
f(x)?a
x?1
x?m
?n
形式的函数，其图象可由
y?a
x
的图象经过左右上下平移
?3
恒过定点P，试求点P的坐标。 解：将指数函数
y?a(a?0且a?1)
的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴上移3个
单位即可得到
f(x)?a
x?1
x
，故相应的
?3
的图象，因为
y?a
x
的图象恒过（0，1）
。
f(x)?a< br>x?1
?3
恒过定点（1，4）
练习1、说明下列函数的图象与指数函数
y?2
的图象的关系，并画出他们的图象：
（1）
y?2
x?1
x
； （2）
y?2
|x?1|
x?2
?1
。
练习2：画出函数
y?2
的图象。
2、复合函数单调性的应用

58

指数函数的单调性应用十分广泛，可以用来比较数或式的大小，求函数的 定义域、值域、
最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。
对复合函数
y?f[g (x)]
，若
u?g(x)
在区间（a，b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数
y?f(u)
在（c，d）上是增函数，那么复合函数在（a，b）上为增函数。可 推广为
下表（简记为同增异减）：
u?g(x)

增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
y?f(u)

y?f[g(x)]

例 2、求不等式
a
2x?7
?a
4x?1
(a?0且a?1)
中x的取值范围。
解：当a > 1时，函数
y?a
x
在R上是增函数，所以
a
2x?7
? a
4x?1
?2x?7?4x?1?x??3
；
当0 < a < 1时，函数
y?a
x
在R上是减函数，所以
a
2x?7
? a
4x?1
?2x?7?4x?1?x??3
。
例3、求函数
f( x)?()
1
2
x
2
?6x?17
的定义域、值域、单调区 间。
解：（1）函数
f(x)
的定义域为
(??,??)
，
2
（2）令
t?x?6x?17
，则
f(t)?()
， < br>1
2
t
22
因为
t?x?6x?17?(x?3)?8
在
(??,3]
上是减函数，而
f(t)?()
在其定义域内
1< br>2
t
是减函数，所以函数
f(x)
在
(??,3]
上 为增函数。
22
又因为
t?x?6x?17?(x?3)?8
在
[ 3,??)
上是减函数，而
f(t)?()
在其定义域
1
2
t
内是减函数，所以函数
f(x)
在
[3,??)
上为增函数。 < br>22
（3）因为
t?x?6x?17?(x?3)?8?8
，而
f(t )?()
在其定义域内是减函数，
1
2
t
所以
f(x)?( )
1
2
x
2
?6x?17
111
?()
8
?]
。 ，所以函数
f(x)
的值域为
y?(??,
212 8128
x
2
?2x
练习：讨论函数
y?5

的单调性。
59

3、奇偶性分析及应用
无论0 < a < 1或a > 1，
y?a
x
均不为奇函数或偶函数，但 由其参与而构成的较为复杂
的函数式的奇偶性，是经常出现的题型之一，其判断方法仍是判断
f (x)
与
f(?x)
之间的关
系。
例4、已知
f(x)?(
11
?)?x
，
x
2?1
2
（1）求函数
f(x)
的定义域；
（2）判断
f(x)
的奇偶性。
（3）求证：
f(x)?0
。
解：（1）由
2?1?0
， 得
x?0
，所以函数的定义域为
{x|x?0,x?R}
；
x11x(2?2
x
?1)x(2
x
?1)
（2）
f(x )?(
x
，
?)?x??
2?122(2
x
?1)2(2
x
?1)
?x(2
?x
?1)?x(1?2
x
)x (2
x
?1)
则
f(?x)????f(x)
，所以
f(x )
为偶函数。
?xxx
2(2?1)2(1?2)2(2?1)
（3）当x > 0时，由指数函数的性质知
2?1
，所以
x
11
??0
，所以当x > 0时，
2
x
?12
f(x)?(
11
?) ?x?0
。由于
f(x)
为偶函数，所以当x < 0时，
f(x)
> 0。
2
x
?12
总之，
x? R
且
x?0
时，函数
f(x)?0
。
练习：已知
f(x)?k?a?a(a?0且a?1)
为奇函数，则k = 。


4、实际应用
指数函数应用广泛，如银行复利、人口增长、细菌繁 衍、分期付款、土地流失等，这些
问题有些模型是指数函数
y?a
，有些则是指数型函 数
y?ka
或
y?ka?b
，要具体问
题具体分析。
例5 、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，
那么经过20年 后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

60
xxx
x?x