教师资格证高中数学面试真题-高中数学教师专业业务笔记
高中数学必修一重点、难点问题汇总
问题一:集合的基本概念和运算
例1
设U为全集,集合A={0,2,3,4}, B={-1,0,2}写出A∩B 和A∪B 的所有子集
.
问题二:集合语言的运用和转化
设集合A={x∈R|ax2+2x+1=0},
集合B={x|x<0},若A∩B不等于?, 求实数a的取值范围.
问题三:求函数的定义域
题型一：具体函数的定义域
几类函数的定义域:（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R
（2）如果f(x)是分
式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合
（3）如果f(x)是二次根式，那么函
数的定义域是使根号内的 式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的
数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集
合.（即求各集合的交
集）
自然定义域 使函数解析式有意义的自变量的一切值
例4 求下列函数的定义域:
限定定义域
受某种条件制约或有附加条件的定义域
例5．已知 的值域为（３，２７］．求它的定义域
8?2
x
(1)f(x)?;
log
2
(3x?1)
(2)
f(x)?
1
log
1
(1?)?1.
x
2
小结：
求限定定义域， 一般应根据制约条件或附加条件
列不等式组或混合组。实际问题要
考查自变量的实际意义．注意：函数定义域一定要表示为集合
题型二：复合函数的定义域
解此类题目的理论依据应重定义:1.对应法则
后的（）内地位一样，范围相同2。定义域指
的是自变量的范围
例6(1)已知函数的定义域为求的定义域
(2)已知函数
y=f(x)的定义域是求函数y=f(x+1)+f(x-1)的定义域.
题型三：函数定义域的逆向应用问题
例7、（1）若函数
y?
ax?1
?
2
ax
?
3
ax
2
的定义域为R，求实数a的取值范围；
2
f(x)?mx?mx?1
7(2)若函数
的定义域为R,求实数m的取值范围.。
问题四:函数的值域问题
方法名称
直接法
配方法
主要适用函数
简单函数
与二次函数有关的函数
注意事项
一般与非负数有关
取等号条件
可直接用结论
新元的取值范围
分离常数法（反函数） 分子分母都是一次式的分式函数
换元法
判别式法
部分根式函数
分子或分母中有二次三项式的分式函数
判断——讨论——检验
问题五:二次函数的最值问题
含参变量的二次函数最值问题： 1、动函数定区间的二次函数的值域2、定函数动区间的二
次
函数的值域3、动函数动区间的二次函数的值域
原理：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0=
是否属于 [ m，n]；2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(
x0）中的较大者是最大值,
较小者是最小值（3）当x0
不属于[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最
小值.
1、动函数定区间的二次函数的值域
求函数y=x2+2ax+3在x
∈[-2,2]时的最值？解析：因为函数y=x2+2ax+3
=（x+a)2+3-a2的
对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a是否在区间[-2，2]之内
2、定函数动区间的二次函数的值域
例11
求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]的函数的最值?
3、动函数动区间的二次函数的值域
例12、 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值
2
xx
?
例13.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程
?
2
3
?
k
解的情况：
问题七:指数、对数运算
问题八:函数的最值问题
1
x?(0,
设函数f(x)=x2+ax+1,若对一切
2
]
都有f(x)≥0成立,求a的最小值。
切