高一数学必修一、必修二知识点整合

指数函数及其性质

指数函数的定义：一般地，函数
y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做指数
函数，其中
x
是自变量，函数的定义域为R。

从图上看
y?a
x
（
a
＞1）与
y?a
x
（0＜
a
＜1）两函数图象的特征。 < br>8
6
4
2
-5510
-2
-4
-6
-8

指数函数
y?a
x
（
a
＞0且
a< br>≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样
的关系.

图象特征

函数性质

a
＞1

0＜
a
＜1

a
＞1

0＜
a
＜1

向
x
轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图象关于原点和
y
轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在
x
轴上方

函数的值域为R
+

函数图象都过定点（0，1）

a
0
=1

自左向右，

图象逐渐上升

自左向右，

增函数

图象逐渐下降

减函数

在第一象限内在第一象限内
的图

的图

x
＞0，
a
x
＞1

x
＞0，
a
x
＜1

象纵坐标都大象纵坐标都小
于1

于1

在第二象限内在第二象限内
的图

的图

x
＜0，
a
x
＜1

x
＜0，
a
x
＞1

象纵坐标都小象纵坐标都大
于1

于1

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在
[a,b]上,f(x )=a
x
（
a
＞0且
a
≠1）值域是
[f(a), f(b)]或[f(b),f(a)];

（2）若
x?0,则f(x )?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;


（3）对于指数函数
f(x)?a
x
（
a
＞0且
a
≠1），总有
f( 1)?a;

（4）当
a
＞1时，若
x
1
＜
x
2
，则
f(x
1
)
＜
f(x
2
)
。


对数

对数的定义：一般地，若
ax
?N(a?0,且a?1)
，那么数
x
叫做以a为
底
N
的对数，记作
x?log
a
N
，
a
叫做对数的底 数，
N
叫做真数。

在对数的概念中，要注意：

（1）底数的限制
a
＞0，且
a
≠1 （2）
a
x
?N?log
a
N?x

指数式
?
对数式 幂底数←
a
→对数底数

指 数←
x
→对数 幂 ←N→真数

说明：对数式
log
a
N
可看作一 记号，表示底为
a
（
a
＞0，且
a
≠1），
幂为< br>N
的指数工表示方程
a
x
?N
（
a
＞0，且
a
≠1）的解。也可以看作
一种运算，即已知底为
a
（
a< br>＞0，且
a
≠1）幂为
N
，求幂指数的运算.
因此，对数式
log
a
N
又可看幂运算的逆运算。

两类对数：

① 以10为底的对数称为常用对数，
log
10< br>N
常记为
lgN
.

log
e
N
常记为
lnN
.② 以无理数 e=…为底的对数称为自然对数，
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即
lg100?2
.


对数及其性质

1的对数是零，负数和零没有对数

对数的性质
log
a
a?1

a
＞0且
a
≠1


a
log
a
N
?N

如果
a
＞0且
a
≠1，M＞0，N＞0，那么：

（1）
log
a
MN?log
a
M?log
a
N< br>
（2）
log
a
M
?log
a
M?log
a
N

N
（3）
log
a
M
n< br>?nlog
a
M(n?R)

换底公式：

a
＞0，且
a
≠1，
c
＞0，且
e
≠1，
b
＞0

log
a
b?
log
c
b
log
c
a
一般地，我们把函数
y?log
a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做对数函数，其中
x

是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

对数函数的性质：

图象的特征

函数的性质

（1）图象都在
y
轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）函数图象都经过（1，0）
（2）1的对数是0

点

x
（3）当
a
＞1时，
y?log
a
是增函数，
（3）从左往右看，当
a
＞1时，
图象逐渐上升，当0＜
a
＜1时，
图象逐渐下降 .

当

0＜
a
＜1时，
y?log
a
x
是减函
数.

（4）当
a
＞1时，函数图象在（1，
（4）当
a
＞1时

0）点右边的纵坐标都大于0，
在（1，0）点左边的纵坐标都小

x
＞1，则
log
a
x
＞0

于0. 当0＜
a
＜1时，图象正好
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0

相反，在 （1，0）点右边的纵坐
标都小于0，在（1，0）点左边
当0＜
a
＜1时< br>

的纵坐标都大于0 .


x
＞1，则
log
a
x
＜0

0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0




a
＞1

0＜
a
＜1




图

象




（1）定义域（0，+∞）；

（2）值域R；

性

（3）过点（1，0），即当
x
=1，
y
=0；

质

（4）在（0，+∞）上是增函
在（0，+∞）是上减函数

数

反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 因变量作
为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变
量，我们称这两个 函数为反函数.

同底的指数函数和对数函数互为反函数。

幂函数

一般地，形如
y?x
?
（
x?
R）的函数称为幂函数，其中
x
是自变量，
?
是常数.

如
y?x,y?x,y ?x
等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函
2
1
3
?
1
4
数一样，都是基本初等函数.


y?x

y?x

2
y?x

3
y?x

1
2
y?x
?1

定义
R

域

R

R

?
x|x?0
?

?
x|x?0
?

奇偶
奇

性

奇

奇

非奇非
奇

偶

在第在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第ⅠⅠ象象限单象限单象限单象限单象限单

限单调递增

调递增

调递增

调递增

调增
减性

调递减

定点

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，
1）（原因：
1
x
?1
）。

（2）
x
＞0时，幂函数的图象都通 过原点，并且在[0，+∞]上，
是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）。

特别地，当
x
＞1，
x
＞1时，
x
∈（0，1），
y?x
2
的图象都在
y?x
图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大。

当α＜1时，
x
∈（0，1），
y?x
2
的图象都在
y?x
的图象上方，
形状向上凸，α越小，上凸的程度越大。

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数。

在第一象限内，当
x
向原点靠近时，图象在
y
轴的右方无限逼近
y< br>轴正半轴，当
x
慢慢地变大时，图象在
x
轴上方并无限逼近
x
轴的正
半轴。

第三章
函数的应用

方程的根与函数的零点

函数零点的概念：

对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数< br>x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点．

函数零点的意义：

函数
y?f(x)
的零点就是方程
f( x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的
图象与
x
轴交点 的横坐标．

即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)< br>有零点．

函数零点的求法：

求函数
y?f(x)
的零点：

①（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根。

②（几何法）对于不 能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零 点。

二次函数的零点：

二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．

（1） △＞０，方 程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图
象与
x
轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2） △＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根（二重根），二
次函数的图象与
x
轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零
点．

（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴
无交 点，二次函数无零点．


用二分法求函数的近似解

二分法，又称 分半法，是一种方程式根的近似值求法。对于区间
[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)<0的 函数y=f(x)，通过不断地把函
数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 零
点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

注意事项：

定区间，找中点，中值计算两边看。

同号去，异号算，零点落在异号间。

周而复始怎么办精确度上来判断。

几类不同增长的函数模型

在区间（0，+∞）上，尽管函数
y?a
x
（
a
＞1），< br>y?log
a
x
（
a
＞1）
和
y?x
n
（
n
＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同
一个“档次 ”上。随着x的增大，
y?a
x
（
a
＞1）的增长速度越来越
快，会超过并远远大于
y?x
n
（
n
＞0）的增长速度，而
y?log
a
x
（
a
＞
1）得增长速度则会越来越慢。因 此，总会存在一个x
0
，当x>x
0
时，
就有
log
a
x
<
x
n
<
a
x
。

函数模型的应用实例

数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某
些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程
称为建模，是解应用题的关 键。数学模型可采用各种形式，如方程
（组），函数解析式，图形与网络等。

利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；

（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关
系；

（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；

（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；

（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.

必修二

第一章 直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别
地，当直线与
x
轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，
倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直 线
的斜率。直线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当
?
?
?
0
?
,90
?
?
时，
k?0
； 当
?
?
?< br>90
?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。

②过两点 的直线的斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)


x
2
?x
1
注意 下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不 存
在，倾斜角为90°；

(2)
k
与
P
1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线
上两点的坐 标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k
，且过点
?
x
1
,y< br>1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方 程不能
用点斜式表示．但因
l
上每一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。

② 斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截 距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线 两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
x
?
y
? 1

ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a, 0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的
截距分别为
a,b
。

⑤一 般式：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为0）

注意：
○
1各式的适用范围
○
2特殊的方程如：

平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数）； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直
线系：
A
0
x?B
0
y?C?0
（
C
为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为
k
的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?x
0
,y
0
?
；

（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的
直线系方程为

（
?
为参数），其中直线
l
2
不在直线系中。
< br>?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
??
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（6）两直线平行与垂直

当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b2
时，

l
1
l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l< br>2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A2
x?B
2
y?C
2
?0
相交

A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。

?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平 面直角坐标系中的两个
Bx
2
,y
2
）
点，
则
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2


（9）点到直线距离公式：一 点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l< br>1
:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By< br>0
?C

A
2
?B
2
（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第二章 圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定
点为圆 心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；

（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

DE
?
，半径为当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?,?
?
?
22
?
r?
1
D
2
?E
2
?4F
< br>2
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点 ； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不
表示任 何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法 ：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来
确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两
种方法判断：
< br>（1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?< br>Aa?Bb?C
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切；
A
2
?B
2
d?r?l与C相交

（2）设 直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，先将方程联立
消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有

? ?0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交
< br>注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
?r
2
去解直线与圆
相切的问题，其中
?
x
0
,y0
?
表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆
x
2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程 为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课本命题)．

②圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
， 则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y -b)= r
2
(课本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系：通过两圆 半径的和（差），与圆心距（
d
）之
间的大小比较来确定。

设圆< br>C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2< br>:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（ 差），与圆心距（
d
）之间的大
小比较来确定。

当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；

当
d?R ?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线

一条；

当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公
切线 ；

当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。



第三章 立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征













（ 1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每
相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成
的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五
棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
或用对角线的端点
字母，如五棱柱
AD
'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平
行四 边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面
全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点 的三角形，
由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五
棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面 与底面相似，
其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和
底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五
棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧
棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所 在的直线为轴旋转,其余三边旋转
所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半
径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所
成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图
是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和
底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③
侧面展开图是一个弓形。< br>
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一
周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半
径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视
图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度
和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度
和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度
和宽度。


3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原
来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（ c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l
为母线）

S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch
'

S
圆锥侧面积
?
?
rl
2
S
正棱台侧面积
?
1
(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

2
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2< br>

'
S
圆柱表
??

（3）柱体、 锥体、台体的体积公式

V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'22
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

V
圆台
?(S?SS?S)h?
?
(r?rR?R)h

33
3


（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R
； S
球面
=
4
?
R
2

3
3
4、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常
写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点
A
在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在 平面
?
内，
记作
A?
?

点与直线的关系：点A
的直线
l
上，记作：
A
∈
l
； 点
A
在直线
l
外，记作
A
?
l
；

直线与平面的关系：直线
l
在平面α内，记作
l
?
α；直线
l
不在
平面α内，记作
l
?
α。

（2） 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是
所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A ?
?
,B?
?
?l?
?

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和 直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；
两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明
平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那 么它们有且只
有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：
P?A
公理3的作用：
B?AB?l,P?l


①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线
必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过
该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线
a
、
b
是异面直线，经过空间任意一点< br>O
，
分别引直线
a
’∥
a
，
b
’∥
b
，则把直线
a
’和
b
’所成的锐角（或直
角）叫 做异面直线
a
和
b
所成的角。两条异面直线所成角的范围是
（0°， 90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异
面直线互相垂直。

说 明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理
< /p>

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的
位置无关。< br>
②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条 ，或两条同时平移到
某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角
即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一 个角的两边和另一个角的两边分别平行，那
么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．




三种位置关系的符号表示：a
?
α a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩
β＝
b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线 面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则
该直线与此平面平行。

线线平行
?
线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个 平面平行，经过这条直线
的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行
?
线线平
行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个
平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一 个平面平
行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成 的角是直角，就说这
两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面 内的任何一条直线垂直，就说
这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两 个平面相交，所成的二面角（从一条直线
出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就
说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直，那么
这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平
面互相垂直。
< br>性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的
交线的直线垂直于另一个平面 。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为
0
?
。

②两条相交直线所 成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这
两条直线所成的角。

③两条异面直 线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直
线
a
，
b
平行 的直线
a
?
,b
?
，形成两条相交直线，这两条相交直线所
成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
?
。 ②平面的垂线与平面
所成的角：规定为
90
?
。

③平面的 斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的 角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，
三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点
到面的垂线，
< br>在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂
线；（2）过斜线上的一点 或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直
性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二
面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

② 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分
．．
别作垂直于棱的两条射线 ，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

．．．

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两 相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；
反过来，如果两个平面垂直，那么所成 的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的
射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两
个面的交线所成的角为二面 角的平面角

7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，
OBCD? D
,
A
,
B
,
C
,
是单位正方体.以A为 原点，

分别以OD,O
A
,
,OB的方向为正方向，建立三条数轴
x轴.y轴.z轴
。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两
个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指 和中指相互垂直时，可能形
成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指
指 向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐 标可以用有序实数组
(x,y,z)
来
表示，有序实数组
(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，
记作
M(x,y,z)
（x叫做点M的 横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做
点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：
d?

(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?( z
2
?z
1
)
2