高中数学必修一习题答案

1.3.1.1 单调性
?
x
2
－4x＋6，x≥0，< br>?
9．(09·天津文)设函数f(x)＝
?
则不等式f(x)＞f(1)的解 集是( )
?
x＋6，x＜0，
?

A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
[答案] A [解析] ∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1) 得x
2
－4x＋6>3，
∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x＜0时，由f(x)＞f(1)得x＋ 6＞3∴x＞－3，
∴x∈(－3,0)．综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 10．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x
1
∈(a，b )，x
2
∈(c，d)，x
1
2
，则
f(x< br>1
)与f(x
2
)的大小关系是( )
A．f(x
1
)2
) B．f(x
1
)>f(x
2
) C．f(x
1
)＝f(x
2
) D．不能确定
[答案] D [解析] 函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．
如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．
16．讨论函数y＝1－x
2
在[－1,1]上的单调性．
2
[解析] 设x
1
、x
2
∈[－1,1]且x
1
2
，即－1≤x
1
2
≤1，则f(x1
)－f(x
2
)＝1－x
2
1
－1－x
2< br>
(x
2
－x
1
)(x
2
＋x
1< br>)
＝ 当1>x
1
≥0,1≥x
2
>0，x
1< br>2
时，f(x
1
)>f(x
2
)，∴f(x)在 [0,1]上为减函数，
2
1－x
2
1
＋1－x
2
当－1≤x
1
<0，－12
≤0，x
1
2
时，f(x
1
)2
)，∴f(x)在[－1,0]上为增 函数．
a
2
17．求证：函数f(x)＝x＋(a＞0)，在区间(0，a]上是减函数．
x
a
2
(x
1
－x
2
)(x
2< br>－x
1
)(x
1
x
2
－a
2
)a
2
a
2
[解析] 设0＜x
1
＜x
2
≤a，f(x
2
)－f(x
1
)＝(x
2
＋)－(x1
＋)＝(x
2
－x
1
)＋＝.
x
2
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
(x
2
－x
1
)(x
1
x
2
－a
2
)
a
2
2
∵0＜x
1
＜x
2
≤a，∴0＜x
1
x
2
＜a，∴＜0，∴f(x
2
)＜f( x
1
)，∴f(x)＝x＋(a>0)在(0，a]上是减函数．
x
1
x
2
x
1.3.1.2 最值

2．函数y＝x|x|的图象大致是( )
2
?
?
x x≥0
[答案] A [解析] y＝
?
2
，故选A.
?
－x x<0
?
4．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有( )
A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)
[答案] A [解析] ∵a＋b＞0 ∴a＞－b且b＞－a，又y＝f(x)是增函数 ∴f(a)＞f(－b) 且f(b)＞f(－a)故选A.
8．函数y＝|x－3|－|x＋1|有( )
A．最大值4，最小值0 B．最大值0，最小值－4 C．最大值4，最小值－4 D．最大值、最小值都不存在

－4 (x≥3)
?
?
[答案] C [解析] y＝|x－3|－|x＋1| ＝
?
2－2x (－1＜x＜3)
?
?
4 (x≤－1)

，因此y∈[－4,4]，故选C.
m
10．(08·重庆理)已知函数y＝1－x ＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则的值为( )
M
1123
A. B. C. D.
4222
[答案] C [解析] ∵y≥0，∴y＝1－x＋x＋3 ＝4＋2(x＋3)(1－x) (－3≤x≤1)，
m2∴当x＝－3或1时，y
min
＝2，当x＝－1时，y
max
＝22， 即m＝2，M＝22，∴＝.
M2
12．已知函数f(x)在R上单调递增，经过A(0，－ 1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f(x＋1)|<1成立的x的集合为________．
[答案] {x|－1∴013．如果函数f(x)＝－x
2
＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则| m－n|的最小值为________．
[答案] 2 [解析] ∵f(x)＝－x
2
＋2x＝－(x－1)
2
＋1，当m≤x≤n时，－3≤y≤1，∴1∈[m，n] ，
又令－x
2
＋2x＝－3得，x＝－1或x＝3，∴－1∈[m，n]或3∈[m ，n]， 要使|m－n|最小，应取[m，n]为[－1,1]或[1,3]，
此时|m－n|＝2.
14．求函数f(x)＝－x
2
＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在[－1,2]上 的最大、小值．
[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然 后作出其图象，由图象便可以直
观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．

2
?
?
－x＋x(x≥0)
①∵f(x)＝－x＋|x|＝
?
2
即f(x)＝
?
?
－x－x(x＜0)
2

?
?
11
－(x＋)＋ (x＜0)
?
24
2
11
－(x－)
2
＋ (x≥0)
24


作出其在[－1,2]上的图象如右图所示
1 111
由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－)和[0，]，递减区间为[－，0]和[，＋∞ )．
2222
111
②由图象知：当x＝－或时，f(x)
max
＝，当x＝2时，f(x)
min
＝－2.
224
1.3.2.1 奇偶性

1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与y轴一定相交 ④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
?
x－1 x≥1
?
1
[答案] D [解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝
?
为偶函数，其图 象与y轴
x
?
－x－1 x≤－1
?

不相交，故③错．
4．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)A．f(－1)f(1) C．f(2)>f(3) D．f(－3)[答案] A [解析] ∵f(3)1
?
8．(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x－1)?
?
3
?
的x取值范围是( )
12
??
1
，
2
?
C.
?
1
，
2
?
`
?
1
，
2
?

，
A.
?
B.D.
?
33
??
33
??
2 3
??
23
?
1112412
[答案] A [解析] 由题意得|2x－1|3333333
9．若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝( )
A．1 B．－1 C．0 D．不存在 [答案] B
[解析] 解法1：f(x)＝x
2
＋(a＋1)x＋a为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，∴ f(－1)＝f(1)，
即0＝2(1＋a)，∴a＝－1.
12．偶函数y＝f(x)的 图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．[答案] 0
[解析] 由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a
2
)<0，求实数a的取值范围．
[解析] 由f(1－a)＋f(1－a
2
)<0及 f(x)为奇函数得，f(1－a)2
－1)，∵f(x)在(－1,1)上单调减，
－1<1－a<1
?
?
∴
?
－1<1－a
2
<1
解得0?
?1－a>a
2
－1
17．f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过 点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线
的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．
[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)
2
＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)
2
＋2＝－6，
∴a＝－2.即f(x)＝－2(x－1)
2
＋2.
当x<0时，－x>0 ，f(－x)＝－2(－x－1)
2
＋2＝－2(x＋1)
2
＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2(x＋1)
2
－2，
2
?
?
－2(x－1)＋2 (x≥0)
即f(x)＝
?
，其图象如图所示．
?
2(x＋1)
2
－2 (x<0)
?


1.3.2.2 函数性质应用

1．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则( ) A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10) [答案] D
[解析] ∵y＝f(x＋8)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，
又f(x)在(8，＋∞ )上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(10)＝f(6)f(x)－f(－x)
2．(胶州三中2009～2010)设奇函数f(x)在(0，＋ ∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
x

A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[答
案] D
f(x)－f(－x)
2f(x)
[解析] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
xx
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
4．偶函数f(x)＝ax
2
－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系( )
A．f(a－2)f(b＋1)D ．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定
[答案] A [解析] 由于f(x)为 偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax
2
－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，
因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)9．(2010·安徽理，6)设abc>0，二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c的 图象可能是( )[答
案] D
b
[解析] 若a<0，则只能是 A或B选项， A中－<0，∴b<0，从而c>0与A
2a
b
图不符；B中－>0，∴b>0，∴c <0与B图也不符；若a>0，则抛物线开口
2a
b
向上，只能是C或D选项，则当b >0时，有c>0与C、D不符．当b<0时，有c<0，此时－>0，且f(0)＝c<0，故
2a< br>选D.
ax＋11
，＋∞
?
12．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案] ?
?
2
?
x＋2
1－2a1－2a
1
[解析] 解法1：f(x)＝a＋可视作反比例函数y＝经平移得到的．由条件知1－2a<0，∴a>.
x2
x＋2
解法2：∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x
1
， x
2
∈(－2，＋∞)且x
1
2
，
ax1
＋1ax
2
＋1(x
1
－x
2
)(2a－1 )
有f(x
1
)2
)恒成立，而f(x
1
)－f(x
2
)＝－＝∵－21
2
，
x
1
＋2x
2
＋2(x
1
＋2)(x
2
＋2 )
1
1
?
∴x
1
－x
2
<0，x
1
＋2>0，x
2
＋2>0，若要f(x
1
)－f(x
2< br>)<0，则必须且只需2a－1>0，故a>.∴a的取值范围是
?
?
2
，＋∞
?
.
2
14．已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且 在(0,1)上为增函数，若f(a－2)－f(4－a
2
)<0，求实数a的取值范围．
[解析] 由f(a－2)－f(4－a
2
)<0得 f(a－2)2
)又f(x)在(－1,1)上为偶函数，且在(0,1)上递增，
－1?
?
∴
?
－1<4－a
2
<1
，解得3< a<5，且a≠2.
?
?
0<|a－2|<|4－a
2
|
2x
16.已知函数f(x)＝
2

x＋1
(1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性；(3)判断单调性；(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．
[解析] (1)函数的定义域为R.
－2x
(2)∵f(－x)＝＝－f(x)∴f(x)是奇函数， 其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．
1＋x
2
2 x
1
2x
2
2(x
1
－x
2
)(1－x< br>1
x
2
)
(3)单调性：设x
1
、x
2∈(0，＋∞)且x
1
2
，则f(x
1
)－f(x
2
)＝－
2
＝
(1＋x
2
)(1＋x
2< br>)

1＋x
2
1
1＋x
212
当01
2
≤1时，可知f(x
1
)－f(x
2
)<0，∴f(x)在(0,1]上是增函数．当11
2
时，f(x
1
)－f(x
2
)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数， 由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．其图象如图所示．可见值域为 [－1,1]．

1.3.2.3 习题

1
5．(哈三中2 009～2010)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x－2，那么不等式f( x)<的解集是( )
2
533535
A．{x|0≤x<} B．{x|－} D．{x|x<－或0≤x<} [答案] D
222222
[解析] x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x－2，∵f (x)为奇函数，∴f(x)＝x＋2，又当x＝0时，f(x)＝0，

x－2 x>0
?
?
∴f(x)＝
?
0 x＝0
?
?
x＋2 x<0

x>0x<0
x＝0
?
??
?
??
153
，故不等式f(x)<化为
?
或
?
1
或
?
，∴0≤x<或x<－，故选D.
11222
x＋2<
0<
?
x－2<
2
?
?
??
2
?
2



9．(2010·湖南理，8 )已知min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，
1
| x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为( )
2
A．－2 B．2 C．－1 D．1 [答案] D
1
[解析] 如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t＝1.
2
17．已知二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c (x∈R)，当x＝2时，函数取得最大值2，其图
象在x轴上截得线段长为2，求其解析式．
[解析] 解法1：由条件知a<0，且顶点为(2,2)，设f(x)＝a(x－2)
2＋2，即y＝ax
2
－4ax＋4a＋2，
2
设它与x轴两交点为A( x
1,
0)，B(x
2,
0)，则x
1
＋x
2＝4，x
1
x
2
＝4＋，
a
28
由条件知， |x
1
－x
2
|＝(x
1
＋x
2
)
2
－4x
1
x
2
＝16－4(4＋)＝－＝2，∴a＝－2，∴解 析式为f(x)＝－2x
2
＋8x－6.
aa
解法2：由条件知f(x)的 对称轴为x＝2，设它与x轴两交点为A(x
1,
0)，B(x
2,
0)且x
1
2
，则
??
?
x
2
－x
1
＝2
?
x
1
＝1
?
，∴
?，故可设f(x)＝a(x－1)(x－3)，∵过(2,2)点，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x
2
＋8x－6.
?
x
1
＋x
2
＝4
?
x
2
＝3
??
第一章综合素能检测
f(x
2)－f(x
1
)
2．(09·陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意 的x
1
，x
2
∈[0，＋∞)(x
1
≠x
2
)，有<0，则( )
x
2
－x
1
A．f(3)[解析] 若x
2
－ x
1
>0，则f(x
2
)－f(x
1
)<0，即f(x2
)1
)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∵3>2 >1，∴f(3)6．f(x)＝－x
2
＋mx在(－∞，1]上是增函数，则m的取值范围是( )
A．{2} B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．(－∞，1] [答案] C
2
mmmm
[解析] f(x)＝－(x－)
2
＋的增区间为(－∞，]，由条件知≥1，∴m≥2，故选C. 2422
7．定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x?A∩B}，则(A* B)*A等于( )
A．A∩B B．A∪B C．A D．B [答案] D
[解析] A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．
因此(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集，除去A中阴影部分后剩余部分即B，故选D.
[点评] 可取特殊集合求解．如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，则A*B＝{2,3,5} ，(A*B)*A＝{1,5}＝B.

8．(广东梅县东山中学2009～2010高一 期末)定义两种运算：ab＝a
2
－b
2
，a?b＝(a－b)
2< br>，则函数f(x)＝
为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数 [答案] A
4－x
2
4－x
2
4－x
2
2
[解析] 由运算与?的定义知，f(x)＝，∵4－x≥0，∴－2≤x≤2，∴f(x)＝＝－，
x
(2－x)－2
(x－2)
2
－2
∴f(x)的定义域为{x|－2≤x<0 或0?
g(x)，若f(x )≥g(x)，
?
2
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x－2x，F( x)＝
?
则F(x)的最值是( )
?
?
f(x)，若f(x)
A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为7－27，无最小值
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值
[答案] B[解析] 作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是
3，故选B.

20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm现将它剪 成一个矩形，并以此三
角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
[解析] 如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.
40 －y
xAFFE2
∵△AFE∽△ACB.∴＝即∴＝∴y＝40－x.剩下的残料面积为：
ACBC40603

122
S＝×60×40－x·y＝x
2
－40x＋1 200＝(x－30)
2
＋600
233
∵0∴在 边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所 剩残料最少．
21．(本题满分12分)
a
(1)若a<0，讨论函数f(x)＝x＋，在其定义域上的单调性；
x
a
(2)若a>0，判断并证明f(x)＝x＋在(0，a]上的单调性．
x
a
[解析] (1)∵a<0，∴y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，
x
a
又y＝ x为增函数，∴f(x)＝x＋在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．
x
a(x2
－x
1
)
aaa
(2)f(x)＝x＋在(0，a]上单调减 ，设01
2
≤a，则f(x
1
)－f(x
2
)＝(x
1
＋)－(x
2
＋)＝(x
1
－x2
)＋
xx
1
x
2
x
1
x
2
a
＝(x
1
－x
2
)(1－)>0，∴f(x
1
)>f(x
2
)，∴f(x)在(0，a]上单调减．
x
1
x
2
22．(本题满分14分)设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.
(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)(2)记F(x)＝f(x)－g(x)，求函数F(x)在(0，a]上的最小值(a>0)． ??
?
x≥2，
?
x<2，
22
?
[解析] (1)|x－2|<2x，则或
?
∴x≥2或.
33
?
x－2<2x.
?
2－x<2x.
??

(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0∴函数F(x)在(0，a]上是单调减函数，∴当x＝a时，函数F(x)取 得最小值为－a
2
.
2.1.1.1 根式
6．已知函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象如图所示，则f
2
(1)的值为( )
A．2b B．a－b＋c C．－2b D．0 [答案] C
b
[解析] 由图象开口向下知，a<0.又f( －1)＝a－b＋c＝0，∴b＝a＋c，又－<0，∴b<0，∴f(1)＝a＋b＋c＝2b，
2a
∴f
2
(1)＝|2b|＝－2b.
7．若xy≠0，那么等式4x
2
y
3
＝－2xyy成立的条件是( )
A．x>0，y>0 B．x>0，y<0 C．x<0，y>0 D．x<0，y<0 [答案] C
4x
2
y
3
>0< br>?
?
?
x<0
[解析] ∵xy≠0，∴x≠0，y≠0，由
?
－2xy>0
得，
?
.
y>0
?
?
?
y>0


8．当n2
－2mn＋n
2
＝( )
A．2m B．2n C．－2m
[解析] (m＋n )－m
2
－2mn＋n
2
＝(m＋n)－|m－n|＝(m＋n)－(m－n )＝2n.
9.11－230＋7－210＝( )
A.6＋2－25 B.2－6 C.6－2
D．－2n [答案] B
D．25－6－2 [答案] C
[解析] 11－230＋7－210＝6－230＋5＋5－210＋2＝(6－5)＋(5－2)＝6－2.
x＋y
2xy
12.＋＝__________. [答案] x＋y
x＋yxy＋yx
x＋yx＋y(x＋y)
2
2xy2xy
[解析] 原式＝＋＝＋＝＝x＋y.
x＋yxy(x＋y)x＋yx＋yx＋y
13．已知15＋4x －4x
2
≥0，化简：4x
2
＋12x＋9＋4x
2
－20 x＋25＝________.[答案] 8
35
[解析] 由15＋4x－4x
2
≥0得：－≤x≤4x
2
＋12x＋9＋4x
2
－20x＋25＝| 2x＋3|＋|2x－5|＝2x＋3＋5－2x＝8.
22
2x＋2xy＋3y
1 6．若x>0，y>0，且x(x＋y)＝3y(x＋5y)，求的值．
x－xy＋y
[解析] 将条件式展开整理得x－2xy－15y＝0.分解因式得(x＋3y)(x－5y)＝0，
2x＋2 xy＋3y50y＋225y
2
＋3y
∵x>0，y>0，∴x＝5y，∴x＝25y ，∴＝＝3.
x－xy＋y25y－25y
2
＋y

1
17．已知x＝(
2
b2ab
)，(a>b>0)，求的值．
2
a
x－x－1
ab(a＋b)a＋b
1
ab
?
1
?
abab
?
[解析] ∵x＝
?
＝＝＝，又a>b>0，
＋
＋
2
?
b
2ab
a
?
2
?ba
?
2ab
2ab2ab4ab
∴原式＝＝＝＝2a.
a＋ ba－b
2b
a＋b(a＋b)
2
－
－－1
4ab
2ab2ab
2ab
|a－b|
[点评] 若把条件a>b>0改为a>0，b>0则由于x
2
－1＝，故须分a≥b，a2ab
－－
18．已知f(x)＝e
x
－e
x
，g (x)＝e
x
＋e
x
(e＝2.718…)．
g(x＋y)
(1)求[f(x)]
2
－[g(x)]
2
的值；(2)设f(x)f(y )＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
g(x－y)
－
[解析] (1)[f( x)]
2
－[g(x)]
2
＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x )]＝2·e
x
·(－2e
x
)＝－4e
0
＝－4. －－＋－＋－－－
(2)f(x)f(y)＝(e
x
－e
x
)( e
y
－e
y
)＝e
xy
＋e
(
xy
)
－e
xy
－e
(
xy
)
＝g(x＋y)－g( x－y)＝4
同法可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8. ②
g(x＋y)
6
解由①②组成的方程组得，g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2.∴＝＝3 .
g(x－y)
2
a
＋
b
①
2.1.1.2 分数指数幂
3
－
2
2．使(3－2x－x)
4
有意义的x 的取值范围是( )
A．R B．x≠1且x≠3 C．－31 [答案] C
3
1
－
[解析] ∵(3－ 2x－x
2
)
4
＝有意义，∴应满足3－2x－x
2
>0， 解得－34
(3－2x－x
2
)
3
14．化简下列各式：
(1)
a
3
5
b
2
3
·
3
(a< br>2
b)
2
·a
；(2)(1－a)[(a－1)(－a)
2< br>]
2
；(3).
4
3
4
abab
3
b
3
－
2
5
11
11
16．设a＝1，b＝13 ，求下式的值：
22
11
a－ba＋b
－
－
a＋ba－b a－ba－b
－2b
＝＝＝＝－
11
a－ba＋b2a
＋
＋
a＋ba－b
a－ba－b
b
＝－3.
a


2.1.2.1 指数函数及其性质

A
．
a>b>c B．b>a>c
B．C．b>c>a D．c>b>a [答案] B
即a>c，∴b>a>c.
[点评] 指数函数的图象第一象限内底大图高，


6．函数y＝a
x
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于( )
11
A. B．2 C．4 D. [答案] B
24
[解析] 当a>1时，y
min
＝a
0
＝1；y
max
＝a
1
＝a，由1＋a＝3，所以a＝2.当0max
＝a
0
＝1，y
min
＝a
1
＝a.
由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.
7．在同一平面直角坐标系 中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝a
x
的图象可能是( )

[答案] B
[解析] 由指数函数的定义知a>0，故
f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、
D不正确． < br>若g(x)＝a
x
为增函数，则a>1，与y＝ax
的斜率小于1矛盾，故C不 正确．B中
0xx
16．判断函数f(x)＝
x
＋的奇偶性．
2－1
2
xx
x(2
x
＋1)
x
[解析] ∵2－1≠0，∴x≠0，定义域{x∈R|x≠0} ∵f(x)＝
x
＋＝
x
，
2－1
2
2(2－1)
－
－x(2
x
＋1)－x(1＋2
x
)x(2
x< br>＋1)
∴f(－x)＝＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
－
2(2x
－1)2(1－2
x
)2(2
x
－1)
17．求下列 函数的定义域和值域

(3)要使函数有意义，必须且只须x＋1≠0，即x≠－1.∴函数 的定义域为{x∈R|，x≠－1}
x＋2
1111
设t＝，则t∈R且t≠1，y ＝()
t
，∴y>0且y≠∴函数的值域为(0，)∪(，＋∞)
3333
x＋1
2.1.2.2 指数函数性质的应用
a
x
＋1
1．当a>1时，函数y＝
x
是( )
a－1
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 [答案] A
x
[解析] 由a－1≠0得x≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
1
＋1
－
x
a＋1
a
x
1＋a
x
又∵f(－x)＝
－
x
＝＝＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．
a－1
1
1－ a
x
－1
a
x
?
?
b(a≥b)
－
4．若定义运算a*b＝
?
，则函数f(x)＝3
x
*3
x
的值域是( )
?
a(a?
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) [答案] A
－
?
3
x
(x≥0)
?
－
[解析] f (x)＝3
x
*3
x
＝
?
x
∴f(x)∈(0,1 ]，故选A.
?
3 (x<0)
?
6．设a、b满足0A．a
a
b
B．b
a
b
C．a
a
a
D．b
b
b
[答案] C
[解析] 解法1：∵0x
是减函数，又 ∵aa
>a
b
.排除A；
同理得b
a
>b
b
，排除B.在同一坐标系中作出y＝a
x
与y＝b
x
的图象．
由x>0时“底大图高”知x>0时，y＝b
x
图象在y＝a
x< br>图象上方，当x＝b时，立得b
b
>a
b
，
排除D；当x＝a 时，b
a
>a
a
，∴选C.

112112
解法2：取特值检验，令a＝，b＝，则a
a
＝，a
b
＝，b
a
＝，b
b
＝，排除A、B、D，∴选C.
422224
2
－
y
－
xxy
8．已知x、y∈R，且2＋3>2 ＋3，则下列各式中正确的是( )
A．x＋y>0 B．x＋y<0 C．x－y>0 D．x－y<0 [答案] A
1
－－－
[解析] 作函数f(x)＝2< br>x
－3
x
.因为2
x
为增函数，由3
x
＝( )
x
为减函数，知－3
x
也是增函数，从而f(x)为增函数，
3
－－－－－
由2
x
－3
x
>2
y
－3y
＝2
y
－3
(
y
)
可知f(x)>f(－y )．又f(x)为增函数，所以x>－y，故x＋y>0.选A.
a31
9．函数f(x)＝ a
x
(a>0且a≠1)，在x∈[1,2]时的最大值比最小值大，则a的值为______ __．[答案] 或
222
[解析] 注意进行分类讨论
a3
(1)当a >1时，f(x)＝a
x
为增函数，此时f(x)
max
＝f(2)＝a2
，f(x)
min
＝f(1)＝a∴a
2
－a＝，解得a＝> 1.
22
a1
(2)当0x
为减函数， 此时f(x)
max
＝f(1)＝a，f(x)
min
＝f(2)＝a
2
∴a－a
2
＝，解得a＝∈(0,1)
22
31
综上所述：a＝或.
22
12．当x>0时，指数函数y ＝(a
2
－3)
x
的图象在指数函数y＝(2a)
x
的图象 的上方，则a的取值范围是________．
[答案] a>3
[解析] ⅰ)a
2
－3>2a>1解得：a>3；ⅱ)a
2
－3>1>2a>0不等式无解；ⅲ)1 >a
2
－3>2a>0不等式无解；综上所述a>3.
1
14．已知f(x)＝
x
＋a是奇函数，求a的值及函数值域．
2－1
[分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f(－x)＝－f(x)恒成立， 可求得a值．其值域可借助基本函数值域
求得．[解析] ①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
11111
即－[
x
＋a]＝
－
x
＋a，∴2a＝－
－
x< br>－
x
＝1，∴a＝.
2
2－12－12－12－1
11②∵2
x
－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)∵u＝2
x< br>－1>－1且u≠0，∴<－1或>0
uu
11111111
∴
x< br>＋<－或
x
＋>∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．
2
2－1
2222
2－1
2
1
x
2
－
6x
＋
17
15．对于函数y＝()，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函 数的单调区间．
2
1
u
1
x
2
－
6x
＋
1722
[解析] (1)设u＝x－6x＋17，∵函数y＝()及u＝x －6x＋17的定义域是R，∴函数y＝()的定义域是R.
22
11111
∵u＝ x
2
－6x＋17＝(x－3)
2
＋8≥8，∴()
u
≤( )
8
＝，又∵()
u
>0，∴函数的值域为{y|02 22562256
(2)∵函数u＝x
2
－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，∴ 当3≤x
1
2
<＋∞时，有u
1
2
.∴y
1
>y
2
，
1
2
－＋
1
2
－＋
即[3，＋∞)是函数y＝()
x
6
x
17
的单调递减区间；同理可知，(－∞，3]是函数y＝()
x
6
x
17的单调递增区间．
22
－
10
x
－10
x
1 6．已知f(x)＝
x
－
.(1)求证f(x)是定义域内的增函数；(2)求f(x )的值域．
10＋10
x
－
10
x
－10
x10
2
x
－1
2
[解析] (1)证法1：f(x)＝
x
＝1－.
－
x
＝
x
10＋1010
2
＋110
2
x
＋1
令x
2
>x
1
，则f(x
2
)－f(x
1
)＝
.


故当x
2
>x
1
时，f(x
2
)－f(x
1
)>0，即f(x
2
)>f(x
1
)．所以 f(x)是增函数．
证法2：考虑复合函数的增减性．
－
10
x
－10
x
222
由f(x)＝
x
.∵10
x
为增函 数，∴10
2
x
＋1为增函数，
2
x
为减函数，－
2
x
为增函数．
－
x
＝1－
x
2
10＋ 1010＋110＋110＋1
2
∴f(x)＝1－
2
x
在定义域内 是增函数．
10＋1
10
2
x
－11＋y
2
x< br>(2)令y＝f(x)．由y＝
2
x
，解得10
2
x
＝. ∵10>0，∴－1<
y
<1.即
f
(
x
)的值域 为(－1,1)．
10＋11－y

2.1.2.3 习题

8．当0x
和y＝(a－1)x
2
的图象只能是下图中的( )[答案] D
[解析] 0x
单调递减排除A，C，又a－1<0开口向下，∴排除B，∴选D.








9．下图的曲
线C
1
、C
2
、
21
C
3
、C< br>4
是指数函数y＝a
x
的图象，而
a∈{，，3，π}，则图象C1
、C
2
、C
3
、
22
21
C
4
对应的函数的底数依次是______、________、________、________ .[答案] 、、π、3
22
[解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C< br>2
的底数1
的底数4
的底数3
的底数．
12．如果x>y>0，比较x
y
y
x
与x
x< br>y
y
的大小结果为________．
x
y
y
x< br>yx
－
y
－
xy
－
xx
－
y
?
x
?
y
－
xyxxy
[答案] xyxy
＝xyyx＝xy＝
?
y
?
.
xy
x
?
y
－
x
x
∵x>y>0，∴y－x<0，>1，∴0<
?
<1，∴x
y
y
x
x
y
y
.
y
??
y
2
1
－－
14．求使不等式 ()
x
8
>a
2
x
成立的x的集合(其中a>0且a≠1) ．
a
15．[解析] 原不等式等价于a>a
2
x
.
( 1)当a>1时，上面的不等式等价于－x
2
＋8>－2x，即x
2
－2x－ 8<0，解得－2(2)当02
＋ 8<－2x，即x
2
－2x－8>0，
解得x<－2或x>4.∴原不等式的解集为 ：当a>1时为{x|－24}．
1
1 5．某商品的市场日需求量Q
1
和日产量Q
2
均为价格p的函数，且Q
1
＝288()
p
＋12，Q
2
＝6×2
p
，日 成本C关于日
2
1
产量Q
2
的关系为C＝10＋Q
2
.(1)当Q
1
＝Q
2
时的价格为均衡价格，求均衡价格p；(2)当Q< br>1
＝Q
2
日利润y最大，求y.
3
11
[解析] (1)当Q
1
＝Q
2
时，即288()

p
＋12 ＝6×2
p
，令2
p
＝t，代入得288·＋12＝6×t，所以t
2
－2t－48＝0，解得t
2t
pp
＝8或t＝－6，因为t＝2>0，所 以t＝8，所以2＝8，所以p＝3.
111
(2)日利润y＝p·Q
2
－ C＝p·Q
2
－(10＋Q
2
)＝(p－)Q
2
－10，所 以y＝(p－)×6×2
p
－10.当Q
1
＝Q
2
时，p＝ 3，代入得y
333
＝118.答：当Q
1
＝Q
2
时，均衡 价格为3，此时日利润为118.
－
x
＋
8
2
－
2.2.1.2 对数运算性质
4．已知a＝log
3
2，那么log
3
8－2log
3< br>6用a表示为( )
A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)
2
D．3a－a
2
－1 [答案] A
[解析] 由log
3
8－2log
3
6＝3log
3
2－2(log
3
2＋log
3
3)＝3a－2(a＋1)＝a－2 .
5．

A．2＋5
的值等于( )
B．25 C．2＋D．1＋
5
[答案] B
2
5

2
[解析] 据对数恒等式及指数幂的运算法则有：
－
6．与函数y＝10
lg(
x
1)
的图象相同的函数是( )
A．y＝x－1 B．y＝|x－1| C．y
x
2
－1x－1
2
＝ D．y＝()[答案] D
x＋1
x－1
[解析] y＝10
lg(
x
＝x－1(x>1)，故选D.
1
7．已知f(log
2
x)＝x，则f()＝( )
2
－
1)

112
A. B. C. D.2 [答案] D
422
11
[解析] 令log
2
x＝，∴x＝2，∴f()＝2.
22
8．如果方程lg
2
x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为x
1
、x
2
，那么x
1
·x
2
的值为( )
1
A．lg2·lg3 B．lg2＋lg3 C．－6 D. [答案] D
6
[解析] 由题意知lgx
1
和lgx
2
是一元二次方程u
2
＋(lg2＋lg3)u＋lg2·lg3＝0的两根
11∴lgx
1
＋lgx
2
＝－(lg2＋lg3)，即lg(x
1
x
2
)＝lg，∴x
1
x
2
＝.
66
ln(x＋1)
10．(09·江西理)函数y＝的定义域为( )
－x
2
－3x＋4
A．(－4，－1) B．(－4,1) C．(－1,1) D．(－1,1] [答案] C
??
?
x＋1>0
?
x>－1
?
[解析] 要使函数有意义，则需，即
?
，解得－12
?
－x－3x＋4>0
?
－4??
13．已知lg3＝0.4771， lgx＝－3.5229，则x＝________.[答案] 0.0003
[解析] ∵lgx＝－3.5229＝－4＋0.4771＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x＝0.0003.
10
15．计算：(3)lg
2
3－lg9＋1＝________；[答案 ] lg
3
10
[解析] (3)lg
2
3－lg9＋1＝lg< br>2
3－2lg3＋1＝(1－lg3)
2
＝1－lg3＝lg
3x
17．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值．
y

?
?
x－y>0
[解析] 由已知条件得
?
x>0
y>0
?
?
(x＋2y)(x－y)＝2xy
x∴x－2y＝0，因此＝2.
y
x＋2y>0

x>yx>y
??
??
即
?
y>0
，整理得
?
y>0

??
?
(x＋2y)(x－y)＝2xy
?
(x－2y)(x＋y) ＝0

2.2.1.3 换底公式
4．已知log
7
2＝p， log
7
5＝q，则lg2用p、q表示为( )
qppq
A．pq B. C. D. [答案] B
p＋qp＋q1＋pq
log
7
2pplg2lg2pp
[解析] 由已知得：＝，∴log
5
2＝变形为：＝＝，∴lg2＝，故选B.
log
7
5qqlg5
1－lg2
q
p＋q

5．设x＝

A．(－2，－1)
[答案] D
，则x∈( )
B．(1,2) C．(－3，－2) D．(2,3)
[解析] x＝＝log
3
10∈(2,3)，故选D.
7．设方程(lgx)
2
－lgx
2
－3＝0的两实根是a和b ，则log
a
b＋log
b
a等于( )
10
A．1 B．－2 C．－ D．－4 [答案] C
3
[解析] 由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3
lgblga< br>lg
2
b＋lg
2
a(lga＋lgb)
2
－2lg algb4＋6
10
那么log
a
b＋log
b
a＝＋＝＝ ＝＝－，故选C.
lgalgblgalgblgalgb3
－3
2
8．已 知函数f(x)＝
2
＋lg(x＋x
2
＋1)，且f(－1)≈1.62，则 f(1)≈( )
x
A．2.62 B．2.38 C．1.62 D．0.38 [答案] B

[解析] f(－1)＝2＋lg(2－1)，f(1)＝2＋lg(2＋1)
因此f(－1)＋f(1)＝4＋ lg[(2－1)(2＋1)]＝4，∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选B.
2
9．设log
8
9＝a，log
3
5＝b，则lg2＝________.[ 答案]
2＋3ab
1－lg2
33lg33alg5lg3lg532
[解析] 由 log
8
9＝a得log
2
3＝a，∴＝，又∵log
3
5 ＝＝b，∴×＝ab，∴＝ab，∴lg2＝.
2lg22lg3lg2lg32lg22
2 ＋3ab
11．若log
a
c＋log
b
c＝0(c≠1)，则ab ＋c－abc＝______.[答案] 1
lg(ab)
[解析] 由log
a< br>c＋log
b
c＝0得：·lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1，∴ab＋ c－abc＝1＋c－c＝1.
lgalgb
11
12．光线每透过一块玻璃板，其 强度要减弱，要使光线减弱到原来的以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝
103
0.4771)．[答案] 11
111
[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n块玻 璃板后的强度为(1－)
n
.由题意(1－)
n
<，两边同时取对数得nlg (1
10103
－lg3
0.477111
－)＝≈10. 42故至少需要11块玻璃板．
103
2lg3－1
0.0458
15．若 2
5
a
＝5
3
b
＝10
2
c
，试 求a、b、c之间的关系．
111111
[解析] 设2
5
a
＝5
3
b
＝10
2
c
＝k，则a＝log
2
k ，b＝log
5
k，c＝lgk.∴log
k
2＝，log
k
5＝，log
k
10＝，
5325a3b2c
111
又log< br>k
2＋log
k
5＝log
k
10，∴＋＝.
5a 3b2c
17．已知二次函数f(x)＝(lga)x
2
＋2x＋4lga的最大值是 3，求a的值．
lga<0
?
1
?
1
－
2
[解析] ∵f (x)的最大值等于3∴
?
16lga－4
∵lg
a
<0，∴lg< br>a
＝－，∴
a
＝10
4
.
4
＝3，∴(4 lga＋1)(lga－1)＝0
?
?
4lga