2020年人教版高中数学必修一全册精品教案(精华版)

2020年人教版高中数学必修一全册精品教
案（精华版）


第一章 集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集
合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
·1·

难点：表示法的恰当选择.
三. 学法与教学用具
1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而
更好地完成本节课的教学目标.
2. 教学用具：投影仪.
四. 教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出
一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评
价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所
要学习的内容.
（二）研探新知
1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数；
(2)我国古代的四大发明；
(3)所有的安理会常任理事国；
(4)所有的正方形；
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；
·2·

(7)方程
x
2
?5x?6?0
的所有实数根；
(8)不等式
x?3?0
的所有解；
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出—— 位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共
同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对
象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写
字母
a,b,c,d
…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特
点?并注意个别辅导，解答学生疑 难.使学生明确集合元素的三大特性，即:
确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的 ,我们就称这两
个集合相等.
2．教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数；
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例
·3·

子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用< br>a
表示高一(3)班
的一位同学，
b
是高一(4)班的一位同学，那么
a,b
与集合A分别有什么关系?
由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和 不属于.
如果
a
是集合A的元素，就说
a
属于集合A，记作
a?A
.
如果
a
不是集合A的元素，就说
a
不属于集合A，记作a?A
.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国 .
日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教 材中的相交内容，写出
常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?
适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用
对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
·4·

(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；
(2)用例举法表示集合
A?{x?N|1?x?8}

(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容?
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第13页习题1.1A组第4题.
2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？ 类似地集合与集合间的关
系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习教材.

§1.1.2集合间的基本关系
一. 教学目标:
1．知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
(3)能使用
venn
图表达集合间的关 系，体会直观图示对理解抽象概念的作
用.
2. 过程与方法
·5·

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想 ．
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.
难点：难点是属于关系与包含关系的区别．
三.学法与教学用具
1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关
系.
2.学用具：投影仪.
四.教学思路
(—)创设情景，揭示课题
问题l：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数
之间的关系，你会想到集合 之间有什么关系呢？
让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁
正确，让我们一起来观察.研探.
(二)研探新知
投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
（1）
A?{1,2,3},B?{1,2,3,4,5}
；
(2)设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生
·6·

的全体组成的集合；
(3)设
C?{x|x是两条边相等的三角形},D?{x|x是等腰三角形};

(4)
E?{2,4,6},F?{6,4,2}
.
组织学生充分讨论.交 流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种
关系，从而类比得出两个集合之间的关系:
① 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B
中的元素，我们就说这两个集合有 包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
A?B(或B?A)

读作：A含于B(或B包含A).
②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
教师引导学生类比表示集 合间关系的符号与表示两个实数大小关系的
等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解 。并指出：为
了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这
种图称 为Venn图。如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn
图.




图1 图2
投影问题3：与实数中的结论“若
a?b,且b?a,则a?b
”相类 比，在集合
·7·
B
A（B）

中，你能得出什么结论?
教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若
A?B,且B?A,则A?B
.
问题4：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用
Venn图表示.
学生主动发言，教师给予评价.
(三)学生自主学习，阅读理解
然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例问
题：
(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么?什么叫空集?
(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?
(3)0，{0}与
?
三者之间有什么关系?
(4)包含关系
{a }?A
与属于关系
a?A
正义有什么区别?试结合实例作出
解释.
(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?
(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即
A?A
?
(7)对于集合A ，B，C，D，如果A
?
B，B
?
C，那么集合A与C有什么关
系?
教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发
表对上述问题看法.
(四)巩固深化，发展思维
1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：
·8·

例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时 ，该产品才合格。若
用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的
集合．则下列包含关系哪些成立？
A?B,B?A,A?C,C?A

试用Venn图表示这三个集合的关系。
例2 写出集合{0，1，2)的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
2.学生做教材第8页的练习第l～ 3题，教师及时检查反馈。强调能确
定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集.
(五)归纳整理，整体认识
1．请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学
思想方法又那些.
2. 在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方,请向老师提出.
(六)布置作业
第13页习题 1.1A组第5题.

§1.1.3 集合的基本运算
一. 教学目标：
1. 知识与技能
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并
集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
·9·

(3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作
用.
2. 过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.
3.情感.态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想.
(2)进一步体会类比的作用.
(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.
二.教学重点.难点
重点：交集与并集，全集与补集的概念.
难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．
三.学法与教学用具
1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集
合的基本运算.
2.教学用具：投影仪.
四. 教学思路
(一)创设情景，揭示课题
问题1：我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否
也可以“相加”呢?
请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的关系吗?
(1)
A?{1,3,5},B?{2,4,6},C?{1,2,3,4,5,6};

·10·

(2)
A?{x|x是理数},B?{x|x是无理数},C?{x|x是实数}
< br>引导学生通过观察，类比.思考和交流，得出结论。教师强调集合也有运
算，这就是我们本节课所 要学习的内容。
(二)研探新知
l.并集
—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集
合A与B的并集.
记作：A∪B.
读作：A并B.
其含义用符号表示为：
AUB?{x|x?A,或x?B}

用Venn图表示如下：





请同学们用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系.
练习.检查和反馈
(1)设A={4，5，6，8)，B={3，5，7，8)，求A∪B.
(2)设集合A
A?{x|?1?x?2},集合B?{x|1?x?3},求AUB.

·11·
A
A
B

让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调：
（1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.
(2)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.
2.交集
（1）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他
运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A.B与集合C之间有什么关系？
①
A?{2,4,6,8,10},B?{3,5,8,12},C?{8};
②
A?{x|x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}.
B={
x< br>|
x
是国兴中学
2004年9月入学的高一年级同学}，C={
x|
x
是国兴中学2004年9月入学的
高一年级女同学}.
教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义；
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与
B的交集.
记作：A∩B.
读作：A交B
其含义用符号表示为：
AIB?{x|x?A,且x?B}.

接着教师要求学生用Venn图表示交集运算.


·12·

A
B
（2）练习.检查和反馈
①设平面内直线
l
1
上点的集合为< br>L
1
，直线
l
1
上点的集合为
L
2
，试用集合的
运算表示
l
1
的位置关系.
②学校里开运动会，设A ={
x
|
x
是参加一百米跑的同学}，B={
x
|
x
是参
加二百米跑的同学}，C={
x
|
x
是参加四百米跑 的同学}，学校规定，在上述
比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定 ，
并解释集合运算A∩B与A∩C的含义.
学生独立练习，教师检查，作个别指导.并对学生中存在的问题进行反
馈和纠正.
（三）学生自主学习，阅读理解
1．教师引导学生阅读教材第11～12页中有关补集的内容，并思考回答
下例问题：
（1）什么叫全集？
（2）补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用Venn图又表
示？
（3）已知集合
A?{x|3?x?8},求?
R
A
.
·13·

（4）设S={
x
|
x
是至少有一组对边平行的四边形}，A={
x
|
x
是平行四边
形} ，B={
x
|
x
是菱形}，C={
x
|
x
是矩形}，求
BIC,痧
A
B,
S
A
.
在学生阅 读.思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考
完后，请学生回答上述问题，并及时给予评 价.
（四）归纳整理，整体认识
1．通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？
2．并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别？
（五）作业
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集.交集和补集的现实
含义.
3．书面作业：教材第14页习题1.1A组第7题和B组第4题.


§1.2.1函数的概念
一、教学目标
1、 知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看
成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模
型化的思想与意识．
·14·

2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体 会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数
学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体 会对应关系在
刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习
的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成
本节课的教学目标 .
2、教学用具：投影仪 .
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思
想：
·15·

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问
题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖
关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是
否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非 空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A
中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称
f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（ domain）；与
x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域
（range）．
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
·16·

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是
f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念



①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0)
y=ax
2
+bx+c (a≠0)
y= (k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1、如何求函数的定义域
例1：已知函数f (x) =
x?3
+
k
x
1

x?2
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f ()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.
·17·
2
3

如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义 域，那么函数的定义域就是
指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区< br>间的形式．
解：略
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于 x的函
数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为
所以s=
80?2x
，且边长为正数，所以0＜x＜40.
2
80?2x
?x
= （40－x）x （0＜x＜40）
2
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的
集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于
或等于零的实数的集合. < br>（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使
各部分式子都有意义的 实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P
22
第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = (
x
)
2
; （2）y = (
3
x
3
)

;
·18·

（3）y =
x
分析：
2

x
2
; （4）y=
x
1 构成函数三个要素是定义域、 对应关系和值域．由于值域是由定义
○
域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对 应关系完全一致，
即称这两个函数相等（或为同一函数）
2 两个函数相等当且仅当它们的定 义域和对应关系完全一致，而与表
○
示自变量和函数值的字母无关。
解：（略）
课本P
21
例2
（四）巩固深化，反馈矫正：
（1）课本P
22
第2题
（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1)
0
；g ( x ) = 1
② f ( x ) = x； g ( x ) =
x
2

③ f ( x ) = x
2
；f ( x ) = (x + 1)
2

④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
x
2

（3）求下列函数的定义域
①
f(x)?
②
f(x)?
1

x?|x|
1
1
1?
x

·19·

③ f(x) =
x?1
+
④ f(x) =
x?4

x?2
1

2?x
⑤
f(x)?1?x?x?3?1

（五）归纳小结
①从具体实例引入了函数 的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定
义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函 数的基本方法，
同时引出了区间的概念。
（六）设置问题，留下悬念
1、课本P
28
习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
2、 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述
函数，同时说出函数的定义域、值域 和对应关系。

§1．2．2函数的表示法

一．教学目标
1．知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法：
·20·

学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而
且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方 法表示函数，什么才算“恰当”？
分段函数的表示及其图象．
三．学法及教学用具
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的
教学目标．
2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域， 那么函
数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．
（二）研探新知
1．函数有哪些表示方法呢？
（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）
2．明确三种方法各自的特点？
（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函
·21·

数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表< br>法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的
特点是：能直观形象地 表示出函数的变化情况）
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．某种笔记本的单价 是5元，买
x(x?
?
1,2,3,4,5
?
)
个笔记本需 要
y
元，
试用三种表示法表示函数
y?f(x)
．
分析： 注意本例的设问，此处“
y?f(x)
”有三种含义，它可以是解析
表达式，可以是图 象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成
绩及班级平均分表：

王 伟
张 城
赵 磊
第一次
98
90
68
第二次
87
76
65
第三次
91
88
73
第四次
92
75
72
第五次
88
86
75
第六次
95
80
82
·22·

班平均
88.2
分
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目 要求，做学情分析，具体要分析什么？
怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于
研究成绩的变化特点：
②本例能否用解析法？为什么？
例3．画出函数
y?|x|
的图象
解：（略）
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（ 不足5公里按5公里
计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起
点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数
解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽
车到站才能停车，所以行 车里程只能取整数值．
解：（略）
·23·
78.3 85.4 80.3 75.7 82.6

注意：
①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
②象例3、例4中的函数，称为分段函数．
③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而 就写函数值几种不同
的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情
况 ．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本
P27
练习第1，2，3题
（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20
g
，付 邮资80分，
超过20
g
而不超过40
g
付邮资160分，每封xg
（0＜
x
≤100＝的信函应付邮
资为（单位：分）
（五）归纳小结
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法
来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
（六）设置问题，留下悬念．
（1）课本P
28
习题（A组）1，2；
（2）如图，把截面半径为25cm的圆形 木头锯成矩形木料，如果矩形的
边长为
x
，面积为
y
，把
y
表示成
x
的函数．



·24·

§1.2.2 映射

一．教学目标
1．知识与技能：
（1）了解映射的概念及表示方法；
（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．
2．过程与方法
（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集
合；
（2）通过实例进一步理解映射的概念；
（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．
3．情态与价值
映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基
础．
二．教学重点：映射的概念
教学难点：映射的概念
·25·

三．学法与教学用具
1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课
的教学目标；
2．教学用具：投影仪．
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数
a
，数轴上都有唯一的点
p
和它对应； 2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（
x,y
）和它
对应；
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立
起更为普通的元素之间的 对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；
（2）求正弦；
（3）求平方；
·26·

（4）乘以2．
归纳引出映射概念：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按 某一个确定的对应法则
f
，
使对于集合A中的任意一个元素
x
，在集 合B中都有唯一确定的元素
y
与之
对应，那么就称对应
f
：A→B为 从集合A到集合B的一个映射．
记作“
f
：A→B”
说明：
（ 1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不
同的，其中
f
表示 具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个
的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ < br>（1）A={
P|P
是数轴上的点}，B=R，对应关系
f
：数轴上的 点与它所代表
的实数对应；
（2）A={
P|P
是平面直角坐标中的点}，
B?
?
(x,y)|x?R,y?R
?
,
对应关系
f
：
平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B=
{x|x是圆},对应关系
f
：每一个三角形都对应它的内
切圆；
（4）A ={
x|x
是新华中学的班级}，
B?
?
x|x是新华中学的学生< br>?
,
对应关系
f
：
·27·

每一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系
f
改为：每一 个圆都对应它的内接三角形；
（4）中的对应关系
f
改为：每一个学生都对应他的班级 ，那么对应
f
：B→
A是从集合B到集合A的映射吗？
例2．在下图中，图 （1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与
B中元素的对应法则，是不是映射？是不是 函数关系？
A 开平方 B A 求正弦 B








（1） （2）


A 求平方 B A 乘以2 B

1

－1
2
－2
3
－3
1
4
9
·28·
9
4
1
3
－3
2
－2
1
－1
1

2
30
0

45
0

60
0

90
0

2
2


3
2
1
1
2
1
2
3
4

（3） （4）
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1）
A?
?
1,2,3,4
?
,B?
?
2,4,6,8
?< br>，对应法则是“乘以2”；
（2）A=
?
x|x
＞
0
?
，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3）
A?
?
x| x?0
?
,B?R
，对应法则是“求倒数”；
（4）
A?
?
?
?
|0
0
＜
?
?
?90
0< br>?
,B?
?
x|x?1
?
,
对应法则是“求余弦”．
2．在下图中的映射中，A中元素60
0
的象是什么？B中元素
是什么？
A 求正弦 B




30
0

45
0

60
0

90
0

1

2
2
2
2
的原象
2


·29·
3
2
1

（五）归纳小结
提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个 映
射，你能归纳出几个“标准”呢？
师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集 合中的元素
都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出
现“一对一 ”或“多对一”的对应形式．
（六）设置问题，留下悬念．
1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．
2．已知
f
是集合A上的任一 个映射，试问在值域
f
(A)中的任一个元素
的原象，是否都是唯一的？为什么？ < br>3．已知集合
A?
?
a,b
?
,B?
?
?1 ,0,1
?
,
从集合A到集合B的映射，试问能构造
出多少映射？


·30·

§1．3．1函数的最大（小）值

一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体 会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最
高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得 出函数的最值，有利
于培养以形识数的解题意识．
3．情态与价值
利用函数的单调 性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实
际问题，激发学生学习的积极性．
二．教学重点和难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三．学法与教学用具
1．学 法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大
（小）值的方法和步骤．
2．教学用具：多媒体手段
四．教学思路
·31·

（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函
数的什么特征？
①
f(x)??x?3
②
f(x)??x?3x?[?1,2]

③
f(x)?x
2
?2x?1
④
f(x)?x
2
?2x?1x?[?2,2]

（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数
y?f(x)
的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在
x
0
? I
，使得
f(x
0
)?M
；
②函数最大（小）应该是所有 函数值中最大（小）的，即对于任意的
x?I
，
都有
f(x)?M(f(x) ?m)
．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P
36
例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
·32·

例2．将进货单价40元的商品按5 0元一个售出时，能卖出500个，若
此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润， 售价应定
为多少？
解：设利润为
y
元，每个售价为
x
元， 则每个涨（
x
－50）元，从而销售
量减少
10(x?50)个,共售出50 0-10(x-50)=100-10x(个)

∴
y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)
2
?9000(50?x
＜100）
∴
x?70时y
max
?9000

答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例3．求函数
y?
2
x?1
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
解：（略）
例4．求函数
y?x?1?x
的最大值．
解：令
t?1?x?0有x??t
2
?1则

y??t
2
?t?1??(t?
1
)
2
?
5< br>24
Qt?0


??(t?
1
2
)
2
?0

??(t?
155
2
)
2
?
4
?
4< br>

?原函数的最大值为
5
4
.

（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）P
38
练习4
（2）求函数
y?|x?3|?|x?1|
的最大值和最小值．
（3）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一
·33·

边长为
x
，面积为
y
，试将
y< br>表示成
x
的函数，并画出函数的大致图象，并判
断怎样锯才能使得截面面积最大 ？





（五）归纳小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的 和，然
后根据变量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
（六）设置问题，留下悬念．
1．课本P
45
（A组） 6．7．8
2．求函数
y?x?2x?1
的最小值．
3．求函数
y?x
2
?2x?3当自变量x在下列范围内取值时的最值
．
①
?1?x?0
②
0?x?3
③
x?(??,??)



§1.3.1函数的单调性
·34·

25

一、教学目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过
具体函
数值 的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增
（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的 过程，在这个
过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意
义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强
学习
函数的紧迫感.
二、教学重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、学法与教学用具
·35·

1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用 这定义证明函
数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机.
四、教学思路：
（一）创设情景，揭示课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变
化规律：






1 随x的增大，y的值有什么变化？
○
2 能否看出函数的最大、最小值？
○
3 函数图象是否具有某种对称性？
○
2．
y
1
-1
-1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x


1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○
2 在区间 ____________ 上，随着x的增
○
-1
-1
·36·
y
1
1 x
大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -x+2


1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○
2 在区间 ____________ 上，随着x的增
○
-1
-1
y
1
1 x
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x
1在区间 ____________ 上，
○
2
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随
○
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图
象的变
化趋势 不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化
规律就是函数性质的反映，这就是我 们今天所要研究的函数的一个重要性质
——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x
2
的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这
种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x
2
在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：
·37·

对于（0，+∞）上的任意的x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有x
1
2
＜x
2< br>2
. 即函数值
随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某 个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间 D上是增函数（increasing function）．
3、从函数图象上可以看到，y= x
2
的图象在y轴左侧是下降的，类比增
函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性
○
质；
2 必须是 对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有
○
f(x
1
)2
) ．
4．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函 数
y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区
间：
（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的
单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？


解：略
·38·

例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数 ）告诉我们，对于一
定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明
之 。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即
可。
证明：略
3．判断函数单调性的方法步骤






利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
巩固练习：
1 课本P
38
练习第1、2、3题；
○
1
y?x?
2 证明函数在（1，+∞）上为增函数．
○
x
k
V
k
V

例3．借助计算机作出函数y =－x
2
+2 | x | + 3的图象并指出它的的单调
区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数
y?
的图象．
1 这个函数的定义域是什么？
○
·39·
1
x

2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
○
（四）归纳小结
函数的单调性一 般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通
常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函 数的定义域，单调性的证
明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（五）设置问题，留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考：
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P
45
习题1、3题（A组）第1-5题。


§1．3．2函数的奇偶性

一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的
性质；学会判断函数的奇偶性；
·40·

2．过程与方法：
通过函数奇偶性概念的形成 过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，
渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
二．教学重点和难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学用具
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过
程，从而建立奇偶函数的概念．
教学用具：三角板 投影仪
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，
让我们看看下 列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

f(x)?x
2

f(x)?|x|?1

x(x)?


·41·

y

y

y

1

2
x

0

0

x

1
－1
x

0
x


－

1


通过讨论 归纳：函数
f(x)?x
2
是定义域为全体实数的抛物线；函数
f(x)?| x|?1
是定义域为全体实数的折线；函数
f(x)?
1
是定义域为非零实数
2
x
的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于
y
轴对称．观察一对 关于
y
轴对
称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点
(x,f(x) )
在函数图象上，则相应的点
(?x,f(x))
也在函数图象上，
即函数图 象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数
f(x)
的定义域内的任意一个
x< br>，都有
f(?x)?f(x)
，那
么
f(x)
就叫做偶函数． （学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数
f(x)
的定义域的任意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)
，那 么
f(x)
就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的
·42·

整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必 要条件是，对于
定义域内的任意一个
x
，则
?x
也一定是定义域内的 一个自变量（即定义域关
于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于
y
轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
f(x)?x
2
x?[?1,2]

x
3
?x
2
（2）
f(x)?

x?1< br>解：函数
f(x)?x
2
,x?[?1,2]
不是偶函数，因为它的定 义域关于原点不对称．
x
3
?x
2
函数
f(x)?
也不是偶函数，因为它的定义域为
?
x|x?R且x?1
?
，并不
x?1
关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?x
4
（2）
f(x)?x
5
（3）
f(x)?x?
（4）
f(x)?
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定
f(?x)与f(x)的关系
；
③作出相应结论：
·43·
1
x
1

x
2

若
f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是偶函数
；
若
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是奇函数
．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
f(x)?lg(4?x)?g(4?x)

?
1
2x?1(x?0)
?
?
2
②
g(x)?
?
< br>1
?
?x
2
?1(x?0)
?
?2
分析：先 验证函数定义域的对称性，再考察
f(?x)是否等于f(x)或?f(x)
．
解： （1）
f(x)的定义域是
?
x|4+x
＞0且
4?x
＞< br>0
?
=
?
x|?4
＜
x
＜
4
?
，它具有对
称性．因为
f(?x)?lg(4?x)?lg(4?x)?f(x)
，所以
f(x)
是偶函数，不是奇函数．
（2）当
x
＞0时，－
x
＜0，于是
11
g(? x)??(?x)
2
?1??(x
2
?1)??g(x)

22
当
x
＜0时，－
x
＞0，于是
111
g(?x)?(?x)
2
?1?x
2
?1??(?x
2
? 1)??g(x)

222
综上可知，在R
－
∪R
+
上，
g(x)
是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P
41
思考题：
规律：偶函数的图象关于
y
轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知
f(x)
是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：
f(x)
在（－∞，0）上也是增函数．
·44·

证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点
对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P
42
练习1．2 P
46
B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
①
f(x)?0,x?[?6,?2]U[2,6];

②
f(x)?|x?2|?|x?2|

③
f(x)?|x?2|?|x?2|

④
f(x)?lg(x
2
?1?x)

（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方 法，即
定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的
定义域是否关 于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，
需要学生结合函数的图象充分理解好单调性 和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P
46
习题A组1．3．9．10题
2．设
f(x)在R上是奇函数,当x
＞0时，
f(x)?x(1?x)

试问：当
x
＜0时，
f(x)
的表达式是什么？
解：当
x
＜0时，－
x
＞0，所以
f(?x)??x(1?x)，又因为
f(x)
是奇函数，
所以
·45·

f(x)??f(?x)??[?x(1?x)]?x(1?x)
．










第二章 基本初等函数（Ⅰ）

一、课标要求：
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三 种重要的函数模型来学习，
强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体< br>会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决
一些实际问题.
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，
掌握幂的运算.
3. 理解 指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a
x
的符号、意义，能借助计
算器或计算机画 出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质
（单调性、值域、特别点）.
4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
·46·

5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，
能将一般对数转化为常 用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现
历史及其对简化运算的作用.
6. 通过 具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理
解对数函数的概念，掌握f(x)=log
a
x符号及意义，体会对数函数是一类重要
的函数模型，能借助计算器或计算机画出具 体对数函数的图象，探索并了解
对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
7. 知道指数函数y=a
x
与对数函数y=log
a
x互为反函数（a＞0, a≠1），
初步了解反函数的概念和f
- -1
(x)的意义.
8. 通过 实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数
y?x,y?x,y?x,y?x
的图象，了解它 们的变化情况 .
3?1
1
2
二、编写意图与教学建议：
1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全
面，有利于培养学生的思想素质和激发 学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中
要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例 ，以丰富
教学的情景创设.
2. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有 关内容
做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想.
建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念 ，目的在于强化指数
函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓
展 .
4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂
函数，并且安排的 顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加
学生学习的负担.
5. 通过运用计 算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息
技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑 绘图的教学功能 ..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指
导学生认真研读.
三、教学内容与课时安排的建议
·47·

本章教学时间约为14课时.
2.1 指数函数： 6课时
2.2 对数函数： 6课时
2.3 幂函数： 1课时
小结： 1课时

















·48·

§2.1.1 指数（第1—2课时）

一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂
的性质.
3．情态与价值
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；
·49·

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解
三．学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、 复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们 已经知道：若
x
2
?a
，则
x
叫做a的平方根.同
理，若
x
3
?a
，则
x
叫做a的立方根.
根据平 方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，
如4的平方根为
?2
，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的
立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一 般地，若
x
n
?a
，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ
＊
,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用
n
a
表示，如果是
负数，用
?
n
a
表示，
n
a
叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号
n
a
表示，
其中n称为根指数 ，a为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少
·50·

个？当n为奇数时呢？
n
?
?
n为奇数, a的n次方根有一个,为a
a为正数:
?

n
?
?
n为偶数, a的n次方根有两个,为?a

?
?
n为奇数, a的n次方根只有一个,为
n
a

a为负数:
?
?
?
n为偶数, a的n次方根不存在.
零的n次方根为零，记为
n
0?0

举例：1 6的次方根为
?2
，
?27的5次方根为
5
?27
等等，而
?27
的4次方根不
存在.
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先 考虑被开方数到底是正
数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义，可得：
(
n
a)
n
?a

(
n
a)
n
?a
肯定成立，
n
a
n
表示a
n
的n次方根，等式
n
a
n
?a
一定成立吗？
如果不一定成立，那么
n
a
n
等于什么？
让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n为奇数，
n
a
n
?a

n为偶数,
n
a
n
?|a|?
?
如
3< br>(?3)
3
?
3
?27??3,
4
(?8)
4
?|?8|?8

小结：当n为偶数时，
n
a
n
化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具
体的值，这样就避免出现错误：
·51·
?
a,a?0

?
?a,a?0

例题：求下列各式的值
（1）
(1)
3
(?8)
3

(2)(?10)
2

(3)
4
(3?
?
)
4

(4)(a?b)
2

分析：当n为偶数时，应先写
n
a< br>n
?|a|
，然后再去绝对值.
思考：
a
n
?(< br>n
a)
n
是否成立，举例说明.
课堂练习：1. 求出下列各式的值

(1)
7
(?2)
7
(2)
3
(3a?3)
3
(a?1)(3)(3a?3)
4

4
n< br>2．若
a
2
?2a?1?a?1,求a的取值范围
.
3．计 算
3
(?8)
3
?
4
(3?2)
4
?3
(2?3)
3

三．归纳小结：
1．根式的概念：若n＞1 且
n?N
*
，则
x是a的n次方根,n为奇数时,x=
n
a ,

n
为偶数时，
x??
n
a
；
?a(a?0)
2．掌握两个公式：
n为奇数时,(a),n为偶数时,a?|a|?
?

?a(a?0)
?
n
n
n
n
3．作 业：P
69
习题2.1 A组 第1题


第二课时
提问：
1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
a
n
?a?a? a???a,a
0
?1(a?0),0
0
无意义

a
?n
?
1
a
n
(a?0)

·52·

a
m
?a
n
?am?n
;(a
m
)
n
?a
mn

(a
n
)
m
?a
mn
,(ab)
n
?a
n
b
n

什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
2．观察以下式子，并总结出规律：
a
＞0
①
a?
5
(a)?a?a
②
a?(a)?a?a

5
102528424
10
5
8
2
③
a?(a)?a?a
④
a?(a)?a?a

4
12
4
343
5
10
5
12
4
252< br>10
5
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数
作 为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂
的形式.如：
3
a?a?(a?0)

2
2
3
b?b?(b?0)

4
1
2
c?c?(c?0)

5
5
4即：
a?a(a?0,n?N
*
,n?1)

n
m
m
n
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
)

m
n
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
a
?
m
n
?
1
a
m
n
(a?0,m ,n?N
*
)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
·53·

说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互 换的，分数指
数幂只是根式的一种新的写法，而不是
a?a?a???a(a?0)

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义
的，整数指数幂的运算性 质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
a
r
?a
s
? a
r?s
(a?0,r,s?Q)

（2）
(a
r
)
S
?a
rs
(a?0,r,s?Q)

（3）
( a?b)
r
?a
r
b
r
(Q?0,b?0,r?Q)

若
a
＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导
学生先阅读课本P
62
——
P
62
.
即：
2的不足近似值，从由小于
2
的方向逼近
2
，
2
的过剩近 似值从
大于
2
的方向逼近
2
.
所以，当
2
不足近似值从小于
2
的方向逼近时，
5
2
的近似值从小于
5
的方向逼近
5
2
.
当
2
的过剩似值从大于2
的方向逼近
2
时，
5
2
的近似值从大于
5< br>2
的
方向逼近
5
2
，(如课本图所示)
所以，
5
2
是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂
a
p
(a?0,p是一个无理数)
是一个确定的实数，有理
数指数幂的性质同 样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指
数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确 定大小.
思考：
2
3
的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运
·54·
2< br>n
m
1
m
1
m
1
m

算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
a
r
?as
?a
r?s
(a?0,r?R,s?R)

(a
r< br>)
s
?a
rs
(a?0,r?R,s?R)

(a? b)
r
?a
r
b
r
(a?0,r?R)

3．例题
（1）．（P
60
，例2）求值
解：①
8? (2)?2
?
1
2
2
?
1
2
2
3
2
3
3
3?
2
3
?2
2
?4
1
2?(?)
2
②
25?(5)?5
1
2
1
?5
?1
?

5
③
()
?5
?(2
?1
)
? 5
?2
?1?(?5)
?32

)
16
?
3
2
4?(?
3
227
44
?()
?3
?
④
()?()

81338
（2）．（P
60
，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（
a
＞0）
解：
a.a?a?a?a
33
2
3
22
2
3
1
2
3?1
2
2
3
?a

?a

4
1
3
2
2
3
8
3
7
2

a?a?a?a?a

a
3
1
3
2?
a?a?a?a?(a)?a

4
3
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
课堂练习：P
63
练习 第 1，2，3，4题
补充练习：
1
(2
n?1
)
2
?()
2n?1
2
1. 计算：的结果
n?2
48
a
10
1
2. 若
a< br>3
?3,a
10
?384,求a
3
?[()
7
]
n?3
的值

a
3
·55·

小结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业：P
69
习题 2.1 第2题

第三课时

一．教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握根式与分数指数幂互化；
（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.
3．情感、态度、价值观
（1）培养学生观察、分析问题的能力；
（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
二．重点、难点：
1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.
2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.
三．学法与教具：
·56·
.

1．学法：讲授法、讨论法.
2．教具：投影仪
四．教学设想：
1．复习分数指数幂的概念与其性质
2．例题讲解
例1．（P
60
，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）
(2ab)(?6ab)?(?3ab)

（2）
(mn)

（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的
先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺
序仍符合我们以前的四则运算顺序. 我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，
它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方
进行计算.
解：（1）原式=
[2?(?6)?(?3)]a
=
4ab
0

=4
a

（2）原式=
(m)(n)

·57·
1
4
8
?
3
8
8
1
4
?
3
8
8
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
211
??
326
b
115
??
236

=
m
2
n
?3

例2．（P
61
例5）计算下列各式
（1）
(
3
25?125)?
4
25

（2）
a
2
a.a
3
2
(a
＞0） 分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，
但把根式先化为分数指数幂 再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题
也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式=
(25?125)?25

=
(5?5)?5

=
5
21
?
32
1
6
2
3
3
2
1
2
1
3
1
2
1
4
?5
31
?
22< br>
=
5?5

=
6
5?5

（2）原式=
a
2
a?a
1
2
2
3
?a
12
2??
23
?a?6
a
5

5
6
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形 式表示，但不能同时含有根号
和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：
化简：
（1）
(9)(10)?100
2

3
2
?
2
3
9
2
5
（2）
3?22?3?22

（3）
a
a
aa

·58·

归纳小结：
1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.
2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
作业：P
65
习题2.1
A组 第4题
B组 第2题


2.1.2指数函数及其性质（2个课时）

一. 教学目标：
1．知识与技能
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．情感、态度、价值观
①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
②培养学生观察问题，分析问题的能力.
3．过程与方法
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
二．重、难点
·59·

重点：指数函数的概念和性质及其应用.
难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
三、学法与教具：
①学法：观察法、讲授法及讨论法.
②教具：多媒体.




第一课时

一．教学设想：
1. 情境设置
①在本 章的开头，问题（1）中时间
x
与GDP值中的
y?1.073
x
( x?x?20)与问题(2)

1
5
中时间t和C-14含量P的对应关系P =[()
30
]
t
，请问这两个函数有什么共同特征.
2
1
②这两个函数有什么共同特征
1
t
1
5730
1
5730
把P=[()]变成P?[()]
t
，从而得 出这两个关系式中的底数是一个正数，
22
自变量为指数，即都可以用
y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1来表示）.
二．讲授新课
·60·

指数函数的定义
一般地，函数
y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做指数函数，其中
x是自变量，
函数的定义域为R.
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1）
y?2
x?2
（2）
y?(?2)
x
（3）
y??2
x

（4）
y?
?
x
（5）
y?x
2
（6）
y?4x
2

（7）
y?x
x
（8）
y?(a?1)
x
（
a
＞1，且
a?2
）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因 为
a
＞0，
x
是任意一个实数
时，
a
x
是 一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
x
?
?
当x?0时,a等于0

若a?0,
?x
?
?
当x?0时,a无意义
若
a
＜0，如
y ?(?2)
x
,先时,对于x=,x?等等,
在实数范围内的函数值不存
在.
若
a
=1,
y?1
x
?1,
是一个常量，没有 研究的意义，只有满足
y?a
x
(a?0,且a?1)
x
1
x
1
6
1
8
的形式才能称为指
不
数函
符< br>数，
合
a为常数,象y=2-3,y=2,y?x
x
,y?3
x?5
,y?3
x
?1等等,
y?a
x
(a?0且a?1) 的形式,所以不是指数函数
.

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结
合的方法来研究. 下面我们通过

·61·

先来研究
a
＞1的情况
用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数
y?2
x
的图象
x

?3.00
1

?8
?2.50?2.00
1

4
?1.50?1.00
1

2
0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

y?2
x


y
1

y=2
x

2 4













再研究，0＜
a
＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数
y?()x
的图象.

x

- - - - - 0
-
-
- - - - - x
-
-
1
2
?2 .50?2.00?1.50?1.000.001.001.502.002.50
·62·

1
y?()
x

2

1

4

1

2
1 2 4







-
?
1
?
y?
??

?
2
?
x
y








- - - - - 0
-
-
-
-
- - - - x
从图中我们看出
y?2
x
与y? ()
x
的图象有什么关系?

通过图象看出
y?2
x
与y?()
x
的图象关于y轴对称,
实质是
y?2
x
上的
点(-x,y)

1
与y=()
x
上点(-x,y)关于y轴对称.

21
讨论：
y?2
x
与y?()
x
的图象关于
y
轴对称，所以这两个函数是偶函数，
2
1
2
1
2
对 吗？
·63·

?
1
?
y?
??

?
5
?
②
x
利用电脑软件画出
y?5
x
,y?3
x
,y ?()
x
,y?()
x
的函数图象.
8
y?5
x

y?3
x

1
3< br>1
5
?
1
?
y?
??

?
3
?
-5
x
6
4
2
0
-2
-4
510
-6
-8

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看
y?a
x
（
a
＞1）与
y?a
x
（0＜
a
＜1）两函数图象的特征.
8
y?a
x
(0?a?1)

6
y?a
x
(a?1)

4
2
-10-5
0
-2
-4
510
-6
-8

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、
最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数
y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1），当底数越大时，函数图象间有
什么样的关系.



图象特征
·64·
函数性质

a
＞1 0＜
a
＜1
a
＞1 0＜
a
＜1
向
x
轴正负方向无限延伸
图象关于原点和
y
轴不对称
函数图象都在
x
轴上方
函数图象都过定点（0，1）
自左向右，
图象逐渐上升
在第一象限内
的图
象纵坐标都大
于1
在第二象限内
的图
象纵坐标都小
于1
自左向右，
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+
a
0
=1
增函数
图象逐渐下降
在第一象限内
的图
x
＞0，
a
x
＞1
减函数
x
＞0，
a
x
＜1
象纵坐标都小
于1
在第二象限内
的图
x
＜0，
a
x
＜1
x
＜0，
a
x
＞1
象纵坐标都大
于1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在
[a,b]上,f(x)= a
x
（
a
＞0且
a
≠1）值域是
[f(a),f( b)]或[f(b),f(a)];

（2）若
x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

（3）对于指数函数
f(x)?a
x
（
a
＞0且
a
≠1），总有
f(1)?a;

（4）当
a
＞1时，若
x
1
＜
x
2
，则
f(x
1
)
＜f(x
2
)
；
例题：
·65·

例1：（P
66
例6）已知指数函数
f(x)?a
x
（< br>a
＞0且
a
≠1）的图象过点（3，
π），求
f(0),f(1),f(?3)的值.

分析：要求
f(0),f(1), f(?3)的值,只需求出a,得出f(x)=(
?
),
再把0，1，3分
别 代入
x
，即可求得
f(0),f(1),f(?3).

提问：要求出指数函数，需要几个条件？
课堂练习：P
68
练习：第1，2，3题
补充练习：1、函数
f(x)?()
x
的定义域和值域分别是多少?

2、当
x?[?1,1]时,函数f(x)?3
x
?2的值域是多少?

解（1）
x?R,y?0

（2）（－，１）

例2：求下列函数的定义域：
（1）
y?2
4
x?4
1< br>3
x
1
2
5
3
（2）
y?()
|x|

2
3
分析：类为
y?a< br>x
(a?1,a?0)
的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的
定义域， 保要使其指数部分有意义就得 .
3．归纳小结
作业：P
69
习题2.1 A组第5、6题
1、理解指数函数
y?a
x
(a?0),注 意a?1与0?a?1两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合
·66·

与分类讨论的数学思想 .

第2课时
教学过程：
1、复习指数函数的图象和性质
2、例题
例1：（P
66
例7）比较下列各题中的个值的大小
（1）1.7
2.5
与 1.7
3
( 2 )
0.8
?0.1
与
0.8
?0.2

( 3 ) 1.7
0.3
与

0.9
3.1
解法1：用数形 结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机
8
6
4
y?1.7x
510
2
-10-5
0
-2
-4
-6-8
画出
y?1.7
x
的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上
横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以
1.7
2.5
?1.7
3
.
解法2：用计算器直接计算：
1.7
2.5
?3.77

1.7
3
?4.91

所以，
1.7
2.5
?1.7
3

解法3：由函数的单调性考虑
·67·

因为指数函数
y?1.7
x
在R上是增函数，且2.5＜3，所以，
1.7< br>2.5
?1.7
3

仿照以上方法可以解决第（2）小题 .
注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .
由于1. 7
0.3
=0.9
3.1
不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.7
0.3
与0.9
3.1
的
大小 .
思考：
1、已知
a?0.8
0.7< br>,b?0.8
0.9
,c?1.2
0.8
,
按大小顺序排列< br>a,b,c
.
2. 比较
a与a的大小
（
a
＞0且
a
≠0）.
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多
实际的应用.
例 2（P
67
例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能
将人口年平 均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多
少（精确到亿）？
分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决
问题：
1999年底 人口约为13亿
经过1年 人口约为13（1+1%）亿
经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)
2
亿
经过3年 人口约为13(1+1%)
2
(1+1%)=13(1+1%)
3
亿
·68·
1
3
1
2

经过
x
年 人口约为13(1+1%)
x
亿
经过20年 人口约为13(1+1%)
20
亿
解：设今后人 口年平均增长率为1%，经过
x
年后，我国人口数为
y
亿，
则
y?13(1?1%)
x

当
x
=20时，
y?1 3(1?1%)
20
?16(亿)

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长 率为P，则对于经过时间
x
后总量
y?N(1?p)
x
,像y?N( 1?p)
x
等形如y?ka
x
(K?R
，
a
＞0且
a
≠1）的函数称
为指数型函数 .
思考：P
68
探究：
（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年
后，33年后的我国人 口数 .
（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年
相应的人口数 .
（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
（4）如何看待计划生育政策？
3．课堂练习
（1）右图是指数函数①
y?a
x
②
y?b
x
③
y?c
x
④
y?d
x
的图象，判
y?b
x
y?c
x

y?d
x

y?a
x

·69·

8
6
4
2
-10-5510
-2
-4
-6
断
a,b,c,d
与1的大小关系；
（2）设< br>y
1
?a
3x?1
,y
2
?a
?2x
,
其中
a
＞0，
a
≠1，确定
x
为何值时，有：
①
y
1
?y
2
②
y
1
＞
y
2

（3）用清水漂洗 衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢
y
与漂洗
次数
x
的函数关 系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗
几次（此题为人教社B版101页第6题）.
归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住
a
＞1或0
＜< br>a
＜时
y?a
x
的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指 数型函数
的应用，形如
y?ka
x
（a＞0且
a
≠1）.
作业：P
69
A组第 7 ，8 题 P
70
B组 第 1，4题


对数（第一课时）
一．教学目标：
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
·70·
3
4

②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 .
2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能
力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
二．重点与难点：
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
三．学法与教具：
（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现
（2）教具：投影仪
四．教学过程：
1．提出问题
思考：（P
72
思考题）
y?13?1.01
x
中，哪一年的人口数要达到10亿、20 亿、
30亿……，该如何解决？
即：
182030
?1.01
x< br>,?1.01
x
,?1.01
x
,
在个式子中，
x< br>分别等于多少？
131313
·71·

象上面的 式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学
习的对数（引出对数的概念）.
1、对数的概念
一般地，若
a
x
?N(a?0,且a?1)
，那么数
x
叫做以a为底N的对数，记作
x?log
a
N

a
叫做对数的底数，N叫做真数.
举例：如：
4
2
?16 ,则2?log
4
16
，读作2是以4为底，16的对数.

4?2
，则
?log
4
2
，读作是以4为底2的对数.
提问：你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制
a
＞0，且
a
≠1
（2）
a
x
?N?log
a
N?x

指数式
?
对数式
幂底数←
a
→对数底数
指 数←
x
→对数
幂 ←N→真数
说明：对数式
log
a
N
可看作一记号，表示底为
a
（
a
＞0，且
a
≠1），幂为
N的指数工表示方程
a
x
?N
（
a< br>＞0，且
a
≠1）的解. 也可以看作一种运算，
即已知底为
a
（
a
＞0，且
a
≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式
log
a
N
·72·
1
2
1
2
1
2

又可看幂运算的逆运算.
例题：
例1（P
73
例1）
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
11
（3）
()
m
?5.73

643
（4）
log
1
16??4
（5）
log
10
0.01??2
（6）
log
e
10?2.303

（1）5
4
=645 （2）
2
?6
?< br>2
注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生
说明.
（让学生自己完成，教师巡视指导）
巩固练习：P
74
练习 1、2
3．对数的性质：
提问：因为
a
＞0，
a
≠1时 ，
a
x
?N?x?log
a
N

则 由１、
a
0
=1 ２、
a
1
=
a
如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义，
a
logN
=？
a
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
①
Qa
0
?1,a
1
?a
（
a
＞0，且
a
≠1）
② ∵
a
＞0，且a
≠1对任意的力，
log
10
N
常记为
lgN
.
恒等式：
a
logN
=N
a
4、两类对数
·73·

① 以10为底的对数称为常用对数，
log
10
N
常记为
lgN
.
log
e
N
常记为
lnN
. ② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，
以后解题时，在没有指出对数的底的情况 下，都是指常用对数，如100
的对数等于2，即
lg100?2
.
说明： 在例1中，
log
10
0.01应改为lg0.01,log
e
10 应改为ln10
.
例2：求下列各式中x的值
（1）
log
64
x??
（2）
log
x
8?6
（3）
lg100?x
（4）
?lne
2
?x

分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：（1）
x?(6 4)?(4)?4
3
6
1
6
6
2
3
?2
3
?
2
3
2
3?(?)
3
?4?2
?
1
3
6
1

16
1
2
（2）
x?8,所以(x)?(8)?(2)?2?2

（3）
10
x
?100?10
2
,于是x?2

（4）
由?lne
2
?x,得?x?lne
2
,即e
-x< br>?e
2

所以
x??2

课堂练习：P
74
练习3、4
补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有
x
的求出
x
的值 .
（1）
5?
1
4
?
1
2
1
6
1
（2）
log
5
4
2
?x
（3）
3
x
?
1

27
（4）
()
x
?64
（5）
lg0.0001?x
（6）
lne
5
?x

2．求
a
log
a
b?log
b
c?log
c
N
的值(a,b,c?R
+
,
且不等于1，N＞0）.
log
3
1
5
3．计算
3
log
3
5< br>?3
的值.
4．归纳小结：对数的定义
·74·

a
b
?N?b?log
a
N
(a
＞0且
a
≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数
对数的性质
log
a
a?1

a
＞0且
a
≠1

a
log
a
N
?N

作业：P
86
习题 2.2 A组 1、2
P
88
B组 1


对数（第二课时）
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实 例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，
求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3. 情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积
·75·

极性.
二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用
难点：正确使用对数的运算性质
三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
教学用具：投影仪
四．教学过程
1．设置情境
复习：对数的定义及对数恒等式
log
a
N?b?a
b
?N
（
a
＞0，且
a
≠1，N＞0），
指数的运算性质.
a
m
?a
n
?a
m?n
;a
m
?a
n
?a
m?n

m
(a)?a;
mnmn
a?a

n
n
m
2．讲授新课
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指 数运算的逆运算，你能从
指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道
a
m
?a
n
?a
m?n
，那
m? n
如何表示，能用对数式运算吗？
如：
a
m
?a
n
?a
m?n
,设M?a
m
,N?a
n
。
于是MN?a
m?n
,
由对数的定义得到
M?a
m
?m ?log
a
M,N?a
n
?n?log
a
N

MN?a
m?n
?m?n?log
a
MN

·76·

?log
a
M?log
aN?log
a
MN(放出投影)

即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
（让学生探究，讨论）
如果
a
＞0且
a
≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）< br>log
a
MN?log
a
M?log
a
N

（2）
log
a
M
?log
a
M?log
a
N

N
（3）
log
a
M
n
? nlog
a
M(n?R)

证明：
（1）令
M?a
m
,N?a
n

M
?a
m
?a
n
?a
m?n

N
M

?m?n?log
a

N
则：
又由
M?a
m
,N?a
n

?m?log
a
M,n?log
a
N

即：
log
a
M?log
a
N?m?n?log
a
n
M

N
N
n
（3）
n?0时,令N?log
aM,则M?a


b?nlog
a
M,则M?a

?a?a

N
n
b
n
b
n
?N?b

M即
log
a
?log
a
M?log
a
N

N
当
n
=0时，显然成立.
·77·

?log
a
M
n
?nlog
a
M

提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定
a
＞0，且
a
≠1，M＞0，N＞0？
2． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？
例题：1. 判断下列式子是否正确，
a
＞0且
a
≠1，
x
＞0且
a
≠1，x
＞0，
x
＞
y
，则有
（1）
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)
（2）
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)< br>
（3）
log
a
x
?log
a
x?log
a
y
（4）
log
a
xy?log
a
x?log
a
y

y
1
x
（5）
(log
a
x)
n
?nlog
a
x
（6）
log
a
x??log
a

（7）
n
log
a
x?log
a
x
例2：用
log
a
x
，
log
a
y
，
log
a
z
表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）
小题的 值.
x
2
y
xy
（1）
log
a
（2）
log
a
3
（3）
log
z
(4
7
?2
5
)
（4）
lg
5
100

z
8
1
n
分析：利用对数运算性质直接计算：
（1）log
a
（2）
log
a
xy
?log
axy?log
a
z?log
a
x?log
a
y?log
a
z

z
x
2
y
3
z
? log
a
x
2
y?log
a
3
z?log
a
x
2
?log
a
y?log
a
3
z
1
2
1
3
=
2 log
a
x?log
a
y?log
a
z

（3）
log
2
(4
7
?2
5
)?log
2
4
7
?log
2
2
5
?14?5?19

（4）
lg100?lg10?

5
2
5
2
5
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.
·78·

让学生完成P
79
练习的第1，2，3题
提出问题：
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
a
＞0，且< br>a
≠1，
c
＞0，且
e
≠1，
b
＞0
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程. 设
M?log
c
a,N?log
c
b,则a?c
M,b?c
N

且
a?c,所以c?(a)?a?b

N N
1
M
1
M
N
M
即：
NN
log
c
b
?log
a
b,又因为?

MMlog
c
a
log
c
b
?log
a
b

log
c
a
所以：
小结：以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C＞0 且C≠1就行了，
除此之外，对C再也没有什么特定的要求.
提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？
说明：我们使用的计算器中，“
log
”通常是常用对数. 因此，要使用计
算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如：
log
2
3?
lg3

lg2
即计算
lo g
2
3
的值的按键顺序为：“
log
”→“3”→“÷”→“
log
”→“２”
→“=”
再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算
·79·

x?log
18
1.01
13
所以
x ?log
18
lg
18
lg18?lg131.2553?1.139
1.01
13
?
13
lg1.01
?
lg1.01
?
0.043

=
32.8837?33(年)

练习：P
79
练习4
让学生自己阅读思考P
77
~P
78
的例5，例的题目，教师点拨.
3、归纳小结
（1）学习归纳本节
（2）你认为学习对数有什么意义？大家议论.
4、作业
（1）书面作业：Ｐ
８６
习题２.２ 第3、4题 P
87

第11、
2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？
（2）
log
2
(?3)(?5)等于log
2
(?3)?log< br>2
(?5)吗?

§2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）

一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.
2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教学用具
·80·

题 12

1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；
2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．
三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
1．设置情境
在2．2．1的例6中，考古学家利用
log
1
P
估 算出土文物或古遗址的
5730
2
年代，对于每一个C
14
含量P， 通过关系式，都有唯一确定的年代
t
与之对
x
应．同理，对于每一个对数式< br>y?log
a
中的
x
，任取一个正的实数值，
y
均有
x
关于x
的函数． 唯一的值与之对应，所以
y?log
a
2．探索新知
一般地，我们 把函数
y?log
a
x
（
a
＞0且
a
≠1 ）叫做对数函数，其中
x
是
自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定
a
＞0且
a
≠1．
（2）．为什么对数函数
y?log
a
x
（
a
＞0 且
a
≠1）的定义域是（0，+∞）．组
织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数 函数的含义，从而加深对对数
函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知
y? log
a
x
可化为
a
y
?x
，由指数的概
念，要使
a
y
?x
有意义，必须规定
a
＞0且
a< br>≠1．
②因为
y?log
a
x
可化为
x?a
y
，不管
y
取什么值，由指数函数的性质，
a
y
＞0，所 以
x?(0,??)
．
例题1：求下列函数的定义域
（1）
y?log
a
x
2
（2）
y?log
a
(4?x)
（
a
＞0且
a
≠1）
分析：由对数函数的定义知：
x2
＞0；
4?x
＞0，解出不等式就可求出定
义域．
解：（1 ）因为
x
2
＞0，即
x
≠0，所以函数
y?log
a
x
的定义域为
?
x|x?0
?
.
（2）因为< br>4?x
＞0，即
x
＜4，所以函数
y?log
a
(4 ?x)
的定义域为
?
x|x
＜
4
?
.
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先完成P
81
表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数
2
·81·

y?log
2
x
的图象,
再利用电脑软件画出
y?log
0.5
x
的图象.


x

1

2
1
0
2
1
4
2
6
2.58
8
3
12
3.58
16
4
y
－1

y
y?log
0.5
x




０ x



y?log
2
x


注意到：
y?log
1
x??log
2
x
，若点
(x,y) 在y?log
2
x
的图象上，则点
2
(x,?y)在y?log1
x
的图象上. 由于（
x,?y
）与（
x,?y
）关 于
x
轴对称，因此，
2
y?log
1
x
的图象与< br>y?log
2
x
的图象关于
x
轴对称 . 所以，由此我们可以画出
2
y?log
1
x
的图象 .
2
先由学生自己画出
y?log
1
x
的图象，再由电 脑软件画出
y?log
2
x
与
2
y?log
1x
的图象.
2
探究：选取底数
a(a
＞0，且
a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标
系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现 它们有哪些特征吗？
.作法：用多媒体再画出
y?log
4
x
，< br>y?log
3
x
，
y?log
1
x
和
y?log
1
x

·82·
34
y?log
3
x

4

2
y?log
4
x

-5
0
5
y?log
1
x

-2
y?log
1
x

4

3
提 问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图
-4
象有何特征，性质又如 何？
先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)

图象的特征
（1）图象都在
y
轴的右边
（2）函数图象都经过（1，0）
（2）1的对数是0
点
x
（3 ）当
a
＞1时，
y?log
a
是增函数，
函数的性质
（1）定义域是（0，+∞）
（3）从左往右看，当
a
＞1时，
当
图象逐渐上升，当0＜
a
＜1时，
0＜
a
＜1时，
y?log
a
x
是减函
图象逐渐下降 .
数.
（4）当
a
＞1时，函数图象在（1，（4）当
a
＞1时
0）点右边的纵坐标都大于0，

x
＞1，则
log
a
x
＞0
在（1，0）点左边的纵坐标都小
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0
于0. 当0＜
a
＜1时，图象正好当0＜
a
＜1时
·83·

相反，在（1，0）点右边的纵坐

x
＞1，则
log
a
x
＜0
标都小于0，在（1，0）点左边
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0
的纵坐标都大于0 .
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完
成，教师适当启发 、引导）：

a
＞1 0＜
a
＜1


图

象


（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
性
（3）过点（1，0），即当
x
=1，
y
=0；
质
（4）在（0，+∞）上是增函
在（0，+∞）是上减函数
数
例题训练：
1. 比较下列各组数中的两个值大小
（1）
log
2
3.4,log
2
8.5

（2）
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7

（3）
log
a
5.1,log
a
5.9
（
a
＞0，且
a
≠1）
·84·

分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：
（1）解法1：用图形计算器或多媒体 画出对数函数
y?log
2
x
的图象.在
图象上，横坐标为3、4的 点在横坐标为8.5的点的下方：
所以，
log
2
3.4?log
2
8.5

解法2：由函数
y?log
2
x在R
+
上是单调增函数，且3.4 ＜8.5，所以
log
2
3.4?log
2
8.5
. 解法3：直接用计算器计算得：
log
2
3.4?1.8
，
lo g
2
8.5?3.1

（2）第（2）小题类似
（3）注：底数是常数，但要分类讨论
a
的范围，再由函数单调性判断
大小.
解法1：当
a
＞1时，
y?log
a
x
在（0，＋ ∞）上是增函数，且5.1＜5.9.
所以，
log
a
5.1
?< br>log
a
5.9

当
a
?
1时，
y ?log
a
x
在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.
所以，log
a
5.1
?
log
a
5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，
令
b
1< br>?log
a
5.1,则a
b
?5.1,
令
b2
?log
a
5.9,则a
b
?5.9,
则
则a
b
?5.9

12
2
当
a
＞1时，
y?a
x
在R上是增函数，且5.1＜5.9
所以，
b< br>1
＜
b
2
，即
log
a
5.1
＜< br>log
a
5.9

当0＜
a
＜1时，
y?a
x
在R上是减函数，且5.1＞5.9
所以，
b
1
＜b
2
，即
log
a
5.1
＞
log
a
5.9

说明：先画图象，由数形结合方法解答
·85·

课堂练习：Ｐ
８５
练习 第２，３题
补充练习
1．已知函数
y?f(2
x
)
的定义域为[-1 ，1]，则函数
y?f(log
2
x)
的定义域为
2．求函数
y?2?log
2
x(x?1)
的值域.
3． 已知
log
m
7
＜
log
n
7
＜0，按大 小顺序排列m, n, 0, 1
4．已知0＜
a
＜1, b
＞
1, ab
＞
1. 比较
log
a
,l og
a
b,log
b
的大小

归纳小结：
② 对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质，列表展现.



对数函数（第三课时）
一．教学目标：
1．知识与技能
（1）知识与技能
（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
2．过程与方法
学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.
3. 情感、态度、价值观
（1）体会指数函数与指数;
·86·
1
b
1
b

（2）进一步领悟数形结合的思想.
二．重点、难点：
重点：指数函数与对数函数内在联系
难点：反函数概念的理解
三．学法与教具：
学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系.
教具：多媒体
四．教学过程：
1．复习
（1）函数的概念
（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出
y?2
x
与y?log
2
x
的函数图
象.`
2．讲授新知
y?2
x

x

…
…
－3
1

8
－2
1

4
－1
1

2
0
1
1
2
2
4
3
8
…
…
y


y?log
2
x

x

…
…
－3
1

8
－2
1

8
－1
1

2
0
1
1
2
2
4
3
8
…
…
y


·87·

图象如下：













探究：在指数函数
y?2
x
中，
x
为自变量，
y
为因变量，如果把
y
当成自
变量，
x
当成因变量，那么
x
是
y
的函数吗？如果是，那么对应关 系是什么？
如果不是，请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.
在指数函数
y?2
x
中，
x
是自变量，
y
是
x
的函数（
x?R,y?R
?
），而且
其在R上是单调 递增函数. 过
y
轴正半轴上任意一点作
x
轴的平行线，与
y?2< br>x
的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，
y?2
x
得x? log
2
y
，
·88·
y
y?2
x

y?log
2
x

0 x

即对 于每一个
y
，在关系式
x?log
2
y
的作用之下，都有唯 一的确定的值
x
和
它对应，所以，可以把
y
作为自变量，
x
作为
y
的函数，我们说
x?log
2
y是y?2
x
(x?R)的反函数
.
从我们的列表中知道，
y?2
x
与 x?log
2
y
是同一个函数图象.
3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）
当一个函数是一一映射时，可以把这 个函数的因变量作为一个新的函数
自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个 函数
为反函数.
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.
如
x?log
3
y是y?3
x
的反函数，但习惯上，通常以
x
表示自变量，
y
表示函
数，对调
x?log
3
y< br>中的
x,y写成y?log
3
x
，这样
y?log
3
xx?(0,??)
是指数函数
y?3
x
(x?R)
的反函 数.
以后，我们所说的反函数是
x,y
对调后的函数，如
y?2
x
(x?R)
的反函数
是
y?log
2
xx?(0,??)< br>.
同理，
y?a
x
(a?1且a
＞1）的反函数是
y?log
a
x(a
＞0且
a?1)
.
课堂练习：求下列函数的反函数
（1）
y?5
x
（2）
y?log
0.5
x

归纳小结：
1. 今天我们主要学习了什么？
2．你怎样理解反函数？
课后思考：（供学有余力的学生练习）
·89·

我们知道
y?a
x
(a
＞0
且a?1)
与对数函数
y=log
a
x(a
＞0且
a?1)
互为反函
数，探索下列 问题.
1．在同一平面直角坐标系中，画出
y=2
x
与y?log
2
x
的图象，你能发现这
两个函数有什么样的对称性吗？
2．取
y?2
x
图象上的几个点，写出它们关于直线
y?x
的对称点 坐标，并
判断它们
是否在
y?log
2
x
的图象上吗？为什么？
3． 由上述探究你能得出什么结论，此结论对于
y?a
x
与y?log
a
x(a
＞
0
且a?1)
成立吗？
幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的
图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
·90·

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材P
90
的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：
y?x
?
，其 中
x
是自变量，
?
是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如
y?x
?
（
x?
R）的函 数称为幂孙函数，其中
x
是自变量，
?
是
常数.
如
y?x,y?x,y?x
等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，
2
1< br>3
?
1
4
都是基本初等函数.
·91·

2．研究函数的图像
（1）
y?x
（2）
y?x
（3）
y?x
2

（4）
y?x
?1
（5）
y?x
3

一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生 用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出
2
y?x

函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
1
2
y?x

4
y?x

2
1
2
y=x
3

y=x
-1

0
51015-5
-2
-4
-6

-8
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，
-10
教师注意引导学 生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性
质.
通过观察图像，填P
91
探究中的表格


定义域
奇偶性
y?x

y?x
2

y?x
3

y?x

1
2
y?x
?1

R
奇
R
奇
R
奇
?
x|x?0
?

?
x|x?0
?

非奇非奇
·92·

偶
在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ
象限单象限单 象限单象限单象限单象限单
调增减调递增
性
定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
调递增 调递增 调递增 调递减
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）
（原因：< br>1
x
?1
）；
（2）
x
＞0时，幂函数的 图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函
数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当
x
＞1，
x
＞1时，
x
∈（0，1），
y?x
2
的图象都在
y?x
图象
的下方，形状向下凸越大，下凸的程 度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，
x
∈（0，1），
y ?x
2
的图象都在
y?x
的图象上方，形状
向上凸，α越小，上凸的 程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当
x
向原点靠近时，图象在
y
轴的右方无限逼近
y
轴正
半轴， 当
x
慢慢地变大时，图象在
x
轴上方并无限逼近
x
轴的正半 轴.
例题：
1．证明幂函数
f(x)?x在[0,??]
上是增函数
证：任取
x
1
,x
2
?[0,??),且x
1
＜
x
2
则
·93·

f(x
1)?f(x
2
)?x
1
?x
2

=
=
(x
1
?x
2
) (x
1
?x
2
)
x
1
?x
2

x
1
?x
2

x
1
?x
2
因
x
1
?x
2
＜0，
x
1
?x
2
＞0
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
，即
f(x)?x在[0,??]
上是增函数.
思考：
我们知道，若
y?f(x)?0,若
f(x
1
)
?1
得
f(x
1
)?f(x
2
)
，你能否用这种作比的
f(x
2
)
方法来证明
f(x) ?x在[0,??]
上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1）
2,3
（ 2）
(x?1),x
1
6
1
6
3
2
32
(x?0)
（3）
(a?4),4

2
?< br>2
4
?
2
4
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出
y?x
的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单
调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P
92
习题 2.3 第2、3 题
小结与复习
一.教学目标
·94·
2
3

1.知识与技能
（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系.
（2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.
2.过程与方法
通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.
3.情感、态度、价值观
（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.
（2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
二.重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。
难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法：讲授法、讨论法。
2、教具：投影仪。
四、教学设想
1、回顾本章的知识结构


整数指数幂

定义

指数
对数

有理数指数幂
运算性质


无理数指数幂

定义

定义

指数函数 对数函数

图象与性质
图象与性质


2、指数与对数
指数式与对数式的互化
幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
·95·

指数←→对数值
提问：在对数式中，a，N，b的取值范围是什么？
例1：已知
l og
54
27
＝
a
，54
b
＝3，用
a, b表示log
108
81
的值
解法1：由
54
b
＝3得
log
54
3
＝b
∴
log
108
81
＝
log
54
81log27?log
54
3
a?ba?b
??
＝
54

log
54
108< br>log
54
2?12?log
54
272?a
解法2：由log
54
27?a得54?27

设
x?log
108
81,则108
x
?81
< br>所以
(54
2
?27
?1
)
x
?3?27< br>
即：
(54
2
?54
?a
)
x
? 54
b
?54
a

所以
54
2x?ax
? 54
a?b
,即2x?ax?a?b

因此得：
x?
a?b

2?a
（1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算
结果.
法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运
算的技巧性较大。
2．指数函数与对数函数
问题1：函数
y?a
x
与y?loga
x
中,a与x
分别必须满足什么条件.
问题2：在同一直角坐标系中 画出函数
y?a
x
与log
a
x
的图象，并说明两者
之间的关系.
问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.
例2：已知函数
y(x)
的图象沿
x
轴方向向左平移1个单位后与
f(x)?3
x
的
图象关于直线
y?x
对称，且
g(19)?a?2
，则函 数
y?3
ax
(0?x?1)
的值域
为 . 分析：函数
y?3
x
关于直线
y?x
对称的函数为
y? log
3
(x?1)

∴
g(19)?log
3
18?2?log
3
2

∴
a?log
3
2,?y?3
ax
?(3
log2
)
x
?2x

∵
x?(0,1],则y?(1,2]

小结：底数相同的指数函数与对数函 数关于
y?x
对称，它们之间还有一
个关系式子：
a
logN
?N(a?1,a?0,N?0)

3
a
例3：已知
f(x)?l og
a
1?x
(a?0且a?1)

1?x
（1）求
f(x)
的定义域
（2）求使
f(x)?0
的
x
的取值范围
·96·

分析：（1）要求
f(x)?log
a
1?x
的定义域，
1?x
?
1?x?0
?
1?x?0
1?x
则应有
?0?
?
或
?
1?x?01?x?0
1?x
??< br>（2）注意考虑不等号右边的0化为
log
a
1
，则（2）小题变为< br>log
a
1?x1?x1?x
?log
a
1,再分a>1和0 两种情况分别求出
?1和0??1
.
1?x1?x1?x
建议：通过提问由学生作答
课堂小结：
1．指数与对 数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间
可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运 算的常用方法.
2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于
y?x对
称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，
记作指数函 数与对数函数的性质.
作业：P
90
A组 3 7
P
91
B组 3 4


第三章 函数的应用

一、课程要求
本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法 ，使学生体会函数与方程
之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述
客观世界变化规律的基本 数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的
简单问题 .
1 .通过二次函数的图象, 懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,
通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.
2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近
似解,了解二分法的 实际应用,初步体会算法思想.
3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异 ，结
合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .
·97·

4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的< br>应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.
二、 编写意图和教学建议
1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、
方程、不等式之间的 关系，图象零点与方程根的关系）.
2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具
体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.
3． 教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创
设问题情境，增加了学生的学习兴趣， 利用计算机描绘、比较三种增长模型
的变化情况，展示
a
x
与log
a
x随a
的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，
利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学
效率.
4．教材安排了“阅读与思考” 的内容，肯在提高学生的数学文化素养，
教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信 息处理的能
力，培养探究精神，提高数学素养.
5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业 实践，体会函数模型的建
立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，
展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .
三、教学内容与课时的安排建议
全章教学时间约需9课时.
3.1 函数与方程 3课时
3.2函数模型及其应用 4课时
实习作业 1课时
小结 1课时




§3.1.1方程的根与函数的零点
·98·

一、 教学目标
1． 知识与技能
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会 函数零点与相应方程
要的关系，掌握零点存在的判定条件．
②培养学生的观察能力．
③培养学生的抽象概括能力．
2． 过程与方法
①通过观察二次函数图象，并计算 函数在区间端点上的函数值之积的
特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．
②让学生归纳整理本节所学知识．
3． 情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
二、教学重点、难点
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
三、学法与教学用具
1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、
交流、讨论和概括，从而 完成本节课的教学目标。
2． 教学用具：投影仪。
四、教学设想
(一)创设情景，揭示课题
·99·

1、提出问题：一元二次方程 ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
（用投影仪给出）
①方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?3

②方程
x
2
?2x?1?0
与函数
y?x
2
?2x?1

③方程
x
2< br>?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?3




1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和
x
轴交
点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交
流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
（二） 互动交流 研讨新知
函数零点的概念：
对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x )?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点．
·100·