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高中数学必修1函数完整部分题型总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 16:21
tags:高中数学必修一

高中数学选修微课-18年下半年资格证高中数学试题


~
函数及其表示

考点一 求定义域的几种情况
①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;
②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;
④若f(x)是对数函数,真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n
?
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
?
N
,则从A到B的映射个数为
n
m
。简单说成“前指后底”。
?x
2
?3x?4
1.(2009江西卷文)函数
y?
的定义域为 ( )
x
A.
[?4,1]
B.
[?4,0)
C.
(0,1]
D.
[?4,0)?(0,1]

x?0
?
解析 由
?
2

?4?x?0

0?x?1
,故选D.
?x?3x?4?0
?
2.(2009江西卷理)函数
y?
ln(x ?1)
?x?3x?4
2
的定义域为 ( )
A.
(?4,?1)
B.
(?4,1)
C.
(?1,1)
D.
(?1,1]

?
x?1? 0
?
x??1
?
?
??1?x?1
.故选C 解析 由
?
2
?4?x?1
?
?x?3x?4?0
?
3. (2009福建卷文)下列函数中,与函数
y?
1
有相同定义域的是
x
( )
A .
f(x)?lnx
B.
f(x)?
解析 由
y?
1
x
C.
f(x)?|x|
D.
f(x)?e

x
1
1
可得定义域是
x?0.f(x)?lnx
的定义域
x?0

f(x)?
的定义域是
x
≠0;
f(x)?|x|
的定义
x
x
x
域是
x?R;f(x)?e
定义域是
x?R
。故选A.
4.(2007年上海)函数
y?
lg(4?x)
的定义域是 . 答案

?
xx?4且x?3
?

x?3
5.求下列函数的定义域。①y=
x?2?
??
x?1
.③y=
x ?2
.②y=
2
x?x
x?1?1?x

6.已知函数f( x)的定义域为
?
1,5
?
,求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+ 1)的定义域。

··


~
方法二 函数概念的考察
1. 下列各组函数中表示同一函数的是( )A.y=
5
C.
y?
x
5

y?
x
2
B.y=ln

e
x

y?
e
lnx
< br>?
x?1
??
x?3
?
和y?
?
x?3?
D.
y?
0
和y?
1
x
0
?
x?1
?
x
2.函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个 数为
A. 0个B. 1个 C. 0个或1个 D. 不能确定 < br>3.已知函数y=
x
2
?2
定义域为
?
?1,0.1 ,2
?
,则其值域为
方法三 分段函数的考察
ⅰ求分段函数的定义域和值域
2x+2 x
?
?
?1,0
?

1求函数f(x)=
?
1
x
x
?
?
0,2
?
的定义域和值域
2
3 x
?
?
2,??
?

2(2010天津文数)设函数
g(x)?x?2(x?R)

(A)
?
?
2
(x)?x ?4,x?g(x),
f(x)?{
g
g(x)?x,x?g(x).
f(x)
的值域是
9
?
9
??
9
?
,0
?
?(1,??)
(B)
[0,??)
(C)
[? ,??)
(D)
?
?,0
?
?(2,??)

4< br>?
4
??
4
?
222
??
?
x?2 ?(x?4),x?x?2
?
x?2,x??1或x?2
【解析】依题意知
f (x)
?
2

f(x)
?
22
??
?x?2?x,x?x?2
?
x?2?x,?1?x?2

ⅱ求分段函数函数值
?
log
3
x,x?0
1
3 .(2010湖北文数)3.已知函数
f(x)?
?
x
,则
f(f( ))?

9
?
2,x?0
A.4 B.
1

4
C.-4 D-
1

4
1111
【解 析】根据分段函数可得
f()?log
3
??2
,则
f(f())? f(?2)?2
?2
?
,所以B正确.
9994
ⅲ解分段函数不等式
?
x
2
?4x?6,x?0
4.(2009天津卷文)设函数
f(x)?
?
则不等式
f(x)? f(1)
的解集是( )
x?6,x?0
?
A.
(?3,1)?(3,??)
B.
(?3,1)?(2,??)
C.
(?1,1)?(3,??)
D.
(??,?3)?(1,3)

答案 A解析 由已知,函数先增后减再增当
x?0

f(x)?2f(1)?3

f(x)?3,
< br>解得
x?1,x?3
。当
x?0

x?6?3,x??3
f(x)?f(1)?3
,解得
?3?x?1或x?3

?
x
2
?4x,
5.(2009天津卷理)已知函数
f(x)?
?
2
?
4x?x,
··
x?0
x?0

f(2?a)?f(a),
则实数
a

2


~
的取值范围是 A
(??,?1)?(2,??)
B
(?1,2)
C
(?2,1)
D
(??,?2)?(1,??)

2
解析:由题知
f(x)

R
上是增函数,由题得
2?a?a
,解得
?2?a?1
, 故选择C。
?
1
,x?0
?
1
?
x
6. (2009北京理)若函数
f(x)?
?
则不等式
|f(x)|?
的解集为____________.
3
?
(
1
)
x
,x?0
?
?
3
?
x ?0
?
x?0
?
x?0
1
?
1
?
?
解析 (1)由
|f(x)|??
?
11
??
1
.
3? x?0
.(2)由
|f(x)|??
?
?
1
?
x< br>1
?
?
?
1
?
x
1
?0?x?3
?
??
?
3
?
?
?
?
3< br>?
?
3
33
x3
?
?
??
?
??
∴不等式
|f(x)|?
1
的解集为
?
x|? 3?x?1
?
,∴应填
?
?3,1
?
.
3
?
log
2
x,x?0,
?
7。(2010天津理数)若函数f( x)=
?
log(?x),x?0
,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
1
?
?
2
(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)
【答案】C由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论。
?
a?0
?
a?0
a?0a<0
??
??
??

?
1
?a?1或-1?a?0

f(a)?f(?a)?
?
loga ?loga

?
log(?a)?log(?a)
?
?
1< br>2112
?a
a?
?
??
?
2
?
2
?2
?
?
a
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求 解,解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数
在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程
?
3
x
,x?1,
8.(2009北京 文)已知函数
f(x)?
?

f(x)?2
,则
x?
.
?
?x,x?1,
.w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x
的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

?
?
x?1
?
x?1
?x?log2
,无解,故应填
log
3
2
.
?
3
x
?
3?2
?
?x?2?x??2
方法四 求函数的解析式
1. 求下列函数的解析式
① 已知
f
?
x?< br>?
?
1
?
?
?
x
?
x
3< br>?
1
x
3
,求f(x).


已知f?
?
2
?
?1
?
?lgx,求f(x).

x
??
③ 已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
④ 已知f(x)满足
2f
?
x
?
?f
??
?3x.< br>求f(x).
··
?
1
?
?
x
?


~
方法五 函数图像的考察
e
x
?e
?x
1. (2009山东卷理)函数
y?
x
的图像大致为
?x
e?e
y
y

( ).

y
1
O
1

x
1
y
1
O









1
O
1
x
O1
x
1
x

D
A
B
C
解析 函数有意义,需使
e?e
x?x
e
x
?e
? x
e
2x
?12
?1?
2x
?0
,其定义域为?
x|x?0
?
,排除C,D,又因为
y?
x?x
?< br>2x
,
e?ee?1e?1
所以当
x?0
时函数为减函数,故 选A.
2.(2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线( 假定为直线)行驶.甲车、乙车的速
度曲线分别为
v

和v

(如图2所示).那么对于图中给定的
t
0
和t
1
,下列判断中一 定正确的是 ( )
A. 在
t
1
时刻,甲车在乙车前面 B.
t
1
时刻后,甲车在乙车后面
C. 在
t
0
时刻,两车的位置相同 D.
t
0
时刻后,乙车在甲车前面
解析 由图像可知,曲线
v


v

在0~
t
0
、0~
t
1

x
轴所围成图形面积大,
则在
t
0

t
1
时刻,甲车均在乙车前面,选A.
3.(2009江西卷文)如图所示,一质点
P(x,y)

xOy
平面上沿曲线运动,
速度大小不变,其在
x
轴上的投影点
Q(x,0)的运动速度
V?V(t)
的图象
大致为 ( )
V(t)

V(t)
V(t)
V(t)

A B C D

t
O
O
t
O

O
t

O
y
P(x,y)
Q(x,0)
x
t
解析 由图 可知,当质点
P(x,y)
在两个封闭曲线上运动时,投影点
Q(x,0)
的 速度先由正到0、到负数,再到0,
到正,故
A
错误;质点
P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0,故
D
错误;质点
P(x,y)
在开始时 沿直线运动,故
投影点
Q(x,0)
的速度为常数,因此
C
是错误的 ,故选
B
.
4(2010山东理数)(11)函数
y
=2-
x
的图像大致是
··
x

2


~

【解析】因为 当x=2或4时,2-
x
=0,所以排除B、C;当x=-2时,2-
x
=< br>5(2010安徽文数)设
abc?0
,二次函数
f(x)?ax
2< br>?bx?c
的图像可能是
x

2
x

2
1
?4<0
,故排除D,所以选A。
4

【解 析】当
a?0
时,
b

c
同号,(C)(D)两图中
c?0
,故
b?0,?
b
?0
,选项(D)符合
2a< br>【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分
a?0

a?0
两 种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线
与y轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的 位置等.
方法六 映射概念的考察
1. 设
f
:
x?

2
x
是集合A到集合B的映射,如果B=
?
1,2
?
,则A∩B=( )

?
2
?
D.
?

??
1
A.
?
B.
??
1
C.
?

2集合M=
?a,b,c
?
,N=
?
?1,0.1
?
映射f:
M?N
满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f:
M?N
的个数是( )
A.4 B.5 C. 6 D. 7
3集合M=
?
a,b,c
?
到集合N=
?
?1,0.1
?
一共有 个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域 求函数y=
2.分离常数法 求函数y=
x
2
?6x?5
的值域
3x?1
的值域
x?2
3.换元法 求函数y=
x?41?x
的值域
4.数形结合法 求函数y=
x?1?x?4
的值域
5.判别式法 求函数y=
2
x
?x?2
2
x
2
?x?1
的值域
方法八 函数奇偶性和周期性的考察
1.(2009全国卷Ⅰ理)函数
f (x)
的定义域为R,若
f(x?1)

f(x?1)
都是奇函数, 则( )
A.
f(x)
是偶函数 B.
f(x)
是奇函数
··


~
C.
f(x)?f(x?2)
D.
f(x?3)
是奇函数
答案 D解析
?
f(x?1)

f(x?1)
都是奇函数,
?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)

?

函数
f(x)
关于点
(1,0

)< br>及点
(?1,0

)
称,函数
f(x)
是周期
T?2[1?(?1)?]
的周期函
数.
?f(?x?1?4)??f(x?1?4 )

f(?x?3)??f(x?3)
,即
f(x?3)
是奇函数。 故选D
2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
?
?
log
2
(1?x),x?0

f(x?1)?f(x?2),x?0
?
( ) 则f(2009)的值为
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
答案 C解析 由已知得
f(?1)?log
2
2?1
,
f(0)?0
,
f(1)?f(0)?f(?1)?? 1
,
f(2)?f(1)?f(0)??1
,
f(3)?f(2)?f(1 )??1?(?1)?0
,
f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1
,< br>f(5)?f(4)?f(3)?1
,
f(6)?f(5)?f(4)?0
,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选C. < br>3.(2009江西卷文)已知函数
f(x)

(??,??)
上的偶 函数,若对于
x?0
,都有
f(x?2)?f(x)
,且当
x?[0 ,2)
时,
f(x)?log
2
(x?1
,则
f(?200 8)?f(2009)
的值为

( )
A.
?2
B.
?1
C.
1
D.
2

2
答案 C解析 f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log
1
2
?log
2
?1
,故选C.

方法九 函数奇偶性和对称性考察
1.(2009全国卷Ⅱ文)函数
y?log
2
2?x
的图像
2?x
( )
(A) 关于原点对称 (B)关于主线
y??x
对称
(C) 关于
y
轴对称 (D)关于直线
y?x
对称
答案 A解析 由于定义域为(-2,2)关于原点 对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,
选A。
4
x
?1
2.(2010重庆理数)(5) 函数
f
?
x
?
?
的图象
x
2
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
4
?x
?11?4
x
??f(x)

?f(x)
是偶函数,图像关于y轴对称 解析:
f(?x)?
2
?x
2
x
方法十 函数奇偶性和单调性的考察
1.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数
f(x),满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数,则
··


~
( ).
A.
f(?25)?f(11)?f(80)
B.
f(80)?f(11)?f(?25)

C.
f(11)?f(80)?f(?25)
D.
f(?25)?f(80)?f(11)

答案 D解析 因为
f(x )
满足
f(x?4)??f(x)
,所以
f(x?8)?f(x)
, 所以函数是以8为周期的周期函数, 则
f(?25)?f(?1)
,
f(80)?f (0)
,
f(11)?f(3)
,又因为
f(x)
在R上是奇函数,
f(0)?0
,得
f(80)?f(0)?0
,
f(?25)?f( ?1)??f(1)
,而由
f(?x4?)?

fx
f(11)?f (3)??f(?3)??f(1?4)?f(1)
,又因为
f(x)
在区间[0,2 ]上是增函数,所以
f(1)?f(0)?0
,所以
?f(1)?0
,即f(?25)?f(80)?f(11)
,故选D.
2.(2009全国卷 Ⅱ文)设
a?lge,b?(lge)
2
,c?lge,
则 ( )
(A)
a?b?c
(B)
a?c?b
(C)
c?a?b
(D)
c?b?a

1
lge, 作商比较知c>b,选B。
2
1
3.(2009辽宁卷文)已知偶函数
f( x)
在区间
?
0,??)
单调增加,则满足
f(2x?1)

f()
的x 取值范围是
3
答案 B解析 本题考查对数函数的增减性,由1>lge>0,知a>b,又c=
( )
(A)(
12121212
,) B.[,) C.(,) D.[,)
3
3
3
32323
11
),再根据f(x)的 单调性得|2x-1|<
33
答案 A
解析 由于f(x)是偶函数 ,故f(x)=f(|x|)∴得f(|2x-1|)<f(
解得
12
<x<
3
3
4.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数
f(x)
满足:对任意 的
x
1
,x
2
?[0,??)(x
1
?x
2
)
,有
则 ( )
f(x
2
)?f(x
1< br>)
?0
.
x
2
?x
1
(A)
f(3 )?f(?2)?f(1)
B.
f(1)?f(?2)?f(3)

C.
f(?2)?f(1)?f(3)
D.
f(3)?f(1)?f(?2)

答案 A 解析 由
(x
2
?x
1
)(f(x
2
)?f(x
1
)) ?0
等价,于
f(x
2
)?f(x
1
)
?0

f(x)

x
2
?x
1
x
1
,x
2
?(??,0](x
1
?x
2
)
上单调递 增, 又
f(x)
是偶函数,故
f(x)

x
1
,x
2
?(0,??](x
1
?x
2
)
单调递减. 且满足
n?N
*
时,
f(?2)?f(2)
,
3>2?1?0
,得
f(3)?f(?2)?f(1)
,故选A.
··


~
5.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数
f(x)
满足:对任意
的< br>x
1
,x
2
?(??,0](x
1
?x
2< br>)
,有
(x
2
?x
1
)(f(x
2
)?f(x
1
))?0
.
则当
n?N
时,有
*
( )
(A)
f(?n)?f(n?1)?f(n?1)
B.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

C. C.
f(n?1)?f(?n)?f(n?1)
D.
f(n?1)?f(n?1)?f(?n)

答案 C



6.(2009江苏卷)已知
a?
解析:x
1
,x
2
?(??,0](x
1
?x
2
)?(x< br>2
?x
1
)(f(x
2
)?f(x
1
))? 0
?x
2
?x
1
时,f(x
2
)?f(x
1
)?f(x)在(??,0]为增函数
f(x)为偶函数?f(x)在(0,??]为减函数
而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)? f(n?1)
5?1
x
,函数
f(x)?a
,若实数
m、则
m

n
满足
f(m)?f(n)

n的大小关系为 .
2
解析
a?
5?1
?(0,1)
,函数
f(x)?a
x
在R上递减。由
f(m)?f( n)
得:m2
232
3
5
2
5
2< br>5
7.(2010安徽文数)(7)设
a?(),b?(),c?()
,则a, b,c的大小关系是
555
(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a
x
7.A【解析】
y?x

x?0
时是增函数,所以
a?c

y?()

x? 0
时是减函数,所以
c?b

2
5
2
5
方法十一抽象函数的解法
1.(2009四川卷 理)已知函数
f(x)
是定义在实数集
R
上的不恒为零的偶函数,且对任意实 数
x
都有
5
xf(x?1)?(1?x)f(x
,则
)f(f())
的值是 ( )
2
15
A.0 B. C.1 D.
22
答案 A解析 令
x??
11111111
,则
?f()?f(?)?f()?f()?0
; 令
x?0
,则
f(0)?0

22222222
x?1
f(x)
,所以
x

x f(x?1)?(1?x)f(x)

f(x?1)?
53
5353515< br>f()?
2
f()?f()??
2
f()?0?f(f())?f(0 )?0
,故选择A。
3
22323
1
22
22
2 .(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数
f(x)
,满足
f(x?4)??f (x)
,且在区间[0,2]上是增函数,若方程
f(x)=m(m>0)在区间
?< br>?8,8
?
上有四个不同的根
x
1
,x
2
, x
3
,x
4
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?_________.

答案 -8解析 因为定义在R上的奇函数,满足
f(x?4)??f(x)
,所以
f(x ?4)?f(?x)
,所以, 由
f(x)

··


~
奇函数,所以函数图象关于直线
x?2
对称且
f (0)?0
,由
f(x?4)??f(x)

f(x?8)?f(x)
,所以函数是以8为
周期的周期函数,又因为
f(x)
在区间[0,2]上是增函数 ,所以
f(x)
在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程
f(x)=m (m>0)在区间
?
?8,8
?
上有四个不同的根
x
1,x
2
,x
3
,x
4
,不妨设
x
1< br>?x
2
?x
3
?x

4
对称性知
x
1
?x
2
??12
x
3
?x
4
? 4
所以
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
??12?4??8









y
f(x)=m (m>0)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
方法十二 对数函数的考察
3(2010全国卷1文数)(7)已知函数
f(x)? |lgx|
.若
a?b
且,
f(a)?f(b)
,则
a?b
的取值范围是
(A)
(1,??)
(B)
[1,??)
(C)
(2,??)
(D)
[2,??)

C【命题意图】做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式 求得a+b=
a?
因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍 去),或
b?
1
?2
,从而错选D,【解析1】
a
11,所以a+b=
a?
又0aa
f(a )?a?
1
由“对勾”函数的性质知函数
f(a)

a?
( 0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范
a
围是(2, +∞).
?
0?a?1
?
0?x?1
??
【解析2】由0 f
(
a
)=
f
(
b
)得:< br>?
1?b
,利用线性规划得:
?
1?y
,化为求
z? x?y
的取值范围问
?
ab?1
?
xy?1
??
题 ,
z?x?y?y??x?z

y?
11
?y
?
? ?
2
??1?
过点
?
1,1
?
时z最小为2,∴( C)
(2,??)

xx

4(2010全国卷1理数)(10) 已知函数
f
(
x
)=|lg
x
|.若0f
(
a
)=
f
(
b
),则a+2b的取值范围是
(A)
(22,??)
(B)
[22,??)
(C)
(3,??)
(D)
[3,??)


方法十三函数创新题的解法
1.(2009浙江理)对于正实数
?
,记M
?
为满足下述条件的函数
f(x)
构成的集合:
?x
1
,x
2
?R

x
2
?x
1
,有
?
?
(x
2
?x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?
?
(x
2
?x
1
).下列结论中正确的是
··
( )


~ A.若
f(x)?M
?
1

g(x)?M
?
2
,则
f(x)?g(x)?M
?
1?
?
2

B.若
f(x)?M
?
1

g(x)?M
?
2< br>,且
g(x)?0
,则
f(x)
?M
?
1

g(x)
?
2
C.若
f(x)?M
?
1

g(x)?M
?
2
,则
f(x)?g(x)?M
?
1?
?
2

D.若
f(x)?M
?
1

g(x)?M
?
2
,且
?
1
?
?
2
,则
f(x)?g(x)?M
?
1?
?
2
答案 C 解析 对于
?
?
(x
2
?x
1
)?f(x)
2
?f(
1
x?)
?
?(
2
x

x)
即有
?
?
?
1
f(x
2
)?f(x
1
)
?
?
,令
x
2
?x
1
f(x
2
)?f(x
1
)
?k,有
?
?
?k?
?
,不妨设
f(x)?M
?< br>1

g(x)?M
?
2
,即有
?
?
1
?k
f
?
?
1
,?
?
2
?k< br>g
?
?
2
,因
x
2
?x
1
此有
?
?
1
?
?
2
?k
f
?k< br>g
?
?
1
?
?
2
,因此有
f(x) ?g(x)?M
?
1?
?
2

2.(2009福建卷理) 函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
2
b
对称。据此可推测,对任意的非零实
2a
数a,b,c,m,n,p,关于 x的方程
m
?
f(x)
?
?nf(x)?p?0
的解集都不 可能是
( )
A.
?
1,2
?
B
?
1,4
?
C
?
1,2,3,4
?
D
?
1,4,16,64
?

答案 D解析 对方程
m[f(x)]
2
?nf(x)?P?0

m,n,p
分别赋值求出
f(x)
代入
f(x)?0
求出检验即得.
··

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