高中数学一节课讲多少-合肥招聘高中数学教师
§1.1.1 集合的含义与表示(1)
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
2. 能选择自然语言、图形语言
、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受
集合语言的意义和作用;
3.
掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
2
~ P
3
,找出疑惑之处)
讨论:军训前学校通知:8月15日上午8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员.
试问这
个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?
引入:在这里,
集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不
是高二、高三)对象的总体,
而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,
即是一些研究对象的总体.
集
合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上,
它还渗透到自然科学
的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比皆是,学习它可为参
阅一般科技读物和以后学习数学知
识准备必要的条件.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1:考察几组对象:
① 1~20以内所有的质数;
②
到定点的距离等于定长的所有点;
③ 所有的锐角三角形;
④
x
2
,
3x?2
,
5y
3
?x
,
x
2
?y
2
;
⑤ 东升高中高一级全体学生;
⑥
方程
x
2
?3x?0
的所有实数根;
⑦
隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车;
⑧ 2008年8月,广东所有出生婴儿.
试回答:
各组对象分别是一些什么?有多少个对象?
新知1
:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合
(set)
.
试试1:探究1中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么?
探究2:“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合?
新知2:集合元素的特征
对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征.
确
定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两
种情况必有一种且
只有一种成立.
互异性:同一集合中不应重复出现同一元素.
1
无序性:集合中的元素没有顺序.
只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 .
试试2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素:
①
不等式
x?3?0
的解;
② 3的倍数;
③
方程
x
2
?2x?1?0
的解;
④ a,b,c,x,y,z;
⑤ 最小的整数;
⑥ 周长为10 cm的三角形;
⑦ 中国古代四大发明;
⑧ 全班每个学生的年龄;
⑨ 地球上的四大洋;
⑩ 地球的小河流.
探究3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢?
新知3:集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)集合A,记作:a∈A;
如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong
to)集合A,记作:a
?
A.
试试3:
设B表示“5以内的自然数”组成的集合,则5 B,0.5 B, 0 B,
-
1 B.
探究4:常见的数集有哪些,又如何表示呢?
新知4:常见数集的表示
非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作N;
正整数集:所有正整数的集合,记作N
*
或N
+
;
整数集:全体整数的集合,记作Z;
有理数集:全体有理数的集合,记作Q;
实数集:全体实数的集合,记作R.
试试4:填∈或
?
:0
N,0 R,3.7 N,3.7 Z,
?3
Q,
3?2
R.
探究5:探究1中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的
语言表示等例子,都是用自然语
言来描述一个集合.
这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢?
新知5:列举法
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举
法.
注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a与{a}不同.
试试5:试试2中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示.
※ 典型例题
2
例1 用列举法表示下列集合:
① 15以内质数的集合;
②
方程
x(x
2
?1)?0
的所有实数根组成的集合;
③
一次函数
y?x
与
y?2x?1
的图象的交点组成的集合.
变式:用列举法表示“一次函数
y?x
的图象与二次函数
y?x
2<
br>的图象的交点”组成的集合.
三、总结提升
※ 学习小结
①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常见数集及表示;④列举
法.
※ 知识拓展
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1
874年康托尔提出“集合”的概念:
把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,
看作一个整体,就称为一
个集合,其中各事物称为该集合的元素.
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中
最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
下列说法正确的是( ).
A.某个村子里的高个子组成一个集合
B.所有小正数组成一个集合
C.集合
{1,2,3,4,5}
和
{5,4,3,2,1}
表示同一个集合
1361
D.
1,0.5,,,,
这六个数能组成一个集合
2244
2. 给出下列关系:
1
①
?R
;②
2?Q
;③
?3?N
?
;④
?3?Q.
2
其中正确的个数为( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 直线
y?2x?1
与y轴的交点所组成的集合为( ).
A.
{0,1}
B.
{(0,1)}
11
C.
{?,0}
D.
{(?,0)}
22
3
4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合,则:
深圳 A; 广州 A. (填∈或
?
)
5. “方程
x
2
?3x?0
的所有实数根”组成的集合用列举法表
示为____________.
课后作业
1.
用列举法表示下列集合:
(1)由小于10的所有质数组成的集合;
(2)10的所有正约数组成的集合;
(3)方程
x
2
?10x?0
的所有实数根组成的集合.
2.
设x∈R,集合
A?{3,x,x
2
?2x}
.
(1)求元素x所应满足的条件;
(2)若
?2?A
,求实数x.
§1.1.1 集合的含义与表示(2)
学习目标
1.
了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列
举法或描述法)描述不同的具体问题,感受
集合语言的意义和作用;
3.
掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
4
~ P
5
,找出疑惑之处)
复习1:一般地,指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .
集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有
、 .
复习2:集合
A?{x
2
?2x?1}
的元素是
,若1∈A,则x= .
复习3:集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,
1)}、{2,1}的元素分别是什么?四个集合有何关系?
4
二、新课导学
※ 学习探究
思考:
① 你能用自然语言描述集合
{2,4,6,8}
吗?
②
你能用列举法表示不等式
x?1?3
的解集吗?
探究:比较如下表示法
① {方程
x
2
?1?0
的根};
②
{?1,1}
;
③
{x?R|x
2
?1?0}
.
新
知:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,一般形式为
{x?A|P}
,其<
br>中x代表元素,P是确定条件.
试试:方程
x
2
?3?0
的所有实数根组成的集合,用描述法表示为
.
※ 典型例题
例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程
x(x
2
?1)?0
的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
练习:用描述法表示下列集合.
(1)方程
x
3
?4x?0
的所有实数根组成的集合;
(2)所有奇数组成的集合.
小结:
用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看,
x?R
、
x?Z
明确时可省略,例如
5
{x|x?2k?1,k?Z}
,
{x|x?0}
.
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)抛物线
y?x
2
?1
上的所有点组成的集合;
?
3x?2y?2
(2)方程组
?
解集.
2x?3y?27
?
变式:以下三个集合有什么区别.
(1)
{(x,y)|y?x
2
?1}
;
(2)
{y|y?x
2
?1}
;
(3)
{x|y?x
2
?1}
.
反思与小结:
① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如
{(x,y)|y?x
2?1}
与
{y|y?x
2
?1}
不
同.
②
只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如
{x|x?1}
,
{x|x?3k,
k?Z}
.
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集Z,所
以不必写{全体
整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.
④ 列举法与描述法各有
优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合
中元素较多或有无限个元素时,不宜采
用列举法.
※ 动手试试
练1.
用适当的方法表示集合:大于0的所有奇数.
练2. 已知集合
A?{x|?3?x?3,x?Z}
,集合<
br>B?{(x,y)|y?x
2
?1,x?A}
.
试用列举法分别
表示集合A、B.
6
三、总结提升
※ 学习小结
1.
集合的三种表示方法(自然语言、列举法、描述法);
2. 会用适当的方法表示集合;
※ 知识拓展
1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如:
(1)所
有直角三角形的集合可以表示为:
{x|x是直角三角形}
,也可以写成:{直角三角形};
(2)集合
{(x,y)|y?x
2
?1}
与集合
{y|y
?x
2
?1}
是同一个集合吗?
2.
我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,即:文氏图,或称Venn图.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
设
A?{x?N|1?x?6}
,则下列正确的是( ).
A.
6?A
B.
0?A
C.
3?A
D.
3.5?A
2. 下列说法正确的是(
).
A.不等式
2x?5?3
的解集表示为
{x?4}
B.所有偶数的集合表示为
{x|x?2k}
C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D.
方程
x
2
?4?0
实数根的集合表示为
{(?2,2)}
3.
一次函数
y?x?3
与
y??2x
的图象的交点组成的集合是( ).
A.
{1,?2}
B.
{x?1,y??2}
?
y?x?3
}
C.
{(?2,1)}
D.
{(x,y)|
?
y??2x
?
4.
用列举法表示集合
A?{x?Z|5?x?10}
为
.
5.集合A={x|x=2n且n∈N},
B?{x|x
2
?6x?5?0}
,用∈或
?
填空:
4 A,4 B,5 A,5 B.
课后作业
1.
(1)设集合
A?{(x,y)|x?y?6,x?N,y?N}
,试用列举法表示集合A.
(2)设A={x|x=2n,n∈N,且n<10},B={3的倍数},求属于A且属于B的元素所
组成的
集合.
7
2. 若集合<
br>A?{?1,3}
,集合
B?{x|x
2
?ax?b?0}
,
且
A?B
,求实数a、b.
§1.1.2 集合间的基本关系
学习目标
1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
2.
理解子集、真子集的概念;
3.
能利用Venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用;
4. 了解空集的含义.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
6
~ P
7
,找出疑惑之处)
复习1:集合的表示方法有 、 、
.
请用适当的方法表示下列集合.
(1)10以内3的倍数;(2)1000以内3的倍数.
复习2:用适当的符号填空.
(1)
0 N;
2
Q; -1.5 R.
(2)设集合
A
?{x|(x?1)
2
(x?3)?0}
,
B?{b}
,则1
A;b B;
{1,3}
A.
思考:类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?
二、新课导学
※ 学习探究
探究:比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:
A?{3,6,9}
与B?{x|x?3k,k?N
*
且k?333}
;
C?{东升高中学生}
与
D?{东升高中高一学生}
;
E?{x|x(x?1)(x?2)?0}
与
F?{0,1,2}
.
8
新知:子集、相等、真子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素
,我们说这两个集合有包含关系,称集合
A是集合B的子集(subset),记作:
A?B(
或B?A)
,读作:A包含于(is contained
in)B,
或B包含(contains)A.
当集合A不包含于集合B时,记作
A?B
.
②
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
用Venn
图表示两个集合间的“包含”关系为:
A?B(或B?A)
.
A
B
③ 集合相等:若
A
?B且B?A
,则
A?B
中的元素是一样的,因此
A?B
.
④ 真子集:若集合
A?B
,存在元素
x?B且x?A
,
则称集合A是集合B的真子集(proper
subset),记作:A B(或B
A),读作:A真包含于B(或B真包含A).
⑤
空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:
?
.
并规定:空集是任何集
合的子集,是任何非空集合的真子集.
试试:用适当的符号填空.
(1)
{a,b}
{a,b,c}
,
a
{a,b,c}
;
(2)
?
{x|x
2
?3?0}
,
?
R;
(3)N
{0,1}
,Q N;
(4)
{0}
{x|x
2
?x?0}
.
反思:思考下列问题.
(1)符号“
a?A
”与“
{a}?A
”有什么区别?试举例说明.
(2)任何一个集合是它本身的子集
吗?任何一个集合是它本身的真子集吗?试用符号表示
结论.
(3)类比下列实数中的结论,你能在集合中得出什么结论?
①
若
a?b,且b?a,则a?b
;
②
若
a?b,且b?c,则a?c
.
9
※ 典型例题
例1
写出集合
{a,b,c}
的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.
变式:写出集合
{0,1,2}
的所有真子集组成的集合.
例2 判断下列集合间的关系:
(1)
A?{x|x?3?2}
与
B?{x|2x?5?0}
;
(2)设集合A={0,1},集合
B?{x|x?A}
,则A与B的关系如何?
变式:若集合
A?{x|x?a}
,B?{x|2x?5?0}
,且满足
A?B
,求实数
a
的取值范
围.
※ 动手试试
练1. 已知集合
A
?{x|x
2
?3x?2?0}
,B={1,2},
C?{x|x?8,x?
N}
,用适当符号填空:
A B,A C,{2} C,2
C.
练2. 已知集合
A?{x|a?x?5}
,
B?{x|x
?2}
,且满足
A?B
,则实数
a
的取值范围
为
.
三、总结提升
※ 学习小结
1.
子集、真子集、空集、相等的概念及符号;Venn图图示;一些结论.
2. 两个集合间的基本关系
只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,
特别要注意区别“属于”与“包含”两种
关系及其表示方法.
※ 知识拓展
如果一个集合含有n个元素,那
么它的子集有
2
n
个,真子集有
2
n
?1
个.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
10
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1. 下列结论正确的是( ).
A.
?
A B.
??{0}
C.
{1,2}?Z
D.
{0}?{0,1}
2. 设A?
?
xx?1
?
,B?
?
xx?a
?
,且
A?B
,则实数a的取值范围为( ).
A.
a?1
B.
a?1
C.
a?1
D.
a?1
3.
若
{1,2}?{x|x
2
?bx?c?0}
,则( ).
A.
b??3,c?2
B.
b?3,c??2
C.
b??2,c?3
D.
b?2,c??3
4.
满足
{a,b}?A?{a,b,c,d}
的集合A有 个.
5. 设集合A?{四边形},B?{平行四边形},C?{矩形}
,
D?{正方形}
,则它们
之间的关系
是 ,并用Venn图表示.
课后作业
1.
某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格. 若用A表示合格产品的集
合,B表示质量
合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成
立?
A?B,B?A,A?C,C?A
试用Venn图表示这三个集合的关系.
2. 已知<
br>A?{x|x
2
?px?q?0}
,
B?{x|x
2
?3x?2?0}
且
A?B
,求实数p、q所满足的条件.
§1.1.3
集合的基本运算(1)
学习目标
1.
理解交集与并集的概念,掌握交集与并集的区别与联系;
2.
会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题;
3.
能使用Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
11
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
8
~ P
9
,找出疑惑之处)
复习1:用适当符号填空.
0 {0}; 0
?
;
?
{x|x
2
+1=0,x∈R};
{0} {x|x<3且x>5};{x|x>-3} {x|x>2};
{x|x>6} {x|x<-2或x>5}.
复习2:已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S,
{x|x∈S且x
?
A}= .
思考:实数有加法运算,类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?
二、新课导学
※ 学习探究
探究:设集合
A?{4,5,6,8}
,
B?{3,5,7,8}
.
(1)试用Venn图表示集合A、B后,指出它们的公共部分(交)、合并部分(并);
(2)讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并?
新知:交集、并集.
① 一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的
集合,叫作A、B的交集
(intersection set),记作A∩B,读“A交B”,即:
AIB?{x|x?A,且x?B}.
Venn图如右表示.
B
A
② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集(union
set),
记作:
AUB
,读作:A并B,用描述法表示是:
AUB?{x|x?A,或x?B}
.
Venn图如右表示.
B
A
试试:
(1)A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则A∪B= ;
(2)设A={等腰三角形},B={直角三角形},则A∩B= ;
(3)A={x|x>3},B={x|x<6},则A∪B= ,A∩B=
.
(4)分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.
12
B
A(B) A
B A
A B
B
A
反思:
(1)A∩B与A、B、B∩A有什么关系?
(2)A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系?
(3)A∩A= ;A∪A= .
A∩
?
= ;A∪
?
= .
※ 典型例题
例1 设
A?{x|?1?x?8}
,
B?
{x|x?4或x??5}
,求A∩B、A∪B.
变式:若A={x|-5≤x≤8},
B?{x|x?4或x??5}
,则A∩B=
;A∪
B= .
小结:有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
例2 设
A?{(x,y)|4
x?y?6}
,
B?{(x,y)|3x?2y?7}
,求A∩B.
变式:
(1)若
A?{(x,y)|4x?y?6}
,
B?{(x,y)|4x?y?3}
,则
AIB?
;
(2)若
A?{(x,y)|4x?y
?6}
,
B?{(x,y)|8x?2y?12}
,则
AIB?
.
反思:例2及变式的结论说明了什么几何意义?
※
动手试试
练1.
设集合
A?{x|?2?x?3},B?{x|1?x?2}
.求A∩B、A∪B.
13
练2. 学校里开运动会,设A={
x
|
x
是参加跳高的同学},B
={
x
|
x
是参加跳远的同学},
C={
x
|x
是参加投掷的同学},学校规定,在上述比赛中,每个同学最多只能参加两项比赛,
请你
用集合的运算说明这项规定,并解释
AIB
与
BIC
的含义.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质;
2.
求交集、并集的两种方法:数轴、Venn图.
※ 知识拓展
,
AI(BUC)?(AIB)U(AIC)
,
AU(BIC)?(AUB)I(AUC)
,
(AIB)IC?AI(BIC)
,
(AUB)UC?AU(BUC)
AI(AUB)?A,AU(AIB)?A
.
你能结合Venn图,分析出上述集合运算的性质吗?
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1. 设
A?
?
x?Zx
?5
?
,B?
?
x?Zx?1
?
,
那么
A
IB
等于( ).
A.
{1,2,3,4,5}
C.
{2,3,4}
B.
{2,3,4,5}
D.
?
x1?x?5
?
2. 已知集合M={(x,
y)|x+y=2},N={(x, y)|x-y=4},那么集合M∩N为( ).
A.
x=3, y=-1 B. (3,-1)
C.{3,-1} D.{(3,-1)}
3. 设
A?
?
0,1,2,3,4,5
?
,B?{1,3
,6,9},C?{3,7,8}
,则
(AIB)UC
等于( ).
A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,}
C.
{1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}
4. 设
A?{x|x?a
}
,
B?{x|0?x?3}
,若
AIB??
,求实数a的取值范围
是 .
5. 设
A?xx
2
?2x?3?0,B?x
x
2
?5x?6?0
,则
AUB
= .
????
课后作业
1. 设平面内直线
l
1
上点的集合为
L
1
,直线
l
2
上点的集合为L
2
,试分别说明下面三种情况时
直线
l
1
与直线l
2
的位置关系?
14
(1)
L
1
IL
2
?{点P}
;
(2)
L
1
IL
2
??
;
(3)
L
1
IL
2
?L
1
?L
2
.
1
2. 若关于x的方程3
x
2
+px-7=0的解集为A,方程3x
2
-7x+q=0的解集为B,且
A∩B={
?
},
3
求
AUB
.
§1.1.3 集合的基本运算(2)
学习目标
1.
理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
2.
能使用Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
10
~
P
11
,找出疑惑之处)
复习1:集合相关概念及运算.
①
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,则称集合A是集合B的 ,记
作
.
若集合
A?B
,存在元素
x?B且x?A
,则称集合A是集合B的
,记作 .
若
A?B且B?A
,则 .
② 两个集合的 部分、
部分,分别是它们交集、并集,用符号语言表示为:
AIB?
;
AUB?
.
复习2:已知A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则A、B、R有何关系?
二、新课导学
※ 学习探究
探究:设U
={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学},
15
则U、A、B有何关系?
新知:全集、补集.
① 全集:如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么
就称这个集合为全
集(Universe),通常记作U.
②
补集:已知集合U, 集合A
?
U,由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作A相对
于U的补集(complementary set),记作:
C
U
A
,读
作:“A在U中补集”,即
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
.
补集的Venn图表示如右:
说明:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,补集的概念必须要有全集的限制.
试试: (1)U={2,3,4},A={4,3},B=
?
,则
C
U
A
= ,
C
U
B
= ;
(2)
设U={x|x<8,且x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则
C
U
A
= ;
(3)设集合
A?{x|3?x?
8}
,则
?
R
A
= ;
(4)设U={三角形},A={锐角三角形},则
C
U
A
=
.
反思:
(1)在解不等式时,一般把什么作为全集?在研究图形集合时,一般把什么作为全集?
(2)Q的补集如何表示?意为什么?
※ 典型例题
例1 设U={x|x<13,且x∈N},A={8的正约数},B={12的正约数},求
C
U
A
、
C
U
B
.
例2 设U=R,A=
{x|-1
U
A
、
C
U
B
.
16
变式:分别求
C
U
(AUB)
、
(C
U
A)I(
C
U
B)
.
※
动手试试
练1. 已知全集I={小于10的正整数},其子集A、B满足
(CI
A)I(C
I
B)?{1,9}
,
(C
I
A
)IB?{4,6,8}
,
AIB?{2}
. 求集合A、B.
练2.
分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.
(1)
; (2) ;
(3)
; (4) .
反思:
结合Venn图分析,如何得到性质:
(1)
AI(C
U
A)?
,
AU(C
U
A)?
;
(2)
C
U
(C
U
A)?
.
三、总结提升
※ 学习小结
17
1. 补集、全集的概念;补集、全集的符号.
2.
集合运算的两种方法:数轴、Venn图.
※ 知识拓展
试结合Venn图分析,探索如下等式是否成立?
(1)
C
U
(A
UB)?(C
U
A)I(C
U
B)
;
(2)
C<
br>U
(AIB)?(C
U
A)U(C
U
B)
.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1. 设全集U=R,集合
A?{x|x<
br>2
?1}
,则
C
U
A
=( )
A. 1 B. -1,1
C.
{1}
D.
{?1,1}
2. 已知集合U=
{x|x?0}
,
C<
br>U
A?{x|0?x?2}
,那么集合
A?
( ).
A.
{x|x?0或x?2}
B.
{x|x?0或x?2}
C.
{x|x?2}
D.
{x|x?2}
3. 设全集
I?
?
0,?1,?2,?
3,?4
?
,集合
M?
?
0,?1,?2
?
, <
br>N?
?
0,?3,?4
?
,则
?
?
I
M
?
IN?
( ).
A.{0}
C.
?
?1,?2
?
B.
?
?3,?4
?
D.
?
4.
已知U={x∈N|x≤10},A={小于11的质数},则
C
U
A
=
.
5. 定义A—B={x|x∈A,且x
?
B},若M={1,2,3,4,5}
,N={2,4,8},则N—M= .
课后作业
1. 已知全集I=
{2,3,a
2
?2a?3}
,若
A?
{b,2}
,
C
I
A?{5}
,求实数
a,b
.
2. 已知全集U=R,集合A=
xx
2
?px?2?
0
,
B?xx
2
?5x?q?0,
若
(C
UA)IB?
?
2
?
,
试用列举法表示集合A
????
18
§1.1 集合(复习)
学习目标
1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质,能运
行性质解决一些简单的问题,掌握
集合的有关术语和符号;
2.
能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
学习过程
一、课前准备
(复习教材P
2
~
P
14
,找出疑惑之处)
复习1:什么叫交集、并集、补集?符号语言如何表示?图形语言?
AIB?
;
AUB?
;
C
U
A?
.
复习2:交、并、补有如下性质.
A∩A=
;A∩
?
= ;
A∪A=
;A∪
?
= ;
AI(C
U
A)?
;
AU(C
U
A)?
;
C
U
(C
U
A)?
.
你还能写出一些吗?
二、新课导学
※
典型例题
例1 设U=R,
A?{x|?5?x?5}
,
B?{x
|0?x?7}
.求A∩B、A∪B、C
U
A 、C
U
B、(CU
A)
∩(C
U
B)、(C
U
A)∪(C
U<
br>B)、C
U
(A∪B)、C
U
(A∩B).
19
小结:
(1)不等式的交、并、补集的运算,可以借助数轴进行分析,注意端点;
(2)由以上结果,你能得出什么结论吗?
例2已知全集
U?{1,2,3,4,5
}
,若
AUB?U
,
AIB?
?
,
AI(C
U
B)?{1,2}
,求集合A、B.
小结:
列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法.
例3 若
A?
?
xx
2
?4x?3?0
?
,B?
?
xx
2
?ax?a?1?0
?
C??
xx
2
?mx?1?0
?
且AUB?A,AIC?C
,求实数a、m的值或取值范围.
变式:设
A?{x|x
2
?8x?15?0}
,
B?{x|ax?1?0}
,若B
?
A,求实数a组成的集合、.
20
,
※ 动手试试
练1. 设<
br>A?{x|x
2
?ax?6?0}
,
B?{x|x
2
?x?c?0}
,且A∩B={2},求A∪B.
练2. 已知A={x|
x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A
?
B时,求实数m的取值范围。
练3. 设A={x|x
2
-ax+a
2
-19=0},B={x|
x
2
-5x+6=0},C={x|x
2
+2x-8=0}.
(1)若A=B,求a的值;
(2)若
?
A∩B,A∩C=
?
,求a的值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 集合的交、并、补运算.
2. Venn图示、数轴分析.
※ 知识拓展
集合中元素的个数的研究:
有限集合A中元素的个数记为
n(A)
,
则
n(AUB)?n(A)?n(B)?n(AIB)
.
你能结合Venn图分析这个结论吗?
能再研究出
n(AUBUC)
吗?
21
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1. 如果集合A={x|ax
2
+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是(
).
A.0 B.0 或1
C.1 D.不能确定
2. 集合A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=4k,k∈Z},则A与B的关系为(
).
A.A
?
B B.A
?
?
B
?
C.A=B D.A
?
B
3. 设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7}
,集合
A?{1,3,5}
,集合B?{3,5}
,则( ).
A.
U?AUB
B.
U?(C
U
A)UB
C.
U?AU(C
U
B)
D.
U?(C
U
A)U(C
U
B)
?
4. 满足条件{1,2,3}
?
?
M
?
{1,
2,3,4,5,6}的集合M的个数是 .
5. 设集合
M?{y|y?3?x
2
}
,
N?{y|y?2x
2
?1}
,则
MIN?
.
课后作业
1.
设全集
U?{x|x?5,且x?N*}
,集合
A?{x|x
2
?
5x?q?0}
,
B?{x|x
2
?px?12?0}
,且
(C
U
A)UB?{1,2,3,4,5}
,求实数p、q
的值.
2. 已知集合A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|x
2
-ax+3a-5=0}.若A∩B=B,求实数a的取值范围.
§1.2.1
函数的概念(1)
学习目标
1.
通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础
22
上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
2. 了解构成函数的要素;
3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
15
~
P
17
,找出疑惑之处)
复习1:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系?
复习2:(初中对函数的定义)在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的
每一个确定
的值,y都有唯一的值与之对应,此时y是x的函数,x是自变量,y是因变量.
表示方法有:
解析法、列表法、图象法.
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一:函数模型思想及函数概念
问题:研究下面三个实例:
A. 一枚炮弹发射,经26秒后落地击中目标,射高为845米,且炮弹距地面高度h(米)
与时间t(秒)的变化规律是
h?130t?5t
2
.
B.
近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问
题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变
化情况.
C.
国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映
一个国家人民生活质量的高低.
“八五”计划以来我们城镇居
民的恩格尔系数如下表.
年份
恩格尔
系数%
1991 1992 1993 1994 1995
53.8 52.9 50.1
49.9 49.9
…
…
讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的
变化范围分别是什么?两个变量之间存在着这样
的对应关系? 三个实例有什么共同点?
归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对于数集A中的每一个x,按照某
种对应关
系f,在数集B中都与唯一确定的y和它对应,记作:
f
:
A?B<
br>.
新知:函数定义.
设A
、
B是非空数集,如果按照某
种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,
在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么称
f
:
A?B
为从集合A到集合B的一个
函
数(function),记作:
y?f(x),x?A
.
其中,x叫自变量,
x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值,
函数值的集合
{
f(x)|x?A}
叫值域(range).
试试:
(1)已知
f(x)?x
2
?2x?3
,求
f(0)
、
f(1)、
f(2)
、
f(?1)
的值.
23
(2)函数
y?x
2
?2x?3,x?{?1,0,1,2}
值域是
.
反思:
(1)值域与B的关系是 ;构成函数的三要素是
、 、 .
(2)常见函数的定义域与值域.
函数
一次函数
二次函数
反比例函数
解析式 定义域
值域
y?ax?b(a?0)
y?ax
2
?bx?c
,
其中
a?0
k
y?(k?0)
x
探究任务二:区间及写法
新知:设a、b是两个实数,且a{x|a?x?b}?[a,b]
叫闭区间;
{x|a?x?b}?(a,b)
叫开区间;
{x|a?x?b}?[a,b),
{x|a?x?b}?(a,b]
都叫半开半闭区间.
实数集R用区间<
br>(??,??)
表示,其中“∞”读“无穷大”;“-∞”读“负无穷大”;“+∞”
读
“正无穷大”.
试试:用区间表示.
(1){x|x≥a}=
、{x|x>a}= 、
{x|x≤b}=
、{x|x(2)
{x|x?0或x?1}
=
.
(3)函数y=
x
的定义域 ,
值域是
. (观察法)
※ 典型例题
例1已知函数
f(x)?x?1
.
(1)求
f(3)
的值;
(2)求函数的定义域(用区间表示);
(3)求
f(a
2
?1)
的值.
1
变式:已知函数
f(x)?
.
x?1
(1)求
f(3)
的值;
(2)求函数的定义域(用区间表示);
24
(3)求
f(a
2
?1)
的值.
※ 动手试试
练1. 已知函数
f(x)?3x
2
?5x?2
,求
f(3
)
、
f(?2)
、
f(a?1)
的值.
1
练2. 求函数
f(x)?
的定义域.
4x?3
三、总结提升
※ 学习小结
①函数模型应用思想;②函数概念;③二次函数的值域;④区间表示.
※ 知识拓展
求函数定义域的规则:
f(x)
①
分式:
y?
,则
g(x)?0
;
g(x)
② 偶次根式
:
y?
2n
f(x)(n?N
*
)
,则
f(x)?
0
;
③
零次幂式:
y?[f(x)]
0
,则
f(x)?0
.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
已知函数
g(t)?2t
2
?1
,则
g(1)?
(
).
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2.
函数
f(x)?1?2x
的定义域是( ).
1
1
A.
[,??)
B.
(,??)
2
2
11
C.
(??,]
D.
(??,)
22
3.
已知函数
f(x)?2x?3
,若
f(a)?1
,则a=( ).
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4.
函数
y?x
2
,x?{?2,?1,0,1,2}
的值域是 .
2
5. 函数
y??
的定义域是
,值域是 .(用区间表
x
示)
课后作业
25
1.
求函数
y?
1
的定义域与值域.
x?1
2.
已知
y?f(t)?t?2
,
t(x)?x
2
?2x?3
.
(1)求
t(0)
的值;
(2)求
f(t)
的定义域;
(3)试用x表示y.
§1.2.1 函数的概念(2)
学习目标
1.
会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示;
2.
掌握判别两个函数是否相同的方法.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
18
~ P
19
,找出疑惑之处)
3x
2
复习1:函数的三要素是 、 、
.函数
y?
与y=3x是不是同一个函
x
数?为何?
26
复习2:用区
间表示函数y=kx+b、y=ax
2
+bx+c、y=
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:函数相同的判别
k
的定义域与值域,其中
k?0
,
a?0
.
x<
br>x
3
讨论:函数y=x、y=(
x
)、y=
2
、y=
4
x
4
、y=
x
2
有何关系?
x
试试:判断下列函数
f(x
)
与
g(x)
是否表示同一个函数,说明理由?
2
①
f(x)
=
(x?1)
0
;
g(x)
=
1.
②
f(x)
= x;
g(x)
=
④
f(x)
= | x | ;
g(x)
=
x
2
.
x
2
.
③
f(x)
= x
2
;
g(x)
=
(x?1)
2
.
小结:
①
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数);
②两个函数相等
当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字
母无关.
※ 典型例题
例1 求下列函数的定义域 (用区间表示).
x?3
(1)
f(x)?
2
;
x?2
(2)
f(x)?2x?9
;
1
(3)
f(x)?x?1?
.
x?2
27
试试:求下列函数的定义域 (用区间表示).
x?2
(1)
f(x)???3x?4
;
x?3
1
(2)
f(x)?9?x?
.
x?4
小结:
(1)定义域求法(分式、根式、组合式);
(2)求定义域步骤:列不等式(组) →
解不等式(组).
例2求下列函数的值域(用区间表示):
(1)y=x
2
-3x+4;
(2)
f(x)?x
2
?2x?4
;
?5
x?2
(3)y=; (4)
f(x)?
.
x?3
x?3
ax?b
变式:求函数
y?(ac?0)
的值域.
cx?d
28
小结:
求函数值域的常用方法有:
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
※
动手试试
练1.
若
f(x?1)?2x
2
?1
,求
f(x)
.
练2. 一次函数
f(x)
满足
f[f(x)]?1?2x
,求
f(x)
.
三、总结提升
※ 学习小结
1.
定义域的求法及步骤;
2. 判断同一个函数的方法;
3. 求函数值域的常用方法.
※ 知识拓展
对于两个函数
y?f(u)
和
u
?g(x)
,通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称它为
函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数,记作
y?f(g(x))
. 例如y?x
2
?1
由
y?u
与
u?x
2
?
1
复合.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1. 函数
f(x)?1?x?x?3?1
的定义域是( ).
A.
[?3,1]
B.
(?3,1)
C. R D.
?
2x?1
2. 函数
y?
的值域是( ).
3x?2
1122
A.
(??,?)U(?,??)
B.
(??,)U(,??)
3333
11
C.
(??,?)U(?,??)
D. R
22
3.
下列各组函数
f(x)与g(x)
的图象相同的是( )
A.
f(x)?x,g(x)?(x)
2
B.
f(x)?x
2
,g(x)?(x?1)
2
C.
f(x)?1,g(x)?x
0
?
x
(x
?0)
D.
f(x)?|x|,g(x)?
?
?
?x
(x?0)
1
4. 函数f(x) =
x?1
+的定义域用区间表示是 .
2?x
29
5.
若
f(x?1)?x
2
?1
,则
f(x)
=
.
课后作业
1.
设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积y关于x的函数的解析式,并写出
定义域.
2. 已知二次函数f(x)=ax
2
+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f
(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x
有等根,求f(x)的解析式.
§1.2.2 函数的表示法(1)
学习目标
1. 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法),了解三种表示方法各自的优点,
在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
2.
通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
19
~
P
21
,找出疑惑之处)
复习1:
(1)函数的三要素是 、
、 .
11
(2)已知函数
f(x)?
2
,则
f(0)?
,
f()
= ,
f(x)
的定义域
x?1x
为
.
(3)分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.
复习2:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明.
30
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:函数的三种表示方法
讨
论:结合具体实例,如:二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等,说明三种表示法
及优缺点.
小结:
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明;给自变量求函数值.
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势.
列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值.
※
典型例题
例1 某种笔记本的单价是2元,买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本
需要y元.试用三种表
示法表示函数
y?f(x)
.
变式:作业本每本0.3元,买x个作业本的钱数y(元).
试用三种方法表示此实例中的函
数.
31
反思:
例1及变式的函数图象有何特征?所有的函数都可用解析法表示吗?
例2
邮局寄信,不超过20g重时付邮资0.5元,超过20g重而不超过40g重付邮资1元.
每
封x克(0
变式: 某水果批发店,100
kg内单价1元/kg,500 kg内、100 kg及以上0.8元/kg,500
kg
及以上0.6元/kg,试写出批发x千克应付的钱数y(元)的函数解析式.
试试:画出函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象.
小结:
分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的x,对应法则不同).
在生活实例有哪
些分段函数的实例?
※ 动手试试
?
2x?3,x?(??,0)
练1. 已知
f(x)?
?
2
,求
f(0)
、
f[f(?1)]
的值.
?
2x?1,x?[0,??)
练2. 如图,把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料,如
果矩形的边长
为
x
,面积为
y
,把
y
表示成
x
的函数.
32
三、总结提升
※ 学习小结
1.
函数的三种表示方法及优点;
2. 分段函数概念;
3. 函数图象可以是一些点或线段.
※ 知识拓展
任意画一个函数y=f(x)的图象,然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|)
的图象,并尝试简要说明三
者(图象)之间的关系.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1.
如下图可作为函数
y?f(x)
的图象的是( ).
A.
B. C. D.
2.
函数
y?|x?1|
的图象是( ).
A.
B. C. D.
?
x?2,
(x≤?1)
?
3. 设
f(x)?
?
x
2
,
(?1?x?2)
,若
f(x)?3
,则x=( )
?
2x,
(x≥2)
?
A. 1 B.
?3
C.
3
D.
2
3
2
?
?
x+2(x
?
2)
4.
设函数f(x)=
?
,则
f(?1)
= .
2x(x<2)
?
?
5. 已知二次函数
f(x)
满足f(2?x)?f(2?x)
,且图象在
y
轴上的截距为0,最小值为-1,则函数
f(x)
的解析式为 .
课后作业
1. 动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周,设沿正方形ABCD的
运动路程为自变量
x,写出P点与A点距离y与x的函数关系式,并画出函数的图象.
33
2. 根据下列条件分别求出函数
f(x)
的解析式.
111
(1)
f(x?)?x
2
?
2
;
(2)
f(x)?2f()?3x
.
xxx
§1.2.2 函数的表示法(2)
学习目标
1. 了解映射的概念及表示方法;
2.
结合简单的对应图示,了解一一映射的概念;
3. 能解决简单函数应用问题.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
22
~
P
23
,找出疑惑之处)
复习:举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例:
① 对于任何一个
,数轴上都有唯一的点P和它对应;
② 对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的
和它对应;
③ 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;
④
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗?
讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点?
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:映射概念
探究
先看几个例子,两个集合A、B的元素之间的一些对应关系,并用图示意.
①
A?{1,4,9}
,
B?{?3,?2,?1,1,2,3}
,对应法则:开平方;
②
A?{
?3,?2,?1,1,2,3}
,
B?{1,4,9}
,对应法则:平方;
③
A?{30?,45?,60?}
,
B?{1,
34
231
,,}
, 对应法则:求正弦.
222
新知
:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A
中的任意一个元
素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应
f:A?B
为从集合A到集合
B的一个映射(mapping).记作“
f:A?B
”
关键:A中任意,B中唯一;对应法则f.
试试:分析例1
①~③是否映射?举例日常生活中的映射实例?
反思:
① 映射的对应情况有 、 ,一对多是映射吗?
②
函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意
两个非空集合”,
按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射.
※ 典型例题
例1 探究从集合A到集合B一些对应法则,哪些是映射,哪些是一一映射?
(1)A={P
| P是数轴上的点},B=R;
(2)A={三角形},B={圆};
(3)A={
P | P是平面直角体系中的点},
B?{(x,y)|x?R,y?R}
;
(4) A={高一学生},B= {高一班级}.
变式:如果是从B到A呢?
试试:下列对应是否是集合A到集合B的映射
(
1)
A?1,2,3,4
?
,B?
?
2,4,6,8
?,对应法则是“乘以2”;
(2)A= R*,B=R,对应法则是“求算术平方根”;
(3)
A?
?
x|x?0
?
,B?
R,对应法则是“求倒
数”.
35
?
※ 动手试试
练1.
下列对应是否是集合A到集合B的映射?
(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,
7,8,9},对应法则
f:x?2x?1
;
(2)
A?N
*,B?{0,1}
,对应法则
f:x?x
除以2得的余数;
(3)A?N
,
B?{0,1,2}
,
f:x?x
被3除所得的余数;
1111
(4)设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}f:x?
;
234x
(5)
A?{x|x?2,x?N},B?N
,
f:x?<
br>小于x的最大质数.
练2. 已知集合
A?
?
a,b
?
,B?
?
?1,0,1
?
,
从集合A到集合B的映射,试问能构造出多少映射?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 映射的概念;
2. 判定是否是映射主要看两条:一条是A集合中的元素都要有对应,
但B中元素未必要有
对应;二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式.
※ 知识拓展
在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此
地段内,车距d是车速v(千
米/小时)的平方与车身长(s米)的积的正比例函数,且最小车距不得小
于车身长的一半.现
假定车速为50公里/小时时,车距恰好等于车身上,试写出d关于v的函数关系式
(其中
s为常数).
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1. 在映射
f:A?B
中,A?B?{(x,y)|x,y?R}
,且
f:(x,y)?(x?y,x?y)
,则与A中的
元素
(?1,2)
对应的B中的元素为( ).
A.
(?3,1)
B.
(1,3)
C.
(?1,?3)
D.
(3,1)
36
2.下列对应
f:A?B
:
①
A?R,B?
?
x?Rx?0
?
,f:x?x;
②
A?N,B?N
*
,f:x?x?1;
③
A?
?
x?Rx?0
?
,B?R,f:x?x
2
.
不是从集合A到B映射的有( ).
A. ①②③ B. ①② C.
②③ D. ①③
?
0(x?0)
?
3. 已知
f(x)?<
br>?
?
(x?0)
,则
f{f[f(?1)]}
=( )
?
x?1(x?0)
?
A. 0 B.
?
C.
1?
?
D.无法求
1x
4.
若
f()?
, 则
f(
x)
= .
x1?x
5.
已知f(x)=x
2
?1,g(x)=
x?1
则f[g(x)] =
.
课后作业
11
1. 若函数
y?f(x)的定义域为[?1,1],求函数
y?f(x?)gf(x?)
的定义域.
44
2. 中山移动公司开
展了两种通讯业务:“全球通”,月租50元,每通话1分钟,付费0.4元;
“神州行”不缴月租,每
通话1分钟,付费0.6元. 若一个月内通话x分钟,两种通讯方式
费用分别为
y
1
,y
2
(元).
(1)写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式?
(2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯方式?
§1.3.1 单调性与最大(小)值(1)
学习目标
1.
通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
2.
能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性;
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
27
~ P
29
,找出疑惑之处)
引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢?
37
复习1:观察下列各个函数的图象.
探讨下列变化规律:
① 随x的增大,y的值有什么变化?
② 能否看出函数的最大、最小值?
③ 函数图象是否具有某种对称性?
复习2:画出函数
f(x)?x?2
、
f(
x)?x
2
的图象.
小结:描点法的步骤为:列表→描点→连线.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:单调性相关概念
思考:
根据
f(x)?x?2
、
f(x)?x
2
(x?0)
的图象
进行讨论:随x的增大,函数值怎样变化?
当x
1
>x
2
时,f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样?
问题:一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?
新知:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自
变量
x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数(
increasing function).
试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义.
新知:如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫f(x)的单调区间.
反思:
①
图象如何表示单调增、单调减?
② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?
38
③ 函数
f(x)?x
2
的单调递增区间是
,单调递减区间是 .
试试:如图,定义在[-5,5]上的f(x),根据图象说出单调区间及单调性.
※ 典型例题
例1
根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并运用定义进行证明.
1
(1)
f(x)??3x?2
; (2)
f(x)?
.
x
k
变式:指出
y?kx?b
、
y?(k?0)
的单调性.
x
k
例2 物理学中的玻意耳定律
p?
(k为正常数),告诉我们对
于一定量的气体,当其体积V
V
增大时,压强p如何变化?试用单调性定义证明.
小结:
① 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号;
②
证明函数单调性的步骤:
第一步:设x
1
、x
2
∈给定区间,且x
1
;
第二步:计算f(x
1
)-f(x
2
)至最简;
第三步:判断差的符号;
第四步:下结论.
39
※ 动手试试
练1.求证
f(x)?x?
1
的(0,1)上是减函数,在
[1,??)
是增函数.
x
练2.
指出下列函数的单调区间及单调性.
(1)
f(x)?|x|
;
(2)
f(x)?x
3
.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义;
2. 判断函数单调性的方法(图象法、定义法).
3.
证明函数单调性的步骤:取值→作差→变形→ 定号→下结论.
※ 知识拓展
<
br>a
函数
f(x)?x?(a?0)
的增区间有
[a,??)
、
(??,?a]
,减区间有
(0,a]
、
[?a,0)
.
x
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为(
).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
函数
f(x)?x
2
?2x
的单调增区间是( )
A.
(??,1]
B.
[1,??)
C. R
D.不存在
2. 如果函数
f(x)?kx?b
在R上单调递减,则( )
A.
k?0
B.
k?0
C.
b?0
D.
b?0
3.
在区间
(??,0)
上为增函数的是( )
2
A.
y??2x
B.
y?
x
C.
y?|x|
D.
y??x
2
4.
函数
y??x
3
?1
的单调性是 .
5. 函数
f(x)?|x?2|
的单调递增区间是
,单调递减区间是 .
课后作业
1.
讨论
f(x)?
40
1
的单调性并证明.
x?a
2.
讨论
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的单调性并证明.
§1.3.1
单调性与最大(小)值(2)
学习目标
1.
理解函数的最大(小)值及其几何意义;
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
30
~
P
32
,找出疑惑之处)
复习1:指出函数
f(x)?ax
2?bx?c(a?0)
的单调区间及单调性,并进行证明.
复习2:函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的最小值为
,
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的最大值为
.
复习3:增函数、减函数的定义及判别方法.
二、新课导学
※ 学习探究
41
探究任务:函数最大(小)值的概念
思考:先完成下表,
函数
最高点
f(x)??2x?3
f(x)??2x?3
,
x?[?1,2]
f(x)?x
2
?2x?1
f(x)?x
2
?2x?1
,
x?[?2,2]
最低点
讨论体现了函数值的什么特征?
新知:设函数y=f(x)的定义域为
I,如果存在实数M满足:对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
存在x
0
∈I,使
得f(x
0
) = M. 那么,称M是函数y=f(x)的最大值(Maximum
Value).
试试:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum
Value)的定义.
反思:
一些什么方法可以求最大(小)值?
※ 典型例题
例1一枚
炮弹发射,炮弹距地面高度h(米)与时间t(秒)的变化规律是
h?130t?5t
2
,那
么什么时刻距离地面的高度达到最大?最大是多少?
变式:经过多少秒后炮弹落地?
试试:一段竹篱笆长20米,围成一面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?
小结:
数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.
3
例2求
y?
在区间[3,6]上的最大值和最小值.
x?2
42
变式:求
y?
3?x
,x?[3,6]
的最大值和最小值.
x?2
小结:
先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值.
试试:函数
y?(x?1)
2
?2,x?[0,1]
的最小值为
,最大值为 . 如果是
x?[?2,1]
呢?
※
动手试试
练1. 用多种方法求函数
y?2x?x?1
最小值.
变式:求
y?x?1?x
的值域.
练2.
一个星级
房价(元) 住房率(%)
旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经
理得到一些定价和住房率的数据如右:
160 55
欲使每天的的营业额最高,应如何定价?
140 65
120 75
100 85
43
三、总结提升
※ 学习小结
1. 函数最大(小)值定义;.
2.
求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图象法、单调法.
※ 知识拓展
求二次函数在闭区间上的值域,需根据对称轴与闭区间的位置关系,结合函数图象进行
a
a
研究. 例如求
f(x)??x
2
?ax
在区间
[m,n]
上的值域,则先求得对称轴
x?
,再分
?m
、
2
2
am?nm?na
a
、
m????n
、
?n
等四种
情况,由图象观察得解.
2222
2
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1.
函数
f(x)?2x?x
2
的最大值是( ).
A. -1
B. 0 C. 1 D. 2
2.
函数
y?|x?1|?2
的最小值是( ).
A. 0 B.
-1 C. 2 D. 3
3.
函数
y?x?x?2
的最小值是( ).
A. 0 B. 2
C. 4 D.
2
4. 已知函数
f(x)
的图象关
于y轴对称,且在区间
(??,0)
上,当
x??1
时,
f(x)<
br>有最小值3,
则在区间
(0,??)
上,当
x?
时,
f(x)
有最 值为 .
5.
函数
y??x
2
?1,x?[?1,2]
的最大值为
,最小值为 .
课后作业
1. 作出函数y?x
2
?2x?3
的简图,研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小
值.
(1)
?1?x?0
; (2)
0?x?3
;(3)
x?(??,??)
.
2. 如图,把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长
为
x
,面积为
y
,试将
y
表示成
x
的函数,并画出函数
的大致图象,并判断怎
样锯才能使得截面面积最大?
44
§1.3.2 奇偶性
学习目标
1. 理解函数的奇偶性及其几何意义;
2. 学会判断函数的奇偶性;
3.
学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
33
~ P
36
,找出疑惑之处)
复习1:指出下列函数的单调区间及单调性.
1
(1)
f(x)?x
2
?1
;
(2)
f(x)?
x
复习2:对于f(x)=x、f(x)=x
2
、f(x)=x<
br>3
、f(x)=x
4
,分别比较f(x)与f(-x).
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:奇函数、偶函数的概念
思考:在同一坐标系分别作出两组函数的图象:
1
(1)
f(x)?x
、
f(x)?
、
f(x)?x
3
;
x
2
(2)
f(x)?x
、
f(x)?|x|
.
观察各组图象有什么共同特征?函数解析式在函数值方面有什么特征?
45
p>
新知:一般地,对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x,都有
f
(?x)?f(x)
,那么函数
f(x)
叫
偶函数(even
function).
试试:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd
function)的定义.
反思:
①
奇偶性的定义与单调性定义有什么区别?
② 奇函数、偶函数的定义域关于
对称,图象关于 对称.
1
在y轴左边的图象如图所示,画出它右
试试:已知函数
f(x)?
2
x
边的图象.
※ 典型例题
例1 判别下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?
3
x
4
;
(2)
f(x)?
4
x
3
;
1
(3)
f(x)??3x
4
?5x
2
;
(4)
f(x)?
3
x?
3
.
x
小结:判别方法,先看定义域是否关于原点对称
,再计算
f(?x)
,并与
f(x)
进行比较.
试试:判别下列函数的奇偶性:
1
(1)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(2)f(x)=x+;
x
x
2
(3)f(x)=;
(4)f(x)=x, x∈[-2,3].
1?x
2
46
例2 已知f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,判断f
(x)的(-∞,0)上的单调性,并给出证
明.
变式:已知f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,试判断f(x)在[-b,-a
]上的单调性,并给出证
明.
小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.
※ 动手试试
练习:若
f(x)?ax
3
?b
x?5
,且
f(?7)?17
,求
f(7)
.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征;
2.
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质.
3.
判断函数奇偶性的方法:图象法、定义法.
47
※
知识拓展
定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于
原点
对称区间上单调性一致,偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A.
很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1.
对于定义域是R的任意奇函数
f(x)
有( ).
A.
f(x)?f(?x)?0
B.
f(x)?f(?x)?0
C.
f(x)gf(?x)?0
D.
f(0)?0
2. 已知
f(x)
是定义
(??,?
?)
上的奇函数,且
f(x)
在
?
0,??
?
上是
减函数. 下列关系式中正确
的是( )
A.
f(5)?f(?5)
B.
f(4)?f(3)
C.
f(?2)?f(2)
D.
f(?8)?f(8)
3. 下列说法错误的是( ).
1
A.
f(x)?x?
是奇函数
x
B.
f(x)?|x?2|
是偶函数
C.
f(x)?0,x?[?6,6]
既是奇函数,又是偶函数
x
3
?
x
2
D.
f(x)?
既不是奇函数,又不是偶函数
x?1
4. 函数
f(x)?|x?2|?|x?2|
的奇偶性是
.
5.
已知f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为4,那么f(x)在[-7,-3]上是
函数,且
最 值为 .
课后作业
1. 已知
f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,且
f(
x)?g(x)?
1
,求
f(x)
、
g(x)
.
x?1
2.
设
f(x)
在R上是奇函数,当x>0时,
f(x)?x(1?x)
,
试问:当
x
<0时,
f(x)
的表达式
是什么?
48
§1.3 函数的基本性质(练习)
学习目标
1.
掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性);
2.
能应用函数的基本性质解决一些问题;
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
(复习教材P
27
~
P
36
,找出疑惑之处)
复习1:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值?
复习2:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义?
二、新课导学
※ 典型例题
例1
作出函数y=x
2
-2|x|-3的图象,指出单调区间及单调性.
小结:利用偶函数性质,先作y轴右边,再对称作.
49
变式:y=|x
2
-2x-3| 的图象如何作?
反思:
如何由
f
(x)
的图象,得到
f(|x|)
、
|f(x)|
的图象?
例2已知
f(x)
是奇函数,在
(0,??)
是增函数,判断
f(x)
在
(??,0)
上的单调性,并进行证明.
反思:
奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系?
(偶函数在关于原点对称的区间上单调性
;奇函数在关于原点对称的区间上单调
性 )
例3某产品单价是120元,可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x
万件,写出销售金额y(万元)与x的函数关系式,并求当降价多少元时,销售金额最大?最
大是多少
?
小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题
※
动手试试
50
练1.
判断函数y=
x?2
单调性,并证明.
x?1
练2. 判别下列函数的奇偶性:
2
?
?
?x?x(x?0)(1)y=
1?x
+
1?x
;(2)y=
?
2
.
x?x(x?0)
?
?
1
练3. 求函数
f(x)?x?(x?0)
的值域.
x
三、总结提升
※
学习小结
1. 函数单调性的判别方法:图象法、定义法.
2.
函数奇偶性的判别方法:图象法、定义法.
3.
函数最大(小)值的求法:图象法、配方法、单调法.
※ 知识拓展
形
如
f(|x|)
与
|f(x)|
的含绝对值的函数,可以化分段函数分段作图
,还可由对称变换得
到图象.
f(|x|)
的图象可由偶函数的对称性,先作y轴右
侧的图象,并把y轴右侧的图象对
折到左侧.
|f(x)|
的图象,先作
f
(x)
的图象,再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
51
1. 函数
y?x
2
?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时,
b的取值范围 ( ).
A.
b??2
B.
b??2
C .
b??2
D.
b??2
2.
下列函数中,在区间
(0,2)
上为增函数的是( ).
A.
y??x?1
B.
y?x
2
D.
y?
x
C.
y?x
2
?4x?5
ax
2
?b
3. 已知函数y=为奇函数,则( ).
x?c
A.
a?0
B.
b?0
C.
c?0
D.
a?0
4.
函数y=x+
2x?1
的值域为 .
5.
f(x)?x
2
?4x
在
[0,3]
上的最大值为
,最小值为 .
课后作业
1.
已知
f(x)
是定义在
(?1,1)
上的减函数,且
f(2?a)?f(a?3)?0
. 求实数a的取值范围.
2.
已知函数
f(x)?1?x
2
.
(1)讨论
f(x)
的奇偶性,并证明;
(2)讨论
f(x)
的单调性,并证明.
第一章 集合与函数的概念(复习)
学习目标
1.
理解集合有关概念和性质,掌握集合的交、并、补等三种运算的,会利用几何直观性研
52
究问题,如数轴分析、Venn图;
2. 深刻理解函数的有关概念,理解对
应法则、图象等有关性质,掌握函数的单调性和奇偶
性的判定方法和步骤,并会运用解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
(复习教材P
2
~ P
45
,找出疑惑之处)
复习1:集合部分.
① 概念:一组对象的全体形成一个集合
②
特征:确定性、互异性、无序性
③ 表示:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
④ 关系:∈、
?
、
?
、、=
⑤
运算:A∩B、A∪B、
C
U
A
⑥
性质:A
?
A;
?
?
A,….
⑦
方法:数轴分析、Venn图示.
复习2:函数部分.
①
三要素:定义域、值域、对应法则;
② 单调性:
f(x)
定义域内某区间D,x
1
,x
2
?D
,
x
1
?x
2
时,
f(x
1
)?f(x
2
)
,则
f(x)
的D上递增;
x
1
?x
2
时,
f(x
1
)?f(x
2
)
,则
f(x)
的D上递减
.
③ 最大(小)值求法:配方法、图象法、单调法.
④
奇偶性:对
f(x)
定义域内任意x,
f(?x)??f(x)
?
奇函数;
f(?x)?f(x)
?
偶函数.
特点:定义域关于原点对称,图象关于y轴对称.
二、新课导学
※
典型例题
例1设集合
A?{x|x
2
?ax?a
2
?19?0}
,
B?{x|x
2
?5x?6?0}
,
C
?{x|x
2
?2x?8?0}
.
(1)若
AIB
=
AUB
,求a的值;
(2)若
?
AIB
,且
AIC
=
?
,求a的值;
(3)若
AIB
=
AIC
?
?
,求a的值.
1?x
.
1?x
(1)求
f(5)
的值;
(2)求
f(x)?0
时
x
的值;
(3)当
x
>0时,求
f(x)
的解析式.
例2
已知函数
f(x)
是偶函数,且
x?0
时,
f(x)?
53
1?x
2
例3 设函数
f(x)?
.
1?x
2
(1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性;
1
(3)求证:
f()??f(x)
;
x
(4)求证:
f(x)
在
[1,??)
上递增.
※ 动手试试
练1. 判断下列函数的奇偶性:
54
2x
2
?2x
(1)
f(x)?
;
(2)
f(x)?x
3
?2x
;
x?1
?
x(1
?x)
x?0,
(3)
f(x)?a
(
x?
R);
(4)
f(x)?
?
?
x(1?x)
x?0.
练2.
将长度为20 cm的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的
面积之和最小,
正方形的周长应为多少?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 集合的三种运算:交、并、补;
2.
集合的两种研究方法:数轴分析、Venn图示;
3. 函数的三要素:定义域、解析式、值域;
4. 函数的单调性、最大(小)值、奇偶性的研究.
※ 知识拓展
<
br>要作函数
y?f(x?a)
的图象,只需将函数
y?f(x)
的图象向
左
(a?0)
或向右
(a?0)
平
移
|a|
个单位
即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.
要作函数
y?f(x)?h
的图象,只
需将函数
y?f(x)
的图象向上
(h?0)
或向下
(h?0)平
移
|h|
个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
55
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1. 若
A?
?
x|x
2
?0
?
,则下列结论中正确的是(
).
A.
A?0
B. 0A
C.
A??
D.
?
A
2.
函数
y?x|x|?px
,
x?R
是( ).
A.偶函数
B.奇函数
C.不具有奇偶函数 D.与
p
有关
3.
在区间
(??,0)
上为增函数的是( ).
x
A.
y?1
B.
y??2
1?x
C.
y??x
2
?2x?1
D.
y?1?x
2
4. 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育
爱好者43人,还有4人既不爱好体育也
不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有
人.
5. 函数
f(x)
在R上为奇函数,且
x?0
时,
f(x)?x?1
,则当
x?0
,
f(x)?
.
课后作业
1
?A
.
1?a
(1)若2
?A
,则在A中还有两个元素是什么;
(2)若A为单元集,求出A和
a
.
2.
已知
f(x)
是定义在R上的函数,设
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
,
h(x)?
.
g(x)?
22
(1)试判断
g(x)与h(x)
的奇偶性;
1. 数集A满足条件:若
a?A,a?1
,则
(2)试判断
g(x
),h(x)与f(x)
的关系;
(3)由此你猜想得出什么样的结论,并说明理由?
§2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性;
2.
了解根式的概念及表示方法;
3. 理解根式的运算性质.
学习过程
56
一、课前准备
(预习教材P
48
~ P
50
,找出疑惑之处)
复习1:正方形面积公式为 ;正方体的体积公式为
.
复习2:(初中根式的概念)如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的
,记
作 ;
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的
,记作 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性.
实例1.
某市人口平均年增长率为1.25℅,1990年人口数为a万,则x年后人口数为多少万?
实例2.
给一张报纸,先实验最多可折多少次?你能超过8次吗?
计算:若报纸长50cm,宽34cm,厚0.01mm,进行对折x次后,求对折后的面积与厚度?
问题1:国务院发展研究
中心在2000年分析,我国未来20年GDP(国内生产总值)年平
均增长率达7.3℅,
则x年后GDP为2000年的多少倍?
问题
2:生物死亡后,体内碳14每过5730年衰减一半(半衰期),则死亡t年后体内碳14
t
1
5730
的含量P与死亡时碳14关系为
P?()
. 探究该式意义?
2
小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科
学.
探究任务二:根式的概念及运算
考察:
(?2)
2
?4
,那么
?2
就叫4的 ;
3
3
?27
,那么3就叫27的 ;
57
(?3)
4
?81
,那么
?3
就叫做
81
的 .
依此类推,若
x
n
?a
,,那么<
br>x
叫做
a
的 .
新知:一般地,若x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根 (
n
th root
),其中
n?1
,
n??
?
.
简记:
n
a
.
例如:
2
3
?8
,则
3
8?2
.
反思:
当n为奇数时, n次方根情况如何?
例如:
3
27?3
,
3
?27??3
,
记:
x?
n
a
.
当n为偶数时,正数的n次方根情况?
例如:
81
的4次方根就是
,记:
?
n
a
.
强调:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,即
n
0?0
.
试试:
b
4
?a
,则
a
的4次方根为
;
b
3
?a
,则
a
的3次方根为 .
新知:像
n
a
的式子就叫做根式(radical),这里n叫做
根指数(radical exponent),a叫做被
开方数(radicand).
试试:计算
(
2
3)
2
、
3
4
3
、
n
(?2)
n
.
反思:
从特殊到一般,
(
n
a)
n
、
n
a
n
的意义及结果?
?
a(a?0)
结论:
(
n
a)
n?a
. 当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
;当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
.
?a(a?0)
?
※ 典型例题
例1求下类各式的值:
(1)
3
(?a)
3
; (2)
4
2
(?7)
4
;
(a?b)
2
(
a?b
).
(3)
6
(3?
?
)
6
; (4)
58
变式:计算或化简下列各式.
(1)
5
?32
;
(2)
3
a
6
.
推广:
a
mp
?
n
a
m
(a
?
0).
※ 动手试试
练1.
化简
5?26?7?43?6?42
.
练2.
化简
23?
3
1.5?
6
12
.
三、总结提升
※ 学习小结
1.
n次方根,根式的概念;
2. 根式运算性质.
※ 知识拓展
1.
整数指数幂满足不等性质:若
a?0
,则
a
n
?0
.
2. 正整数指数幂满足不等性质:
①
若
a?1
,则
a
n
?1
;
②
若
0?a?1
,则
0?a
n
?1
.
其中
n?
N*.
np
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1.
4
(?3)
4
的值是( ).
A. 3 B.
-3 C.
?
3 D. 81
2. 625的4次方根是(
).
A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25
3.
化简
(
2
?b)
2
是( ).
1
A.
?b
B.
b
C.
?b
D.
b
4. 化简
6
(a?b)
6
= .
5. 计算:
(
3
?5)
3
=
;
2
3
4
.
59
课后作业
1.
计算:(1)
5
a
10
; (2)
3
7
9
.
2. 计算
a
3
?a
?4
和
a
3?(?8)
,它们之间有什么关系?
你能得到什么结论?
3. 对比
(ab)
n
?a
n
b
n与
(
a
b
)
n
?
a
n
bn
,你能把后者归入前者吗?
§2.1.1
指数与指数幂的运算(2)
学习目标
1. 理解分数指数幂的概念;
2. 掌握根式与分数指数幂的互化;
3. 掌握有理数指数幂的运算.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
50
~
P
53
,找出疑惑之处)
复习1:一般地,若
x
n
?a<
br>,则
x
叫做
a
的
,其中
n?1
,
n??
?
.
像
n
a
的式子就叫做 ,具有如下运算性质:
(
n
a)
n
=
;
n
a
n
=
;
np
a
mp
= .
60
简记为: .
复习2:整数指数幂的运算性质.
(1)
a
m
ga
n
?
;(2)
(a
m
)
n
?
;
(3)
(ab)
n
?
.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:分数指数幂
引例:a>0时,
a?(a)?a?a
,
5
5
10252
10
5
则类似可得
3
2
3
2
3
3
3
a
12
?
;
2
3
a?(a)?a
,类似可得
a?
.
新知:规定分数指数幂如下
a?
n
a
m
(
a?0,m,n?N
*
,n?1)
;
m
n
a
?<
br>m
n
?
1
a
m
n
?
1
n<
br>a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
.
试试:
(1)将下列根式写成分数指数幂形式:
2
3
5
= ;
3
5
4
= ;
a
m
=
(a?0,m?N
?
)
.
2
3
2
5?
4
3
?
5
2
(2)求值:
8
;
5
;
6
;
a
.
反思:
① 0的正分数指数幂为
;0的负分数指数幂为 .
② 分数指数幂有什么运算性质?
小结:
规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数
指
数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
指数幂的运算性质:
(
a?0,b?0,r,s?Q
)
a
r
·
a
r
?a
r?s
;
(a
r
)
s
?a
rs
;
(ab)
r
?a
r
a
s
.
※
典型例题
25
?
2
3
?3
例1
求值:
27
;
16
;
()
;
()
3
.
49
5
2
3
?
4
3
61
变式:化为根式.
例2
用分数指数幂的形式表示下列各式
(b?0)
:
(1)
b
2
gb
;
(2)
b
3
g
5
b
3
;
(3)
3
b
4
b
.
例3 计算(式中字母均正):
(1)
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
;
(2)
(mn)
.
小结:例2,运算性质的运用;例3,单项式运算.
例4 计算:
a
3
(1)
(a?0)
;
3
4
aga
(2)
(2mn)?(?mn
?3
)
6
(m,n?N
?
)
;
(3)
(
4
16?
3
32)?
4
64
.
小结:在进行指数幂的运算时,一般
地,化指数为正指数,化根式为分数指数幂,对含有指
数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法
则.
62
2
?
3
5
10
1
2
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8
16
反
思:
①
3
2
的结果?
结论:无理指数幂.(结合教材P
53
利用逼近的思想理解无理指数幂意义)
② 无理数指数幂
a
?
(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数.实数指数幂的运算性质如何?
※ 动手试试
??
?2
?
练1. 把
xgx
?
化成分数指数幂.
??
??
1
3
3
?
8
5
8a
3
4
)
. 练2.
计算:(1)
3g3g27
; (2)
(
125b
3
3
44
6
三、总结提升
※ 学习小结
①分数指数幂的意义;②分数指数幂与根式的互化;③有理指数幂的运算性质.
※
知识拓展
放射性元素衰变的数学模型为:
m?m
0
e
?<
br>?
t
,其中t表示经过的时间,
m
0
表示初始质量,
衰减后的质量为m,
?
为正的常数.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1.
若
a?0
,且
m,n
为整数,则下列各式中正确的是( ).
A.
a?a?a
B.
a
m
?a
n
?a
mn
mn
m
n
C.
?
a
m
?
?a
m?n
D.
1?a
n
?a
0?n
n
2.
化简
25
的结果是( ).
A. 5 B. 15 C.
25 D. 125
?2
3.
计算
?
?
?
?
的结果是( ).
?
?
22
A.
2
B.
?2
C. D.
?
22
?
2
3
3m?n
2
3
2
??
?2
?
1
2
4.
化简
27
= .
5.
若
10?2,10?4
,则
10
mn
=
.
课后作业
63
1. 化简下列各式:
a
2
36
3
2
(1)
()
;
(2)
b
49
3
b
3
a
a
.
b
3
2.
计算:
?
b
?
3
.
?
?
1?2
?
??
3
2
3
4
3
a
a?
2ab?4a
??
a
4
?8
3
ab
§2.1.1
指数与指数幂的运算(练习)
学习目标
1.
掌握n次方根的求解;
2. 会用分数指数幂表示根式;
3.
掌握根式与分数指数幂的运算.
学习过程
一、课前准备
(复习教材P
48
~ P
53
,找出疑惑之处)
复习1:什么叫做根式? 运算性质?
像
n
a
的式子就叫做
,具有性质:
(
n
a)
n
=
;
n
a
n
= ;
a
mp
=
.
复习2:分数指数幂如何定义?运算性质?
np
①
a?
;
a?
.
其中
a?0,m,n?N
*
,n?1
②
a
r
ga
s
?
;
(a
r
)
s
?
;
(ab)
s
?
.
64
m
n
?
m
n
复习3:填空.
(x?0)
?
① n为 时,
n
x
n
?
|x|?
?
...........
.
(x?0)
?
②
求下列各式的值:
6
3
2
6
= ;
4
16
= ;
6
81
= ;
15
(?2)
2
= ;
?32
=
;
4
x
8
=
;
6
a
2
b
4
= .
二、新课导学
※ 典型例题
例1
已知
a?a
1
2
?
1
2
=3,求下列各式的值:
(1)
a?a
?1
;
(2)
a
2
?a
?2
; (3)
a?a
1
2
3
2
?
3
2
1
2
.
a?a<
br>补充:立方和差公式
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
mab?b
2
)
.
小结:①
平方法;② 乘法公式;
③
根式的基本性质
a
mp
?
n
a
m
(a≥0)等.
注意, a≥0十分重要,无此条件则公式不成立.
例如,
6
(?8)
2
?
3
?8
.
变式:已知
a?a
(1)
a?a
1
2
?
1
2
1
2
?
1
2
np
?
?3
,求:
3
2
?
3
2
; (2)
a?a
.
65
11
例
2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升,然后用水填满,再倒出升,又用水填满,这样
33
进行5
次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?
变式:n次后?
小结:①
方法:摘要→审题;探究 → 结论;
② 解应用问题四步曲:审题→建模→解答→作答.
※ 动手试试
练1. 化简:
(x?y)?(x?y)
.
练2. 已知x+x
-1
=3,求下列各式的值.
(1)
x?x
; (2)
x?x
.
66
1
2
?
1
23
2
?
3
2
1
2
1
2
14
1
4
练3. 已知
f(x)?
?
x
,x
1
?
x
2
?0
,试求
三、总结提升
※ 学习小结
1. 根式与分数指数幂的运算;
2. 乘法公式的运用.
※
知识拓展
1. 立方和差公式:
a
3
?b
3
?
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
;
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
.
f(x
1
)?f(x
2
)
的值.
2.
完全立方公式:
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b
?3ab
2
?b
3
;
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
A.
2.
9
的值为( ).
3
B.
33
C. 3 D. 729
a
3
(a>0)的值是( ).
5
4
aga
1
5
17
10
3
2
A. 1 B. a C.
a
D.
a
3. 下列各式中成立的是( ).
1
n
77
7
A.
()?nm
B.
12
(?3)
4
?
3
?3
m
C.
x?y?(x?y)
D.
4
33
3
4
3
9?
3
3
25
?
3
4. 化简
()
2
=
.
4
2
1
5
1
1
1
1
3
2
66
2
3
5.
化简
(ab)(?3ab)?(ab)
= .
3
67
课后作业
1.
已知
x?a
?3
?b
?2
,
求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.
2. 探究:
n
a
n
?(
n
a)
n
?2a
时,
实数
a
和整数
n
所应满足的条件.
§2.1.2 指数函数及其性质(1)
学习目标
1. 了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;
2. 理解指数函数的概念和意义;
3.
能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质(单调性、特殊点).
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
54
~
P
57
,找出疑惑之处)
复习1:零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的?
(1)
a
0
?
;
(2)
a
?n
?
;
(3)
a?
;
a?
.
其中
a?0,m,n?N
*
,n?1
复习2:有理指数幂的运算性质.
m
n
?
m
n
68
(1)
a
m
ga
n
?
;(2)
(a
m
)
n
?
;
(3)
(ab)
n
?
.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:指数函数模型思想及指数函数概念
实例:
A.细胞分裂时,第一次
由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分
裂成8个,如此下去,如果第x次分裂得
到y个细胞,那么细胞个数y与次数x的函数关系
式是什么?
B.一种放射性物质不断变化成
其他物质,每经过一年的残留量是原来的84%,那么以时
间x年为自变量,残留量y的函数关系式是什
么?
讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么?
新知:一般地,函数
y?a
x
(a?0,且a?1)<
br>叫做指数函数(exponential
function),其中x是自
变量,函数的定义域为R.
反思:为什么规定
a
>0且
a
≠1呢?否则会出现什么情况呢?
试试:举出几个生活中有关指数模型的例子?
探究任务二:指数函数的图象和性质
引言:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法吗?
回顾:
研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
作图:在同一坐标系中画出下列函数图象:
1
y?()
x
,
y?2
x
2
讨论:
11
(1)函数y?2
x
与
y?()
x
的图象有什么关系?如何由
y?
2
x
的图象画出
y?()
x
的图象?
22
1
(2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后呢?
3
69
<
br>(1)
a?0.8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2<
br>0.8
;
(2)
1
0
,0.4
?2.5
,
2
?0.2
,
2.5
1.6
.
三、总结提升
※ 学习小结
①指数函数模型应用思想;②指数函数概念;③指数函数的图象与性质;③单调法.
※ 知识拓展
因为
y?a
x
(a?0,且a?1)
的定义域是R, 所以
y?a
f(x)
(a?0,且a?1)
的定义域与
f(x)
的定义域
相同. 而
y?
?
(a
x
)(a?0,且a?1)
的定义域
,由
y?
?
(t)
的定义域确定.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A.
很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟
满分:10分)
计分
:
1. 函数
y?(a
2
?
3a?3)a
x
是指数函数,则
a
的值为( ).
A.
1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值
2.
函数f(x)=
a
x?2
?1
(a>0,a≠1)的图象恒过定点(
).
A.
(0,1)
B.
(0,2)
C.
(2,1)
D.
(2,2)
3.
指数函数①
f(x)?m
x
,②
g(x)?n
x
满足不等式
0?m?n?1
,则它们的图象是( ).
4.
比较大小:
(?2.5)
(?2.5)
.
1
5. 函数
y?()
x
?1
的定义域为
.
9
2
3
4
5
课后作业
1. 求函数y=
71
1
5
x
1?x
的定义域.
?1
2.
探究:在[m,n]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域?
§2.1.2 指数函数及其性质(2)
学习目标
1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;
2.
掌握指数型函数的定义域、值域,会判断其单调性;
3. 培养数学应用意识.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
57
~
P
60
,找出疑惑之处)
复习1:指数函数的形式是
,
其图象与性质如下
a>1 0
图
象
(1)定义域:
性
(2)值域:
质
(3)过定点:
(4) 单调性:
复习2:在同一坐标系中,作出函数图象的草图:
111
y?2
x
,
y?()
x
,
y?5
x
,
y?()<
br>x
,
y?10
x
,
y?()
x
.
2510
思考:指数函数的图象具有怎样的分布规律?
72
二、新课导学
※ 典型例题
例1我国人口问题非常突出,在耕地面积只占
世界7%的国土上,却养育着22%的世界人口.因
此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000年
第五次人口普查,中国人口已达到13亿,
年增长率约为1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划
生育成为我国一项基本国策.
(1)按照上述材料中的1%的增长率,从2000年起,x年后我国的
人口将达到2000年的多
少倍?
(2)从2000年起到2020年我国人口将达到多少?
小结:学会读题摘要;掌握从特殊到一般的归纳法.
试试:2007年某镇工业总产值为100亿,计划今后每年平均增长率为8%,
经过x年后的总
产值为原来的多少倍?多少年后产值能达到120亿?
小结:指数函数增长模型.
设原有量N,每次的增长率为p,则经过x次增长后的总量y= .
我们把形如
y?ka
x
(k?R,a?0,且a?1)
的函数称为指数型函数.
例2
求下列函数的定义域、值域:
(1)
y?2?1
;
(2)
y?3
; (3)
y?0.4
变式:单调性如何?
小结:单调法、基本函数法、图象法、观察法.
x
5x?1
1
x?1
.
73
试试:求函数
y?2
?x
?
※ 动手试试
1
的定义域和值域,并讨论其单调性.
2
练1.
求指数函数
y?2
x?1
的定义域和值域,并讨论其单调性.
练2.
已知下列不等式,比较
m,n
的大小.
(1)
3
m
?3
n
;
(2)
0.6
m
?0.6
n
;
(3)
a
m
?a
n
(a?1)
;(4)
a
m
?a
n
(0?a?1)
.
练3. 一片树林中现有木材30000
m
3
,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材y m
3
,写
出x
,
y间的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到40000m
3<
br>.
三、总结提升
※ 学习小结
2
74
1.
指数函数应用模型
y?ka
x
(k?R,a?0且a?1)
;
2.
定义域与值域;
2. 单调性应用(比大小).
※ 知识拓展
形如
y?a
f(x)
(a?0,且a?1)
的函数值域的研究,先求得f(x)
的值域,再根据
a
t
的单调性,
列出简单的指数不等式
,得出所求值域,注意不能忽视
y?a
f(x)
?0
. 而形如
y?
?
(a
x
)(a?0,且a?1)
的函数值域的研究,易知
a
x
?0
,再结合函数
?
(t)
进行研究.
在求
值域的过程中,配合一些常用求值域的方法,例如观察法、单调性法、图象法等.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
如果函数y=a
x
(a>0,a≠1)的图象与函数y=b
x
(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称,则有( ).
A. a>b
B. aC. ab=1 D. a与b无确定关系
-
2.
函数f(x)=3
x
-1的定义域、值域分别是( ).
A. R, R
B. R,
(0,??)
C. R,
(?1,??)
D.以上都不对
3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数,则下列说法错误的是( ).
-
A. y=a
x
的图象与y=a
x
的图象关于y轴对称
-
B. 函数f(x)=a
1
x
(a>1)在R上递减
C. 若a
2
>a
2?1
,则a>1
D.
若
2
x
>1,则
x?1
4. 比较下列各组数的大小:
3
?
2
?
1
3
0.76
?0.75
(3)
.
()
2
(0.4)
2
;
()
53
5.
在同一坐标系下,函数y=a
x
, y=b
x
,
y=c
x
,
y=d
x
的图象如右图,则a、
b、c、d、1之间从小到大的顺序是
.
课后作业
1. 已知函数f(x)=a-
函数.
2
(a
x
2?1
∈R),求证:对任何
a?R
,
f(x)为增
2
x
?1
2.
求函数
y?
x
的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性.
2?1
75
§2.2.1 对数与对数运算(1)
学习目标
1. 理解对数的概念;
2.
能够说明对数与指数的关系;
3. 掌握对数式与指数式的相互转化.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
62
~
P
64
,找出疑惑之处)
复习1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(1)取4次,还有多长?
(2)取多少次,还有0.125尺?
复习2:假设2002年我国国民生产总值为a
亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年
国民生产 是2002年的2倍? (只列式)
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:对数的概念
问题:截止到1999年底,我国人口约13亿.
如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,
那么多少年后人口数可达到18亿,20亿,30亿?
讨论:(1)问题具有怎样的共性?
(2)已知底数和幂的值,求指数
怎样求呢?例如:由
1.01
x
?m
,求x.
76
新知:一般地,如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x叫做以a为底 N的对数(logarithm).
记作
x?log
a
N
,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
试试:将复习2及问题中的指数式化为对数式.
新知:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common
logarithm),并把常用对数
log
10
N
简记为lgN 在科学
技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫
自然对数,并把自然对数
log
e
N
简记作lnN
试试:分别说说lg5
、lg3.5、ln10、ln3的意义.
反思:
(1)指数与对数间的关系?
a?0,a?1
时,
a
x
?N
?
.
(2)负数与零是否有对数?为什么?
(3)
log
a
1?
,
log
a
a?
.
※
典型例题
例1下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
1
(1)
5
3
?125
;(2)
2
?7
?
;(3)
3
a
?27
;
128
(4)
10
?2
?0.01
;
(5)
log
1
32??5
;
2
(6)lg0.001=
?3
; (7)ln100=4.606.
变式:
log
1
32??
lg0.001=?
2
77
小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体.
例2求下列各式中x的值:
2
(1)
log
64
x?
;
(2)
log
x
8??6
;
3
(3)
lgx?4
;
(4)
lne
3
?x
.
小结:应用指对互化求x.
※ 动手试试
练1.
求下列各式的值.
1
(1)
log
5
25
;
(2)
log
2
; (3)
lg
10000.
16
练2. 探究
log
a
a
n
??
a
log
a
N
??
三、总结提升
※ 学习小结
①对数概念;②lgN与lnN;③指对互化;④如何求对数值
※
知识拓展
对数是中学初等数学中的重要内容,那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?
在数
学史上,一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔
(N
apier,1550-1617年)男爵.
在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始
流行,这导致天文学成为当时的热门学科. 可
是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不
得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此
浪费了若干年甚至毕生的宝贵时
间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研
究大数字的计算技术,
终于独立发明了对数.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
78
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
若
log
2
x?3
,则
x?
( ).
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
2.
log
(n?1?n)
(n?1?n)
= ( ).
A.
1 B. -1 C. 2 D. -2
3.
对数式
log
a?2
(5?a)?b
中,实数a的取值范围是( ).
A.
(??,5)
B.(2,5)
C.
(2,??)
D.
(2,3)U(3,5)
4. 计算:
log
2?1
(3?22)?
.
5. 若
log
x
(2?1)??1
,则x=________
,若
log
2
8?y
,则y=___________.
课后作业
1. 将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式.
1
(1)
3
5
?243
;
(2)
2
?5
?
; (3)
4
a
?30
32
1
(4)
()
m
?1.03
;
(5)
log
1
16??4
;
2
2
(6)
log
2
128?7
;
(7)
log
3
27?a
.
2. 计算:
(1)
log
9
27
;
(2)
log
3
243
;
(3)
log
4
3
81
;
(3)
log
(2?
3)
(2?3)
;
(4)
log
3
5
4
625
.
§§2.2.1
对数与对数运算(2)
学习目标
79
1. 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程;
2.
能较熟练地运用对数运算法则解决问题..
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
64
~ P
66
,找出疑惑之处)
复习1:
(1)对数定义:如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么
数 x叫做 ,记作 .
(2)指数式与对数式的互化:
a
x
?N
?
.
复习2:幂的运算性质.
(1)
a
m
ga
n
?
;(2)
(a
m
)
n
?
;
(3)
(ab)
n
?
.
复习3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答:
(1)设
log
a2?m
,
log
a
3?n
,求
a
m?n
;
(2)设
log
a
M?m
,
log
a
N?n
,试利用
m
、
n
表示
log
a
(
M
·
N)
.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:对数运算性质及推导
问
题:由
a
p
a
q
?a
p?q
,如何探讨
l
og
a
MN
和
log
a
M
、
log
a
N
之间的关系?
问题:设
log
a
M?p
,
log
a
N?q
,
由对数的定义可得:M=
a
p
,N=
a
q
∴MN=
a
p
a
q
=
a
p?q
,
∴
log
a
MN=p+q,即得
log
a
MN=<
br>log
a
M +
log
a
N
根据上面的证明,能否得出以下式子?
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N
> 0 ,则
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?l
og
a
N
;
M
(2)
log
a
?log
a
M?log
a
N
;
N
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.
反思:
自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先通过
假设,将对数式
化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式
)
※ 典型例题
例1用
log
a
x
,
log
a
y
,
log
a
z
表示下列各式:
80
x<
br>3
y
xy
(1)
log
a
2
; (2)
log
a
5
.
z
z
例2计算:
(1)
log
5
25
;
(2)
log
0.4
1
;
(3)
log
2
(4
8
?2
5
)
;
(4)lg
9
100
.
探
究:根据对数的定义推导换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0
,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0
).
log
c
a
试试:2000年人口数13亿,年平均增长率1℅,多少年后可以达到18亿?
※
动手试试
练1. 设
lg2?a
,
lg3?b
,试用a
、
b
表示
log
5
12
.
81
变式:已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg6、lg12.
lg
3
的值.
练2. 运用换底公式推导下列结论.
1
n
(1)<
br>log
a
m
b
n
?log
a
b
;(
2)
log
a
b?
.
loga
m
b
lg243
7
练3.
计算:(1)
lg14?2lg?lg7?lg18
;(2).
lg9
3
三、总结提升
※ 学习小结
①对数运算性质及推导;②运用对数运算性质;③换底公式.
※
知识拓展
log
b
N
①
对数的换底公式
log
a
N?
;
log
b
a
②
对数的倒数公式
log
a
b?
1
.
log
b
a
③ 对数恒等式:
log
a
n
N
n
?log
a
N
,
log
a
m
N
n
?
n
log
b
cglog
c
a?1
.
log
a
N
,
log
a
bg
m
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
下列等式成立的是( )
A.
log
2
(3?5)?log
2
3?log
2
5
B.
log
2
(?10
)
2
?2log
2
(?10)
log
2
5
C.
log
2
(3?5)?log
2
3g
82
D.
log
2
(?5)
3
??log
25
3
2. 如果lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( ).
3ab
A.x=a+3b-c B.
x?
5c
3
ab
C.
x?
5
D.x=a+b
3
-c
3
c
3.
若
2lg
?
y?2x
?
?lgx?lgy
,那么(
).
A.
y?x
B.
y?2x
C.
y?3x
D.
y?4x
4.
计算:(1)
log
9
3?log
9
27?
;
1
(2)
log
2
?log
1
2?
.
2
2
5. 计算:
lg
315
?lg?
.
523
课后作业
1. 计算:
lg27?lg8?3lg10
(1);
lg1.2
(2)
lg
2
2?lg2?lg5?lg5
.
2. 设
a
、
b
、
c
为正数,且
3
a
?4
b
?6
c
,求证:
111
.
??
ca2b
§2.2.1 对数与对数运算(3)
学习目标
1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题;
2.
加强数学应用意识的训练,提高解决应用问题的能力.
学习过程
83
一、课前准备
(预习教材P
66
~
P
69
,找出疑惑之处)
复习1:对数的运算性质及换底公式.
如果 a
> 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则
(1)
log
a
(MN)?
;
M
(2)
log
a
?
;
N
(3)
log
a
M
n
?
.
换底公式
log
a
b?
.
复习2:已知
log
2
3 = a,
log
3
7 = b,用 a,b 表示
log
42
56.
复习3:1995年我国
人口总数是12亿,如果人口的年自然增长率控制在1.25℅,问哪一年
我国人口总数将超过14亿?
(用式子表示)
二、新课导学
※ 典型例题
例1 20世纪30年代,查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大
小的尺度,就是使用测震仪
衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.
这就是我们常
说的里氏震级M,其计算公式为:
M?lgA?lgA
0
,其中
A是被测地震的最大振幅,
A
0
是
“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是
为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的
测震仪记录的地震最大振幅是20,此时
标准地震的振幅是0.001,
计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)5级地震给人的振感已比较明显,计算7.6级地震最
大振幅是5级地震最大振幅的多少
倍?(精确到1)
小结:读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.
84
例2当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为
原来的
一半,这个时间称为“半衰期”.根据些规律,人们获得了生物体碳14含量P与生物
死亡年数t之间的
关系.回答下列问题:
(1)求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P,并用函数的观点来解释P
和t之间的关
系,指出是我们所学过的何种函数?
(2)已知一生物体内碳14的残留量为P
,试求该生物死亡的年数t,并用函数的观点来解
释P和t之间的关系,指出是我们所学过的何种函数?
(3)长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%,试推算古墓的年代?
反思:
① P和t之间的对应关系是一一对应;
1
②
P关于t的指数函数
P?(
5730
)
x
,则t关于P的函数为
.
2
※ 动手试试
练1. 计算:
(1)
5
1?log
0.2
3
; (2)
log<
br>4
3?log
9
2?log
1
4
32
.
2
练2.
我国的GDP年平均增长率保持为7.3%,约多少年后我国的GDP在2007年的基础上
85
翻两番?
三、总结提升
※ 学习小结
1.
应用建模思想(审题→设未知数→建立x与y之间的关系→求解→验证);
2.
用数学结果解释现象.
※ 知识拓展
在给定区间内,若函数
f
(x)
的图象向上凸出,则函数
f(x)
在该区间上为凸函数,结合
x?xf
(x
1
)?f(x
2
)
图象易得到
f(
12
)?
;
22
在给定区间内,若函数
f(x)
的图象向下凹进,则
函数
f(x)
在该区间上为凹函数,结合
x?xf(x
1
)?f(x
2
)
图象易得到
f(
12
)?
.
22
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为(
).
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※
当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1.
5
(
a
≠0)化简得结果是( ).
A.-
a
B.
a
2
C.|
a
| D.
a
1
2
log
5
(?a)
2
2. 若 log
7
[log
3
(log
2
x
)]=0,则
x=( ).
A. 3 B.
23
C.
22
D.
32
11
3.
已知
3
a
?5
b
?m
,且
??2
,则m
之值为( ).
ab
A.15 B.
15
C.±
15
D.225
4.
若3
a
=2,则log
3
8-2log
3
6用a表示为
.
5.
已知
lg2?0.3010
,
lg1.0718?0.0301
,则
lg2.5?
;
2?
1
10
.
课后作业
1. 化简:
2
(1)
lg5
2
?lg8?lg5lg20?(lg2)
2
;
3
(2)
?
log
2
5+log
4
0.2
?
?log
5
2+log
25
0.5
?
.
86
2. 若
lg
?
x?y
?
?lg
?
x?2y
?
?lg2?lgx?lgy
,求
x
的值.
y
§2.2.2 对数函数及其性质(1)
学习目标
1. 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,
体
会对数函数是一类重要的函数模型;
2.
能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊
点;
3. 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,
培
养数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
70
~
P
72
,找出疑惑之处)
1
复习1:画出
y?2
x
、
y?
()
x
的图象,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质.
2
复习2:生物机体内碳14的“半衰
期”为5730年,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时,碳14
87
的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.(列式)
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:对数函数的概念
问题:根据上题,用计算器可以完成下表:
碳14的含量P
生物死亡年数t
0.5
0.3 0.1
0.01
0.001
讨论:t与P的关系?
(对每一个碳14的含量P的取值,通过对应关系
t?log
5730
1
2
P
,生物死亡年数t都有唯一的
值与之对应,从而t是P的函数)
新知:一般地,当a>0且a≠1时,函数
y?log
a
x
叫做对数函数(
logarithmic function),自
变量是x; 函数的定义域是(0,+∞).
反思:
对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如:
y?2log
2
x
,
y?log
5
(5x)
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制
(a?0
,且
a?1)
.
探究任务二:对数函数的图象和性质
问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗?
研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
试试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象.
y?log
2
x
;
y?log
0.5
x
.
反思:
(1)根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质?
a>1 0
图
象
(1)定义域:
性
(2)值域:
88
质 (3)过定点:
(4)单调性:
(2)图象具有怎样的分布规律?
※ 典型例题
例1求下列函数的定义域:
(1)
y?log
a
x
2;(2)
y?log
a
(3?x)
;
变式:求函数
y?log
2
(3?x)
的定义域.
例2比较大小:
(1)
ln3.4,ln8.5
;
(2)
log
0.3
2.8,log
0.3
2.7
;
(3)
log
a
5.1,log
a
5.9
.
小结:利用单调性比大小;注意格式规范.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的定义域.
(1)
y?log
0.2
(?x?6)
;
(2)
y?
3
log
2
x?1
.
练2.
比较下列各题中两个数值的大小.
(1)
log
2
3和log
2
3.5
;
(2)
log
0.3
4和log
0.2
0.7
;
(3)
log
0.7
1.6和log
0.7
1.8
;
(4)
log
2
3和log
3
2
.
89
三、总结提升
※ 学习小结
1.
对数函数的概念、图象和性质;
2. 求定义域;
3. 利用单调性比大小.
※ 知识拓展
对数函数凹凸性:函数
f(x)?log
a
x,(a?0,a?1)
,
x
1
,x
2
是任意两个正实数.
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
当
a?1
时,
?f(
12
)
;
22
f(x
1
)?
f(x
2
)x?x
当
0?a?1
时,
?f(
12<
br>)
.
22
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1. 当a>1时,在同一坐标系中,函数
y?a
?x
与
y?log
a
x
的图象是( ).
2.
函数
y?2?log
2
x(x≥1)
的值域为( ).
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
?
2,??
?
D.
?
3,??
?
1
解集是( ).
2
A.
(2,??)
B.
(0,2)
1
1
B.
(,??)
D.
(0,)
2
2
4. 比大小:
(1)log
6
7 log
7
6 ; (2)log
3
1.5 log
2
0.8.
3.
不等式的
log
4
x?
5.
函数
y?log
(x-1)
(3-x)
的定义域是
.
课后作业
1. 已知下列不等式,比较正数m、n的大小:
(1)
log
3
m<
log
3
n ;
(2)
log
0.3
m>
log
0.3
n;
(3)
log
a
m>
log
a
n
(a>1)
90
2. 求下列函数的定义域: (1)
y?log
2
(3x?5)
;(2)
y?log
0.5
4x?3
.
§2.2.2 对数函数及其性质(2)
学习目标
1. 解对数函数在生产实际中的简单应用;
2. 进一步理解对数函数的图象和性质;
3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函
数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反
函数的两个函数的图象性质.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
72
~
P
73
,找出疑惑之处)
复习1:对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
图象和性质.
a>1
图
象
0
(1)定义域:
性
(2)值域:
质
(3)过定点:
(4)单调性:
复习2:比较两个对数的大小.
(1)log
10
7
与
log
10
12
; (2)
log
0.5
0.7
与
log
0.5
0.8
.
复习3:求函数的定义域.
91
(1)
y?
1
;
(2)
y?log
a
(2x?8)
.
1?log
3
2x
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务:反函数
问题:如何由
y?2
x
求出x?
反思:函数
x?log
2
y
由
y?2
x
解
出,是把指数函数
y?2
x
中的自变量与因变量对调位置而得
出的.
习惯上我们通常用x表示自变量,y表示函数,即写为
y?log
2
x
.
新知:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,
而把
这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse
function)
例如:指数函数
y?2
x
与对数函数
y?l
og
2
x
互为反函数.
试试:在同一平面直角坐标系中,画出指
数函数
y?2
x
及其反函数
y?log
2
x
图象,
发现什么
性质?
反思:
(1)如果
P
0
(x
0
,y<
br>0
)
在函数
y?2
x
的图象上,那么P
0
关
于直线
y?x
的对称点在函数
y?log
2
x
的图象上吗?
为什么?
(2)由上述过程可以得到结论:互为反函数的两个函数的图象关于
对称.
※ 典型例题
例1求下列函数的反函数:
(1)
y?3
x
;
(2)
y?log
a
(x?1)
.
92
小结:求反函数的步骤(解x
→习惯表示→定义域)
变式:点
(2,3)
在函数
y?log<
br>a
(x?1)
的反函数图象上,求实数a的值.
例2溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度pH的
计算公式
pH??lg[H
?
]
,其中
[H
?
]<
br>表示溶
液中氢离子的浓度,单位是摩尔升.
(1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系?
(2)纯净水
[H
?
]?10
?7
摩尔升,计算其酸碱度.
小结:抽象出对数函数模型,然后应用对数函数模型解决问题,这就是数学应用建模思想.
※ 动手试试
练1. 己知函数
f(x)?a
x
?k的图象过点(1,3)其反函数的图象过点(2,0),求
f
?
x
?的
表达式.
练2. 求下列函数的反函数.
(1) y=
(2)
x
(x∈R);
x
(2)y=
log
a
(a>0,a≠1,x>0)
2
三、总结提升
93
※
学习小结
① 函数模型应用思想;② 反函数概念.
※
知识拓展
函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的任意一个自变量x的值,y都有唯一的
值
和它对应.
对于一个单调函数,反之对应任意y值,x也都有惟一的值和它对应,从而单调
函数才具有反函数. 反
函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域,即
互为反函数的两个函数,定义域与值
域是交叉相等.
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1. 函数
y?log
0.5
x
的反函数是( ).
A.
y??log
0.5
x
B.
y?log
2
x
1
C.
y?2
x
D.
y?()
x
2
x
2. 函数
y?2
的反函数的单调性是( ).
A. 在R上单调递增
B. 在R上单调递减
C.
在
(0,??)
上单调递增
D.
在
(0,??)
上单调递减
3.
函数
y?x
2
(x?0)
的反函数是( ).
A.
y??x(x?0)
B.
y?x(x?0)
C.
y??x(x?0)
D.
y??x
4.
函数
y?a
x
的反函数的图象过点
(9,2)
,则a的值为
.
5. 右图是函数
y?log
a
1
x
,
的图象
,则底数之间的关系
y?log
a
2
xy?log
a
3
x
,
y?log
a
4
x
为 .
课后作业
1
的细胞每小时分裂一
2
次,即由1个细胞分裂成2个
细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超
过
10
10
个?
(参考数据:
lg3?0.477,lg2?0.301
).
ax?b
2. 探究:求
y?
(ac?0)
的反函数,并求出两个函数的定义域与值域,通过对定义域
cx?d
与值
域的比较,你能得出一些什么结论?
1.
现有某种细胞100个,其中有占总数
94
§2.2 对数函数(练习)
学习目标
1.
掌握对数函数的性质;
2. 能应用对数函数解决实际中的问题.
学习过程
一、课前准备
(复习教材P
62
~
P
76
,找出疑惑之处)
复习1:对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
图象和性质.
a>1
图
象
0
(1)定义域:
性
(2)值域:
质
(3)过定点:
(4)单调性:
复习2:根据对数函数的图象和性质填空.
① 已知函数
y?log
2
x
,则当
x?0
时,<
br>y?
;当
x?1
时,
y?
;当
0?x?1
时,
y?
;
当
x?4
时,
y?
.
② 已知函数
y?log
1
x
,则当
0?x?1
时,
y?
;当
x?1
时,
y?
;当
x?5
时,
3
y?
;当
0?x?2
时,
y?
;当
y?2
时,
x?
.
小结:数形结合法求值域、解不等式.
二、新课导学
※
典型例题
例1判断下列函数的奇偶性.
1?x
(1)
f(x)?log
;
1?x
(2)
f(x)?ln(1?x
2
?x)
.
95
例2证明函数
f(x)?log
2
(x
2
?1)
在
(0,??)
上递增.
变式:函数
f(x)?log
2
(x
2
?1)
在
(??,0)
上是减函数还是增函数?
例3 求函数
f(x)?log
0.2
(?4x?5)
的单调区间.
变式:函数
f(x)?log
2
(?4x?5)
的单调性是
.
小结:复合函数单调性的求法及规律:“同增异减”.
※
动手试试
练1. 比较大小:
(1)
log
a
?
和log
a
e(a?0且a?1)
;
1
(2)
log
2
和log
2
(a
2
?a?1)(a?R)
.
2
96
练2.
已知
log
a
(3a?1)
恒为正数,求
a
的取值范围.
练3. 函数
y?log
a
x
在[2,4]上的最大值比
最小值大1,求
a
的值.
练4.
求函数
y?log
3
(x
2
?6x?10)
的值域.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 对数运算法则的运用;
2. 对数运算性质的运用;
3. 对数型函数的性质研究;
4.
复合函数的单调性.
※ 知识拓展
复合函数
y?f(
?
(x))
的单调性研究,遵循一般步骤和结论,即:分别求出
y?f(u)
与
u?
?
(x)
两个函数的单调性,再按口诀“同增异减”得出复合后的单调
性,即两个函数同为
增函数或者同为减函数,则复合后结果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结
果为减
97
函数. 为何有“同增异减”?我们可以抓住 “x的变化→<
br>u?
?
(x)
的变化→
y?f(u)
的变化”
这样一
条思路进行分析
学习评价
※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好 B. 较好 C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测
(时量:5分钟 满分:10分)
计分
:
1. 下列函数与
y?x
有相同图象的一个函数是( )
x
2
2
A.
y?x
B.
y?
x
C.
y?a
logx
(a?0且a?1)
D.
y?log
a
a
x
a
2.
函数
y?log
1
(3x?2)
的定义域是( ).
2
2
A.
[1,??)
B.
(,??)
3
22
C.
[,1]
D.
(,1]
33
3.
若
f(lnx)?3x?4
,则
f(x)
的表达式为( )
A.
3lnx
B.
3lnx?4
C.
3e
x
D.
3e
x
?4
4.函数
f(x)?lg(x
2
?8)
的定义域为
,值域为 .
5. 将
0.3
2
,
log<
br>2
0.5
,
log
0.5
1.5
由小到大排列的顺序
是 .
课后作业
1. 若定义在区间
(?1,0)
内的函数
f(x)?log
2a<
br>(x?1)
满足
f(x)?0
,则实数a的取值范围.
11?x
2. 已知函数
f(x)??log
2
,求函数
f(x)
的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.
x1?x
98
§2.3 幂函数
学习目标
1.
通过具体实例了解幂函数的图象和性质;
2.
体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P
77
~
P
79
,找出疑惑之处)
复习1:求证
y?x
3
在R上为奇函数且为增函数.
复习2:1992年底世界人口达到
54.8亿,若人口年平均增长率为x%,2008年底世界人口数
为y(亿),写出:
(1)1993年底、1994年底、2000年底世界人口数;
(2)2008年底的世界人口数y与x的函数解析式.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一:幂函数的概念
问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征?
(1)边长为
a
的正方形
面积
S?a
2
,
S
是
a
的函数;
(2)
面积为
S
的正方形边长
a?S
,
a
是
S
的
函数;
(3)边长为
a
的立方体体积
V?a
3
,
V
是
a
的函数;
(4)某人
ts
内骑车行进了1
km
,则他骑车的平均速度
v?t
?1
kms
,这里
v是
t
的函数;
(5)购买每本1元的练习本
w
本,则需支付<
br>p?w
元,这里
p
是
w
的函数.
新知:一般地,形如
y?x
?
(a?R)<
br>的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
试试:判断下列函数哪些是幂函数.
1
①
y?
;②
y?2
x
2
;③
y?x
3
?x
;④
y?1
.
x
探究任务二:幂函数的图象与性质
问题:作出下列函数的图象:(1)
y
?x
;(2)
y?x
;(3)
y?x
2
;(4)
y
?x
?1
;(5)
y?x
3
.
从图象分析出幂函数所具有的性质.
99
1
2
1
2
观察图象,总结填写下表:
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
y?x
y?x
2
y?x
3
y?x
1
2
y?x
?1
小结:
幂函数的的性质及图象变化规律:
(1)所有的幂函数在
(0,??)
都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增
函数.特别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?<
br>?
?1
时,幂
函数的图象上凸;
(3)
?
?0时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象
限内,当
x
从右边趋向原点时,图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正
半轴
,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.
※ 典型例题
例1讨论
f(x)?x
在
[0,??)
的单调性.
变式:讨论
f(x)?
3
x
的单调性.
例2比较大小:
(1)
(a?1)
与
a?
1
2
?
1.51.5
(a?0)
;
(2)
(2?a)
2
?
2
3
与
2
;
?
2
3
(3)
1.1
与
0.9
.
100
1
2