[人教A版]高中数学必修一(全册)导学案及答案汇总

§1.1.1 集合的含义与表示（1）

学习目标

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言 、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受
集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
2
~ P
3
，找出疑惑之处）
讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这
个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？


引入：在这里， 集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不
是高二、高三）对象的总体， 而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，
即是一些研究对象的总体.
集 合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，
它还渗透到自然科学 的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参
阅一般科技读物和以后学习数学知 识准备必要的条件.

二、新课导学
※ 探索新知

探究1：考察几组对象：
① 1～20以内所有的质数；
② 到定点的距离等于定长的所有点；
③ 所有的锐角三角形；
④
x
2
,
3x?2
,
5y
3
?x
,
x
2
?y
2
；
⑤ 东升高中高一级全体学生；
⑥ 方程
x
2
?3x?0
的所有实数根；
⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；
⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.
试回答：
各组对象分别是一些什么？有多少个对象？


新知1 ：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合
（set） .

试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？

探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？


新知2：集合元素的特征
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.
确 定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两
种情况必有一种且 只有一种成立.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
1

无序性：集合中的元素没有顺序.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .

试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：
① 不等式
x?3?0
的解；
② 3的倍数；
③ 方程
x
2
?2x?1?0
的解；
④ a，b，c，x，y，z；
⑤ 最小的整数；
⑥ 周长为10 cm的三角形；
⑦ 中国古代四大发明；
⑧ 全班每个学生的年龄；
⑨ 地球上的四大洋；
⑩ 地球的小河流.

探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？

新知3：集合的字母表示
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a
?
A.

试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B， －
1 B.

探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？

新知4：常见数集的表示
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；
正整数集：所有正整数的集合，记作N
*
或N
+
；
整数集：全体整数的集合，记作Z；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
实数集：全体实数的集合，记作R.

试试4：填∈或
?
：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，
?3
Q，
3?2
R.
探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的 语言表示等例子，都是用自然语
言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？

新知5：列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举
法.
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.

试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.






※ 典型例题

2

例1 用列举法表示下列集合：
① 15以内质数的集合；
② 方程
x(x
2
?1)?0
的所有实数根组成的集合；
③ 一次函数
y?x
与
y?2x?1
的图象的交点组成的集合.











变式：用列举法表示“一次函数
y?x
的图象与二次函数
y?x
2< br>的图象的交点”组成的集合.




三、总结提升
※ 学习小结

①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举
法.

※ 知识拓展

集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1 874年康托尔提出“集合”的概念：
把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来， 看作一个整体，就称为一
个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中
最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列说法正确的是（ ）.
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合
{1,2,3,4,5}
和
{5,4,3,2,1}
表示同一个集合
1361
D．
1,0.5,,,,
这六个数能组成一个集合
2244
2. 给出下列关系：
1
①
?R
；②
2?Q
；③
?3?N
?
；④
?3?Q.

2
其中正确的个数为（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 直线
y?2x?1
与y轴的交点所组成的集合为（ ）.
A.
{0,1}
B.
{(0,1)}

11
C.
{?,0}
D.
{(?,0)}

22
3

4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：
深圳 A； 广州 A. （填∈或
?
）
5. “方程
x
2
?3x?0
的所有实数根”组成的集合用列举法表 示为____________.


课后作业

1. 用列举法表示下列集合：
（1）由小于10的所有质数组成的集合；
（2）10的所有正约数组成的集合；
（3）方程
x
2
?10x?0
的所有实数根组成的集合.







2. 设x∈R，集合
A?{3,x,x
2
?2x}
.
（1）求元素x所应满足的条件；
（2）若
?2?A
，求实数x.










§1.1.1 集合的含义与表示（2）

学习目标

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题，感受
集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
4
~ P
5
，找出疑惑之处）
复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .
集合中的元素具备 、 、 特征.
集合与元素的关系有 、 .

复习2：集合
A?{x
2
?2x?1}
的元素是 ，若1∈A，则x= .

复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2, 1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？



4

二、新课导学
※ 学习探究

思考：
① 你能用自然语言描述集合
{2,4,6,8}
吗？
② 你能用列举法表示不等式
x?1?3
的解集吗？




探究：比较如下表示法
① {方程
x
2
?1?0
的根}；
②
{?1,1}
；
③
{x?R|x
2
?1?0}
.



新 知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为
{x?A|P}
，其< br>中x代表元素，P是确定条件.

试试：方程
x
2
?3?0
的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .
※ 典型例题

例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程
x(x
2
?1)?0
的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.














练习：用描述法表示下列集合.
（1）方程
x
3
?4x?0
的所有实数根组成的集合；
（2）所有奇数组成的集合.








小结：
用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，
x?R
、
x?Z
明确时可省略，例如
5

{x|x?2k?1,k?Z}
,
{x|x?0}
.

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）抛物线
y?x
2
?1
上的所有点组成的集合；
?
3x?2y?2
（2）方程组
?
解集.
2x?3y?27
?













变式：以下三个集合有什么区别.
（1）
{(x,y)|y?x
2
?1}
；
（2）
{y|y?x
2
?1}
；
（3）
{x|y?x
2
?1}
.
反思与小结：
① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如
{(x,y)|y?x
2?1}
与
{y|y?x
2
?1}
不
同.
② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如
{x|x?1}
，
{x|x?3k, k?Z}
.
③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所 以不必写{全体
整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
④ 列举法与描述法各有 优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合
中元素较多或有无限个元素时，不宜采 用列举法.

※ 动手试试

练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.








练2. 已知集合
A?{x|?3?x?3,x?Z}
，集合< br>B?{(x,y)|y?x
2
?1,x?A}
. 试用列举法分别
表示集合A、B.








6

三、总结提升
※ 学习小结

1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；
2. 会用适当的方法表示集合；

※ 知识拓展

1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：
（1）所 有直角三角形的集合可以表示为：
{x|x是直角三角形}
，也可以写成：{直角三角形}；
（2）集合
{(x,y)|y?x
2
?1}
与集合
{y|y ?x
2
?1}
是同一个集合吗？

2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 设
A?{x?N|1?x?6}
，则下列正确的是（ ）.
A.
6?A
B.
0?A

C.
3?A
D.
3.5?A

2. 下列说法正确的是（ ）.
A.不等式
2x?5?3
的解集表示为
{x?4}

B.所有偶数的集合表示为
{x|x?2k}

C.全体自然数的集合可表示为{自然数}
D. 方程
x
2
?4?0
实数根的集合表示为
{(?2,2)}

3. 一次函数
y?x?3
与
y??2x
的图象的交点组成的集合是（ ）.
A.
{1,?2}
B.
{x?1,y??2}

?
y?x?3
}
C.
{(?2,1)}
D.
{(x,y)|
?
y??2x
?
4. 用列举法表示集合
A?{x?Z|5?x?10}
为

.
5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，
B?{x|x
2
?6x?5?0}
，用∈或
?
填空：
4 A，4 B，5 A，5 B.

课后作业

1. （1）设集合
A?{(x,y)|x?y?6,x?N,y?N}
，试用列举法表示集合A.
（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所 组成的
集合.







7

2. 若集合< br>A?{?1,3}
，集合
B?{x|x
2
?ax?b?0}
， 且
A?B
，求实数a、b.







§1.1.2 集合间的基本关系

学习目标

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2. 理解子集、真子集的概念；
3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4. 了解空集的含义.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
6
~ P
7
，找出疑惑之处）
复习1：集合的表示方法有 、 、
. 请用适当的方法表示下列集合.
（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.






复习2：用适当的符号填空.
（1） 0 N；
2
Q； -1.5 R.
（2）设集合
A ?{x|(x?1)
2
(x?3)?0}
，
B?{b}
，则1 A；b B；
{1,3}
A.

思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？



二、新课导学
※ 学习探究

探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
A?{3,6,9}
与B?{x|x?3k,k?N
*
且k?333}
；
C?{东升高中学生}
与
D?{东升高中高一学生}
；
E?{x|x(x?1)(x?2)?0}
与
F?{0,1,2}
.



8

新知：子集、相等、真子集、空集的概念.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素 ，我们说这两个集合有包含关系，称集合
A是集合B的子集（subset），记作：
A?B( 或B?A)
，读作：A包含于（is contained in）B，
或B包含(contains)A.
当集合A不包含于集合B时，记作
A?B
.
② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn
图表示两个集合间的“包含”关系为：

A?B(或B?A)
.


A

B

③ 集合相等：若
A ?B且B?A
，则
A?B
中的元素是一样的，因此
A?B
.

④ 真子集：若集合
A?B
，存在元素
x?B且x?A
， 则称集合A是集合B的真子集（proper
subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：
?
. 并规定：空集是任何集
合的子集，是任何非空集合的真子集.


试试：用适当的符号填空.
（1）
{a,b}

{a,b,c}
，
a

{a,b,c}
；
（2）
?

{x|x
2
?3?0}
，
?
R；
（3）N
{0,1}
，Q N；
（4）
{0}

{x|x
2
?x?0}
.




反思：思考下列问题.
（1）符号“
a?A
”与“
{a}?A
”有什么区别？试举例说明.






（2）任何一个集合是它本身的子集 吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示
结论.





（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？
① 若
a?b,且b?a,则a?b
；
② 若
a?b,且b?c,则a?c
.


9

※ 典型例题

例1 写出集合
{a,b,c}
的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.








变式：写出集合
{0,1,2}
的所有真子集组成的集合.






例2 判断下列集合间的关系：
（1）
A?{x|x?3?2}
与
B?{x|2x?5?0}
；



（2）设集合A={0,1}，集合
B?{x|x?A}
，则A与B的关系如何？




变式：若集合
A?{x|x?a}
，B?{x|2x?5?0}
，且满足
A?B
，求实数
a
的取值范 围.



※ 动手试试

练1. 已知集合
A ?{x|x
2
?3x?2?0}
，B＝{1,2}，
C?{x|x?8,x? N}
，用适当符号填空：
A B，A C，{2} C，2 C.

练2. 已知集合
A?{x|a?x?5}
，
B?{x|x ?2}
，且满足
A?B
，则实数
a
的取值范围
为 .

三、总结提升
※ 学习小结

1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.
2. 两个集合间的基本关系 只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，
特别要注意区别“属于”与“包含”两种 关系及其表示方法.

※ 知识拓展

如果一个集合含有n个元素，那 么它的子集有
2
n
个，真子集有
2
n
?1
个.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
10

※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列结论正确的是（ ）.
A.
?
A B.
??{0}

C.
{1,2}?Z
D.
{0}?{0,1}

2. 设A?
?
xx?1
?
,B?
?
xx?a
?
，且
A?B
，则实数a的取值范围为（ ）.
A.
a?1
B.
a?1

C.
a?1
D.
a?1

3. 若
{1,2}?{x|x
2
?bx?c?0}
，则（ ）.
A.
b??3,c?2
B.
b?3,c??2

C.
b??2,c?3
D.
b?2,c??3

4. 满足
{a,b}?A?{a,b,c,d}
的集合A有 个.
5. 设集合A?{四边形},B?{平行四边形},C?{矩形}
，
D?{正方形}
，则它们 之间的关系
是 ，并用Venn图表示.






课后作业

1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集
合，B表示质量 合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成
立？
A?B,B?A,A?C,C?A

试用Venn图表示这三个集合的关系.








2. 已知< br>A?{x|x
2
?px?q?0}
，
B?{x|x
2
?3x?2?0}
且
A?B
，求实数p、q所满足的条件.










§1.1.3 集合的基本运算（1）

学习目标

1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；
3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
11

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
8
~ P
9
，找出疑惑之处）
复习1：用适当符号填空.
0 {0}； 0
?
；
?
{x|x
2
＋1＝0,x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；
{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.

复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且x
?
A}= .

思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？



二、新课导学
※ 学习探究

探究：设集合
A?{4,5,6,8}
，
B?{3,5,7,8}
.
（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；






（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？




新知：交集、并集.
① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的 集合，叫作A、B的交集
（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：
AIB?{x|x?A,且x?B}.


Venn图如右表示.
B
A


② 类比说出并集的定义.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），
记作：
AUB
，读作：A并B，用描述法表示是：
AUB?{x|x?A,或x?B}
.

Venn图如右表示.
B
A



试试：
（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ；
（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ；
（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.
12

B
A(B) A

B A



A B
B
A



反思：
（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？



（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？



（3）A∩A＝ ；A∪A＝ .
A∩
?
＝ ；A∪
?
＝ .

※ 典型例题

例1 设
A?{x|?1?x?8}
，
B? {x|x?4或x??5}
，求A∩B、A∪B.









变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，
B?{x|x?4或x??5}
，则A∩B= ；A∪
B= .

小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.
例2 设
A?{(x,y)|4 x?y?6}
，
B?{(x,y)|3x?2y?7}
，求A∩B.







变式：
（1）若
A?{(x,y)|4x?y?6}
，
B?{(x,y)|4x?y?3}
，则
AIB?
；
（2）若
A?{(x,y)|4x?y ?6}
，
B?{(x,y)|8x?2y?12}
，则
AIB?
.

反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？


※ 动手试试

练1. 设集合
A?{x|?2?x?3},B?{x|1?x?2}
.求A∩B、A∪B.

13

练2. 学校里开运动会，设A={
x
|
x
是参加跳高的同学}，B ={
x
|
x
是参加跳远的同学}，
C={
x
|x
是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，
请你 用集合的运算说明这项规定，并解释
AIB
与
BIC
的含义.






三、总结提升
※ 学习小结

1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；
2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.

※ 知识拓展

，
AI（BUC）?（AIB）U（AIC）
，
AU（BIC）?（AUB）I（AUC）
，
（AIB）IC?AI（BIC）
，
（AUB）UC?AU（BUC）
AI（AUB）?A，AU（AIB）?A
.
你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 设
A?
?
x?Zx ?5
?
,B?
?
x?Zx?1
?
,
那么
A IB
等于（ ）.
A．
{1,2,3,4,5}

C．
{2,3,4}

B．
{2,3,4,5}

D．
?
x1?x?5
?

2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（ ）.
A. x=3, y=－1 B. (3，－1)
C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝
3. 设
A?
?
0,1,2,3,4,5
?
,B?{1,3 ,6,9},C?{3,7,8}
，则
(AIB)UC
等于（ ）.
A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,}
C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}
4. 设
A?{x|x?a }
，
B?{x|0?x?3}
，若
AIB??
，求实数a的取值范围 是 .
5. 设
A?xx
2
?2x?3?0,B?x x
2
?5x?6?0
，则
AUB
= .

????
课后作业

1. 设平面内直线
l
1
上点的集合为
L
1
，直线
l
2
上点的集合为L
2
，试分别说明下面三种情况时
直线
l
1
与直线l
2
的位置关系？
14

（1）
L
1
IL
2
?{点P}
；
（2）
L
1
IL
2
??
；
（3）
L
1
IL
2
?L
1
?L
2
.







1
2. 若关于x的方程3 x
2
+px－7=0的解集为A，方程3x
2
－7x+q=0的解集为B，且 A∩B={
?
}，
3
求
AUB
.












§1.1.3 集合的基本运算（2）

学习目标

1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
10
~ P
11
，找出疑惑之处）
复习1：集合相关概念及运算.
① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记
作 .
若集合
A?B
，存在元素
x?B且x?A
，则称集合A是集合B的 ，记作 .
若
A?B且B?A
，则 .
② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：
AIB?
；
AUB?
.

复习2：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？




二、新课导学
※ 学习探究

探究：设U ={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，
15

则U、A、B有何关系？




新知：全集、补集.
① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么 就称这个集合为全
集（Universe），通常记作U.

② 补集：已知集合U, 集合A
?
U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对
于U的补集（complementary set），记作：
C
U
A
，读 作：“A在U中补集”，即
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
.
补集的Venn图表示如右：



说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.
试试： （1）U={2,3,4}，A={4,3}，B=
?
，则
C
U
A
= ，
C
U
B
= ；
（2） 设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
C
U
A
＝ ；
（3）设集合
A?{x|3?x? 8}
，则
?
R
A
= ；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
U
A
＝ .

反思：
（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？
（2）Q的补集如何表示？意为什么？


※ 典型例题

例1 设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求
C
U
A
、
C
U
B
.



















例2 设U=R，A＝ {x|－1C
U
A
、
C
U
B
.



16

变式：分别求
C
U
(AUB)
、
(C
U
A)I( C
U
B)
.




※ 动手试试

练1. 已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足
(CI
A)I(C
I
B)?{1,9}
，
(C
I
A )IB?{4,6,8}
，
AIB?{2}
. 求集合A、B.


















练2. 分别用集合A、B、C表示下图的阴影部分.

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） .

反思：
结合Venn图分析，如何得到性质：
（1）
AI(C
U
A)?
，
AU(C
U
A)?
；
（2）
C
U
(C
U
A)?
.

三、总结提升
※ 学习小结

17

1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.
2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn图.

※ 知识拓展

试结合Venn图分析，探索如下等式是否成立？
（1）
C
U
(A UB)?(C
U
A)I(C
U
B)
；
（2）
C< br>U
(AIB)?(C
U
A)U(C
U
B)
.





学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 设全集U=R，集合
A?{x|x< br>2
?1}
，则
C
U
A
=（ ）
A. 1 B. －1，1
C.
{1}
D.
{?1,1}

2. 已知集合U=
{x|x?0}
，
C< br>U
A?{x|0?x?2}
，那么集合
A?
（ ）.
A.
{x|x?0或x?2}
B.
{x|x?0或x?2}

C.
{x|x?2}
D.
{x|x?2}

3. 设全集
I?
?
0,?1,?2,? 3,?4
?
,集合
M?
?
0,?1,?2
?
, < br>N?
?
0,?3,?4
?
，则
?
?
I
M
?
IN?
（ ）.
A．｛０｝
C．
?
?1,?2
?

B．
?
?3,?4
?

D．
?

4. 已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则
C
U
A
= .
5. 定义A—B={x|x∈A，且x
?
B}，若M={1,2,3,4,5} ，N={2,4,8}，则N—M= .

课后作业

1. 已知全集I=
{2,3,a
2
?2a?3}
，若
A? {b,2}
，
C
I
A?{5}
，求实数
a,b
.












2. 已知全集U=R，集合A=
xx
2
?px?2? 0
，
B?xx
2
?5x?q?0,
若
(C
UA)IB?
?
2
?
，
试用列举法表示集合A




????
18

§1.1 集合（复习）

学习目标

1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运 行性质解决一些简单的问题，掌握
集合的有关术语和符号；
2. 能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

学习过程

一、课前准备
（复习教材P
2
~ P
14
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？
AIB?
；
AUB?
；
C
U
A?
.


复习2：交、并、补有如下性质.
A∩A＝ ；A∩
?
＝ ；
A∪A＝ ；A∪
?
＝ ；
AI(C
U
A)?
；
AU(C
U
A)?
；
C
U
(C
U
A)?
.
你还能写出一些吗？




二、新课导学
※ 典型例题

例1 设U=R，
A?{x|?5?x?5}
，
B?{x |0?x?7}
.求A∩B、A∪B、C
U
A 、C
U
B、(CU
A)
∩(C
U
B)、(C
U
A)∪(C
U< br>B)、C
U
(A∪B)、C
U
(A∩B).














19

小结：
（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；
（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？
例2已知全集
U?{1,2,3,4,5 }
，若
AUB?U
，
AIB?
?
，
AI(C
U
B)?{1,2}
，求集合A、B.















小结：
列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法.


例3 若
A?
?
xx
2
?4x?3?0
?
,B?
?
xx
2
?ax?a?1?0
?
C??
xx
2
?mx?1?0
?
且AUB?A,AIC?C
，求实数a、m的值或取值范围．



















变式：设
A?{x|x
2
?8x?15?0}
，
B?{x|ax?1?0}
，若B
?
A，求实数a组成的集合、.









20
，

※ 动手试试

练1. 设< br>A?{x|x
2
?ax?6?0}
，
B?{x|x
2
?x?c?0}
，且A∩B＝{2}，求A∪B.











练2. 已知A={x| x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A
?
B时，求实数m的取值范围。










练3. 设A＝｛x｜x
2
－ax＋a
2
－19＝0｝，B＝｛x｜ x
2
－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x
2
＋2x－8＝0｝．
（1）若A＝B，求a的值；
（2）若
?
A∩B，A∩C＝
?
，求a的值．












三、总结提升
※ 学习小结

1. 集合的交、并、补运算.
2. Venn图示、数轴分析.

※ 知识拓展

集合中元素的个数的研究：
有限集合A中元素的个数记为
n(A)
，
则
n(AUB)?n(A)?n(B)?n(AIB)
.
你能结合Venn图分析这个结论吗？
能再研究出
n(AUBUC)
吗？

21

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 如果集合A={x|ax
2
＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（ ）.
A．0 B．0 或1
C．1 D．不能确定
2. 集合A={x|x=2n，n∈Z}，B={y|y=4k，k∈Z}，则A与B的关系为（ ）.
A．A
?
B B．A
?
?
B
?
C．A=B D．A
?
B
3. 设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7}
，集合
A?{1,3,5}
，集合B?{3,5}
，则（ ）.
A．
U?AUB
B．
U?(C
U
A)UB

C．
U?AU(C
U
B)
D．
U?(C
U
A)U(C
U
B)

?
4. 满足条件{1,2,3}
?
?
M
?
{1, 2,3,4,5,6}的集合M的个数是 .
5. 设集合
M?{y|y?3?x
2
}
，
N?{y|y?2x
2
?1}
，则
MIN?
.

课后作业

1. 设全集
U?{x|x?5,且x?N*}
，集合
A?{x|x
2
? 5x?q?0}
，
B?{x|x
2
?px?12?0}
，且
(C
U
A)UB?{1,2,3,4,5}
，求实数p、q
的值.












2. 已知集合A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|x
2
-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.











§1.2.1 函数的概念（1）

学习目标

1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础
22

上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2. 了解构成函数的要素；
3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
15
~ P
17
，找出疑惑之处）
复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？




复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的 每一个确定
的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：
解析法、列表法、图象法.

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：函数模型思想及函数概念
问题：研究下面三个实例：
A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）
与时间t（秒）的变化规律是
h?130t?5t
2
.

B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问
题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变 化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映
一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居
民的恩格尔系数如下表.
年份
恩格尔
系数%
1991 1992 1993 1994 1995
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9
…
…

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的 变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样
的对应关系？ 三个实例有什么共同点？



归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某 种对应关
系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：
f
:
A?B< br>.

新知：函数定义.
设A
、
B是非空数集，如果按照某 种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么称
f
:
A?B
为从集合A到集合B的一个
函 数（function），记作：
y?f(x),x?A
.
其中，x叫自变量， x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，
函数值的集合
{ f(x)|x?A}
叫值域（range）.

试试：
（1）已知
f(x)?x
2
?2x?3
，求
f(0)
、
f(1)、
f(2)
、
f(?1)
的值.

23

（2）函数
y?x
2
?2x?3,x?{?1,0,1,2}
值域是 .

反思：
（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 .
（2）常见函数的定义域与值域.
函数
一次函数
二次函数
反比例函数
解析式 定义域



值域



y?ax?b(a?0)

y?ax
2
?bx?c
，
其中
a?0

k
y?(k?0)

x

探究任务二：区间及写法
新知：设a、b是两个实数，且a{x|a?x?b}?[a,b]
叫闭区间；
{x|a?x?b}?(a,b)
叫开区间；
{x|a?x?b}?[a,b)，
{x|a?x?b}?(a,b]
都叫半开半闭区间.
实数集R用区间< br>(??,??)
表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”
读 “正无穷大”.

试试：用区间表示.
（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、
{x|x≤b}= 、{x|x（2）
{x|x?0或x?1}
= .
（3）函数y＝
x
的定义域 ，
值域是 . （观察法）
※ 典型例题

例1已知函数
f(x)?x?1
.
（1）求
f(3)
的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
（3）求
f(a
2
?1)
的值.











1
变式：已知函数
f(x)?
.
x?1
（1）求
f(3)
的值；
（2）求函数的定义域（用区间表示）；
24

（3）求
f(a
2
?1)
的值.








※ 动手试试

练1. 已知函数
f(x)?3x
2
?5x?2
，求
f(3 )
、
f(?2)
、
f(a?1)
的值.





1
练2. 求函数
f(x)?
的定义域.
4x?3



三、总结提升
※ 学习小结

①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数的值域；④区间表示.
※ 知识拓展

求函数定义域的规则：
f(x)
① 分式：
y?
，则
g(x)?0
；
g(x)
② 偶次根式 ：
y?
2n
f(x)(n?N
*
)
，则
f(x)? 0
；
③ 零次幂式：
y?[f(x)]
0
，则
f(x)?0
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知函数
g(t)?2t
2
?1
，则
g(1)?
（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数
f(x)?1?2x
的定义域是（ ）.
1
1
A.
[,??)
B.
(,??)

2
2
11
C.
(??,]
D.
(??,)

22
3. 已知函数
f(x)?2x?3
，若
f(a)?1
，则a=（ ）.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
4. 函数
y?x
2
,x?{?2,?1,0,1,2}
的值域是 .
2
5. 函数
y??
的定义域是 ，值域是 .（用区间表
x
示）

课后作业

25

1. 求函数
y?
1
的定义域与值域.
x?1











2. 已知
y?f(t)?t?2
，
t(x)?x
2
?2x?3
.
（1）求
t(0)
的值；
（2）求
f(t)
的定义域；
（3）试用x表示y.
















§1.2.1 函数的概念（2）

学习目标

1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
18
~ P
19
，找出疑惑之处）
3x
2
复习1：函数的三要素是 、 、 .函数
y?
与y＝3x是不是同一个函
x
数？为何？







26

复习2：用区 间表示函数y＝kx＋b、y＝ax
2
＋bx＋c、y＝








二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：函数相同的判别
k
的定义域与值域，其中
k?0
，
a?0
.
x< br>x
3
讨论：函数y=x、y=(
x
)、y=
2
、y=
4
x
4
、y=
x
2
有何关系？
x





试试：判断下列函数
f(x )
与
g(x)
是否表示同一个函数，说明理由？
2
①
f(x)
=
(x?1)
0
；
g(x)
= 1.
②
f(x)
= x；
g(x)
=
④
f(x)
= | x | ；
g(x)
=
x
2
.
x
2
.
③
f(x)
= x
2
；
g(x)
=
(x?1)
2
.




小结：
① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等 当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字
母无关.

※ 典型例题

例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.
x?3
（1）
f(x)?
2
；
x?2
（2）
f(x)?2x?9
；
1
（3）
f(x)?x?1?
.
x?2











27

试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.
x?2
（1）
f(x)???3x?4
；
x?3
1
（2）
f(x)?9?x?
.
x?4

















小结：
（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；
（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.
例2求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y＝x
2
－3x＋4； （2）
f(x)?x
2
?2x?4
；
?5
x?2
（3）y＝； （4）
f(x)?
.
x?3
x?3














ax?b
变式：求函数
y?(ac?0)
的值域.
cx?d




28

小结：
求函数值域的常用方法有：
观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

※ 动手试试

练1. 若
f(x?1)?2x
2
?1
，求
f(x)
.





练2. 一次函数
f(x)
满足
f[f(x)]?1?2x
，求
f(x)
.






三、总结提升
※ 学习小结

1. 定义域的求法及步骤；
2. 判断同一个函数的方法；
3. 求函数值域的常用方法.

※ 知识拓展

对于两个函数
y?f(u)
和
u ?g(x)
，通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称它为
函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记作
y?f(g(x))
. 例如y?x
2
?1
由
y?u
与
u?x
2
? 1
复合.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 函数
f(x)?1?x?x?3?1
的定义域是（ ）.
A.
[?3,1]
B.
(?3,1)
C. R D.
?

2x?1
2. 函数
y?
的值域是（ ）.
3x?2
1122
A.
(??,?)U(?,??)
B.
(??,)U(,??)

3333
11
C.
(??,?)U(?,??)
D. R
22
3. 下列各组函数
f(x)与g(x)
的图象相同的是（ ）
A.
f(x)?x,g(x)?(x)
2

B.
f(x)?x
2
,g(x)?(x?1)
2

C.
f(x)?1,g(x)?x
0

?
x
(x ?0)
D.
f(x)?|x|,g(x)?
?

?
?x
(x?0)
1
4. 函数f(x) =
x?1
+的定义域用区间表示是 .
2?x
29

5. 若
f(x?1)?x
2
?1
，则
f(x)
= .

课后作业

1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出
定义域.









2. 已知二次函数f(x)=ax
2
+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f (x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x
有等根，求f(x)的解析式.













§1.2.2 函数的表示法（1）

学习目标

1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
19
~ P
21
，找出疑惑之处）
复习1：
（1）函数的三要素是 、 、 .
11
（2）已知函数
f(x)?
2
，则
f(0)?
，
f()
= ，
f(x)
的定义域
x?1x
为 .
（3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.



复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.



30

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：函数的三种表示方法
讨 论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法
及优缺点.








小结：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.
※ 典型例题

例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本 需要y元．试用三种表
示法表示函数
y?f(x)
.


















变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函
数.











31

反思：
例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？



例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每
封x克（0的图象.









变式： 某水果批发店，100 kg内单价1元／kg，500 kg内、100 kg及以上0.8元／kg，500 kg
及以上0.6元／kg，试写出批发x千克应付的钱数y（元）的函数解析式.






试试：画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.








小结：
分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）. 在生活实例有哪
些分段函数的实例？

※ 动手试试

?
2x?3,x?(??,0)
练1. 已知
f(x)?
?
2
，求
f(0)
、
f[f(?1)]
的值.
?
2x?1,x?[0,??)








练2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如 果矩形的边长
为
x
，面积为
y
，把
y
表示成
x
的函数.

32

三、总结提升
※ 学习小结

1. 函数的三种表示方法及优点；
2. 分段函数概念；
3. 函数图象可以是一些点或线段.

※ 知识拓展

任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三
者（图象）之间的关系.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 如下图可作为函数
y?f(x)
的图象的是（ ）.

A. B. C. D.
2. 函数
y?|x?1|
的图象是（ ）.

A. B. C. D.
?
x?2, (x≤?1)
?
3. 设
f(x)?
?
x
2
, (?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则x=（ ）
?
2x, (x≥2)
?
A. 1 B.
?3
C.

3
D.
2
3

2
?
?
x＋2(x
?
2)
4. 设函数f（x）＝
?
，则
f(?1)
＝ .
2x(x＜2)
?
?
5. 已知二次函数
f(x)
满足f(2?x)?f(2?x)
，且图象在
y
轴上的截距为0，最小值为－1，则函数
f(x)
的解析式为 .

课后作业

1. 动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的 运动路程为自变量
x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.







33

2. 根据下列条件分别求出函数
f(x)
的解析式.
111
（1）
f(x?)?x
2
?
2
； （2）
f(x)?2f()?3x
.
xxx








§1.2.2 函数的表示法（2）

学习目标

1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
3. 能解决简单函数应用问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
22
~ P
23
，找出疑惑之处）
复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的点P和它对应；
② 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的
和它对应；
③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④ 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.
你还能说出一些对应的例子吗？





讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：映射概念
探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意.
①
A?{1,4,9}
,
B?{?3,?2,?1,1,2,3}
，对应法则：开平方；
②
A?{ ?3,?2,?1,1,2,3}
，
B?{1,4,9}
，对应法则：平方；
③
A?{30?,45?,60?}
,
B?{1,



34
231
,,}
, 对应法则：求正弦.
222

新知 ：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A
中的任意一个元 素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
f:A?B
为从集合A到集合 B的一个映射（mapping）．记作“
f:A?B
”
关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.

试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？




反思：
① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意
两个非空集合”， 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.

※ 典型例题

例1 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R；
（2）A={三角形}，B={圆}；
（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，
B?{(x,y)|x?R,y?R}
；
（4） A={高一学生}，B= {高一班级}.






变式：如果是从B到A呢？








试试：下列对应是否是集合A到集合B的映射
（ 1）
A?1,2,3,4
?
,B?
?
2,4,6,8
?，对应法则是“乘以2”；
（2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3）
A?
?
x|x?0
?
,B?
R，对应法则是“求倒 数”.






35
?

※ 动手试试

练1. 下列对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6， 7，8，9}，对应法则
f:x?2x?1
；
（2）
A?N
*,B?{0,1}
，对应法则
f:x?x
除以2得的余数；
（3）A?N
，
B?{0,1,2}
，
f:x?x
被3除所得的余数；
1111
（4）设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}f:x?
；
234x
（5）
A?{x|x?2,x?N},B?N
，
f:x?< br>小于x的最大质数.














练2. 已知集合
A?
?
a,b
?
,B?
?
?1,0,1
?
,
从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？








三、总结提升
※ 学习小结

1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应， 但B中元素未必要有
对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

※ 知识拓展

在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此 地段内，车距d是车速v（千
米／小时）的平方与车身长（s米）的积的正比例函数，且最小车距不得小 于车身长的一半．现
假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式 （其中
s为常数）.


学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在映射
f:A?B
中，A?B?{(x,y)|x,y?R}
，且
f:(x,y)?(x?y,x?y)
，则与A中的
元素
(?1,2)
对应的B中的元素为（ ）.
A.
(?3,1)


B.
(1,3)
C.
(?1,?3)
D.
(3,1)

36

2.下列对应
f:A?B
：
①
A?R,B?
?
x?Rx?0
?
,f:x?x;

②
A?N,B?N
*
,f:x?x?1;

③
A?
?
x?Rx?0
?
,B?R,f:x?x
2
.

不是从集合A到B映射的有（ ）.
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③
?
0(x?0)
?
3. 已知
f(x)?< br>?
?
(x?0)
，则
f{f[f(?1)]}
=（ ）
?
x?1(x?0)
?
A. 0 B.
?
C.
1?
?
D.无法求
1x
4. 若
f()?
， 则
f(
x)
= .
x1?x
5. 已知f(x)=x
2
?1，g(x)=
x?1
则f[g(x)] = .

课后作业

11
1. 若函数
y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数
y?f(x?)gf(x?)
的定义域.
44






2. 中山移动公司开 展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；
“神州行”不缴月租，每 通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式
费用分别为
y
1
,y
2
（元）.
（1）写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？








§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

学习目标

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
27
~ P
29
，找出疑惑之处）
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？
37

复习1：观察下列各个函数的图象.




探讨下列变化规律：
① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？




复习2：画出函数
f(x)?x?2
、
f( x)?x
2
的图象.









小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念
思考： 根据
f(x)?x?2
、
f(x)?x
2
(x?0)
的图象 进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？
当x
1
>x
2
时，f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样？



问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？


新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自 变量
x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（ increasing function）.

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.





新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：
① 图象如何表示单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
38

③ 函数
f(x)?x
2
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.


※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
1
（1）
f(x)??3x?2
； （2）
f(x)?
.
x














k
变式：指出
y?kx?b
、
y?(k?0)
的单调性.
x
k
例2 物理学中的玻意耳定律
p?
（k为正常数），告诉我们对 于一定量的气体，当其体积V
V
增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.











小结：
① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；
② 证明函数单调性的步骤：
第一步：设x
1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2
；
第二步：计算f(x
1
)－f(x
2
)至最简；
第三步：判断差的符号；
第四步：下结论.

39

※ 动手试试

练1.求证
f(x)?x?
1
的(0,1)上是减函数，在
[1,??)
是增函数.
x









练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.
（1）
f(x)?|x|
； （2）
f(x)?x
3
.




三、总结提升
※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展
< br>a
函数
f(x)?x?(a?0)
的增区间有
[a,??)
、
(??,?a]
，减区间有
(0,a]
、
[?a,0)
.
x
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 函数
f(x)?x
2
?2x
的单调增区间是（ ）
A.
(??,1]
B.
[1,??)
C. R D.不存在
2. 如果函数
f(x)?kx?b
在R上单调递减，则（ ）
A.
k?0
B.
k?0
C.
b?0
D.
b?0

3. 在区间
(??,0)
上为增函数的是（ ）
2
A．
y??2x
B．
y?

x
C．
y?|x|
D．
y??x
2

4. 函数
y??x
3
?1
的单调性是 .
5. 函数
f(x)?|x?2|
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
课后作业

1. 讨论
f(x)?






40
1
的单调性并证明.
x?a

2. 讨论
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的单调性并证明.

















§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

学习目标

1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；
2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
30
~ P
32
，找出疑惑之处）
复习1：指出函数
f(x)?ax
2?bx?c(a?0)
的单调区间及单调性，并进行证明.







复习2：函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的最小值为 ，
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的最大值为 .

复习3：增函数、减函数的定义及判别方法.


二、新课导学
※ 学习探究

41

探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数 最高点
f(x)??2x?3


f(x)??2x?3
,
x?[?1,2]


f(x)?x
2
?2x?1

f(x)?x
2
?2x?1
,
x?[?2,2]

最低点






讨论体现了函数值的什么特征？


新知：设函数y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
存在x
0
∈I，使 得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.

试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．




反思：
一些什么方法可以求最大（小）值？

※ 典型例题

例1一枚 炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是
h?130t?5t
2
，那
么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？








变式：经过多少秒后炮弹落地？




试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？





小结：
数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值.

3
例2求
y?
在区间[3，6]上的最大值和最小值.
x?2





42

变式：求
y?
3?x
,x?[3,6]
的最大值和最小值.
x?2







小结：
先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.

试试：函数
y?(x?1)
2
?2,x?[0,1]
的最小值为 ，最大值为 . 如果是
x?[?2,1]
呢？

※ 动手试试

练1. 用多种方法求函数
y?2x?x?1
最小值.










变式：求
y?x?1?x
的值域.











练2. 一个星级
房价（元） 住房率（%）
旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经
理得到一些定价和住房率的数据如右：
160 55
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
140 65

120 75

100 85






43

三、总结提升
※ 学习小结

1. 函数最大（小）值定义；.
2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

※ 知识拓展
求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行
a
a
研究. 例如求
f(x)??x
2
?ax
在区间
[m,n]
上的值域，则先求得对称轴
x?
，再分
?m
、
2
2
am?nm?na
a
、
m????n
、
?n
等四种 情况,由图象观察得解.
2222
2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 函数
f(x)?2x?x
2
的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数
y?|x?1|?2
的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3. 函数
y?x?x?2
的最小值是（ ）.
A. 0 B. 2 C. 4 D.
2

4. 已知函数
f(x)
的图象关 于y轴对称，且在区间
(??,0)
上，当
x??1
时，
f(x)< br>有最小值3，
则在区间
(0,??)
上，当
x?
时，
f(x)
有最 值为 .
5. 函数
y??x
2
?1,x?[?1,2]
的最大值为 ，最小值为 .

课后作业

1. 作出函数y?x
2
?2x?3
的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小 值．
（1）
?1?x?0
； （2）
0?x?3
；（3）
x?(??,??)
.















2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长
为
x
，面积为
y
，试将
y
表示成
x
的函数，并画出函数 的大致图象，并判断怎

样锯才能使得截面面积最大？


44

§1.3.2 奇偶性

学习目标

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 学会判断函数的奇偶性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
33
~ P
36
，找出疑惑之处）
复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.
1
（1）
f(x)?x
2
?1
； （2）
f(x)?

x







复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x
2
、f(x)＝x< br>3
、f(x)＝x
4
，分别比较f(x)与f(－x).




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：奇函数、偶函数的概念
思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：
1
（1）
f(x)?x
、
f(x)?
、
f(x)?x
3
；
x
2
（2）
f(x)?x
、
f(x)?|x|
.
观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？










45

新知：一般地，对于函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f (?x)?f(x)
，那么函数
f(x)
叫
偶函数（even function）.

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.


反思：
① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

1
在y轴左边的图象如图所示，画出它右
试试：已知函数
f(x)?
2
x
边的图象.




※ 典型例题

例1 判别下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?
3
x
4
； （2）
f(x)?
4
x
3
；
1
（3）
f(x)??3x
4
?5x
2
； （4）
f(x)?
3
x?
3
.
x

















小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称 ，再计算
f(?x)
，并与
f(x)
进行比较.

试试：判别下列函数的奇偶性：
1
（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；
x
x
2
（3）f(x)＝； （4）f(x)＝x, x∈[-2,3].
1?x
2








46

例2 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证
明.















变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a ]上的单调性，并给出证
明.











小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

※ 动手试试

练习：若
f(x)?ax
3
?b x?5
，且
f(?7)?17
，求
f(7)
.










三、总结提升
※ 学习小结

1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；
2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.

47

※ 知识拓展

定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于 原点
对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 对于定义域是R的任意奇函数
f(x)
有（ ）.
A．
f(x)?f(?x)?0
B．
f(x)?f(?x)?0

C．
f(x)gf(?x)?0
D．
f(0)?0

2. 已知
f(x)
是定义
(??,? ?)
上的奇函数，且
f(x)
在
?
0,??
?
上是 减函数. 下列关系式中正确
的是（ ）
A.
f(5)?f(?5)
B.
f(4)?f(3)

C.
f(?2)?f(2)
D.
f(?8)?f(8)

3. 下列说法错误的是（ ）.
1
A.
f(x)?x?
是奇函数
x
B.
f(x)?|x?2|
是偶函数
C.
f(x)?0,x?[?6,6]
既是奇函数，又是偶函数
x
3
? x
2
D.
f(x)?
既不是奇函数，又不是偶函数
x?1
4. 函数
f(x)?|x?2|?|x?2|
的奇偶性是 .
5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且
最 值为 .

课后作业

1. 已知
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，且
f( x)?g(x)?
1
，求
f(x)
、
g(x)
.
x?1









2. 设
f(x)
在R上是奇函数，当x>0时，
f(x)?x(1?x)
， 试问：当
x
<0时，
f(x)
的表达式
是什么？











48

§1.3 函数的基本性质（练习）

学习目标

1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）；
2. 能应用函数的基本性质解决一些问题；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程

一、课前准备
（复习教材P
27
~ P
36
，找出疑惑之处）
复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？








复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？








二、新课导学
※ 典型例题

例1 作出函数y＝x
2
－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.



















小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.
49

变式：y＝|x
2
－2x－3| 的图象如何作？







反思：
如何由
f (x)
的图象，得到
f(|x|)
、
|f(x)|
的图象？






例2已知
f(x)
是奇函数，在
(0,??)
是增函数，判断
f(x)
在
(??,0)
上的单调性，并进行证明.













反思：
奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调
性 ）

例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x
万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少元时，销售金额最大？最
大是多少 ？















小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题
※ 动手试试

50

练1. 判断函数y=
x?2
单调性，并证明.
x?1












练2. 判别下列函数的奇偶性：
2
?
?
?x?x(x?0)（1）y＝
1?x
＋
1?x
；（2）y＝
?
2
.
x?x(x?0)
?
?













1
练3. 求函数
f(x)?x?(x?0)
的值域.
x







三、总结提升
※ 学习小结

1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法.
2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法.
3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调法.

※ 知识拓展

形 如
f(|x|)
与
|f(x)|
的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图 ，还可由对称变换得
到图象.
f(|x|)
的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右 侧的图象，并把y轴右侧的图象对
折到左侧.
|f(x)|
的图象，先作
f (x)
的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

51

1. 函数
y?x
2
?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时，
b的取值范围 （ ）.
A．
b??2
B．
b??2

C ．
b??2
D．
b??2

2. 下列函数中，在区间
(0,2)
上为增函数的是（ ）.
A．
y??x?1
B．
y?x

2
D．
y?

x
C．
y?x
2
?4x?5

ax
2
?b
3. 已知函数y=为奇函数，则（ ）.
x?c
A.
a?0
B.
b?0

C.
c?0
D.
a?0

4. 函数y＝x＋
2x?1
的值域为 .
5.
f(x)?x
2
?4x
在
[0,3]
上的最大值为 ，最小值为 .

课后作业

1. 已知
f(x)
是定义在
(?1,1)
上的减函数，且
f(2?a)?f(a?3)?0
. 求实数a的取值范围.









2. 已知函数
f(x)?1?x
2
.
（1）讨论
f(x)
的奇偶性，并证明；
（2）讨论
f(x)
的单调性，并证明.

















第一章 集合与函数的概念（复习）

学习目标

1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研
52

究问题，如数轴分析、Venn图；
2. 深刻理解函数的有关概念，理解对 应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶
性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题.

学习过程

一、课前准备
（复习教材P
2
~ P
45
，找出疑惑之处）
复习1：集合部分.
① 概念：一组对象的全体形成一个集合
② 特征：确定性、互异性、无序性
③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
④ 关系：∈、
?
、
?
、、=
⑤ 运算：A∩B、A∪B、
C
U
A

⑥ 性质：A
?
A；
?
?
A，….
⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.

复习2：函数部分.
① 三要素：定义域、值域、对应法则；
② 单调性：
f(x)
定义域内某区间D，x
1
,x
2
?D
，

x
1
?x
2
时，
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f(x)
的D上递增；
x
1
?x
2
时，
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
f(x)
的D上递减 .
③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法.
④ 奇偶性：对
f(x)
定义域内任意x，
f(?x)??f(x)

?
奇函数；
f(?x)?f(x)

?
偶函数.
特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.

二、新课导学
※ 典型例题

例1设集合
A?{x|x
2
?ax?a
2
?19?0}
，
B?{x|x
2
?5x?6?0}
，
C ?{x|x
2
?2x?8?0}
.
（1）若
AIB
=
AUB
，求a的值；
（2）若
?
AIB
，且
AIC
=
?
，求a的值；
（3）若
AIB
=
AIC
?
?
，求a的值.










1?x
.
1?x
（1）求
f(5)
的值； （2）求
f(x)?0
时
x
的值；
（3）当
x
>0时，求
f(x)
的解析式．

例2 已知函数
f(x)
是偶函数，且
x?0
时，
f(x)?
53

1?x
2
例3 设函数
f(x)?
．
1?x
2
（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；
1
（3）求证：
f()??f(x)
；
x
（4）求证：
f(x)
在
[1,??)
上递增.


























※ 动手试试

练1. 判断下列函数的奇偶性：
54

2x
2
?2x
（1）
f(x)?
； （2）
f(x)?x
3
?2x
；
x?1
?
x(1 ?x)
x?0,
（3）
f(x)?a
（
x?
R）； （4）
f(x)?
?

?
x(1?x)
x?0.



















练2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的
面积之和最小， 正方形的周长应为多少？












三、总结提升
※ 学习小结

1. 集合的三种运算：交、并、补；
2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示；
3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；
4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.

※ 知识拓展
< br>要作函数
y?f(x?a)
的图象，只需将函数
y?f(x)
的图象向 左
(a?0)
或向右
(a?0)
平
移
|a|
个单位 即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.
要作函数
y?f(x)?h
的图象，只 需将函数
y?f(x)
的图象向上
(h?0)
或向下
(h?0)平
移
|h|
个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
55

※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 若
A?
?
x|x
2
?0
?
，则下列结论中正确的是（ ）.
A.
A?0
B. 0A
C.
A??
D.
?
A
2. 函数
y?x|x|?px
，
x?R
是（ ）.
A．偶函数 B．奇函数
C．不具有奇偶函数 D．与
p
有关
3. 在区间
(??,0)
上为增函数的是（ ）.
x
A．
y?1
B．
y??2

1?x
C．
y??x
2
?2x?1
D．
y?1?x
2

4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育 爱好者43人，还有4人既不爱好体育也
不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
5. 函数
f(x)
在R上为奇函数，且
x?0
时，
f(x)?x?1
，则当
x?0
，
f(x)?
.
课后作业

1
?A
.
1?a
（1）若2
?A
，则在A中还有两个元素是什么；
（2）若A为单元集，求出A和
a
.











2. 已知
f(x)
是定义在R上的函数，设
f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)
，
h(x)?
.
g(x)?
22
（1）试判断
g(x)与h(x)
的奇偶性；
1. 数集A满足条件：若
a?A,a?1
，则
（2）试判断
g(x ),h(x)与f(x)
的关系；
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？




§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）

学习目标

1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；
2. 了解根式的概念及表示方法；
3. 理解根式的运算性质.

学习过程

56

一、课前准备
（预习教材P
48
~ P
50
，找出疑惑之处）
复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .

复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记
作 ；
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 .


二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：指数函数模型应用背景
探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？





实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？




计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？







问题1：国务院发展研究 中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平
均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？





问题 2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14
t
1
5730
的含量P与死亡时碳14关系为
P?()
. 探究该式意义？
2





小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科
学.

探究任务二：根式的概念及运算
考察：
(?2)
2
?4
，那么
?2
就叫4的 ；
3
3
?27
，那么3就叫27的 ；
57

(?3)
4
?81
，那么
?3
就叫做
81
的 .
依此类推，若
x
n
?a
,，那么< br>x
叫做
a
的 .

新知：一般地，若x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根 (
n
th root )，其中
n?1
,
n??
?
.
简记：
n
a
. 例如：
2
3
?8
，则
3
8?2
.

反思：
当n为奇数时, n次方根情况如何？
例如：
3
27?3
，
3
?27??3
, 记：
x?
n
a
.

当n为偶数时，正数的n次方根情况？
例如：
81
的4次方根就是 ，记：
?
n
a
.

强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即
n
0?0
.

试试：
b
4
?a
，则
a
的4次方根为 ；
b
3
?a
，则
a
的3次方根为 .

新知：像
n
a
的式子就叫做根式（radical），这里n叫做 根指数（radical exponent），a叫做被
开方数（radicand）.

试试：计算
(
2
3)
2
、
3
4
3
、
n
(?2)
n
.







反思：
从特殊到一般，
(
n
a)
n
、
n
a
n
的意义及结果？



?
a(a?0)
结论：
(
n
a)
n?a
. 当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
.
?a(a?0)
?

※ 典型例题

例1求下类各式的值：
（1）
3
(?a)
3
； （2）
4
2
(?7)
4
；
(a?b)
2
（
a?b
）. （3）
6
(3?
?
)
6
； （4）









58

变式：计算或化简下列各式.
（1）
5
?32
； （2）
3
a
6
.





推广：
a
mp
?
n
a
m
（a
?
0）.

※ 动手试试

练1. 化简
5?26?7?43?6?42
.






练2. 化简
23?
3
1.5?
6
12
.





三、总结提升
※ 学习小结

1. n次方根，根式的概念；
2. 根式运算性质.

※ 知识拓展

1. 整数指数幂满足不等性质：若
a?0
，则
a
n
?0
.
2. 正整数指数幂满足不等性质：
① 若
a?1
，则
a
n
?1
；
② 若
0?a?1
，则
0?a
n
?1
. 其中
n?
N*.
np
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1.
4
(?3)
4
的值是（ ）.
A. 3 B. －3 C.
?
3 D. 81
2. 625的4次方根是（ ）.
A. 5 B. －5 C. ±5 D. 25
3. 化简
(
2
?b)
2
是（ ）.
1
A.
?b
B.
b
C.
?b
D.
b
4. 化简
6
(a?b)
6
= .
5. 计算：
(
3
?5)
3
= ；
2
3
4
.

59

课后作业

1. 计算：（1）
5
a
10
； （2）
3
7
9
.











2. 计算
a
3
?a
?4
和
a
3?(?8)
，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？









3. 对比
(ab)
n
?a
n
b
n与
(
a
b
)
n
?
a
n
bn
，你能把后者归入前者吗？











§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）

学习目标

1. 理解分数指数幂的概念；
2. 掌握根式与分数指数幂的互化；
3. 掌握有理数指数幂的运算.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
50
~ P
53
，找出疑惑之处）
复习1：一般地，若
x
n
?a< br>，则
x
叫做
a
的 ，其中
n?1
,
n??
?
.
像
n
a
的式子就叫做 ，具有如下运算性质：
(
n
a)
n
= ；
n
a
n
= ；
np
a
mp
= .


60
简记为： .

复习2：整数指数幂的运算性质.
（1）
a
m
ga
n
?
；（2）
(a
m
)
n
?
；
（3）
(ab)
n
?
.

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：分数指数幂
引例：a>0时，
a?(a)?a?a
，
5
5
10252
10
5
则类似可得
3
2
3
2
3
3
3
a
12
?
；
2
3

a?(a)?a
，类似可得
a?
.

新知：规定分数指数幂如下
a?
n
a
m
( a?0,m,n?N
*
,n?1)
；
m
n
a
?< br>m
n
?
1
a
m
n
?
1
n< br>a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
.


试试：
（1）将下列根式写成分数指数幂形式：
2
3
5
= ；
3
5
4
= ；


a
m
=
(a?0,m?N
?
)
.
2
3
2
5?
4
3
?
5
2
（2）求值：
8
；
5
；
6
；
a
.






反思：
① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .
② 分数指数幂有什么运算性质？


小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数 指
数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质： （
a?0,b?0,r,s?Q
）
a
r
·
a
r
?a
r?s
；
(a
r
)
s
?a
rs
；
(ab)
r
?a
r
a
s
．

※ 典型例题

25
?
2
3
?3
例1 求值：
27
；
16
；
()
；
()
3
.
49
5




2
3
?
4
3
61

变式：化为根式.










例2 用分数指数幂的形式表示下列各式
(b?0)
：
（1）
b
2
gb
； （2）
b
3
g
5
b
3
； （3）
3
b
4
b
.








例3 计算（式中字母均正）：
（1）
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
； （2）
(mn)
.






小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.
例4 计算：
a
3
（1）
(a?0)
；
3
4
aga
（2）
(2mn)?(?mn
?3
)
6

(m,n?N
?
)
；
（3）
(
4
16?
3
32)?
4
64
.










小结：在进行指数幂的运算时，一般 地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指
数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法 则.

62
2
?
3
5
10
1
2
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8
16

反 思：
①
3
2
的结果？

结论：无理指数幂.（结合教材P
53
利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

② 无理数指数幂
a
?
(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？

※ 动手试试

??
?2
?
练1. 把
xgx
?
化成分数指数幂.
??
??



1
3
3
?
8
5
8a
3
4
)
. 练2. 计算：（1）
3g3g27
； （2）
(
125b
3





3
44
6
三、总结提升
※ 学习小结

①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.

※ 知识拓展

放射性元素衰变的数学模型为：
m?m
0
e
?< br>?
t
，其中t表示经过的时间，
m
0
表示初始质量，
衰减后的质量为m，
?
为正的常数.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 若
a?0
，且
m,n
为整数，则下列各式中正确的是（ ）.
A.
a?a?a
B.
a
m
?a
n
?a
mn

mn
m
n
C.
?
a
m
?
?a
m?n
D.
1?a
n
?a
0?n

n
2. 化简
25
的结果是（ ）.
A. 5 B. 15 C. 25 D. 125
?2
3. 计算
?
?
?
?
的结果是（ ）.
?
?
22
A．
2
B．
?2
Ｃ． D．
?

22
?
2
3
3m?n
2
3
2
??
?2
?
1
2
4. 化简
27
= .
5. 若
10?2,10?4
，则
10

mn
= .
课后作业

63

1. 化简下列各式：
a
2
36
3
2
（1）
()
； （2）
b
49














3
b
3
a
a
.
b
3
2. 计算：











?
b
?
3
.
?
?
1?2
?
??
3
2
3
4
3
a
a? 2ab?4a
??
a
4
?8
3
ab
§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）

学习目标

1. 掌握n次方根的求解；
2. 会用分数指数幂表示根式；
3. 掌握根式与分数指数幂的运算.

学习过程

一、课前准备
（复习教材P
48
~ P
53
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫做根式? 运算性质？
像
n
a
的式子就叫做 ，具有性质：
(
n
a)
n
= ；
n
a
n
= ；
a
mp
= .

复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？
np
①
a?
；
a?
.
其中
a?0,m,n?N
*
,n?1

②
a
r
ga
s
?
；
(a
r
)
s
?
；
(ab)
s
?
.
64
m
n
?
m
n

复习3：填空.
(x?0)
?
① n为 时，
n
x
n
? |x|?
?
...........
.
(x?0)
?
② 求下列各式的值：

6
3
2
6
= ；
4
16
= ；
6
81
= ；
15
(?2)
2
= ；
?32
= ；

4
x
8
= ；
6
a
2
b
4
= .

二、新课导学
※ 典型例题

例1 已知
a?a
1
2
?
1
2
=3，求下列各式的值：
（1）
a?a
?1
； （2）
a
2
?a
?2
； （3）
a?a
1
2
3
2
?
3
2
1
2
．
a?a< br>补充：立方和差公式
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
mab?b
2
)
.













小结：① 平方法；② 乘法公式；
③ 根式的基本性质
a
mp
?
n
a
m
（a≥0）等.
注意， a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，
6
(?8)
2
?
3
?8
.

变式：已知
a?a
（1）
a?a















1
2
?
1
2
1
2
?
1
2
np
?
?3
，求：
3
2
?
3
2
； （2）
a?a
.
65

11
例 2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样
33
进行5 次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？










变式：n次后？











小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论；
② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.
※ 动手试试

练1. 化简：
(x?y)?(x?y)
.













练2. 已知x+x
-1
=3，求下列各式的值.
（1）
x?x
； （2）
x?x
.





66
1
2
?
1
23
2
?
3
2
1
2
1
2
14
1
4

练3. 已知
f(x)?
?
x
,x
1
? x
2
?0
，试求










三、总结提升
※ 学习小结

1. 根式与分数指数幂的运算；
2. 乘法公式的运用.

※ 知识拓展

1. 立方和差公式：
a
3
?b
3
? (a?b)(a
2
?ab?b
2
)
；
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
.
f(x
1
)?f(x
2
)
的值.
2. 完全立方公式：
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b ?3ab
2
?b
3
；
(a?b)
3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1.
A.
2.
9
的值为（ ）.
3
B.
33
C. 3 D. 729
a
3
(a>0)的值是（ ）.
5
4
aga
1
5

17
10
3
2
A. 1 B. a C.
a
D.
a

3. 下列各式中成立的是（ ）.
1
n
77
7
A．
()?nm
B．
12
(?3)
4
?
3
?3

m
C．
x?y?(x?y)
D．
4
33
3
4
3
9?
3
3

25
?
3
4. 化简
()
2
= .
4
2
1
5
1
1
1
1
3
2
66
2
3
5. 化简
(ab)(?3ab)?(ab)
= .
3
67

课后作业

1. 已知
x?a
?3
?b
?2
, 求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.












2. 探究：
n
a
n
?(
n
a)
n
?2a
时, 实数
a
和整数
n
所应满足的条件.
















§2.1.2 指数函数及其性质（1）

学习目标

1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
2. 理解指数函数的概念和意义；
3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
54
~ P
57
，找出疑惑之处）
复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？
（1）
a
0
?
；
（2）
a
?n
?
；
（3）
a?
；
a?
.
其中
a?0,m,n?N
*
,n?1



复习2：有理指数幂的运算性质.
m
n
?
m
n
68

（1）
a
m
ga
n
?
；（2）
(a
m
)
n
?
；
（3）
(ab)
n
?
.

二、新课导学
※ 学习探究

探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念
实例：
A．细胞分裂时，第一次 由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分
裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得 到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系
式是什么？
B．一种放射性物质不断变化成 其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时
间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什 么？

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？



新知：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)< br>叫做指数函数（exponential function），其中x是自
变量，函数的定义域为R.

反思：为什么规定
a
＞0且
a
≠1呢？否则会出现什么情况呢？


试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？

探究任务二：指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

回顾：
研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
1

y?()
x
，
y?2
x

2







讨论：
11
（1）函数y?2
x
与
y?()
x
的图象有什么关系？如何由
y? 2
x
的图象画出
y?()
x
的图象？
22




1
（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后呢？
3

69

新知：根据图象归纳指数函数的性质.
a>1 0
图
象



(1)定义域：R
性
(2)值域：（0，+∞）
质
(3)过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)在 R上是增函数 (4)在R上是减函数

※ 典型例题

例1函数
f(x)?a
x
（
a?0,且a?1
）的图象过点
(2,
?
)
，求
f(0)
,
f(?1)
,
f(1)
的值.





小结：①确定指数函数重要要素是 ；
② 待定系数法.

例2比较下列各组中两个值的大小：
（1）
2
0.6
,2
0.5
； （2）
0.9
?2
,0.9
?1.5
；
（3）
2.1
0.5
,0.5
2.1
； （4）
?
2?3
与1
.













小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.

※ 动手试试

练1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：
22
（1）
()
m
?()
n
； （2）
1.1
m
?1.1
n
.
33






练2. 比较大小：
70

< br>（1）
a?0.8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2< br>0.8
；
（2）
1
0
,0.4
?2.5
,
2
?0.2
,
2.5
1.6
.









三、总结提升
※ 学习小结

①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.

※ 知识拓展

因为
y?a
x
(a?0，且a?1)
的定义域是R， 所以
y?a
f(x)
(a?0，且a?1)
的定义域与
f(x)
的定义域 相同. 而
y?
?
(a
x
)(a?0，且a?1)
的定义域 ，由
y?
?
(t)
的定义域确定.

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 函数
y?(a
2
? 3a?3)a
x
是指数函数，则
a
的值为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值
2. 函数f(x)=
a
x?2
?1
(a>0,a≠1)的图象恒过定点（ ）.
A.
(0,1)
B.
(0,2)

C.
(2,1)
D.
(2,2)

3. 指数函数①
f(x)?m
x
，②
g(x)?n
x
满足不等式
0?m?n?1
，则它们的图象是（ ）.

4. 比较大小：
(?2.5)

(?2.5)
.
1
5. 函数
y?()
x
?1
的定义域为 .
9

2
3

4
5

课后作业

1. 求函数y=







71
1
5
x
1?x
的定义域.
?1

2. 探究：在[m，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？














§2.1.2 指数函数及其性质（2）

学习目标

1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；
3. 培养数学应用意识.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
57
~ P
60
，找出疑惑之处）
复习1：指数函数的形式是 ，
其图象与性质如下
a>1 0


图


象


(1)定义域：
性
(2)值域：
质
(3)过定点：
(4) 单调性：


复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：
111
y?2
x
,
y?()
x
,
y?5
x
,
y?()< br>x
,
y?10
x
,
y?()
x
.
2510






思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？

72

二、新课导学
※ 典型例题

例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占 世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因
此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年 第五次人口普查，中国人口已达到13亿，
年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划 生育成为我国一项基本国策．
（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的 人口将达到2000年的多
少倍？
（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？






小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.
试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总
产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？







小结：指数函数增长模型.
设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如
y?ka
x

(k?R,a?0,且a?1)
的函数称为指数型函数.

例2 求下列函数的定义域、值域：
（1）
y?2?1
; （2）
y?3
; （3）
y?0.4










变式：单调性如何？








小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.

x
5x?1
1
x?1
.
73

试试：求函数
y?2
?x
?














※ 动手试试

1
的定义域和值域，并讨论其单调性.
2
练1. 求指数函数
y?2
x?1
的定义域和值域，并讨论其单调性.










练2. 已知下列不等式，比较
m,n
的大小.
（1）
3
m
?3
n
； （2）
0.6
m
?0.6
n
；
（3）
a
m
?a
n
(a?1)
；（4）
a
m
?a
n
(0?a?1)
.













练3. 一片树林中现有木材30000 m
3
，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m
3
，写
出x
，
y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m
3< br>.






三、总结提升
※ 学习小结

2
74

1. 指数函数应用模型
y?ka
x
(k?R,a?0且a?1)
；
2. 定义域与值域；
2. 单调性应用（比大小）.

※ 知识拓展

形如
y?a
f(x)
(a?0，且a?1)
的函数值域的研究，先求得f(x)
的值域，再根据
a
t
的单调性，
列出简单的指数不等式 ，得出所求值域，注意不能忽视
y?a
f(x)
?0
. 而形如
y?
?
(a
x
)(a?0，且a?1)
的函数值域的研究，易知
a
x
?0
，再结合函数
?
(t)
进行研究. 在求
值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 如果函数y=a
x
(a>0,a≠1)的图象与函数y=b
x
(b>0,b≠1)的图象关于y轴对称，则有（ ）.
A. a>b B. aC. ab=1 D. a与b无确定关系
－
2. 函数f(x)=3
x
－1的定义域、值域分别是（ ）.
A. R， R B. R，
(0,??)

C. R，
(?1,??)
D.以上都不对
3. 设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.
－
A. y=a
x
的图象与y=a
x
的图象关于y轴对称
－
B. 函数f(x)=a
1
x
(a>1)在R上递减
C. 若a
2
>a
2?1
，则a>1
D. 若
2
x
>1，则
x?1

4. 比较下列各组数的大小：
3
?
2
?
1
3
0.76
?0.75

（3）
.
()
2

（0.4）
2
；
（）
53
5. 在同一坐标系下，函数y=a
x
, y=b
x
, y=c
x
, y=d
x
的图象如右图，则a、
b、c、d、1之间从小到大的顺序是 .

课后作业

1. 已知函数f(x)=a－
函数.










2
(a
x
2?1
∈R)，求证：对任何
a?R
， f(x)为增
2
x
?1
2. 求函数
y?
x
的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
2?1



75