高中数学练习册pdf-60课时学完高中数学怎么样
人教版高中数学必修1精品教案(整套)
课题:集合的含义与表示(1)
课
型:新授课
教学目标:
(1) 了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征;
(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;
(3) 掌握常用数集及其记法;
教学重点:掌握集合的基本概念;
教学难点:元素与集合的关系;
教学过程:
一、引入课题
军训前学校通知:8月15日8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试<
br>问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们
感兴趣的是问题中某些特定(是高
一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将
学习一个
新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。
阅读课本P
2
-P
3
内容
二、新课教学
(一)集合的有关概念
1.
集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们
能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地,我们把研
究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫
集合(set),也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1)
大于3小于11的偶数;
(2) 我国的小河流;
(3) 非负奇数;
(4)
方程
x
2
?1?0
的解;
(5) 某校2007级新生;
(6) 血压很高的人;
(7) 著名的数学家;
(8)
平面直角坐标系内所有第三象限的点
(9) 全班成绩好的学生。
对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征
(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A
的元素,或者不是A的元素
,两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不
相同的个
体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
(4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。
5. 元素与集合的关系;
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作:a∈A
- 1 -
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not
belong to)A,记作:
a
?
A
例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A
4
?
A,等等。
6.集合与元素的字母表示:
集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示,集合的
元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
7.常用的数集及记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N
*
或N
+
;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R;
(二)例题讲解:
例1.用“∈”或“
?
”符号填空:
(1)8 N;
(2)0 N;
(3)-3 Z; (4)
2
Q;
(5)设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国
A,印
度 A,英国 A。
例2.已知集合P的元素为
1,m,m
2
?3m?3
,
若3∈P且-1
?
P,求实数m的值。
(三)课堂练习:
课本P
5
练习1;
归纳小结:
本节
课从实例入手,非常自然贴切地引出集合与集合的概念,并且结合实例对
集合的概念作了说明,然后介绍
了常用集合及其记法。
作业布置:
1.习题1.1,第1- 2题;
2.预习集合的表示方法。
课后记:
- 2 -
课题:集合的含义与表示(2)
课
型:新授课
教学目标:
(1)了解集合的表示方法;
(2)能正确选择自然语言
、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同
的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
教学重点:掌握集合的表示方法;
教学难点:选择恰当的表示方法;
教学过程:
一、复习回顾:
1.集合和元素的定义;元素的三个特性;元素与集合的关系;常用的数集及
表示。
2.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?有何关系
二、新课教学
(一).集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言
来描述一个集合,但这将给我们带来很多
不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“
??
”括起来表
示集合的方法叫列举法。
如:{1,2,3,4,5},{x
2
,3x+2,5y
3
-x,x
2
+y
2
},…;
说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考
虑元素的顺序。
2.各个元素之间要用逗号隔开;
3.元素不能重复;
4.集合中的元素可以数,点,代数式等;
5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必
须把元素间的
规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为
?
1,2,
3,4,5,......
?
- 3 -
例1.(课本例1)用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x
2
=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1到20以内的所有质数组成的集合;
?
x?2y?0;
(4)方程组
?
的解组成的集合。
2x?y?0.
?
思考2:(课本P4的思考题)得出描述法的定义:
(2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{ }内。
具体方法:在花
括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变
化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集
合中元素所具有的共同特
征。
一般格式:
?
x?Ap(x)
?
如:{x|x-3>2}
,{(x,y)|y=x
2
+1},{x︳直角三角形},…;
说明:
1.课本P
5
最后一段话;
2.描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y=
x
2
+3x+2}与 {y|y=
x
2
+3x+2}是不同的两个
集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例
如:{x︳整数},即代表整数集Z。
辨析:这里的{
}已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法
{实数集},{R}也是错误的。
例2.(课本例2)试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x
2
—2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合;
?
x?y?3;
(3)方程组
?
的解。
x?y??1.
?
思考3:(课本P
6
思考)
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体
问题确定采用哪种表示法,
要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
- 4 -
(二).课堂练习:
1.课本P
6
练习2;
2.用适当的方法表示集合:大于0的所有奇数
3.集合A={x|
4
∈Z,x∈N},则它的元素是 。
x?3
4.已知集合A={x|-3
+1,x∈A},则集
合B用列举法表示是
归纳小结:
本节课从实例入手,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。
作业布置:
1. 习题1.1,第3.4题;
2. 课后预习集合间的基本关系.
课后记:
课题:集合间的基本关系
课 型:新授课
教学目标:
(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义;
(2)理解子集、真子集的概念;
(3)能利用Venn图表达集合间的关系;
(4)了解空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;能利用Venn图表达集合间的关系。
教学难点:弄清楚属于与包含的关系。
教学过程:
一、复习回顾:
1.提问:集合的两种表示方法? 如何用适当的方法表示下列集合?
(1)10以内3的倍数; (2)1000以内3的倍数
2.用适当的符号填空: 0
N; Q; -1.5 R。
思考1:类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”
关系呢?
二、新课教学
(一). 子集、空集等概念的教学:
比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:
(1)
A?{1,2,3}
,
B?{1,2,3,4,5}
;
(2)
C?{汝城一中高一 班全体女生}
,
D?{汝城一中高一
班全体学生}
;
- 5 -
(3)
E?{x|
x是两条边相等的三角形}
,
F?{xx是等腰三角形}
由学生通过观察得结论。
1. 子集的定义:
对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个
元素都是集合B的元素,我们说这
两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:
A?B(或B?A)
读作:A包含于(is
contained in)B,或B包含(contains)A
当集合A不包含于集合B时,记作
A?B
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系:
A
B
如:(1)中
A?B
2. 集合相等定义:
如果A
是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B中的元
素是一样的,因此集合A与集合B
相等,即若
A?B且B?A
,则
A?B
。
如(3)中的两集合
E?F
。
3. 真子集定义:
若集合
A?B
,但存在元素
x?B,且x?A
,则称集合A是集合B的真子集(proper
subset)。记作:
A B(或B A)
读作:A真包含于B(或B真包含A)
如:(1)和(2)中A B,C D;
4. 空集定义:
不含有任何元素的集合称为空集(empty
set),记作:
?
。
用适当的符号填空:
?
?
0
?
; 0
?
;
?
?
?
?
;
?
0
?
?
?
?
思考2:课本P
7
的思考题
5. 几个重要的结论:
(1) 空集是任何集合的子集;
(2)
空集是任何非空集合的真子集;
(3) 任何一个集合是它本身的子集;
(4) 对于集合
A,B,C,如果
A?B
,且
B?C
,那么
A?C
。
说明:
1.
注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不
包含于”的关系;
2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。
(二)例题讲解:
例1.填空:
- 6 -
(1). 2 N;
{2}
N;
?
A;
(
2).已知集合A={x|x
2
-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈
N},则
A B; A C; {2} C;
2 C
例2.(课本例3)写出集合
{a,b}
的所有子集,并指出哪些是它的真子集。
例3.若集合
A?xx
2
?x?6?0,B
?
?
xmx?1?0
?
,
B
??
A,求m的值。
11
(m=0或
或-
)
32
例
4.已知集合
A?
?
x?2?x?5
?
,B?
?
x
?m?1?x?2m?1
?
且
A?B
,
求实数m的取值范围。
(
m?3
)
(三)课堂练习:
课本P
7
练习1,2,3
- 7 -
归纳小结:
本节课从实例入手,非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相
等的概念及
符号;并用Venn图直观地把这种关系表示出来;注意包含与属于符号的运用。
作业布置:
1. 习题1.1,第5题;
2. 预习集合的运算。
课后记:
课题:集合的基本运算㈠
课
型:新授课
教学目标:
(1)理解交集与并集的概念;
(2)掌握交集与并集的区别与联系;
(3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。
教学重点:交集与并集的概念,数形结合的思想。
教学难点:理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
教学过程:
一、复习回顾:
1.已知A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则A
S;{x|x∈S且x
?
A}= 。
2.用适当符号填空:
0
{0}; 0 Φ; Φ {x|x
2
+1=0,x∈R}
{0} {x|x<3且x>5}; {x|x>6} {x|x<-2或x>5} ;
{x|x>-3} {x>2}
二、新课教学
(一).
交集、并集概念及性质的教学:
思考1.考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间的关系:
C?
?
1,2,3,4,5,6
?
; (1)
A?{1,3
,5}
,
B?{2,4,6},
(2)
A?{xx是有理数}
,B?{xx是无理数},C?
?
xx是实数
?
;
由学生通过观察得结论。
6. 并集的定义:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元
素所组成的集合,叫做集合A与
集合B的并集(union
set)。记作:A∪B(读作:“A并B”),即
A?B?
?
xx?,或Ax?B
?
用Venn图表示:
这样,在问题(1)(2)中,集合A,B的并集是C,即
A?B
= C
说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
- 8 -
讨论:A∪B与集合A、B有什么特殊的关系?
A∪A= , A∪Ф= , A∪B B∪A
A∪B=A
?
, A∪B=B
?
.
巩固练习(口答):
①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则A∪B=
②.设A={锐角三角形},B={钝角三角形},则A∪B=
③.A={x|x>3},B={x|x<6},则A∪B= 。
7. 交集的定义: 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A、B
的交集(inters
ection set),记作A∩B(读“A交B”)即:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
用Venn图表示:(阴影部分即为A与B的交集)
常见的五种交集的情况:
B A
A(B) A
B
讨论:A∩B
与A、B、B
A B
A
B
∩A的关系?
A∩A= A∩Ф=
A∩B B∩A
A∩B=A
?
A∩B=B
?
巩固练习(口答):
①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则A∩B=
②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则A∩B=
③.A={x|x>3},B={x|x<6},则A∩B= 。
(二)例题讲解:
例1.(课本例5)设集合
A?
?
x?1?x?2
?
,B?
?
x1?x?3
?
,求A∪B.
变式:A={x|-5≤x≤8}
例2.(课本例7)设平面内直线<
br>l
1
上点的集合为L
1
,直线
l
2
上点的集
合为L
2
,试用
集合的运算表示
l
1
,
l
2
的位置关系。
- 9 -
例3.已知集合
A?xx
2
?mx?m
2
?19?0,
??
B?yy
2
?5y?6?0
??
C?zz
2
?2z?8?0
是否存在实数m,同时满
足
A?B??,A?C??
?
(m=-2)
(三)课堂练习:
课本P
11
练习1,2,3
归纳小结:
本节课从实例入手,引出交集、并集的概念及符号;并用Venn图直观地把两<
br>个集合之间的关系表示出来,要注意数轴在求交集和并集中的运用。
作业布置:
3.
习题1.1,第6,7;
4. 预习补集的概念。
课后记:
课题:集合的基本运算㈡
课 型:新授课
教学目标:
(1)掌握交集与并集的区别,了解全集、补集的意义,
(2)正确理解补集的概念,正确理解符号“
C
U
A
”的涵义;
(3)会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具体问题。
教学重点:补集的有关运算及数轴的应用。
教学难点:补集的概念。
-
10 -
??
教学过程:
一、复习回顾:
1.
提问:.什么叫子集、真子集、集合相等?符号分别是怎样的?
2.
提问:什么叫交集、并集?符号语言如何表示?
3. 交集和补集的有关运算结论有哪些?
4. 讨论:已知A={x|x+3>0},B={x|x≤-3},则A、B与R有何关系?
二、新课教学
思考1. U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学},则U、A、B有何关系?
由学生通过讨论得出结论:
集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
(一).
全集、补集概念及性质的教学:
8. 全集的定义:
一般地,如果一个集合含有我们所研究
问题中涉及的所有元素,那么就称这个
集合为全集(universe
set),记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
9. 补集的定义: 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,叫作集
合A相对于全集U的补集
(complementary set),记作:
C
U
A
,
读作:“A在U中的补集”,即
C
U
A?
?
xx?U,且x?A
?
用Venn图表示:(阴影部分即为A在全集U中的补集)
讨论:集合A与
C
U
A
之间有什么关系?→借助Venn图分析
,A?
U
CA?,U
U
(C
U
C)A?A
A?C
U
A??
C
U
U??,C
U
??U
巩固练习(口答):
①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则
C
U
A
=
,
C
U
B
= ;
②.设U={x|x<8,且x∈N},
A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则
C
U
A
=
;
③.设U={三角形},A={锐角三角形},则
C
U
A
=
。
(二)例题讲解:
例1.(课本例8)设集
U?
?
xx是小
于9的正整数
?
,A?
?
1,
求
C
U
A<
br>,
2,3
?
,B?
?
3,4,5,6
?
,<
br>C
U
B
.
- 11 -
例2.设全集
U?
?
xx?4<
br>?
,集合A?
?
x?2?x?3
?
,B?
?
x?3?x?3
?
,求
C
U
A
,
A?B
,
A?B,C
U
(A?B),(C
U
A)?(C<
br>U
B),(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(
A?B)
。
(结论:
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B),C
U
(A?B)?(C
U
A)
?(C
U
B)
)
例3.设全集U为R,
A?xx
2
?px?12?0,
- 12 -
??
B?xx
2
?5x?q?0
,若
??
(C
U
A)?B?
?
2
?
,A?(C
U
B)?
?
4
?
,求
A?B
。
(答案:
?
2,3,4
?
)
(三)课堂练习:
课本P
11
练习4
归纳小结:
补集、全集的概念;补集、全集的符号;图示分析(数轴、Venn图)。
作业布置:
习题1.1A组,第9,10;B组第4题。
课后记:
课题:集合复习课
课 型:新授课
教学目标:
(1)掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质;
(2)掌握集合的有关术语和符号;
(3)运用性质解决一些简单的问题。
教学重点:集合的相关运算。
教学难点:集合知识的综合运用。
教学过程:
一、复习回顾:
1.
提问:什么叫集合?元素?集合的表示方法有哪些?
2.
提问:什么叫交集?并集?补集?符号语言如何表示?图形语言如何表示?
3.
提问:什么叫子集?真子集?空集?相等集合?有何性质?
3.
交集、并集、补集的有关运算结论有哪些?
4.
集合问题的解决方法:Venn图示法、数轴分析法。
二、讲授新课:
(一)
集合的基本运算:
例1:设U=R,A={x|-5
A 、C
U
B、
(C
U
A)∩(
C
U
B)、(C
U
A)∪(C
U
B)、C
U
(A∪B)、C
U
(A∩B)。
(学生画图→在草稿上写出答案→订正)
-
13 -
说明:不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。
例2:全集U={x|x
<10,x∈N
?
},A
?
U,B
?
U,且(C
U
B)∩A={1,9},A∩B={3},(C
U
A)
∩(C
UB)={4,6,7},求A、B。
说明:列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。
(二)集合性质的运用:
例3:A={x|x
2
+4x=0},B={x|x
2
+2(a+1)x+
a
2
-1=0}, 若A∪B=A,求实数a的值。
- 14 -
说明:注意B为空集可能性;一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理,要
注意判别式。
例4:已知集合A={x|x>6或x<-3},B={x|a
(三)巩固练习:
1.已
知A={x|-2
2.P={0,1},M={x|x
?
P},则P与M的关系是
。
3.已知50名同学参加跳远和铅球两项测验,分别及格人数为40、31人,两项均<
br>不及格的为4人,那么两项都及格的为 人。
4.满足关系{1,2}<
br>?
A
?
{1,2,3,4,5}的集合A共有 个。
<
br>5.已知集合A∪B={x|x<8,x∈N},A={1,3,5,6},A∩B={1,5,6},则
B的子集的集合
一共有多少个元素?
6.已知A={1,2,a},B={
1,a
2
},A∪B={1,2,a},求所有可能的a值。
7.设A=
{x|x
2
-ax+6=0},B={x|x
2
-x+c=0},A∩B={
2},求A∪B。
8.集合A={x|x
2
+px-2=0},B={x
|x
2
-x+q=0},若A
?
B={-2,0,1},求p、q。
9. A={2,3,a
2
+4a+2},B={0,7,a
2<
br>+4a-2,2-a},且A
?
B ={3,7},求B。
10.
已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A
?
B时,求实数m的取
值范围。
归纳小结:
本节课是集合问题的复习课,系统地归纳了集合的有关概念,表示方法
及其有
关运算,并进一步巩固了Venn图法和数轴分析法。
作业布置:
- 15 -
5. 课本P
14
习题1.1 B组题;
6. 阅读P
14
~
15
材料。
课后记:
课题:函数的概念(一)
课 型:新授课
教学目标:
(1)通过丰富实例,学习用集合与对应的语言
来刻画函数,体会对应关系在刻
画函数概念中的作用;
(2)了解构成函数的三要素;
(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程:
一、复习准备:
1.
讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关
系?
2.回顾初中函数的定义:
在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个确定的值
,y都有
唯一的值与之对应,此时y是x的函数,x是自变量,y是因变量。
表示方法有:解析法、列表法、图象法.
二、讲授新课:
(一)函数的概念:
思考1:(课本P
15
)给出三个实例:
A.一枚炮弹发射,经26秒
后落地击中目标,射高为845米,且炮弹距地面高
度h(米)与时间t(秒)的变化规律是
h
?130t?5t
2
。
B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层
空洞问题,图中曲线是
南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。(见课本P
15
图)
C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生
活质量的高
低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。(见课
本P
16
表) 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之
间存在着怎样的对应关
系? 三个实例有什么共同点?
归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集A中的每一个
x,按
照某种对应关系f,在数集B中都与唯一确定的y和它对应,记作:
f:A?B
函数的定义:
- 16 -
设A
、
B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A
中的
任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么称
f
:
A?B
为从集合A到集合B的一个函数(function),记作:
y?f(x),x?A
其中,x叫自变量,x的取值范围A叫作定义域(d
omain),与x的值对应的y
值叫函数值,函数值的集合
{f(x)|x?A}
叫
值域(range)。显然,值域是集合B的
子集。
(1)一次函数y=ax+b
(a≠0)的定义域是R,值域也是R;
(2)二次函数
y?ax
2
?bx?c
(a≠0)的定义域是R,值域是B
;当a>0时,值域
????
4ac?b
2
?
4ac?b
2
???
;当a﹤0时,值域
B?
?
yy?B?yy?
???
。
4a4a
????
????
k
(3)反比例函数y?(k?0)
的定义域是
?
xx?0
?
,值域是
?<
br>yy?0
?
。
x
(二)区间及写法:
设a、b是两个实数,且a(1)
满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b];
(2)
满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b);
(3) 满
足不等式
a?x?b或a?x?b
的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示为
?
a,b
?
,
?
a,b
?
;
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。(数轴表示见课本P
17
表格)
符号“∞”读“无穷大”;“-∞”读“负无穷大”;“+∞”读“正无穷大”。我
们把满足
x
?a,x?a,x?b,x?b
的实数x的集合分别表示为
?
a,??
?,
?
a,??
?
,
?
??,b
?
,
?
??,b
?
。
巩固练习:
用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}
(学生做,教师订正)
(三)例题讲解:
例1.已知函数
f(x)?x<
br>2
?2x?3
,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。
变式:求函数
y?x
2
?2x?3,x?{?1,0,1,2}
的值
域
- 17 -
例2.已知函数
f(x)?x?3?
1
,
x?2
2
(1) 求
f(?3),f(),f
?
f
?
?3
?
?
的值;
3
(2)
当a>0时,求
f(a),f(a?1)
的值。
(四)课堂练习:
1. 用区间表示下列集合:
?
xx?4
?
,
?<
br>xx?4且x?0
?
,
?
xx?4且x?0,x??1
?,
?
xx?0或x?2
?
2. 已知函数f(x)=3x2
+5x-2,求f(3)、f(-
2
)、f(a)、f(a+1)的值;
3. 课本P
19
练习2。
归纳小结:
函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间表示
作业布置:
习题1.2A组,第4,5,6;
课后记:
课题:函数的概念(二)
课 型:新授课
- 18 -
教学目标:
(1)会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示;
(2)掌握复合函数定义域的求法;
(3)掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点:复合函数定义域的求法。
教学过程:
一、复习准备:
3x
2
1.
提问:什么叫函数?其三要素是什么?函数y=与y=3x是不是同一个函
x
数?为什么?
2. 用区间表示函数y=ax+b(a≠0)、y=ax
2
+bx+c(a≠0)、
y=(k≠0)的定
义域与值域。
二、讲授新课:
(一)函数定义域的求法:
函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式y=f(x),而没
有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集
合。
例1:求下列函数的定义域(用区间表示)
⑴
f(x)=
x?3
x
2
?2
k
x
; ⑵
f(x)=
2x?9
; ⑶
f(x)=
x?1
-
x
2?x
;
学生试求→订正→小结:定义域求法(分式、根式、组合式)
说明:求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组)
*复合函数的定义域求法:
(1)已知f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x))的定义域;
求法:由a
求法:由a
- 19 -
例3.已知f(x-1)的定义域为[-1,0],求f(x+1)的定义域。
巩固练习:
1.求下列函数定义域:
(1)
f(x)?1?x?
1
x?4
;
(2)
f(x)?
1
1
1?
x
2.(1)已知函
数f(x)的定义域为[0,1],求
f(x
2
?1)
的定义域;
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(1-3x)的定义域。
(二)函数相同的判别方法:
函数是否相同,看定义域和对应法则。
例5.(课本P
18
例2)下列函数中哪个与函数y=x相等?
(1)
y?(x)
2
;
(2)
y?
3
x
3
;
x
2
(3)
y?x
; (4)
y?
。
x
2
(三)课堂练习:
1.课本 P
19
练习1,3;
2.求函数y=-x
2
+4x-1 ,x∈[-1,3) 的值域。
归纳小结:
本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。
作业布置:
习题1.2A组,第1,2;
- 20 -
课后记:
课题:函数的表示法(一)
课 型:新授课
教学目标:
(1)掌握函数的三种表示方法(解析法、列表法、图像法),了解三种表示方法
各自的优点;
(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。
教学重点:会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
- 21 -
教学难点:分段函数的表示及其图象。
教学过程:
一、复习准备:
1.提问:函数的概念?函数的三要素?
2.讨论:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课:
(一)函数的三种表示方法:
结合课本P
15
给出的三个实例,说明三种表示方法的适用范围及其优点:
解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(1);
优点:简明扼要;给自变量求函数值。
图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(2);
优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势。
列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系,如1.2.1的实例(3);
优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车时刻表;银行利率表等。
例1.(课本P
19
例3)某种笔记本的单价是2元,买x
(x∈{1,2,3,4,5})个笔
记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x) .
例2:(课本P
20
例4)下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度六次数学测
试的成绩及班级平均分表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
98 87 91 92 88 95
甲
90 76 88 75 86 80
乙
68 65 73 72
75 82
丙
班平均
88.2 78.3 85.4 80.3 75.7
82.6
分
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
- 22 -
(二)分段函数的教学:
分段函数的定义:
在函数的定义域内,对于自变量x的不
同取值范围,有着不同的对应法则,这
样的函数通常叫做分段函数,如以下的例3的函数就是分段函数。
说明:
(1).分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对应法则;画分段函数图象
时,应根据不同定义域上
的不同解析式分别作出;
(2).分段函数只是一个函数,只不过x的取值范围不同时,对应法则不相同。
例3:(课本P
21
例6)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)5公里以内(含5公里),票价2元;
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的俺公里计算)。
如果某条线
路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数
解析式,并画出函数的图象。
例4.已知
?
2x?3,x?(??,0)
f(x)=
?
2
,求
2x?1,x?[0,??)
?
f(0)、f[f(-1)]的值
- 23 -
(三)课堂练习:
1.课本P
23
练习1,2;
2.作业本每本0.3元,买x个作业本的钱数y(元)。试用三种方法表示此实例中
的函数。
3.某水果批发店,100kg内单价1元/kg,500kg内、100kg及以上0.8元/kg,
500kg及以上0.6元/kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y(元)
之间的
函数y=f(x)。
归纳小结:
本节课归纳了函数的三种表示方法及优点;讲述了分段函数
概念;了解了函
数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。
作业布置:
课本P
24
习题1.2 A组第8,9题;
课后记:
课题:函数的表示法(二)
课 型:新授课
教学目标:
(1)了解映射的概念及表示方法;
(2)掌握求函数解析式的方法:换元法,配凑法,待定系数法,消去法,分段
函数的解析式。
教学重点:求函数的解析式。
教学难点:对函数解析式方法的掌握。
教学过程:
一、复习准备:
1.举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例:
对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应;
对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应;
对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应;
2.讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点?
- 24 -
3.导入:函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”
弱化为“
任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间
的对应关系,即映射(mappin
g)。
二、讲授新课:
(一) 映射的概念教学:
定义:
一般地,设
A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对
于集合A中的任意一个元素x,在集合
B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么
就称对应
f:A?B
为从集合A到集合B的
一个映射(mapping)。记作:
f:A?B
讨论:映射有哪些对应情况?一对多是映射吗?
例1.(课本P
22
例7)以下给出的对应是不是从A到集合B的映射?
(1) 集合A={P |
P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代
表的实数对应;
(2)
集合A={P | P是平面直角坐标系中的点},B=
?
(x,y)x?R,y?R
?
,对应关
系f:
平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
(3) 集合A={x | x是三角形},集合B={x
| x是圆},对应关系f:每一个三角形都
对应它的内切圆;
(4) 集合A={x |
x是新华中学的班级},集合B={x |
x是新华中学的学生},对应
关系:每一个班级都对应班里的学生。
例2.设集合A={a,b,c},B={0,1}
,试问:从A到B的映射一共有几个?并将它们
分别表示出来。
(二)求函数的解析式:
常见的求函数解析式的方法有待定系数法,换元法,配凑法,消去法。
例3.已知f(x)是
一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数f(x)的解析式。
(待定系数法)
-
25 -
例4.已知f(2x+1)=3x-2,求函数f(x)的解析式。(配凑法或换元法)
1
例5.已知函数f(x)满足
f(x)?2f()?x
,求函数f(x)的
解析式。(消去法)
x
例6.已知
f(x)?x?1
,求函数f(x)的解析式。
(三)课堂练习:
1.课本P
23
练习4;
1?x1?x
2
)?
2.已知
f(
,求函数f(x)的解析式。
2
1?x1?x
- 26 -
11
3.已知
f(x?)?x
2
?
2
,求函数f(x)的解析式。
xx
4.已知
f(x)?2f(?x)?x?1
,求函数f(x)的解析式。
归纳小结:
本节课系统地归纳了映射的概念,并进一步学习了求函数解析式的方法。
作业布置:
7. 课本P
24
习题1.2B组题3,4;
8.
阅读P
26
材料。
课后记:
课题:函数的表示法(三)
课 型:新授课
教学目标:
(1)进一步了解分段函数的求法;
(2)掌握函数图象的画法。
教学重点:函数图象的画法。
教学难点:掌握函数图象的画法。。
教学过程:
一、复习准备:
1.举
例初中已经学习过的一些函数的图象,如一次函数,二次函数,反比例函数
的图象,并在黑板上演示它们
的画法。
2. 讨论:函数图象有什么特点?
二、讲授新课:
例1.画出下列各函数的图象:
(1)
f(x)?2x?2 (?2?x?2)
(0?x?3)
;
(2)
f(x)?2x
2
?4x?3
- 27 -
例2.(课本P
21
例5)画出函数f(x)?x的图象。
例3.设
x?
?
??,??
?
,求函数
f(x)?2x?1?3x
的解析式,并画出它的图象。
变式1:求函数
f(x)?2x?1?3x
的最大值。
变式2:解不等式
2x?1?3x??1
。
例4.当m为何值时,方程
x
2
?4x?5
?m
有4个互不相等的实数根。
- 28 -
变式:不等式
x
2
?
4x?5?m
对
x?R
恒成立,求m的取值范围。
(三)课堂练习:
1.课本P
23
练习3;
?
1
(0?x?1)
?
,
2.画出函数
f(x)?
?
x
的图象。
?
(x?1)
?
x,
归纳小结:
函数图象的画法。
作业布置:
课本P
24
习题1.2A组题7,B组题2;
课后记:
- 29 -
课题:函数及其表示复习课
课 型:复习课
教学目标:
(1)会求一些简单函数的定义域和值域;
(2)掌握分段函数、区间、函数的三种表示法;
(3)会解决一些函数记号的问题.
教学重点:求定义域与值域,解决函数简单应用问题。
教学难点:对函数记号的理解。
教学过程:
一、基础习题练习:(口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法)
1.说出下列函数的定义域与值域:
y?
2.已知
f(x)?
1
8
;
y?x
2
?4x?3
;
y?
2
;
x?4x?3
3x?5
1
,求
f(2)
,
f(f(3))
,
f(f(x))
;
x?1
?
0(x?0)
?
3.已知
f(x)?
?
?
(x?0)
,
?
x?1(x?0)
?
(1)作出
f(x)
的图象;
(2)求
f(1), f(?1), f(0), f{f[f(?1)]}
的值
二、讲授典型例题:
例1.已知函数
f(x)
=4x+3,g(x)=x
2
,
求f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)].
例2.求下列函数的定义域:
(1)
y?
-
30 -
(x?1)
0
x
2
?4
;
(2)
y?
2
;
x?2x?3
x?x
例3.若函数
y?(a
2
?1)x
2
?(a?1
)x?
围. (
a?
?
1,9
?
)
例4. 中山移动公司开展了两种通讯业务:“全球通”,月租50元,每通话1分
钟,付费0.4元;“神州行”不缴月租,每通话1分钟,付费0.6元. 若一个月内通
话x分钟,两
种通讯方式的费用分别为
y
1
,y
2
(元).
(1).写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式?
(2).一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?
(3).若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯方式?
2
的定义域为R,求实数a的取值范
a?1
- 31 -
三.巩固练习:
1
1.已知
f(x)
=x
2
?x+3
,求:f(x+1), f()的值;
x
)?x?2x
,求函数
f(
x
)
2.若
f(x?1
的解析式;
3.设二次函数
f(
x)
满足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方
和为10,图象过
点(0,3),求
f(x)
的解析式.
4.已知函数
f(x)?
3x?1
的定义域为R,求实数a的取值范围.
ax
2
?ax?3
3
归纳小结:
本节课是函数及其表示的复习课,系统地归纳了函数的有关概念,表示方法.
作业布置:
9. 课本P
24
习题1.2 B组题1,3;
10.
预习函数的基本性质。
课后记:
课题:单调性与最大(小)值 (一)
课 型:新授课
教学目标:
理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明
和判别,
学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
教学难点:理解概念。
教学过程:
一、复习准备:
1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变
的特征呢?
2. 观察下列各个函数的图象,并探讨下列
变化规律:
- 32 -
①随x的增大,y的值有什么变化?
②能否看出函数的最大、最小值?
③函数图象是否具有某种对称性?
3. 画出函数f(x)= x+2、f(x)=
x
2
的图像。(小结描点法的步骤:列表→描点→连线)
二、讲授新课:
1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念:
①根据f(x)=3x+2、
f(x)=x
2
(x>0)的图象进行讨论:
随x的增大,函数值怎样变化?
当x
1
>x
2
时,f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样?
②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性
质?
③定义增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的
任意两个自
变量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有
f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是
增函数(
increasing function)
④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→
区间局部性、取值任意性
⑤定义:如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,就说f(x)
在这一区间上
具有(严格的)单调性,区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减?
所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?
⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性
2.教学增函数、减函数的证明:
例1.将进货单价40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个
涨价1元
,其销售量减少10个,为了赚到最大利润,售价应定为多少?
1、 例题讲解
例1(P29例1) 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)
,根据图象说出函数
的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
- 33 -
例2:(P29例2)物理学中的玻意耳定律
p?
k
(k为正常数),
告诉我们对于一定
V
量的气体,当其体积V增大时,压强p如何变化?试用单调性定义证明.
2
例3.判断函数
y?
在区间[2,6] 上的单调性
x?1
三、巩固练习:
1.求证f(x)=x+的(0,1)上是减函数,在[1,+∞]上是增函数。
2.判断f(x)=|x|、y=x
3
的单调性并证明。
3.讨论f(x)=x
2
-2x的单调性。 推广:二次函数的单调性
- 34 -
1
x
4.课堂作业:书P32、 2、3、4、5题。
四、小结:
比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。
判断单调性的步骤:设x1
、x
2
∈给定区间,且x
1
;
→计算f(x
1
)-f(x
2
)至最简
→判断差的符号→下结论。
五、作业:P39、1—3题
课后记:
课题: 单调性与最大(小)值
(二)
课 型:新授课
教学目标:
更进一步理解函数单调性的概念及证明
方法、判别方法,理解函数的最大(小)
值及其几何意义.
教学重点:熟练求函数的最大(小)值。
教学难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。
教学过程:
一、复习准备:
1.指出函数f(x)=ax
2
+bx+c
(a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。
2.
f(x)=ax
2
+bx+c的最小值的情况是怎样的?
3.知识回顾:增函数、减函数的定义。
二、讲授新课:
1.教学函数最大(小)值的概念:
① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→
能体现函数值有什么特征?
f(x)??2x?3
,
f(x)??2x?3
x?[?1,2]
;
f(x)?x
2
?2x?1
,
f(x)?x
2
?2x?1
x?[?2,2]
- 35 -
② 定义最大值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在
实数M满足:对于任意的x
∈I,都有f(x)≤M;存在x
0
∈I,使得f(x0
) = M. 那么,称M是函数y=f(x)的最大值
(Maximum
Value)
③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.
→ 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) →
试
举例说明方法.
2、 例题讲解:
例1(学生自学P30页例3)
2
例2.(P31例4)求函数
y?
在区间[2,6]
上的最大值和最小值.
x?1
例3.求函数
y?x?1?x
的最大值
探究:
y?
3
3
的图象与
y?
的关系?
x?2
x
(解法一:单调法; 解法二:换元法)
三、巩固练习:
1. 求下列函数的最大值和最小值:
(1)
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
;
(2)
y?|x?1|?|x?2|
53
22
- 36 -
2.一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和
住房
率的数据如右:欲使每天的的营业额最高,应如何定价?(分析变化规律→建立
函数模型→
求解最大值)
房价
住房率(%)
(元)
160
55
140 65
120 75
100 85
3、 求函数
y?2x?x?1
的最小值.
四、小结:
求函数最值的常用方法有:
(1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变
量的取值范围确定函
数的最值.
(2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
(3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值.
五、作业:P39页A组5、B组1、2
后记:
- 37 -
课题:奇偶性
课 型:新授课
教学要求:理解奇函数、偶函数的概念及几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点:熟练判别函数的奇偶性。
教学难点:理解奇偶性。
教学过程:
一、复习准备:
1.提问:什么叫增函数、减函数?
2.指出f(x)=2x
2
-1的单调区间及单调性。
→变题:|2x
2
-1|的单调区间
3.对于f(x)=x、f(x)=x
2
、f(x)=x
3
、f(x)=x
4
,分别比较f(x)与f(-
x)。
二、讲授新课:
1.教学奇函数、偶函数的概念:
①给出两组图象:f(x)?x
、
f(x)?
、
f(x)?x
3
;
f(x)?x
2
、
f(x)?|x|
.
发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数:一般地,对于
函数
f(x)
定义域内的任意一个x,都有
f(?x)?f(x)
,
那么函数
f(x)
叫偶函数(even function).
③
探究:仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义.
(如果对于函数定义域内
的任意一个x,都有
f(?x)??f(x)
),那么函数
f(x)
叫
奇函数。
④
讨论:定义域特点?与单调性定义的区别?图象特点?(定义域关于原点对称;
整体性)
⑤
练习:已知f(x)是偶函数,它在y轴左边的图像如图所示,画出它右边的图像。
(假如f(x)是奇函数呢?)
1. 教学奇偶性判别:
例1.判断下列函数是否是偶函数.
(1)
f(x)?x
2
x?[?1,2]
1
x
- 38 -
x
3
?x
2
(2)
f(x)?
x?1
例2.判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?x
4
(2)
f(x)?x
5
(3)
f(x)?x?
11
(4)
f(x)?
2
.
xx
?
1
2
x?
1(x?0)
?
?
2
(5)
g(x)?
?
(6)
y?1?x
2
?x
2
?1
?
?<
br>1
x
2
?1(x?0)
?
?2
4、教学奇偶性与单调性综合的问题:
①出示例:已知f(x)是奇函数,且在(0,+∞)
上是减函数,问f(x)的(-∞,0)上的单调性。
②找一例子说明判别结果(特例法) →
按定义求单调性,注意利用奇偶性和已
知单调区间上的单调性。
(小结:设→转化→单调应用→奇偶应用→结论)
③变题:已知f(x)是偶函数,且在[a,b]上
是减函数,试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性,
并给出证明。
三、巩固练习:
1、判别下列函数的奇偶性:
f(x)=|x+1|+|x-1|
、f(x)=
3
x
2
、f(x)=x+、 f(x)=
1
x
x
1?x
2
、f(x)=x
2
,x∈[-2,3]
2.设f(x)=ax
7
+bx+5,已知f(-7)=-17,求f(7)的值。
- 39 -
3.已
知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=
1
,求
x?1f(x)、g(x)。
4.已知函数f(x),对任
意实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),试判别f(x)的奇偶性。(特
值代入)
5.已知f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为4,那么f(x)在[-7
,-3]上是( )
函数,且最 值是 。
四、小结
本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种
方法,即定义
法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是
否
关于原点对称,单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合
函数的图象充分理解好单调
性和奇偶性这两个性质.
五、作业P39页A组6、B组3
后记:
- 40 -
课题:函数的基本性质运用
课 型:练习课
教学目标:
掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题。
教学重点:掌握函数的基本性质。
教学难点:应用性质解决问题。
教学过程:
一、复习准备:
1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小
值?
2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的
定义?
二、教学典型习例:
1.函数性质综合题型:
①出示例1:作出函数y=x
2
-2|x|-3的图像,指出单调区间和单调性。
分析作法:利用偶函数性质,先作y轴右边的,再对称作。→学生作 →口答
→
思考:y=|x
2
-2x-3|的图像的图像如何作?→
②讨论推广:如何由
f(x)
的图象,得到
f(|x|)
、
|f(x)|
的图象? <
br>③出示例2:已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)
上也是增函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广:奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系?
(偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上
单调性一致)
2. 教学函数性质的应用:
1
①出示例 :求函数f(x)=x+
(x>0)的值域。
x
分析:单调性怎样?值域呢?→小结:应用单调性求值域。 →
探究:计算机
作图与结论推广
②出示例:某产品单价是120元,可销售80万件。市场调查
后发现规律为降价x
元后可多销售2x万件,写出销售金额y(万元)与x的函数关系式,并求当降价多
少
个元时,销售金额最大?最大是多少?
分析:此题的数量关系是怎样的?函数呢?如何求函数的最大值?
小结:利用函数的单调性(主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题。
- 41 -
2.基本练习题:
2
?
?
?x?x(x?0)
1、判别下列函数的奇偶性:y=
1?x
+
1?x
、
y=
?
2
?
x?x(x?0)
?
(变式训练:
f(x)偶函数,当x>0时,f(x)=….,则x<0时,f(x)=? )
2、求函数y=x+
2x?1
的值域。
3、判断函数y=
x?2
x?1
单调区间并证明。
cx?d
ax?b
(定义法、图象法; 推广:
的单调性)
4、讨论y=
1?x
2
在[-1,1]上的单调性。
(思路:先计算差,再讨论符号情况。)
- 42 -
三、巩固练习:
ax
2
?b
1.求函数y=为奇函数的时,a、b、c所满足的条件。
(c=0)
x?c
2.已知函数f(
x)=ax
2
+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求函数值域。
3.
f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,如何f(2-a)-f(a-3)<0。求a的范围。
4.
求二次函数f(x)=x
2
-2ax+2在[2,4]上的最大值与最小值。
四、小结:
本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识,综合运用函数性质
解题
五、作业P44页A组9、10题B组6题
后记:
课题:指数与指数幂的运算(一)
课 型:新授课
教学目标:
了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法.
理解根
式的概念
教学重点:掌握n次方根的求解.
教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景
- 43 -
教学过程:
一、复习准备:
1、提问:正方形面积公式?正方体的
体积公式?(
a
2
、
a
3
)
2、回顾初中根式的
概念:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根;
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫
做a的立方根. → 记法:
a,
3
a
二. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景:
①
探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年
增长率为1.25℅,1990年人口数为a万,则x年后人口
数为多少万?
实例2.
给一张报纸,先实验最多可折多少次(8次)
计算:若报纸长50cm,宽34cm,厚0.01m
m,进行对折x次后,问对折后的面积
与厚度?
② 书P52 问题1. 国务院发展研究中
心在2000年分析,我国未来20年GDP(国
内生产总值)年平均增长率达7.3℅,
则x年后GDP为2000年的多少倍?
书P52 问题2. 生物死亡后,体内碳14每过
5730年衰减一半(半衰期),则死
t
1
5730
亡t年后体内碳14的含
量P与死亡时碳14的关系为
P?()
. 探究该式意义?
2
③小结:实践
中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物
变化、自然科学.
2.
教学根式的概念及运算:
① 复习实例蕴含的概念:
(?2)
2
?4
,
?2
就叫4的平方根;
3
3
?27
,3就叫27的立方
根.
探究:
(?3)
4
?81
,
?3
就
叫做
81
的?次方根, 依此类推,若
x
n
?a
,那么x
叫做
a
的
n
次方根.
② 定义n次方根:一般地
,若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根.(
n
th root
),其中
n?1
,
n??
?
简记:
n
a
.
例如:
2
3
?8
,则
3
8?2
③
讨论:当n为奇数时, n次方根情况如何?, 例如:
3
27?3
,
3
?27??3
,
记:
x?
n
a
当n为偶数时,正数的n次方根情况?
例如:
(?3)
4
?81
,
81
的4次方根就是
?3
,
记:
?
n
a
强调:负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.
n
0?0
④ 练习:
b
4
?a
,则
a
的4次方根为
;
b
3
?a
, 则
a
的3次方根为 .
⑤ 定义根式:像
n
a
的式子就叫做根式(radical),
这里n叫做根指数(radical
exponent),
a叫做被开方数(radicand).
⑥ 计算
(
2
3)
2、
3
4
3
、
n
(?2)
n
→
探究:
(
n
a)
n
、
n
a
n
的
意义及结果? (特殊到
一般)
结论:
(
n
a)
n
?a
. 当
n
是奇数时,
n
n
a
n
?a
;当
n
是偶数时
,
?
a(a?0)
a?|a|?
?
?a(a?0)
?
n
- 44 -
3、例题讲解
(P
5O
例题1):求下列各式的值
(1)
3
(?8)
3
(2)
2
)
(3)
4
?(10
(?3
?
4
)
(4)a(?b
2
)
三、巩固练习:
1.
计算或化简:
5
?32
;
3
a
6
(推广:
a
mp
?
n
a
m
,
a
?
0).
2、
化简:
5?26?7?43?6?42
;
23?
3
1.5?
6
12
3、求值化简:
四、小结:
3
np
(?a)
3
;
4
(?7
4
)
;
6
(3?
?
6
)
;
2
(a?b)
2
(
a?b
)
1.根式的概念:若
n>1且
n?N
*
,则
x是a的n次方根,n为奇数时,x=
na,
n
为偶数时,
x??
n
a
;
?
a(a?0)
2.掌握两个公式:
n为奇数时,(
n
a)
n
,n为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?
?a(a?0)
五、 作业:书P59 、 1题.
六,后记
- 45 -
课题:指数与指数幂的运算(二)
课
型:新授课
教学目标:
使学生正确理解分数指数幂的概念,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有
理数指数幂的运算.
教学重点:有理数指数幂的运算.
教学难点:有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:什么叫根式? →根式运算性质:
(
n
a)
n
=?、
n
a
n
=?、
a
mp
=?
2.
计算下列各式的值:
(
2
?b)
2
;
(
3
?5)
3
;
2
3
4
,
5
a
10
,
3
7
9
二、讲授新课:
1.
教学分数指数幂概念及运算性质:
①
引例:a>0时,
a?
5
(a)?a?a
→
a??
.
5
10252
10
5
3
np
a
12
??
;
3
a?(a)?a
→
2
3
2
3
3
2
3
② 定义分数指数幂:
规定
a?a(a?0,m,n?N,n?1)
;
a
m
nn
m*
?
m
n
?
1
a
m
n<
br>?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?
1)
③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式:
n
a
m(a?0,m,n?N
?
n?1)
;
2
3
5
;
3
5
4
B. 求值
27
;
5
;
6
;
a
.
2
3<
br>2
5
?
4
3
?
5
2
- 46 -
④ 讨论:0的正分数指数幂? 0的负分数指数幂?⑤ 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运
算性质也同样可以推
广到有理数指数幂.
指数幂的运算性质:
a?0,b?0,r,s?Q
a
r
·
a
r
?a
r?s
;
(a
r
)
s
?a
rs
;
(ab)
r
?a
r
a
s
.
2.
教学例题:
(1)、(P
51
,例2)
解:①
8?(2)?2
②
25
?
1
2
2
3
2
3
3
3?
2
3
?2
2
?4
1
2?(?)
2
?(5)
2
?
1
2
?5
1
?5
?1
?
5
1
③
()
?5
?(2
?1
)
?5
?2
?1
?(?5)
?32
2
3
4?(?)
16
?
3
2227
④
()
4
?()
4
?()
?
3
?
81338
(2)、(P
51
,例3)用分数指数幂
的形式表或下列各式(
a
>0)
解:
a.a?a?a?a
a?
a
3
2
3
22
2
3
33
1
2
3?
1
2
?a
23
7
2
a?a?a?a
1
3
2?
?
a
4
1
3
2
2
3
8
3
a
?a?a?a?(a)?a
3、无理指数幂的教学
3
2
的结果?
→定义:无理指数幂.(结合教材P
58
利用逼近的思想理解无理指数幂
意义) 无理数指数幂
a
?
(a?0,
?
是无理数)
是一个确定
的实数.实数指数幂的运算性质?
三、巩固练习:
1、练习:书P54
1、2、3 题.
25
?
3
2、求值:
27
;
16
;
()
?3
;
()
3
49
5
?
2
3
4
3
2
4
3
3、化简:
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
;
(mn)
- 47 -
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8
16
1
(2
n?1
)
2
?()
2n?1
2
4. 计算:的结果
n?2
48
a
10
1
5.
若
a
3
?3,a
10
?384,求a
3
?[()<
br>7
]
n?3
的值
a
3
四. 小结:
1.分数指数是根式的另一种写法.
2.无理数指数幂表示一个确定的实数.
3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.
五、作业:书P59 2、4题.
后记:
- 48 -
课题
指数与指数幂的运算(三)
课 型:练习课
教学目标:
n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.
教学重点:掌握根式与指数幂的运算.
教学难点:准确运用性质进行计算.
教学过程:
一、复习提问: (学生回答,老师板演)
1.
提问:什么叫做根式? 运算性质?
2. 提问:分数指数幂如何定义?运算性质?
3.
基础习题练习: (口答下列基础题)
① n为 时,
n
x
n?|x|?
?
...........
?
?
(x?0)
.
(x?0)
4
② 求下列各式的值:
3
2
6
;
4
16
;
6
81
;
6
(?2)
2
;
15
?32
;
二、教学典型例题:
例1.(P
52
,例4)计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)
(2ab)(?6ab)?(?3ab)
(2)
(mn)
例2.(P
52
例5)计算下列各式
(1)
(
3
25?125)?
4
25
(2)
例
1
3..已知
a
2
1
4
?
3
8
8
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
x
8
;
6
a
2
b
4
a
2
a.a
3
2
(a
>0)
?a
?
1
2
=3,求下列各式的值:
3
a
2
1
a
2
(1)
a?a
?1
;
(2)
a
2
?a
?2
; (3)
- 49 -
?a
?
3
2
1
?
?a
2
.
三、巩固练习:
1.
化简:
(x?y)?(x?y)
.
2. 已知f(x)?
?
x
,x
1
?x
2
?0
,
试求
3.
2
1
?<
br>用根式表示
(m
4
n
3
)
,
1
2
1
2
1
4
1
4
f(x
1
)?f(
x
2
)
的值
其中
m,n?0
.
4.
已知x+x=3,求下列各式的值:
(1)x?x,(2)x?x.
5. 求值:
25
6. 已知
x?a
?3
?b
?2
,
求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.
11
7.从盛满1升纯酒精的容器中倒出升,然后
用水填满,再倒出升,又用水填
33
满,这样进行5次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?
四、小结:
1.
熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础.
- 50 -
3
2-1
1
2
?
1
2
3
2
?
3<
br>2
2
3
36
;
27
3
;
()
2
49
4
25
?
;
()
2
;
81?9
2
;
23?
3
1.5?
6
12
4
3
3
2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
五,作业
化简:(1)
(9)(10)?100
2
(2)
3?22?3?22
(3)
课题: 指数函数及其性质(一)
课 型:新授课
教学目标:
使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学
与现实生活及其他学科的联
系;理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函
数
的性质.
教学重点:掌握指数函数的的性质.
教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的?
2.
提问:有理指数幂的运算法则可归纳为几条?
二、讲授新课:
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念:
① 探究两个实例:
A.细胞分裂
时,第一次由1个分裂成2个,第2次由2个分裂成4个,第3次
由4个分裂成8个,如此下去,如果第
x次分裂得到y个细胞,那么细胞个数y
a
a
?
2
33
2
9
2
5
aa
后记:
- 51
-
与次数x的函数关系式是什么?
B.一种放射性物质不断变化成其他物质
,每经过一年的残留量是原来的84%,
那么以时间x年为自变量,残留量y的函数关系式是什么?
② 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么?
③ 定义:一般地,
函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数(exponential
function),
其中x是自变量,函数的定义域为R.
④讨论:为什么规定
a
>0且
a
≠1呢?否则会出现什么情况呢?→
举例:生活中
其它指数模型?
2. 教学指数函数的图象和性质:
①
讨论:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和
方法吗?
②
回顾:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
③
作图:在同一坐标系中画出下列函数图象:
y?()
x
,
y?2
x
(师生共作→小
结作法)
④ 探讨:函数
y?
2
x
与
y?()
x
的图象有什么关系?如何由
y?2
x
的图象画出
1
y?()
x
的图象?根据两个函数的图象的特征,
归纳出这两个指数函数的性质.
2
1
2
1
2
→
变底数为3或13等后?
⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质 (书P56)
3、例题讲解
例1:(P
56
例6)已知指数函数
f(x)?a
x
(<
br>a
>0且
a
≠1)的图象过点(3,
π),求
f(0),f(
1),f(?3)的值.
例2:(P
56
例7)比较下列各题中的个值的大小
(1)1.7
2.5
与 1.7
3
( 2
)
0.8
?0.1
与
0.8
?0.2
( 3 )
1.7
0.3
与
0.9
3.1
例3:求下列函数的定义域:
-
52 -
(1)
y?2
4
x?4
2
(2)
y?()
|x|
3
三、巩固练习:
4、 P
58
1、2题
5、 函数
y?(
a
2
?3a?3)a
x
是指数函数,则
a
的值为
.
2.5
?0.2
4,
,
2.5
1.6
. 3、 比
较大小:
a?0.8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2
0.8
;
1
0
,0.
?
2
4、探究:在[m,n]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域?
四、小结
1、理解指数函数
y?a
x
(a?0),注意a?1与0
?a?1两种情况。
2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨
论的数学思想
.
五、作业
P
59
习题2.1 A组第5、7、8题
后记:
- 53 -
课题:指数函数及其性质(二)
课 型:新授课
教学目标:
熟练掌握指数函数概念、图象、性质;掌握指数形式的函数定义域、值域,
判断其单调性;培养学生数学应用意识
教学重点:掌握指数函数的性质及应用.
教学难点:理解指数函数的简单应用模型.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:
指数函数的定义?底数a可否为负值?为什么?为什么不取a=1?指数
函数的图象是2. 在同一坐标
系中,作出函数图象的草图:
y?2
x
,
y?()
x
,y?5
x
,
1
1
y?()
x
,
y?10
x
,
y?()
x
10
5
1
2
3. 提问:指数函数具有哪些性质?
二、讲授新课:
1.教学指数函数的应用模型:
① 出示例1:我国人口问题非常
突出,在耕地面积只占世界7%的国土上,却养育
着22%的世界人口.因此,中国的人口问题是公认的
社会问题.2000年第五次人
口普查,中国人口已达到13亿,年增长率约为1%.为了有效地控制人
口过快增
长,实行计划生育成为我国一项基本国策.
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率,从2000年起,x年后我国的人口将达到2000
- 54 -
年的多少倍?
(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少?
(师生共同读题摘要→
讨论方法 → 师生共练→ 小结:从特殊到一般的归纳
法)
② 练习:
2005年某镇工业总产值为100亿,计划今后每年平均增长率为8%,
经
过x年后的总产值为原来的多少倍? → 变式:多少年后产值能达到120亿?
③
小结指数函数增长模型:原有量N,平均最长率p,则经过时间x后的总量y=?
→一般形式:
2. 教学指数形式的函数定义域、值域:
①
讨论:在[m,n]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域?
② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域:
y?2?1
;
y?3
;
y?0.4
.
讨论方法 → 师生共练 →
小结:方法(单调法、基本函数法、图象法、观察
法)
② 出示例2.
求函数
y?2
?x
?
的定义域和值域.
讨论:求定义域如何列式? 求值域先从那里开始研究?
3、例题讲解
2
x
?1
例1求函数
y?
x
的定义域和值域,并讨论函
数的单调性、奇偶性.
2?1
1
2
x
5x?1
1
x?1
例2(P
57<
br>例8)截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口
年平均均增长率控制在1%
,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到
亿)?
例3、已知函数
y?9
x?2?3
x
?2,x?
?
1,2
?
,求这个函数的值域
- 55 -
三、巩固练习:
1、P
58
、3
2、 一片树林中现有木材30000m
3
,如果每年增长5%,经过x年树林中有木
材ym
3
,
x
y?b
写出x
,
y间的函数关系式,
并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到40000m
3
3
?
2
?
1
3
0.76?0.75
22
3
. 比较下列各组数的大小:
()与(0.4)
;
()
.
与(3)
53
四、小结
本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住
a
>
1或0<
a
<时
y?a
x
的
图象,在此基础上研究其性质
.本节课还涉及到指数型函数的应用,形如
y?ka
x
(a
>0且
a
≠1).
五、作业
6、 P
59
、9
7、 设
y
1
?a
3x?1
,y
2
?a
?2x
,
其中
a
>0,
a
≠1,确定
x
为何值时,有:
①
y
1
?y
2
②
y
1
>
y
2
后记:
- 56 -
课题:对数与对数运算 (一)
课 型:新授课
教学目标:
理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互化.
教学重点:掌握对数式与指数式的相互转化.
教学难点:对数概念的理解.
教学过程:
一、复习准备:
1.问题1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭
(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺? (得到:
()
4
=?,
1
()
x
=0.125
?
x=?)
2
1
2
2.问题2:假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长
8%,那么
经过多少年国民生产 是2002年的2倍? (
得到:
(1?8%)
x
=2
?
x=? )
问题共性:已知底数和幂的值,求指数
怎样求呢?例如:课本实例由
1.01
x
?m
求
x
二、讲授新课:
1. 教学对数的概念:
①
定义:一般地,如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x叫做以a为底 N的对数
(logarithm).
记作
x?log
a
N
,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 →
探究问题1、2的指
化对
②
定义:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common
logarithm),并把
常用对数
log
10
N
简记为lgN
在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的
对数,以e为底的对数叫自然对数,并把自
然对数
log
e
N
简记作lnN → 认识:
lg5
lg3.5; ln10; ln3
③ 讨论:指数与对数间的关系 (
a?0,a?1<
br>时,
a
x
?N
?
x?log
a
N
)
负数与零是否有对数? (原因:在指数式中 N > 0 )
log
a
1??
,
log
a
a??
- 57 -
n
log
a
N
loga?n
a?N
④:对数公式,
a
2. 教学指数式与对数式的互化:
① 出示例1. 将下列指数式写成对数式:
5
3
?125
;
2
?7
?
1
;
3
a
?27
;
10
?2
?0.01
128
(学生试练 →
订正→ 注意:对数符号的书写,与真数才能构成整体)
② 出示例2.
将下列对数式写成指数式:
log
1
32??5
; lg0.001=-3;
ln100=4.606
2
(学生试练 → 订正 →
变式:
log
1
32??
lg0.001=? )
2
3、例题讲解
例1(P
63
例1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
11
(1)5
4
=645
(2)
2
?6
?
(3)
()
m
?5.73
643
(4)
log
1
16??4
(5)
log
10
0.01??2
(6)
log
e
10?2.303
2
例2:(P
63
例2)求下列各式中x的值
2
(1)
log
64
x??
(2)
log
x
8?6
(3)
lg100?x
(4)
?lne
2
?x
3
三、巩固练习:
1.
课本64页练习1、2、3、4题
2.计算:
log
9
27
;
log
3
243
;
log
3
81
;
log
(2?3)
(2?3)
;
log
5
625
.
4
3
4
-
58 -
3.求
a
log
a
b?log
b
c?log
c
N
的值(a,b,c?R+
,
且不等于1,N>0).
4.计算
3
log
3
5
?3
log
3
1
5
的值.
四. 小结:
对数的定义
:
a
b
?N?b?log
a
N
(a
>0且
a
≠1)
1的对数是零,负数和零没有对数
对数的性质 :
log
1
a
>0且
a
≠1
a
a?
五.作业:P
74
、1、2
后记:
课题:对数与对数运算(二)
课
型:新授课
- 59 -
a
log
a
N
?N
教学目标:
掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程;能较熟练地运
用法则解决问题.
教学重点:运用对数运算性质解决问题
教学难点:对数运算性质的证明方法
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:对数是如何定义的? → 指数式与对数
式的互化:
a
x
?N
?
x?log
a
N
2. 提问:指数幂的运算性质?
二、讲授新课:
1.
教学对数运算性质及推导:
① 引例: 由
a
p
a
q<
br>?a
p?q
,如何探讨
log
a
MN
和
lo
g
a
M
、
log
a
N
之间的关系?
设
log
a
M?p
,
log
a
N?q<
br>,由对数的定义可得:M=
a
p
,N=
a
q
∴MN=
a
p
a
q
=
a
p?q
∴
log
a
MN=p+q,即得
log
a
MN=<
br>log
a
M +
log
a
N
② 探讨:根据上面的证明,能否得出以下式子?
如果 a > 0,a ? 1,M >
0, N > 0 ,则
log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
;
log
a
M
=log
a
M-log
a
N
;
log
a
M
n
=nlog
a
M(n?R)
N
③ 讨论:自然语言如何叙述三条性质? 性质的证明思路?(运用转化思想,先
通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根
据对数定义将指数
式化成对数式)
④ 运用换底公式推导下列结论:
log
a
b
n<
br>?
m
1
n
log
a
b
;
log
a
b?
log
b
a
m
2. 教学例题:
例1. 判断下列式子是否正确,(
a
>0且
a
≠1,
x<
br>>0且
a
≠1,
x
>0,
x
>
y
)
,
(1)
log
a
x?log
a
y?log
a<
br>(x?y)
(2)
log
a
x?log
a
y
?log
a
(x?y)
(3)
log
a
x
?log
a
x?log
a
y
(4)
log<
br>a
xy?log
a
x?log
a
y
y
1
x
(5)
(log
a
x)
n
?nlog
a
x
(6)
log
a
x??log
a
(7)
n
log
a
x?
- 60 -
1
log
a
x
n
例2( P
65
例3例4):用
log
a
x,
log
a
y
,
log
a
z
表示出(
1)(2)小题,并求
出(3)、(4)小题的值.
x
2
y
xy
(1)
log
a
(2)
log
a
3
(3)
log
z
(4
7
?2
5
)
(4)
lg
5
100
z
8
三、巩固练习:
1、P
68
1、2、3
3. 设
lg2?a
,
lg3?b
,试用
a
、
b
表示
log<
br>5
12
.
变式:已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg
6、lg12、lg
3
的值.
3、计算:
lg14?2lg?lg7?lg18
;
4.
试求
lg
2
2?lg2?lg5?lg5
的值
5. 设
a
、
b
、
c
为正数,且
3
a
?4
b
?6
c
,求证:
??
1
c1
a
1
2b
7
3
lg27?lg8?3lg10
lg243
; .
lg1.2
lg9
四 、小结:
对数运算性质及推导;运用对数运算性质;换底公式.
五、作业:P
74
3、4、5
后记:
- 61 -
课题:对数与对数运算(三)
课 型:新授课
教学目标:
能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题,加
强数学应用意识的训练,提
高解决应用问题的能力.
教学重点:用对数运算解决实践问题.
教学难点:如何转化为数学问题
教学过程:
一、复习准备:
1.
提问:对数的运算性质及换底公式?
2. 已知
log
2
3 = a,
log
3
7 = b, 用 a, b
表示
log
42
56
3. 问题:1995年我国人口总数是12亿,如果
人口的年自然增长率控制在1.25℅,
问哪一年我国人口总数将超过14亿?
(答案:
12?(1?0.0125)
x
?14
→
1.0125
x
?
→
x?
lg7?lg6
?12.4
)
lg1.0125
7
6
二、讲授新课:
- 62 -
1.教学对数运算的实践应用:让学生自己阅读思考P
67
~P
68
的例5,例6的题
目,教师点拨思考:
① 出示例1 20世纪30年代,
查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,
就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越
大,测震仪记录的地震曲线的
振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为:
M
?lgA?lgA
0
,其
中A是被测地震的最大振幅,
A
0
是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为
了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差).
(Ⅰ)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振
幅是20,此时标准地震
的振幅是0.001, 计算这次地震的震级(精确到0.1);
(Ⅱ)5级地震给人的振感已比较明
显,计算7.6级地震最大振幅是5级地震最
大振幅的多少倍?(精确到1)
②
分析解答:读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识?
③ 出示例2 当生物
死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每
经过5730年衰减为原来的一半,这个时
间称为“半衰期”.根据些规律,人们获
得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系.回答下
列问题:
(Ⅰ)求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P,并用函数的观点来解释P
和t
之间的关系,指出是我们所学过的何种函数?
(Ⅱ)已知一生物体内碳14的残留量为P,试求该生物
死亡的年数t,并用函
数的观点来解释P和t之间的关系,指出是我们所学过的何种函数?
(Ⅲ)长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%,试推算古墓
的年代?
④分析解答:读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练:讨论展示并分析自己的结果,试分析归纳,能总结概括得出什么结
论?
1
结论:P和t之间的对应关系是一一对应;P关于t的指数函数
P?(
5730)
x
;
2
8、 例题选讲
例1、已知:
log18
8?a,18
b
?5,求log
36
45
(用含a
,b的式子表示)
111
?log
3
?log
5
例2、计算
log
2
2589
-
63 -
例3,<
br>已lgx?lgy?2lg(x?2y)
求
log
2
x
的值
y
三、巩固练习:
1. 计算:
5
1?log3
;
log
4
3?log
9
2?log
1
4
32
0.2
2
2.
我国的GDP年平均增长率保持为7.3%,约多少年后我国的GDP在1999年的基
础上翻两翻?
3 . P
68
、4
四、小结:
初步建模思想(审题→设未知数→建立x与y之间的关系→);
用数学结果解释现
象
五、作业P
74
9、11、12
后记:
- 64 -
课题:对数函数及其性质(一)
课 型:新授课
教学目标:
通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函
数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图
象.能根据对数函数
的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用
联系的观点分析问题.
教学重点:对数函数的图象和性质
教学难点:对数函数的图象和性质及应用
教学过程:
一、复习准备:
1.
画出
y?2
x
、
y?
()
x
的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质.
2.
根据教材P
73
例,用计算器可以完成下表:
0.5 0.3 0.1
碳14的含量P
0.01 0.001
1
2
生物死亡年数t
讨论:t与P的关系?(对每一个碳14的含量P的取值,通过对应关系
t?log
5730
1
2
P
,生物死亡年数t都有唯一的值
与之对应,从而t是P的函数)
二、讲授新课:
- 65 -
1.教学对数函数的图象和性质:
① 定义:一般地,当a>0且
a≠1时,函数
y=log
a
x
叫做对数函数(logarithmic
function).
自变量是x; 函数的定义域是(0,+∞)
② 辨析:
对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如:
y?2log
2
x,
y?log
5
(5x)
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制
(a?0
,且
a?1)
.
③
探究:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容
和方法吗?
研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质.
研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.
④
练习:同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y?log
2
x
;
y?log
0.5
x
⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质?
列表归纳:分类
→ 图象 → 由图象观察(定义域、值域、单调性、定点)
引申:图象的分布规律?
2、总结出的表格
图象的特征 函数的性质
(1)图象都在
y
轴的右边
(1)定义域是(0,+∞)
(2)函数图象都经过(1,0)
(2)1的对数是0
点
x
(3
)当
a
>1时,
y?log
a
是增函
(3)从左往右看,当
a
>1时,
数,当
图象逐渐上升,当0<
a
<1时,0<
a
<1时,
y?log
a
x
是减
图象逐渐
下降 .
函数.
(4)当
a
>1时
(4)当
a
>1时,函数图象在(1,
0)点右边的纵坐标都大于0,
在(1,0)点左边的纵坐标都小
于0. 当0<
a
<1时,图象正好
相反,在(1,0)点右边的纵坐
标都小于0,在(1,0)点左边
的纵坐标都大于0 .
x
>1,则
log
a
x
>0
0<
x
<1,
log
a
x
<0
当0<
a
<1时
x
>1,则
log
a
x
<0
0<
x
<1,
log
a
x
<0
-
66 -
2. 教学例题
例1:(P71例7)求下列函数的定义域
(1)
y?log
a
x
2
(2)
y?log
a
(4?x)
(
a
>0且
a
≠1)
例2. (P72例8)比较下列各组数中的两个值大小
(1)
log
2
3.4,log
2
8.5
(2)
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7
(3)
log
a
5.1,log
a
5.9
(
a
>0,且
a
≠1)
三.巩固练习:
1、P73页3、4题
2.求下列函数的定义域:
y?log
0.2
(?x?6)
;
y?
3
log
2
x
.
3.比较下列各题中两个数值的大小:
log
2
3和log
2
3.5
;
log
0.3
4和log
0.2
0.7
;
log
0.7
1
.6和log
0.7
1.8
;
log
2
3和log
3
2
.
4. 已知下列不等式,比较正数m、n的大小:
log
3
m<
log
3
n ;
log
0.3
m>
log
0.3
n ;
log
a
m>
log
a
n (a>1)
5. 探究:求定义域
y?log
2
(3x?5)
;y?log
0.5
4x?3
.
-
67 -
四.小结:
对数函数的概念、图象和性质;
求定义域;利用单调性比大小.
五、作业P74页7、8、10
后记:
课题:
对数函数及其性质(二)
课 型:新授课
教学目标:
了解对数函数在生产
实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;
学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互
为反函数,能够在同一坐标上看出
互为反函数的两个函数的图象性质.
教学重点与难点:理解反函数的概念
教学过程:
一、复习准备:
1.
提问:对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
的图象和性质?
2. 比较两个对数的大小:
log
10
7
与
log
10
12
;
log0.7
与
log
0.5
0.8
0.5
3.
求函数的定义域
y?
?
1?log
3
2x
?
;
y?log
a
(2x?8)
二、讲授新课:
1.
教学对数函数模型思想及应用:
① 出示例题(P72例9):溶液酸碱度的测量问题:溶液酸碱度p
H的计算公式
pH??lg[H
?
]
,其中
[H
?
]
表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔升.
(Ⅰ)分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系?
(Ⅱ)纯净水
[H
?
]?10
?7
摩尔升,计算纯净水的酸碱度.
②讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问题? → 强调数学应用思
想
2.反函数的教学:
- 68 -
?1
①
引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的
自变量,
而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数
(inverse
function)
② 探究:如何由
y?2
x
求出x?
③
分析:函数
x?log
2
y
由
y?2
x
解出,是把
指数函数
y?2
x
中的自变量与因变量对
调位置而得出的.
习惯上我们通常用x表示自变量,y表示函数,即写为
y?log
2
x
. <
br>那么我们就说指数函数
y?2
x
与对数函数
y?log
2x
互为反函数
④ 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数
y?2
x<
br>及其反函数
y?log
2
x
图象,发
现什么性质?
⑤ 分析:取
y?2
x
图象上的几个点,说出它们关于直线
y?x<
br>的对称点的坐标,并
判断它们是否在
y?log
2
x
的图象上
,为什么?
⑥ 探究:如果
P
0
(x
0
,y
0<
br>)
在函数
y?2
x
的图象上,那么P
0
关于直线y?x
的对称点在
函数
y?log
2
x
的图象上吗,为
什么?
由上述过程可以得到什么结论?(互为反函数的两个函数的图象关于直线
y?x
对称)
3、例题讲解
例1、求下列函数的反函数
(1)
y?5
x
(2)
y?log
0.5
x
例2、求函数
log
1
(x
2
?6x?17)
的定义域、值域和单调区间
2
三、巩固练习:
gx
1练习:求下列函数的反函数:
y?3
x
;
y?lo
6
- 69 -
(师生共练 → 小结步骤:解x ;习惯表示;定义域)
2.求下列函数的反函数:
y=
(2)
x
(x∈R); y=
log
a
x
(a>0,a≠1,x>0)
2
3. 己知函数
f
(x)?a
x
?k
的图象过点(1,3)其反函数
y?f
-1
?
x
?
的图象过(2,
0)点,求
f
?
x
?
的表达式.
4.教材P75、B组1、2
四、小结:
函数模型应用思想;反函数概念;阅读P73材料
五、作业P74页、9、12
后记:
- 70 -
课题 :幂函数
课 型:新授课
教学目标:
通过具体实例了解幂
函数的图象和性质,体会幂函数的变化规律及蕴含其中
的对称性并能进行简单的应用.
教学重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
教学过程:
一、新课引入:
(1)边长为
a
的正方形面积
S?a
2<
br>,这里
S
是
a
的函数;
(2)面积为
S
的
正方形边长
a?S
,这里
a
是
S
的函数;
(3)
边长为
a
的立方体体积
V?a
3
,这里
V
是
a
的函数;
(4)某人
ts
内骑车行进了1
km
,则他
骑车的平均速度
v?t
?1
kms
,这里
v
是
t<
br>的
函数;
(5)购买每本1元的练习本
w
本,则需支付
p?
w
元,这里
p
是
w
的函数.
观察上述五个函数,有什么共同特征?(指数定,底变)
二、讲授新课:
1、教学幂函数的图象与性质
① 给出定义:一般地,形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
② 练:判断
在函数
y?,y?2x
2
,y?x
3
?x,y?1
中,哪几
个函数是幂函数?
③ 作出下列函数的图象:(1)
y?x
;(2)y?x
;(3)
y?x
2
;(4)
y?x
?1
;(5)
y?x
3
.
④
引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(Ⅱ)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特
别地,
1
2
1
2
1
x
- 71 - <
/p>
当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?<
br>?1
时,幂函数的图象上凸;
(Ⅲ)
?
?0
时,
幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函
第一象限内,当
x
从右边
趋向原点时,图象在
y
轴右方
逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无
近
x
轴正半轴.
2、教学例题:
例1(P78例1).证明幂函数
f(x)?x在[0,??]
上是增函数
证:任取
x
1
,x
2
?[0,??),且x
1
<<
br>x
2
则
f(x?f(x?
1
)
2
)
=
1
数.在
无限地
限地逼
x?
2
x
(x
1
?x
2
)(x
1<
br>?x
2
)
x
1
?x
2
=
x
1
?x
2
x
1
?x
2
因
x
1
?x
2
<0,
x
1
?x
2
>0
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
,即
f(x)?x在[0,??]
上是增函数.
例2. 比较大小:
(a?1)
与
a;
(2?a)
与
2
;
1.1
与
0.9
.
、
三、巩固练习:
1、论函数
y?x
的定义
域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调
性.
2
3
1.5
1.5
2
?
2
3
?
2
3
?
1
2
?
1
2
- 72 -
2. 比较下列各题中幂
值的大小:
2.3
与
2.4
;
0.31
与
0.35
;
(2)
与
(3)
.
四、小结:
提问方式 :
(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的?
(2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗?
五、作业P79页1、2、3题
六、课后记:
- 73 -
3
4
3
4
6
5
6
5
?
3
2
?
3
2
课题:基本初等函数习题课
课 型:复习课
教学要求:
掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函数、对数函数的图象,并能根
据图象说出指数函数、对数函数的性质,了解五个幂函数的图象及性质.
教学重点:指数函数的图象和性质.
教学难点:指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.
2. 求下列函数的定义域:
y?8
1
2x?1
?
1
?
;
y?1?
??
;
y?log
a
(1?x)<
br>2
(a?0,且a?1)
?
2
?
x
log
6
7与log
7
6
;
log
3
?
与log
2
0.8
;
1.01
2.7
与1.01
3.5
3. 比较下列各组中两个值的大小:
二、典型例题:
例1:已知
log
54
27
=
a
,54
b
=3,用
a,b表示log
108
81
的值
解法1:由
5
4
b
=3得
log
54
3
=b
∴
log
108
81
=
log
54
81log
54
27?log
54
3
a?ba?b
??
=
log
54
108log
54
2?12?log
54
272?a
解
法2:由
log
54
27?a得54?27
设
x?log
108
81,则108
x
?81
<
br>所以
(54
2
?27
?1
)
x
?3?27<
br>
即:
(54
2
?54
?a
)
x
?
54
b
?54
a
所以
54
2x?ax
?
54
a?b
,即2x?ax?a?b
a?b
因此得:
x?
2?a
例2、函数
y?log
1
x?2
的定义域为 .
2
例3、函数
y?()
x
1
2
2
?3x?2
的单调区间为 .
- 74 -
例4、已知函数
f(x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
.判断
f(x)
的奇偶性并予以证明.
1?x
例5、按复利计算利息的一种储
蓄,本金为
a
元,每期利率为
r
,设本利和为
y
元,
存期为
x
,写出本利和
y
随存期
x
变化的函数解析式.
如果存入本金1000元,
每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)?(复
利是一
种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期
的利息.
)
(小结:掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,会用函数性质解
决一些简单的应
用问题. )
三、 巩固练习:
1.函数
y?log
3
(?4x?5)
的定义域为
.,值域为 .
2.
函数
y?2
?x?3x?2
的单调区间为 .
1
3. 若点
(2,)
既在函数
y?2
ax?b
的
图象上,又在它的反函数的图象上,则
4
a
=______,
b
=_
______
4. 函数
y?a
x?2
?1
(
a?0
,且
a?1
)的图象必经过点 .
5. 计算
0.064
?
1
3
2?
4
?
3
?
?
?
?
?
??2
?
?
5
?
0
??
?
4
3
?16
?0.75
?0.01?
.
1
2
6. 求下列函数的值域:
- 75 -
y?5
1
2?x
?
1
?
<
br>y?
??
?
3
?
1?x
?
1
?;
y?
??
?1
y?1?2
x
?
2
?
x
四、小结
本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力
五、课后作业:
教材P82 复习参考题A组1——8题
课后记:
课题:方程的根与函数的零点
课 型:新授课
教学目标
1.理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,<
br>掌握零点存在的判定条件.
2.通过观察二次函数图象,并计算函数在区间端点上的函数值之积
的特点,找到
连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.
教学重点、难点
- 76 -
重点: 零点的概念及存在性的判定.
难点:
零点的确定.
学法与教学用具
1.学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、
思考、交流、讨
论和概括,从而完成本节课的教学目标。
2.教学用具:投影仪。
教学过程
(一)创设情景,揭示课题
1、提出问题:一元二次方程
ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?
2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:
(用投影仪给出)
①方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?3
②方程
x
2
?2x?1?0
与函数
y?x
2
?2x?1
③方程
x
2<
br>?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?3
1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图
象和
x
轴交点坐标
的关系,引出零点的概念.
生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流.
师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
(二)互动交流 研讨新知
函数零点的概念:
对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x
)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点.
函数零点的意义:
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标.
即:
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(
x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
- 77 -
有零点.
函数零点的求法:
求函数
y?f(x)
的零点:
①(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
②(几何法)对于不能用求根
公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图
象联系起来,并利用函数的性质找出零
点.
1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法.
生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法:
①代数法;
②几何法.
2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概
括形成结论.
二次函数的零点:
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
.
(1)△>0,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x
轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax
2
?bx?
c?0
有两相等实根(二重根),二次函数的图
象与
x
轴有一个交点,二次函
数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程
ax
2
?bx?c?0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,
二次函数无零点.
3.零点存在性的探索:
(Ⅰ)观察二次函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图象:
① 在区间
[?2,1]
上有零点______;
f(?2)?
_______,
f(1)?
_______,
f(?2)
·
f(1)
_____0(<或>=).
②
在区间
[2,4]
上有零点______;
f(2)
·
f(4)
____0(<或>=).
(Ⅱ)观察下面函数
y?f(x)
的图象
- 78 -
① 在区间
[a,b]
上______(有无)零点;
.
f(a)
·
f(b)
_____0(<或>=)
②
在区间
[b,c]
上______(有无)零点;
.
f(b)
·
f(c)
_____0(<或>=)
③
在区间
[c,d]
上______(有无)零点;
.
f(c)
·
f(d)
_____0(<或>=)
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?
怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点?
4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考.
师:引导学生结合函数图象,分析
函数在区间端点上的函数值的符号情况,
与函数零点是否存在之间的关系.
生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进
行交流、评析.
师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用.
(三)、巩固深化,发展思维
1.学生在教师指导下完成下列例题
例1.
求函数f(x)=
?x
2
?2x?3
的零点个数。
问题:
(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?
(2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特
性?
例2.求
函数
y?x
3
?2x
2
?x?2
,并画出它的大致图象.
师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器
来画函数的图象,结合图
象对函数有一个零点形成直观的认识.
生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所
在的区
间,然后利用函数单调性判断零点的个数.
2.P88页练习第二题的(1)、(2)小题
(四)、归纳整理,整体认识
1.请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又
有哪些;
2.在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。
- 79
-
(五)、布置作业
P88页练习第二题的(3)、(4)小题。
课后记:
课题:用二分法求方程的近似解(1)
课 型:新授课
教学目标
理解二分法求解方程的近似解的思想方法,会用二分法求解具体方程的近似
解;体会程序化解决问题的思
想,为算法的学习作准备。
教学重点、难点
重点:用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点:为何由︱a - b ︳<
?
便可判断零点的近似值为a(或b)?
教学设想
(一)、创设情景,揭示课题
提出问题:
(1)一元二次方程可以用公式求根,但是没有公式可以用来求解放程 ㏑x
+2x-6=0的
根;联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识
来求她的根呢?
(2)通
过前面一节课的学习,函数f(x)=㏑x+2x-6在区间内有零点;进一
步的问题是,如何找到这个
零点呢?
(二)、研讨新知
一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量的缩小,
那么在一定的
精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值;为了方便,我们通过“取中点”
的
方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0
.084,因为f(2.5)*f(3)
<0,所以零点在区间(2.5,3)内;
再取区间
(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为
f(2.75)*f
(2.5)<0,所以零点在(2.5,2.75)内;
由于(2,3),(2.5,3),(2.5
,2.75)越来越小,所以零点所在范围确实越
来越小了;重复上述步骤,那么零点所在范围会越来越
小,这样在有限次重复相
同的步骤后,在一定的精确度下,将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零
点的近似值,特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如,当精确度为0.01
时,由于
∣2.5390625-2.53125∣=0.0078125<0.01,所以我们可以将x=2.54作<
br>为函数f(x)=㏑x+2x-6零点的近似值,即方程㏑x+2x-6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1.师:引导学生仔细体会上边的这段文字,结合课本上的相关部分,感悟其
中的思想方法.
生:认真理解二分法的函数思想,根据课本上二分法的一般步骤,探索求法。
2.为什么由︱a - b ︳<
?
便可判断零点的近似值为a(或b)?
先由学生思考几分钟,然后作如下说明:
设函数零点为x
0
,则a<x
0
<b,则:
0<x
0
-a<b-a,a-b<x
0
-b<0;
由于︱a - b ︳<
?
,所以
︱x
0
- a
︳<b-a<
?
,︱x
0
- b ︳<∣
a-b∣<
?
,
- 80 -
即a或b
作为零点x
0
的近似值都达到了给定的精确度
?
。
㈢、巩固深化,发展思维
1.学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2.借助计算器用二分法求方程2
x
+3x=7的近似解(精确到0.01)
问题:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
引导学生在方程右边的常数移到左边,把
左边的式子令为f(x),则原方程的解
就是f(x)的零点。借助计算机或计算器画出函数的图象,结
合图象确定零点所
在的区间,然后利用二分法求解.
(四)、归纳整理,整体认识
在师生的互动中,让学生了解或体会下列问题:
(1) 本节我们学过哪些知识内容?
(2) 你认为学习“二分法”有什么意义?
(3)
在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方?
(五)、布置作业
P92习题3.1A组第4题,第5题。
课后记:
课题:用二分法求方程的近似解(2)
课 型:新授课
教学目标
继续了解函数的零点与对应方程根的联系,理解在函数的零点两侧函数值乘
积小于0这一结论的实质;通
过探究、思考,培养学生理性思维能力以及分析问
题、解决问题的能力。
教学重点
“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.
教学难点
“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.
教具准备
多媒体课件、投影仪.
教学过程
一、创设情景,引入新课
师:观察二次函数f(x)=x
2-2x-3的图象(如下图),我们发现函数f(x)
=x
2
-2x-3在区间[
-2,1]上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积,你能发现
这个乘积有什么特点?在区间[2,
4]上是否也具有这种特点呢?
引导学生探究,可以发现,在区间[-2,1]的端点上,f(-2)>0,
-
81 -
f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0,函数f(x)=x
2
-2x-3在区间(-2,1)
内有零点x=-1,它是方程x
2
-2x-3
=0的一个根.同样,在区间[2,4]的端
点上,f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4
)<0,函数f(x)=x
2
-2x-3在(2,
4)内有零点x=3,它是方程x<
br>2
-2x-3=0的另一个根.
我们能从二次函数的图象看到零点的性质:
1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.
例如,函数
y=x
2
-x-6的图象在零点-2的左边时,函数值取正号,当它通
过第一个零点-
2时,函数值由正变负,再通过第二个零点3时,函数值又由负变
正.
2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
师:对任意函数,结论也成立吗?同学们可以
任意画几个函数图象,观察图象,
看看是否得出同样的结论.
二、讲解新课
1.零点的性质
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且
有f(a)·
f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使
得f(c)=
0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
求方程f(x)=0的实数根,
就是确定函数y=f(x)的零点.一般地,对于不能
用公式法求根的方程f(x)=0来说,我们可以
将它与函数y=f(x)联系起来,利
用函数的性质找出零点,从而求出方程的根.
2.应用举例
【例1】 教科书P
88
例1.
本例是考查函数零
点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质
(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作
用.
(1)函数f(x)=lnx+2x-6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过
观察教科书上的图3.1
-
3,发现函数的图象与x轴有一个交点,从而对函数有一
个零点形成直观的认识.
(2)教科书上的表3
-
1,可以让学生用计算器或计算机
得出,使学生通过动
手实践获得对表3
-
1的认同感.通过观察表3
-
1,结合图象3.1
-
3,不难得出函
数的一个零点在区间(2,3)内.
(3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必须说明函数在其定义域
内是单调的.可以由增(
减)函数的定义证明函数在(0,+∞)上是增函数,也可
以由g(x)=lnx、
h(x)
=2x-6在(0,+∞)上是增函数,说明函数f(x)=g(x)+h(x)在(0,
+∞)上是增
函数.
【例2】 已知函数f(x)=ax
2
+bx+1具有以下性质:
①对任意实数x
1
≠x
2
,且f(x
1
)=f(x
2
)时,满足x
1
+x
2
=2;
②对任意x
1<
br>、x
2
∈(1,+∞),总有f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)>.
22
则方程ax
2
+bx+1=0根的情况是 ( )
A.无实数根 B.有两个不等正根
C.有两个异号实根
D.有两个相等正根
- 82 -
方法探究:(1)本题由条件
①,知函数f(x)的对称轴为x=1;由条件②,知
函数f(x)是凸函数,即a<0;再由函数f(
x)的表达式,知f(x)的图象过点
(0,1).根据这三点,可画出函数f(x)的草图,如下图,
发现函数f(x)与x
轴交点的位置,可知f(x)=0有两个异号实根,故应选C.
(2)由条件②,知函数f(x)的图象开口向下,即a<0.又由x
1
x
2=<0,
可知f(x)=0有两个异号实根,故应选C.
方法技巧:解析(2)的求解过
程明显比解析(1)简捷,但却不如解析(1)
直观,用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰,便
于理解.但不难发现,如
果解析(1)中的三个函数语言之中有1个没有转化(或错误地转化)为图形语
言,
那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意由数到形,由形到数转化过
程的等价
性.
【例3】 研究方程|x
2
-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数.
方法探究:纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方程,讨论相当麻烦.从
函数图象角度分析
,只需研究函数y=|x
2
-2x-3|与y=a的图象的交点的个数.
解:设y=
|x
2
-2x-3|和y=a,利用Excel、图形计算器或其他画图软件,分别
作
出这两个函数的图象,它们的交点的个数,即为所给方程实根的个数.如下图,
当a=0或a>4时,有
两个实根;当a=4时,有三个实根;当0<a<4时,有四个
实根.
1
a
方法技巧:有关实根个数的题目,通常都采用数形结合思想.做这类题目,必
须遵循两个步骤:
一是构造两个熟悉的函数,二是画出图象,关键点画图要准确.
三、课堂练习
教科书P
88
练习题1.(1)(2)
四、课堂小结
1.本节学习的数学知识:
零点的性质:在函数的零点两侧函数值乘积小于0;零点的确定.
2.本节学习的数学方法:
归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.
五、布置作业
教科书P
92
习题3.1 1、2、3.
补充题:
1.定义在区间[-c,c]上的奇函数f(x)的图象如下图所示,令g(x)=
af
(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是
- 83 -
A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称
B.若a=-1,-2<b<0,则函数g(x)有大于2的零点
C.若a≠0,b=2,则函数g(x)有两个零点
D.若a≥1,b<2,则函数g(x)有三个零点
2.方程x
2
-2mx
+m
2
-1=0的两根都在(-2,4)内,则实数m的取值范围为
________
.
3.已知二次函数f(x)=x
2
+2(p-2)x+3p,若在区间[0,1]
内至少存在一
个实数c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围是________.
课后记:
- 84 -
课题:几类不同增长的函数模型
课 型:新授课
教学目标:
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,
理
解它们的增长差异性.
教学重点、难点:
1. 教学重点 将实际问题转化为
函数模型,比较常数函数、一次函数、指数
函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指
数爆炸、对数增长
等不同函数类型增长的含义.
2.教学难点
选择合适的数学模型分析解决实际问题.
学法与教学用具:
1.
学法:学生通过阅读教材,动手画图,自主学习、思考,并相互讨论,进
行探索.
2.教学用具:多媒体.
教学过程:
(一)引入实例,创设情景.
教师
引导学生阅读例1,分析其中的数量关系,思考应当选择怎样的函数模型
来描述;由学生自己根据数量关
系,归纳概括出相应的函数模型,写出每个方案
的函数解析式,教师在数量关系的分析、函数模型的选择
上作指导.
(二)互动交流,探求新知.
1. 观察数据,体会模型.
教师引导
学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况,体会三种函数的增长
差异,说出自己的发现,并进行交流
.
2. 作出图象,描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象,分析三
种方案的不同变化
趋势,并进行描述,为方案选择提供依据.
(三)实例运用,巩固提高.
1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素,使学生认识到要做出正确选择除
了考虑每天的收
益,还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动,分析整理
数据,并根据其中的信息做出推理判
断,获得累计收益并给出本例的完整解答,
然后全班进行交流.
2. 教师引导学生分析例2
中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响,
使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况,
进一步体会三种基本函数
模型在实际中广泛应用,体会它们的增长差异.
3.教师引导学生分
析得出:要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,
以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能
做出正确选择,学会对数据的特点与
作用进行分析、判断。
4.教师引导学生利用解析式,结
合图象,对例2的三个模型的增长情况进行
分析比较,写出完整的解答过程.
进一步认识三个函数模型的增长差异,并掌握解
答的规范要求.
5.教师引导学生通过以上具
体函数进行比较分析,探究幂函数
y?x
n
(
n
>0)、
指
数函数
y?a
n
(
a
>1)、对数函数
y?log
a
x
(
a
>1)在区间(0,+∞)上的增
- 85 -
长差异,并从函数的性质上进行研究、论证,同学之间进行交流总结,形成结论
性报告. 教师对学生的结论进行评析,借助信息技术手段进行验证演示.
6. 课堂练习
教材P
98
练习1、2,并由学生演示,进行讲评。
(四)归纳总结,提升认识.
教师通过计算机作图进行总结,使学生认识直线上升、指数爆炸
、对数增长等
不同函数模型的含义及其差异,认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,
从
而体会数学的实用价值和内在变化规律.
(五)布置作业
教材P
107
练习第2题
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、
指数函数、对数函数的实例,
对它们的增长速度进行比较,了解函数模型的广泛应用,并思考。有时同一
个实
际问题可以建立多个函数模型,在具体应用函数模型时,应该怎样选用合理的函
数模型.
课后记:
课题: 函数模型的应用实例(Ⅰ)
课 型:新授课
教学目标:
能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用一次函数、二次函数
模型解决实际问题.
教学重点与难点:
1.教学重点:运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2. 教学难点:将实际问题转变为数学模型.
学法与教学用具
1.
学法:学生自主阅读教材,采用尝试、讨论方式进行探究.
2. 教学用具:多媒体
教学过程
(一)创设情景,揭示课题
引例:大约在一千五百年前,大数学家孙子在
《孙子算经》中记载了这样的一
道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?
”这四句
的意思就是:有若干只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”
问题的
吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法:他假设砍去每只鸡
和兔一半的脚,则每只鸡和兔就
变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样,“独脚鸡”
和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是
兔子数,即:47-35=12;鸡
数就是:35-12=23.
比例激发学生学习兴趣,增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
- 86 -
(二)结合实例,探求新知
例1. 某列火车众北京西站开往石家庄,全程2
77km,火车出发10min开出13km
后,以120kmh匀速行驶.
试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的
关系式,并求火车离开北京2h内行驶的路程.
探索:
1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样;
2)所涉及的变量的关系如何?
3)写出本例的解答过程.
老师提示:路程S和自变量t的取值范围(即函数的定义域),注意t的实际
意义.
学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析.
例2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每
只定价20元,茶杯每只定价5元,该
商店制定了两种优惠办法:
1)本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述?
2)本例涉及到几个函数模型?
3)如何理解“更省钱?”;
4)写出具体的解答过程.
在学生自主思考,相互讨
论完成本例题解答之后,老师小结:通过以上两例,
数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型,它把实
际问题中某些事物的主要特
征和关系抽象出来,并用数学语言来表达,这一过程称为建模,是解应用题的
关
键。数学模型可采用各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等 .
课堂练习1
某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客
满.
公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加2元,客房出租数就会减
少10间.
若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总
收入最高?
引导学生探索过程如下:
1)本例涉及到哪些数量关系?
2)应如何选取变量,其取值范围又如何?
3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系?
4)“总收入最高”的数学含义如何理解?
根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当的函数模型,进行解答,然后交流、
进行评析.
[略解:]
设客房日租金每间提高2
x
元,则每天客房出租数为300-1
0
x
,由
x
>0,且
300-10
x
>0得:0<
x
<30
设客房租金总上收入
y
元,则有:
y
=(20+2
x
)(300-10
x
)
=-20(
x
-10)
2
+ 8000(0<
x
<30)
由二次函数性质可知当
x
=10时,
y
max
=8000.
所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时,客户租金总收入最高,为
每天800
0元.
- 87 -
课堂练习2 要建一个容积为8m
3
,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和
池壁的造价每平方米分别为120元和80元,
试求应当怎样设计,才能使水池总造
价最低?并求此最低造价.
(三)归纳整理,发展思维.
引导学生共同小结,归纳一般的应用题的求解方法步骤:
1) 合理迭取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题
转化为
函数模型问题:
2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答;
3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解;
4)在将实际问题向数学问题的转化过程中,能画图的要画图,可借助于图形
的直观
性,研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时,注意实际问题对变量范围的限制.
(四)布置作业
作业:教材P
107
习题3.2(A组)第3 、4题:
课后记:
- 88 -
课题:
函数模型的应用实例(Ⅱ)
课 型:新授课
教学目标
能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题,
进一步感受运
用函数概念建立函数模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价.
二、 教学重点
重点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
难点:将实际问题转化为数学模型,并对给定的函数模型进行简单的分析评
价.
三、
学法与教学用具
1. 学法:自主学习和尝试,互动式讨论.
2. 教学用具:多媒体
四、 教学设想
(一)创设情景,揭示课题.
现实生活中有些实际问题所涉及的
数学模型是确定的,但需我们利用问题中
的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题,
我们要对所确定的数
学模型进行分析评价,验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
(二)实例尝试,探求新知
例1.
一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
1)写出速度
v
关于时间
t
的函数解析式;
2)写出汽车行驶路程
y
关于时间
t
的函数关系式,并作图象;
3)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;
4)假设这辆汽车的里程表在汽车
行驶这段路程前的读数为2004km,试建立汽
车行驶这段路程时汽车里程表读数
s
与时间
t
的函数解析式,并作出相应的图象.
本例所涉及的数学模型是确定的,需要
利用问题中的数据及其蕴含的关系建立
数学模型,此例分段函数模型刻画实际问题.
教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题,把握函数模型的特征.
注意培养学生的读图能力,让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形
式.
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,
可以为有效控制
人口增长提供依据. 早在1798,英国经济家马尔萨斯就提出了自
然状态下的人口增长模型:
y?y
0
e
rt
其中
t
表示经过的时间
,
y
0
表示
t?0
时的人口数,
r
表示人口的年均
增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:(单位:万人)
1950
1951 1952 1953 1954
年份
55196 56300 57482
58796 60266
人数
1955 1956 1957 1958 1959
年份
61456 62828 64563 65994 67207
人数
1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到
0.00
01),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并
- 89 -
检验所得模型与实际人口数据是否相符;
2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到13亿?
探索以下问题:
1)本例中所涉及的数量有哪些?
2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要几
个因素?
3)根据表中数据如何确定函数模型?
4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模型又应做出
如何评价?
如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算方
法?
本
例的题型是利用给定的指数函数模型
y?y
0
e
rt
解决实际问题的
一类问题,引
导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数
y
0
与<
br>t
.
完成数学模型的确定之后,因为计算较繁,可以借助计算器.
在验证问
题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时,可引导学生利用计算器
或计算机作出所确定函数的图象,并
由表中数据作出散点图,通过比较来确定函
数模型与人口数据的吻合程度,并使学生认识到表格也是描述
函数关系的一种形
式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测,实质上是通过
求一个
对数值来确定
t
的近似值.
课堂练习:某工厂今年1月、2月、3月
生产某种产品的数量分别为1万件,
1.2万件,1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月
的产品数量为依据
用一个函数模拟该产品的月产量
t
与月份的
x
关系
,模拟函数可以选用二次函数或
函数
y?ab
x
?c(其中a,b,c为常数
)
.已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用
以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明
理由.
探索以下问题:
1)本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们?
2)如何对所确定的函数模型进行评价?
本例是不同函数的比较问题,要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.
引导学生认识到
比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度,这也是对
函数模评价的依据.
本例渗透了数学思想方法,要培养学生有意识地运用.
三. 归纳小结,发展思维.
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法;
1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;
2)利用待定系数法,确定具体函数模型;
3)对所确定的函数模型进行适当的评价;
4)根据实际问题对模型进行适当的修正.
通过以上三题的练习,师生共同总结出了利用拟合
函数解决实际问题的一般方
法,指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,是解决实际问题的重
要
思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下:
- 90 -
收
集
数
据
画
散
点
图
选
择
函
数
模
型
求
函
数
模
型
检
符合
实际
验
不符合实际
从以上各例体会到:根据收集到的数
据,作出散点图,然后通过观察图象,判
断问题适用的函数模型,借助计算器或计算机数据处理功能,利
用待定系数法得
出具体的函数解析式,再利用得到的函数模型解决相应的问题,这是函数应用的
一个基本过程.
图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.
在实际应用时,经常
需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.
(四)布置作业:教材P
107
习题3.2(A组)第6题.
-
91 -
课题:第三章单元复习
课
型:复习课
教学目标
了解方程的根与函数零点的关系,理解函数零点的性质,掌握二分法,
会用二
分法求方程的近似解,了解直线上升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、
对数函数
、幂函数增长速度的比较,能熟练进行数学建模,解决有关函数实际应
用问题。
教学重点
应用函数模型解决有关实际问题.
教学难点
二分法求方程的近似解,指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.
教具准备
多媒体、课时讲义.
教学过程
一、知识回顾
(一)第三章知识点
1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质.
2.二分法,用二分法求函数零点的步骤.
3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆
炸、对数增长),指数函数、
对数函数、幂函数增长速度的比较.
4.函数模型,解决实际问题的基本过程.
(二)方法总结
1.函数y=f(x)
的零点就是方程f(x)=0的根,因此,求函数的零点问题通
常可转化为求相应的方程的根的问题.
2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途
径:
(1)利用求根公式;
(2)利用二次函数的图象;
(3)利用根与系数的关系.
无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间
断性,有些问题中的
判别式已隐含在问题的处理之中.
3.用二分法求函数零点的一般步骤:
已知函数y=f(
x)定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点x
0
的近似值
x,使它与零点的误差
不超过正数ε,即使得|x-x
0
|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a,b]<
br>?
D,使f(a)与f(b)异号,即f(a)·f
(b)<0.
令a
0
=a,b
0
=b.
(2)取区间[a
0
,b
0
]的中点,则此中点对应的横坐标为 <
br>x
0
=a
0
+(b
0
-a
0
)=(
a
0
+b
0
).
计算f(x
0
)和f(a
0
).
判断:①如果f(x0
)=0,则x
0
就是f(x)的零点,计算终止;
②如果f(a0
)·f(x
0
)<0,则零点位于区间[a
0
,x
0
]内,令a
1
=a
0
,b
1
=x
0
;
1
2
1
2
- 92 -
③如果f(a
0
)·f(x
0
)>0,则零点位于区间[x
0
,b
0
]内,令a
1
=x
0
,b
1
=b
.
(3)取区间[a
1
,b
1
]的中点,则此中点对应的横坐标为
x
1
=a
1
+(b
1
-a
1
)=
(a
1
+b
1
).
计算f(x
1
)和f(a
1
).
判断:①如果f(x1
)=0,则x
1
就是f(x)的零点,计算终止;
②如果f(a1
)·f(x
1
)<0,则零点位于区间[a
1
,x
1
]上,令a
2
=a
1
,b
2
=x
1
.
③如果f(a
1
)·f(x
1
)>0,则零点位于区间[x<
br>1
,b
1
]上,令a
2
=x
1
,b
2
=b
1
.
……
实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an
,b
n
]上,当|a
n
-b
n
|<2ε时,
区
间[a
n
,b
n
]的中点x
n
=(a
n
+b
n
).
就是函数y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数y=f
(x)的近似零点与真
正零点的误差不超过ε.
4.对于直线y=kx+b(k≥0),指数
函数y=m·a
x
(m>0,a>1),对数函数y=log
b
x
(
b>1),
(1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大时,指数函数比一次函
数增
长得快,一次函数比对数函数增长得快.
(2)通过计算器或计算机得出多组数据结合函数图象(图象
可借助于现代信
息技术手段画出)进一步体会:
直线上升,其增长量固定不变;
指
数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变
量的不断增大,直线上升与指
数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差
距大得惊人,所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来
形容.
对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上
升. 5.在区间(0,+∞)上,尽管函数y=a
x
(a>1),y=log
a
x(a>1),y=x
n
(n>0)
都是增函数,但是它们的增长速度不同,而且不
在同一个‘档次’上,随着x的
增大,y=a
x
(a>1)的增长速度越来越快,会远
远超过y=x
n
(n>0)的增长速度,
而y=log
a
x(a>1
)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x
0
,当x>x
0
时,a
x
>x
n
>log
a
x.
6.实际问题的建模方法.
(1)认真审题,准确理解题意.
(2)从问题出发,
抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有
的数学知识和方法,将数量关系用数学符号表
示出来,建立函数关系式.
(3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答.
必须说明的是:
(1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例题培养同学们应用数学
的意识和分析问题的能力.
(2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来反映或近似
地反映实际
问题所得出的关于实际问题的数学描述,即为数学模型.
7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:
1
2
1
2
1
2
- 93 -
二、例题讲解
【例1】 作出函数y=x
3
与y=3x-1
的图象,并写出方程x
3
=3x-1的近似解.
(精确到0.1)
解:函数y=x
3
与y=3x-1的图象如下图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相<
br>等.
因此,这三个交点的横坐标就是方程x
3
=3x-1的解.
由图象可以知道
,方程x
3
=3x-1的解分别在区间(-2,-1)、(0,1)和(1,
2)内,
那么,对于区间(-2,-1)、(0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以
求得它精确到0.1的
近似解为x
1
≈-1.8,x
2
≈0.4,x
3
≈1.5.
【例2】 分别就a=2,a=和a=画出函数y=a
x
,y=log
ax的图象,并求方程
a
x
=log
a
x的解的个数.
思路分析:可通过多种途径展示画函数图象的方法.
解:利用Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画出函数的图象,如下图
所示.
5
4
1
2
根据图象,我们可以知道,当a=2,a=和a
=时,方程a
x
=log
a
x解的个数
5
4
12
- 94 -
分别为0,2,1.
【例3】 根
据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,1999年上海完
成GDP(国内生产总值)4035
亿元,2000年上海市GDP预期增长9%,市委、市
政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制
在0.08%,若GDP与人口均按这
样的速度增长,则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2
倍,至少需________
年.(按:1999年本市常住人口总数约为1300万)
思路分析:抓住人均GDP这条线索,建立不等式.
解:设需n年,由题意得
(1?
9%)
n
(1?0.08%)
n
4035?(1?9%)
n
13000000?(1?0.08%)
n
≥
2?4035
,
13000000
化简得≥2,解得n>8.
答:至少需9年.
三、课堂练习
教科书P
112
复习参考题A组1~6题.
四、课堂小结
1.函数与方程的紧密联系,体现在函数y=f(x)的零点与相应方程f(x
)=0
的实数根的联系上.
2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法求方程近似解的一般步
骤.
3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及
幂函数就是常用的现实世
界中不同增长规律的函数模型.
五、作业布置
教科书P
112
复习参考题A组7,8,9. B组1,2
课后记:
- 95 -