高中数学必修一至必修五知识点总结人教版

必修1
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，
相反，a不属于集合A 记作 a
?
A
二、集合间的基本关系
任何一个集合是它本身的子集。A
?
A
②真子集:如果A
?
B,且B
?
A那就说集合A是集合B的真子集，记作A
?
B(或B
?
A)
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且 属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公
共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即 A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元 素所组成的集合，叫做A,B的并集。
（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即 A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，< br>叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合）
四、函数的有关概念
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式 组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、
对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的
定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的
定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
4．了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义 域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a都有f(a)区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当a区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当a（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调
性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：任取a，b∈D，且a

（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对 于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能< br>没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则
－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于 原点对称）．
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原
点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则
f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数 的定义域是否关于原点对
称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2 )有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，
可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x) f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
10．函数最大（小）值（定义见课本）
（1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.
（2）、利用图象求函数的最大（小）值
（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小 ）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区
间[b，c]上单调递减则函数y=f (x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，
在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
，
a
?
m
n< br>?
1
a
m
n
?
1
n
a
m< br>(a?0,m,n?N
*
,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
rrr?s
（1）
a
·
a?a
(a?0,r,s?R)
；
rsrs
(a)?a
（2）
(a?0,r,s?R)
；
rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
． （3）
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a(a?0 ,且a?1)
叫做指数函数（exponential function），
其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质
x

a>1
6
5
06
5
44
33
221
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2
0
-1
246

图象特征
a?1

0?a?1

向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0，1）
函数性质
a?1

函数的定义域为R
非奇非偶函数
+
函数的值域为R
0?a?1

a
0
?1

自左向右自左向右
看， 看，
增函数
图象逐渐图象逐渐
上升 下降
在第一象在第一象
x?0,a
x?1
限内的图象纵限内的图象纵
坐标都大于1 坐标都小于1
在第二象在第二 象
x?0,a
x
?1
限内的图象纵限内的图象纵
坐标都小于1 坐标都大于1
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
x
减函数
x?0,a
x
?1

x?0,a
x
?1

（1）在[a，b]上，
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a) ,f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
（3）对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
，总有
f(1) ?a
；
（4）当
a?1
时，若
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)
；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a
x< br>?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
．
a为底
．．
N
的对数，记作：
x
x?log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
1
注意底数的限制
a?0
，且
a?1
； 说明：○
2

a
x
?N?log
a
N?x
； ○
3
注意对数的书写格式． ○
两个重要对数：
log
a
N

1
常用对数：以10为底的对数
lgN
； ○
2
自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
． ○
对数式与指数式的互化

log
a
N?x

?

a
x
?N

对数式
?
指数式
对数底数 ←
a
→ 幂底数
对数 ←
x
→ 指数
真数 ←
N
→ 幂
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：（1）
log
a
(M
·< br>N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； （2）
log
a
M
n
（3）
log
a
M< br>?n
log
a
M

(n?R)
．
?log
a
M
－
log
a
N
；
N
注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b
（a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；b?0
）．
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
（1）
log
a
m
b
n
?
n
loga
b
；
m
（2）
log
a
b?
1
．
log
b
a
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y ?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的
定义域是（0，+∞）．
1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 注意：○
（2）对数函数和指数函数的联系是x和y的位置
如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
2、对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
03
2.5
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1< br>2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

图象特征

函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，0）
自左向右看，自左向右看，
函数性质
a?1

0?a?1
a?1

0?a?1

函数的定义域为（0，＋∞）
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
a
1?0

增函数 减函数

图象逐渐上
升
第一象
限的图象纵
坐标都大于0
第二象
限的图象纵
坐标都小于0
三、幂函数
图象逐渐下
降
第一象
限的图象纵
坐标都大于0
第二象
限的图象纵
坐标都小于0
?
x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0
0?x?1,log
a
x?0

x?1,lo g
a
x?0
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，
幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区 间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点
时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于??
时， 图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半
轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念： 对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数< br>y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f( x)
的图象
与
x
轴交点的横坐标。即：
方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
1
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根； ○
2
（几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用○
函数的性质找 出零点．
必修2
第一章 立体几何初步
1.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）
'
S
圆柱侧
?2
?
rh

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

2.柱体、锥体、台体的体积公式
S
圆锥侧面积
?
?
rl
S
圆锥表
?
?
r
?
r? l
?

V
柱
?Sh

1
V
锥
?Sh
3

V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

1
V
圆锥
?
?
r
2
h

3
4
V
求
?
?
R
3
S?4
?R
2
球面
3
3. 球体的表面积和体积公式：；

4．空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反 映了物体的高度和
宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
α
·

C
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
·

公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
P
α
·

L
1 空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线： 同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，
为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，
?
)；
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平
行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P =>β∥α
a∥α
b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质 定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交
线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：

a ∥α
a β => a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a => a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L
⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P
叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x
轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与
x
轴平行或重合时,

我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 。直线的斜率常用k表示。
即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当
?
?0,90
时，
k?0
； 当
??90,180
②过两点的直线的斜率公式：
k?
?
??
??< br>??
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不存在。
?
y
2?y
1
(x
1
?x
2
)
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
x
2
?x
1注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线 的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)
k
与
P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当 直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的 横坐标
都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b

③两点式：
y?y
1
x?x
1
（
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
别为< br>a,b
。
xy
??1
其中直线
l
与
x轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即< br>l
与
x
轴、
y
轴的截距分
ab
⑤一般式：< br>Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全为0）

1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数）； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）；
（6）两直线平行与垂直 当
l
1
:y?k
1
x?b1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交

A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8 ）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐 标系中的两个点，
Bx
2
,y
2
）
则
|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

22
A?B
（10）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l< br>1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
A x?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C< br>2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为< br>d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
，圆心
22
2
222
?
a,b
?
，半径为r；
点
M(x
0
,y
0)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系：
22
2当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r
，点在圆外
22
2
当
(x
0
?a)?(y
0?b)
=
r
，点在圆上
22
2
当
(x
0
?a)?(y
0
?b)
<
r
，点在圆内
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

1
DE
?< br>，半径为当
D?E?4F?0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?D< br>2
?E
2
?4F

?
?,?
?
?< br>22
?
22
22
2
（3）求圆方程的方法：
一般都 采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，
b，r； 若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心< br>C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
A a?Bb?C
A?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；
d? r?l与C相切
；
d?r?l与C相交


（2）过圆外一点的切线 ：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离
=半径，求解k，得到方程 【一定两解】
222
(3)过圆上一点的切线方程：圆
(x-a)+(y-b)= r
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线 方程为

(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y -b)= r
2

必修三
：辗转相除法与更相减损术（1）辗转相除法。 也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步
骤如下：
①用较大的数m除以较小的数n 得到一个商
约数；若
S
0
和一个余数
R
0
； ②若
R
0
＝0，则n为m，n的最大公
R
0
≠0，则用除数n除 以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R
1
；③若
R
1
＝0，则
R
1
为m，n的最大
公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余数
R
2
；…… 依次计算直至
R
n
＝0，此时所得到的
R
n?1
即为所求的 最大公约数。
（2）更相减损术
①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执行第二步。②以较大的
数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减 小数。继续这个操作，直到所得的数相等
为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
（3）辗转相除法与更相减损术的区别：
①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除 法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较 大时计算次数的区别较明显。
②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到， 而更相减损术则以减数与差
相等而得到
8：秦九韶算法与排序 （1）秦九韶算法概念：
nn-1
f(x)=a
n
x+a
n-1
x+….+a
1
x+a
0
求值问题
nn-1n-1n-2n-2n-3
f(x )=a
n
x+a
n-1
x+….+a
1
x+a
0< br>=( a
n
x+a
n-1
x+….+a
1
)x+a
0
=(( a
n
x+a
n-1
x+….+a
2
)x+ a
1
)x+a
0

=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1)x+a
0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次
多项 式的值，即v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
第二章：统计
1：简单随机抽样
类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围
简单抽样过从总体中逐个抽取 总体中的
随机抽样 程中每个个个体数较少
系统< br>体被抽取的
将总体均匀分成几部分，按再起时部分抽样时总体中的
机会相等
抽样 事先确定的规则在各部分抽取 采用简单随机抽样 个数较多
分成经总体分成几层，分层进行各层抽样时采用简总体由差
抽样 抽取 单随机抽样 异明显的几部
分组成
4：用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）样本均值：
x?
x
1
?x
2
???x
n

n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
（2）样本标准差：
s?s?< br>
n
用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从 样本得到的信息
会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
（3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。

（4）中位数：在样本数据中，累计频率为1.5时所对应的样本数据值（只有一个）。

第三章：概 率

2：概率的基本性质
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1
（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（3）若A∩B为不可能事件，即A∩B=
?
，那么称事件A与事件B互斥；
（4）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（5）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
（6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是 指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，
其具体包括三种不同的情形：① 事件A发生且事件B不 发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A
与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；④事件A发
生B不发生；⑤事件B发生事件A不发生，对立事件互 斥事件的特殊情形。

3：基本事件
（1）基本事件：基本事件是在一次试验中所 有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分
的最简单的随机事件。
（2）基本事件 的特点：①任何两个基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成
基本事件的和。

4：古典概型：
（1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件：
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本 事件数，然后利用公式
p(A)?
A所包含的基本事件的个数

总的基本事件个数
5：几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与 构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2） 几何概型的概率公式：
p(A)?
构成事件A的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果 （基本事件）有无限多个；②每个基本事件出
现的可能性相等．


注意： 几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在
一个区域内 均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，值域该区域的大小
有关。如果 随即事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，
但它不是不 可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但他
不是必然事 件。

综上可得：必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
概率为1的事件不一定为必然事件；概率为0的事件不一定为不可能事件。

必修4
第一章 三角函数（初等函数二）
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角: 不作任何旋转形成的角
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
???k?360?
?
,k??

?
o
?
?
180
?
o
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?36 0
，
1?
，
1?
?
．
?57.3
?180
?
?
?
o
o
?
o
8、若扇形的 圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
， 弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
11
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的 终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
??
?
?
y
xy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
r
r
x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正 ，第四象限
余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1

sin
?
?tan
?

cos
?
y
P
T
OM
A
x
?
sin
2
?
? 1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2?
?
；
?
2
?
性
质

函
数
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图
象

定义
域
值
域

R

R

?
?
?
?
xx?k?
?,k??
?
2
??

?
?1,1
?

?
?1,1
?

R

当
当
x?2k
?
?
k ??
?
x?2k
?
?
最
值
?
2
?
k??
?
时，
?
2
时，
y
max
?1

x?2k
?
?
?

；当
既无最大值也无最
小值
y
max
?1
；当< br>x?2k
?
?
?
k??
?
y
min
??1
．
周
期性
奇
偶性
在
?
k??
?
y
min
??1
．
时，
时，
2
?

奇函数
2
?

偶函数
?

奇函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
在
?
k??
?
上是增函数；
单
在
调性
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
是增函数；
在
上
在??
??
k
?
?,k
?
?
??
22
??
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??

?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函
数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
对
称性
对称中心
?
??

,0
?
?
k??
?
?
k
?
?
2
??
?
k
?,0
??
k??
?

对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k ??
?

?
?
2
?
对称轴
?
2< br>?
k??
?

x?k
?
?
k??
?

第二章 平面向量
无对称轴


16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：
r
r
r< br>r
r
r
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：
①交换律：
r
rr
r
a?b?b?a
；
r
rr
r
rr
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
????
r
rr
rr
③
a?0?0?a?a
． < br>⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
C

r
r
r
a

r
r
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向
?

r
b

?

ruuuruuur
量．
r
r
uuu
a?b??C?????C

r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
r
r
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，< br>?
x
2
,y
2
?
，则
???
?x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
23、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r< br>r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0, 0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量， 则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a ?b?ab
；当
a
与
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a< br>．③
a?b?ab
．
r
r
r
r
⑷坐标运算 ：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b ?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若< br>a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?< br>22
r
r
2
r
x
2
?y
2
．
r
r
r
r
设
a?
?
x
1,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r< br>设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>a?b
cos
?
?
r
r
?
22
ab
x
1
2
?y
1
2
x
2
?y
2
．
第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
??sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?< br>tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?< br>tan
?
?tan
?
（
tan
?
?tan< br>?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
25 、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?11?cos2?
2
，
sin
?
?
）．
22
⑶
tan2
?
?
2tan
?
． 2
1?tan
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?< br>．
?
26、
?sin
?
??cos
?
?< br>必修5
第一章 解三角形
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、< br>C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，
则有abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公 式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC< br>；
②
sin??
④
ab
c
，
sin??< br>，
sinC?
；③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
2R
2R2R
a?b?cabc
．
???
sin??si n??sinCsin?sin?sinC
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边 所对的角，求其余的量。2、已知两角和
一边，求其余的量。）
3、三角形面积公式：
S
???C
111
?bcsin??absinC?acsin?
． 222
222222222
4、余弦定理：在
???C
中，有
a ?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?
，
c?a?b?2 abcosC
．
222222222
5、余弦定理的推论：
cos??b?c?a
，
cos??
a?c?b
，
cosC?
a? b?c
．
2bc2ac2ab
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求 其余的量。2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?< br>、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，
则
C?90；
②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c< br>，则
C?90
．
附：三角形的四个“心”；

重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点
第二章 数列

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数，则这个数列称为等差数列，
这个常数称为等差数列的公差．符号表示:
a
n? 1
?a
n
?d
。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
12、由三个 数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列， 则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
222
o
222
o
o
222
b?
a?c
，则称
b< br>为
a
与
c
的等差中项．
2
13、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则< br>a
1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
；
a
n
?a
1
14、通项公式的变形： ①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d< br>；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?d
；③
d?
n?1
a
n
?a
m
an
?a
1
?1
；⑤
d?
④
n?
n?m
d
．
*
15、若
?
a
n
?
是等 差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
*
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a< br>n
?
是
?a
p
?a
q
．
n
?
a
1
?a
n
?
2
；②16、等差数列的前n
项和的公式：①
S
n
?
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
d
．③
2
s< br>n
?a
1
?a
2
?L?a
n

18 、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数 列，
这个常数称为等比数列的公比．符号表示：
a
n?1
?q
（注： ①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位
a
n
上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
?a
n?1
?a< br>n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

②
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).

④正数列{
a
n
}成等比 的充要条件是数列{
log
x
a
n
}（
x?1
）成 等比数列.
19、在
a
与
b
中间插入一个数
G
， 使
a
，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若< br>G?ab
，
G
，
b
成等比数列，
则称
G为
a
与
b
的等比中项．（注：由
G?ab
不能得出a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
?
G?ab
）
n?1
20、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
2
22
n ?m
a?aq
21、通项公式的变形：①
n
；
m
*
22、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
；若
?
a
n
?
是等比
数列，且
2n ?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
an
*
2
?a
p
?a
q
．
23、等比 数列
?
a
n
?
?
na
1
?
q?1
?
?
的前
n
项和的公式：①
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．②1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n

24、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
a
n
?
?
?
s
1
?a
1
(n?1)

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列）
．．
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
} 是等差数列，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.














第三章 不等式
?
c
?
?
其中{
a
n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含
aa
?
nn?1
?

一元二次不等式的求解：

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.


??0

二次函数

??0

??0

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图
象
一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根


无实根

ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b

x
1
?x
2
??
2a

?
xx? x或x?x
?
12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


R


?


?
xx
1
?x?x
2
?

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
11、设
a
、< br>b
是两个正数，则
a?b
称为正数
a
、
b
的 算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
．
2
12、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
13、常用的基 本不等式：
a
2
?b
2
①
a?b?2ab
?a,b?R
?
； ②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
22
a< br>2
?b
2
?
a?b
?
?
a?b
?< br>③
ab?
?
?
?
?
?
a?0,b?0
?
； ④
?
?
a,b?R
?
．
22
2
??
??
14、极值定理：设
x
、
y
都 为正数，则有：
2
2
s
2
⑴若
x?y?s
（和为 定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
4
时，和
x?y
取得最小值
2p
．