公式的层次圆柱、圆锥的侧面展开图及其计算

24.4.2 圆柱、圆锥的侧面展开图及其计算
教学目标
（一）知识教学目标
1．使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的 侧面、底面、高、轴、母线、过轴
的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形．
2．使学生会计算圆柱的侧面积或全面积．
3．使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底 面、高、轴、母线、过轴
的截面等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形。
4．使学生会计算圆锥的侧面积或全面积。
（二）能力训练目标
1．通过圆柱、圆锥形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和
概括能力；
2．通过圆柱、圆锥侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力；
3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数
学模型的能力．
教学重点·难点·
1．重点：（1）圆柱的形成和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征；
（2）会用展开图的面积公式计算圆柱、圆锥的侧面积和全面积．
2．难点：圆柱、圆锥的侧面积计算的理解．

教学过程
一、复习导入
在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到
圆柱形物体的侧 面积和全面积的计算问题如何计算呢？ 圆柱是生产、生活实际
中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如 何计算它的表面积？（展开图是一个矩
形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高（或母线）、底面圆半径找 到相互转化的
对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．）
1

二、新课学习
（一）圆柱学习
（幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶 、铅笔、圆形柱子等），前
面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪 些
特征？

（教师演示 模型并讲解）：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的
图形是什么？大家再观察，圆柱的上 、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？上、
下底面圆为什么相等？圆柱的侧面是矩形ABCD的哪条线 段旋转而成的？
矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线用叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱 的母线．圆
柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD
、
BC 是上、
下底面的半径。
圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学 发现
圆柱的母线与高有什么数量关系？圆柱上、下底面圆有什么位置关系？ A
、
B是
两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？哪位同
学能按轴、母线 、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？ （教师边演示模型，边启
发提问）：现在我把圆柱的侧面沿它的一 条母线剪开，展在一个平面上，观察这
个侧面展开图是什么图形？这个圆柱展开图——矩形的两边分别是 圆柱中的什
么线段？想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？（ 底面
圆周长×圆柱母线）大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎
样表示？

幻灯展示［例1］ 如图，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已
知 ，求这个圆柱形木块的表面积（精确到 ）．（安
排学生上黑板做题，其余在练习本做）
解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，则
2


答：这个圆柱形木块的表面积约为 ．

幻灯展示［例2］ 用一张面积为 的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧
面，求这个圆柱的底面直径（精确到0.1cm）．
（安排学生上黑板完成，其余在练习本上完成）
解：设正方形边长为x，圆柱底面直径为d．
则 ，依题意 （cm）
答：这个圆柱的底面的直径约为9.6cm．
（二）圆锥学习
在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中< br>我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体
的表面积是怎样计 算出来的？

［幻灯展示生活中常遇 的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽］屏幕上展
示的物体都是什么几何体？在小学我们已学过圆锥， 哪位同学能说出圆锥有哪些
特征？（圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是 一
个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。）

［教 师边演示模型，边讲解］：大家观察Rt
到的图形是什么？大家观察圆锥的底面，它是Rt
侧面 是Rt
3

，绕直线SO旋转一周得
的哪条边旋转而成圆锥的
绕直线SO旋转一周得到 的什么边旋转而得的？圆锥是Rt
的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的 什么？大家观察圆锥的轴SO应具有
什么性质？圆锥的侧面是Rt 的斜边绕直线SO旋转一周得到的， 同圆柱相
类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？给一圆锥，如何找到它的母线？圆锥的母线
应具有 什么性质？

［教师边演示模型，边启发提 问］：现在我把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，
展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图 形？请同学们仔细观察：并
回答：圆锥展示图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实 是
圆锥的什么线段？（扇形的弧长是底面圆的周长，即 ，扇形的半径就是
圆锥的母线］）由于 ，圆锥半径已知则展开图扇形的弧长已知，圆锥
母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面 积可求，而这个扇形的
面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求．
［教 师边演示模型，边启发提问］：如图，现在将圆锥沿着它的轴剖开，哪位同学回答，
经过轴的剖面是一个 什么图形？这个等腰三角形的腰与底分别是圆锥的什么？这个等腰三
角形的高也就是圆锥的什么？．这个 经过轴的剖面，我们称之谓“轴截面”，在轴截面里包含
了有关圆锥的所有元素：轴、高、母线，底面圆 半径．这个等腰三角形的顶角，我们称之谓
“锥角”，大家不难发现圆锥的母线、高、底面圆半径及 锥 角构成了一个直角三角形，它
给定旋转一周得圆锥的那个直角三角形，当然给定半径、母线；圆锥侧面展 开图——扇形的
面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题，其实质就是解这个直角三角形的问 题．

幻灯展示例题：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，（ 1）
计算这个展开图的圆心角及面积；（2）画出它的展开图．
4

解：圆锥底面圆直径80cm，∴底面圆周长 cm，又母线长50cm ∴展
开图扇形的半径50cm，弧长 cm。∴
哪位同学到前面计算一下这个扇形的圆心角？
解： 且 ， ，
∴ （度）。
幻灯展开例题：图中所示是一圆锥形的 零件经过轴的剖面，它的腰长等于圆
锥的母线长，底边长等于圆锥底面的直径，按图中标明的尺寸（单位 mm），求：
（1）圆锥形零件的母线长l；（2）锥角
（3）零件的表面积．

三、课堂小结
请同学们回顾一下，本堂课我们学了些什么知识？

四、 布置作业
教材P．191：练习1、2；P．193中5、6、7、8。




5

；
五、 板书设计





6