(完整word版)高中数学必修1知识点总结及题型

高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一 集合的概念
1．集合：一般地，把一些能够________________对 象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________
构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字 母A，B，C，…来表示．
2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通 常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．
3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
知识点二 集合与元素的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. < br>2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.
知识点三 集合的特性及分类
1．集合元素的特性 _______、________、________.
2．集合的分类：(1)有限集：含有__ _____元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合．
3．常用数集及符号表示
名称
符号
知识点四 集合的表示方法
1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法
2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．
知识点五 集合与集合的关系
1．子集与真子集


定义 符号语言
图形语言
(Venn图)
非负整数集(自然数集)
N

N
*
或N
＋

整数集
Z

Q
实数集
R

如果集合A中的________元素都是
子集
集合B中的元素，我们就说这两个
集合有包含关系，称集合A为集合
B的子集
________(或
________)

如果集合A?B，但存在元素
真子集 ________，且________，我们称集
合A是集合B的真子集
________(或
________)


2.子集的性质
(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有_______ _．(2)任何一个集合A都是
它本身的子集，即________．(3)如果A?B，B?C，则_ _______．(4)如果A
?
B，B
?
C，则________．
3．集合相等

定义
如果集合A是集合B的子集(A
?B)，且 ________________，此
集合相等 时，集合A与集合B中的元素
是一样的，因此，集合A与集合
B相等
知识点六 集合的运算
1．交集







2．并

自然语言 符号语言 图形语言
由___________________
_____________________
组成的集合，称为A与B的
交集
集
A∩B＝_________
自然语言 符号语言 图形语言

A＝B
符号语言
图形图言
(Venn图)

由_________________
_________________组成的
集合，称为A与B的并集


3.交集与并集的性质
交集的运算性质
A∩B＝________
A∩A＝________
A∩?＝________
A?B?A∩B＝________
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，如 果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集
合为全集，通常记作___ _____．
5．补集
文字语言
符号语言
对于一个集合A，由全集U 中__________的所有元素组成的集合称为集
合A相对于全集U的补集，记作________
?
U
A＝________________
并集的运算性质
A∪B＝________
A∪A＝________
A∪?＝________
A?B?A∪B＝________
A∪B＝_______________
图形语言


典例精讲
题型一 * 判断能否构成集合
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x
2
－2＝0的实数解”中，能够 构成集合的是 。
题型二 * 验证元素是否是集合的元素
1、已知集合< br>A?xx?m
2
?n
2
,m?Z,n?Z
??
，判断 3是不是集合A的元素。

2、集合A是由形如
m?
题型三 ** 求集合
3n
?
m?Z,n?Z
?
的数构成的，判断
12?3
是不是集合A中的元素.
?
3x＋y＝2
1．方程组
?
的解集是( )
?
2x－3y＝27
?
x＝3
A.
?
B．{x，y|x＝3且y＝－7} C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
?
y＝－7
2．下列六种表示法：①{x＝ －1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2) }；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
?
2x＋y＝0，
能表示方程组
?
的解集的是( )
?
x－y＋3＝0
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤ C．②⑤
题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数
1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
B．直角三角形
D．等腰三角形
D．②⑤⑥



{
b
0，，b
a
}
，则b－a＝________. 3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是__ ______.
4.已知集合A是由0，m，m
2
－3m＋2三个元素组成的集合， 且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3 C．0或3 D．0或2或3
题型五 ** 判断集合间的关系
1、设
M
????
k1k1

?
?
xx? ?,k?Z
?
,
N?
?
xx??,k?Z
?
，则M 与N的关系正确的是（ ）
2442
????
A. M=N B.
M
2．判断下列集合间的关系：
?N
C.
M?N
D.以上都不对
??
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
题型六 ** 求子集个数
1．已知集合A＝{x|ax
2
＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有 且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．
2.已知集合A＝{1，2，3}，写出集合A的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集



题型七 ** 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A＝{ 1,2，m
3
}，B＝{1，m}，B?A，则m＝________.
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B?A，则a的值不可能是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型八 *** 集合间的基本运算

1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若 a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，
则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则 A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝( )
A．{x|x>－3} B．{x|－33．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2016·全国卷Ⅲ 理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞) C．[3，＋∞)
5．下列关系式中，正确的个数为( )
①(M∩N)?N；②(M∩N)?(M∪N)；③(M∪N)?N；④若M?N，则M∩N＝M.
A．4 B．3 C．2 D．1
D．(0,2]∪[3，＋∞)
6．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x ≤4}，集合A＝{x|－2(?
UA)∪B，A∩(?
U
B).


题型九 ** 根据集合运算的结果求参数
1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x
2
}，且 A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

2．设A＝{x|x
2＋8x＝0}，B＝{x|x
2
＋2(a＋2)x＋a
2
－4＝0}，其 中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范
围.


3．U＝{1,2 }，A＝{x|x
2
＋px＋q＝0}，?
U
A＝{1}，则p＋q＝___ _____.
题型十 ** 集合中的新定义问题
1．集合P＝{3,4,5}，Q＝ {6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为( )
A．7 B．12 C．32 D．64
2．当x∈A时，若x－1?A，且x＋1?A，则称x 为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成
的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1, 3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′
∪N′＝( )
A．{0,1,3,4} B．{1,4} C．{1,3} D．{0,3}

知识点一 函数的有关概念

知识点二 两个函数相等的条件
1．定义域________．2．________完全一致．
知识点三 区间的概念及表示
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间


{x|a开区间


{x|a≤x

{x|a

2.特殊区间的表示

定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x

符号

(－∞，＋∞) a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
知识点四 函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
知识点五 分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围， 有着不同的________，那
么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域 是各段定义域的
________，值域是各段值域的________．
知识点六 映射的概念
设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使 对于集合A中的
________________，在集合B中都有________确定的元素y与 之对应，那么就称对应f：A
→B为从集合A到集合B的一个映射．
知识点七 函数的单调性
1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两
个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说函数f(x)在区间D上是增 函数；
当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．函数的单调性：若函数f( x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严
格的)单调性，区间D叫做f (x)的单调区间．
3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x )＋g(x)仍为增(减)函数；若
1
函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增) 函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为
f?x?
减(增)函数．
知识点八 函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值 最小值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有__________ (1)对于任意的x∈I，都有________
(2)存在x
0
∈I，使得______________
结论

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点九 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念

M是函数y＝f(x)的最大值
(2)存在x
0
∈I，使得________
M是函数y＝f(x)的最小值

偶函数 奇函数
条件
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
函数f(x)是奇函数 结论

2.性质
函数f(x)是偶函数
(1)偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则f(x)=0
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．
(3)在定义 域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇
函数；两个偶函数的 和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．
知识点十 函数的周期性
若存在非零常数T，对定义域内任意x，都有
f
?
x?T
?< br>?f(x)

周期函数，T叫函数的一个周期。

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则
典例精讲

，称这样的函数为
型一 *** 函数的定义域
1 函数f(x)＝ln(x－3)的定义域为( )
A．{x|x>－3} B．{x|x>0} C．{x|x>3}
2．函数f(x)＝1－2
x
＋
D．{x|x≥3}
1
的定义域为( )
x＋3
A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]

?x
2
?3x?4
3.函数
y?
的定义域为 （ ）
x
A．
[?4,1]
B．
[?4,0)
C．
(0,1]
D．
[?4,0)U(0,1]

4.已知函数f(x)=
mx
2< br>?mx?1
的定义域是一切实数,则m的取值范围是（ ）
A.05、若函数y
＝
f(x)
的定义域是[1，4]，则
y
＝
f(2x ?1)
的定义域是 ．

6、若函数
y
＝< br>f(3x?1)
的定义域是[1，2]，则
y
＝
f(x)
的定 义域是
题型二 *** 函数概念的考察
1 下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)图象的是( )

2 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A.y=
5
52
x
和
y?
x
B.y=ln
e
x
和
y?
e
lnx

C.
y?
?
x?1
??
x?3
?
和y?
?
x?3
?
D.
y?
0< br>和y?
1
x
0
?
x?1
?
x
）

3 下列四组函数中，表示同一函数的是（
A.
y?x?1与y?(x?1)
2
B．
y?x?1与y?
2
x?1
x?1

C．
y?4lgx与y?2lgx
D．
y?lgx?2与?lg
4 已知函数y=
x

100
x
2
?2
定义域为
?
?1,0.1,2
?
，则其值 域为
题型三 *** 分段函数的考察
?
log
3
x,x?0
1
1、已知函数
f(x)?
?
x，则
f(f())?

9
?
2,x?0
A.4 B.
1

4
C.-4 D-
1
4

?
2、已知函数f(x)＝
?
1
?
x
，x<0，< br>1
1－x，x≥0，
2

若f(a)＝a，则实数a＝________.
?
x
2
?4 x?6,x?0
3、设函数
f(x)?
?
则不等式
f(x)?f(1 )
的解集是（ ）
?
x?6,x?0
A.
(?3,1)?(3,??)
B.
(?3,1)?(2,??)
C.
(?1,1)?(3,??)
D.
(??,?3)?(1,3)

?
x
2
?4x,
4、已知函数
f(x)?
?
2
?
4x?x,
x?0
x?0
若
f(2?a)?f(a),
则实数
a
的取值范围是（ ）
2
A
(??,?1)?(2,??)
B
(?1,2)
C
(?2,1)
D
(??,?2)?(1,??)

题型四 *** 函数图像的考察
1、设
abc?0
,二次函数
f(x)?ax?bx?c
的图像可能是
2

2、函数y=2-
x
的图像大致是
x
2

e
x
?e
?x
3、函数
y?
x
的图像大致为
?x
e?e







A
B
y
1
O
1

x
1
O
1
y

y
( )
y
1
O
1
x

1
x
O
1
x

D
C
4、已知 甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车
的速度曲线分别为v
甲
和v
乙
（如图2所示）．那么对于图中给定的
t
0
和t
1
，下列判断中一定
正确的是 （ ）
A. 在
t
1
时刻，甲车在乙车前面 B.
t
1
时刻后，甲车在乙车后面
C. 在
t
0
时刻，两车的位置相同 D.
t
0
时刻后，乙车在甲车前面

题型五 *** 求函数的解析式
1、求下列函数的解析式
① 已知
f
?
x??
?
1
?
?
?
x
?
x
3?
1
x
3
,
求f
(
x
).

②
已知f
?



?
2
??
1
?
?
lg
x，求f
(
x
).
?
x
?
③ 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

④ 已知f(x)满足
2f
?
x
?
?f
?

?
1
?
?
?
3
x
.
求f(x).
?
x
?

2
2、已知f(x)为奇函数，x>0, f(x)=x+x,求f(x)解析式


3、设
f(x)
是奇函 数，
g(x)
是偶函数，并且
f(x)?g(x)?x?x
，求
f( x)
。


题型六 ** 函数的值域与最值
1、函数
y?x?2x?3
，
x?
?
?1,4
?
的值域为 ．
2
2
2、求函数
f(x)?


x?1

x?
?
1,4
?
的最大值和最小值。
x?5
xx?1
3、求函数
f(x)?4?2


?3

x?
?
?2,4
?
的最大值和最小值。
题型七 *** 函数性质的考察
1、写出函数
f(x)?log
1
(?x?4x?3)
的单调递减区间
2
2
2、设二次函数f(x)=x-(2a+1)x+3
(1)若函数f( x)的单调增区间为
?
2,??
?
，则实数a的值__________；
(2)若函数f(x)在区间
?
2,??
?
内是增函数，则实数a的 范围__________。
3、定义在
(?1,1)
上的奇函数
f(x) ?
2
x?m
，则常数
m?
____,
n?
____ _
2
x?nx?1
4、已知函数
f(x)
是
(??,?? )
上的偶函数，若对于
x?0
，都有
f(x?2）?f(x)
，且当
，则
f(?2008)?f(2009)
的值为（ ）
x?[0,2 )
时，
f(x)?log
2
(x?1）
A．
?2
B．
?1
C．
1
D．
2

2?x
的图像 （ ）
2?x
A.关于原点对称 B.关于主线
y??x
对称 C .关于
y
轴对称 D.关于直线
y?x
对称
5、函数
y?log
2
4
x
?1
6、函数
f
?
x
?
?
的图象（ ）
x
2
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称

7、定义在R上的奇函数
f(x)，满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数,则 （）
A.
f(?25)?f(11)?f(80)
B.
f(80)?f(11)?f(?25)

C.
f(11)?f(80)?f(?25)
D.
f(?25)?f(80)?f(11)

8、已知偶函数
f(x)
在区间
?
0,??)
单调增加，则满足
f(2x?1)
＜
f ()
的x 取值范围( )
（A）（
1
3
1
2
1
21212
，） B.［，） C.（，） D.［，）
3
3
3
32323f(x
2
)?f(x
1
)
?0
.
x
2
?x
1
9、定义在R上的偶函数
f(x)
满足：对任意的
x
1
,x
2
?[0,??)(x
1
?x
2
)
，有
则 ( )
(A)
f(3)?f(?2)?f(1)
B.
f(1)?f(?2)?f(3)

C.
f(?2)?f(1)?f(3)
D.
f(3)?f(1)?f(?2)

10、已知函数
f(x)
是定义在实数集
R
上的不恒为零的偶函数，且对任意实数
x
都有
5< br>xf(x?1)?(1?x)f(x)
，则
f(f())
的值是 ( )
2
15
A.0 B. C.1 D.
22
11、已知定义在R上的奇函数< br>f(x)
，满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数,
若方程f(x)=m(m>0)在区间
?
?8,8
?
上有四个不同的 根
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?__ _______.

1＋ax
2
12、已知函数f(x)＝的图象经过点 (1,3)，并且g(x)＝xf(x)是偶函数．
x＋b
(1)求函数中a、b的值；
(2)判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．

基本初等函数、方程的根与函数的零点

知识点一 指数函数
（1）根式的概念：
如果
x?a,a?R ,x?R,n?1
，且
n?N
?
，那么
x
叫做
a< br>的
n
次方根．
（2）分数指数幂的概念：
①正数的正分数指数幂的意义是：
a
幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
a
负分数指数幂没有意义．
（3）运算性质：
①
a?a?a
r
rsr?s
n
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0的正分数指数
m
n
?
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m, n?N
?
,
且
n?1)
．0的
aa
(a?0,r, s?R)
②
(a
r
)
s
?ars
(a?0,r,s?R)

③
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)

（4）指数函数
rr
函数名称
定义
图象
x
指数函数
函数
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1

0?a?1

y?a
x
y
y?a
x
y
y?1
(0,1)
y?1
(0,1)
O
x
O
x

定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性 在
R
上是增函数

R

(0,??)

图象过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1
．
非奇非偶
在
R
上是减函数
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
变化对图象
的影响
知识点二 对数函数
（1）对数的定义：
在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
x
①若
a?N(a?0,且a?1)
，则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?log
a
N
，其中a
叫做
底数，
N
叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
x?log
a
N?a
x
?N(a?0,a?1,N?0)
．
（2）几个重要的对数恒等式：
log
a
1?0
，
log< br>a
a?1
，
log
a
a
b
?b
．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN
，即
log
10
N
；自然对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
…）．
（4）对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么
①加法：
log
a< br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法：
log
a
M?log
a
N?log
a
③数乘：nlog
a
M?log
a
M
n
(n?R)
④
a
⑤
log
a
N
M

N
?N

换底公式：
log
a
b
M
n
?
n
log
a
M(b?0,n?R)
b
⑥

log
a
N?
log
b
N
(b?0 ,且b?1)

log
b
a
（5）对数函数
函数
名称
定义
对数函数
函数
y?log
a
x(a ?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1

y?log
a
x
y
图象
x?

1
y

1x?
O
(1,0)
x
O

y?log
a
x



(1,0)

x



定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
在
(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y?0
．
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

a
变化对 图象的影响
知识点三 幂函数
（1）幂函数的定义
在第一象限内，
a< br>越大图象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
一般地，函数< br>y?x
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数．
（2）幂函数的图象





过定点：所有的 幂函数在
(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
?

知识点四 函数与方程
1、函数零点的定义
（1）对 于函数
y?f(x)
，我们把方程
f(x)?0
的实数根叫做函数
y ?f(x)
的零点。
（2）方程
f(x)?0
有实根
?
函 数
y?f(x)
的图像与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有 零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程
f(x)?0
是否有 实数根，有几个
实数根。函数零点的求法：解方程
f(x)?0
，所得实数根就是f(x)
的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数
f(x)在零点
x
0
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数
f(x)
的变号零点。
②若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函 数值同号，则称该零点为函数
f(x)
的不变号零点。
③若函数
f(x)< br>在区间
?
a,b
?
上的图像是一条连续的曲线，则
f(a)f (b)?0
是
f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点 的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数
y?f (x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线，并且有
f(a)?f( b)?0
，那么，函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?内有零点，即存在
x
0
?(a,b)
，使得
f(x
0< br>)?0
，
这个
x
0
也就是方程
f(x)?0
的根。
（2）函数
y?f(x)
零点个数（或方程
f(x)?0
实 数根的个数）确定方法
① 代数法：函数
y?f(x)
的零点
?
f(x)?0
的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利
用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
??0?
y?f(x)有2个零点
?
f(x)?0
有两个不等实根；
??0?
y ?f(x)
有1个零点
?
f(x)?0
有两个相等实根；
??0?
y?f(x)
无零点
?
f(x)?0
无实根；对于二次函数在区间< br>?
a,b
?
上的零点个数，要
结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间
[a,b]
上连续不断且
f(a) ?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地
把函数
y?f(x )
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零
点的近似值的方法 叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间
[a,b]< br>,验证
f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
②求区间
(a,b)
的中点
c
;

③计算
f(c)
;
(ⅰ)若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
(ⅱ) 若
f(a)?f(c)?0
,则令
b?c
(此时零点
x
0< br>?(a,c)
);
(ⅲ) 若
f(c)?f(b)?0
,则令
a?c
(此时零点
x
0
?(c,b)
);
④判断是否达 到精确度
?
,即
a?b?
?
,则得到零点近似值为
a
(或
b
);否则重复②至④步.
典例精讲
题型一 ** 有关幂函数定义及性质
1、函数
y?(m?1)x
m

3 2 -1
2、在函数①y=x②y=x③y=x④y=
x
中，定义域和值域相同的是 .
2
?2
是一个反比例函数，则m= .

3、将
a?1.2
，
b?0.9
，
c?1.1< br>按从小到大进行排列为________
1
2
?
1
2
1
2

题型二 *** 指数函数及其性质
1、函数
y?a
x?2
?1.(a?0
且
a?1)
的图像必经过点
2、 比较下列各组数值的大小：
（1）
1.7
3.3

0.8
2.1
； （2）
3.3
0.7

3.4
0.8
；
3、函数
y?
?
?
1
?
?
?
2
?
x
2
?2x
的递减区间为 ；值域是
x?
1
2
4、设
0?x?2
，求函数
y?4?3? 2
x
?5
的最大值和最小值。
xxxx
5、设
a,b,c ,d
都是不等于
1
的正数，
y?a,y?b,y?c,y?d

在同一坐标系中的图像如图所示，则
a,b,c,d
的大小顺序是
A
.a?b?c?d
B
.a?b?d?c

C
.b?a?d?c
D
.b?a?c?d

题型三 ** 指数函数的运算
1、计算
?
?
(?2)
?
?
的结果是（）
A、
2
B、C、—
2
D、—
1
2
1
2
?2
1
2

?
3
6
a
9
??
6
3
a
9
?????
????
等于（） 2、
44

A、
a
B、
a
C、
a
D、
a

3、若
3?8,3?5
，则
3

题型四 ** 对数运算
1、求值
(log
2
3?2log
2
a
16842
ab
a
?2b
3
=

。

3)(3log
3
4?log
3
2)?
；
2、已知
3?2
，那么
log
3
8?2log< br>3
6
用
a
表示是（）
2
A、
a?2
B、
5a?2
C、
3a?(1?a)
D、
3a?a

2
3、 已知
log
7
[log
3
(log
2
x)]?0< br>，那么
x
A、
?
1
2
等于（）
1
11
1
B、C、D、
3
23
2233

题型五 *** 对数函数及其性质
1、指数函数
y?a

(a?0
且
a?1)
的反函数为 ；它的值域是
2、已知
log
1
m?log
1
n?0
，则 ( )
22
x
A.

n?m?1

B.

m?n?1

C.

1?m?n

D.

1?n?m

2
3
2
3
1
3
3、
a?(?1.2)< br>，
b?1.1
，
c?0.9
，
d?log
3
0.34
的大小关系是
1
＜0 ，（
a
＞0，
a
≠1），则
a
的取值范围是 .
2
5、函数
f(x)?log(2x?1)
（
a
＞0，且
a
≠1）的图像必经过点
4、已 知
log
a
a
6、已知y=log
a
(2－ax)在[0， 1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是 （ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．
[2,??)


题型六 *** 零点区间的判断
x
1、函数
f
(
x
)＝2＋3
x
的零点所在的一个区间是（ ）
A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2)
2、函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间 （ ）
11
?
A、
?
?
,
?

?
84
?
x2

11
?
B、
?
?
,
?

?
42
?

?
C、
?

?
,1
?

1
?
2
?
D、(1,2)
3、设
f(x)?3? x
，则在下列区间中，使函数
f(x)
有零点的区间是（ ）
A、[0,1] B、[1,2]
4、在下列区间中，函数
f(x)?e
x
?4x?3
的零点所在的区间为 （ ）
111113
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)

444224

5、若
x
0是方程
lgx?x?2
的解，则
x
0
属于区间 （ ）
A、
(0,1)
B、
(1,1.25)
C、
(1.25,1.75)
D、
(1.75,2)


题型七 *** 零点个数的判断
1、方程
2
?x
?x
2
?3
的实数解的个数为 .
2、函数
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为 .
3、函数
f(x)?xcosx
在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）
A、4 B、5
4、函数
f(x)?
C、6 D、7
2
x?cosx
在
[0,??)
内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
?x
2
?2x?3,x?0
5、函数
f(x)?
?
， 零点个数为 （ ）
?
?2?lnx,x?0
A、3 B、2 C、1 D、0
6、若函数
f(x)?
a
x
?x?a
(
a?0< br>且
a?1
)有两个零点，则实数
a
的取值范围
是 .
7、若函数
f(x)?x?3x?a
有3个不同的零点,则实数
a
的取值范围是（ ）
A、
?
?2,2
?
B、
?
?2,2
?
C、
?
??,?1
?
D、
?
1,??
?

3

题型八 ** 二分法求函数零点
1、下列函数中能用二分法求零点的是 （ ）

2、下列函数图象与
x
轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 （ ）

3、设
f
?
x
?
?3?3x?8
,用二分法求方程
3?3x?8?0在x?
?
1,2
?
内近 似解的过程中得
xx
f
?
1
?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.25
?
?0,
则方程的根 落在区（ ）
A、
(1,1.25)
B、
(1.25,1.5)
C、
(1.5,2)
D、不能确定
4、用二分法研究函数
f(x)?x?3x?1
的零点时，第一次经计 算
f(0)?0，f(0.5)?0
，可得
其中一个零点
x
0
?
，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 （ ）
A、（0，0.5），
f(0.25)

B、（0，1），
f(0.25)

3
C、（0.5，1），
f(0.75)
D、（0，0.5），
f(0.125)

5、若函数
f(x)?x
3
?x
2
?2x?2
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据
如下：

f
(1) = －2
f
(1.375) = －0.260
f
(1.5) = 0.625
f
(1.4375) = 0.162
f
(1.25) = －0.984

f
(1.40625) = －0.054

那么方程
x
3
?x
2
?2x?2?0
的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5