高中数学数列考点-高中数学圆锥曲线192结论
1.2函数及其表示
§1.2.1函数的概念
【教学目的】
1、使学生理解函数的概念,明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素;
2、理解函数符号的含义,能根据函数表达式求出定义域、值域;
3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号;
4、使学生明白静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。
【教学重点】
在对应的基础上理解函数的概念
【教学难点】
函数概念的理解
【教学过程】
一、复习引入
〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?
〖回答〗设在一
个变化过程中有两个变量
x
和
y
,如果对于
x
的每一个值,
y
都有唯一的值与它对应,
那么就说
x
是自变量,
y
是
x
的函数,并将自变量
x
取值的集合叫做函数的定义域,和自变量
x
的值
对应的
y
值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,这种用变量
叙述的函数定义我们称之为函
数的传统定义。
〖讲述〗初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
〖提问〗问题1:
y
=1(
x
∈
R
)是函数吗?
x
2
问题2:
y
=
x
与
y
=
x
〖投影〗观察对应:
是同一函数吗?
〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系?
二、讲授新课 函数的概念
(一)函数与映射
〖投影〗函数:设A,B是非空的数集,如果
按某个确定的对应关系
f
,使对于集合A中的任意一个
数
x<
br>,在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么就称
f
:A→
B为从集合A到集合B的一
个函数,记作
y
=
f(x)
,
x
∈A。其中
x
叫自变量,
x
的取值范围A叫做函数
y
=
f(x)
的定义域;
与
x
的值相对应的
y
的值
叫做函数值,函数值的集合{
f(x)
|
x
∈A},叫做函数
y=
f(x)
的值域。
函数符号
y
=
f(x)表示“
y
是
x
的函数”,有时简记作函数
f(x)
。
函数的三要素:对应法则
f
、定义域A、值域{
f(x)
|
x
∈A}
注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
映
射:设
A,B
是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系
f
,使对于集
合
A
中的任意一个元素
x
,
在集合
B
中都有唯一确
定的元素
y
与之对应,那么就称对应
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个映
射.
如果集合
A
中的元素
x
对应集合
B
中元素
y
,那么集合
A
中的元素x
叫集合
B
中元素
y
的原象,集
合
B
中元素
y
叫合
A
中的元素
x
的象.
映射概念的理解
(1)映射
f:A?B
包含三个要素:原像集合A,像集
合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应
法则
f
.两个集合A,B可以是数集
,也可以是点集或其他集合.对应法则
f
可用文字表述,也可以用符号表
示.映射是一
种特殊的对应关系,它具有:
(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的
映射是不同的;
(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;
(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.
函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
映射
f:A?B
集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,
人,数等
对于集合A中任一元素
a
,在集合B中都
有唯一确定的像
对集合B中任一元素
b
,在集合A中不一
定有原像
函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
函数
y?f(x),x?A,y?B
函数的定义域和值域均为非空的数集
对函数的定义域中每一个
x
,值域中都有
唯一确定的值与之对应
对值域中每一个函数值,在定义域中都有
确定的自变量的值与之对应
〖注意〗(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f
:A→B
。这里A,B为非空的数集。
(2)A:定义域,原象的集合;{
f(x)
|x
∈A}:值域,象的集合,其中{
f(x)
|
x
∈A}?B;
f
:
对应法则,
x
∈A,
y
∈B
<
br>(3)函数符号:
y
=
f(x)
,
y
是
x<
br>的函数,简记
f(x)
〖回顾〗(二)已学函数的定义域和值域:
1、一次
函数
f(x)
=
ax
+
b
(
a
≠0):定
义域
R
,值域
R
2、反比例函数
f(x)
=
k
(
k
≠0):定义域{
x
|
x
≠0},值域{y |
y≠0}
x
2
4ac?b
2
3、
二次函数
f(x)
=
ax
+
bx
+
c
(<
br>a
≠0):定义域
R
,值域:当
a
>0时,{
y|
y
≥};
4a
2
4ac?b
当
a
<0时,{
y
|
y
≤}。
4a
(三)函数的值:关于函数值
f(a)
例析:
若
f(x)
=
x
2
+3
x
+1,求
f(2
)
。
解:
f(2)
=2
2
+3×2+1=11
(2)
f(x)
不一定是解析式,有时可能是“列表”、“图象”;
(3)
f(x)
与
f(a)
是不同的,前者为变数,后
者为常数,
f(a)
是
f(x)
的一个特殊值。
(四)区间的概
念
〖注意〗(1)在
y
=
f(x)
中
f
表示对应法
则,不同的函数其含义不一样;
〖投影〗设
a
、
b
是两个实数,而且
a
<
b
,我们规定:
(1)满足不等式
a
≤
x
≤
b
的实数
x<
br>的集合叫做闭区间,表示为[
a
,
b
];
(2)满足不等
式
a
<
x
<
b
的实数
x
的集合叫做开区间
,表示为(
a
,
b
);
(3)满足不等式
a
≤
x
<
b
或者
a
<
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间,表示为
[a,b)
、
(a,b]
;
(4)实数集
R
可以用区间表示为(-∞,+∞)
;满足不等式
x
≥
a
,
x
>
a
,
x
≤
b
,
x
<
b
的
实数
x
的集合可以分别表示为[
a
,+∞
)
,(
a
,+∞),(
-∞,
b
]
,(-∞,
b
)。
〖
注意〗注意集合与区间之间的关系:区间是数集,表示区间端点的两个实数不能相等,但数集中不等
式两
端的两个实数可以相等,如
a
≤
x
≤
a
。
三、实例提升
〖例析〗例1、设集合M={
x
|0≤
x
≤2},N={
y
|0≤
y
≤2},从M到N有4种对应如下图所示:
其中能表示为M到N的函数关系的有 ② ③ 。
〖解析〗根据对应的含义和函数的概念,可以看出②③能表示M到N的函数关系。
〖例析〗例2、求下列函数的定义域:
①
f(x)?
11
; ②
f(x)
=
3x?2
;
③
f(x)
=
x?1
+
x?2
2?x
〖解析〗
函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式
y
=
f(x)
,
而没有指明它的定
义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数
x
的集合
。
解:①∵
x
-2=0,即
x
=2时,分式
而
x
≠2时,分式
1
无意义,
x?2
1
有意义
x?2
∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≠2}。
2
时,根式
3x?2
无意义
3
2
而3
x
+2≥0,即
x
≥
?
时,根式
3x?2
才有意
义
3
2
∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≥<
br>?
}。
3
②∵3
x
+2<0,即
x
<
?
③∵当
x
+1≥0且2-
x
≠0,
即x
≥-1且
x
≠2时,根式
x?1
和分式
1
同
时有意义
2?x
∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≥-1且
x
≠2}
另解:要使函数有意义,必须:
x
+
1≥0且2-
x
≠0?
x
≥-1且
x
≠2
∴这个函数的定义域是:{
x
|
x
≥-1且
x
≠2} 〖强调〗解题时要注意书写过程,注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知,求函数的定义域就是根据
使函数式有意义的条件,布列自变量应满足的不等式或不等式组,解不等式或不等式组就得到所求的
函
数的定义域。
求函数的定义域的常见类型:
(1)当
f(x)
为整式时,定义域为
R
;
(2)当
f(x)
为分式时,定义域为使分母不为0的
x
的集合;
(3)当
f(x)
为n次根式中的偶次根式时,定义域为使被开方式非负的
x
的集合;
(4)当
f(x)
是由几个式子组成时,定义域是使各个式子都
有意义的
x
的取值的集合。
〖例析〗例3、已知函数
f(x)
=3
x
2
-5
x
+2,求
f(3)
,
f(
?2)
,
f(a?1)
。
〖解析〗解:
f
(3)=3×3<
br>2
-5×3+2=14;
f(?2)
=3×(-
2
)
2
-5×(-
2
)+2=8+5
2
;
f(a?1)
=3(
a
+1)
2
-5(
a
+1)+2=3
a
2
+
a
。
〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数
y
=
x
是同一个函数?
(1)
y?(x)
2
;
(2)
y?
3
x
3
;
(3)
y?x
2
〖解析〗解:(1)
y
=
x<
br>,
x
≥0,
y
≥0,定义域不同且值域不同,不是同一个函数; <
br>(2)
y
=
x
,
x
∈
R
,
y
∈
R
,定义域值域都相同,是同一个函数;
(3)
y
=|
x
|=
?
?
x(x?0)
,
y
≥0
;值域不同,不是同一个函数。
?
?x(x?0)
〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
(1)
y1
?
(x?3)(x?5)
y
2
?x?5
(定义域不同)
x?3
(2)
y
1
?x?1x?1
y
2
?(x?1)(x?1)
(定义域不同)
(3)
f
1
(x)?(2x?5)
2
f
2
(x)?2x?5
(定义域、值域都不同)
〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。
四、演练反馈
1、函数<
br>f(x)?
3x
2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域是(
)
1
3
11
33
1
3
A.
(?,??)
B.
(?,1)
C.
(?,)
D.
(??,?)
2、下列各组,函数
f(x)
与
g(x)
表示同一个函数的是(
)
1
3
x
2
A.
f(x)
=1,
g(x)
=
x
B.
f(x)
=
x
,
g(
x)
=
x
C.
f(x)
=
x
2
,
g(x)
=
(x)
4
D.
f(x)
=<
br>x
3
,
g(x)
=
(
3
x)
9
3、已知函数
f(x)
=2
x
-3,求:
(1)
f(0)
,
f(2)
,
f(5)
;
(2)
f[f(x)]
;
(3)若
x
∈{0,1,2,3},求函数的值域。
0
0
4、若
A?{1,2,3,4}
,
B?{a,b,c}
,
a,b,c?R
,则
A
到
B
的映射有
个,
B
到
A
的映射有 个,
A
到
B
的函数有 个
演练反馈答案:1、B 2、D 3、(1)
f(0)
=-3,<
br>f(2)
=1,
f(5)
=7;
(2)
f[f(x)]
=4
x
-9;
(3)值域为{-3,-1,1,3} 4、81,64,81
五、课堂小结
本节
课学习了以下内容:函数是一种特殊的对应
f
:A→B,其中集合A,B必须是非空的数集;<
br>y?f(x)
表示
y
是
x
的函数;函数的三要素是定义域、值
域和对应法则,定义域和对应法则一经确
定,值域随之确定;判断两个函数是否是同一函
数,必须三要素完全一样,才是同一函数;
f(a)
表
示
f(x)
在
x
=
a
时的函数值,是常量;而
f(x)
是
x的函数,通常是变量。
【教后札记】
本节的教学重点是在对应的基础
上来理解函数的概念,主要包括函数的概念、三
要素的理解,难点是函数定义和函数符号的认识与使用。
由于学生在初中已学习了函
数的传统定义,并学习了几类简单的函数,所以在高中重新定义函数时,学生
并不陌
生,重要的是让学生认识到它的优越性,从根本上揭示了函数的本质——由定义域、
值域
、对应法则三要素构成的整体,通过例题解析让学生充分理解函数的概念。
〖板书〗函数的概念
(一)函数与映射
函数的三要素:对应
法则
f
、定义域A、值域{
f(x)
|
x
∈A}
注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
(二)已学函数的定义域和值域:
1、一次函数
f(x)
=
a
x
+
b
(
a
≠0):定义域
R
,值域
R<
br>2、反比例函数
f(x)
=
k
(
k
≠0):定义域{
x
|
x
≠0},值域{y | y≠0} x
2
4ac?b
2
3、二次函数
f(x)
=
a
x
+
bx
+
c
(
a
≠0):定义域
R,值域:当
a
>0时,{
y
|
y
≥};
4a<
br>2
4ac?b
当
a
<0时,{
y
|
y
≤}。
4a
〖板书〗(三)函数的值:关于函数值
f(a)
<
br>例析:若
f(x)
=
x
2
+3
x
+1,求<
br>f(2)
。
解:
f(2)
=2
2
+3×2+1=11
〖板书〗(四)区间的概念
(1)满足不等式
a
≤
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做闭区间,表示为[
a
,
b
];
(2)满足不等式
a
<
x
<
b
的实数
x
的集合叫做开区间,表示为(
a
,
b
)
;
(3)满足不等式
a
≤
x
<
b
或者
a
<
x
≤
b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间,
表示为
[a,b)
、
(a,b]
;
(
4)实数集
R
可以用区间表示为(-∞,+∞);满足不等式
x
≥
a
,
x
>
a
,
x
≤
b
,
x
<
b
的
实数
x
的集合可以分别表示为[
a
,+∞
)
,(
a
,+∞),(-∞,
b
]
,(-∞
,
b
)。