关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 16:28
tags:高中数学必修一

高中数学数列考点-高中数学圆锥曲线192结论


1.2函数及其表示
§1.2.1函数的概念


【教学目的】
1、使学生理解函数的概念,明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素;
2、理解函数符号的含义,能根据函数表达式求出定义域、值域;
3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号;
4、使学生明白静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。
【教学重点】
在对应的基础上理解函数的概念

【教学难点】
函数概念的理解
【教学过程】
一、复习引入
〖提问〗初中学习的(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数?
〖回答〗设在一 个变化过程中有两个变量
x

y
,如果对于
x
的每一个值,
y
都有唯一的值与它对应,
那么就说
x
是自变量,
y

x
的函数,并将自变量
x
取值的集合叫做函数的定义域,和自变量
x
的值
对应的
y
值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,这种用变量 叙述的函数定义我们称之为函



数的传统定义。
〖讲述〗初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
〖提问〗问题1:
y
=1(
x

R
)是函数吗?

x
2
问题2:
y
=
x

y
=
x
〖投影〗观察对应:

是同一函数吗?




〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系?




二、讲授新课 函数的概念


(一)函数与映射
〖投影〗函数:设A,B是非空的数集,如果 按某个确定的对应关系
f
,使对于集合A中的任意一个



x< br>,在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么就称
f
:A→ B为从集合A到集合B的一
个函数,记作
y
=
f(x)

x
∈A。其中
x
叫自变量,
x
的取值范围A叫做函数
y
=
f(x)
的定义域;

x
的值相对应的
y
的值 叫做函数值,函数值的集合{
f(x)
|
x
∈A},叫做函数
y=
f(x)
的值域。
函数符号
y
=
f(x)表示“
y

x
的函数”,有时简记作函数
f(x)

函数的三要素:对应法则
f
、定义域A、值域{
f(x)
|
x
∈A}
注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
映 射:设
A,B
是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系
f
,使对于集 合
A
中的任意一个元素
x
,
在集合
B
中都有唯一确 定的元素
y
与之对应,那么就称对应
f:A?B
为从集合
A
到集合
B
的一个映
射.
如果集合
A
中的元素
x
对应集合
B
中元素
y
,那么集合
A
中的元素x
叫集合
B
中元素
y
的原象,集

B
中元素
y
叫合
A
中的元素
x
的象.
映射概念的理解
(1)映射
f:A?B
包含三个要素:原像集合A,像集 合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应
法则
f
.两个集合A,B可以是数集 ,也可以是点集或其他集合.对应法则
f
可用文字表述,也可以用符号表
示.映射是一 种特殊的对应关系,它具有:
(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的 映射是不同的;
(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;
(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.
函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
映射
f:A?B

集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,
人,数等
对于集合A中任一元素
a
,在集合B中都
有唯一确定的像
对集合B中任一元素
b
,在集合A中不一
定有原像

函数是特殊的映射,映射是函数的推广.


函数
y?f(x),x?A,y?B

函数的定义域和值域均为非空的数集
对函数的定义域中每一个
x
,值域中都有
唯一确定的值与之对应
对值域中每一个函数值,在定义域中都有
确定的自变量的值与之对应



〖注意〗(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f
:A→B 。这里A,B为非空的数集。
(2)A:定义域,原象的集合;{
f(x)
|x
∈A}:值域,象的集合,其中{
f(x)
|
x
∈A}?B;
f

对应法则,
x
∈A,
y
∈B
< br>(3)函数符号:
y
=
f(x)

y

x< br>的函数,简记
f(x)
〖回顾〗(二)已学函数的定义域和值域:
1、一次 函数
f(x)
=
ax

b
(
a
≠0):定 义域
R
,值域
R

2、反比例函数
f(x)
=


k
(
k
≠0):定义域{
x
|
x
≠0},值域{y | y≠0}

x
2


4ac?b
2
3、 二次函数
f(x)
=
ax

bx

c
(< br>a
≠0):定义域
R
,值域:当
a
>0时,{
y|
y
≥};
4a


2
4ac?b

a
<0时,{
y
|
y
≤}。
4a
(三)函数的值:关于函数值
f(a)


例析: 若
f(x)
=
x
2
+3
x
+1,求
f(2 )

解:
f(2)
=2
2
+3×2+1=11
(2)
f(x)
不一定是解析式,有时可能是“列表”、“图象”;
(3)
f(x)

f(a)
是不同的,前者为变数,后 者为常数,
f(a)

f(x)
的一个特殊值。
(四)区间的概 念
〖注意〗(1)在
y
=
f(x)

f
表示对应法 则,不同的函数其含义不一样;




〖投影〗设
a

b
是两个实数,而且
a

b
,我们规定:
(1)满足不等式
a

x

b
的实数
x< br>的集合叫做闭区间,表示为[
a
,
b
];
(2)满足不等 式
a

x

b
的实数
x
的集合叫做开区间 ,表示为(
a
,
b
);
(3)满足不等式
a

x

b
或者
a

x

b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间,表示为
[a,b)


(a,b]

(4)实数集
R
可以用区间表示为(-∞,+∞) ;满足不等式
x

a

x

a

x

b

x

b

实数
x
的集合可以分别表示为[
a
,+∞
)
,(
a
,+∞),( -∞,
b
]
,(-∞,
b
)。


〖 注意〗注意集合与区间之间的关系:区间是数集,表示区间端点的两个实数不能相等,但数集中不等
式两 端的两个实数可以相等,如
a

x

a

三、实例提升
〖例析〗例1、设集合M={
x
|0≤
x
≤2},N={
y
|0≤
y
≤2},从M到N有4种对应如下图所示:
其中能表示为M到N的函数关系的有 ② ③ 。
〖解析〗根据对应的含义和函数的概念,可以看出②③能表示M到N的函数关系。
〖例析〗例2、求下列函数的定义域:

f(x)?


11
; ②
f(x)
=
3x?2
; ③
f(x)
=
x?1

x?2
2?x
〖解析〗 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式
y
=
f(x)
, 而没有指明它的定
义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数
x
的集合 。
解:①∵
x
-2=0,即
x
=2时,分式

x
≠2时,分式
1
无意义,
x?2
1
有意义
x?2
∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≠2}。
2
时,根式
3x?2
无意义
3
2
而3
x
+2≥0,即
x

?
时,根式
3x?2
才有意 义
3
2
∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≥< br>?
}。
3
②∵3
x
+2<0,即
x

?
③∵当
x
+1≥0且2-
x
≠0,
x
≥-1且
x
≠2时,根式
x?1
和分式
1
同 时有意义
2?x


∴这个函数的定义域是{
x
|
x
≥-1且
x
≠2}
另解:要使函数有意义,必须:
x
+ 1≥0且2-
x
≠0?
x
≥-1且
x
≠2
∴这个函数的定义域是:{
x
|
x
≥-1且
x
≠2} 〖强调〗解题时要注意书写过程,注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知,求函数的定义域就是根据
使函数式有意义的条件,布列自变量应满足的不等式或不等式组,解不等式或不等式组就得到所求的
函 数的定义域。

求函数的定义域的常见类型:
(1)当
f(x)
为整式时,定义域为
R

(2)当
f(x)
为分式时,定义域为使分母不为0的
x
的集合;
(3)当
f(x)
为n次根式中的偶次根式时,定义域为使被开方式非负的
x
的集合;
(4)当
f(x)
是由几个式子组成时,定义域是使各个式子都 有意义的
x
的取值的集合。
〖例析〗例3、已知函数
f(x)
=3
x
2
-5
x
+2,求
f(3)

f( ?2)

f(a?1)

〖解析〗解:
f
(3)=3×3< br>2
-5×3+2=14;


f(?2)
=3×(-
2
)
2
-5×(-
2
)+2=8+5
2

f(a?1)
=3(
a
+1)
2
-5(
a
+1)+2=3
a
2

a

〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数
y
=
x
是同一个函数?
(1)
y?(x)
2
; (2)
y?
3
x
3
; (3)
y?x
2

〖解析〗解:(1)
y
=
x< br>,
x
≥0,
y
≥0,定义域不同且值域不同,不是同一个函数; < br>(2)
y
=
x

x

R

y

R
,定义域值域都相同,是同一个函数;
(3)
y
=|
x
|=
?
?
x(x?0)

y
≥0 ;值域不同,不是同一个函数。

?
?x(x?0)




〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数?
(1)
y1
?

(x?3)(x?5)

y
2
?x?5
(定义域不同)
x?3
(2)
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)
(定义域不同)
(3)
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5
(定义域、值域都不同)
〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。





四、演练反馈


1、函数< br>f(x)?
3x
2
1?x
?lg(3x?1)
的定义域是( )
1
3
11
33
1
3

A.
(?,??)
B.
(?,1)
C.
(?,)
D.
(??,?)

2、下列各组,函数
f(x)

g(x)
表示同一个函数的是( )
1
3
x
2
A.
f(x)
=1,
g(x)
=
x
B.
f(x)
=
x

g( x)
=

x
C.
f(x)
=
x
2


g(x)
=
(x)
4
D.
f(x)
=< br>x
3

g(x)
=
(
3
x)
9
3、已知函数
f(x)
=2
x
-3,求:
(1)
f(0)

f(2)

f(5)

(2)
f[f(x)]

(3)若
x
∈{0,1,2,3},求函数的值域。
0 0

4、若
A?{1,2,3,4}

B?{a,b,c}

a,b,c?R
,则
A

B
的映射有 个,
B

A
的映射有 个,



A

B
的函数有 个




演练反馈答案:1、B 2、D 3、(1)
f(0)
=-3,< br>f(2)
=1,
f(5)
=7; (2)
f[f(x)]
=4
x
-9;
(3)值域为{-3,-1,1,3} 4、81,64,81
五、课堂小结
本节 课学习了以下内容:函数是一种特殊的对应
f
:A→B,其中集合A,B必须是非空的数集;< br>y?f(x)
表示
y

x
的函数;函数的三要素是定义域、值 域和对应法则,定义域和对应法则一经确

定,值域随之确定;判断两个函数是否是同一函 数,必须三要素完全一样,才是同一函数;
f(a)


f(x)

x
=
a
时的函数值,是常量;而
f(x)

x的函数,通常是变量。

【教后札记】
本节的教学重点是在对应的基础 上来理解函数的概念,主要包括函数的概念、三
要素的理解,难点是函数定义和函数符号的认识与使用。 由于学生在初中已学习了函
数的传统定义,并学习了几类简单的函数,所以在高中重新定义函数时,学生 并不陌
生,重要的是让学生认识到它的优越性,从根本上揭示了函数的本质——由定义域、
值域 、对应法则三要素构成的整体,通过例题解析让学生充分理解函数的概念。


〖板书〗函数的概念
(一)函数与映射
函数的三要素:对应 法则
f
、定义域A、值域{
f(x)
|
x
∈A}


注:只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
(二)已学函数的定义域和值域:
1、一次函数
f(x)
=
a x

b
(
a
≠0):定义域
R
,值域
R< br>2、反比例函数
f(x)
=


k
(
k
≠0):定义域{
x
|
x
≠0},值域{y | y≠0} x
2
4ac?b
2
3、二次函数
f(x)
=
a x

bx

c
(
a
≠0):定义域
R,值域:当
a
>0时,{
y
|
y
≥};
4a< br>2
4ac?b

a
<0时,{
y
|
y
≤}。
4a
〖板书〗(三)函数的值:关于函数值
f(a)
< br>例析:若
f(x)
=
x
2
+3
x
+1,求< br>f(2)

解:
f(2)
=2
2
+3×2+1=11

〖板书〗(四)区间的概念
(1)满足不等式
a

x

b
的实数
x
的集合叫做闭区间,表示为[
a
,
b
];
(2)满足不等式
a

x

b
的实数
x
的集合叫做开区间,表示为(
a
,
b
) ;
(3)满足不等式
a

x

b
或者
a

x

b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间, 表示为
[a,b)



(a,b]

( 4)实数集
R
可以用区间表示为(-∞,+∞);满足不等式
x

a

x

a

x

b

x

b

实数
x
的集合可以分别表示为[
a
,+∞
)
,(
a
,+∞),(-∞,
b
]
,(-∞ ,
b
)。

状元笔记教材详解高中数学必修4-高中数学西工大附中学霸手写笔记


高中数学老师常用语-高中数学竞赛第二是怎么那么难呢


高中数学暴力提分-高中数学n方求和


高中数学经典不等式公式-刘畅的高中数学


高中数学课堂改革要点-高中数学选修课有哪些内容


高中数学导数分类讨论题型-北师大版高中数学排列教学设计


高中数学2.1教材答案-高中数学课堂面临问题


高中数学平摆线-高中数学必修一必修四错题集



本文更新与2020-09-14 16:28,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/394473.html

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念的相关文章