如何成为高中数学学霸-90天学好高中数学
数学汇总
第一章 集合与函数概念
教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
教学重点:集合的交集与并集、补集的概念;
教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”;
【知识点】
1. 并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union)
记作:A∪B 读作:“A并B”
即: A∪B={x|x∈A,或x∈B}
Venn图表示:
B
A
A∪B
<
br>说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素
只
看成一个元素)。
说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题:在上图中我们除了研究集合A与B的并集外,它们的公共部分(即问号部分)还应是我们
所关心的,我们称其为集合A与B的交集。
2. 交集
一般地,由属于集合A且属于集合B
的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集(intersection)。
记作:A∩B
读作:“A交B”
即: A∩B={x|∈A,且x∈B}
交集的Venn图表示
?
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合。
拓展:求下列各图中集合A与B的并集与交集
B A B
B
A(B) A A
B A
说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,不能说两个集合没有交集
3. 补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称
这个集合为全
集(Universe),通常记作U。
补集:对于全集U的一个子集A,由全
集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合
A相对于全集U的补集(complement
ary set),简称为集合A的补集,
记作:C
U
A
即:C
U
A={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
U
A
C
U
A
说明:补集的概念必须要有全集的限制
4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算
结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”
与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从
这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合
Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思
想方法。
5. 集合基本运算的一些结论:
A∩B
?
A,A∩B
?
B,A∩A=A,A∩
?
=
?
,A∩B=B∩A
A?
A∪B,B
?
A∪B,A∪A=A,A∪
?
=A,A∪B=B
∪A
(C
U
A)∪A=U,(C
U
A)∩A=
?
若A∩B=A,则A
?
B,反之也成立
若A∪B=B,则A
?
B,反之也成立
若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B
若x∈(A∪B),则x∈A,或x∈B
¤例题精讲:
B
9 x
A
-1
A?B
3 5
【例1】设集合
U?R,A?{x|?1?x?5},B?{x|3?x?9
},求A?B,?
U
(A?B)
.
解:在数轴上表示出集合A、B,如右图所示:
A?B?{x|3?x?5}
,
C
U
(A?B)?{x|?x?或1,x?
,
9
【例2】设
A?{x?Z||x|?6}
,
B?
?
1,2,3
?
,C?
?
3,4,5,6
?
,求:
(1)
A?(B?C)
;
(2)
A??
A
(B?C)
.
解:
?A?
??6,?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5,6
?
.
(1
)又
?B?C?
?
3
?
,∴
A?(B?C)?
?<
br>3
?
;
(2)又
?B?C?
?
1,2,3,4,5,6
?
,
得
C
A
(B
?C)?
?
?6,?5,?4,?3,?2,?1,0
?
. ∴ <
br>A?C
A
(B?C)
?
?
?6,?5,?4,?3,?2,?
1,0
?
.
【例3】已知集合
A?{x|?2?x?4}
,
B?{x|x?m}
,且
A?B?A
,求实数m的取值范围.
解:由
A?B?A
,可得
A?B
.
B A
在数轴上表示集合A与集合B,如右图所示:
-2 4 m
x
由图形可知,
m?4
.
点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集
合之间的关系,得到各端点之间的关系,特别要
注意是否含端点的问题.
*
【例4】
已知全集
U?{x|x?10,
,
A?{2,4,5,8}
,
B?{
1,3,5,8}
,求
C
U
(A?B)
,
C
U(A?B)
,
且x?N}
(C
U
A)?(C
U
B)
,
(C
U
A)?(C
U
B)
,并比较它们的关系.
解:由
A?B?{1,2,3,4,5,8}
,则
C
U
(A?B)
?{6,7,9}
.
由
A?B?{5,8}
,则
C
U<
br>(A?B)?{1,2,3,4,6,7,9}
由
C
U
A
?{1,3,6,7,9}
,
C
U
B?{2,4,6,7,9}
,
则
(C
U
A)?(C
U
B)?{6,7,9}
,
(C
U
A)?(C
U
B)?{1,2,3,4,6,7,9}
.
由计算结果可以知道,
(C
U
A)?(C
U
B)?C
U
(A?B)
,
(C
U
A)?(C
U
B
)?C
U
(A?B)
.
点评:可用Venn图研究
(C
U
A)?(C
U
B)?C
U
(A?B)
与
(C
U
A)?(C
U
B)?C
U
(A?B)
,在理解的基础记住此
结论,有助于今后迅速解决一些集合问题.
【自主尝试】
1
.设全集
U?
?
x|1?x?10,且x?N
?
,集合
A?
?
3,5,6,8
?
,B?
?
4,5,7,8
?<
br>,求
A?B
,
A?B
,
C
U
(A?B).
2.设全集
U?
?
x|?2?x?5
?
,集合A?
?
x|?1?x?2
?
,B?
?
x|
1?x?3
?
,求
A?B
,
A?B
,
C
U
(A?B)
.
22
3.设全集
U?
?
x|?2?x?6且x?Z
?
,A?x|x?4x?5?0,B?x|x?1
,求
A?B
,
A?B
,
C
U
(A?B)
.
????
【典型例题】
1.已知全集
U?
?
x|x是不大于30的素数
?
,A,B是U的两个子集,且满足
A?(C
U
B)?
?
5,13,23
?
,B?(C
U
A)?
?
11,19,29
?
,
(C
U
A)?(
C
U
B)?
?
3,7
?
,求集合A,B.
22
2.设集合
A?x|x?3x?2?0,B?x|2x?ax?2?0
,若
A
?B?A
,求实数
a
的取值集合.
????
3. 已知
A?
?
x|?2?x?4
?
,B?<
br>?
x|x?a
?
①
若
A?B?
?
,求实数
a
的取值范围;
②
若
A?B?A
,求实数
a
的取值范围;
③
若
A?B?
?
且A?B?A
,求实数
a
的取值范围.
2
4.已知全集
U?2,3,a?2a?3,
若
A?
?
b,2
?
,
C
U
A?
?
5
?
,求实数
a和b
的值.
??
【课堂练习】
1.已知
全集
U?
?
0,1,2,4,6,8,10
?
,A?
?2,4,6
?
,B?
?
1
?
,则
(C
U
A)?B?
( )
A
?
0,1,8,10
?
B
?
1,2,4,6
?
C
?
0,8,10
?
D
?
2
2
.集合
A?
?
1,4,x
?
,B?x,1且A?B?B
,则
满足条件的实数
x
的值为 ( )
??
A 1或0 B
1,0,或2 C 0,2或-2 D 1或2
3.若
A?
?
0,
1,2
?
,B?
?
1,2,3
?
,C?
?
2,3,4
?
则(A?B)?(B?C)
= ( )
A
?
1,2,3
?
B
?
2,3
?
C
?
2,3,4
?
D
?
1,2,4
?
4.设集合
A?
?
x|
?9?x?1
?
,B?
?
x|?3?x?2
?
则A?B?<
br> ( )
A
?
x|?3?x?1
?
B
?
x|1?x?2
?
C
?
x|?9?x?2
?
D
?
x|x?1
?
【达标检测】
一、选择题
1.设集合
M?
?
x|x?2n,n?Z
?
,N?
?
x|x?2n?1,n?N
?
则
M?N
是 ( )
A
?
B M C Z
D
?
0
?
2.下列关系中完全正确的是
( )
A
a?
?
a,b
?
B
?
a,b
?
?
?
a,c
?
?a
C
?
b,a
?
?
?
a,b
?
D
?
b,a
?
?
?
a,c
?
?
?
0
?
3.已知集合
M?
?
?1,1,?2,2
?
,N?
?
y|y?x,x?M
?
,则
M?N是 ( )
A M B
?
1,4
?
C
?
1
?
D
?
4.若集合A,B,C满足
A?B?A,B?C?C
,则A与C之间的关系一定是(
)
A AC B CA C
A?C
D
C?A
5.设全集
U?
?
x|x?4,x?Z
?
,S?
?
?2,1,3
?
,若
C
u
P?S
,则这样的集合P共有( )
A 5个 B 6个 C 7个
D8个
二、填空题
6.满足条件
?
1,2,3
?
?A?
?
1,2,3,4,5
?
的所有集合A的个数是__________. <
br>7.若集合
A?
?
x|x?2
?
,B?
?
x
|x?a
?
,满足
A?B?
?
2
?
则实数
a
=_______.
8.集合
A?
?
0,2,4,6
?
,C
U
A?
?
?1,?3,1,3
?
,C
U
B?
?
?1,0,2
?
,则集合B=_____.
9.
已知
U?
?
1,2,3,4,5
?
,A?
?
1,3
,5
?
,则
C
U
U?
________________.
10.对于集合A,B,定义
A?B?
?
|xx?且AB
?
?
,A⊙B=
(A?B)?(B?A)
,
M?
?
1,2,
3
?
,N4?,
?
5,6,
?
4
,则M⊙N=__
________
,5,6,7,8,9,10
.
三、解答题
11.已知
全集
U?
?
x?N|1?x?6
?
,集合
A?
?<
br>x|x
2
?6x?8?0
?
,
B?
?
3,4
,5,6
?
(1)求
A?B,A?B
,
设集合
(2)写出集合
(C
U
A)?B
的所有子集.
12.已知全集U=R,集合
A?
?
x|x?a
?
,B?
?
x|1?x?2
?
,且
A?(C
U
B)?R
,求实
数
a
的取值范围
22
13.设
集合
A?x|3x?px?5?0,B?x|3x?10x?q?0
,且
A?B??
?
?
求
A?B
.
????
?
1
?
?
3
?
1.1.3集合的基本运算(加强训练)
【典型例题】
2
1.已知集合
A?x|x?15x?50?0,B?
?
x|ax?1?0
?
,若
A?B??
,求
a
的
值.
??
2.已知集合
A?
?
x|2a?x
?a?3
?
,B?x|x??1或x?5
,若
A?B??
,求
a
的取值范围.
22
3.已知集合
A?
x|x?3x?4?0,B?x|2x?ax?2?0
若
A?B?A
,求
a<
br>的取值集合.
??
????
4.有54名学生,其中会
打篮球的有36人,会打排球的人数比会打篮球的多4人,另外这两种球都不会的人数是
都会的人数的四
分之一还少1,问两种球都会打的有多少人.
【课堂练习】
1.设集合
M?
?<
br>x?Z|?3?x?2
?
,N?
?
n?Z|?1?n?3
?<
br>,则
M?N?
( )
A
?
0,1
?
B
?
?1,0,1
?
C
?
0,1,2
?
D
?
?1,0,1,2
?
2.设U为全集,集合
M?U,N?U且N?M
则 (
)
A
C
U
N?C
U
M
B
M?C
U
N
C
C
U
N?C
U
M
D
C
U
M?
?
C
U
N
?
3.已知集合
M?
?
?
x|
x?3
?
x?1
?0
?
?
?
,N?
?
x|x??3
?
,
则集合
?
x|x?1
?
是 ( )
A
N?M
B
N?M
C
C
U
(M?N)
D
C
U
(M?N)
4.设
A?
?
菱形?
,B?
?
矩形
?
,则
A?B?
______
_____.
5.已知全集
U?
?
2,4,a
2
?a?1
?
,A?
?
a?1,2
?
,C
U
A??
7
?
则a?
_______.
【达标检测】
一、选择题
1.满足
?
1,3
?
?A?
?
1,3,5
?
的所有集合A的个数 ( )
A 3
B 4 C 5 D 6
2.已知集合
A?
?
x|?
2?x?3
?
,B?
?
x|x??1或x?4
?
,则
A?B?
( )
A
?
x|x?3或x?4
?
B
?
x|-1
C
?
x|3?x?4
?
D
?
x|-2?x??1
?
3.设集合
S?
?x|x?2?3
?
,T?
?
x|a?x?a?8
?
,S
?T?R
,则
a
的取值范围是( )
A
?3?a??1
B
?3?a??1
C
a??3或a??1
D
a??3或a??1
4.第二十届
奥运会于2008年8月8日在北京举行,
A?
?
参加北京奥运会比赛的运动员
?
B?
?
参加北京奥运会比赛的男运动员
?
C?
?
参加北京奥运会比赛的女运动员
?
,则下列关系正确的是
( )
A
A?B
B
B?C
C
A?B?C
D
B?C?A
5.对于非空集合M和N,定义
M与N的差
M?N?
?
x|x?M且x?N
?
,那么
M-(M-N)总等于 ( )
A N
B M C
M?N
D
M?N
二.填空题
若集合
,
6.设集
合
A?(x,y)|x+2y=7,B?
?
(x,y)|x?y??1
?,则
A?B?
_______.
2?
7.设
U?x|x是不大
于10的正整数,A?x|x?20,x?N
,则
C
U
A?
____
.
??
??
??
8.全集U=R,集合
X?
?
x
|x?0
?
,T?
?
y|y?1
?
,则
C
U
T与C
U
X
的包含关系是__.
9.设全集
U?x|x
是三角形,A?
?
x|x是锐角三角形
?
,
B?x|x是钝角三角形
,则
C()=
____
U
A?B
__________.
10.已知集合
M?y|y=-2x+1,x?RN?
?
y|y?x?2,x
?R
?
,则
M?N
=___.
三.解答题
222211.已知
A?x|x?ax?a?19?0,B?x|x?5x?6?0
,
C?x|x?2x?8?0
??
??
??
??????<
br>①.若
A?B?A?B
,求
a
的值.
②.若
A?C?C
,求
a
的值.
12.
设U=R,M={
x|x?1
},N={
x|0?
x?5
},求
C
U
M?C
U
N
.
2
13.设集合
A?
?
x|(x?2)(x?m)?0,
m?R
?
,B?x|x?5x?6?0
,求
A?B
,
A?B
.
??
1.1.3集合的基本运算
【自主尝试】
1.
A?B?
?
3,4,5,6,7,8
?
,A?B?
?
5,8
?
,C
U
(A?B)??
1,2,9,10
?
2.
A?B?
?
x
|?1?x?3
?
,A?B?
?
x|1?x?2
?
,CU
(A?B)?x|?2?x?1或2?x?5
3.
A?B?
?
?1,1,5
?
,A?B?
?
?1
?
,CU
(A?B)?
?
0,2,3,4
?
【典型例题】
由Venn图可得
A?
?
2,5,13,17,23
?
,<
br>B?
?
2,11,17,19,29
?
??
提示:
A?
?
1,2
?
,∵
A?B?A
∴
B?A
?4?a?4
3.①
a??2
; ②
a?4
; ③
?2?a?4
a
2
?2a?3?5
,
a??4
或
a?2
,
b?3
【课堂练习】 1-4:ACAA
【达标检测】
选择题 1-5:ACACD
填空题
6. 8 7. 2 8.
A?
?
?3,1,3,4,6
?
9.
?
10.
?
1,2,3,7,8,9,10
?
三.解答题∵ 11.(1)∵
A?
?
2,4
?
,B?
?
3,
4,5,6
?
∴
A?B?
?
2,3,4,5,6
?,A?B?
?
4
?
(2) ∵
U?
?<
br>1,2,3,4,5,6
?
,A?
?
2,4
?
∴
C
U
A?
?
1,3,5,6
?
,
?
C
U
A
?
?B?
?
3,5,6
?
∴
?
C
U
A
?
?B
的所有子集是:
?
,
?
3
?
,
?
5
?
,
?
6
?
,
?
3,5
??
3,6
?
,
?
5,6
?
,
?
3,5,6
?
12.①当
a?1
时,
A?
?
C
U
B
?<
br>?x|x?1或x?2?R
,∴
a?1
不合题意;
②当
1?
a?2
时,
A?
?
C
U
B
?
?x|x?a
或x?2?R
,∴
1?a?2
不合题意;
③当
a?2
时,
A?
?
C
U
B
?
?
?
x|x?R
?
?R
符合题意
所以实数
a
取值范围是
a?2
13. ∵
A?B
?
?
?
?
,∴
?
??
??
?
1<
br>?
?
3
?
1
22
是方程
3x?px?5?0
和
3x?10x?q?0
的解,
3
代入可得
p??14
,q?3
,∴
A?x|3x
2
?14x?5?0?
?
?,5
?
??
?
1
?
?
3
?
?
1
?
?
1
?
B?
?
x|3x
2
?10x?3?0
?
?
?
?,?3
?
,
A
?B?
?
?,?3,5
?
?
3
?
?3
?
1.1.3集合的基本运算(加强训练)
【课堂探究】
1.
A?
?
5,10
?
若
B?
?
,
a?0
,
A?B??
不合题意
111
?
1
?
1
B?
?
,
B?
??
,
?5,a?或
?10,a?
5a10
?
a
?
a
2. ①若
A?
?
,
a?3?2a,a?3
?<
br>a?3?2a
1
?
②若
A?
?
,
?
2a??1,??a?2
2
?
a?3?5
?
综上:
a?3
或
?
1
?a?2
2
3. 提示:
A?
?
?1,4
?
,因为
A?B?A
所以
B?A
,
?4?x?4
4. 设54名同学组成的集合为U,会打篮球的同学
组成的集合为A,会打排球的同学组成的集合为B,这两种球都会打
的同学的集合为X,设X中元素个数
为
x
,,由
Venn
图得:
?
36?x
?
?
?
40?x
?
?x?
?
?
1
?
x?1
?
?54
,解得
x?28
,所以两种球都会打的有28人。
?
4
?
【课堂练习】 1-3:BDD 4.
正方形
,5.
a?3
【达标检测】
一、选择题
1-5:BDADC
二.填空题
6.
?
?
,
?
?
7.
?
5,6,7,8,9,10
?
8.
C
U
X
三.解答题
??
?
?
58
?
?
?
?
33
?
?
C
U
T 9.
?
直角三角形
?
10. R
?
a?5
11. (1)因为
A?B=A?B
所以A=B=?
2,3
?
所以
?
2
得
a?5
?
a?19?6
?
a??2
(2)因为
A?C?C
,所
以
C?A
,又因为
C?
?
2,4
?
,
?
2
无解,所以不存在实数
a
使
A?C?C
。
a?19??8
?
12.
C
U
M?
?
x
|x?1
?
,C
U
N?x|x?0或x?5
,
C
U
M?C
U
N?x|x?0或x?1
13.
B?
?
?1,6
?
当
m?2
时
A?
?
2
?
,
A?B?
?
?1,2,6
?
,
A?B?
?
当
m??1
时,
A?<
br>?
?1,2
?
,
A?B?
?
?1,2,6
?
,
A?B?
?
?1
?
????
当
m?6
时,
A?
?
2,6
?
,
A?B?
?
?1,2,
6
?
,
A?B?
?
6
?
;
当
m
?2,m??1,m?6
时,
A?
?
2,m
?
,
A
?B?
?
?1,2,6,m
?
,
A?B?
?
2018年 新高中数学课本-高中数学导数的应用视频
高中数学零点问题解题技巧-微课在高中数学案例分析
太原高中数学一对一多少钱-梦见和高中数学老师吵架
高中数学教师个人履职总结-高中数学说课课视频
高中数学古典概型大题-高中数学苹果公式
高中数学直三棱柱-周老师高中数学解题技巧
高中数学立体几何课本-高中数学的作业
小学生会高中数学-全国高中数学全国联赛一等奖
-
上一篇:高一数学必修一函数及其表示-函数的概念
下一篇:高中数学必修一函数知识点总结