高中数学老师的自我介绍方式-高中数学教育教学突出问题
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高一数学常用公式及结论
必修1
:
一、集合1、含义与表示:(1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性
(2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法
2、集合间的关系:子集:对任意
x?A
,都有
x?B
,则称A是B的子集。记作
A?B
真子集:若A是B的子集,且在B中至少存在一个元素不属于A,则A是B的真子集,
记作A
?
B
集合相等:若:
A?B,B?A
,则
A?B
?
3.
元素与集合的关系:属于
?
不属于:
?
空集:
?
4、集合的运算:并集:由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集,记为
AB
交集:由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集,记为
AB
补集:在全集U中,由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集,
记为
C
U
A
5.集合
{a
1
,
a
2
,,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个;真子集有
2
n
–1个;非空子集有
2
n
–1个;
*
6.常用数集:自然数集:N 正整数集:
N
整数集:Z
有理数集:Q 实数集:R
二、函数的奇偶性
1、定义: 奇函数 <=> f
(– x ) = – f ( x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x
)(注意定义域)
2、性质:(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;
(3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
二、函数的单调性
1、定义:对于定义域为D的函数f ( x ),若任意的x
1
,
x
2
∈D,且x
1
< x
2
① f (
x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=>
f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f (
x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y =
ax
2
+bx + c(
a?0
)的性质
?
b4ac?
b
2
?
4ac?b
2
b
1、顶点坐标公式:
??
?
2a
,
4a
?
?
,
对称轴:
x??
2a
,最大(小)值:
4a
??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f(
x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则:
(1)a
m
? a
n
= a
m + n
,(2)
a?a?a
n
mnm?n
22
,(3)( a
m
)
n
= a
m n
(4)( ab )
n
= a
n
? b
n
n
?1
1
a
n
?
a
?
m
n
?n<
br>0
m
(5)
??
?
n
(6)a = 1 (
a≠0)(7)
a?
n
(8)
a?a
(9)
a
m
?
m
n
b
a
b
??
a
n
2、根式的性质
n
(1)
(
n
a)?a
.
(2)当
n
为奇数时,
a
n
?a
; 当
n
为偶数时,
a
n
?|a|?
?
n
n
?<
br>a,a?0
.
?
?a,a?0
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4、指数函数y = a
x
(a >
0且a≠1)的性质:
(1)定义域:R ; 值域:( 0 , +∞)
(2)图象过定点(0,1)
Y
Y
a > 1
0 < a < 1
1
1
X
0
X
0
5.指数式与对数式的互化:
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
五、对数与对数函数
1对数的运算法则:
logN
(1)a
b
= N <=> b = log
a
N(2)log
a
1 = 0(3)log
a
a = 1(4)log
a
a
b
= b(5)a
a
= N
(6)log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (7)log
a
(
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
(8)log
a
N
b
= b log
a
N (9)换底公式:log
a
N =
n
log
b
N
log
b
a
(10)推论
log
a
m
b?
(11)log
a
N = <
br>n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,
N?0
).
m
1
(12)常用对数:lg N =
log
10
N (13)自然对数:ln A = log
e
A
(其中 e = 2.71828…)
log
N
a
2、对数函数y =
log
a
x (a > 0且a≠1)的性质:
(1)定义域:( 0 ,
+∞) ; 值域:R (2)图象过定点(1,0)
Y
Y
a >1
0 < a < 1
X
0
1
1
0
六、幂函数y = x
a
的图象:(1) 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
0 < a < 1 a < 0
a > 1
例如: y = x
y?
2
X
x?x
y?
1
2
1
?x
?1
x
七.图
象平移:若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单
位,
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象; 规律:左加右减,上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
p
,则
对于时间
x
的总产值
y
,有
y?N(1?p)
.
九、函数的零点:1.定义:对于
y?f(x)
,把使
f(x)?0
的X叫<
br>y?f(x)
的零点。即
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x
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y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理:如果函
数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一
条
曲线,并有
f(a)?f(b)?0
,那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点,即存在
c?
?
a,b
?
,
使得
f(c)?0
,这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤:(给定精确度
?
)
a?b
2
(3)计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
)?0
,则
x
1
就是零点;②若
f(a)?f(x
1
)?0
,则零点
(1)确定区间
?
a,b
?
,验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,
b
?
的中点
x
1
?
x
0
?
?a,x
1
?
③若
f(x
1
)?f(b)?0
,则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
;
(4)判断是否达到精确度
?
,若
a?b?
?
,
则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。
否
则重复(2)到(4)
必修2:
一、直线与圆
1、斜率的计算公式:k = tanα=
y
2
?y
1
(α ≠
90°,x
1
≠x
2
)
x
2
?x
1
2、直线的方程(1)斜截式 y = k x +
b,k存在 ;(2)点斜式 y – y
0
= k ( x – x
0
) ,k存在;
(3)两点式
y?y
1
x?x1
xy
?
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
) ;4)截距式
??1
(
a?0,b?0
)
y
2
?y
1
x
2
?x
1
ab
(5)一般式
Ax?By?c?0
(A,B不同时为0)
3、两条直线的位置关系:
l
1
:y = k
1
x + b
1
l
2
:y = k
2
x + b
2
重合
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
= b
2
k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2
k
1
k
2
= – 1
l
1
: A
1
x +
B
1
y + C
1
= 0
l
2
:
A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1
??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
4、两点间距离公式:设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
),则
| P
1
P
2
| =
5、点P ( x
0
, y
0
)到直线l
:A
x + B y + C
= 0的距离:
d?
7、圆的方程
标准方程
圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2
(x –
a )
2
+ ( y – b )
2
= r
2
x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0
圆心
(0,0)
(a,b)
?
x
1
?x2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?<
br>2
2
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
半径
r
r
一般方程
?
DE
?
?
?,?
?
?
22<
br>?
1
D
2
?E
2
?4F
2
8.点与圆的位置关系
22
点
P(x
0
,y<
br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种若
d
?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,则
d?r?
点
P
在
222
圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
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222
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d?r?相离???0
;
d?r?
相切???0
;
d?r?相交???0
.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,
r
2
,
O
1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
.
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上,则切线只有一条,
其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
?
?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦方程.
22<
br>②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)<
br>,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不
x
0
x?y
0
y?
要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆
x?y?r
.
2
①过圆上的
P
0<
br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切
线方程为
y?kx?r1?k
2
二、立体几何
(一)、线线平行判定定理:1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直
线平行。3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那
么这条直线和交线
平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(二)、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
(三)、面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
(四)、线线垂直判定定理:
若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
(五)、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
(六)、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
(七).证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.
(八).证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.
(九).证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.
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(十).证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)利用三垂线定理或逆定理;
(十一).证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(十二).证明平面与平面的垂直的思考途径
P
(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.
三、空间几何体
(一)、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为a,则有
A C
O
D
B
正三角形
B
图形
A
O
D
外接圆半径 内切圆半径 面积
OA?
3
a
3
OD?
3
a
6
S?
3
2
a
4
2、正三棱锥的辅助线作法一般是:
作PO⊥底面ABC于O,则O为△ABC的中心,PO为棱锥的高,
取AB的中点D,连结PD、CD,则PD为三棱锥的斜高,CD为△ABC的AB边上的高,
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90°
(二)、正四棱锥的性质
1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为a,则有
P
图形 外接圆半径 内切圆半径 面积
正方形
O
A
B
OB =
2
a
2
OA =
a
2
S = a
2
C
O
B
E
D
A
2、正四棱锥的辅助线作法一般是:
作PO⊥底面ABCD于O,则O为正方形ABCD的中
心,PO为棱锥的高,取AB的中点E,连结PE、OE、OA,
则PE为四棱锥的斜高,点O在AC上
。∴△POE和△POA都是直角三角形,且∠POE =∠POA = 90°
(三)、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地,若正方体的棱长为a ,则这个正方体的一条对角线长为
3
a 。
(四)、正方体与球
1、设正方体的棱长为a,它的外接球半径为R
1
,它
的内切球半径为R
2
,则
3a?2R
1
,
a?2R
2
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D
1
O
C
1
B
1
A
1
D
A
C
B
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(五)几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱:
表面积:2π
R
2
+2πRh 体积:πR?h
2、圆锥:
表面积:πR?+πRL 体积: πR?h3 (L为母线长)
3、圆台:表面积:
?
r?
?
R?
?
(r?R)l
体积:V=πh(R?+Rr+r?)3
4、球:S
球面
= 4πR
2
V
球
=
22
4
πR
3
(其中R为球的半径)
3
5、正方体: a-边长, S=6a? ,V=a?
6、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc
7、棱柱:全面积=侧面积+2X底面积 V=Sh
8、棱锥:全面积=侧面积+底面积 V=Sh3
9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积
V?
1
(s
1
?s
1
?s
2
?s)
2
h
3
四、三视图 1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
把在一
束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投
影和正投影两种。
2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的
正视图(也叫主视图);光线从几何
体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视
图;光线从几何体的左面向右面正投影,得到投
影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修4
一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
增区间[-
单调性
R
[-1,1]
2π
奇函数
R
[-1,1]
2π
偶函数
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z
)
增区间
(-
{x| x≠
?
+kπ,k∈Z}
2
R
π
奇函数
??
+2kπ,+2kπ]
22
?
3
?
减区间[+2kπ, +2kπ]
2
2
??
+kπ,+kπ)
22
( k∈Z )
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