高中数学 指数函数 教案-高中数学教学实践案例百度文库
第一章 集合
一、集合有关概念
1.集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性.如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性.如:由
HAP
PY
的字母组成的集合
?
H,A,P,Y
?
(3) 元素
的无序性.如:
?
a,b,c
?
和
?
a,c,b
?
是表示同一个集合
2.常用数集的表示:
非负整数集(自然数集):
N
;正整数集
N或N
?
;整数集:
Z
;有理数集:
Q
实数集:
R
3.集合的分类:
(1) 有限集:含有有限个元素的集合
(2) 无限集:含有无限个元素的集合
(3)
空集:不含任何元素的集合,记作:
?
.例:
x|x??5
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系——子集
注意:
A?B
有两种可能:①
A
是
B
的一部分;②
A
与
B
是同一集合.
反之: 集合
A
不包含于集合
B
,或集合
B
不包含集合
A
,记作
AB
或
BA
2.“相等”关系:
A?B
(
A?B
且
B?A
)
?
?
2
?
1,?1
?
“元素相同则两集合相等”
实例:设
A?x|x?1?0
,
B?
?
3.集合的性质:
① 任何一个集合是它本身的子集即
A?A
.
②真子集:如果
A?
B
,且
A?B
那就说集合
A
是集合
B
的真子集,记
作
AB
或(
BA
)
③如果
A?B
,
B?C
,那么
A?C
.
④如果
A?B
同时
B?A
那么
A?B
.
4.子集个数问题
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
2
??
有
n
个元素的集合,含有
2
个子集,
2?1
个真子集.
三、集合的运算
运算交 集
类型
定
A?B
=
义
并 集 补 集
nn
A?B
=
C
S
A
=
?
x|x?A且x?B
?
?
x|x?A或x?B
?
?
x|x?S且x?A
?
韦
S
恩
A
图
示
四、典型例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合
?
a,b,c
?
的真子集共有 个
3.若集合
M?y|y?x?2x?1,x?R
,
N?
?
x|x?0
?
,则
M
与
N
的关系是 .
2
??
4.设集合
A?
?
x|1?x?2
?
,A?
?
x|x?a
?
,若
A?B
,则
a
的取值范围是 .
5.已知集合
A?x|x?2x?8?0
,
B?x|x?5x?6?0
,
C?x|x?mx?m?19?0
,若
B?
C?
?
,
?
2
??
2
??
22
?
A?C?
?
,求
m
的值.
第二章 函数
一、函数的相关概念
1.函数的对应形式:一对一、多对一.
2.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域.
常见定义域类型:①分母
?0
; ②偶次方根的被开方数
?0
;对数
式的真数
N?0
;④指
数、对数式的底
a?0且a?1
;⑤
x中x?0
.
相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致 (两点必须同时具备)
3.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
4. 函数图象变换规律:
①平移变换:左加右减、上加下减
;
②翻折变换:
f(x)
去左留右、右翻左
f(x)
f(x)
去下留上、下翻上
f(x)
二、函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
I.增函数:
?x
1
,x
2
?D且x
1
?x
2
,都有
f(x
1
)?
f(x
2
)
减函数:
?x
1
,x
2
?D且x
1
?x
2
,都有
f(x
1
)?f
(x
2
)
II.图象的特点
增函数:图象从左到右是上升的;
减函数:图象从左到右是下降的.
III.函数单调区间与单调性的判定方法
(证明步骤:取值、作差、变形、定号、下结论)
A
.定义法:
B
.图象法:从图象上看升降
“同增异减”
C
.复合函数的单调性规律:
2.函数的奇偶性(整体性质)
I.用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○
2确定
f(x)
与f(?x)
的关系;
○
3作
出相应结论:若为奇函数,则有
f(?x)??f(x)或f(x)?f(?x)?0
;
○
若为偶函数,则有
f(?x)?f(x)或f(x)?f(?x)?0
II.函数图象的特征
奇函数:图象关于原点对称;
偶函数:图象关于y轴对称.
3.函数解析式
主要方法有:①凑配法;②待定系数法;③换元法;④消参法.
三、典型习题:
1
.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4
,则
f
(x)
= .
2.设函数
f(x)
的定义域为<
br>[0,1]
,则函数
f(x
2
)
的定义域为_ _
;
若函数
f(x?1)
的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是 .
3.设
f(x)
是R上
的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)<
br>,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=
;
0
f(x)
在R上的解析式为
.
?
x?2(x??1)
4.函数
f(x)?
?<
br>x
2
(?1?x?2)
,若
f(x)?3
,则
x
=
?
?
2x(x?2)
?
5.求下列函数的定义域:
⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2
x?1
x?3?3
6.求下列函数的值域:
(1)
y?x
2
?2x?3
(2)
y??x
2
?4x?5
7.已知函数
f
(x?1)?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
f(2x?1
)
的解析式.
8.求下列函数的单调区间:
⑴
y??x
2
?2x?3
(2)
y?x
2
?6x?1
2
1?x
9.设函数
f(x)?
判断它的奇偶性并且求证:
f(
1
)??f(x)
.
2
1?x
x
第三章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
*
1.根式的概念:一般地,如
果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n
>1,且
n
∈
N
.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
.
?
a(a?0)
n
n
(n为奇数)(n为偶数)
a?a
;
a?|a|?
?
?
?a(a?0)
nn
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1),
a
?
m
n
?
1
a
m
n?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1
)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.实数指数幂的运算性质
①·;②;③
(二)指数函数及其性质
1.指数函数:形如
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数.
2.指数函数的图象和性质
a?1
0?a?1
定义域 :
R
定义域
:
R
值域:
?
0,??
?
值域:
?
0,??
?
在
R
上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
二、对数函数
(一)对数
在
R
上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
x
1
.对数的概念:一般地,如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以
.
a
为底
..
N
的对数,
记作:
x?log
a
N
(
a
—
底数,
N
— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
x
2
a?N?log
a
N?x
;
○
3
注意对数的书写格式.
○
a
两个重要对数:
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
指数式与对数式的互化
幂值
真数
logN
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
2.对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(M
·
N)?<
br>log
a
M
+
log
a
N
; ○
M
?
log
a
M
-
log
a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
2
log
a
○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
1
n
(2)
log
a
b?
.
log
a
b
;
log
b
a
m
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1.对数函数:形如
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,其中
x?R
.
注意:
y?2log
2x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2.对数函数的图象和性质:
a?1
定义域:
?
0,??
?
值域:
R
在
R
上递增
函数图象都过定点
(1,0)
(三)幂函数
0?a?1
定义域:
?
0,??
?
值域:
R
在
R
上递减
函数图象都过
定点(1,0)
1.幂函数:形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2.幂函数性质归纳
I.所有的幂函数图象都不经过第四象限,但都过点(1,1);
II.
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数;
特别地:①当
?
?1
时,幂函数的图象下凸,概括为“高高昂起”
?
②当
0?
?
?1
时,幂函数的图象上凸,概括为“匍匐前进”;
I
II.
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.
四、典型习题
1.已知
a?0且a?1
,函数
y?a
x
与y?log
a
(?x)
的图象只能( )
2.计算:
①
4?log
2
3
log
3
2
=
;
25
3
log
5
27?2log
5
2
=
;
?
②
2
log
27
64
1
3
1
7
?
4
?(?)
0
?[(?2)<
br>3
]
3
?16
?0.75
?0.01
2
=
8
1
③
0.064
?
3.函数
f(x)?a
x
函数
2
?5x?6
?2(a?0且a?1)
过定点
;
恒过定点 ;
函数
f(x)?log
a
(x
2
?2x?2)?5(a?0且a?1)
过定点
.
4.函数
y?log
1
(2x
2
?3x?1)
的递减区间为 .
2
5.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍
,则
a?
.
6.已知
f(x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
,求:
1?x
(1)
f(x)
的定义域;(2)判断
f(x)
的奇偶性;(3)求使
f(x)?0
的
x
的取值范围.
7. 画出下列函数图象
(1)
8.已知函数
9.
求函数
f(x)?ln(?x
2
?4x?3)
的值域.
(2)
,讨论的单调性