常见高中数学思想 知乎-高中数学必修2课时分层作业答案
必修1知识点
第一章、集合与函数概念
§
1、集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、常见集合:正整数集合:
N
*
或
N
?
;
整数集合:
Z
;
3、 有理数集合:
Q
;
实数集合:
R
.
4、集合的表示方法:列举法、描述法.
§
1
、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集
合B中的元素,则称集合A是集合B
的子集。记作A?B.
2、如果集合A?B,但存在元素
x?B
,且
x?A
,则称集合A是集合
B的真子集.记作:AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:
?
.
并规定:空集合是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有
2
n
个子集.
§
1、 一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合
A与B的并集.记作:
A?B
.
2、 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为<
br>A与B的交集.记作:
A?B
.
3、全集、补集:
C
U
A?{x|x?U,且x?U}
§
1、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.
2、如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个
函数相等.
§
解析法、图象法、列表法.
求解析式的方法:
1.换元法 2.配凑法 3.待定系数法
4.方程组法
§
注意函数单调性证明的一般格式:解:设
x
1
,
x
2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x<
br>2
,则:
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
五个步骤:取值,作差,化简,定号,小结
§ <
br>1、一般地,如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个x
,都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
,那么就称函数
f
?
x
?
为偶函数.偶函数图象关于<
br>y
轴
对称.
2、一般地,如果对于函数
f
?
x?
的定义域内任意一个
x
,都有
f
?
?x
?<
br>??f
?
x
?
,那么就称函数
f
?
x
?
为奇函数.奇函数图象关于原
点对称.
第二章、基本初等函数
§ <
br>1、一般地,如果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
n?1,n?N
?
.
2、当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;当
n
为偶数时,
n
a
n
?a
.
n
3、⑴
a
m
?
m
a
n
?
a?0,m,n?N
*
,m?1
?
; ⑵
a?n
?
1
a
n
?
n?0
?
;
4、运算性质:
⑴
a
r
a
s
?a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?
; ⑵
?
a
r
?
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
;
⑶
?
ab
?
r
?a
r
b
r
?<
br>a?0,b?0,r?Q
?
.
§
1、
记住图象:
y?a
x
?
a?0,a?1
?
§
1.
a
x
?N?log
a
N?x
2.
a
log
a
N
?a
3.
log
a
1?0
,
log
a
a?1
4.当
a?0,a?1,M?0,N?0
时:
(1)
log
?
M
?
a
?
MN
?
?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
?
?
N
?
?
?log
a
M?log
a
N
;<
br>(3)
log
n
a
M?nlog
a
M
5.换底公式:
log
log
c
b
a
b?
log
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
c
a
log
a
b?
1
log
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
b
a
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象:
y?lo
g
a
x
?
a?0,a?1
?
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象:
y?x
a
2、幂函数单调性:
a?0
时,在区间
(0,??)
上为增函数;
a?0
时,在区间
(0,??)
上为减函数;
3、比较多个值的大小时,常借助于-1,1,0作为中间值.?
第三章、函数的应用
§
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
?
函数
y?f
?
x
?
的图象与x
轴有交点
?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 性
质:如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条
曲线,并且有
f
?
a
?<
br>?f
?
b
?
?0
,那么,函数
y?f
?x
?
在区间
?
a,b
?
内
有零点,即存在c?
?
a,b
?
,使得
f
?
c
??0
,这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?
0
的根.
§
§
§
1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检
验.
必修2知识点
第一部分 立体几何
1.三视图与直观图:⑴画三视图要求:正
视图与俯视图长对正;正视
图与侧视图高平齐;侧视图与俯视图宽相等。
⑵斜二测画法画水平放
置几何体的直观图的要领。
棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四
边形,并且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。(侧棱
相等,侧面是平行四边形)
棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这
些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部
分,这样的多面体叫做棱台。(侧棱延长线交于一点)
2.表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S
侧
+2S
底
;②侧面积:圆柱S
侧<
br>=
2
?
rh
;
③体积:V=S
底
h <
br>⑵锥体:①表面积:S=S
侧
+S
底
;②侧面积:圆锥S
侧<
br>=
?
rl
;
③体积:V=
1
3
S
底
h:
⑶台体:①表面积:
S=S
侧
+
S
:圆台S
侧
=
?
(r?r<
br>'
上底
?
S
下底
②侧面积
)l
③
体积:V=
1
3
(S+
SS
'
?S
'
)h
;
⑷球体:①表面积:S=
4
?
R
2
;②体积:V=4
3
?
R
3
.
3.线线位置关系:
?<
br>?
?
共面直线
?
?
平行
异面直线
?相交
?
?
不同在任何一个平面内的两直线称为异面直线。
线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相
交。
面面位置关系:平行、相交。
4.四个公理:
①如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面
内。
②过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
③如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过
该点的公共直线。
④平行于同一直线的两条直线平行。
5.等角定理:
空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补。
6.直线与平面平行:
判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平
面平行。
性质
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行。
7.平面与平面平行:
判定
若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个
平面平行。
性质
①如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个
平面平行。
②如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平
行。
8.直线与平面垂直:
判定
一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与
这个平面垂直。
性质
①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个
平面垂直。
9.平面与平面垂直:
判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。
10.三角形四“心”
(1)
O
为
?ABC
的外心(各边垂直平分线的交点).
(2)
O
为
?ABC
的重心(各边中线的交点).
(3)
O
为
?ABC
的垂心(各边高的交点).
(4)
O
为
?ABC
的内心(各内角平分线的交点).
11.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;
③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;
②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;
②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义:两平面所成二面角为直角;②面面垂
直的判定定理。
12.角:(步骤--Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法:
平移法:平移直线,构造三角形;
⑵直线与平面所成的角:
直接法(利用线面角定义)
(3)平面与平面所成二面角:
在半平面分别作垂直于棱的射线
13.距离:(步骤--
Ⅰ.找或作垂线段;Ⅱ.求距离)点到平面的距
离:等体积法
14.一些结论
(1
)长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则长方体对
角线长为
a
2?b
2
?c
2
,全面积为
2ab?2ac?2bc
,体
积
V?abc
。
(2)正方体的棱长为a,则正方体对角线长为
3a
,全面积为
6a
2
,
体积V=
a
3
。
(3)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长.
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(4)正四面体的性质:设棱长为
a
,则正四面体的:
?高:
h<
br>?
6
3
a
;②对棱间距离:
2
2
a
;③内切球半径:
6
12
a
;
④外接球半径:
6
4
a
。
第二部分 直线与圆 1.斜率公式:
k?
y
1
?y
2
xx
?
y
2
?y
1
,其中
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2<
br>)
.
1
?
2
x
2
?x
1
斜率与倾斜角的关系:(1)斜率存在:
k?
tan
?
;
(2)斜率不存在,
?
?
90
0
2.直线方程的五种形式:
(1)点斜式:
y?y
0
?k(x?x
0
)
(直
线
l
过点
(x
0
,y
0
)
,且斜率为k
).
(2)斜截式:
y?kx?b
(
b
为直线
l
在
y
轴上的截距).
(3)两点式
:
y?y
1
x?
y?y
?
x
1
?x
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P<
br>2
(x
2
,y
2
)
x
1
?x
2
,
21
x
21
y
1
?y
2
).
(4)截距式:
x
a
?
y
b
?1<
br>(其中
a
、
b
分别为直线在
x
轴、
y
轴上的截
距,且
a?0,b?0
).
(5)一般式:
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系:
(1)若
l
1
:y?k
1x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
,斜率存在的情况,则:
①
l
1
∥
l
2
?k
1
?k
2
,且
b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?
.
k1
k
2
??1
(2)若
l
1
:A<
br>1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2<
br>:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,则:
①
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且
B
1
C
2<
br>?B
2
C
1
?0,A
1
C
2
?A<
br>2
C
1
?0
;
②
l
1
?l
2
?
A
1
A
2
?B<
br>1
B
2
?0
(3)与直线
Ax?By?C?0平行的直线方程可设为
Ax?By?m?0(m?C)
与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线方程可设为
Bx?Ay?m?0
4.距离公式:
(1)点
A
1
(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
之间的距离:
AB?(x
1
?x
2
2
)?(y
1
?y<
br>2
2
)
(2)点P(x
|
0,
y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离:
d?
|Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
(3)两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0
的距离
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2
(两直线A,B相同)
5.圆的方程:
⑴标准方程:
(x?
a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,圆心是
(a,b)
,半径是
r
⑵一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F?0)
注:Ax
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示圆
?
A=C≠0且B=
0且D
2
+E
2
-4AF>0
6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。
7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(
d
表示点到圆心的距离)
①
d?r?
点在圆上; ②
d?r?
点在圆内;
③
d?r?
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(
d
表示圆心到直线的距离)
①
d?r?
相切; ②
d?r?
相交;
③
d?r?
相离。
⑶圆与圆的位置关系:(
d
表示圆心距
,
r
1
,r
2
表示两圆半径)
①
d?r
1
?r
2
?
外离;
②
d?r
1
?r
2
?
外切;
③
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相交;
④
d?r
1
?r
2
?
内切;
⑤
0?d?r
1
?r
2
?
内含。
8.空
间中两点间距离公式:
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
2
?y
1
?
?
?
z
2
?z
1
?2
9.过两条相交直线
l
1
:A
1
x?B<
br>1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2x?B
2
y?C
2
?0
交点的直
线方程看,可设为A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A2
x?B
2
y?C
2
)?0
(不含直线
l2
)
10.弦长公式:
l?2r
2
?d
2
两圆公共弦直线方程:两圆方程相减,注意两圆二次项系数相同