高中数学必修1、3、4、5知识点归纳与公式大全

必修 1 数学知识点


第一章、集合与函数概念



§ 1.1.1 、集合
1、 把研究的对象统称为

元素，把一些元素组成的总体叫做

集合 。集合三要素： 确定性、互异性、无序性


。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等 。


*
、 常见集合： 正整数集合 ：
N
或

N

，整数集合 ：

Z

，有理数集合 ：
Q
，实数集合 ：

R

.

3










4

、集合的表示方法：

列举法、描述法 .

§ 1.1.2 、集合间的基本关系


1、 一般地，对于两个集合

















A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合


B 中的元素，则称集合


A是集合 B的






子集

。记作
A


B
.

2、 如果集合
A

B
，但存在元素
x B
，且
x

空集 .记作：

A
，则称集合

A

是集合

B

的真子集

.

记作：

A

B.

.并规定：空集合是任何集合的子集.















3

、 把不含任何元素的集合叫做

4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有
2
n
个子集 .

§ 1.1.3 、集合间的基本运算


1、 一般地，由所有属于集合

2、 一般地，由属于集合


A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合

A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为

A与 B的并集 .记作：
A

B
.

A与 B的交集.记作：
A

B
.









，在集合

x





3、全集、补集 ？
C
U

A { x | x

§ 1.2.1 、函数的概念


U , 且 x U }









、 设 、

是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系

1

A B



f
，使对于集合


中的任意一个数

中都


A


B


f x , x


有惟一确定的数


f x

和它对应，那么就称
f

: A

B
为集合

A到集合

B

的一个 函数 ，记作：
y

2

、 一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系、值域

. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，



A
.


则称 这两个函数相等 .

















§ 1.2.2 、函数的表示法



1、 函数的三种表示方法：

解析法、图象法、列表法




.

§ 1.3.1 、单调性与最大（小）值

1、 注意函数单调性证明的一般格式：

解：设
x
1
, x
2


a, b
且
x
1
x
2

，则：
f x
1

f x
2

=,

§ 1.3.2 、奇偶性

1 、 一般地，如果对于函数








f x
的定义域内任意一个
x
，都有
f x

f x
，那么就称函数
f x
为偶函数

.

偶函数图象关于

y
轴对称

.

2、 一般地，如果对于函数

奇函数图象关于原点对称

f x
的定义域内任意一个

.

x
，都有
f x

f x
，那么就称函数
f x
为奇函数

.

第二章、基本初等函数（Ⅰ）

§ 2.1.1 、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果





x
n
a
，那么

x

叫做

a

的

n

次方根。其中

n 1, n N
.

2、 当
n
为奇数时，

n
a

n

a
；

当
n
为偶数时，

n

a

n


a
.

3、 我们规定：


- 1 -

n

⑴
a
m


m
a
n

a 0, m, n

N
*
, m 1
；

⑵
a
n


1

n

0
；


a
n


4、 运算性质：


⑴
a
r
a
s

a
r

s
a

0,r , s Q
；

⑵
a
r
s


a
rs
a

0, r , s Q
；

⑶
ab
r

a
r
b
r

a

0,b 0, r Q
.
§ 2.1.2 、指数函数及其性质

1、 记住图象：
y



a
x

a 0, a 1














§ 2.2.1 、对数与对数运算


1、
a

x

N

log
a
N

x
；

2
、

a
log
a
N
a
.


3、
log

a

1

0
，
log
a
a

1
.

4、当
a

0,a

1, M

0, N

0
时：

⑴
log
a

MN

log
a
M

log
a
N
；

⑵
log
a

M

log
a
M

log
a
N
；


N


⑶
log
a

M
n

n log
a
M
.


5、换底公式：
log

a

b

log
c
b


log
c
a

0, a

1, c

0, c

1, b


a

0 .




6、
log

a

b
1


log

b
a



a 0, a 1, b 0, b 1 .

§ 2..2.2、对数函数及其性质





- 2 -

1、 记住图象：

y log
a
x a 0, a

1















§

2.3、幂函数


1、几种幂函数的图象：






























第三章、函数的应用


§ 3.1.1 、方程的根与函数的零点


1、方程


f x


0
有实根





函数

y


f x
的图象与
x
轴有交点



函数

y f x
有零点

.



2 、 性质：如果函数


y f x
在区间
a, b

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f a f b

函数
y f x
在区间
a, b
内有零点，即存在
c a, b
，使得
f c 0
，这个
c
也就是方程



§

3.1.2 、用二分法求方程的近似解


1、掌握二分法

.

§

3.2.1 、几类不同增长的函数模型
§

3.2.2 、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验

.


必修 3 数学知识点


第一章：算法



1、算法三种语言：

自然语言、流程图、程序语言；



2、算法的三种基本结构：


顺序结构、选择结构、循环结构


3、流程图中的图框：

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；


- 3 -

0
，那么，

f x

0
的根

.

4、循环结构中常见的两种结构：


当型循环结构、直到型循环结构

5

、基本算法语句：

①赋值语句： “ =”（有时也用“←” ）


②输入输出语句： “ INPUT ” “ PRINT ”


③条件语句：


If

,

Then

,



Else ,

End

If

④循环语句：

“ Do”语句


Do



,


Until

,


End




“ While ”语句


While

,


,


WEnd

⑹算法案例：辗转相除法—同余思想



第二章：统计


1、抽样方法：


①简单随机抽样（总体个数较少）


②系统抽样（总体个数较多）


③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在

N 个个体的总体中抽取出

n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为

2

、总体分布的估计：


⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实



②频率分布直方图——分布直观


③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势


注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为

1。


⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。



②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数： x

x
1

x
2
x
3
x

n
；



取值为
x
1
, x
2
,

, x
n

n
的频率分别为

p
1
, p
2
,

, p
n
，则其平均数为

x
1
p
1
x
2
p

2
x
n
p
n

；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。


⑵方差与标准差：一组样本数据

x
1
, x
2
,

, x
n


2
1
n
2

方差： s



(x


n
i

x) ；




i 1




- 4 -

n
。
N

n
2
标准差：
s

1


n
(x
i

x)


i 1

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。



平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程



①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系



③线性回归方程：

y bx a
（最小二乘法）




n

x
i
y
i

nx y

b

i 1

n

2

x
i
2

nx



i 1


a y

bx


注意：线性回归直线经过定点

( x, y) 。



第三章：概率



1、随机事件及其概率：

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；



⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；

⑶随机事件 A 的概率：


m

(),0

P(A) 1


P A

；





n


2、古典概型：


⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；


⑵古典概型的特点：


①所有的基本事件只有有限个；


②每个基本事件都是等可能发生。


⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有
m

n 个，事件 A 包含了其中的

A 发生的概率 P(A)

。


3

、几何概型：


⑴几何概型的特点：


①所有的基本事件是无限个；


②每个基本事件都是等可能发生。

d的测度

⑵几何概型概率计算公式：

P(A)

；


D的测度


其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。


4、互斥事件：

⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；


⑵如果事件

A
1
, A
2
, , A
n

任意两个都是互斥事件，则称事件

A
1
, A
2
,

, A
n

彼此互斥。


⑶如果事件 A ，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件

A ，B 发生的概率的和，

即：

P( A B) P( A) P(B)

⑷如果事件

A
1
, A
2
,

, A
n

彼此互斥，则有：


P( A
1
A
2

A
n
) P( A
1
) P( A
2
)

P( A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。


- 5 -

m 个基本事件，则事件

①事件 A 的对立事件记作

A

P( A) P(A) 1, P( A) 1 P(A)


②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。


必修 4 数学知识点


第一章、三角函数







§ 1.1.1 、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角

2、 与角

终边相同的角的集合：

的概念 .

2k , k Z
.

§ 1.1.2 、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做


2、


1 弧度的角 .



l

.











r











3、弧长公式 ：
l


n R

180


R
.


n R

360

2


4、扇形面积公式 ：
S


1
2


lR
.










§ 1.2.1 、任意角的三角函数

1、 设

是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P x, y
，那么：




sin


y, cos


x, tan

y

x


.




2、 设点
A x
0

, y
0

为角

终边上任意一点，那么： （设
rx
0
2

y
0
2

）

s i n


y
0
r


，
cos


x
0
r


，
tan


y
0

.




x
0



3、
sin

，
cos

，
tan
在四个象限的符号和三角函数线的画法.











4、 诱导公式一 ：

sin

cos

tan


2k

2k

2k

sin

,

tan .

cos

,
（其中：

k

Z
）


5、 特殊角 0°， 30°， 45°， 60°，




90°， 180°， 270° 的三角函数值 .

6 4 3




sin

cos

tan

§ 1.2.2 、同角三角函数的基本关系式


1、 平方关系 ：
sin

2




cos
2

1
.

- 6 -

2、 商数关系 ：
tan




sin

cos

.

§ 1.3 、三角函数的诱导公式

1、 诱导公式二 ：

sin

cos

tan

2、诱导公式三 ：

sin

tan .



,

cos

,

sin

cos

tan

3、诱导公式四 ：

sin

cos

tan .


,

,




sin

cos

tan

4、诱导公式五 ：

sin

,

cos

,

tan .


sin


cos

,

2


cos





sin .

2


5、诱导公式六 ：

sin


2

2

cos ,

sin

.

cos








§ 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：

单调性、周期性

.

3、 会用 五点法作图 .

§ 1.4.2 、正弦、余弦函数的性质

1、 周期函数定义

：对于函数
























定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、

f x
，如果存在一个非零常数

T，使得当

x
取定义域内的每一个值时，都有

T 叫做这个函数的周期

.

f x T

f x
，那么函数
f x
就叫做周期函数，非零常数

- 7 -

§ 1.4.3 、正切函数的图象与性质

















1、记住正切函数的图象：

2

、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：


§ 1.5 、函数
y

1

、 能够讲出函数

2、 对于函数：




定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.






A sin

x

的图象


y

sin x
的图象和函数

y


Asin x


b
的图象之间的平移伸缩变换关系

.






y


Asin

x


b A


0,




0






A

T

2

，初相







f

，相位
x



T
2

.
有：振幅 ，周期

，频率





1
§ 1.6 、三角函数模型的简单应用


1

、 要求熟悉课本例题 .

第二章、平面向量





































§ 2.1.1 、向量的物理背景与概念


1

、 了解四种常见向量：

力、位移、速度、加速度 .

向量 .

2

、 既有大小又有方向的量叫做


§ 2.1.2 、向量的几何表示

1

、 带有方向的线段叫做





有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.


2、 向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称 模），记作
AB
；长度为零的向量叫做


零向量 ；长度等于 1












个单位的向量叫做

单位向量 .



3

、 方向相同或相反的非零向量叫做

§ 2.1.3

、相等向量与共线向量


平行向量（或共线向量）







. 规定：零向量与任意向量平行 .



















1

、 长度相等且方向相同的向量叫做

§ 2.2.1

、向量加法运算及其几何意义

1

、 三角形法则 和平行四边形法则 .

2

、
a





相等向量 .














b
≤
a

b
.


§ 2.2.2

、向量减法运算及其几何意义

1

、 与

a
长度相等方向相反的向量叫做


a
的相反向量

.














§ 2.2.3

、向量数乘运算及其几何意义

1

、 规定：实数






与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做

向量的数乘 . 记作：
a
，它的长度和方向规定如下：

⑴
aa
,
0
时

,

⑵当



a
的方向与
a
的方向相同；当

0
时

,

- 8 -

a
的方向与
a
的方向相反

.

2、 平面向量共线定理


：向量
a a

0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数

，使
b

a
.

§ 2.3.1 、平面向量基本定理


1、 平面向量基本定理

：如果
e
1
,e
2

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量

a
，有且只

有一对实数
,e


1

2

，使
a


1 1 2
e
2
.

§ 2.3.2

、平面向量的正交分解及坐标表示

1、
a

xi

y j

x, y
.


§ 2.3.3

、平面向量的坐标运算


1、 设
a

x , y

, b

x

, y

，则：


1
1

2
2


⑴
a b x
1
x
2
, y
1

y
2

，



⑵
a b x
1
x
2
, y
1

y
2

，


⑶

a
x

1
, y
1

，


⑷
a b

x
1
y
2

x
2
y
1

.


2、 设
A x
1
, y
1

, B x
2

, y
2

，则：



AB x
2
x
1
, y
2

y
1

.


§ 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示


1、设
A x
1

, y
1

, B x
2

, y
2

,C x
3

, y
3

，则


⑴线段 AB中点坐标为
x

x
1

2
2
,

y
1

y
2
2
，


⑵△ ABC的重心坐标为
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3



3
,

3

.


§2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义


1

、
a

b

a b cos
.

2
、

a
在
b

方向上的投影为：
a cos
.


2

2
3
、

a


a
.


2
4

、

a


a
.

5

、

a

b

a b 0
.


§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


1
、 设
a x
1
, y
1
, b

x
2
, y
2

，则：










- 9 -

⑴
a b x
1
x
2

y
1
y
2

⑵
a

x
1
2

y
1
2

⑶
a b


x
1
x
2

y
1
y
2
0


2、 设
A x
1
, y
1

, B x
2

, y
2

，则：



AB

x
2
x
1

2

y
2

y
1

2

.


§

2.5.1 、平面几何中的向量方法
§ 2.5.2 、向量在物理中的应用举例



第三章、三角恒等变换


§ 3.1.1 、两角差的余弦公式


1、
cos

cos

cos


sin

sin

2、记住 15°的三角函数值：


sin

cos


tan

6 2 6 2
12 4 4


2

3


§3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式


1、
cos

cos

cos

sin

sin

2、
sin

sin

cos


cos

sin

3、
sin

sin

cos


cos

sin

4、
tan
tan tan

1 tan tan
.



5、
tan
tan tan

1 tan tan
.





§ 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、
sin 2

2 sin cos

，

变形：
sin cos


2
1
sin 2
.

2、
cos 2

cos
2

sin
2


2 cos
2


1


1 2 sin
2



，




2
1

cos2


变形 1：
cos


，


2



变形 2：
sin

2
1

cos2


.


2




-10-

3、
tan2

2 tan

1

tan
2
.



§ 3.2 、简单的三角恒等变换



1、 注意 正切化弦、平方降次

.

必修 5 数学知识点


第一章：解三角形


1、正弦定理：


a

b

c

2R
.

sin A

sin B

sin C


2、余弦定理：


a
2

b
2

c
2


2bc cos A,


b
2

a
2

c
2


2accos B,


c
2

a
2

b
2


2abcosC.


cos A

b
2

c
2

a
2

,



2bc


cos B

a
2

c
2

b
2

,



2ac


cosC

a
2

b
2

c
2

.



2ab


S
3、三角形面积公式：


ABC
1

ab sin C

1
bc sin A

1
ac sin B


第二章：数列

2


2

2



1、数列中



a
n
与
S
n
之间的关系：






a
时，

n
S
1

,当n

1


S
n
S
n 1
, 当n

1时.




2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第

2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

⑵通项公式：
a
n
a
1
( n

1)d



⑶求和公式：


S
n
n n 1


na
1

d
a
1
a
n
n




2

2

3

、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第

2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵通项公式：

a
n
a
1
q
n 1


⑶求和公式：
a
1

a
n
q

a
1
1

q
n


S
n




1

q

1

q


-11-

第三章：不等式

1、

当

a, b

0

时，

当且仅当 a

2、

a

2

ab

b时取等
号


ab
b时取等
号

2
2


2



b












































当

a,b

R

时，


2ab


当且仅当 a





























a



b



a
2

b
2


3、变形：
ab


2



,ab



2

















必修 1





数学必修 1、 3、 4、 5 常用公式及结论



： 一、集合

1、含义与表示： （ 1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性


（ 2）集合的分类；有限集，无限集

（ 3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法


2、集合间的关系：子集：对任意

x

A
，都有

x

B
，则称

A

是

B

的子集。记作
A

B

真子集：若 A 是 B 的子集，且在

B 中至少存在一个元素不属于

A，则 A 是 B 的真子集，

记作 A

A

B, B


A
,

B


则
A

B


集合相等：若：


3. 元素与集合的关系：属于


不属于：


空集：


4、集合的运算：并集：由属于集合







A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为


交集：由集合

A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为

补集：在全集

U 中，由所有不属于集合

记为

A B

A

B



A的元素组成的集合叫补集，


C
U
A


5．集合
{ a
1
, a
2

,

, a
n
}
的子集个数共有

2
n



n
n
个；真子集有

2

–

1

个；非空子集有

2

–1 个；

6. 常用数集：自然数集：

二、函数的奇偶性


1、定义：

奇函数



N 正整数集：
N

*
整数集： Z


有理数集： Q 实数集： R


<=>


f (–x ) = –f ( x )

，偶函数


2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

<=>

f (–x ) = f ( x )（注意定义域）

（

2）偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形；
（

3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（ 4）如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、
函数的单调性

1、定义：对于定义域为

①


D 的函数 f ( x )，若任意的

<=>

f ( x
1
) –f ( x
2
) < 0

<=>

f ( x
1
) –f ( x
2
) > 0


x
1
, x
2
∈ D，且 x
1
< x
2
<=>

f ( x )是增函数

<=>

f ( x )是减函数

f ( x
1
) < f ( x
2
)

f ( x
1
) > f ( x
2
)

②

2、复合函数的单调性


: 同增异减

三、二次函数 y = ax
2

+bx + c（
a

1、顶点坐标公式：




0
）的性质

， 对称轴：
x

b

2a

4ac b
2

,

b

2a

，最大（小）值：

4ac b
2

4a

4a

(2)

2. 二次函数的解析式的三种形式

(1) 一般式
(3) 两根式


f ( x)

ax
2

bx c(a 0)
;

顶点式
f ( x) a( x h)
2


k (a 0)
;

四、指数与指数函数

1、幂的运算法则：

f ( x)

a( x

x
1
)( x x
2
)(a

0)

.


（ 1） a
m
? a
n
= a
m + n
，（ 2）
a

m

a
n







a
m n

，（3）

( a

m

)

n

= a

m n

（

4）

( ab )

n

= a

n

? b

n

-12-

n

n n

（ 5）



a

b

a
n

（ 6） a
0
= 1 ( a≠0)（ 7）
a

n

b
n




1

（ 8）
a

m

a
n





m
a
n

（9）
a
m

m
1

a
n
2、根式的性质


（ 1）
(

n

a

)
n

a
.

nn


（ 2）当
n
为奇数时，

a











a
；

当
n
为偶数时，
a





nn

| a |

a, a


0

.


a, a

0

4、指数函数 y = a
x

（1）定义域： R ；

(a > 0 且 a≠ 1) 的性质：

值域： ( 0 , +∞ )

（2）图象过定点（

0， 1）




Y

a > 1

1

X

0



Y


0 < a < 1


1












0



X




5. 指数式与对数式的互化：

五、对数与对数函数

1 对数的运算法则：

b





log
a
N

b a
b




N
(a




0, a

1, N




0)
.

















（ 1） a
= N <=> b = log

（ 6） log
a
(MN) = log


a
N（

2）

log
a
1 = 0

（

3）log
a
a = 1

（

4）

log
a
a

= b（

5）

a

b
log
a
N

a
M + log
a
N



（ 7） log
a
(


M

N

= N



) = log
a
M -- log
a
N












（ 8） log
a
N
b
= b log
a
N



（9）换底公式： log
a
N =


log
b

N

log
b

a

（ 10）推论
log

a

m

b

（ 11）log
a
N =

n
n


log
a
b
(
a

0
,

且
a

1
,
m, n

0
,

且
m


1
,
n 1
,
N


0
).


1




m




（12）常用对数： lg N = log
10
N （ 13）自然对数： ln A = log
e
A

（其中

e = 2.71828,

）














log
N
a

2、对数函数 y = log
a
x

(a > 0 且 a≠1) 的性质：

值域： R




（ 1）定义域： ( 0 , +∞)

；

Y





（ 2）图象过定点（

1， 0）





a >1




Y





0 < a < 1


1






0



1






X












X


0


六、幂函数 y = x
a
的图象 :（ 1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图.
















a > 1





0 < a < 1







a < 0






-13-

例如： y = x
2







y


x


x
2

1



y




1

x




x
1










七 . 图象平移：若将函数

得到函数
y

y


f ( x)
的图象右移

a

、上移
b
个单位，


f (x

a)

b
的图象； 规律：左加右减，上加下减

N


，平均增长率为

八 . 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为

九、函数的零点：



p
，则对于时间


的总产值

y
，有


1. 定义：对于
y

f ( x)
，把使
f (x) 0
的

X

叫
y


f ( x)
的零点。即


y f ( x)
的图象与

X

轴相交时交点的横坐标。

y

f (x)
在区间

f (x)
在区间


x


y N (1

p)
.

x
2.函数零点存在性定理：如果函数

曲线，并有

f ( a) f (b)

使得
f (c)

a, b
上的图象是连续不断的一条

a, b
内有零点，即存在
c









0
，那么
y

a,b
，

0
，这个

C

就是零点。


3.二分法求函数零点的步骤： （给定精确度

（ 1）确定区间
a, b
，验证
f (a)


）



f (b)


0
;(2)

求

a, b

的中点
x
1

a

b


2

（ 3）计算
f ( x
1

)
①若
f (x
1

)


0
，则
x
1

就是零点；②若
f (a) f (x
1
) 0

，若
a


，则零点


x
0

a, x
1

③若
f ( x
1
)

f (b)

b


0
，则零点
x
0
x
1
, b

；


（ 4）判断是否达到精确度

则重复（ 2）到（ 4）


，则零点为
a
或

b

或
a, b
内任一值。否


必修 3:




第一章

算法初步

1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来 解决的某一类问题是程序或步骤，这

些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成






.

2、构成程序框的图形符号及其作用













程序框

名称

功能

表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

起止框

可少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公


处理框



式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内。






判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

“是”或“ Y ”；不成立时标明“否”或“

( 结构图请看教材 )

N”。

3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。



4、（ 1）、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上 面的除法，直

到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。


（ 2）、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。 继续这个操


-14-

作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

（ 3）进位制



①以 k 为基数的 k 进制换算为十进制：

a
n
a
n 1
...a
1
a
0( k )



a
n
k
n
a
n 1
k
n 1

a
1
k
1

a
0
k
0

②十进制换算为

k 进制：除以 k 取余，倒序排列

统计

1．
总体和样本：
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．

第二章





把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体



的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：

，

，

，

研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

< br>2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单 位。


特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同。


（总体个数较少）

3、简单随机抽样常用的方法：

（ 1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；


4、系统抽样 （等距抽样）：把总体的单位进行排序，

再计算出抽样距离，

然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。


第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。


（总体个数较多）

K （抽样距离） =N （总体规模）

n（样本规模）

5、分层抽样：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再 在


各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，


最后，将这些子样本合起来构成总体的

样本。先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。


（总体中差异明显）

6、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表




—— 数据详实

②频率分布直方图 —— 分布直观

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为


③频率分布折线图

—— 便于观察总体分布趋势

1。

②个位数

⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。


7、用样本的数字特征估计总体的数字特征（





2


s 为标准差）



2


（ 1）、平均值：
x


x
1

x
2


x
n
n

（ 2）、
s


2
( x
1
x)



( x
2

x)

n

b x

( x
n
x)


8、两个变量的线性相关（






1）、概念 :（ 1）回归直线方程：




y a

















n

x
i
y
i

i 1
n
i 1

nx y

，
a

2

（ 2）回归系数：

b


y b x








x
i
2

nx


（ 3）．应用直线回归时注意：回归分析前
,最好先作出散点图；


第三章

概率


一、概念

1 、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；


（ 1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件


S 的必然事件；

S 的不可能事件；

（ 2）不可能事件：在条件





S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件

-15-

（ 3）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件

2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；


S 的随机事件；

⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生


n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事

⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有


件，则事件 A 发生的概率



p( A)


m

n



3 、几何概型：⑴特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
构成事件 A的区域长度（面积或体

⑵几何概型概率计算公式：



积）

积）
。

试验的全部结果所构成

的区域长度（面积或体

A 与事件 B 互斥；

4、若 A ∩ B= ф ，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件


5、若 A ∩ B 为不可能事件， A∪ B 为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件


A 与

事件 B 互为对立事件；


二、概率的基本性质：



1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为

0，因此 0≤ P(A) ≤1；

2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：

P(A ∪ B)= P(A)+ P(B) ；

3）若事件 A 与 B 为对立事件，则

A ∪ B 为必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1 ，于

是有 P(A)=1 — P(B) ；


4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件




A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，具体包

B 发生；（ 3）事件 A 与事件

（ 1）事件 A 发生 B 不

括三种不同的情形： （ 1）事件 A 发生且事件 B 不发生；（ 2）事件 A 不发生且事件
B 同时不发生，而对立事件是指事件



A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；

发生；（ 2）事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。

必修 4










一、
三角函数与三角恒等变换

正弦函数

余弦函数

正切函数

1、三角函数的图象与性质

函数

图象









定义域







R


R

[ - 1,1]

2π







{x| x ≠

+k π ,k ∈ Z}

2


R

π

值域

周期性

奇偶性



[- 1,1]

2π

奇函数

增区间 [-

+2k π,

+2kπ ]

偶函数


增区间 [ - π +2kπ , 2kπ ]


奇函数

增区间

(- +k π ,

2



单调性






2



减区间 [ +2k π ,

2

3

2

+2kπ ]

减区间 [2k π , π +2k

π ]

( k ∈ Z )



2


+k π )



2


( k ∈ Z )


-16-

对称轴


x =

+ k π( k ∈ Z )



x = k π ( k∈ Z )




无

2







对称中心


( k π ,0 ) ( k ∈ Z )


(


+ k π ,0 )( k ∈ Z )

( k ,0 ) ( k ∈ Z )

2

tan



2

2、同角三角函数公式


sin
2
α + cos
2
α = 1







sin

cos


tanα cot α =1






3、二倍角的三角函数公式

sin2α = 2sin αcosαcos2α=2cos
2
α - 1 = 1- 2 sin
2
α= cos
2
α- sin
2
α


tan 2



2 tan

1

tan
2



4、降幂公式


cos
2


1

cos 2

2



sin
2


1

cos2

2


5、升幂公式

1± sin2α = (sinα ± cosα)
2


1 + cos2α =2 cos
2
α


1- cos2α= 2 sin
2
α

6、两角和差的三角函数公式





sin ( α ± β ) = sin αcosβ土 cosα sinβ

cos (α ± β ) = cos αcosβ干 sinα
sinβ



tan





tan

1 tan

tan


tan

























7、两角和差正切公式的变形：

tanα ±tanβ = tan ( α± β ) (1 干 tanα tanβ )


1

tan

1

tan






=

tan 45

tan

= tan (

+α )

1

1

tan

=

tan 45

tan


= tan (



- α )

1 tan 45

tan

4


tan1 tan 45

tan

b
）

4

8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）


a sin

b cos

a
2

b
2

sin


（其中
tan


a

9、半角公式：

sin




1

cos


2


2

1

cos

c o s

2



1

c o s

2

1 cos

sin




tan


sin

1 cos

2




1

cos

10、三角函数的诱导公式
sin ( π － α ) = sin α，
sin ( π +α ) = － sinα
sin (2 π －α ) = － sinα
sin ( － α ) = －sin α


“奇变偶不变，符号看象限。
cos (π－ α ) = － cosα，
cos (π +α ) = － cosα cos
(2π－ α ) = cosα



”






tan (π － α ) = － tanα；

tan (π+α ) = tanα

tan (2π － α ) = － tanα

cos (－ α ) = cosα


cos (


tan (－ α ) = － tanα



sin (


－ α ) = cosα

－α ) = sin α

tan (

－ α ) = cot α

2

+α ) = cosα

2

2

+α) = － sinα

2

tan (

sin (




cos (
2

2

+α ) = － cotα

11. 三角函数的周期公式
函数
y

函数
y tan(




sin(

x)
，x∈R

及函数
y

x


cos( x

, k

Z
(A,

ω

,

)
，x∈

R(A,

ω

,

为常数，且

A≠0，ω ＞

0)

的周期
T

为常数，且 A≠ 0， ω ＞0) 的周期
T
.






2

；

)
，
x k

2


二、平面向量



（一）、向量的有关概念

-17-

2

1、向量的模计算公式： （ 1）向量法： |
a
| =


a

a

a

；


（ 2）坐标法：设
a
=（ x，y），则 |
a
| =

x
2




y
2




2、单位向量的计算公式：


（ 1）与向量
a
=（ x，y）同向的单位向量是


x

x
2


,


y
2

x

x
2

,

y
2



y

y
2


；




（ 2）与向量
a
=（ x，y）反向的单位向量是











y

x
2

y
2


；



x
2



3、平行向量

规定：零向量与任一向量平行。设

向量法：
a
∥
b
（
b
≠

0

）<=>

a
=（

x
1
，y
1
），
b
=（

x
2

，

y
2
），

λ

为实数

a
=λ
b


坐标法：
a
∥
b
（
b
≠

0

）<=> x
1
y
2
–x
2
y
1
= 0

<=>











x
1

y
1


x
2

（ y
1
≠ 0 ， y
2
≠ 0）

y
2


4、垂直向量



规定：零向量与任一向量垂直。设

向量法：
a
⊥
b
<=>

a
=（

x
1
，y
1
），
b
=（

x
2

，

y
2
）


坐标法：
a
⊥
b
<=> x

1

x

2

+ y
1

y

2

= 0


a

2

b
= 0




5. 平面两点间的距离公式






d
A, B

=
| AB |

AB AB

( x
2
x
1
)
2

( y
2

y
1
)
2

(A

(x
1
, y
1

)

，

B
( x
2

, y
2

)

).

，平行四边形法则（起点相同连对角）

（二）、向量的加法

（ 1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连）

（ 2）坐标法：设
a
=（ x
1
， y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
+
b
=（x
1
+ x
2
， y
1
+ y
2
）


（三）、向量的减法


（ 1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）


（ 2）坐标法：设
a
=（ x
1
， y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
-
b
=（ x
1
- x
2

， y
1
- y
2
）


（ 3）、重要结论： | |
a
| - |
b
| | ≤ |
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|


（四）、两个向量的夹角计算公式： （ 1）向量法： cos








=

a b



| a || b |


=





（ 2）坐标法：设
a
=（ x
1
， y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则 cos


x
1
x
2

y
1
y
2


x
1
2

y
1
2

x
2
2

y
2
2

（五）、平面向量的数量积计算公式： （ 1）向量法：
a
2

（ 2）坐标法：设
a
=（ x
1
， y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
2


b
= |
a
| |
b
| cos

b
= x

1

x
2

+ y

1

y
2




（ 3） a2 b 的几何意义：

-18-

数量积 a2 b 等于 a 的长度 |a |与 b 在 a 的方向上的投影

|b|cosθ 的乘积．

（六） .1 、实数与向量的积的运算律：设

λ 、 μ为实数，那么


(1) 结合律： λ( μ a)=( λμ ) a;(2) 第一分配律： ( λ+μ ) a=λ a+μa;




(3) 第二分配律： λ ( a+b)= λ a+λ b.

2. 向量的数量积的运算律： (1)
a
2 b= b 2
a
（交换律）
(2) （

）2 b=

（ 2 b） =

2 b=

2（

b） (3)

（

+b）2 c=


且只有一对实数 λ


3. 平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有
a


a

a


a


a


a


2 c +b 2 c.

、λ ，使得 a=λ

2

e +λ e ． 不共线的向量 e 、 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组


1

2

基底 ．


1


1

1

2

2


（七） . 三角形的重心坐标公式


△ ABC三个顶点的坐标分别为

标是
G(

x
1
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,

则△

ABC的重心的坐























x
2

x
3

,
y
1
y
2


y
3

)


3


3


π，


必修 5

一
、解三角形：

ABC 的六个元素 A, B, C,


a , b, c 满足下列关系：


1、角的关系： A+B+C=

特殊地，若





ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列，则∠



B = 60 o，∠ A + ∠C = 120 o




2、诱导公式的应用： sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,









sin (


A

2

B

2

) = cos



C

2

, cos (


A

B

2

c

2


) = sin

C

2


3、边的关系： a + b > c , a –b < c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4、边角关系：（ 1）正弦定理：


）




a



b

sin B


sin A

sin C






2R
（

R

为

ABC

外接圆半径）







a : b : c = sinA : sinB : sinC


分体型 a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,

b
2
= a
2
+ c
2
–2a c?cosB ,


（ 2）余弦定理： a
2
= b
2
+ c
2
–2bc?cosA ,


c
2
= a
2
+ b
2
–2 a b?cosC


cos A



b
2


c
2

a
2

2bc




,
cos B




a
2


c
2

b
2

2ac

1

2



,


cosC


a
2
b
2

2ab




c
2















5、面积公式： S =



1

a h =

1

2

ab sinC =



bc sinA =





1


2



ac sinB


2









二、数列

（一）、等差数列 {

a
n
}


1、通项公式： a
n
= a
1
+ ( n –1 ) d

，推广： a
n
= a
m
+ ( n –m ) d


2、前 n 项和公式： S
n
= n a
1
+



( m , n∈ N )







1

2



n ( n –1 ) d =







n( a
1



a
n
)








2























3、等差数列的主要性质


① 若 m + n = 2 p ，则 a
m

+ a
n
= 2 a
p
（等差中项） ( m , n∈ N )


② 若 m + n = p + q ，则 a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
( m , n , p , q ∈ N )

③ S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
–S
2 n
组成等差数列，公差为


2、等比数列的前

当 q≠ 1 时， S
n
=





n d。


（二）、等比数列 { a
n
}1 、通项公式： a
n
= a
1
q
n

–1

，推广： a
n
= a
m
q
n

–m

n 项和公式：

n

( m , n∈ N )




， 当 q = 1 时， S
n
= n a
1

a
1
(1 q )
=

a
1

1


q


1 q






a
n
q

















3、等比数列的主要性质


① 若 m + n = 2 p ，则 a
p
2
= a
m

? a
n
（等比中项） ( m , n∈ N )

q
n
。

② 若 m + n = p + q ，则 a
m
? a
n
= a
p
? a
q
( m , n , p , q ∈N )

③ S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
–S
2 n
组成等比数列，公比为





-19-

（三）、一般数列 { a
n
} 的通项公式：记

S
n

= a
1
+ a
2
+ ,

+ a
n
，则恒有
a
n



S
1


n 1
n 1

n

2,n


S
n

S
N

三、不等式


（一）、均值定理及其变式（


1） a , b ∈ R ,

a
2
+ b
2
≥ 2 a b



2

（ 2） a , b ∈ R
+
, a + b ≥ 2

ab


（ 3） a , b ∈ R
+
, a b ≤

a b



2


（ 4）

a
2



2
ab

a

b

b
2


，以上当且仅当

a = b 时取“ = ”号。



1

1

2

2


a

b


（二） . 一元二次不等式
ax
2

bx c

0(或

0) (a 0,

b
2

4ac


0)
，如果
a
与

ax
2

bx

c
同号，则其解
集在两根之外；如果

a
与

ax
2

bx c
异号，则其解集在两根之间

. 简言之：同号两根之外，异号两根之间

x
1
x
2


( x x
1
)( x x
2
) 0


x
1

x x
2

；

( x x
1
)( x x
2
) 0


x x
1
,或 x x
2


（三） . 含有绝对值的不等式：当

a> 0

时，有



2





x ax
2

a


a x a
.

x a

x
2

a
2

x a
或

x


a
.


（四） . 指数不等式与对数不等式



(1) 当
a

1

时 ,

a
f ( x)
a
g ( x)
;


f ( x)

g ( x)

f ( x)



0
log
a
f (x)

log
a
g ( x)

g ( x)

0


.


f ( x)

g(x)


(2) 当
0

a

1
时

,

a
f ( x)
a
g (x )

f ( x) g(x)
;


f ( x)



0
log
a
f (x)

log
a
g ( x)

g ( x)

0



f ( x)


g (x)

（五） .

Ax By C 0
或
0
所表示的平面区域：

直线定界，特殊点定域。













































-20-


. 设