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最新高中数学必修1课后习题答案完整版汇编

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 16:39
tags:高中数学必修一

人教版高中数学b版2019-高中数学教师崇尚的教育思想


高中数学必修1课后习题答案
第一章 集合与函数概念
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
练习(第5页)
1.用符号“
?
”或“
?
”填空:
(1)设
A
为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______
A
,美国_______< br>A

印度_______
A
,英国_______
A

(2)若
A?{x|x?x}
,则
?1
_______
A

(3)若
B?{x|x?x?6?0}
,则
3
_______
B

(4)若
C?{x?N|1?x?10}
,则
8
_______
C

9.1
_______
C

1.(1)中国
?
A
,美国
?
A
,印度
?
A
,英国
?
A

中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲.
2
2
}?{0,

1}
(2)
?1
?
A

A?{x|x?x

,2
(3)
3
?
B

B?{x|x?x?6?0}?{?3

}
(4)
8
?
C

9.1
?
C

9.1?N

2.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)由方程
x?9?0
的所有实数根组成的集合;
(2)由小于
8
的所有素数组成的集合;
(3)一次函数
y?x? 3

y??2x?6
的图象的交点组成的集合;
(4)不等式
4x?5?3
的解集.
2
2.解:(1)因为方程< br>x?9?0
的实数根为
x
1
??3,x
2
?3

2
2
2
所以由方程
x?9?0
的所有实数根组成的集合为
{?3,3}

(2)因为小于
8
的素数为
2,3,5,7

所以由小于
8
的所有素数组成的集合为
{2,3,5,7}

2
?
y?x?3
?
x?1
(3)由
?
,得
?

y??2x?6
y?4
?< br>?
即一次函数
y?x?3

y??2x?6
的图象的交点为< br>(1,4)

所以一次函数
y?x?3

y??2x?6< br>的图象的交点组成的集合为
{(1,4)}


(4)由
4x?5?3
,得
x?2

所以不等式
4x?5?3
的解集为
{x|x?2}

1.1.2集合间的基本关系
练习(第7页)
1.写出集合
{a,b,c}
的所有子集.
1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得
?

取一个元素,得
{a},{b},{c}

取两个元素,得
{a,b},{a,c},{b,c}

取三个元素,得
{a,b,c}

即集合
{a,b,c}
的所有子集为
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}< br>.
2.用适当的符号填空:
(1)
a
______
{a,b,c}
; (2)
0
______
{x|x?0}

(3)
?
______
{x?R|x?1?0}
; (4)
{0,1}
______
N

(5)
{0}
______
{x|x?x}
; (6)
{2,1}
______
{x|x?3x?2?0}

2.(1)
a?{a,b,c}

a
是集合
{a,b,c}
中的一个元素;
22
2
2
}
(2)
0?{x|x?0}

{x|x?0?
2
22
{

0}

2
2
(3)
??{x?R|x?1?0}
方程
x?1?0
无实数根,
{x?R|x?1?0}??

(4)
{0,1}
(5)
{0}
是自然数集合
N
的子集,也是真子 集;
N
(或
{0,1}?N

{0,1}
{x|x
2
?x}
(或
{0}?{x|x
2
?x}

{x|x
2
?x}?{0,

1}

2
2
(6)
{2,1}?{x|x?3x?2?0}
方程< br>x?3x?2?0
两根为
x
1
?1,x
2
?2

3.判断下列两个集合之间的关系:
(1)
A?{1,2,4}

B?{x|x是8的约数}

(2)
A?{x|x?3k,k?N}

B?{x|x?6z,z?N}

(3)
A?{x|x是4与10的公倍数,x?N
?
}

B ?{x|x?20m,m?N
?
}


3.解:(1)因为
B?{x|x是8的约数}?{1,2,4,8}
,所以
AB


(2)当
k?2z
时,
3k?6z
;当
k?2z?1
时,
3k?6z?3


B

A
的真子集,
BA

(3) 因为
4

10
的最小公倍数是
20
,所以
A?B< br>.
1.1.3集合的基本运算
练习(第11页)
1.设
A?{3 ,5,6,8},B?{4,5,7,8}
,求
A
1.解:
A

A
B,AB

B?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{5,8}

B?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{3,4,5,6,7,8}

22
2.设
A?{x|x?4x?5?0},B?{x|x?1}
,求
A
2
2.解:方程
x?4x?5?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?5

2
方程
x?1?0
的两 根为
x
1
??1,x
2
?1

B,AB


A?{?1,5},B?{?1,1}


AB?{?1},AB?{?1,1,5}

B,AB
. 3.已知A?{x|x是等腰三角形}

B?{x|x是直角三角形}
,求
A3.解:
A

A
B?{x|x是等腰直角三角形}

B?{x|x是等腰三角形或直角三角形}

4.已知全集
U?{1,2, 3,4,5,6,7}

A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}


A(痧(?
U
B),(
U
A)
U
B)

1,3,6,7}
, 4.解:显然
?
U
B?{2,4,6}

?
U
A?{

A(?
U
B)?{2,4}
(痧(
U
B)?{6}

U
A)
1.1集合
习题1.1 (第11页) A组
1.用符号“
?
”或“
?
”填空:
(1)
3
_______
Q
; (2)
3
______
N
; (3)
?
_______
Q

2
(4)
2
_______
R
; (5)
9
_______
Z
; (6)
(5)
_______
N

2
7
2


1.(1)
3?Q

3
2
7
2
22
是有理数; (2)
3?N

3?9
是个自然数;
7
2
是实数; (3)
?
?Q

?
是个无理数,不是有理数; (4)
2?R

(5)
9?Z

9?3
是个整数; (6)
(5)
2
?N

(5
2
)?5
是个自然数.
2.已知
A?{x|x?3k?1,k?Z}
,用 “
?
”或“
?
” 符号填空:
(1)
5
_______
A
; (2)
7
_______
A
; (3)
?10
_______
A

2.(1)
5?A
; (2)
7?A
; (3)
?10?A


k?2
时,
3k? 1?5
;当
k??3
时,
3k?1??10

3.用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于
1
且小于
6
的整数;
(2)
A?{x|(x?1)(x?2)?0}

(3)
B?{x?Z|?3?2x?1?3}

3.解:(1)大于
1
且小于
6
的整数为
2,3,4,5
,即
{2,3,4, 5}
为所求;
(2)方程
(x?1)(x?2)?0
的两个实根为
x
1
??2,x
2
?1
,即
{?2,1}
为所求;
(3)由不等式
?3?2x?1?3
,得
?1?x?2
,且
x?Z
,即
{0,1,2}
为所求.
4.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)二次函数
y?x?4
的函数值组成的集合;
2
2
的自变量的值组成的集合;
x
(3)不等式
3x?4?2x
的解集.
(2)反比例函数
y?
4.解:(1)显然有
x?0
,得
x?4??4
,即
y??4

得二次函数
y?x?4
的函数值组成的集合为
{y|y??4}

2
22
2
的自变量的值组成的集合为
{x|x?0}
; < br>x
44
(3)由不等式
3x?4?2x
,得
x?
,即 不等式
3x?4?2x
的解集为
{x|x?}

55
(2 )显然有
x?0
,得反比例函数
y?
5.选用适当的符号填空:
(1)已知集合
A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2}
,则有:

?4
_______
B

?3
_______
A

{2}
_______
B

B
_______
A

(2)已知集合
A?{x|x?1?0}
,则有:
2
?1}

1
_______
A

{?1}
_______
A

?
_______
A

{1,
_______
A


(3)
{x |x是菱形}
_______
{x|x是平行四边形}


{x|x是等腰三角形}
_______
{x|x是等边三角形}

5.(1)
?4?B

?3?A

{2}
B

BA


2x?3 ?3x?x??3
,即
A?{x|x??3},B?{x|x?2}

(2)
1?A

{?1}
A

?
2
=
A

?1}
A

{1,

A?{x|x?1?0}?{?1,1}

(3)
{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}

菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;
{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}

等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形.
6.设集合
A ?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x}
,求
AB,AB

6.解:
3x?7?8?2x
,即
x?3
,得
A?{x|2?x? 4},B?{x|x?3}


AB?{x|x?2}

AB?{x|3?x?4}

7.设集 合
A?{x|x是小于9的正整数}

B?{1,2,3},C?{3,4,5,6}
,求
A

A
B

C

A(BC)

A(BC)

7.解:
A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8}


A

B

A
B?{1,2,3}

AC?{3,4,5,6}

C?{1,2,3,4,5,6}

BC?{3}

(BC)?{1,2,3,4,5,6}

A(BC)?{1,2,3,4,5,6,7,8}

8.学校里开运动会,设
A?{x|x是参加一百米跑的同学}

B?{x |x是参加二百米跑的同学}

C?{x|x是参加四百米跑的同学}

学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定,
并解释以下集合运算的含义:(1)
AB
;(2)
AC

8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项,
即为
(AB)C??


(1)
A
(2)
A
B?{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}

C?{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}

9.设
S?{x |x是平行四边形或梯形}

A?{x|x是平行四边形}

B?{x|x是 菱形}

x}

C?{x|是矩形
,求
BC

?
A
B

?
S
A

C?{x|x是正方形}
, 9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即
B
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形,

?
A
B?{x|x是邻边不相等的平行四边形}


?
S
A?{x|x是梯形}

10.已知集合
A?{x| 3?x?7},B?{x|2?x?10}
,求
?
R
(AB)
?
R
(AB)

(?
R
A)
10.解:A
B

A(?
R
B)

B?{x|2?x?10}

AB?{x|3?x?7}


?
R
A?{x|x?3,或x?7}

?
R
B?{ x|x?2,或x?10}


?
R
(A

?
R
(A

(?
R
A)

A
B)?{x|x?2,或x?10}

B)?{x|x?3,或x?7}

B?{x|2?x?3,或7?x?10}

(?
R
B)?{x|x?2,或3?x?7或x?10}

B组
1.已知集合
A?{1,2}
,集合
B
满足
A
1.
4
集合
B
满足
A
B?{1,2}
,则集合
B
有 个.
B?A
,则
B?A
,即集合
B
是集合
A的子集,得
4
个子集.
2.在平面直角坐标系中,集合
C?{(x,y )|y?x}
表示直线
y?x
,从这个角度看,
集合
D?< br>?
(x,y)|
?
?
?
?
2x?y?1?
?
表示什么?集合
C,D
之间有什么关系?
x?4y?5
?
?
?
2x?y?1?
?
表示两条直线
2x?y?1,x?4y?5< br>的交点的集合,
?
x?4y?5
?
2.解:集合
D?
?
(x,y)|
?
?
?


?
?
2x ?y?1?

D?
?
(x,y)|
??
?{ (1,1)}
,点
D(1,1)
显然在直线
y?x
上,
x?4y?5
?
??

D
C

B,AB
. 3.设集合
A?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}

B?{x|(x?4)(x?1)?0}
,求
A
3.解:显然有集合
B?{x|(x?4)(x?1)?0}?{1,4}


a?3
时,集合
A?{3}
,则
A

a?1
时,集合
A?{1,3}
,则
A

a?4
时,集合
A?{3,4}
,则
A
B?{1,3,4} ,AB??

B?{1,3,4},AB?{1}

B?{1,3,4},AB?{4}


a?1
, 且
a?3
,且
a?4
时,集合
A?{3,a}


A
4.已知全集
U?A
B?{1,3,4,a},AB??
. < br>B?{x?N|0?x?10}

A(?
U
B)?{1,3,5,7}
,试求集合
B

4.解:显然
U?{0,1,2,3,4,5,6 ,7,8,9,10}
,由
U?A

?
U
B?A
, 即
A
B

(痧
U
B)?
U
B
, 而
A(?1,3,5,7}

U
B)?{
U
1,3,5, 7}
,而
B?痧

?
U
B?{
U
(

B?{0,2,4,6,8.9,10}

B)

第一章 集合与函数概念
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
练习(第19页)
1.求下列函数的定义域:
1
; (2)
f(x)?1?x?x?3?1

4x?7
7
1.解:(1 )要使原式有意义,则
4x?7?0
,即
x??

4
7
得该函数的定义域为
{x|x??}

4
(1)
f(x)?
(2)要使原式有意义,则
??
1?x?0
,即
?3?x?1

?
x?3?0


得该函数的定义域为
{x|?3?x?1}

2.已知函数
f(x)?3x?2x

(1)求
f(2),f(?2),f(2)?f(?2)
的值;
(2)求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值.
2.解:( 1)由
f(x)?3x?2x
,得
f(2)?3?2?2?2?18

同理得
f(?2)?3?(?2)?2?(?2)?8


f(2)?f(?2)?18?8?26


f(2)?18,f(?2)?8,f(2)?f(?2)?26

(2)由
f(x)?3x?2x
,得
f(a)?3?a?2?a?3a?2a

同理得
f(?a)?3?(?a)?2?(?a)?3a?2a


f(a)?f(?a)?(3a?2a)?(3a?2a)?6a


f(a)?3a?2a,f(?a)?3a?2a,f(a)?f(?a)?6a

3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度
h< br>与时间
t
关系的函数
h?130t?5t
和二次函数
y?13 0x?5x

(2)
f(x)?1

g(x)?x

3.解:(1)不相等,因为定义域不同,时间
t?0

(2)不相等,因为定义域不同,
g(x)?x(x?0)

0
0
222
222
22
222
2
22
2
2
2< br>1.2.2函数的表示法
练习(第23页)
1.如图,把截面半径为
25c m
的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为
xcm

面积为
ycm
,把
y
表示为
x
的函数.
1.解:显然矩形的另一边长为
50
2
?x
2
cm


y?x50
2
?x
2
?x2500?x2
,且
0?x?50


y?x2500?x
2
(0?x?50)

2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事.
( 1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;(2)我骑着
2


车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
O

时间
O

时间
O

时间
O

时间
(A) (B) (C) (D)

2.解:图象(A)对应事件(2),在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化;
图象(B)对应事件(3),刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速;
图象(D)对应事件(1),返回家里的时刻,离开家的距离又为零;
图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进.
3.画出函数
y?|x?2|
的图象.
3.解:
y?|x?2|?
?






4.设

A
?
x?2,x?2
,图象如下所示.
?
?x?2,x?2
A?{x|x是锐角},B?{0,1}
,从
A

B
的映射是“求正弦”,
中元素
60
相对应

么?
4.解:因为
sin60?
B
中的元素是什么?与
B
中的元素
2
相对应的
A
中元素是什
2
3 3
,所以与
A
中元素
60
相对应的
B
中的元素是;
22
2
2
,所以与
B
中的元素相对应的
A
中元素是
45

2
2
因为
sin45?
1.2函数及其表示
习题1.2(第23页)

1.求下列函数的定义域:
(1)
f(x)?
3x
; (2)
f(x)?x
2

x?4


(3)
f (x)?
6
x
2
?3x?2
; (4)
f(x)?
4?x
x?1

1.解:(1)要使原式有意义,则
x?4?0
,即
x?4

得该函数的定义域为
{x|x?4}

(2)
x?R

f(x)?x
2
都有意义,
即该函数的定义域为
R

(3)要使原式有意义,则
x
2
?3x?2?0
,即
x?1

x?2

得该函数的定义域为
{x|x?1且x?2}

(4)要使原式有意义,则
?
?
4?x?0
,即
x?4

x?1

?
x?1?0
得该函数的定义域为
{x|x?4且x?1}

2.下列哪一组中的函数
f(x)

g(x)
相等?
(1)
f(x)?x?1,g(x)?
x
2
x
?1
; (2)
f(x)?x
2
,g(x)?(x)
4

(3)< br>f(x)?x
2
,g(x)?
3
x
6

2 .解:(1)
f(x)?x?1
的定义域为
R
,而
g(x)?
x
2
x
?1
的定义域为
{x|x?0}

即两函数的定义域不同,得函数
f(x)

g(x)
不相等;
(2)
f(x)?x
2
的定义域为
R
,而
g(x)?(x)
4
的定义域为
{x|x?0}

即两函数的定义域不同,得函数
f(x)

g(x)
不相等;
(3)对于任何实数,都有
3
x
6
?x
2
,即这两函数的定 义域相同,切对应法则相同,
得函数
f(x)

g(x)
相等.
3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域.
(1)
y?3x
; (2)
y?
8
x
; (3)
y??4x?5

y?x
2
?6x?7

3.解:(1)


4) (










定义域是
(??,??)
,值域是
(??,??)

(2)










定义域是
(??,0)





(3)









定义
(4)





域是
(??,??)
,值域是
(??,??)

(0,??)
,值域是
(??,0)(0,??)







定义域是
(??,??)
,值域是
[?2,??)

2< br>4.已知函数
f(x)?3x?5x?2
,求
f(?2)

f (?a)

f(a?3)

f(a)?f(3)

22
4.解:因为
f(x)?3x?5x?2
,所以
f(?2)?3?(? 2)?5?(?2)?2?8?52


f(?2)?8?52

同理,
f(?a)?3?(?a)?5?(?a)?2?3a?5a?2


f(?a)?3a?5a?2


f(a?3)?3?(a?3)?5?(a?3)?2?3a?13a?14


f(a?3)?3a?13a?14


f(a)?f(3)?3a?5a?2?f(3)?3a?5a?16


f(a)?f(3)?3a?5a?16

5.已知函数
f(x)?2
22
2
22
2
22
x?2

x?6
(1)点
(3,14)

f(x)
的图象上吗?
(2)当
x?4
时,求
f(x)
的值;
(3)当
f(x)?2
时,求
x
的值.
5.解:(1)当
x?3
时,
f(3)?
3?25
???14

3?63
即点
(3,14)
不在
f(x)
的图象上;
(2)当
x?4
时,
f(4)?
4?2
??3

4?6
即当
x?4
时,求
f(x)
的值为
?3

x?2
?2
,得
x?2?2(x?6)

x?6

x?14

(3)
f(x)?
6.若
f (x)?x?bx?c
,且
f(1)?0,f(3)?0
,求
f(?1)的值.
2


6.解:由
f(1)?0,f(3)?0


1,3
是方程
x?bx?c?0
的两个实数根,

1?3??b,1?3?c
,得
b??4,c?3


f(x)?x?4x?3
,得
f(?1)?(?1)?4?(?1)?3?8


f(?1)
的值为
8

7.画出下列函数的图象:
(1)
F(x)?
?









7.图象如下:
22
2
?
0,x?0
; (2)
G(n)?3n?1,n?{1,2,3}

?
1,x?0

8.如图,矩形的面积为
10
,如果矩形的长为
x
,宽为
y
,对角线为
d

周长为
l
,那么你能获得关于这些量的哪些函数?

8.解:由矩 形的面积为
10
,即
xy?10
,得
y?
10
10
(x?0)

x?(y?0)

y
x


由对角线为
d
,即
d? x
2
?y
2
,得
d?x
2
?
100
(x?0)

2
x
由周长为
l
,即l?2x?2y
,得
l?2x?
22
20
(x?0)

x
2
另外
l?2(x?y)
,而
xy?10,d?x?y


l?2(x?y)
2
?2x
2
?y
2
?2xy?2d
2
?20(d?0)


l?2d
2
?20(d?0)

9.一个圆柱形容器的 底部直径是
dcm
,高是
hcm
,现在以
vcms
的速度向 容器内注入某种溶液.求溶
液内溶液的高度
xcm
关于注入溶液的时间
ts< br>的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.
9.解:依题意,有
?
()x? vt
,即
x?
3
d
2
2
4v
t

?
d
2
h
?
d
2
4v
显然
0?x?h
,即
0?

t?h
,得
0?t?
4v
?
d
2
h
?
d
2
]
和值域为
[0,h]
. 得函数的定义域为
[0,
4v
10.设集合
A?{a,b,c},B?{0,1}
,试问:从
A

B
的映射共有几个?
并将它们分别表示出来.
10.解:从
A

B
的映射共有
8
个.
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
????
分别是
?
f(b)?0
,< br>?
f(b)?0

?
f(b)?1

?
f( b)?0

?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f (c)?0
?
f(c)?1
????
?
f(a)?1
?f(a)?1
?
f(a)?1
?
f(a)?1
????

?
f(b)?0

?
f(b)?0

?
f (b)?1

?
f(b)?0

?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f(c)?0
?
f(c)?1
????< br>




B组


1.函数
r?f(p)
的图象如图所示.
(1)函数
r?f(p)
的定义域是什么?
(2)函数
r?f(p)
的值域是什么?
(3)
r
取何值时,只有唯一的
p
值与之对应?
1.解: (1)函数
r?f(p)
的定义域是
[?5,0][2,6)

(2)函数
r?f(p)
的值域是
[0,??)

( 3)当
r?5
,或
0?r?2
时,只有唯一的
p
值与之对应 .
2.画出定义域为
{x|?3?x?8,且x?5}
,值域为
{y|?1 ?y?2,y?0}
的一个函数的图象.
(1)如果平面直角坐标系中点
P(x,y )
的坐标满足
?3?x?8

?1?y?2
,那么其中哪些点不能在 图象
上?
(2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗?
2.解:图象如 下,(1)点
(x,0)
和点
(5,y)
不能在图象上;(2)省略.

3.函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最大 整数,例如,
[?3.5]??4

[2.1]?2


x?(?2.5,3]
时,写出函数
f(x)
的解析式,并作出函数的图象.


?
?3,?2.5?x??2
?
?2,?2?x??1
?< br>?
?1,?1?x?0
?
3.解:
f(x)?[x]?
?0,0?x?1

?
1,1?x?2
?
?
2,2?x? 3
?
3,x?3
?
图象如下



















4.如图所示,一座小岛距离海岸线 上最近的点
P
的距离是
2km
,从点
P
沿海岸正东
12km
处有一个城镇.







(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为
3kmh
,步行的速度是
5kmh

t
(单位:
h
)表示他从小岛
到城镇的时间,
x
(单位:
km
)表示此人将船停在海岸处距
P
点的距离. 请将
t
表示为
x
的函数.


(2)如果将船停在距点
P
4km
处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到
1h
)? 4.解:(1)驾驶小船的路程为
x
2
?2
2
,步行的路程为< br>12?x


t?
x
2
?2
2
1 2?x
?

(0?x?12)

35
x
2
?412?x
?

(0?x?12)

35

t?
(2)当
x?4
时,
t?


4
2
?412?4258
????3(h)

3535
第一章 集合与函数概念
1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大(小)值
练习(第32页)
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.









1.答:在一定的范围内 ,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率
达到最大值,而超过这个 数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人
越多,生产效率就越高.
2.整个上午
(8:0012:00)
天气越来越暖,中午时分
(12:0013: 00)
一场暴风雨使天气骤然凉爽了许
多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山
(1 8:00)
才又开始转凉.画出这一天
8:00
作为时间函数的一个可能的图象,并说 出所画函数的单调区间.
2.解:图象如下
20:00
期间气温




[8,12
是递增区间,
][12,13]
是递减区间,
[13,18]
是递增区间,< br>[18,20]
是递减区间.





3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.










3 .解:该函数在
[?1,0]
上是减函数,在
[0,2]
上是增函数,在[2,4]
上是减函数,

[4,5]
上是增函数.
4.证明函数
f(x)??2x?1

R
上是减函数.
4 .证明:设
x
1
,x
2
?R
,且
x
1?x
2

因为
f(x
1
)?f( x
2
)??2(x
1
?x
2
)?2(x
2
?x
1
)?0


f(x
1
)?f(x
2
)

所以函数
f(x)??2x?1

R
上是减函数.
5.设
f(x)
是定义在区间
[?6,11]
上的函数.如果
f(x)
在区 间
[?6,?2]
上递减,在区间
[?2,11]
上递增,画
f(x)
的一个大致的图象,从图象上可以发现
f(?2)
是函数
f(x )
的一个 .


5.最小值.
1.3.2单调性与最大(小)值
练习(第36页)
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?2x?3x
; (2)
f(x)?x?2x

423
x
2
?1
2
(3)
f(x)?
; (4)
f(x)?x?1
.
x
1.解:(1)对于函数
f(x)? 2x?3x
,其定义域为
(??,??)
,因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?2(?x)?3(?x)?2x?3x?f(x)

所以函数
f(x)?2x?3x
为偶函数;
(2)对于函数
f(x )?x?2x
,其定义域为
(??,??)
,因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)?2(?x)??(x?2x)??f(x)

所以函数
f(x)?x?2x
为奇函数;
3
33
3
42
4242
42
x
2
?1
(3)对于函数
f( x)?
,其定义域为
(??,0)(0,??)
,因为对定义域内
x
(?x)
2
?1x
2
?1
????f(x)
, 每一个< br>x
都有
f(?x)?
?xx
x
2
?1
所以函 数
f(x)?
为奇函数;
x
(4)对于函数
f(x)?x?1,其定义域为
(??,??)
,因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)?1?x?1?f(x)

所以函数
f(x)?x?1
为偶函数.
2.已知
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数,试将下图补充完整.




2
22
2



2.解:
f(x)
是偶函数,其图象是关于
y
轴对称的;

g(x)
是奇函数,其图象是关于原点对称的.


习题1.3
A组
1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数
y?f(x)
的单调区 间,以及在各单调区间
上函数
y?f(x)
是增函数还是减函数.
(1)
y?x?5x?6
; (2)
y?9?x
.
1.解:(1)













函数在
(??,)
上递减;函数在
[,??)
上递增;
(2)




22
5
2
5
2







函数在
(??,0)
上递增;函数在
[0,??)
上递减.
2.证明:
(1)函数
f(x)?x?1

(??,0)
上是减函数;
(2)函数
f(x)?1?
2
1

(??,0)
上是增函 数.
x
22
2.证明:(1)设
x
1
?x
2?0
,而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)


x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2
?0
,得
f(x1
)?f(x
2
)?0

2

f(x
1
)?f(x
2
)
,所以函数
f(x)? x?1

(??,0)
上是减函数;
(2)设
x
1
?x
2
?0
,而
f(x
1
)?f(x
2
)?
11
x
1
?x
2
??

x
2
x
1
x
1
x
2

x
1
x
2
?0,x
1
?x
2
?0
,得
f(x
1
)?f(x
2
)?0


f(x
1
)?f(x
2
)
,所以函数
f(x)? 1?
1

(??,0)
上是增函数.
x
3.探究一次函数
y?mx?b(x?R)
的单调性,并证明你的结论.
3.解:当
m?0
时,一次函数
y?mx?b

(??,? ?)
上是增函数;

m?0
时,一次函数
y?mx ?b

(??,??)
上是减函数,

f(x)?mx?b
,设
x
1
?x
2


f(x
1
)?f(x
2
)?m(x1
?x
2
)


m?0
时,
m(x
1
?x
2
)?0
,即
f(x
1)?f(x
2
)

得一次函数
y?mx?b

(??,??)
上是增函数;

m?0
时,
m(x
1
?x
2
)?0
,即
f(x
1
)?f(x
2
)

得一次函数
y?mx?b

(??,??)
上是减函数.
4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图).
4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为



5.某汽车租赁公司的月收益
y
元与每辆车的月租金
x
元间的关系为
x
2
y???162x?21000
,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁 公司的月收益最大?最大月收益是多
50
少?
x
2
?162x?21000
, 5.解:对于函数
y??
50

x??
162
1
2?(?)
50

?4050
时,
y
max
?307050
(元)
即每辆车的月租金为
4050
元时,租赁公司最大月收益为
307050
元.
6.已知函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,当
x?0< br>时,
f(x)?x(1?x)
.画出函数
f(x)

的图象,并求出函数的解析式.
6.解:当
x?0
时,
?x?0< br>,而当
x?0
时,
f(x)?x(1?x)


f(?x)??x(1?x)
,而由已知函数是奇函数,得
f(?x)??f(x)


?f(x)??x(1?x)
,即
f(x)?x(1?x)

所以函数的解析式为
f(x)?
?
?
x(1?x),x?0
.
?
x(1?x),x?0
B组
1.已知函数
f(x)?x?2x< br>,
g(x)?x?2x(x?[2,4])
.
(1)求
f(x)

g(x)
的单调区间; (2)求
f(x)

g(x)
的最小值.
1.解:(1)二次函数
f(x)?x?2x
的对称轴为
x?1

则函数
f(x)
的单调区间为
(??,1),[1,??)

且函数
f(x)

(??,1)
上为减函数,在
[1,??)
上为增函数,
函数
g(x)
的单调区间为
[2,4]

且函数
g(x)

[2,4]
上为增函数;
2
22


(2)当
x?1
时,
f(x)
min
??1

因为函数
g(x)

[2,4]
上为增函数,
2
所以
g(x)
min
?g(2)?2?2?2?0

2.如图所示 ,动物园要建造一面靠墙的
2
间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30m
,那么宽
x
(单位:
m
)为多少才能使建造的每间熊猫居 室面积最大?每间熊猫居室的最大面积
是多少?







2.解:由矩形的宽为
xm
,得矩形的长为
30?3x
m
,设矩形的面积为
S

2
30?3x3(x
2
?10x)
??

S?x

22
2

x?5
时,
S
max
?37.5m

即宽
x?5
m
才能使建造的每间熊猫居室面积最大,
且每间熊猫居室的最大面积是18.75m^2.
3.已知函数
f(x)
是 偶函数,而且在
(0,??)
上是减函数,判断
f(x)

(??, 0)
上是增函数还是减函数,并
证明你的判断.
3.判断
f(x)

(??,0)
上是增函数,证明如下:

x
1
?x
2
?0
,则
?x
1
??x
2
?0

因为函数
f(x)

(0,??)
上是减函数,得
f(?x
1
)?f(?x
2< br>)

又因为函数
f(x)
是偶函数,得
f(x
1
)?f(x
2
)

所以
f(x)

(??,0)
上是增函数.

复习参考题
A组
1.用列举法表示下列集合:
(1)
A?{x|x?9}

2


(2)
B?{x?N|1?x?2}

(3)
C?{x|x?3x?2?0}
.
2
1.解:(1)方程< br>x?9
的解为
x
1
??3,x
2
?3
,即集 合
A?{?3,3}

2
(2)
1?x?2
, 且
x?N
,则
x?1,2
,即集合
B?{1,2}
2
(3)方程
x?3x?2?0
的解为
x
1
?1,x< br>2
?2
,即集合
C?{1,2}

2.设
P
表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形?
(1)
{P|PA?PB}(A,B
是两个定点
)

(2)
{P|PO?3cm}(O
是定点
)
.
2.解:( 1)由
PA?PB
,得点
P
到线段
AB
的两个端点的距离相 等,

{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线;
(2)
{P|PO?3cm}
表示的点组成以定点
O
为圆心,半径为
3cm
的圆.
3.设平面内有
?ABC
,且
P
表示这个平 面内的动点,指出属于集合
{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是什么.
3.解:集合
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线,
集合
{P|PA?PC}
表示的点组成线段
AC
的垂直平分线,

{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是线段
AB
的垂直平分线与线 段
AC

垂直平分线的交点,即
?ABC
的外心.
4. 已知集合
A?{x|x?1}

B?{x|ax?1}
.若
B?A< br>,求实数
a
的值.
4.解:显然集合
A?{?1,1}
,对 于集合
B?{x|ax?1}


a?0
时,集合
B??
,满足
B?A
,即
a?0


a?0
时,集合
B?{}
,而
B?A
,则

a??1
,或
a?1

综上得:实数
a
的值为
?1,0
,或
1

5.已 知集合
A?{(x,y)|2x?y?0}

B?{(x,y)|3x?y?0}
C?{(x,y)|2x?y?3}
,求
A
2
1
a< br>11
??1
,或
?1

aa
B

AC

(AB)(BC)
.

< p>
?
?
2x?y?0?
5.解:集合
AB?
?
( x,y)|
??
?{(0,0)}
,即
AB?{(0,0)}

3x?y?0
?
??
集合
A
?
?< br>2x?y?0?
C?
?
(x,y)|
??
??
,即< br>AC??

?
2x?y?3
??
?
?
3x ?y?0?
39
集合
BC?
?
(x,y)|
?
?{(,?)}

?
2x?y?3
55
?
??

(A
39
B)(BC)?{(0,0),(,?)}
.
55
6.求下列函数的定义域:
(1)
y?x?2?x?5

(2)
y?
x?4
.
|x|?5
?
x?2?0
,即
x?2

?
x?5?0
6.解:(1)要使原式有意义,则
?
得函数的定义域为
[2,??)

(2)要使原式有意义,则
?
?
x?4?0
,即
x?4
,且
x?5

?
|x|?5?0
(5,??)
. 得函数的定义域为
[4,5)
7.已知函数
f(x)?
1?x
,求:
1?x
(1)
f(a)?1(a??1)
; (2)
f(a?1)(a??2)
.
1?x

1?x
1?a1?a2
所以
f(a)?
,得
f(a)?1?

?1?
1?a1?a1?a
2

f(a)?1?

1?a
1?x
(2)因为
f(x)?

1?x
1?(a?1)a
??
所以
f(a?1)?

1?a?1a?2
a

f(a?1)??

a?2
7.解:(1)因为
f(x)?1?x
2
8.设
f(x)?
,求证:50
1?x
2


(1)
f(?x)?f(x)
; (2)
f()??f(x)
.
1
x
1?x
2
8.证明:(1)因为
f(x)?

1?x
2
1?(?x)
2
1?x
2
??f(x)< br>, 所以
f(?x)?
1?(?x)
2
1?x
2

f(?x)?f(x)

1?x
2
(2)因为
f(x)?

1?x
2
1
1?()
2
11?x
2
x
所以
f()????f(x)

x
1?(
1
)
2
x
2
?1
x
1

f()??f(x)
.
x
9.已知函数
f(x)?4x?kx? 8

[5,20]
上具有单调性,求实数
k
的取值范围.
9.解:该二次函数的对称轴为
x?
2
2
k

8
函数
f(x)?4x?kx?8

[5,20]
上具有单调性,
k k
?20
,或
?5
,得
k?160
,或
k?40< br>,
88
即实数
k
的取值范围为
k?160
,或k?40


10.已知函数
y?x

(1)它是奇函数还是偶函数?
(2)它的图象具有怎样的对称性?
(3)它在
(0,??)
上是增函数还是减函数?
(4)它在
(??,0)
上是增函数还是减函数?
10.解:(1)令
f(x)?x
,而
f(?x)?(?x)
即函数
y?x
是偶函数;
(2)函数
y?x
的图象关于
y
轴对称;
(3)函数
y?x

(0,??)
上是减函数;
(4)函数
y?x

(??,0)
上是增函数.
?2
?2
?2
?2
?2?2
?2
?x
?2
?f(x)



B组
1.学校举办运动会时,高一(1)班共有
2 8
名同学参加比赛,有
15
人参加游泳比赛,有
8
人参加田径比赛,

14
人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有
3
人,同 时参加游泳比赛和球类比赛的有
3
人,
没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球 类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
1.解:设同时参加田径和球类比赛的有
x
人,

15?8?14?3?3?x?28
,得
x?3

只参加游泳一项比赛的有
15?3?3?9
(人),
即同时参加田径和球类比赛的有
3
人,只参加游泳一项比赛的有
9
人. 2.已知非空集合
A?{x?R|x?a}
,试求实数
a
的取值范围.
2.解:因为集合
A??
,且
x?0
,所以
a?0

3.设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

?
U
(A
3.解:由
?
U
(A
集合
A
2
2
B)?{1,3}

A(?
U
B)?{2,4 }
,求集合
B
.
B)?{1,3}
,得
AB?{2,4,5,6,7,8,9}

B
里除去
A(?
U
B)
,得集合
B

所以集合
B?{5,6,7,8,9}
.
4.已知函数f(x)?
?
?
x(x?4),x?0
.求
f(1)

f(?3)

f(a?1)
的值.
?
x(x?4),x? 0
4.解:当
x?0
时,
f(x)?x(x?4)
,得
f( 1)?1?(1?4)?5


x?0
时,
f(x )?x(x?4)
,得
f(?3)??3?(?3?4)?21


f(a?1)?
?
5.证明:
?
(a?1)(a?5),a??1

?
(a?1)(a?3), a??1
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?
22
x?x
2
g(x
1)?g(x
2
)
2
(2)若
g(x)?x?ax?b
, 则
g(
1
.
)?
22
x?x
2
x?x< br>a
)?a
12
?b?(x
1
?x
2
)?b< br>, 5.证明:(1)因为
f(x)?ax?b
,得
f(
1
2 22
f(x
1
)?f(x
2
)ax
1
?b?ax< br>2
?b
a
??(x
1
?x
2
)?b

222
x?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?
所以
f(
1

22
(1)若
f(x)?ax?b
,则
f(
(2)因为
g(x)?x?ax?b

2


6.
它在
x
1
?x
2
x?x
1
)?(x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
)?a(
12
)?b

242
g(x
1
)?g(x
2< br>)
1
?[(x
1
2
?ax
1
?b)?(x< br>2
2
?ax
2
?b)]

22
x?x
2
1
22

?(x
1
?x
2
)?a(
1
)?b
, < br>22
1
2
1
2
1
222
因为
(x< br>1
?x
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
?x
2
)??(x
1
?x
2
)?0
, < br>424
1
2
1
222

(x
1
?x
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
?x
2
)

42
x?x
2
g(x
1
)?g( x
2
)
所以
g(
1
.
)?
22
全月应纳税所得额
税率
(
0
0
)

(1)已知奇函数
f( x)

[a,b]
上是减函数,试问:

g(
[?b,?a ]
上是增函数还是减函数?
(2)已知偶函数
g(x)

[a,b ]
上是增函数,试问:
它在
[?b,?a]
上是增函数还是减函数?
6.解:(1)函数
f(x)

[?b,?a]
上也是减函数,证明如下:

?b?x
1
?x
2
??a
,则
a??x
2
??x
1
?b

因为函数
f(x)

[a,b]
上是减函数,则
f(?x
2
)?f(?x
1
)

又因为函数
f(x)
是奇函数,则
?f(x
2
)??f(x
1
)
,即
f(x
1
)?f(x
2
)

所以函数
f(x)

[?b,?a]
上也是减函数;
(2)函数
g(x)

[?b,?a]
上是减函数,证明如下:

?b?x
1
?x
2
??a
,则
a??x
2
??x
1
?b

因为函数
g (x)

[a,b]
上是增函数,则
g(?x
2
)?g(? x
1
)

又因为函数
g(x)
是 偶函数,则
g(x
2
)?g(x
1
)
,即
g(x< br>1
)?g(x
2
)

所以函数
g(x)

[?b,?a]
上是减函数.
7.《中华人民 共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过
2000
元的部分
不必纳 税,超过
2000
元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算:
某人一月份应交纳此项税款为
26.78
元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?



不超过
500
元的部分
5


超过
500
元至
2000
元的部分
10


超过
2000
元至
5000
元的部分
15




7.解:设某人的全月工资、薪金所得为
x
元,应纳 此项税款为
y
元,则
?
0,0?x?2000
?
(x?2 000)?5%,2000?x?2500
?

y?
?

?
25?(x?2500)?10%,2500?x?4000
?
?
175?(x?4000)?15%,4000?x?5000
由该人一月份应交纳此项税款为
26.78
元,得
2500?x?4000


25?(x?2500)?10%?26.78
,得
x?2517.8

所以该人当月的工资、薪金所得是
2517.8
元.
第三章 函数的应用
3.1函数与方程
练习(P88)
1.(1)令f(x)=-x2
+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1)),它与x轴有两个交点,
所以方程-x
2
+3x+5=0有两个不相等的实数根.
(2)2x(x- 2)=-3可化为2x
2
-4x+3=0,令f(x)=2x
2
-4x+3,
作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2)),它与x轴没有交点,所以方程2x(x-2)= -3无实数根.
(3)x
2
=4x-4可化为x
2
-4x+4=0 ,令f(x)=x
2
-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3)),
它与x轴只有一个交点(相切),所以方程x
2
=4x-4有两个相等的实数根. < br>(4)5x
2
+2x=3x
2
+5可化为2x
2
+2 x-5=0,令f(x)=2x
2
+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7( 4)),
它与x轴有两个交点,所以方程5x
2
+2x=3x
2
+ 5有两个不相等的实数根.



图3-1-2-7
2.(1)作出函 数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,
所以f(x)=-x
3
-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.
又 因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,所以f(x)=-x
3
-3x+5在区间(1,1 .5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,
所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.
又因为f(x) =2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,
所以f(x)=e
x
-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.
又因 为f(x)=e
x
-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上 有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(- 3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,
所以f(x)=3(x+2)(x-3) (x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.

图3-1-2-8
练习(P91)


1.由题设可知f(0)=-1 .4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点x
0
.
下面用二分法求函 数f(x)=x
3
+1.1x
2
+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零 点.
取区间(0,1)的中点x
1
=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·f(1)<0,所以x
0
∈(0.5,1).
再取区间 (0.5,1)的中点x
2
=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x
0
∈(0.5,0.75). 同理,可得x
0
∈(0.625,0.75),x
0
∈(0.625,0 .687 5),x
0
∈(0.656 25,0.687 5).
由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.656 25.
2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f (x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.
于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x
0
.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.
取区间(2,3)的中点x
1
=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.
因为f(2.5)·f(3)<0,所以x
0
∈(2.5,3).
再取区间 (2.5,3)的中点x
2
=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.
因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x
0
∈(2.5,2.75).
同理,可得x
0
∈(2.5,2.625),x
0
∈(2.562 5,2.625),x
0
∈(2.562 5,2.593 75),
x
0
∈(2.578 125,2.593 75),x
0
∈(2.585 937 5,2.59 375).
由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.593 75.
习题3.1 A组(P92)
1.A,C 点评:需了解二分法求函数的近似零点的条件.
2.由x,f(x)的对应值 表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
又根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,
并且f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”
可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.
3.原方程即 (x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,
可 算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有 一个解.
下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1,0)内的近似解.
取区间(-1,0)的中点x
1
=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.3 75.
因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x
0
∈(-1,-0.5).
再取(-1,-0.5)的中点x
2
=-0.75,用计算器可算得f(-0.75) ≈1.58.
因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x
0
∈(-1,-0.75).
同理,可得x
0
∈(-1,-0.875),x
0
∈(-0.937 5,-0.875).
由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为-0.937 5.
4.原方程即0.8
x
-1-lnx=0,令f(x)=0.8
x
-1-lnx,f(0)没有意义,
用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,
所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.
下面用二分法求方程0.8
x
-1=lnx在区间(0,1)内的近似解.
取区间(0.5,1)的中点x
1
=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.
因为f(0.75)·f(1)<0,所以x
0
∈(0.75,1).
再取 (0.75,1)的中点x
2
=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.
因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x
0
∈(0.75,0.875) .


同理,可得x
0
∈(0.812 5,0.875),x
0
∈(0.812 5,0.843 75).
由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.843 75.
5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)在区间(2,3)内有一个零点.
下面用二分法求函数f(x)=lnx
?
2
在区间(2,3)内的近似解.
x
取区间(2,3)的中点x
1
=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0 .12.
因为f(2)·f(2.5)<0,所以x
0
∈(2,2.5).
再取(2,2.5)的中点x
2
=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.
因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x
0
∈(2.25,2.5).
同理,可得x
0
∈(2.25,2.375),x
0
∈(2.312 5,2.375),x
0
∈(2.343 75,2.375),
x
0
∈(2.343 75,2.359 375),x
0
∈(2.343 75,2.351 562 5),x
0
∈(2.343 75,2.347 656 25).
由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.
B组
?b?b
2
?4ac
3?(?3)
2
?4?2?(?1)
2
3?17< br>1.将系数代入求根公式x=,得x==,
2a
2?2
4
所以方程的 两个解分别为x
1
=
3?17
,x
2
=
3?17< br>.
4
4
下面用二分法求方程的近似解.
取区间(1.775,1. 8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x
2
-3x-1.
在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)·f(1.8)<0.
所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,
所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.
所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.
2.原方程即x
3
-6x
2
-3x+5=0,令f(x)=x
3
-6x
2
- 3x+5,函数图象如下图所示.

图3-1-2-9
所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.
取区间(-2,0)的中点x
1
=-1,用计算器可算得f(-1)=1.
因为f(-2)·f(-1)<0,所以x
0
∈(-2,-1).
再取(- 2,-1)的中点x
2
=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.
因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x
0
∈(-1.5,-1).
同理,可得x
0
∈(-1.25,-1),x
0
∈(-1.125,-1), x
0
∈(-1.125,-1.062 5).


由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-2,0)内的近似解可取为-1.062 5.
同理,可得原方程在区 间(0,1)内的近似解可取为0.7,在区间(6,7)内的近似解可取为6.3.
3.(1)由题 设有g(x)=2-[f(x)]
2
=2-(x
2
+3x+2)
2< br>=-x
4
-6x
3
-13x
2
-12x-2.
(2)
函数图象如下图所示
.
图3-1-2-10
(3)由图象可知,函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点. < br>取区间(-3,-2)的中点x
1
=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.1 87 5.
因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x
0
∈(-3,-2.5).
再取(-3,-2.5)的中点x
2
=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.2 8.
因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x
0
∈(-3,-2.75).
同理,可得x
0
∈(-2.875,-2.75),x
0
∈(-2. 812 5,-2.75).
由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-3,-2)内的近似解可取为-2.812 5.
同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.
所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.
点评:第2、3题采用信息 技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术
条件,建议教师直接 给出函数图象或零点所在区间.
第三章 复习参考题A组(P112)
1.C 2.C
3.设经过时间t后列车离C地的距离为y,则y=
?
?
200?100t, 0?t?2,
图3-2
?
100t?200,2?t?5.
4.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形;
(3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.

图3-3
5.令 f(x)=2x
3
-4x
2
-3x+1,函数图象如图3-3所示:


函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,
所以方程2x
3
-4x
2
-3x+1=0的最大的根应在区间(2,3)内 .
取区间(2,3)的中点x
1
=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-0.2 5.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x
0
∈(2.5,3).
再取(2.5 ,3)的中点x
2
=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.
因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x
0
∈(2.5,2.75). 同理,可得x
0
∈(2.5,2.625),x
0
∈(2.5,2.56 25),x
0
∈(2.5,2.53125),
x
0
∈(2.51 5625,2.53125),x
0
∈(2.515625,2.5234375).
由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,
所以原方程的最大根约为2.523 437 5.
6.令lgx=
111
,即得方程lgx
?
=0,再令g(x)=lgx
?
,用二分法求得交点的横 坐标约为2.5.
xxx

图3-4
7.如图,作DE⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.
AD
2
x
2
因为AD=x,AB=4,于是AD=AE×AB,即AE==.
AB
4
2
x
2
x
2
所以CD=AB-2AE=4-2×=4< br>?
.
42
x
2
x
2
于是y=AB+BC+ CD+AD=4+x+4
?
+x=
?
+2x+8.
22
x
2
x
2
由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4
?
>0,解得02
.
42
x
2
所以所求 的函数为y=
?
+2x+8,02
.
2
8.(1 )由已知可得N=N
0
(
1
t
1
λ
).因为λ是正 常数,e>1,所以e>1,即0<<1.
??
ee
1
又N
0是正常数,所以N=N
0
(
?
)
t
是在于t的减函数.
e
NN
1
N
,所以-λt=ln,即t=
?
ln.
N
0
N
0
?
N
0
(2)N=N
0
e
-λt
,因为e
-λt
=
(3)当N=
N
0
1
N
0
1
时,t=
?
=
?
l n2.
2
?
2N
0
?
9.因为f(1)=-3+12+8 =17>0,f(2)=-3×8+12×2+8=8>0,f(3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始.
B组
1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.


?
3
2
0?t?1,
?
t,
?
2
?
?
3
(t?2)
2
?3,1?t?2,
2.函数的解析式为y=f(t) =
?
?
?
2
?
3,t?2.
?
?
?
函数的图象为

图3-5



备课资料
[备选例题]
【例】对于函数f(x)=ax
2
+(b+1)x+b-2( a≠0),若存在实数x
0
,使f(x
0
)=x
0
成立,则 称x
0
为f(x)的不动点.
(1)当a=2,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.
解: (1)f(x)=ax
2
+(b+1)x+b-2(a≠0),当a=2,b=-2时,f(x )=2x
2
-x-4,
设x为其不动点,即2x
2
-x-4=x, 则2x
2
-2x-4=0,解得x
1
=-1,x
2
=2,即 f(x)的不动点为-1,2.
(2)由f(x)=x,得ax
2
+bx+b-2= 0.关于x的方程有相异实根,则b
2
-4a(b-2)>0,即b
2
-4a b+8a>0.
又对所有的b∈R,b
2
-4ab+8a>0恒成立,故有(4a)
2
-4·8a<0,得0

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