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高中数学必修一至必修五知识点总结(完整版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 16:42
tags:高中数学必修一

高中数学向量压轴小题-南通小题高中数学必修1答


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高中数学必修 1 知识点总结






第一章

集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一
个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:

1. 元素的确定性; 2. 元素的互异性; 3. 元素的无序性
说明: (1) 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象
或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2) 任何一个给定的集合中, 任何两个元素都是不同的对象, 相同的对象
归入一个集合时,仅算一个元素。
(3) 集合中的元素是平等的, 没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,
仅需比较它们的元素是否一样, 不需考查排列顺序是否一样。
(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示: { ? } 如 { 我校的篮球队员 } ,{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 ,
北冰洋 }

1. 用拉丁字母表示集合: A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
非负整数集(即自然数集)记作: N
正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属
于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如: a 是集合 A 的元素,就说 a
属于集合 A 记作 a ∈A ,相反, a 不属于集合 A 记作 a A 列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方
法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

① 语言描述法:例: { 不是直角三角形的三角形

}

② 数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是 {x?R| x-3>2} 或{x| x-3>2}



4、集合的分类:



( 1).有限集
含有有限个元素的集合

( 2).无限集
含有无限个元素的集合

不含任何元素的集合

例: {x|x2= -5}

( 3).空集






















二、集合间的基本关系

1. “包含”关系—子集
注意: 有两种可能( 1) A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。
反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A

2.“相等”关系 (5 ≥5,且 5≤ 5,则 5=5)

实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}








“元素相同”

结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合

B 的元

素,同时 , 集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合

A 等

于集合 B,即: A=B

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任何一个集合是它本身的子集。

A

A

② 真子集 : 如果 A B, 且 B A 那就说集合 A是集合 B 的真子集,记作 A

B(或 B A)

③如果A B,B C,那么A C

④如果A B

同时B

A那么A=B

3.

不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定 :

空集是任何集合的子集,

空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 , 叫
做 A,B 的交集.

记作 A∩B(读作” A 交 B”) ,即 A∩ B={x|x ∈A,且 x∈B} .

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的
集合,叫做 A,B 的并集。记作: A∪B(读作” A 并 B”) ,即 A∪ B={x|x

∈ A,或 x∈B}.
3、交集与并集的性质: A∩A = A, A ∩φ = φ, A ∩B = B ∩A,A∪ A = A,
A∪φ = A ,A ∪B = B ∪A.










4、全集与补集

( 1)补集:设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中所有不
属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)

( 2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个
集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。
四、函数的有关概念







1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系



f ,

使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对



应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x)

,x



∈ A.其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相



对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)| x



∈A } 叫做函数的值域.

注意:如果只给出解析式 y=f(x) ,而没有指明它的定义域,则函数的定义域




即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合




或区间的形式.



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定义域补充



能使函数式有意义的实数

x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列



不等式组的主要依据是: (1) 分式的分母不等于零; (2) 偶次方根的被开方数



不小于零; (3) 对数式的真数必须大于零; (4) 指数、对数式的底必须大于零



且不等于 1. (5)



如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的

. 那

么,它的定义域是使各部分都有意义的



x 的值组成的集合 . (6)指数为零底

不可以等于零 (6) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

.



( 又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。




)

构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域








注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定




义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,



即称这两个函数相等(或为同一函数) ( 2)两个函数相等当且仅当它们的定




义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数



的判断方法: ① 表达式相同; ②定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) ( 见课本



21 页相关例 2)









值域补充



(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则, 不论采取什么方法求函数的值域都
应先考虑其定义域 . (2). 应熟悉掌握一次函数、 二次函数、指数、对数函数及各
三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。





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3.

函数图象知识归纳

(1)

定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x


∈A) 中的 x 为横坐标,

∈ A)的图象.

函数值 y 为纵坐标的点 P(x ,y) 的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x



集合 C 上每一点的坐标 (x ,y) 均满足函数关系

y=f(x) ,反过来,以满足 y=f(x)



的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x ,y) ,均在 C 上 .

即记为 C={ P(x,y)



| y= f(x) , x



∈A }, 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线

( 或直线 ), 也可能

Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组

是由与任意平行与




成。



(2)


画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域, 求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)



为坐标在坐标系内描出相应的点



P(x, y)

,最后用平滑的曲线将这些点连接

起来 .



B、图象变换法(请参考必修

4 三角函数)




常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换



(3) 作用:


1、直观的看出函数的性质;




2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高

解题的速度。发现解题中的错误。








4.了解区间的概念



(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;(3)区间




的数轴表示.






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5.什么叫做映射



一般地,设 A、 B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则



f ,使对

于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素



y 与之对应,

那么就称对应 f : A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f :A→ B ”



给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b ∈ B. 且元素 a 和元素 b 对应,那么,



我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象



说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,



①集合 A、B 及对应

法则 f 是确定的; ②对应法则有 “方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,



它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ③对于映射 f :A→B 来说,则应满足:



(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合

B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)



集合 A 中不同的元素,在集合

B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合



B 中的每一个元素在集合

A 中都有原象。









常用的函数表示法及各自的优点:








1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意
判断一个图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图
象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数


的特征; 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数
值.










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补充一:分段函数




(参见课本 P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值



时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方



程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,



并分别注明各

部分的自变量的取值情况.( 1)分段函数是一个函数, 不要把它误认为是几个



函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.









补充二:复合函数



如果 y=f(u),(u

∈ M),u=g(x),(x ∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)




,(x ∈ A)

称为 f 、g

的复合函数。



例如 : y=2sinx








y=2cos(2x+1)

7.函数单调性



(1).增函数



设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个



自变量 a,b,当 a


,那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函

数。区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)



如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a,b,当 a


那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=f(x) 的单调减区间 .



注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,

是函数的局部性质;



2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a,b;当 a




(2) 图象的特点






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一般地,对于函数














如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数

y=f(x) 在这一区

间上具有 ( 严格的 ) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,



函数的图象从左到右是下降的

.

(3). 函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:任取 a,b∈D,且 a分解和配方);4 定号(即判断差 f(a) - f(b) 的正负);5 下结论(指出函数 f(x)
在给定的区间 D上的单调性).
(B) 图象法 ( 从图象上看升降 )_
(C) 复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]

的单调性与构成它的函数

u=g(x) ,y=f(u) 的单调性密切相关

注意: 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间

, 不能把单调性相同的区

间和在一起写成其并集 . 2 、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定

单调性吗?

8.函数的奇偶性

(1)偶函数

f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有 f( -x)=f(x)

,那么 f(x)

就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有 f( -x)= —f(x) ,那么

f(x) 就叫做奇函数.

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f(x)=0























注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,

函数的奇偶性是函数

的整体性质;函数可能没有奇偶性

, 也可能既是奇函数又是偶函数。

2、 由函数的奇偶性定义可知,

函数具有奇偶性的一个必要条件是,

对于定义

域内的任意一个 x,则- x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原

点对称).

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:

1 首先确定函数的定义域, 并判

断其定义域是否关于原点对称; 2 确定 f( -x) 与 f(x) 的关系; 3 作出相应结

论:若 f( -x) = f(x)

或 f( -x) -f(x)

= 0,则 f(x) 是偶函数;若 f( -x) =

-f(x)

或 f( -x) +f(x) = 0

,则 f(x) 是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

首先看函数的

定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数

. 若对称, (1) 再根

据定义判定 (2)

有时判定 f(-x)= ±f(x) 比较困难,可考虑根据是否有

f(-x)

±
或 f(x)f(-x)=

±1 来判定 (3) 利用定理,或借助函数的图象判定

.

9、函数的解析表达式

(1). 函数的解析式是函数的一种表示方法,

要求两个变量之间的函数关系时,

一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域

.

(2). 求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果

已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数

f[g(x)]

的表达式

时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用

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凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出








f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本



p36 页)

(2)、 利

(1)、 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

.



用图象求函数的最大(小)值



(3)、利用函数单调性的判断函数的最大 (小)

值:如果函数 y=f(x) 在区间 [a , b] 上单调递增,在区间 [b ,c] 上单调递减则



函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b) ;如果函数 y=f(x) 在区间 [a ,b] 上单调递



减,在区间 [b ,c] 上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b) ;










第二章

基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果
x

n

a
,那么
x
叫做
a

n
次方根(n th root ),
其中
n
>1,且
n


N

*



nn

n
是奇数时,正数的


次方根是一个正数,负数的

次方根是一个负
数.此时,
a

n
次方根用符号

n
a
表示.式子

n
a
叫做根式(radical

),这

n
叫做根指数( radical exponent ),
a
叫做被开方数( radicand ).

当 是偶数时,正数的


n


次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数

n
n
a
的正的
n
次方根用符号
a
表示,负的

次方根用符号-
a
表示.正的


n
n
n
次方根与负的


次方根可以合并成±

n
a

a
>0).由此可得:负数没有
偶次方根; 0 的任何次方根都是 0,记作
n

0 0



注意:当
n
是奇数时,

n

a
n





n
a ,当
n
是偶数时,
n
a
n

| a |


a ( a

0)

a ( a

0)




2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

m
a
n

n
a

m

(a

0, m, n N
*
, n

1)


a

m
n

1

m
1


(a


0, m, n N


*
,n 1)


a
n

n
a
m

0 的正分数指数幂等于

0, 0 的负分数指数幂没有意义

指出:规定了分 数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有
理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可 以推广到有理数指数
幂.3.实数指数幂的运算性质



a
r





a
r

a
r s

(a
r
)
s

(a 0,r , s R)
;(

2)


a
rs

(1)


·

( a 0, r , s R)


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3

(ab)

r
a
r

a
s

(a

0, r , s R)












(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数

y a
x
(a

0, 且 a

1)
叫做指数函数

(exponential function

),其中 x 是自变量,函数的定义域为

R.

1.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和

2、指数函数的图象和性质


a>1


0



















-4




1













46






-4




1







24










-2

0

-1











-2


0



-1
图象特征

a 1






0 a

1




















向 x、y 轴正负方向无限延伸
图象关于原点和 y 轴不对称
函数图象都在 x 轴上方
函数图象都过定点( 0, 1)

自左向右

看,

图象逐渐

上升

在第一象

限内的图

象纵坐标

都大于 1

在第二象

限内的图

象纵坐标

都小于 1

自左向右

看,

图象逐渐

下降

在第一象

限内的图

象纵坐标

都小于 1

在第二象

限内的图

象纵坐标

都大于 1

函数性质


a 1

0 a

1


函数的定义域为 R


非奇非偶函数


函数的值域为 R
+






a
0

1

增函数







减函数

x 0,a
x
1








x 0, a
x

1

x 0, a
x
1






x 0, a
x

1


函数值开


始增长较


图象上升

图象上升

慢,到了


趋势是越

趋势是越

某一值后


来越陡

来越缓

增长速度


极快;


注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

函数值开

始减小极

快,到了

某一值后

减小速度

较慢;

(1)在 [a ,b] 上,
f (x )

a
x
(a

0且 a

1)

值域是
[ f (a), f (b)]

[ f ( b), f (a)]


(2)若 x 0 ,则
f (x)

1

f (x )
取遍所有正数当且仅当
x

R


(3)对于指数函数


(4)当 a 1时,若 x
1

二、对数函数


(一)对数


f (x )

,总有
f (1) a





x
2
,则 f (x
1
)

f ( x
2
) ;









a
x
(a

0 a

1)








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1.对数的概念:一般地,如果



底 N 的对数,记作:
x

log
a




式)


1

注意底数的限制




. .

N

a


底数,

N



真数,
log
a
N


对数

a
x

N (a 0, a 1)
,那么数
x
叫做以
a






说明:○


2

x


a






a

,且




0

a 1






N

log
a
N


x



log
a
N









3

注意对数的书写格式.


两个重要对数:


1


○ 常用对数:以 10 为底的对数
lg N





○ 自然对数:以无理数 e

2



2.71828







为底的对数的对数 ln N .



对数式与指数式的互化


log
a
N

x


a
x

N



对数式


指数式


对数底数



→ 幂底数


a


对数




x



指数


真数




N






(二)对数的运算性质


0

, N

0 ,那么:( )


a
M
·
N)


a
0 ,且 a

1 , M
a
如果


1


log

(


log


M



log
a
N
;(

2


log
a

M

( n

R)






log
a
M

log
a
N
;(

3


log
a
M
n





n log
a
M





N




注意:换底公式 log
a
b

log
c

( a

0 ,且 a

1 ;c

0 ,且 c

1 ;b

0 ).

log
c

a


b












利用换底公式推导下面的结论 (1)



log
a










b

n

n


m

m

log
a

b
;(2)



log
a
b








1



log
b

a

(二)对数函数


1、对数函数的概念:函数
y

log
a

x(a


0

,且
a

1)
叫做对数函数,其中


x
是自变量,函数的定义域是(

0,+∞).


注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。


如:

y



x

都不是对数函数, 而只能称其为对数型函数.

y log
5

5


2

○2 对数函数对底数的限制:
(a 0
,且
a


1)





2 log

x ,



2、对数函数的性质:

a>1


3





























0

3

2.5





1.5







2.5









1.5








1

0.5



23




56






-1






0


-0 .5
-1
-1 .5




-2

-2 .5




1


























0








1

0.5




23




67








-0.5

1






















-1

-1.5




-2

-2.5








图象特征

a

1











函数性质

a


1













0

a


1


0

a

1

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函数图象都在 y 轴右侧

图象关于原点和 y 轴不对





向 y 轴正负方向无限延伸

函数的定义域为( 0,+∞)

非奇非偶函数









函数的值域为 R

log
a
1 0













函数图象都过定点 (1,0)

自 左 向

右看,

图 象 逐

渐上升

第 一 象

限 的 图

象 纵 坐

标 都 大

于 0

第 二 象

限 的 图

象 纵 坐

标 都 小

于 0








自 左 向

右看,

图 象 逐

渐下降

第 一 象

限 的 图

象 纵 坐

标 都 大

于 0

第 二 象

限 的 图

象 纵 坐

标 都 小

于 0


增函数


减函数












x


1, log
a
x


0


0

x 1, log
a
x 0

















0

x 1, log
a
x


0


x

1,log
a
x 0












三、幂函数

1、幂函数定义: 一般地,形如
y

x (a R)
的函数称为幂函数, 其中

常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在( 0, +∞)都有定义,并且图象都过点(

1,1);




(2)

0

时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0, )
上是增函数.特

1时,幂函数的图象下凸; 当 0

1时,幂函数的图象上凸;

别地,当


(3)

0

时,幂函数的图象在区间
(0, )
上是减函数.在第一象限内, 当

x
从右边趋向原点时,图象在

y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于时,
图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.




第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点


1、函数零点的概念:对于函数
y f (x)( x D )
,把使
f ( x)

叫做函数
y f (x)( x D )
的零点。


0
成立的实数
x


2、函数零点的意义:函数

y f ( x)
的零点就是方程
f (x)

0

实数根,亦即

函数
y f ( x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。即:


方程
f ( x) 0
有 实数根

函数
y f ( x)
的 图象与
x
轴有 交点

函数

y f ( x)
有零点.




















3、函数零点的求法:

求函数
y f ( x)
的零点:

1



(代数法)求方程
f (x) 0
的实数根;
2


○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数



y

f ( x)


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图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数
y ax
2

bx

c(a

0)




1)△>0,方程
ax
2

bx

c

0
有两不等实根,二次函数的图象与

有两个交点,二次函数有两个零点.

x



2)△=0,方程
ax
2

bx

c

0
有两相等实根(二重根) ,二次函数的

图象与
x
轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.


3)△<0,方程
ax
2

二次函数无零点.


bx

c


0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,















高中数学必修二知识点

一、直线与方程


(1)直线的倾斜角


定义: x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与


x 轴平行

或重合时 , 我们规定它的倾斜角为


0度。因此,倾斜角的取值范围是

0° ≤ α< 180°

(2)直线的斜率


① 定义:倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。





直线的斜率常用

k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时,;

当时,;

当时,不存在。

②过两点的直线的斜率公式:



注意下面四点: (1) 当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为





90°;

(2)k

与 P1、P2的顺序无关; (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

( 3)直线方程①点斜式:直线斜
率 k,且过点

注意:当直线的斜率为 0°时, k=0,直线的方程是 y=y1 。


当直线的斜率为 90°时, 直线的斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示. 但因 l 上每一点的横
坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1 。


②斜截式:,直线斜率为

k,直线在 y 轴上的截距为

b



③两点式:()直线两点,



④ 截矩式:




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其中直线与轴交于点

, 与轴交于点 , 即与轴、轴的截距分别为。


⑤一般式:( A, B 不全为 0)



注意:各式的适用范围


特殊的方程如:

平行于 y 轴的直线:( a 为常数);

平行于 x 轴的直线:( b 为常数);

( 5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为 0的常数)的直线系: ( C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线(是不全为 0的常数)的直线系: ( C 为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ )斜率为 k 的直线系:,直线过定点;
(ⅱ )过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中。
( 6)两直线平行与垂直
当,时,



注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

( 7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ;

方程组有无数解与重合

(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,



(9)点到直线距离公式:一点到直线的距离

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1 、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,

半径。

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定点为圆心,定长为圆的



































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2、圆的方程

(1)标准方程,圆心,半径为

r ;

( 2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;
当时,方程不表示任何图形。

( 3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法: 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件,

若利用圆的标准方程,
需求出 a, b, r ;若利用一般方程,需要求出

D, E, F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

(1)设直线,圆,圆心到

l 的距离为,则有; ;

( 2)过圆外一点的切线: ① k 不存在,验证是否成立 ②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直
线距离 =半径,求解 k,得到方程【一定两解】
(3) 过圆上一点的切线方程:圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,圆上一点为 (x0 ,y0) ,则过此点的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)

,与圆心距(

d)之间的大小比较来确定。

设圆,

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)

,与圆心距( d)之间的大小比较来确定。

当时两圆外离,此时有公切线四条;

当时两 圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两 条外公切线;当时,
两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

当时,两圆内含;

当时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:

几何特征: 两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且

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相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

几 何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点
到截面距离与高的 比的平方。

(3)棱台:

几何特征: ① 上下底面是相似的平行多边形

② 侧面是梯形

③ 侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转

, 其余三边旋转所成

几何特征: ① 底面是全等的圆; ②母线与轴平行; ③轴与底面圆的半径垂直; ④ 侧面展开图
是一个矩形。

( 5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成
几何特征: ① 底面是一个圆; ②母线交于圆锥的顶点; ③ 侧面展开图是一个扇形。
( 6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴

, 旋转一周所成

几何特征: ① 上下底面是两个圆; ② 侧面母线交于原圆锥的顶点; ③ 侧面展开图是一个弓
形。

( 7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征: ① 球的截面是圆; ②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图

定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影)

;侧视图(从左向右) 、

俯视图(从上向下)

注:正视图反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体的高
度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点:

①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变;

② 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

( 1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
( 2)特殊几何体表面积公式( c 为底面周长, h 为高,为斜高, l 为母线)
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推论:一直线和直线外一点确定一平面;



















(3)柱体、锥体、台体的体积公式

(4)球体的表面积和体积公式:

V= ; S=

4、空间点、直线、平面的位置关系

公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用:

判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理

1:

公理 2:如果两个不重合的平面有一个公共点

, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号:平面

α 和 β 相交,交线是

a,记作 α∩β= a。

符号语言:

公理 2的作用:

① 它是判定两个平面相交的方法。

② 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。

③ 它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。

公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。


两相交直线确定一平面;

两平行直线确定一平面。

公理 3及其推论作用: ① 它是空间内确定平面的依据 ② 它是证明平面重合的依据公理 4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行

空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质:既不平行,又不相交。

③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角。两条异面直线所成
角的范围是( 0°, 90°] ,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相
垂直。

求异面直线所成角步骤:

A 、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点
选在特殊的位置上。B 、证明作出的角即为所求角C 、利用三角形来求角
( 7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。
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( 8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.













三种位置关系的符号表示: aα


a

∩α= A

a

‖α

( 9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α‖β

相交——有一条公共直线。α∩β=
b



5、空间中的平行问题


(1)直线与平面平行的判定及其性质



线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行



, 则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行



线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,

经过这条直线的平面和这个平面相交,那
么这条直线和交线平行。线面平行线线平行





( 2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理

( 1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行→面面平行) ,

( 2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。
(线线平行→面面平行) ,

( 3)垂直于同一条直线的两个平面平行,


两个平面平行的性质定理


( 1)如果两个平面平行, 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行)

(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,



那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行)

7、空间中的垂直问题


(1)线线、面面、线面垂直的定义



①两条异面直线的垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角,



就说这两条异面直线互相垂直。

就说这条直线和这个平面垂

②线面垂直: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,


直。



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③平面和平面垂直: 如果两个平面相交, 所成的二面角 (从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。

( 2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。性
质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定
理< br>
判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一
个平面。

9、空间角问题

( 1)直线与直线所成的角①两平
行直线所成的角:规定为。
② 两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角:过空间任意一点

O,分别作与两条异面直线

a, b 平行的直线,

形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

(2)直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角:规定为。

② 平面的垂线与平面所成的角:规定为。

③ 平面的斜线与平面所成的角:平面的 一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,

在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: ( 1)斜线上一点到面的垂线; ( 2)过斜线上的一点
或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。

( 3)二面角和二面角的平面角
① 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角,这条直线叫做
二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,
这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平

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面垂直,那么所成的二面角为直二面角


④求二面角的方法



定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角



垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角










高中数学必修三知识点






第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1 、算法概念:

常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,


效的,而且能够在有限步之内完成

在数学上, 现代意义上的 “算法” 通

这些程序或步骤必须是明确和有

. 2.

算法的特点 :

(1) 有限性:一个算法的步骤序列是有

. (2)


限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的

的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当

确定性:算法中的每一步应该是确定

是模棱两可 . (3) 顺序性与正确性:算法



从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个

是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步

确定的后继步骤,前一步

都准确无误,才能完成



问题 . (4)

不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的

算法 . (5)

普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算

都要经 过有限、事先设计好的步骤加以解决 . 1.1.2

程序构图的概念: 程序框图又称流程图,

直观地表示算法的图形。

的流程线; 程序框外必要文

起止框 不可少的。


程序框图 1

、程序框图基本概念: (一)

指向线及文字说明来


是一种用规定的图形、

准确、

一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头

字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用

程序框 名称

法中任何

表示一个算法输入和输出的信息,

可用在算

输入、输出框

需要输入、输出的位置。

写在不同的用以处理数据的处


各个图形的形状、

赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、

理框内。 判断某一条件是否成立,

画程序框图的规则如下:

3、除判断框外,



处理框 公式等分别

成立时在出口处标

判断

要掌握

框 明“是”或“ Y” ; 不成立时标明“否”或

作用及使用规则,

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

“N” 。 学习这部分知识的时候,


1 、使用标准的图形符号。

大多数流程图符号只有一

4 、判断框分两大类,一

另一类是多分支判断,

、算法的三种基本逻辑

它是由若干个依次执行

顺序结构在程序

个进入点和一个退出点。 判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;

有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

的顺序进行的,


结构:顺序结构、条件结构、循环结构。

(三) 1 、顺序结构:顺序结构是最简单的算法

结构, 语句与语句之间, 框与框之间是按从上到下

的处理步骤组成的,

它是任何一个算法都离不开的一

种基本算法结构。

框图中的体现就是用流程线将程序框自上而

意图中,A 框和 B

下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示

行 B 框


框是依次执行的, 只有在执行完 A

框指定的操作后, 才能接着执

、条件结构:

功能

表示一个算法的起始和结束,


所指定的操作。 2 、条件结构:




是任何

流程图 A B 条件结构是指在算法中通过对条件的判断

根据条件是否成立而选择不同流向

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的算法结构。 条件 P

是否成立而选择执行


行 A 框或 B 框之一, 不可能同时执行

个判断结构可以有多个判断


A 框或B框。无论 P

条件是否成立,只能执

框、 B 框都不执行。




A 框和 B 框,也不可能 A

框。 3 、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,

、循环结构:

按照一定条件,反复执行某一处理

步骤的情况,这就是循环结构,反复执行


条件结构。循环结构又称重复结构,循



的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含

环结构可细分为两类:

( 1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定

框, A 框执行完毕后,再判断条件

行 A 框,直到某一次条件 P

不成立为止, 此时不再执行

的条件 P 成立时,执行 A

再执行 A 框,如此反复执

离开循环结构。

然后判断给定的条

P 是否成立,如果仍然成立,

A 框,


( 2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,

件 P 是否成立, 如果 P 仍然不成立, 则继续执行 A

此时不再执行 A

直到型循环结构

框,离开循环结构。

A P

不成立 p P

框,直到某一次给

成立 成立

定的条件 P 成立为止,

A 不成立 当型循环结构

注意: 注意: 1 循环结构要在某个条件下终止循

但不允许“死循环”


环,这就需要条件结构来判断。

因此,循环结 构中一定包含条件结构,


在循环结构中都有一个计数变量和累加变

1.2.1 输入、输出语句和赋值语句

作用是实现算法的输入信息功能;

。2 量。计数变量用于记录循环次数,累加变量

、 ( 1)输入语句的一般格式

用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步


...... 执行的,累加一次,计数一次。



输入、

1 、输入语句

形计算器 格式 INPUT“提示内容”

;变量


是指程序在运行时其值是可以变化的量;

不能是函数、变量或表达式;


INPUT “提示内容” ,变量

( 2)输入语句的

( 3) 信息,变量

的常数,

多个



“提示内容”提示用户输入什么样的


( 4)输入语句要求输入的值只能是具体

( 5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入

”隔开。 2 、输出语句

、 ( 1)输出语句的一般格式

变量, 变量与变量之间用逗号“,

的作用是实现算法的输出结果功能;

达式是指程序要输出的数据;


形计算器 格式 PRINT“提示内容”

;表达式

Disp “提示内容” ,变量

( 2)输出语句

(3) 信息,表

字符。

“提示内容”提示用户输入什么样的

( 4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及



3、赋值语句 、 ( 1)赋值语句的一般格式

图形计算器

格式 变量=表达式 表达式 → 变

(3)赋值语句中的“=”称作



量 ( 2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;

的表达 式的值赋给赋值号左边的变量;

赋值 号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边

(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达

式,右边表 达式可以是一个数据、

常量或算式; ( 5)对于一个变量可以多次赋值。

注意: ① 赋值号左边只能是变量名字,

注意:

而不能是表达式。 如:2=X 是错误的。 ② 赋值号左





不能对换。如“ A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。

③ 不能利用赋值语句进行代数

的演算。 (如化简、 因式分解、 解方程等) ④ 赋值号“ =”与数学中的等号意义不同。


条件语句 . . 1 、条件语句的一般格式有两种:

1 .2.2

1 ,

“语

、 ( 1) IF — THEN— ELSE 语句; ( 2)

IF — THEN 语句。 2、IF

、 —THEN— ELSE 语句 — IF — THEN— ELSE 语句的一般格式为图

对应的程序框图为图 2 。 IF

1否语句2 图1

图2

分析:在 IF — THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件,

执行的操作内容;

结束。计算机在执行时,首先对

IF

条件 语句 1 ELSE 语句 2 END IF THEN 满足条件? 是 语句

句 1”表示满足条件时

ENDIF 表示条件语句的

“语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容;

后的条件进行判断,如果条件

ELSE 后面的语句 2 。 3



4。IF



符合,则执行 THEN 后面 的语句

1 ;若条件不符合,则执行

IF — THEN 语句 、 — IF — THEN 语句的一般格式为图 3 ,对应的程序框图为图

件 THEN 语句 END IF



(图 3)(图 4)满足条件?

否 是 语句 注意: “条件”表示

判断的条件; “语句”表示满足条件时

执行的操

注意: 作内容, 条件不满足时, 结束程

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序; ENDIF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先

件符合就执行

THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结

种循环结构,

一般程序设计语


对 IF

后的条件进行判断,如果条

对应于程序框图中的两

束该条件语句,转而执行其它语

句。 1 .2.3

循环语句

. . 循环结构是由循环语句来实现的。

言中也有当型( WHILE 型)和直到型( UNTIL 型)两种语句

语 句。 1 、WHILE 语句 、 ( 1)WHILE 语句的一般格式是

否( 2)当计算机遇到

直到某一

结构。即 WHILE 语句和 UNTIL

对应的程序框图是

循环体 WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件?

WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND之间的循环体;

然后再检查上述条件,如果条件仍符合,


次条件不符合为止。

再次执行循环体,这个

过程反复进行,

这时, 计算机将不执行循环体,

对应的程序框图是

直接跳到 WEND 语句后,接着执行


WEND之后的语句。 因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。

UNTIL 语句的一般格式是

机执行该语句

执行循环体,然

执行循环体,跳到

件? 是 否 ( 2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从

是 2 、UNTIL 语句 、( 1)

满足条

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 循环体

UNTIL 型循环结构分析,计算

时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回


后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再


LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循

分析:当型循环与直到型循环的区别:

环 1.3.1

(1) 当

环语句。 分析: (先由学生讨论再归纳)

循环体,在 UNTIL

型循环先判断后执行, 直到型循环先执行后判断;

语句中,是当条件不满足时执行循

n

得到一个商

在 WHILE 语句中, 是当条件满足时执行

辗转相除法与更相减损术

(1) :用

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:

较大的数 m 除以较小的数

一个余数 R0 ; :若 R0

S1 和一个余数

R1 ;R1

即为所求的最

为 m,n 的最大公约数; 若 ( 3) :若 商 S0 和

得到一个商

R0 除

就是更

R1 ≠0,则用除数

= 0,则 n

(2) R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0

= 0,则 R1

为 m,n 的最大公约数; 若

以余数 R1 得到一个依次计算直至

S2

和一个余数 R2

;?? Rn = 0,此时所得到的 Rn ?1

我国早期也有求最大公约数问题的算法,


大公约数。 2 、更相减损术

相减损术。在《九章算术》中有更相减损术

副置分母 ?子之数,以少减多,更相减损,

求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,

求其等也,以等数约之。

2

约简;若不是,执

翻译为:

:任意给出

两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用


( 1) 行第二步。 :

( 2) 小数。继

例 2 用

以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减

续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。

更相减损术求

98

与 63

的最大公约数 .

分析: (略) 3 、辗转相除法与更相减损术的区


别: ( 1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为

主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,


的区别 较明显。 ( 2)从结果体现形式来看,

到,而更相减损术

则以减数与差相等而得到


f(x)=anxn+an-1xn- 1+?.+a1x+a0

f(x)=anxn+an-1xn- 1+?.+a1x+a0=(





特别当两个数字大小区别较大时计算次数

辗转相除法体现结果是以相除余数为


0 则得

1.3.2





秦九韶算法与排序 1 、秦九韶算法概念:









anxn -1+an-1xn- 2+?.+a1)x+a0

anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

v1=anx+an-1 然后由内向外

vn=vn-1x+a0 、 这样,把

2 、两种排序方法

、两种排

=(( anxn-2+an-1xn- 3+?.+a2)x +a1)x+a0

逐层计算一次多项式的值,即

n 次多项式的求值问题转化成求


=......=(...(

求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即


v2=v1x+an-2

v3=v2x+an-3 ......

n 个一次多项式的值的问题。

序方法:直接插入排序和冒泡排序



1 、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一

后读入的数与已存入数组的数进行

个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以


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比较, 确定它在从大到小的排列中应处的位置.


位置,将读入的新数填入空出的位置中.


基本思想:依次比较相邻的两个数

个数 , 大数放前 , 小数放后 . 然后比较第

将该位置 以及以后的元素向后推移一个

以举例说明)

2 、冒泡排序

1 个数和第 2

. 第

(由于算法简单,可

2 个数和第

3 个数 ......

, 把大的放前面 , 小的放后面 . 即首先比较第


直到比较最后两个数

一趟 结束 , 最小的一定沉到最后

. 重复上过程 , 仍从第 1

由于在 排序过程中总是大数往前

个数开始 , 到最后第 2 个数 ......

. 1.3.3


, 小数往后 , 相当气泡上升 , 所以叫冒泡排序

n ,即可称 n

进位


制 1 、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用

数 概念:进位制 字符号的个数称为基数,基数为

在最常用的是十进制,

可以用不同的进位制来表


进位制,简称 n 进制。现

通常使用

10

个阿拉伯数字

0-9

示。比如:十进数

进行记数。 对于任何一个数, 我们

111001 ,也可以用

一般地,若 k


57 ,可以用二进制表示为

八进制表示为

71 、用十六进 制表示为

39 ,它们所代表的数值都是一样的。

是一个大于一的整数,那么以

< an < k , 0

k

为基数的 k

进制可以表示为:


an an ?1...a1a0( k ) (0

≤ an ?1 ,..., a1 , a0 < k )

, 而表示各种进位制数一般在数字右下脚

进 制数 第二章 2.1.1

简单随机抽

个体: 把每个

的有

把研究对象的全体叫做总体.

加注来表示 , 如 111001(2)

表示二进制数 ,34(5) 表示 5

样 统计 1 .总体和样本

研究对象叫做个体.

总体: 在统计学中 ,

总体容量:把总体中个体的总数叫做总体容量.

为了研究总体

关性质,一般从总体中随机抽取一部分:


类、排队等,完全随

研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样




本容量。 .. .... 2 .简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划


机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概


彼此间无一定的关联性和排斥性。

率相等) ,样本的每

个单位完全独立,

是其它各种抽样形式的基


简单随机抽样


础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采


(1)抽签法; ⑵随机数表法;

在简单随机抽样的样本容量设计中,

主要考虑:

用这种方法。 3 .简单随机抽样常用的方法:

法; ⑷ 使用统计软件直接抽取。

变异情况;

⑶ 计算机模拟

①总体

② 允许误差范围;

③ 概率保证程度。

4 .抽签法 :

( 2)准备抽签的工具,实施抽签

(1)给调查对象群体中的

每一个对象编号;

体进行测量或调查

, , , (3)对样本中的每一个个

5 .随机数表

2.1.2 系统抽样

例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。

10

位同学参加某项活动。

法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取

1.系统抽样(等距抽样或机械抽样)

后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

说,应是随机的,即不存在某种与研究



: 把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然


第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K (抽



样距离) =N(总体规模) n (样本规模) 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来


变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,

从不同的样本开始抽样,对比几次样本的


布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距


最为常用的抽样方法之一。

特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分


离重合。 2 .系统抽样,即等距抽样是实际中


实施也比较简单。 更为重要的是,

元按辅助变量的大小顺序排队的

分层抽样 1 .分层抽样(类型抽样)


因为它对抽样框的要求较低,

如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单

话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。

2.1.3





先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,

后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,

这些子样本合起来构成总体的样本。

再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

层中的元素按分层的顺序整齐排列,最




最后, 将

两种方法: 1 .先以分层变量将总体划分为若干层,

2 .先以分层变量将总体划分为若干层,

后用系统抽样的方法抽取样本。

再将各

2 .分层抽样是把

中的样本分别代


异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体

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表该子总体,所有的样本进而代表总体。


变量或相关的变量作为分层的标准。


突出总体内在结构的变量作为分

量。 3 .分层的比例问题:

体单位数目的比重来抽取

专门研究或进行相互比较。

层变量。

分层标准:

( 1)以调查所要分析和研究的主要


( 2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、

( 3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变





( 1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总

子样本的方法。

如果要用样本资

( 2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的

比重太小, 其样本量就会非常少,

此时采 用该方法,

主要是便于对不同层次的子总体进行




料推断总体时, 则需要先对各层的数据资料进

2.2.2

行加权处理,调整样本中各层的比例, 使数据 恢复到总体中各层实际的比例结构。

样本的数字特征估计总体的数字特征


1 、本均值: x = x1 + x 2 + L + x n n 2



、 .样本

.用样本估计

本得到的信息



标准差: s = s2 = ( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 n 3

会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。

值和标准差并不是总体的真正的分布、

理的,特别是当样本量很大时,

总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样


虽然我们用样本数据得到的分布、均

均值和标准差,而只是一个估计,但这种估计是合

它们确实反映了总体的信息。

标准差不变

k

4 . ( 1)如果把一组数据

( 2)如果把一组数据中的每

中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,

一个数据乘以一个共同的常数

小值对标准差的影响,区间

最低分”中的科学道理

k ,标准差变为原来的

( x ? 3s, x + 3s )


倍 ( 3)一组数据中的最大值和最

( 2)回

的应用; “去掉一个最高分,去掉一个

1

、概念 : ( 1)回归直线方程

( 1)描述两变量之间的依存关系;利用直


2.3.2 两个变量的线性相关

归系数 2 .最小二乘法 3 .直线回归方程的应用

线回归方程即可定量描述两个变量间依存


的数量关系

( 2)利用回归方程进行预测;把预






报因子(即自变量 x )代入回归方程对预报量 (即 因变量 Y )进行估计, 即可得到个体 Y

的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定


现统计控 制的目标。如已经得到了空气中

过控制汽车流量来控制空气中

析要有实际意义;

章 3.1.1 — 3.1.2

Y 值的变化,通过控制

x

NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可


的范围来实

NO2 的浓度。 4 .应用直线回归的注意事项

( 1)做回归分

第三

( 2)回归分析前 , 最好先作出散点图;

随机事件的概率及概率的意义

( 3)回归直线不要外延。

1 、基本概念: 基本概念:

S 的必然事件;

S

的不可能事件;


概率(1)

( 2)不可能

( 3)确定事

必然事件:在条件

S

下,一定会发生的事件,叫相对于条件



事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件

件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件

可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件

的条件 S 下重复 n 次试验, 观察某一事件

数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件


S

的确定事件; ( 4)随机事件: 在条件 S 下

S

的随机事件;

(5)频数与频率:在相同

A 是否出现, 称 n 次试 验中事件 A 出现的次

为事件 A

出现的概率:

稳定在某个

A 出现的比例 nA fn(A)= n

对于给定的随机事件 A ,如果随着试验次数的增加,

事件 A

发生的频率 fn(A)

常数上, 把这个常数记作

P ( A) , 称为事件 A 的概率。

系:随机事件的频率,指此事件发生的次数

我们把这个常数叫做随机事件的概率,

频率在大量重复试验的前

nA

与试验总次数

( 6)频率与概率的区别与联

n nA 的比值 n

,它具有一

这种摆动幅度越来越小。

定的稳定性, 总在某个常数附近摆动,

且随着试验次数的不断增多,

概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

3.1.3 概率的基本性质 1 、

( 2)若 A∩B 为不可能事件,

提下可以近似地作为这个事件的概率

基本概念: ( 1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件

即 A∩B=ф ,那么称事件

A 与事件 B 互斥; ( 3)若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然

( 4)当事件 A

事件,则

与 B 互斥时,满足加法公

A∪B 为必然事件,所以

事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件;

式: P(A∪B)= P(A)+ P(B)

;若事件



A 与B 为对立

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P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 ,于是有

式: P(A∪B)= P(A)+ P(B) ;

P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于


P(A)=1 — P(B) 2 、概率的基本性质:

1 )必然事件概率

互斥时,满足加法公

为 1 ,不可能事件概率为 0

,因此 0 ≤ P(A) ≤ 1; 2 )当事件 A

与 B

3

)若事件 A 与 B 为对立事件,则

A∪B 为必然事件,所以

是有 P(A)=1 — P(B) ; 4 )互斥事件与对立事件的区别与联系,

在一次试验中不 会同时发生, 其具体包括三种不同的情形:

互斥事件是指事件 A 与事件 B

( 1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同
时不发生, 而对立事件是指事件 A 与 事件 B 有且仅有一个发生, 其包括两种情形; ( 1)事件 A

发生 B 不发生; ( 2)事件 B 发 生事件 A 不发生,对立事件互斥事
件的特殊情形。 3.2.1 — 3.2.2

古典概型及随机数的产生

1 、 ( 1)古典概型的使用条件:

① 求出总的基本

P (A)

( 1)



试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

事件数; A 包含的基本事件数

( 2)古典概型的解题步骤;


② 求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式

— 1、基本概念:


= 总的基本事件个数 3.3.1 —3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生

几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度

比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;

(面积或体积)

( 2)几何概型的概率公式:

构成事件 A 的

区域长度 (面积或体积) ; P( A)= 试验的全部结果所构成的区域长度

几何概型的特点: 1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;

事件出现的可能性相等.














(面积或体积)( 3)



2)每 个基本


高中数学必修 4 知识点总结







第一章 三角函数(初等函数二)



正角 : 按逆时针方向旋转形成的角


1、任意角

负角 : 按顺时针方向旋转形成的角


零角 : 不作任何旋转形成的角




2、角




的顶点与原点重合,角的始边与

x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象

限,则称 为第几象限角.



第一象限角的集合为
k 360



k 360 90 , k

90

k 360 180 , k

第二象限角的集合为



k 360
第三象限角的集合为
k 360 180







k 360 270 , k

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第四象限角的集合为
k 360

终边在
x
轴上的角的集合为

终边在 y 轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角


270

k 180 , k

k 360


360 , k



k

180 90 , k

k 90 , k

k 360



终边相同的角的集合为


n

n


, k


4、已知

是第几象限角, 确定


*

所在象限的方法: 先把各象限均分
n



份,再从
x
轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则



原来

是第几象限对应的标号即为

n



终边所落在的区域.

1弧度.

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做

6、半径为
r
的圆的圆心角


所对弧的长为 l ,则角


的弧度数的绝对值是


l


r

57.3



7、弧度制与角度制的换算公式:

2


360

1

180

, 1

180



8、若扇形的圆心角为

则 l r



为弧度制 ,半径为
r
,弧长为

l

,周长为

C

,面积为

S



, C 2r l , S


1

lr

1

2

2

r
2











9、设

是一个任意大小的角,

的距离是 r r

22
的终边上任意一点 的坐标是

x, y ,它与原点

x
y 0 ,则 sin

y
r


cos

tan
r

x

y
x

x 0






10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限

正切为正,第四象限余弦为正.



11、三角函数线: sin

, cos

1 sin
2

2

, tan

cos
2

1

tan






y


12、同角三角函数的基本关系:

sin

P

T

O M




2

1

cos

2

,cos

2

1 sin

; 2

sin

cos



A



x

sin





tan

cos

,cos

sin




tan

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13、三角函数的诱导公式:

1 sin 2k

2

sin

3

sin

4

sin

sin

, cos 2k

sin

, cos

sin , cos

sin

, cos


cos

, tan 2k

cos

, tan

cos , tan

cos , tan


tan k.

tan



tan






tan



口诀:函数名称不变,符号看象限.




5 sin




2

cos


cos

2

sin



6 sin



2

cos


cos

2

sin



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.



14、函数
y



sin x
的图象上所有点向左(右)平移

个单位长度,得到函数

y sin x


的图象;再将函数 y

sin x

的图象上所有点的横坐标伸长 (缩


短)到原来的

再将函数






1
倍(纵坐标不变),得到函数
y sin x
的图象;
y sin x

的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的

sin x

的图象.

倍(横坐标不

变),得到函数 y


函数
y



sin x
的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短)到原来的


倍(纵坐标不变),

1
得到函数





y sin x
的图象;再将函数
y sin x
的图象上所有点向左(右)平移




个单

位长度,得到函数 y sin



x

的图象;再将函数

y sin x

的图象上所

有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的








倍(横坐标不变),得到函数

y

sin x

sin
的图象.

函数 y

x

0,

0 的性质:

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① 振幅:



;②周期:





2

;③频率: f









1

2


; ④相位:





x

;⑤ 初



相: .

函数 y

sin x


,当
x x
1

时,取得最小值为
y
min

;当
x

x
2

时,取得

最大值为
y
max

,则



x
2

x
1
x
1

x
2


1

y
max
y
min


1

y
max
y
min


2

2

2


15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:






































y sin x









y cosx

y tan x


























R



R





















x x k

2

,k






1,1




1,1



R






x 2k

2


k


当 x

2k k


时,



时 ,
y
max
1

; 当


y
max
1
;当

x

既无最大值也无最小

2k

1






x 2k

2



k

1



时,
y
min






k时,
y
min

2






2











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奇函数

偶函数

奇函数











2k


, 2

k

2

2










2k,2 k k





k



2k


上是增函数;在



上是增函数;在




k

k


, k

2








2

, 2k

2

3


2k

,2k


上是增函数.




2


k

上是减函数.

k














上是减函数.






































k

,0

k











k



,0

k

2



k

2







,0



k





















x

k


2

k

对称轴 x k







k



无对称轴

















第二章



平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量.




数量:只有大小,没有方向的量.



有向线段的三要素:起点、方向、长度.



零向量:长度为 0 的向量.



单位向量:长度等于 1个单位的向量.




平行向量(共线向量):方向相同或相反的 非零向量.零向量与任一向量平行.



相等向量:长度相等且 方向相同 的向量.



17、向量加法运算:




⑴ 三角形法则的特点:首尾相连.



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a

b




















⑵ 平行四边形法则的特点:共起点.



三角形不等式:
a b

a

b

a b





运算性质:



交换律:
a

b

b

a
;②结合律:
a b

c a b c



a 0 0 a a



C

a

b

C

C

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⑸ 坐标运算:设 a



x
1
, y
1
, b

x
2
, y
2
,则 a b

x
1
x
2
, y
1

y
2


18、向量减法运算:



⑴ 三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.





坐标运算:设 a





x
1
, y
1

, b

x
2
, y
2
,则 a b

x
1
x
2
, y
1

y
2


x
1
x
2
, y
1

y
2




两点的坐标分别为 x
1
, y
1

, x
2
, y
2

,则



19、向量数乘运算:




实数

与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作



a





反;当

a ;



a .




0 时, a 的方向与 a 的方向相同;当

0 时,
a



0 时, a 的方向与 a 的方向相


0





运算律: ①a



坐标运算:设 a

a ;②

x, y

,则 a

a a


a

x, y

a

a ; ③
a


b


a


b


x,

y .

20、向量共线定理:向量

b

a



0


b
共线,当且仅当有唯一一个实数


,使

设 a

x
1
, y
1
, b

x
2
, y
2

,其中
b


0
,则当且仅当
x
1
y
2
x
2
y
1


0
时,向量

a








b

b 0
共线.

21、平面向量基本定理: 如果 e
1
、 e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于

a ,有且只有一对实数

1


2

,使

a

1
e
1

2
e
2

.(不共

这一平面内的任意向量




线的向量 e
1
、 e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底)

22、分点坐标公式:设点

是线段

1

2
上的一点,

1


2
的坐标分别是

x
1
, y
1







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x
2
, y
2
,当
1



2
时,点


的坐标是

x
1

1

xy
y
2
,
1
2



1

23、平面向量的数量积:





a b a

b cos

a

0, b


0,0


180


.零向量与任一向量的数量积为 0 .



性质:设 a 和
b
都是非零向量,则

a

b

a b

a b

;当 a 与
b
反向时,
a

b

a b




a




b

a b

0

. ② 当 a 与
b
同向时,

2

a

b


a a


a
2


a

或 a


a a . ③




运算律:①
a b

b

a
;②

a

b




a b


a

b

;③
a

b

c

a c b c




坐标运算:设两个非零向量 a


2
x
1
, y
1

, b



x
2
, y
2

,则 a b









x
1
x
2

y
1
y
2




若 a

设 a




x, y ,则 a

x
1
, y
1
, b

x
2

y
2

,或 a

x
2


y
2


x
2
, y
2
,则 a b



1

x
1
x
2

y
1
y
2

0 .



a



b
都是 非零 向量 ,

a


x , y



1

b









x
2
, y
2






是 a 与 b 的夹 角,则


a b






x
1
x
2

y
1
y
2

x
1
2

cos

a b

y
1
2
x
2
2


y

2
2














第三章





三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos

⑵ cos

⑶ sin

⑷ sin

⑸ tan


cos

cos

cos

cos

sin

cos

sin

cos

sin

sin



sin

sin



cos

sin



cos

sin



tan






tan


tan

( tan

1 tan

tan


tan


1 tan

tan

tan


( tan


tan


1

tan

tan


);

⑹ tan



tan


tan


1

tan

tan


).


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25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:


⑴ sin2




2sin

cos



cos
2


cos2

sin
2

2cos
2

1 1 2sin
2

( cos
2

cos2 1




sin
2

1

cos2

).



2



2 tan

tan2
1 tan
2



26、 sin

cos

2

2
sin

,其中
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2




tan
























































































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必修 5 知识点总结
1


、正弦定理:在

圆的半径,则有






C


中,
a




c
分别为角

b

C





R

的对边,





C









的外接

a

sin

b

sin


a


c

sin C


2R



b

















2、正弦定理的变形公式:


sin




2Rsin


2Rsin


c





2Rsin C


:sin

:sin C





a


sin





2R


a

b

c



sin C

; ③

a : b : c

sin


2R

2R


a


b

c





b

c










sin


sin


sin C

sin


sin

sin C


(正弦定理主要用来解决两类问题:


知两角和一边,求其余的量。 )


1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。





2、已

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

(一解、 两解、无解三中情况)

如:在三角形

ABC中,已知 a、b、 A( A为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想

画出图:法一:把



a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以







AD有无交点:
































C

当无交点则 B 无解、

当有一个交点则


当有两个交点则




B 有一解、

B 有两个解。

b




a















bsinA


法二:是算出

CD=bsinA, 看 a 的情况:












A






D

当 a
当 bsinA
当 a=bsinA 或 a>b 时, B 有一解


注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式:


S
C

1
bcsin


1
ab sinC

1
2

acsin







2

C
中,有

a
2

2





4、余弦定理:在

b
2

c
2

2bc cos


b
2

a
2

c
2

2ac cos


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c
2

a
2

b
2

2ab cosC




b
2

c
2



a
2



a
2

c
2


cos



b
2



a
2

b
2


cosC

c
2



5、余弦定理的推论:
cos



2bc

2ac


2ab



( 余弦定理主要解决的问题:

6、如何判断三角形的形状:设

1、已知两边和夹角,求其余的量。


2、已知三边求角 )




a


b


c




C
的角



C
的对边,则:

① 若


a
2

b
2

c
2

,则
C 90



②若
a
2



b
2


c
2

,则
C


90





a
2

b
2


c
2

,则
C 90







A



正余弦定理的综合应用 :如图所示:隔河看两目标


但不能到达,在岸边选取相距




A、 B,






3
千米的

C、D两点,

O
















O

O





O










并测得∠ ACB=75, ∠ BCD=45,

∠ADC=30,


C




D

∠ADB=45(A 、B、 C、 D在同一平面内 ) ,求两目标

A、 B 之间的距离。

本题解答过程略







附:三角形的五个“心” ;


重心:三角形三条中线交点


.

.

.

外心:三角形三边垂直平分线相交于一点


内心:三角形三内角的平分线相交于一点



垂心:三角形三边上的高相交于一点


.

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.


8、数列的项:数列中的每一个数.


9、有穷数列:项数有限的数列.


10、无穷数列:项数无限的数列.


11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:


a
n+1
>a
n
).

a
n+1
n
).

12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:


13、常数列:各项相等的数列(即:






a
n+1
=a
n
).

14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.

15、数列的通项公式:表示数列

16、数列的递推公式:表示任一项

a
n

的第

n

项与序号

n

之间的关系的公式.

a
n

与它的前一项

a
n 1
(或前几项)间的关系的公式.



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17、如果一个数列从第

2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,

:
a
n

1

则这个数列称为

等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示

差数列有以下三种方法:


a
n


d
。注:看数列是不是等




aa
nn 1

d ( n

2,d为常数 )
②2 a
n

a
n 1
a
n 1
( n

2 )

③ a
n

kn





b ( n, k 为常数

18、由三个数
a


等差中项.若
b



b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则


称为
a


b



a

c

2

































,则称
b


a



c

的等差中项.

的首项是
a
1

,公差是

d

,则

a
n


n


19、若等差数列


a
n

a
1

n

1 d



20、通项公式的变形:


a

n

a
m

n m d



a
1

a
n

n

1 d




d




































a
n

n







a
1

1






n


a

a

d


1

1




d


a
n


a
m

n


m



21、若
a
n

是等差数列,且
m


a
n

是等差数列,且





n

p

q


m



n


p


q

*
*

),则
a
m

a
n

a
p

a
q



2n







p q

n


p


q






),则
2a
n

a
p

a
q






S




n



S
22 、等差 数列 的前
n
项 和的 公式: ①
n














n a
1

a
n

2








na



n n

1



2











d
. ③










1



s
n
a
1
a
2


a
n



23、等差数列的前






n
项和的性质:



若项数为
2n n


S



*
,则








S

2n








n a




a

n 1





,且

















n


S









S


nd


a
n


a
*


S





n

1


② 若项数为

2n



1 n






,则
S
2 n 1



2n 1 a
n

,且

S







S




a
n



S


S





n

n

1




(其中


S





na
n




1

).





n


a
n


24、如果一个数列从第

2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,

S


则这个数列称为

等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示:



a
n 1

q
(注:



等比数列中不会出

a
n

现值为 0 的项; ② 同号位上的值同号)



注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:



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a
n


a
n

a
n 1
q(n 2, q为常数 , 且 0)

cq
n

( c, q

为非零常数

).



a
n
2

a
n 1
a
n 1

( n 2



a
n

a
n 1

a
n 1

0 )


④正数列 { a
n
} 成等比的充要条件是数列




{ log
x
a
n
} ( x 1 )成等比数列 .

25、在
a

b
中间插入一个数

G
,使

a


G

b
成等比数列, 则
G
称为

a


b
的等比中项. 若

G
2

ab
,则称

G


a


b

的等比中项.(注:由
G
2

a


G



b

26、若等比数列


ab
不能得出
a


G



b

成等比,由


G
2

ab



a
n

的首项是
a
1

,公比是

q

,则
a
n


a
1
q
n

1



n
m
a

a
q
m





a




n



27、通项公式的变形:





















1



a q

n



n
n

1

; ③

q



1






a
n

; ④

a
1



q

n

m



a
n

a
m




































28、若

a
n

是等比数列,且

m

n

p

q


m



n


p


q

*
*

),则
a
m
a
n
a
p
a
q




a
n

是等比数列,且
2n


p

q

n


p


q




),则
a
n
2


na
1

q

1

a
1
1 q
n


a
p

a
q








29 、 等 比 数 列
a
n

的 前
n
项 和 的 公 式 :



S
n



a
1



a
n
q
q

1

q


1


. ②








1 q




s
n
a
1
a
2

a
n







30、对任意的数列

{ a
n
} 的前
n
项和 S
n
与通项 a
n
的关系:

a

n



s
1

a
1
(n

s
n

s
n

1
(n

1)

2)


[ 注 ] : ① a
n

a
1
n

1

d

nd

数列也是等差数列)→若

②等差 { a
n
} 前
n
项和
S
n


a
1
d ( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常


d 不为 0,则是等差数列充分条件) .

An
2

Bn


d

n
2


2

a
1

d

n

2


→ 可以为零也可不为零→为等差

d
2


的充要条件→若


d 为零,则是等差数列的充分条件;

若 d 不为零, 则是等差数列的充分条件 .

③非零





..
附: 几种常见的数列的思想方法:

常数列既可为等比数列,也可为等差数列

. (不是非零,即不可能有等比数列)

如何确定使

S
n
取最大值时的


⑴等差数列的前

n
项和为

S
n

,在

d

0 时,有最大值 .


n
值,有

两种方法:




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一是求使 a
n

0, a
n 1
0 ,成立的
n
值;二是由
S
n

d
n
2



(a
1


d
)n
利用二次函数的性质求
n















2

2

的值 .

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:



数列



通项公式

对应函数

等差数列







时为一次函数)

等比数列









(指数型函数)

数列



前 n 项和公式

对应函数

等差数列




时为二次函数)

等比数列

(指数型函数)





我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”









,将数列的通项公式以及前

n 项和看成是关于

n 的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题: 1、等差数列

分析:因为

中,





.

是等差数列,所以

是关于 n 的一次函数,




一次函数图像是一条直线,则(






n,m) ,(m,n),(m+n,

) 三点共线,

所以利用每两点形成直线斜率相等,即



,得

=0(图像如上),这

里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。




例题: 2、等差数列











中,

,前 n 项和为

,若

,n 为何值时

最大?

分析:等差数列前






n 项和

可以看成关于

n 的二次函数

=



是抛物线






=

上的离散点,根据题意,



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则因为欲求




最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为



即当




时,

最大。

例题: 3 递增数列




,对任意正整数

n,

递增得到:

对一切

有最大值

恒成立,求

分析:




构造一次函数,由数列

恒成立,所以

的最大值即可,显然

对于一切

恒成立, 设

,所以

恒成立,








的取值范围是:

则只需求出









构造二次函数,




看成函数

,因为是递增数列,即函数

,它的定义域是

为递增函数,单调增区间为











, 抛物线对称轴

,因为函数 f(x) 为离散函数, 要函数单调递增,就看动轴与

已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴








的左侧

也可以(如图) ,因为此时 B 点比 A 点高。于是,






,得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,


照等比数列前
n
项和的推倒导方法:错位相减求和



求此数列前
n
项和可依

. 例如:

1

1

1

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,

一个相同项,公差是两个数列公差




1

2

,3

4

,...(2n 1)

2
n

此等差数列的首项就是原两个数列的第


,...
d
1
,d
2
的最小公倍数 .

2. 判断和证明数列是等差 (等比)数列常有三种方法: (1) 定义法 : 对于 n≥2 的任意自然数 ,
验 证










a
n

a
n

a
n 1
(

a
为同一常数。(2) 通项公式法。(3)

中项公式法:验证



n 1

)
2a
n 1
a
n

a
n

2
(a
n
2

1
a
n
a
n 2
)n N
都成立。

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3. 在等差数列{
a
n
}中 , 有关 S
n
的最值问题: (1) 当
a
1

>0,d<0 时,满足


a
m

0

a
的项数

m 1
0

m使得
s
m
取最大值 . (2)




a
1

<0,d>0

时,满足


a
m


0

a
的项数 m使得
s
m
取最小值。在解


m 1
0

含绝对值的数列最值问题时

附: 数列求和的常用方法




, 注意转化思想的应用。

1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2. 裂项相消法 : 适用于




c


aa
n
其中 {

a
n

}

是各项不为

0

的等差数列, c 为常数;部分无理

n 1
数列、含阶乘的数列等。


例题:已知数列 {a
n
} 的通项为









a
n
=

1

, 求这个数列的前



n 项和 S
n
.

n(n

1)


解:观察后发现:

a =

1


n

1

1








n

n

a
n










s
n

a
1

a
2








1


(1 ) (
2

2

1


n

1


11 1
)



(
1


3


1
)

n

n 1






3. 错位相减法 : 适用于
a
n

b
n

例题:已知数列 {a


n

其中 {
a
n
} 是等差数列,
b
n

是各项不为 0 的等比数列。

,求这个数列的前 n 项之和
s
n

} 的通项公式为
a
n

n 2

n




解:由题设得:


s
n

a
1

=
12
1




a
2

a
3


2 2
2




a
n

3 2
3



n 2
n






s
n

=
1 2
1

2 2
2




3 2
3

n 2
n





把 ① 式两边同乘 2 后得

2s
n

=
1 2
2

用①-② ,即:





2 2
3


3 2
4


n 2
n 1




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s
n

=
1 2
1

2 2
2


3 2
3

2s
n

=
1 2
2





n 2
n

n 2
n 1




2 2
3


3 2
4






s
n

12 2
2



2
3



n 1
2
n

n 2
n 1






2(1

2
n
)


1

2


n 2
















2
n 1
2

n

1
2
n 1
2


(1

n)2
n




s
n

(n

1)2
n 1

2





4. 倒序相加法 : 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 .
5. 常用结论
1 ) :







1+2+3+...+n








=

1
3


2
3


n
3

1

n(n


1)

2


2
2 )









1+3+5+...+(2n-1)





=





n
2










3 )

n(n

1)


2


3
2



4 )



1
2

2

2

n

2
1



n(n

1)(2n 1)


5 )

1

n(n






6

1

1)

n





1

n 1


1

n( n

2)

1
(
1

1

)

2

n

n

2









6)








1


1

1


pq

q

p

p

1
)

(

p




)

q


31、
a b 0

a b

a b

b

0 a b

a b 0 a b


b a
;②

a

b, b

c

a c
;③

a


32、不等式的性质:


a


a


a

b a c b c


a c b d


b, c 0

ac bc

a

b, c 0 ac bc



a b, c d

b 0, c d 0

n
ac bd




a b

n
0


a
n


b
n
n,n


1



a b 0







a

b n

, n 1


33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是

2
的不等式.

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34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸


1. 整式不等式(高次不等式)的解法
穿根法 (零点分段法)

n
x

求解不等式:
a

0


a x
n 1

a x
n 2

1

0

a


n


m


0(

0)(a



0)

0




1

2


2

解法:① 将不等式化为 a (x-x


)(x-x

) ? (x-x

)>0(<0)

形式,并将各因式 x 的系数化“ +”;


( 为了统一方便 )


②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来;


③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过)


,经过

数轴上表示各根的点(为什么?) ;


④若不等式( x 的系数化“ +”后)是“ >0”, 则找“线”在

x 轴上方的区间;若不等


式是“ <0”, 则找“线”在









x 轴下方的区间

.

+

X
1
+

—X
2
X
3


+

X
n-2
X
n-1


+


X












X
n
(自右向左正负相间)


例题:求不等式
x
2


3x
2

6x

8

0
的解集。


( x

4)

2)( x 1)(x

4)

0
解得
x
1


解:将原不等式因式分解为:


由方程:
(x 2)( x 1)( x

0











2, x
2

1, x
3
4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图


+

-2

1

4

+

x








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由图可看出不等式



x
2
3x
2
6x 8

0
的解集为:

x | 2 x 1, 或x

4



例题:求解不等式


( x 1)(x 2)( x 5)

( x

6)( x 4)

0

的解集。


解:略










一元二次不等式的求解:


特例 ① 一元一次不等式







ax>b 解的讨论;

② 一元二次不等式 ax
2
+bx+c>0(a>0) 解的讨论 .

0

二次函数

0

0



y ax
2
bx c








a 0
)的图象
一元二次方程
有两相异实根

有两相等实根

ax
2

bx c


0

x
1
, x
2
( x
1

x
2
)



x
1

x
2

b

2a


无实根



a

0 的根

ax
2

bx c

0

x x


(a

0)的解集


ax
2

bx c

0

x
1

x


b

x
2


x x




2a




R





(a

0)的解集


x x
1

x

x
2



对于 a<0 的不等式可以先把

2. 分式不等式的解法

(1)标准化: 移项通分化为



a 化为正后用上表来做即可。





<0) ;

≥ 0( 或
≤ 0) 的形式,

f ( x)

>0( 或
g( x)

g( x)

g( x)

g( x)

f ( x)f ( x)f ( x)
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( 2)转化为整式不等式 (组)



f (x)

g( x)

0f ( x)g (x) 0;
f ( x)

g(x)


0

f ( x)g(x) 0

g( x) 0



例题:求解不等式:



1




x

1


解:略

x

例题:求不等式



x 1
1
的解集。

3. 含绝对值不等式的解法:
基本形式:


① 型如: |x| < a

(a

> 0)

② 型如: |x| > a

(a

> 0)

变型:


的不等式

的解集为:

的不等式

的解集为:


x |

a

x a

x | x




a,或x

a


| ax b | c(c 0)型的不等式的解集可以由

-c

x | c

ax

b c

解得。其中

ax

b

ax

b

c

c

在解 -c
得注意 a 的符号






ax b c(c

0)
型的不等式的解法可以由
x | ax b

c,或 ax

b c
来解。

.

③ 对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解

④ 绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解


题 .


例题:求解不等式

| x


2 | 1

解:略



例题:求解不等式:





| x 2 | | x 3| 10

解:零点分类讨论法:

x

分别令
x 2

0和x 3 0

3和x

2

3

2



解得:
x



在数轴上, -3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图





x









3
时,(去绝对值符号)原不等式化为:

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(x

x


2) ( x 3) 10


x

x

11

2

3


11

2


x



3

3







3 x

2
时,(去绝对值符号)原不等式化为:

x

2

2)

( x 3) 10

3

x 2

x

R

3 x 2

3

(x







x

2
时,(去绝对值符号)原不等式化为:



x

( x


2



x

2

x



2) (x

3)

10


9

2

2


x


9

2











由 ①②③ 得原不等式的解集为:





















x |

11

x

2



9
2




(注:是把①②③的解集并在一起)


y







函数图像法:








f ( x) | x 2 | | x 3|





f ( x)
=10







5



2x 1 ( x

5

3)


则有:
f (x)

(

3

x 2)


11

2



3



o

2

9

x





2x


1 (x


2)






2


在直角坐标系中作出此分段函数及

f (x)

10

的图像如图


由图像可知原不等式的解集为:



x |

11

2
x

9

2

4. 一元二次方程 ax
2
+bx+c=0(a>0) 的实根的分布常借助二次函数图像来分析:


y

设 ax
2
+bx+c=0 的两根为





, f(x)=ax
2
+bx+c, 那么:

0

0
,则有

0

0


①若两根都大于 0,即




0,





o


x

对称轴 x=















b

2a

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0

②若两根都小于 0,即



0,0

,则有



b





2a


f (0)

0

0

y



o

对称轴 x=








x

b

2a

y

③若两根有一根小于 0 一根大于

0,即

0
,则有
f (0) 0

o

x










y

④若两根在两实数

m,n 之间,即
m

n





0

m

则有

b

2a

f (m)

0

f (n)

0


n





o



m



X=


b

2a

n

x

⑤若两个根在三个实数之间,即
m



t





n





y




则有


f (m)

0

f (t)

0

f (n)




0

x


o

m

X=

t

n

b

2a






常由根的分布情况来求解出现在



a、 b、 c 位置上的参数

例如:若方程
x
2
2(m 1)x m
2
2m 3 0
有两个正实数根,求
m
的取值范围。



















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0

0

0


4(m

1)
2

2(m

1)

m
2

4( m
2

2m 3) 0

0


m

m

1

1


m 3








2m 3

0




m 1,或 m 3


所以方程有两个正实数根时,

又如:方程


2
m

3


的一根大于





2

x








x

m


1


0







2

,另一根小于


1







,求
m
的范围。


1
















































f (



0

1


)


(

1)


4( m


1)

0

2

2

5

2

1 m


m

1


5


2



1


1

m



0

2
1 0





1 m 1





35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是



1
的不等式.


36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.


37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的


x


y

的取值构成有序数对


x, y
,所有这样的有序数对

x, y
构成的集合.


x

y C


38、在平面直角坐标系中,已知直线

①若

②若

0
,坐标平面内的点

x

x


x
0
, y
0



0
的上方.

0
的下方.


0



x
0

0



x
0

y
0

C

y
0

C

0
,则点


0
,则点


x


x
0
, y
0

在直线

x
0
, y
0

在直线

y C


y

C

y

C


39、在平面直角坐标系中,已知直线

(一)由 B 确定:

①若



0




0

,则

x

x

y C


0
表示直线

x

y

C

0
上方的区域;

xy C 0


示直线



y C 0
下方的区域.

y C

0
表示直线
x

y C 0
下方的区域;
x

y C

0


②若




0
,则

x
x

示直线



y C 0
上方的区域.

(二)由

A 的符号来确定:



先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向:



0
的右边部
①若是“ >”号,则

②若是“ <”号,则






x

x

y

C

y

C

0
所表示的区域为直线

0
所表示的区域为直线

l:

l:

x

x

y

C

y

C

分。

0
的左边部
分。

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(三)确定不等式组所表示区域的步骤:


①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线



②定测:由上面(一) (二)来确定



③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。



2x

y

例题:画出不等式组
y

5

0

5

所表示的平面区域。

3x

2y

x

5

0


解:略


40、线性约束条件:由



x


y

的不等式(或方程)组成的不等式组,是

x


y

的线性约束条

件.


目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量


x


y

的解析式.

线性目标函数:目标函数为



x


y

的一次解析式.

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.



可行解:满足线性约束条件的解


可行域:所有可行解组成的集合.


x, y





















最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

41、设
a

b
是两个正数,则










a b
2



称为正数
a


b

的算术平均数,















ab
称为正数
a


b





几何平均数.

42、均值不等式定理:




a


0

b


0
,则

a b


2
2

ab
,即


a


2
b

2




ab



2
a
2

b

43 、常 用 的 基 本 不 等式 : ①
a



b


2ab a, b

R




ab


2





a, b R






a

b

2



2
































ab


a

0,b


0






a
2

b
2

2


a

b


2


















a,b

R




44


、极值定理:设

⑴若
x


2


x




y


都为正数,则有:



















y

s
(和为定值),则当
x


y

时,积
xy
取得最大值


s
2

.⑵ 若


xy


p

(积为定值),

4



则当
x



y
时,和
x

y
取得最小值
2

p


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例题:已知
5


f ( x) 4x 2
1


的最大值。


解:∵
x
5
4
x,求函数


4x

5




,∴
4x 5

0



4


由原式可以化为:

f ( x) 4x 5 5 2
1

1


(5 4x)
1


3

[(5 4x)

] 3

(5 4 x)

4x 5

5 4x


5 4x



5 4x

1

,即
(5 4x)
2

1
x 1,或

x
3

(舍去)
时取到“

=”号

5

4 x


2

也就是说当
x

1

时有
f ( x)
max

2


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1

3















5 4 x











































































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