高一数学必修1知识点总结86775

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高中数学必修1知识点

第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用；
第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用；
第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。


第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念：
1、集合的含义：
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性
3、集合的表示：
（Ⅰ）列举法：
（Ⅱ）描述法：
4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）N ； 正整数集 N*或 N+ ； 整数集 Z；有理数集Q； 实数集 R
5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，
a不属于集合A 记作 a
?
A
6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合
2．无限集 含有无限个元素的集合
3．空集 不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
集合相等，子集，真子集，空集等定义
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集、并集、全集与补集的定义
2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.
⑴C
U
(C
U
A)=A ⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
(4)(C
U
A)∩(C
U
B)=C
U
(A∪B) (5)(C
U
A)∪(C
U
B)=C
U
(A∩B)
二、函数的有关概念
1．函数的概念：(看课本)
注意：1、如果只给出解析式y =f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义
的实数的集合；
2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充：
能使函数式有意 义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分
式的分母不 等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的
底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使
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各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保
证实际问题有意义.
(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
函数图像
A、 描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应< br>的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
Ⅰ、对称变换:
（1）将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
?
1
?
（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如
y?a
x
与y?a
?x
?
??

?
a
?
（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如
y?log
a
x与y??log
a
x?log
1
x

a
x
Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x
?
a) 左加右减； 由f(x)得到f(x)
?
a 上加下减
(3)作用：A、直观的看出函数 的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发
现解题中的错误。
4．区间的概念与表示
5．映射
定义：（看课本）
说明:函数是一种特 殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则
有“方向性”，即 强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：A→B来说， 则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一
的；（Ⅱ）集合A中不同的 元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元
素在集合A中都有原象。
6、函数的表示法：
解析法； 图象法；列表法
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
* 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域
是各段值域的并集．
* 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g的复合函数。
7．函数单调性（定义）
（1）．增函数
注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
12
时，总有f(x
1
)2
) （或f(x
1
)＞f(x
2
)）。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上
u=g(x ) y=f(u) y=f[g(x)]
增 增 增
具有(严格的)单调性，在单调区间 上增函数的图象从左到右是上升的，减函数
的图象从左到右是下降的.
增 减 减
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
减 增 减
(A) 定义法：
减 减 增
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；3 变形（通常是因式分解和配
方）；4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
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(C)复合函数的单调性：复合函数f[g( x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律
如下：
复合函数单调性：口诀：同增异减
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
（4）判断函数的单调性常用的结论
①函数
y??f(x)
与
y?f(x)
的单调性相反；
② 当函数
y?f(x)
恒为正或恒有负时，
y?
1
f(x)
与 函数
y?f(x)
的单调性相反；
③函数
y?f(x)
与函数y?f(x)?C
（C为常数）的单调性相同；
④当C > 0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cgf(x)
的单调性相同；
当C < 0（C为常数）时，
y?f(x)
与
y?Cgf(x)
的单调性相反； ⑤函数
f(x)
、
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)?g (x)
仍是增（减）函数；
⑥若
f(x)?0,g(x)?0
且
f (x)
与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)gg(x)
也是增 （减）函数；
若
f(x)?0,g(x)?0
且
f(x)
与
g(x)
都是增（减）函数，则
f(x)gg(x)
也是减（增）函数；
8．函数的奇偶性（定义）
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对
称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若
f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数 的定义域是否关于原点对称，
若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2 )有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根
据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x) f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
函数奇偶性的性质
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
y
轴对称.
③若
f(x)
为偶函数，则
f(?x)?f(x)?f(|x|)
.
④若奇函数
f(x)
定义域中含有0，则必有
f(0)?0
. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数
F(x)
与一个偶 函数
G(x)
的和（或
差）”.如设
f(x)
是定义域为R的任一函 数， 则
F(x)?
f(x)?f(?x)
f(x)?f(?x)
，
G(x)?
.
2
2
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（
f(x)?0
，定义域是关于原点对称的任意一个数集） .
9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的 函数关系时，一是要求出它们之间的对
应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解 析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A、如果已知函数解析式的构造时，
可用待定系数 法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表
达 式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）
（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2） 利用图象求函数的最大（小）值；
（3） 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递 增，在区间[b，
c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f( x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]
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上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算（这部分初中接触过，要注意分数指数幂的运算）
（二）指数函数及其性质

01




图
像




性质
定义域R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1
(2)在R上是减函数
（3）当x>0时,0当x<0时,y>1
(2)在R上是增函数
（3）当x>0时,y>1;
当x<0时,0
二、对数函数
（一）对数（概念）
（1）常用对数：以10为底的对数,
log
10
N记为lgN
；
（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 ,
log
e
N记为
ln
N
．
（3）log
a
a=1, log
a
1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0
对数恒等式：
a
a
?N

（二）对数的运算性质
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：
1、
logN
M
?log
a
M?log
a
N

N
n
（
n
?R）
3 、
log
a
M?n
log
a
M

log
c
b
lgb
?
注意：换底公式
log
a
b?
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?

log
c
alga
1
n
n
①
log
ab?
②
log
a
b?log
b
c?log
c
d?log
a
d
③
log
a
m
b?log
a
b

log
b
a
m
2、
log
a
（二）对数函数（概念）
对数函数的图像与性质：对数函数
y?
log
a
x
(a>0，且a≠1)
0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1
log（?log
a
M?log
a
N
a
M ?N）

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图
像
y
y
0
(1,0)
x
0
(1,0)
x




性
质
定义域：（0，＋∞） 值域：R
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0
当x=1时，y=0
当00
在(0,+∞)上是增函数
当x>1时，y>0
当x=1时，y=0
当0
重要结论：在logb中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logb>0;
aa
当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logb<0.
a
口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.
（其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值）
a
3、如图，底数
a
对函数
y
?log
a
x
的影响。
规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。
4考点：
Ⅰ、log
a
b, 当a,b在1的同侧时, log
a
b >0；当a,b在1的异侧时, log
a
b <0
Ⅱ、对数函数的单调性由底数 决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大
小，同底找对应的对数函数，底数 不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=log
a
a)进行
传递。
Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。
Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log
a
a ，用y=1去截图象得到对应的底数。
Ⅴ、y=a
x
(a>0且a ≠1) 与y=log
a
x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

（三）幂函数
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1、幂函数定义：一 般地，形如
y
?
x
的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
?
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特
别地，当α>1时，幂函数的图象下 凸；当0<α<1时，幂函数的图象上
凸；
（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞） 上是减函数．在第一象限
内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，
当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
3、比较大小：(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值
（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交
点的横坐标）
2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点
3、零点定理：函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间 （a,b）
至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。
4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：
（1） （代数法）求方程f(x)=0 的实数根；
（2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系 起来，并利用函数的性
质找出零点．
5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0)．
1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一 个二重
零点或二阶零点．
3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
二、二分法
1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一
分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、用二分法求方程近似解的步骤:
⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
⑵求区间(a,b)的中点c;
⑶计算f(c),
①若f(c)=0,则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x
0
∈(a,c)）
③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x
0
∈(c,b)）
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷
三、函数的应用：
二次函数模型： y=ax
2
+bx+c(a≠0) 先 求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的
话代进求出最值，不在的话，将定义域 内离对称轴最近的点代进求最值。
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
两个根都在（m,n )内 两个有且仅有一个在（m,n)内 x
1
∈(m,n) x
2
∈(p,q)
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y
m


m

x
n



n
m

n p q

?
??0< br>?
b
?
?n
?
m??
2a
?
?f(m)?0
?
?
?
f(n)?0

f(m)f(n)<0

?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
?
f(p)?0
?
?
f(q)?0

两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K
y
k
k

x

k



f(k)<0

?
??0
?
b
?
?k< br>?
?
?
2a
?
?
f(k)?0
?
? ?0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?< br>?
f(k)?0

-可编辑-