2017高中数学考试知识点-高中数学必修5是什么时候学的
高中数学必修1课后习题答案
1.1.1集合的含义与表示
练习(第5页)
1.用符号“
?
”或“
?
”填空:
(1)设
A
为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______
A<
br>,美国_______
A
,
印度_______
A
,英国_______
A
;
(2)若
A?{x|x
2
?x}
,则
?1
_______<
br>A
;
(3)若
B?{x|x
2
?x?6?0}
,则
3
_______
B
;
(4)若
C?{x?
N|1?x?10}
,则
8
_______
C
,
9.1_______
C
.
1.(1)中国
?
A
,美国?
A
,印度
?
A
,英国
?
A
;
中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲.
(2)
?1
?
A
A?{x|x
2
?x}?{0,1}
.
(3)
3
?
B
B?{x|x
2
?x?6?0}?{?3,2}
.
(4)
8
?
C
,
9.1
?
C
9.1?N
.
2.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)由方程
x
2
?9?0
的所有实数根组成的集合;
(2)由小于
8
的所有素数组成的集合;
(3)一次函数
y?x?
3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合;
(4)不等式
4x?5?3
的解集.
2.解:(1)因为方程
x<
br>2
?9?0
的实数根为
x
1
??3,x
2
?
3
,
所以由方程
x
2
?9?0
的
所有实数根组成的集合为
{?3,3}
;
(2)因为小于
8
的素数为
2,3,5,7
,
1
所以由小于
8
的所有素数组成的集合为
{2,3,5,7}
;
(3)由
?
?
y?x?3
?
x?1
?
y??2x?
6
,得
?
?
y?4
,
即一次函数
y?x?3与
y??2x?6
的图象的交点为
(1,4)
,
所以一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合为
{(1,4
)}
;
(4)由
4x?5?3
,得
x?2
,
所以不等式
4x?5?3
的解集为
{x|x?2}
.
1.1.2集合间的基本关系
练习(第7页)
1.写出集合
{a,b,c}
的所有子集.
1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得
?
;
取一个元素,得
{a},{b},{c}
;
取两个元素,得
{a,b},{a,c},{b,c}
;
取三个元素,得
{a,b,c}
,
即集合
{a,b,c}
的所有子集为
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}<
br>.
2.用适当的符号填空:
(1)
a
______
{a,b,c}
;
(2)
0
______
{x|x
2
?0}
;
(3
)
?
______
{x?R|x
2
?1?0}
;
(4)
{0,1}
______
N
;
(5)
{0}
______
{x|x
2
?x}
;
(6)
{2,1}
______
{x|x
2
?3x?2?0}
.
2.(1)
a?{a,b,c}
a
是集合
{a,b,c}
中的一个元素;
(2)
0?{x|x
2
?0}
{x|x
2
?0}?{0}
;
(3)
??{x?R|x
2
?1?0}
方程
x
2
?1?0
无实数根,
{x?R|x
2
?1?0}??
;
(4)
{0,1}
N
(或
{0,1}?N
)
{0,1}
是自然数集合
N
的子集,也是真子集;
2
(5)
{0}
{x|x
2
?x}
(或
{0}?{x|x
2
?x}
)
{x|x
2
?x}?{0,1}
;
(6)
{2,1}?{x|x
2
?3x?2?0}
方程x
2
?3x?2?0
两根为
x
1
?1,x
2<
br>?2
.
3.判断下列两个集合之间的关系:
(1)
A?{1,2,4}
,
B?{x|x是8的约数}
;
(2)
A?{x|x?3k,k?N}
,
B?{x|x?6z,z?N}
;
(3)
A
?
{x|x
是
4
与
10
的公倍数,
x
?
N
?
}
,
B?{x|x?20m,
m?N
?
}
.
3.解:(1)因为
B?{x|x是8的
约数}?{1,2,4,8}
,所以
AB
;
(2)当
k?2z
时,
3k?6z
;当
k?2z?1
时,
3k?6z
?3
,
即
B
是
A
的真子集,
BA
;
(3)
因为
4
与
10
的最小公倍数是
20
,所以
A?B<
br>.
1.1.3集合的基本运算
练习(第11页)
1.设
A?{3
,5,6,8},B?{4,5,7,8}
,求
AB,AB
.
1.解:
AB?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{5,8}
,
AB?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{3,4,5,6,7,8}
.
2
.设
A?{x|x
2
?4x?5?0},B?{x|x
2
?1},求
AB,AB
.
2.解:方程
x
2
?4x?5?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?5
,
方程
x
2
?1?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?1
,
得
A?{?1,5},B?{?1,1}
,
即
AB?{?1},AB?{?1,1,5}
.
3.已知
A?{x|x是等
腰三角形}
,
B?{x|x是直角三角形}
,求
AB,AB
.
3
3.解:
AB?{x|x是等腰直角三角形}
,
AB?{x|x是等腰三角形或直角三角形}
.
4.已知全集
U?{1,2
,3,4,5,6,7}
,
A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}
,
求
A
(
U
B
),(
U
A
)(
U
B
)
.
4.解:显然
U
B?
{2,4,6},
U
A?{1,3,6,7}
,
则
A
(
U<
br>B
)
?
{2,4}
,
(
U
A)(
U
B)?{6}
.
1.1集合
习题1.1 (第11页)
A组
1.用符号“
?
”或“
?
”填空:
(1)
3
2
7
_______
Q
;
(2)
3
2
______
N
;
(3)
?
_______
Q
;
(4)
2
_______
R
;
(5)
9
_______
Z
;
(6)
(5)
2
_______
N
.
1.(1)
3
2
7
?Q
3
2
7
是有理数;
(2)
3
2
?N
3
2
?9
是个自然数;
(3)
?
?Q
?
是个无理数,不是有理数; (4)
2?R
2
是实数;
(5)
9?Z
9?3
是个整数; (6)
(5)
2
?N
(5)
2
?5
是个自然数.
2.已知
A?{x|x?3k?1,k?Z}
,用
“
?
”或“
?
” 符号填空:
(1)
5
_______
A
;
(2)
7
_______
A
;
(3)
?10
_______
A
.
2.(1)
5?A
; (2)
7?A
;
(3)
?10?A
.
当
k?2
时,
3k?
1?5
;当
k??3
时,
3k?1??10
;
3.用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于
1
且小于
6
的整数;
(2)
A?{x|(x?1)(x?2)?0}
;
(3)
B?{x?Z|?3?2x?1?3}
.
4
3.解:(1)大于
1
且小于
6
的整数为
2,3,4,5
,即
{2,3,4,5}
为所求;
(2)方程(x?1)(x?2)?0
的两个实根为
x
1
??2,x
2?1
,即
{?2,1}
为所求;
(3)由不等式
?3?2x?
1?3
,得
?1?x?2
,且
x?Z
,即
{0,1,2}<
br>为所求.
4.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)二次函数
y?x
2
?4
的函数值组成的集合;
(2)反比例函数
y?
2
x
的自变量的值组成的集合;
(3)不等式
3x?4?2x
的解集.
4.解:(1)显然有
x<
br>2
?0
,得
x
2
?4??4
,即
y??4<
br>,
得二次函数
y?x
2
?4
的函数值组
成的集合为
{y|y??4}
;
(2)显然有
x?0
,得反比例函
数
y?
2
x
的自变量的值组成的集合为
{x|x?0}
;
(3)由不等式
3x?4?2x
,得
x?
4
5
,即
不等式
3x?4?2x
的解集为
{x|x?
4
5
}
.
5.选用适当的符号填空:
(1)已知集合
A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2}
,则有:
?4
_______
B
;
?3
_______
A
;
{2}
_______
B
;
B
_______
A
;
(2)已知集合
A?{x|x
2
?1?0}
,则有:
1
_______
A
;
{?1}
_______
A
;
?
_______
A
;
{1,?1}
_______
A
;
(3)
{x|x是菱形}
_______
{x|x是平行四边形}
;
{x|x是等腰三角形}
_______
{x|x是等边三角形}
.
5.(1)
?4?B
;
?3?A
;
{2}
B
;
BA
;
2x?3
?3x?x??3
,即
A?{x|x??3},B?{x|x?2}
;
(2)
1?A
;
{?1}
A
;
?
A
;
{1,?1}
=
A
;
A?{x|x
2
?1?0}?{?1,1}
;
5
(3)
{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
;
菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;
{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}
.
等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形.
6.设集合
A
?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x}
,求
AB,AB
.
6.解:
3x?7?8?2x
,即
x?3
,得
A?{x|2?x?
4},B?{x|x?3}
,
则
AB?{x|x?2}
,
AB?{x|3?x?4}
.
7.设集
合
A?{x|x是小于9的正整数}
,
B?{1,2,3},C?{3,4,5,6}
,求
AB
,
AC
,
A(BC)
,
A(BC)
.
7.解:
A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8}
,
则
AB?{1,2,3}
,
AC?{3,4,5,6}
,
而
BC?{1,2,3,4,5,6}
,
BC?{3}
,
则
A(BC)?{1,2,3,4,5,6}
,
A(BC)?{1,2,3,4,5,6,7,8}
.
8.学校里开运动会,设
A?{x|x是参加一百米跑的同学}
,
B?{x
|x是参加二百米跑的同学}
,
C?{x|x是参加四百米跑的同学}
,
学
校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定,
并解释以下集合运算
的含义:(1)
AB
;(2)
AC
.
8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项,
即为
(AB)C??
.
(1)
AB?{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}
;
(2)
AC?{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}
.
6
9.设
S?{x|x是平行四边形或梯形}
,
A?{x|x是平行四边形}
,
B?{x|x是菱形}
,
C?{x|x是矩形}
,求
BC
,
A
B,
S
A
.
9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即
BC?{x|x是正方形}
,
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形,
即
A
B?
{
x
|
x是邻边不相等的
平行四边形
}
,
S
A?
{
x
|
x是梯形
}
.
1
0.已知集合
A?{x|3?x?7},B?{x|2?x?10}
,求
R
(
AB
)
,
R
(AB)
,
(
R
A)B
,
A(
R
B)
.
1
0.解:
AB?{x|2?x?10}
,
AB?{x|3?x?7}
,
R
A?
{
x
|
x?
3
,
或x?
7}
,
R
B?{x|x?2,或x?10}
,
得
R
(
AB
)
?
{
x
|
x?
2,
或x?
10}
,
R
(
AB
)
?
{
x
|
x?
3,
或x?
7}
,
(
R
A
)
B?
{
x
|2
?x?
3,
或
7
?x?
10}
,
A
(
R
B
)
?
{
x
|
x?
2,
或<
br>3
?x?
7
或x?
10}
.
B组
1.已
知集合
A?{1,2}
,集合
B
满足
AB?{1,2}
,则
集合
B
有 个.
1.
4
集合B
满足
AB?A
,则
B?A
,即集合
B
是集合
A
的子集,得
4
个子集.
2.在平面直角坐标系中,集合
C?{(x,y)|y?x}
表示直线
y?x
,从这个角度看,
集合
D?
?
?
(x,y)|
?
2x?y?1?
?
?
?
x?4y?5
?
表示什么?集合
C,D
之间有什么关
系?
?
2.解:集合
D?
?
?
(x,y)|
?<
br>?
?
2x?y?1?
?
x?4y?5
?
表示两条直线
2x?y?1,x?4y?5
的交点的集合,
?
即
D?
?
?
(x,y)|
?
2x?y?1?
?
??
x?4y?5
?
?{(1,1)}
,点
D(1,1)
显然在直线
?
y?x
上,
7
得
D
C
.
3.设集合
A?{x
|(x?3)(x?a)?0,a?R}
,
B?{x|(x?4)(x?1)?0}
,
求
AB,AB
.
3.解:显然有集合
B?{x|(x?4)(x?1)?0}?{1,4}
,
当
a?3
时,集合
A?{3}
,则
AB?{
1,3,4},AB??
;
当
a?1
时,集合
A?
{1,3}
,则
AB?{1,3,4},AB?{1}
;
当
a?4
时,集合
A?{3,4}
,则
AB?{1,3,4},AB?
{4}
;
当
a?1
,且
a?3
,且
a?4
时,集合
A?{3,a}
,
则
AB?{1,3,4,a},AB??
.
4.已知全集
U?AB
?{x?N|0?x?10}
,
A
(
U
B
)
?{1,3,5,7}
,试求集合
B
.
4.解:显然
U?{0,
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
,由
U?AB
,
得
U
B?A
,即
A(
U
B)?
U
B
,而A(
U
B)?{1,3,5,7}
,
得
U
B?
{1,3,5,7}
,而
B?
U
(
U
B)
,
即
B?{0,2,4,6,8.9,10}
.
第一章 集合与函数概念
1.2函数及其表示
1.2.1函数的概念
练习(第19页)
1.求下列函数的定义域:
(1)
f(x)?
1
4x?7
;
(2)
f(x)?1?x?x?3?1
.
1.解:(1)要使原式有意义,则
4x?7?0
,即
x??
7
4
,
得该函数的定义域为
{x|x??
7
4
}
;
(2)要使原式有意义,则
?
?
1?x?0
?
x?3?0
,
即
?3?x?1
,
8
得该函数的定义域为
{x|?3?x?1}
.
2.已知函数
f(x)?3x
2
?2x
,
(1)求
f(2),f(?2),f(2)?f(?2)
的值;
(2)求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值.
2.解:(
1)由
f(x)?3x
2
?2x
,得
f(2)?3?2
2<
br>?2?2?18
,
同理得
f(?2)?3?(?2)
2
?2?(?2)?8
,
则
f(2)?f(?2)?18?8?26
,
即
f(2)?18,f(?2)?8,f(2)?f(?2)?26
;
(2)由
f(x)?3x
2
?2x
,得
f(a)?3?a
2
?2?a?3a
2
?2a
,
同理得
f(?a)?3?(?a)
2
?2?(?a)?3a
2
?2a
,
则
f(a)?f(?a)?(3a
2
?2a)?(3
a
2
?2a)?6a
2
,
即
f(a)?3a
2<
br>?2a,f(?a)?3a
2
?2a,f(a)?f(?a)?6a
2
.
3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度
h
与时间
t
关系的函数
h?130t?5t
2
和二次函数<
br>y?130x?5x
2
;
(2)
f(x)?1
和
g(x)?x
0
.
3.解:(1)不相等,因为定义域不同,时间
t?0
;
(2)不相等,因为定义域不同,
g(x)?x
0
(x?0)
.
1.2.2函数的表示法
练习(第23页)
1.如图,把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为
xcm
,
面积为
ycm
2
,把
y
表示为
x
的函数.
1.解:显然矩形的另一边长为
50
2
?x
2
cm
,
9
y?x50
2
?x
2
?x2500?x
2
,且
0?x?50<
br>,
即
y?x2500?x
2
(0?x?50)
.
2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事.
(
1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;
(2)我骑着车
一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
离开家的距离
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
O
时间
O
时间
O
时间
O
时间
(A)
(B) (C) (D)
2.解:图象(A)对应事件(2),在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化;
图象(B)对应事件(3),刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速;
图象(D)对应事件(1),返回家里的时刻,离开家的距离又为零;
图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进.
3.画出函数
y?|x?2|
的图象.
?
x?2,x?2
3.解:
y?|x?2|?
?
,图象如下所示.
?
?x?2,x?2
10
4.设
A?{x|x是锐角}
,B?{0,1}
,从
A
到
B
的映射是“求正弦”,与
A<
br>中元素
60
相对应
的
B
中的元素是什么?与
B中的元素
2
相对应的
A
中元素是什么?
2
4.解:因
为
sin60?
33
,所以与
A
中元素
60
相对应
的
B
中的元素是
;
22
22
,所以与
B
中的元素
相对应的
A
中元素是
45
.
22
因为
sin45?
1.2函数及其表示
习题1.2(第23页)
1.求下列函数的定义域:
(1)
f(x)?
(3)
f(x)?
3x
;
(2)
f(x)?x
2
;
x?4
4?x
6
f(x)?
; (4).
2
x?1
x?3x?2
1.解:(1)要使原式有意义,则
x?4?0
,即
x?4
,
得该函数的定义域为
{x|x?4}
;
(2)
x?R
,
f(x)?x
2
都有意义,
即该函数的定义域为
R
;
(3)要使原式有意义,则
x
2
?3x?2?0
,即
x?1
且
x?2
,
得该函数的定义域为
{x|x?1且x?2}
;
?
4?x?0
(4
)要使原式有意义,则
?
,即
x?4
且
x?1
,
?
x?1?0
得该函数的定义域为
{x|x?4且x?1}
.
2.下列哪一组中的函数
f(x)
与
g(x)
相等?
x
2
(1)
f(x)?x?1,g(x)??1
;
(2)
f(x)?x
2
,g(x)?(x)
4
;
x
11
(3)
f(x)?
x
2
,g(x)?
3
x
6
.
x
2
2.解:(1)
f(x)?x?1
的定义域为
R
,而
g(x)??
1
的定义域为
{x|x?0}
,
x
即两函数的定义域不同,得函数
f(x)
与
g(x)
不相等;
(2)
f(x)?x
2
的定义域为
R
,而
g(x)?(x)
4
的定义域为
{x|x?0}
,
即两函数的定义域不同,得函数
f(x)
与
g(x)
不相等;
(3)对于任何实数,都有
3
x
6
?x
2
,即这两函数的定
义域相同,切对应法则相同,
得函数
f(x)
与
g(x)
相等.
3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域.
(1)
y?3x
; (2)
y?
3.解:(1)
(2)
12
8
;
(3)
y??4x?5
; (4)
y?x
2
?6x?7
.
x
定义域是
(??,??)
,值域是
(??,??)
;
定义域是
(??,0)(0,??)
,值域是
(??,0)(0,??)
;
(3)
13
定义域是
(??,??)
,值域是
(??,??)
;
(4)
定义域是
(??,??)
,值域是
[?2,??)
. <
br>4.已知函数
f(x)?3x
2
?5x?2
,求
f(?2)<
br>,
f(?a)
,
f(a?3)
,
f(a)?f(3)
.
4.解:因为
f(x)?3x
2
?5x?2
,所以
f(
?2)?3?(?2)
2
?5?(?2)?2?8?52
,
即
f(?2)?8?52
;
同理,
f(?a)?3?(?a
)
2
?5?(?a)?2?3a
2
?5a?2
,
即
f(?a)?3a
2
?5a?2
;
14
f(a?3)?3?(a?3)
2
?5?(a?3)?2?3a
2
?13a?14
,
即
f(a?3)?3a
2
?13a?14
;
f(a)?f(3)?3a
2
?5a?2?f(3)?3a
2
?5a?16
,
即
f(a)?f(3)?3a
2
?5a?16
.
5.已知函数
f(x)?
x?2
,
x?6
(1)点
(3,14)
在
f(x)
的图象上吗?
(2)当
x?4
时,求
f(x)
的值;
(3)当
f(x)?2
时,求
x
的值.
5.解:(1)当
x?3
时,
f(3)?
3?25
???14
,
3?63
即点
(3,14)
不在
f(x)
的图象上;
(2)当
x?4
时,
f(4)?
4?2
??3
,
4?6
即当
x?4
时,求
f(x)
的值为
?3
;
(3)
f(x)?
x?2
?2
,得
x?2?2(x?6)
,
x?6
即
x?14
.
6.若
f
(x)?x
2
?bx?c
,且
f(1)?0,f(3)?0
,求f(?1)
的值.
6.解:由
f(1)?0,f(3)?0
,
得
1,3
是方程
x
2
?bx?c?0
的两个实数根,
即
1?3??b,1?3?c
,得
b??4,c?3
,
即
f(x)?x
2
?4x?3
,得
f(?1)?(?1)
2<
br>?4?(?1)?3?8
,
即
f(?1)
的值为
8
.
7.画出下列函数的图象:
?
0,x?0
(1)
F(x)?
?
;
(2)
G(n)?3n?1,n?{1,2,3}
.
?
1,x?0
15
7.图象如下:
8.如图,
矩形的面积为
10
,如果矩形的长为
x
,宽为
y
,对角周长为
l
,那么你能获得关于这些量的哪些函数?
线为
d
,
8.解:由矩形的面积为
10
,即
xy
?10
,得
y?
10
10
(x?0)
,
x?(y?
0)
,
y
x
100
(x?0)
,
2
x
16
由对角线为
d
,即
d?
x
2
?y
2
,得
d?x
2
?
由周长为
l
,即
l?2x?2y<
br>,得
l?2x?
20
(x?0)
,
x
另外
l?2(x?y)
,而
xy?10,d
2
?x
2
?y
2
,
得
l?2(x?y)
2
?2x
2?y
2
?2xy?2d
2
?20(d?0)
,
即
l?2d
2
?20(d?0)
.
9.一个圆柱形容器的
底部直径是
dcm
,高是
hcm
,现在以
vcm
3
s
的速度向容器注入某种溶
液.求溶液溶液的高度
xcm
关于注入溶液的时间
ts
的函数解析式,并写出函数的定义域和
值域.
d4v
9.解:
依题意,有
?
()
2
x?vt
,即
x?t
,
2
?
d
2
h
?
d
2
4v
显然
0?x?h
,即
0?
,
t?h
,得
0?t?
4v
?
d
2
h
?
d
2
]
和值域为
[0,h]
. 得函数的定义域为
[0,
4v
10.设集合
A?{a,b,c},B?{0,1}
,试问:从
A
到
B
的映射共有几个?
并将它们分别表示出来.
10.解:从
A
到
B
的映射共有
8
个.
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
????
分别是
?
f(b)?0
,<
br>?
f(b)?0
,
?
f(b)?1
,
?
f(
b)?0
,
?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f
(c)?0
?
f(c)?1
????
?
f(a)?1
?f(a)?1
?
f(a)?1
?
f(a)?1
????
?
f(b)?0
,
?
f(b)?0
,
?
f
(b)?1
,
?
f(b)?0
.
?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f(c)?0
?
f(c)?1
????<
br>
17
B组
1.函数
r?f(p)
的图象如图所示.
(1)函数
r?f(p)
的定义域是什么?
(2)函数
r?f(p)
的值域是什么?
(3)
r
取何值时,只有唯一的
p
值与之对应?
1.解:
(1)函数
r?f(p)
的定义域是
[?5,0][2,6)
;
(2)函数
r?f(p)
的值域是
[0,??)
;
(
3)当
r?5
,或
0?r?2
时,只有唯一的
p
值与之对应
.
2.画出定义域为
{x|?3?x?8,且x?5}
,值域为
{y|?1
?y?2,y?0}
的一个函数的图象.
(1)如果平面直角坐标系中点
P(x,y
)
的坐标满足
?3?x?8
,
?1?y?2
,那么其中哪些点不能在图象上?
(2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗?
2.解:图象如
下,(1)点
(x,0)
和点
(5,y)
不能在图象上;(2)省略.
3.函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最大
整数,例如,
[?3.5]??4
,
[2.1]?2
.
当
x?(?2.5,3]
时,写出函数
f(x)
的解析式,并作出函数的图象.
18
?
?3,?2.5?x??2
?
?2,?2?x??1
?
?
?1,?1?x?0
?
3.解:
f(x)?[x]?
?
0,0?x?1
?
1,
1?x?2
?
?
2,2?x?3
?
3,x?3
?
图象如下
19
4.如图所示,一座小岛距离海岸线上
最近的点
P
的距离是
2km
,从点
P
沿海岸正东
1
2km
处
有一个城镇.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为
3kmh
,步行的速度是
5kmh
,
t
(单位:
h
)表
示他从小岛到城镇的时间,
x
(单位:
km
)表示此人将船停在海岸处距
P
点的距离.
请
将
t
表示为
x
的函数.
(2)如果将船停在距点
P
4km
处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到
1h
)?
4
.解:(1)驾驶小船的路程为
x
2
?2
2
,步行的路程为
12?x
,
得
t?
x
2
?2
2
12?x
?
,
(0?x?12)
,
35
20
即
t?
x
2
?412?x
?,
(0?x?12)
.
35
4
2
?412?4258
????3(h)
.
3535
(2)当
x?4
时,
t?
第一章 集合与函数概念
1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大(小)值
练习(第32页)
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.
1.答:在一定的围,生
产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生
产效率达到最大值,而超过这个数量
时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此
可见,并非是工人越多,生产效率就越高.
21
2.整个上午
(8:0012:00)<
br>天气越来越暖,中午时分
(12:0013:00)
一场暴风雨使天气骤然
凉爽
了许多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山
(18:00)
才又开始转凉.画出这一天8:0020:00
期间气温作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间.
2.解:图象如下
[8,12]
是递增区间,
[12,13]
是递减区间,
[13,18]
是递增区间,
[18,20]<
br>是递减区间.
3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.
22
3.解:该函数在
[?
1,0]
上是减函数,在
[0,2]
上是增函数,在
[2,4]
上是
减函数,
在
[4,5]
上是增函数.
4.证明函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
4
.证明:设
x
1
,x
2
?R
,且
x
1?x
2
,
因为
f(x
1
)?f(
x
2
)??2(x
1
?x
2
)?2(x
2
?x
1
)?0
,
即
f(x
1
)?f(x
2
)
,
所以函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
5.设
f(x)
是定义在区间
[?6,11]
上的函数.如果
f(x)
在区
间
[?6,?2]
上递减,在区间
[?2,11]
上
递增,画出f(x)
的一个大致的图象,从图象上可以发现
f(?2)
是函数
f(x
)
的一
个 .
5.最小值.
1.3.2单调性与最大(小)值
练习(第36页)
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)
f(x)?2x
4
?3x
2
;
(2)
f(x)?x
3
?2x
x
2
?1
(3)
f(x)?
;
(4)
f(x)?x
2
?1
.
x
1.解:(1)对于函数
f(x)?2x
4
?3x
2
,其定义域为
(??,??)<
br>,因为对定义域
每一个
x
都有
f(?x)?2(?x)
4<
br>?3(?x)
2
?2x
4
?3x
2
?f(x)
,
23
所以函数
f(x)?2x
4
?3x
2
为偶函数;
(2)对于函数
f(x)?x
3
?2x
,其定义域为
(??,??)
,因为对定义域
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)
3<
br>?2(?x)??(x
3
?2x)??f(x)
,
所以函数
f(x)?x
3
?2x
为奇函数;
x
2
?1
(3)对于函数
f(x)?
,其定义域为
(??,0)(0,?
?)
,因为对定义域
x
(?x)
2
?1x
2
?1
????f(x)
, 每一个
x
都有
f(?x)?
?xx<
br>x
2
?1
所以函数
f(x)?
为奇函数;
x
(4)对于函数
f(x)?x
2
?1
,其定义域为
(??,??)
,因为对定义域
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)
2<
br>?1?x
2
?1?f(x)
,
所以函数
f(x)?x
2
?1
为偶函数.
2.已知
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数,试将下图补充完整.
2.解:
f(x)
是偶函数,其图象是关于
y
轴对称的;
g(x)
是奇函数,其图象是关于原点对称的.
24
习题1.3
A组
1.画出下
列函数的图象,并根据图象说出函数
y?f(x)
的单调区间,以及在各单调区间
上函数
y?f(x)
是增函数还是减函数.
(1)
y?x
2
?5x?6
;
(2)
y?9?x
2
.
1.解:(1)
25
55
函数在
(??,)
上递减;函数在
[,??)
上递增;
22
(2)
函数在
(??,0)
上递增;函数在
[0,??)
上递减.
2.证明:
(1)函数
f(x)?x
2
?1
在
(
??,0)
上是减函数;
1
(2)函数
f(x)?1?
在
(??,0)
上是增函数.
x
2.证明:(1)设
x
1
?x
2
?0
,
而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?
x
2
)
,
由
x
1
?
x
2
?0,x
1
?x
2
?0
,得
f(x<
br>1
)?f(x
2
)?0
,
即<
br>f(x
1
)?f(x
2
)
,所以函数
f(x)?x<
br>2
?1
在
(??,0)
上是减函数;
(2)设
x<
br>1
?x
2
?0
,而
f(x
1
)?f(x2
)?
11
x
1
?x
2
??
,
x
2
x
1
x
1
x
2
由
x
1
x
2
?0,x
1
?x
2
?0
,得
f(x
1
)?f(x
2
)?0
,
1
即
f(x
1
)?f(x
2<
br>)
,所以函数
f(x)?1?
在
(??,0)
上是增函数.
x
26
3.探究一次函数
y?mx?b(x?R)
的单调性,并证明你的结论.
3
.解:当
m?0
时,一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是增函数;
当
m?0
时,一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是减函数,
令
f(x)?mx?b
,设
x
1
?x
2
,
而
f(x
1
)?f(x
2
)?m(x1
?x
2
)
,
当
m?0
时,
m(x
1
?x
2
)?0
,即
f(x
1)?f(x
2
)
,
得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是增函数;
当
m?0
时,
m(x
1
?x
2
)?0
,即
f(x
1
)?f(x
2
)
,
得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是减函数.
4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图).
4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益
y
元与每辆车的月租金
x
元间的关系为
x
2
y???162x?21000
,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁
公司的月收益最大?最大
50
月收益是多少?
x
2
5.解:对于函数
y???162x?21000
,
50
当
x??
162
1
2?(?)
50
,
?4050
时,
y
max
?307050
(元)
27
即每辆车的月租金为
4050
元时,租赁公司最大月收益为
307050
元.
6.已知函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,当
x?0<
br>时,
f(x)?x(1?x)
.画出函数
f(x)
的图象,并求出函数的解析式.
6.解:当
x?0
时,
?x?0<
br>,而当
x?0
时,
f(x)?x(1?x)
,
即
f(?x)??x(1?x)
,而由已知函数是奇函数,得
f(?x)??f(x)
,
得
?f(x)??x(1?x)
,即
f(x)?x(1?x)
,
?
x(1?x),x?0
所以函数的解析式为
f(x)?
?
.
x(1?x),x?0
?
B组
1.已知函数
f(x)?x
2
?2x
,
g(x)?x
2
?2x(x?[2,4])
.
(1)求
f(x)
,
g(x)
的单调区间;
(2)求
f(x)
,
g(x)
的最小值.
1.解:(1)二次函数
f(x)?x
2
?2x
的对称轴为
x?1
,
则函数
f(x)
的单调区间为
(??,1),[1,??)
,
且函数
f(x)
在
(??,1)
上为减函数,在
[1,??)
上为增函数,
函数
g(x)
的单调区间为
[2,4]
,
且函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数;
(2)当
x?1
时,
f(x)
min
??1
,
因为函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数,
所以
g(x)
min
?g(2)?2
2
?2?2?0
. <
br>2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的
2
间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围
墙的材
料总长是
30m
,那么宽
x
(单位:
m
)为
多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间
熊猫居室的最大面积是多少?
28
2.解:由矩形的宽为
xm
,得矩形的长为
30?3x3(x2
?10x)
??
则
S?x
,
22
30?3x
m
,设矩形的面积为
S
,
2
当
x?5
时,
S
max
?37.5m
2
,
即宽
x?5
m
才能使建造的每间熊猫居室面积最大,
且每间熊猫居室的最大面积是
37.5m
2
.
3.已知函数
f(x)
是偶函数,而且在
(0,??)
上是减函数,判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数还是减
函数,并证明你的判断.
3.判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数,证明如下:
设
x
1
?x
2
?0
,则
?x
1
??x
2
?0
,
因为函数
f(x)
在
(0,??)
上是减函数,得
f(?x
1
)?f(?x
2<
br>)
,
又因为函数
f(x)
是偶函数,得
f(x
1
)?f(x
2
)
,
所以
f(x)
在
(??,0)
上是增函数.
复习参考题
A组
1.用列举法表示下列集合:
29
(1)
A?{x|x
2
?9}
;
(2)
B?{x?N|1?x?2}
;
(3)
C?{x|x
2
?3x?2?0}
.
1.解:(1
)方程
x
2
?9
的解为
x
1
??3,x
2
?3
,即集合
A?{?3,3}
;
(2)
1?
x?2
,且
x?N
,则
x?1,2
,即集合
B?{1,2}
;
(3)方程
x
2
?3x?2?0
的解为
x1
?1,x
2
?2
,即集合
C?{1,2}
.
2.设
P
表示平面的动点,属于下列集合的点组成什么图形?
(1)
{P|PA?PB}(A,B
是两个定点
)
;
(2)
{P|PO?3cm}(O
是定点
)
.
2.解:(
1)由
PA?PB
,得点
P
到线段
AB
的两个端点的距离相
等,
即
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线;
(2)
{P|PO?3cm}
表示的点组成以定点
O
为圆心,半径为
3cm
的圆.
3.设平面有
?ABC
,且
P
表示这个平面的动点,指出属于集合
{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是什么.
3.解:集合
{P|
PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线,
集合
{P|PA?PC}
表示的点组成线段
AC
的垂直平分线,
得
{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是线段
AB
的垂直平分线与线
段
AC
的
垂直平分线的交点,即
?ABC
的外心.
4.
已知集合
A?{x|x
2
?1}
,
B?{x|ax?1}
.
若
B?A
,数
a
的值.
4.解:显然集合
A?{?1,1
}
,对于集合
B?{x|ax?1}
,
当
a?0<
br>时,集合
B??
,满足
B?A
,即
a?0
;
11
1
当
a?0
时,集合
B?{}
,而
B?A
,则
??1
,或
?1
,
aa
a
30
得
a??1
,或
a?1
,
综上得:实数
a
的值为
?1,0
,或
1
.
5.已
知集合
A?{(x,y)|2x?y?0}
,
B?{(x,y)|3x?y?0},
C?{(x,y)|2x?y?3}
,求
AB
,
AC
,
(AB)(BC)
.
?
?
2x?y?0?
5.解:集合
AB?
?
(x,y)|
??
?{(0,0)}
,即
AB?{(0,0)}
;
?
3x?y?0
??
?
?
2x?y?0?
集合
AC?
?
(x,y)|
??
??
,即
AC??
;
2x?y?3
?
??
?
?
3x?y?0?39
集合
BC?
?
(x,y)|
??
?{(,?)}
;
55
?
2x?y?3
??
39
则
(AB)(BC)?{(0,0),(,?)}
.
55
6.求下列函数的定义域:
(1)
y?x?2?x?5
;
(2)
y?
x?4
.
|x|?5
?
x?2?0<
br>6.解:(1)要使原式有意义,则
?
,即
x?2
,
x?5?0
?
得函数的定义域为
[2,??)
;
?
x?4?0
(2)要使原式有意义,则
?
,即
x?4
,且
x?5
,
?
|x|?5?0
得函数的定义域为
[4,5)(5,??)
.
7.已知函数
f(x)?
1?x
,求:
1?x
(1)
f(a)?1(a??1)
;
(2)
f(a?1)(a??2)
.
1?x
,
1?x
1?a1?a2
?1?
所以
f(a)?
,得
f(a)?1?
,
1?a1?a1?a
7.解:(1)因为
f(x)?
31
2
;
1?a
1?x
(2)因为
f(x)?
,
1?x
1?(a?1)a
所以
f(a?1)?
,
??
1?a?1a?2
a
即
f
(
a?
1)
??
.
a?2
即
f(a)?1?
1?x
2
8.设
f(x)?
,求证:
1?x
2
1
(1)
f(?x)?f(x)
;
(2)
f()??f(x)
.
x
1?x
2
8.证明:(1)因为
f(x)?
,
2
1?x
1?(?x)
2
1?x
2
??f(x)
,
所以
f(?x)?
22
1?(?x)1?x
即
f(?x)?f(x)
;
1?x
2
(2)因为
f(x)?
,
2
1?x
1
1?()
2
11?x
2
x
所以
f()??
2
??f(x)
,
1
x
1?()
2
x?1
x
1
即
f()??f(x)
.
x
9.已知函数
f(x)?4x
2
?kx?8
在
[5,20]
上具有单调性,数
k
的取值围
.
9.解:该二次函数的对称轴为
x?
k
,
8
函数
f(x)?4x
2
?kx?8
在
[5,20]
上具有单
调性,
则
kk
?
20
,或
?5
,得
k?
160
,或
k?40
,
88
即实数
k
的取值围为
k?160
,或
k?40
.
10.已知函数
y?x
?2
,
(1)它是奇函数还是偶函数?
32
(2)它的图象具有怎样的对称性?
(3)它在
(0,??)
上是增函数还是减函数?
(4)它在
(??,0)
上是增函数还是减函数?
10.解:(1)令f(x)?x
?2
,而
f(?x)?(?x)
?2
?x
?2
?f(x)
,
即函数
y?x
?2
是偶函数;
(2)函数
y?x
?2
的图象关于
y
轴对称;
(3)函数
y?x
?2
在
(0,??)
上是减函数;
(4)函数
y?x
?2
在
(??,0)
上是增函数.
B组
1.学校举办运动会时,高一(1)班共有
28
名同学参加比赛,有<
br>15
人参加游泳比赛,有
8
人参
加田径比赛,有
14
人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有
3
人,同时参加游
泳比赛和球类比
赛的有
3
人,没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多
少人?只参
加游泳一项比赛的有多少人?
1.解:设同时参加田径和球类比赛的有
x
人,
则
15?8?14?3?3?x?28
,得
x?3
,
只参加游泳一项比赛的有
15?3?3?9
(人),
即同时参加田径和球类比赛的有
3
人,只参加游泳一项比赛的有
9
人. 2.已知非空集合
A?{x?R|x
2
?a}
,试数
a
的取值围.
2.解:因为集合
A??
,且
x
2
?0
,所以
a?0
.
3.设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7,8,9
}
,
3.解:由
U
U
(
AB
)
?
{1,3}
,
A(
U
B)?{2,4}
,求集合
B
.
(
AB
)
?
{1,3}
,得
AB?{2,4,
5,6,7,8,9}
,
33
集合
AB
里除去
A
(
U
B
)
,得集合B
,
所以集合
B?{5,6,7,8,9}
.
?
x(x?4),x?0
4.已知函数
f(x)?
?
.求
f(1)
,
f(?3)
,
f(a?1)
的值.
?
x(x?4),x?0
4.解:当
x?0
时,
f(x)?x(x?4)
,得
f(1)?1?(1?4)?5
;
当
x?0
时,
f(x)?x(x?4)
,得
f(?3)??3?(?3?4)?21
;
?
(a?1)(a?5),a??1
f(a?1)?
?
.
?
(a?1)(a?3),a??1
5.证明:
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
;
)?22
x?xg(x
1
)?g(x
2
)
(2)若
g(x)?x
2
?ax?b
,则
g(
12
)?
.
22
x?xx?x
a
5.证明:(1)因为
f(x)?ax?b,得
f(
12
)?a
12
?b?(x
1
?x<
br>2
)?b
,
222
f(x
1
)?f(x
2
)ax
1
?b?ax
2
?b
a
??(x
1
?x
2
)?b
,
222
x?xf(x
1
)?f(x
2
)
所以
f(
12
)?
;
22
(1)若
f(x)?ax?b
,则
f(
(2)因为
g(x)?x
2
?ax?b
,
x
1
?
x
2
x?x
1
)?(x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
)?a(
12
)?b
,
242
g(x
1
)?g(x
2
)
1
?[(
x
1
2
?ax
1
?b)?(x
2
2
?ax
2
?b)]
22
x?x
1
?(x
1
2
?x
2
2
)?a(
12
)?b
,
22
111
因为
(x
1
2
?
x
2
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
2
?x
2
2
)??(x
1
?x
2
)
2
?0
,
424
11
即
(x
1
2?x
2
2
?2x
1
x
2
)?(x
1<
br>2
?x
2
2
)
,
42
x?xg(x
1
)?g(x
2
)
所以
g(
12
)?
.
22
得
g(
6.(1)已知奇函数
f(x)
在
[a
,b]
上是减函数,试问:它在
[?b,?a]
上是增函数还是减函数?
(
2)已知偶函数
g(x)
在
[a,b]
上是增函数,试问:它在
[?
b,?a]
上是增函数还是减函数?
34
6.解:(1)函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数,证明
如下:
设
?b?x
1
?x
2
??
a
,则
a??x
2
??x
1
?b
,
因为函数
f(x)
在
[a,b]
上是减函数,则
f(?x
2
)?f(?x
1
)
,
又因为函数
f(x)
是奇函数,则
?f(x
2
)??f(x
1
)
,即
f(x
1
)?f(x
2
)
,
所以函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数;
明如
全月应纳税所得额
税率
(
0
0
)
(2)函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数,证
下:
设
?b?x
1
?x
2
??a
,则
a??x
2
??x
1
?b
,
不超过
500
元的部分
超过
500
元至
2000
元的部分
超过
2000
元至
5000
元的部分
5
10
因为函数
g(x)
在
[a,b]
上是增函
数,则
15
g(?x
2
)?g(?x
1
)
,
又因为函数
g(x)
是偶函数,则
g(x
2
)?g(x
1<
br>)
,即
g(x
1
)?g(x
2
)
,
所以函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数.
7.《中华人民
国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过
2000
元的部分
不必纳税,
超过
2000
元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算:
某人一月份应交纳此项税款为
26.78
元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?
35
7.解:设某人的全月工资、薪金所得为
x
元,应纳此项税款为
y
元,则
?
0,0?x?2000
?
(x?2000)?5%,2000?x?2500
?
y?
?
?
25?(x?2500)?10%,2500?x?40
00
?
?
175?(x?4000)?15%,4000?x?5000
由该人一月份应交纳此项税款为
26.78
元,得
2500?x?4000
,
25?(x?2500)?10%?26.78
,得
x?2517.8
,
所以该人当月的工资、薪金所得是
2517.8
元.
36
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