高中数学必修1讲练讲义稿

高一数学必修一讲义

第一章 集合与函数概念

第一讲：集合的含义与表示

（1）、教学目标：
1、了解集合的含义、 领会集合中元素与集合的∈、?关系；元素：用小写的字母a,b,c,…
表示；元素之间用逗号隔开。 集合：用大写字母A，B，C，…表
示；
2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描 述法：注意以下表示的集合之区别：
｛y=x
2
+1｝；｛x
2
-x -2=0｝，｛x| x
2
-x-2=0｝,｛x|y=x
2
+1｝；｛t| y=t
2
+1｝；｛y|y=x
2
+1｝；
｛(x,y)|y=x< br>2
+1｝； ?；｛?｝,｛0｝
3、了解特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、?；
（2）、教学重难点：重点：集合中元素的三个特性。
难点：集合的三种表示方法。
（3）、教学过程：
一、集合的概念以及元素与集合的关系：
1、 元素：我们把研究对象统称为元素，用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔
开。
集合：把一些元素组成的总体叫做集合，用大写字母A，B，C，…表示。
元素与集合的关系：∈、?
2、特殊的集合：N（非负整数集）、Z（整数集）、Q（有理数 集）、R（实数集）；N*（正整
数集）、?（空集）；
3、集合中的元素的三个特性：具有确定性、互异性、无序性：
例题1、已知集合A=｛a-2,2a
2
+5a,10｝,又-3∈A，求出a之值。
解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=
-3

2
课堂练习：
1、已知集合A=｛1，0，x｝,又x
2
∈A，求出x之值。(解：x=-1) < br>2、已知集合A=｛a+2,（a+1）
2
，a
2
+3a+3｝,又1 ∈A，求出a之值。（解：a=0)
二、集合的表示方法：1、自然语言法 2、列举法 3、描述法
?
x?y?1
例题2、用列举法和描述法表示方程组
?
的解集。
x?y??1
?
解：解方程组得x=0 y=1所以用列举法表示方程组 的解集为{（0,1）}；用描述法表示为
?
?
x?o
?
?
(x,y)
A
2
=
A
1
=已知下列集合：（1）、｛n | n = 2k+1,k
?
N,k
?
5｝；（2）、
???
例例题3、
y?1
?
?
?
?
1

｛x | x = 2k, k
?
N, k
?
3｝；（3）、
A
3
=｛x | x = 4k＋1,或x = 4k－1,k
?N,
k
?
3｝；
问：（Ⅰ）、用列举法表示 上述各集合；（Ⅱ）、对集合
A
1
，
A
2
，
A3
，如果使k
?
Z,
那么
A
1
，
A< br>2
，
A
3
所表示的集合分别是什么？并说明
A
3与
A
1
的关系。
解：(Ⅰ)、⑴
A
1
=｛n | n = 2k+1,k
?
N ,k
?
5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；
⑵、
A
2
=｛x | x = 2k, k
?
N, k
?
3｝＝｛0，2，4，6｝；
⑶、
A
3
=｛x | x = 4k
?
1,k
?N,
k
?
3｝＝｛－1，1，3， 5，7，9，11，13｝；
（Ⅱ）、对集合
A
1
，
A
2
，
A
3
，如果使k
?
Z,那么
A
1
、
A
3
所表示的集合都是奇数集；
A
2
所表示的集合都是 偶数集。
。
例题4、已知某数集A满足条件：若
a?A,a?1
，则

1
?A
.
1?a
①、若2
?A
，则在A中还有两 个元素是什么；②、若A为单元素集，求出A和
a
之
值.
解：①
?
1
1
?1?5?1?5?1?5
和； ②
A? {
）或
A?{}
（此时
a?}
（此
2
3
2 22
时
a?
?1?5
）。
2

课堂练习：
1、设集合M=｛x|x= 4m+2,m∈Z｝,N=｛y|y= 4n+3,n∈Z｝，若x
0
∈M,y
0
∈N，则x
0
·y
0
与集合M、N 的关系是（ A）：A、x
0
·y
0
∈M B、x
0
·y
0
?M C、x
0
·y
0
∈N D、
无法确定
解：x
0
·y
0
= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x
0
·y
0
∈M
2、已知 集合B=｛x|ax
2
-3x+2=0,a∈R｝,若B中的元素至多只有一个，求出a的取值 范
围。（解：a=0或a≥98)
3、已知集合M=｛x∈N|
6
∈Z｝，求出集合M。（解：M=｛0，1，2，5｝
1+x
6
4、已知集合N=｛∈Z | x∈N｝，求出集合N。（解：N=｛1，2，3，6｝
1+x
5、设⊕是R上的一个运算, A是R上的非空子集,若对任意的a、b∈A，有a⊕b∈A，则称
A对运算⊕封闭，下列数集对加法、 减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭
的是（ C ）
2

A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D
无理数集
6、定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝ ，B=｛2，
3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）
18
7、设P、Q为两个非空实数集合，定义集合
P+Q=
{a?b|a?P,b?Q},若P? {0,2,5},
Q?{1,2,6}
，则P+Q中元素的个数是（ B ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8、设
S
是至少含有两个元素的集合，在
S
上定义了一个二 元运算“*”（即对任意的
a，b?S
，对于有序元素对（
a，b
），在S
中有唯一确定的元素
a*b
与之对
应）．若对任意的
a，b? S
，有
a
*
(b
*
a)
?b
，则对任意的
a，b?S
，下列等
式中不恒成立的是（ A ）
A．
(a
*
b)
*
a?a

C．
b
*
(b
*
b)?b

B．
[a
*
(b
*
a)]
*
(a
*
b)?a

D．
(a
*
b)
*
[b
*
( a
*
b)]?b

（4）、课堂回顾与小结：
1、 记准N、Z、Q、R；?
2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。


















3

第二讲： 集合之间的基本关系
1
（1）、教学目标：
1、掌握集合之间的基本关系：包含关系------ 子集?、真子集?、空集?；集
合的相等。
2、掌握注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的
培养与应用。

（2）、教学重难点：重点：集合相等。
难点：真子集的概念以及空集的应用。
（3）、教学过程：

一、韦恩图与数轴法表示集合:
1、用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做韦恩图。
2、用数轴来表示集合的方法叫做数轴法。
二、子集
一般地，对于两个集合A与B ，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们
就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A ，记做A
?B
或者B
?A
，读作A包含
于B或B包含A。这时，我们 说集合A是集合B的子集。
三、集合相等
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 ，同时集合B中的任何一个元素都是
A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记做A=B，读作A等于 B
四、真子集
如果A包含于B，且A不等于B，就说集合A是集合B的真子集，记做A?
B,读作A真
?
包含与B或B真包含A。（空集是任何非空集合的真子集）

22
例题1、已知集合P=｛x|x-5x+4≤0｝,Q=｛x|x-(b+2) x+2b≤0｝且有P?Q，求实数b的
取值范围。
解：{b|1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。

，2，3，4，5，6}< br>，例题2、（2007年湖南·10题）．设集合
M?{1

S
1，S
2
，...，S
k
都是
M
的
含两个元素的 子集，且满足：对任意的
S
i
?{a
i
，b
i
}< br>，
S
j
?{a
j
，b
j
}
（
i?j
，
?
?
a
i
b
i
?
?< br>a
j
b
j
?
?
i、j?{1，2，3，，k}
），都有
min
?
，
?
?min
?
，
?
（
min{x，y}
表示两个数
?
b
j
a
j
?
?
?
b
i
a
i
?
?
4

x，y
中的较小者），则
k
的最大值是（ B ）
A．10 B．11 C．12 D．13
例题3、已知集合A={x,xy,x-y }，集合B={0,
x
,y}，若A=B，求实数x,y的值。
解：利用集合相等，注意集合互异性的判断。得到
x=-1，y=-1

例题4、（2 007年北京文科）记关于
x
的不等式
解集为
Q
．
（I）若
a?3
，求
P
； （II）若
Q?P
，求正数
a
的取值范围．
解：（I）由
x?a
?0
的解集为
P
，不等式
x?1≤1
的
x? 1
x?3
?0
，得
P?
?
x?1?x?3
?
．
x?1
（II）
Q?xx?1≤1?x0≤x≤2
．
??< br>?
?
?
??)
．由
a?0
，得
P?x?1? x?a
，又
Q?P
，所以
a?2
，即
a
的取值范围 是
(2，

课堂练习：
1、已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a
2
-3a+4｝,又A?B，求出a之值。(解：a= -1或4)
2、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
①、已知集合A=｛x|x=2k-1,k∈Z｝B=｛x|x=2m+1,m∈Z｝(解：A=B）
②、已知集合A=｛x|x=2k,k∈Z｝B=｛x|x=4m,m∈Z｝(解：B ? A）

3、已知集合M=｛x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1}
①、若N?M，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意N为?的情况！)
②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：2
8
-2=254个）
③、（选做）当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m的取值范
围（解：m<2或m>4)

4、设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有（D ）个
A 2 B 3 C 5 D 8

5、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）
Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７

6、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B=｛(x,y)|x∈A, y∈B｝,若A=｛1，3｝，
B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个
7、集合
A?{x|0?x?3且x?N}
的真子集个数是 （ A ）
?
5

（A）16 （B）8 （C）7 （D）4
解答、
A?{0,1,2}
，A的真 子集有：
?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}
，共7个，选C

8、已知集合P=｛m|-12
+4mx -4<0对任意的x∈R恒成立}，则有（ B ）
A P=Q B P?Q C P?Q D P∩Q=Q

k1k1
9、设集合M=｛x|x= +,k∈Z｝,N=｛x|x= +,k∈Z｝,则（ B）
2442
A M=N B M?N C M?N D M

（6）、课堂回顾与小结：
3、 分清子集?、真子集?、空集?；注意?的特殊性。
4、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。


























6
∩N=?

第三讲： 集合之间的基本运算
（1）、教学目标：
1、掌握集合之间的基本运算：①、交集A∩B=｛x|x∈A且x
∈B｝;
②、并集A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；
③、全集和补集：C
U
A=｛x|x∈U且x?A｝

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

（2）、教学重难点：重点：并集，交集的概念和应用
难点：补集的概念和应用
（3）、教学过程：
1、并集的概念：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集
合A与集合A的并集。
2、交集的概念：一般地， 由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A
与B的交集。
3、补集的概念： 为了定义补集，需先了解全集的定义：为了研究集合与集合之间的关系
时，有时这些集合都是某一个给定 的集合的子集，这个给定的集合可以看成一个全集，用
符号U来表示，也就是说，全集含有我们所要研究 的各个集合的全部元素。
如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有的元素组成的集 合，叫做集
合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
（4）、集合之间的基本运算：
A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝; A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝；C
U
A=｛x|x
∈U且x?A｝

（5）、A∪B=A ?B?A，要特别注意B是否为?的情况的讨论。

222< br>例题1、已知集合A=｛x|x-2x-8=0｝,B=｛x|x+ax+a-12=0｝且有A∪B=A ，求实数a的
取值集合。
解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意?，注意分类讨论。


例题2、已知全集U=｛x|x≤4｝,集合A=｛x|-2C
U
A，②、A∩B，③、C
U
（A∩B），④、（C
U
A）∩B，⑤、C
U
（A∪B）
解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意?，注意分类讨论。

2例题3、已知集合A=｛x|x-4mx+2m+6=0｝,B=｛x|x<0｝,且有A∩B≠?，求实数 m的取值
7

范围。
解：（正难则反，补集的思想）｛m|m≤-1｝

课堂练习：

1、设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B=｛1,2,3｝的集合B的个数为( C )
A 1 B 3 C 4 D 8

2、设I为全集，S
1
、S
2
、S
3
是I 上的三 个非空子集，且S
1
∪S
2
∪S
3
=I，则下列论断正确< br>的是（ C ）
A C
I
S
1
∩（S
2
∪S
3
）=? B S
1
?（C
I
S
2
∩C
I
S
3
） C C
I
S
1
∩C
I
S
2< br>∩C
I
S
3
=? D S
1
?（C
I< br>S
2
∪C
I
S
3
）

3、已知集 合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当A∪B=A时，求出m之取值范
围 。
（解：m≥-1)
特别注意：当B?A时，B一定包括有两种情形：B=?或B≠?，解 题时极易漏掉B=?这一
情况从而出错！

4、已知集合A=｛x|x+2>0｝,B=｛x|ax-3<0｝且有A∪B=A，求a 的取值范围。 (解：
｛a|a≤-32｝）
5、书本P12：10题、B组4题。
6、设全集U=R，A=｛x|
x
<0｝,B=｛x|x<-1｝,则图中阴影部分所表示的集合
x+3
是（ C ）
A ｛x|x>0｝ B ｛x|-3
7、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）
Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７

8、集合M=｛x||x-3|≤4｝,N=｛y|y=x-2 +2-x ｝,则M∩N=____｛0｝

9、设集合A=｛5，log2(a+3)｝，集合B=｛ a,b｝若满足A∩B=｛2｝，则A∪B=____｛1，2，
5｝

10、①已知集合A=｛y|y=2x-3x+1 ｝,B=｛y|y=x-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛y|y≥
0｝
-1
22
②已知集合A=｛x|y=2x-3x+1 ｝,B=｛y|y=x-2x- 3,x∈R｝,则A∩B=____｛x|x≥1或
4
22
8

1
≤x≤｝
2

22
11、已知集合P= ｛x|x-5x+4≤0｝,Q=｛x|x-(b+2)x+2b≤0｝且有P?Q，求实数b的取
值范 围。
解：(答案：{b|1≤b≤4}）

12、若全集I=R，?(x),g( x)均为x的二次函数，且P=｛x|?(x)<0｝,Q=｛x| g(x)≥0,｝
则不等式组?
?
f(x)?0
的解集可用P、Q表示为___( P∩C
R
Q)
?
g(x)?0


13、．如右图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为（ C ）
A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S
C．(M∩P)∩(C
I
S） D．(M∩P)∪(C
I
S）

14、已知全集
U?Z
，
A?
?
?101，，，2
?
，
B?xx?x
，则A∩(C
R
B)为 （ A ）
2
??
Ａ．
?
?1，2
?
Ｂ．
?
?1，0
?
Ｃ．
?
01，
?
Ｄ．
?
1，2
?

15、已知集合
A?xx?a?1
，
B?xx?5x?4?0
，若
A?B?
?
，则实数
a< br>的
取值范围是 .

（6）、课堂回顾与小结：
1注意集合之间的运算：交、并、补；
2利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。
3、培养数形结合的思想。











9
??
?
2
?

第四讲 函数及其表示


（1）、教学目标：
1、 掌握函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例2、臭氧问题——图
象法；实例3、 恩格尔系数——列表法；
2、 掌握构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。
3、 掌握函数y=f(x)的定义域和值域：掌握已学的一次函数
y?ax?b(a?0)
、二次函 数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的定义域与值域？
练习：题1 、
f(x)?x
2
?2x?3
，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1 )的值。
题2、求
y?x
2
?2x?3,x?{?1,0,1,2}
值域.
4、掌握区间的概念
5、函数的表示方法：列表法 图像法 解析法
注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。
6、映射的定义及其性质

（2）、教学过程：
（一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集
合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和他对应， 那么就成f:A
?B
为从集合A到集合B的一个函数，记做y=f(x),x
?A.< br>其中，x叫做自变量，x的取值范围
A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函 数值的集合叫做函数的值域。
显然值域包含于B
（二）、函数的定义域和对应法则的相同决定同一函数：
（三）、函数值域的求法；1、观察法
2、配方法
3、换元法
4、分离常数法
（四）区间的概念：
设a,b是两个实数，且a（1）满足不等式a
?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]
（2）满足不等式a（3）满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，分别表示为
?
a,b
?
和
?
a,b
?
。在数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的
端点。
（五）映射的定义
10

设A,B是两个非空集合，如果按照某一 个确定的对应关系f,使对于A中任意一个元素x，
在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f 是从集合A到集合B的一个映射。
这是称y是x在映射f的作用下的像，记做f(x)，于是y=f(x ),x称为y的原想。映射f也
可记做f：A
?B
。其中A叫做映射f的定义域，由所 有的像f(x)构成的集合叫做映射f
的值域，通常记做f（A）。
函数和映射的关系：1、 函数是特殊的映射，特殊性在于函数是从非空数集到非空数集的
映射；2、映射是在函数近代定义的基础 上引用、拓展的；3、函数一定是映射，而映射不
一定是函数。
（六）函数像的变换
1、常见函数的图象：①、一次函数y= kx+b (k≠0)： ②、二次函数y= ax
2
+bx+c
(a≠0)： ③、反比例函数y=
k
(k≠0)：
x
2、基本的图象变换：
特别要求注意函数y=f(|x|)和函数y=|f(x)|的图象的作图方法.
①、平移变 化：y=?（x)左移m：?_______；y=?（x)右移m：?_______；y=?（x)上
移h：?_______；y=?（x)下移h：?_______；
③、对称变化： y=?（-x)的图象为：_____；y=-?（x)的图象为：_____； y= -?（-x)
的图象为：_____； y=?（|x|)的图象为：_____ ；y=|?（x)|的图象为：_____；
3、几个常用结论：①、若函数y=?（x)满足?（x+a)= ?（b-x)恒成立，则函数y=? （x)
a+b
的对称轴为直线x=；②、若两个函数y=?（a+x) 与函数y=?（b-x)，则它们的图象
2
关于直线x=
b-a
对称。
2


例题1、如果函数?(x)满足：对任意的实数m、n都有?(m)+ ?(n)= ?(m+n)且?(1003)=2，
则?(1)+ ?(3)+ ?(5)+…+?(2005)=____(2006)

例题2、已知定义域为R的函数f (x)满足?(f(x)-x
2
+x)=f(x)-x
2
+x.
（ Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x
0< br>,使得f(x
0
)= x
0,
求
函数f(x)的解析表达式.
解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)- x
2
+ x)=f(x)- x
2
+x，所以f(f(2)- 2
2
+2)=f(2)- 2
2
+2.
又由f(2)=3，得f(3-2
2
+2)-3-2< br>2
+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-0
2
+0)=a-0
2
+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x
2
+x)=f(x)- x
2
+x.；又因为有且只有一个实数x
0
,使得
f(x
0
)- x
0.

2
所以对任意x∈R，有f(x)- x
2
+x= x
0.
；在上式中令x= x
0
,有f(x
0
)-x
0
+ x
0=
x
0,
2
又因为f(x
0
)- x
0
，所以x
0-
x
0
=0，故x
0=
0或x
0
=1.；若x
0
=0，则f(x)- x
2
+x=0，即f(x)= x
2
–x.
但方程x
2
–x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x
2
≠0.
11

若x
2
=1,则有f(x)- x
2
+x=1，即f(x)= x
2
–x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f(x)= x
2
–x+1（x
?
R）.

例题3：
已知函数?（x）对一切实数x、y均有?（x+y）-?（y）=（x +2y+1）·x成立，且?（1）
=0
1
①求?（0）之值;②当?（x）+3<2x+a 且02
13
解、①?（0）=-2； ②化为a>(x-)
2
+从而有｛a| a≥1｝为所求（函数的恒成立问题—
24
—函数思想去处理！）

例题4：设?（x+1）的定义域为[-2,3）则?(

1
-11
+2）的定义域为___({x|x≤或x>}
32
x< br>例题5：
将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商
品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。

课堂练习:

1、下面可能表示函数的图象的是( )



2、:客车从甲地以60kmh的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后
以80kmh的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到
达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）


A. B. C. D. B.
3、某种蔬菜基地种植西红柿 ,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市
场售价p与上市时间t的关系图是一条折 线（如图(1)），种植成本Q与上市时间t的关系
是一条抛物线（如图(2)）①、写出西红柿的市场 售价与时间的函数解析式p=f(t).
②、写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).
12

③、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

p Q
300 300
250
200 200
150
100 100
50
O 100 200 300 t O 50 100 150 200 250 300 t
(图1) （图2）
?
?t?300,0?t?200,
●解:（1）f(t)=
?
< br>?
2t?300,200?t?300.
（2）g(t)=
1
(t?1 50)
2
?100,(0?t?300)
.
200

（3）纯收益h(t)=f(t)-g(t)
1
?
2
?(t?50 )?100,0?t?200,
?
200
=
?

1
2
?
?(t?350)?100,200?t?300.
?
200
当 t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益
最大．


例题6、如右图,已知底角45?为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长 为
22
,
当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线
l
从左至右移动 (与梯形ABCD有公共
点)时,直线
l
把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中 阴
影部分的面积y与x的函数关系式.

1
2
?
x,x?(0,2],
?
2
?
2x ?2,x?(2,5],
解：
y?
?

?
1
?(x?7)
2
?10,x?(5,7].
?
?
2



13

例题7、有一种密英文的明文(真实文)按字母 分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分
大小写),依次对应1,2,3,…,26这 26个自然数,见如下表格:
a b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
给出如下一个的变换公式:
x′=
x+1
(x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除)
2
x8
+13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成
22
5+1
q；5→=3，即e变成c。①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？ ②按上述规
2
定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？
7+ 115+1
解：①g→7→=4→d;o→15→=8→h;d→o;则明文good的密文为dhho
22
②逆变换公式为x= 2x′-1 (x′∈N, 1≤x′≤13)
2x′-26 (x′∈N,14≤x′≤26),则有s→19→2×19-26=12→l;h→8→
2×8-1=15→o,x→24→2×24-26=22→v;c→3→2×3-1=5→e;故密文shx c的明文为love.




课堂练习：
1、求下列函数的值域：
①、y= 4-3+2x-x
2
：配方及图象法： ②、y=1-2x +x的值域 （换元法答案：y
≤1); ③、y=


2.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。
解、（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域（注意描成阴影部分）



3.已知函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(x＋a)的定义域是 。



例题8、设函数?(x)=x
2
-2x+2,x∈[ t,t+1]的最小值为g(t),写出g(t)的表达式。
解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法.

14
2
1-x3x
分离常数法： ④、y=
2
判别式法或均值不等式法：
2x+5x+4

例题9、设函数?（x）表示-2x+2与-2x
2
+4x+2中的最小值,则?（x）的最大值为( B )
A 1 B 2 C 3 D 0

：
例题10、二次函数?（ x）=ax
2
+bx(a,b为常数且a≠0)满足?（-x+5）=?（x-3）且方程?（ x）
=x有等根；①求?（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m 值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由
1111
解、①?（x）= -x
2
+x ②由于?（x）的值域是?（ x）≤,则3n≤,即n≤,所以有?（m）
2226
=3m且?（n）=3n ∴存在实数m=-4,n=0使?（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]
a+b
注意：若函数满足有：?（a+x）=?（b-x）则此函数必有对称轴：x=
2

例题11、 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P | P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P | P是平面直角体系中的点}，
B?{(x,y)|x?R,y?R}
； A={高一某班学生}，
B= ？

课堂练习：
判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4 ，5，6，7，8，9}，对应法则
f:x?2x?1
；
A?N
*
,B?{0,1}
，对应法则
f:x?x除以2得的余数
；

A?N
，
B?{0,1,2}
，
f:x?x被3除所得的余数
；
111
设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}
f:x?x取倒数；
234
A?{x|x?2,x?N},B?N
，
f:x?小于x的最 大质数



例题12、给出两个命题,甲:不等式|x|+|x-2| 乙:方程4x
2
+4(m-2)x+1=0无实根，若甲真乙假，则m的取值范围
为＿ ＿＿＿
解、①甲真，则不等式|x|+|x-2|2
②乙假,则方程4x
2
+4(m-2)x+1=0有实根，
即△＝［４（m-2)]
2
-4×4×1≥0?m≤1或m≥3 ∴｛m|m≥3｝为所求
1
例题11等式x+|x-2c|>1的解集为Ｒ(c>0)，则c的取值范围为＿ ●解、｛c|c>｝
2
函数图象的应用：
题1已知函数?（x）=x
2
-2(2a+1)x +a
2
(a∈R)，当x ∈[0,1]时，求出函数?（x）的最小值
-1
g(a) a
2
(a≤)
2
15

-1
●解、g(a) = -3a
2
-3a-1 (≤a≤0)
2
a
2
-4a-1 , (a>0)
?
a,a?b
题2对
a,b?R
,记
max
?
a,b
?
?
?
；函数
f
?
x
?
?max
?
x?1,x?2
?
?
x?R
?
的
b,a＜b< br>?
最小值是 .
解析：由
x?1?x?2?
?
x?1?
?
?
x?2
?
?x?
22
1
，故
2
?
?
x?1
?
f
?
x
?
?
?
?
x?2
?
?
1
??
x?
??
2
??
，其图象如右，
1
??
?
x?
?
2
??
?
1
?
?
2
?
13< br>?1?
。
22




















y?x?2
y?x?1
则
fmin
?
x
?
?f
??
?
反思：函数是重点也 是难点，需大量题目
16

函数的的基本性质

第五讲：单调性与最值
（1）、教学目标：
理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念
掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

（2）、教学重难点：重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
难点：理解概念。
（3）教学过程：
1、增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x
2
(x>0)的图象进行讨论：
随x的增大，函数值怎样变化？ 当x
1
>x
2
时，f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样？
②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
③定义 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意
两个自变量x< br>1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x< br>1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是为增函数
④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性
⑤定义：如果函 数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严
格的）单调性，区间 D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单 调性与单调区
间有什么关系？y＝x的单调区间怎样？

1.函数最大（小）值的概念：
① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？
f(x)??2x?3
，
f(x)??2x?3

x?[?1,2]
；
f(x)?x
2
?2x?1
，
f(x)?x
2
?2x?1

x?[?2,2]

② 定义 最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，
都有f(x)≤ M；存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Max）
③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Min）的定义．
→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明
方法.

2.增函数、减函数的证明：
2

1
x
（由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）
得出判断单调性的步骤：设x
1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2
； →计算f(x
1
)－f(x
2
)至 最
例题1：指出函数f(x)＝－3x＋2、g(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。

简→判断差的符号→下结论。

17

例题2、证明函数y=x
3
-b（b为常数）是R上的增函数。

x-1
例题3、求函数y= （当-2≤x≤1时)，求出其最大值和最小值
x-2
3
解：最大值为，最小值为0。
4

例题4、已知
f(x)?
32

例5、求函数
y?
?
1,(当x?0时),
则不等式
xf(x)?x?2
≤5的解集是 .x≤
?1,(当x?0时),

例题6、二次函数?（x）=ax
2
+bx (a,b为常数且a≠0)满足?（-x +5）=?（x-3）且方程?（x）
=x有等根；①求?（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m 值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在， 说明理由
1111
解、①?（x）=-x
2
+x ②由于?（x）的值 域是?（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有?（m）
2226
=3m且?（n）=3n
∴存在实数m=-4,n=0使?（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]
< br>例题7
、
某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可 多
销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金
额最大？最大是多少
分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。

例题8、①、求函数y＝x＋
2x?1
的值域。
x?2cx?d
②、判断函数y=单调区间并证明。 （定义法、图象法； 推广： 的单调性）
x?1ax?b
③、讨论y=
1?x
2
在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）


三、课堂练习：
1
1、求证f(x)＝x＋的(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数。
x
2、判断f(x)=|x|、y=x
3
的单调性并证明。

3、讨论f(x)=x
2
－2x的单调性。

4、已知函数：①、y=x
2
+2x+5; ②y=-x
2
-4x+3
3
在区间[3，6]上的最大值和最小值．
x?2
18

(1)、分别写出它们的单调区间；（2）分别求出它们在[0，5）上的值域； 1
-11
5、设?（x+1）的定义域为[-2,3）则?(+2）的定义域为___({ x|x≤或x>}
32
x

6
、
将进货单价为80元的商 品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个
涨价1元，其销售个数就减少20个，为 了获得最大利润，售价应定为每个多少元。

7、如右图,已知底角45?为的等腰梯形AB CD,底边BC长为7,腰长为
22
,当一
条垂直于底边BC(垂足为E)的直线l
从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,
直线
l
把梯形分成两部 分,令BE=x,试写出图中阴影部
分的面积y与x的函数关系式.

1
2
?
x,x?(0,2],
?
2
?
2x ?2,x?(2,5],
解：
y?
?

?
1
?(x?7)
2
?10,x?(5,7].
?
?
2





















19

第六讲：奇偶性

（1）、教学目标：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。

（2）、教学重难点：重点：熟练判别函数的奇偶性。
难点：理解奇偶性。
（3）、教学过程：

1.奇函数、偶函数的概念：
①给出两组图象：< br>f(x)?x
、
f(x)?
1
、
f(x)?x
3；
f(x)?x
2
、
f(x)?|x|
.
x
发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数：一般地，对于 函数
f(x)
定义域内的任意一个
x
，都有
f(?x)?f(x)< br>，那
么函数
f(x)
叫偶函数.
③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义.
（如果对于函数定义域内的任意一个x，都有
f (?x)??f(x)
），那么函数
f(x)
叫奇函
数。
④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体
性）
⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。

2.奇偶性判别：
奇偶性判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差 、比商法判别
f(x)与f(-x)的关系。 →思考：f(x)=0的奇偶性？

3奇偶性与单调性综合的问题：

例1：判别下列函数的奇偶性：
162
f(x)＝
3
x
4
、f(x)=
4
x3
、f(x)＝－4x＋5x、f(x)＝
3
x
＋
3
、 f(x)＝2x
?4
＋3。
x

例2：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。
②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区
间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）
③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上 是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给
出证明。

三、课堂练习：

1.设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。(答案为27)

1
2.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求f (x)、g(x)。
x?1
20
7

3.已知 函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值
代入)

4.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么 f(x)在[-7,-3]上是（ ）函
数，且最 值是 。

5、 ①已知函数
y?f(2x?1)
是偶函数，则一定是函数
y?f(2x )
图象的对称轴的直线
是（C ）A、
x??
1
1
B、
x?0
C、
x?
D、
x?1

2
2
②函数y=f(x)与y=g(x)的图象如所示：
则函数y=f(x)·g(x)的图象可能为( D )








6、设定义于[-2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递
增，若?（1-m）1
2

7、①设函数? （x)是R上的偶函数，且当x∈[0,+∞)时，?(x)=sinx+x
2
,求出函数?( x)的
表达式；②已知?(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，有?(x)=2
x
+cosx，求出函数?(x)
的表达式

8、已知函数?（x）的定义域为R，且满足?（x+2）=-?（x）；
1
①求证：?（x）是周期函数；②设?（x）为奇函数，且0≤x≤1 时?（x）=x，求 ?（x）
2
=
-1
的所有x之值
2
解、周期为4，在一个周期上的根为x=-1，则所有的根为x=4n-1；(n∈z)

9、设a为实数，函数?（x）= x
2
+|x-a|+1 （ x∈R）
①讨论函数?（x）的奇偶性；②求函数?（x）的最小值

10、设
f(x)
是
R
上的任意函数，下列叙述正确的是（ C ）
21

A、
f(x)f(?x)
是奇函数； B、
f(x)f(?x)
是奇函数；
C、
f(x)?f(?x)
是偶函数； D、
f(x)?f(?x)
是偶函数
解：A中：
F(x)?f(x?)f(
则
xF(?x)?f(?x)f(x)?F(x)
，即函数
F(x)?
B中：
F(x)?f(x)f(?x)
，
F(?x)?f(?x)f(x)
此
f(x?)f
为偶函数；
(x
时
F(x)
与
F( ?x)
的关系不能确定，即函数
F(x)?f(x)f(?x)
的奇偶性不确定；C中 ：
F(x)?
函数
f(?x)
F(x?)
?f
，
( Fx(?x)?f(?x)?f(x)??F(x)
，即
f(?x)?f
为奇
x
函数；D中
F(x)?f(x)?f(?x)
，
F(?x)?f(?x)? f(x)?F(x)
，即函数
F(x)?f(x)?f(?x)
为
偶函数，故 选择答案C。

11、①已知函数y=?(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0， 1]上的图象如所示为
线段AB，求出它在区间[1，2]上的表达式
②已知定义于[-π, π]上的函数?（x）、g（x）分别是偶函数、奇函数，且它们在[0，π]
?
?（x）上的图象如图所示，则不等式<0的解集是_____(答案:(-,0)
g（x）
3
∪(


?
3
,π))
?2
x
?b
12、已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x ?1
是奇函数。（Ⅰ）求
a,b
的
2?a
值；（Ⅱ）若对任意的t?R
，不等式
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k) ?0
恒成立，求
k
的取值范围；
b?11?2
x
?0?b ?1?f(x)?
解：（Ⅰ）因为
f(x)
是奇函数，所以
f(x)
=0，即
x?1
a?2a?2
1
1?2
又由f（1）= -f（- 1）知（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
??
2
?a?2.
；
a?4a?1
1?
22

1?2
x
11
f(x)??? ?
，易知
f(x)
在
(??,??)
上为减函数。又因
f( x)
是奇函
x?1x
2?222?1
数，从而不等式：
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k)?0
等价于
f(t
2
?2t)??f(2t
2
?k)?f(k?2t
2
)
，因
f(x)
为减函数，由上式推得：
t
2
?2t?k?2t
2
．即对一切
t?R
有：
3t
2
?2t?k?0
，分 离变量可得k<-
3

1

13
、已知函数f(x)= x
2
+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求出适合条件的区间
22
[a,b]

14、已知函数f(x)的定义域为R，且对于任意的x和 y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0
时，f(x)<0,f(1)=-2,（1） 、证明函数f(x)为奇函数，（2）、求函数f(x）在[-3，3]上的最值。

x15、已知函数f(x)是定义于（0，+∞）上的增函数，且f()=f(x)-f(y),(1)、求出 f(1)之值；
y
1
（2）、若f(6)=1,解不等式f(x+3)+f()≤2
x



















23
-113

第二章 基本初等函数

2.1指数函数
第七讲：指数与指数幂的运算
教学目标：掌握根式和分数指数幂
掌握分数指数幂的运算性质
教学重难点：重点：分数指数幂的推广
难点：分数指数幂的运算性质
教学过程：
（1）由平方根、立方根的定义及性质的推广，得到n次方根的定义。
a
的
n
次方根的定义：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n?1,n?N
*
式子
n
a
叫做根式，
n
叫做根指数，
a
叫做被 开方数。
n
根据定义，由平方根的知识不难得到：
1.当
n为奇数时，正数的
n
次方根为正数，负数的
n
次方根是负数表示为
为偶数时，正数的
n
次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为
?
2. 负数没有偶次方根。
3.0的任何次方根都是0。
⑵
n
次方根的性质：①当
n
为奇数时，
n
n
a
；当
n
n
a
。
a
n
?a
；当< br>n
为偶数时，
?
a,a?0,

a?a?
?
?a,a?0;
?
n
②
⑶分指数
?
a
?
?a
n
n

义 ：的意
a?
m
n
n
a
m
?
a?0,m,n ?N,n?1
?
；
a
?
m
n
?
1
a
m
n
?
a?0,m,n?N,n?1
?

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。

24

（1）有理数指数幂的运算性质：
?
a?0,b?0,r,s?Q
?

①
aa?a
rsr?s
②
(a
r
)
s
?a
rs
③
?
ab
?
?ab

rr
r
（2）根式运算

例题1、比较大小
1 ）已知
1.4
m
?1.4
n
,
则
m___n
2）
m?n
，则
m___n

3）已知
0.6
m< br>?0.6
n
,
则
m___n
4）
1.7
2.5
___1.7
3

5）
0.8
?0.3
___0.8
?0.2
6）
0.8
?0.3
___4.9
?0.1

参考答案：>,>,<,<,>，>.

例题3、若X
1
、X2
为方程2
x
=（12）
-1x+1
的两个实数解，则X
1
+X
2
=（-1）

例题4、函数f(x)=a
x< br>（a>0且a
?1
）对于任意的实数x、y都有（C）
A．f(x
.
y)=f(x)*f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C. f(x+y)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
例题5（、若X>0，则（2X
14
+3
23
）(2X
14
-3
32
)-4X
-12
（X-X
12
）=（-2 3）。


作业：
计算
5
1
3
1
3
（1）



ab
3
?
ab
?
3
（2）
x?y
x?xy?y
2
3
1
3
1
3
2
3










25

第八讲：指数函数及其性质
教学目标：了解指数函数的定义
掌握指数函数的图像和性质
教学重难点：重点：指数函数的图像
难点：指数函数的性质
教学过程：
（一）、一般地，函数
y?a
x
?
a?0,且a?1
?
叫做指数函数，其中
x
是自变量
（1）函数的定义域为
R
。
（2）规定底数a大于零且不等于1
（3）形式上的严格性：在指数函数的定义表达式y=a
x
中，a
x
前的系数 必须是1，
自变量x在指数的位置上，否则不是指数函数。比如y=2a
x
等都不是指 数函数。
（二）通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如
下：


0?a?1

a?1


图



象

定
义
域
值
域
性
质


R
?
0,??
?

1）过定点（0，1），即
x?0,y?1

2）在
R
上是减函数
3）当
x?0,0?y?1
；
x?0,y?1

2）在
R
上是增函数
3）当
x?0,y?1
；
x?0,0?y?1


例题1 指出下列函数哪些是指数函数：
（1）y=4
x
;(2)y=x< br>4
;(3)y=-4
x
;(4)y=(-4)
x
;(5)y= 3.14
x
;(6)y=4x
2
;(7)y=x
x
;(8) y=(2a-1)
x
(a>12
且a
?1
)
解（1）（3）（5）是指数函数
26

例题2求下列函数的定义域和值域：
(1)y=
1?2
x
(2)y=2
1x-1
(3)y=(12)
x2-2x-3

例题3求
y?2?3
x
?9
x
?1
的值域。
解：设
3?t?0
，
y?2?t?t
2
?1?(t?1)
2
，
x
而
t?0,?0??1,?y?1,?
?
y|y?1
?
。

例题4方程2
-x
+x
2
=3的实数解的个数是（两个）
思路：做出两个函数的图形，利用数形结合的思想。
e
x
＋e
－x
例题5 函数
y＝
x
的图象大致为（）
－x
e－e

课堂练习：
已知函数f(x)=2
x
-
1
2
x

（1） 若f(x)=2,求x的值
（2） 若2
t
f(2t)+mf(t )
?
0;对于t
?
?
1,2
?
恒成立，求实数m的 取值范围。







27

2.2 对数函数

对数与对数运算

第九讲：对数的定义
教学目标：掌握对数的定义，熟练运用对数解题
教学重难点：重点：对数的引入
难点：对数的概念的运用
教学过程：
知识点一：对数的定义
对数是新 引入的概念，且使用新的符号，学生在理解方面比较吃力，在课堂引入方面，
应详细从指数引入对数概念 ，可以借鉴初中二次根式概念引入时使用的方法。
一般地，如果
a?N
?
a ?0,且a?1
?
，那么数
x
叫做以
a
为底
N的对数，记作：
x
x?log
a
N
其中
a
叫做 对数的底数，
N
叫做真数。

根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系：
当a?0,a?1时,a
x
?N?x?log
a
N

这时我们可以看出负数和零没有指数，且
log
a
1?0,log
a
a?1
。
常用对数与自然对数。
我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把l og
10
N简写为lgN,在科学技术中长使用
以无理数e为底数的对数，以e为底的 对数称为自然对数，并且把log
e
N简写成lnN。

例题1 求下列各 式中的x；（1）log
1
x=-2;(2)log
x
9=2;(3)x=l og
27
3
2
解（1）4 （2）3 （3）13

例题2 已知a=
2
3
4
（a>0）,则log
2
a=(3)
9
3
例题3（13）
-2
=9写成对数式
————





28

第十讲：对数的运算性质
教学目标：掌握对数的三条运算性质
掌握对数运算和指数运算的互化
掌握对数的换底公式
教学重难点：重点：对数的运算性质
难点：换底公式
教学过程：
知识点一：对数的三条运算性质
如果
a?0,且a?1,M?0,N?0，那么

①
log
a
?
M?N
?
?log
a
M?log
a
N ;

正因数乘积的对数，等于同一底数的各因数对数之和（积的对数等于对数的和）
②
log
a
M
?log
a
M?log
a
N ;

N
两个整数的商的对数，等于同一底数被除数的对数减去除数的对数（商的对数等 于对数的
差）
③
log
a
M
n
?nlog
a
M

正幂数的对数，等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数


知识点二：对数运算与指数运算的互化：
对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要 抓住对数与指数的相互
联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数概念，对于对数式与指 数式的
互化，简单对数值的计算，要多做练习，以丰富对对数式的认识经验，对数运算是指数运
算的逆运算，结合对数运算应注意培养自己的逆向思维能力。

知识点三：换底公式
对数的换底公式：log
a
b=
log
c
b
log
c
a
(a>0,b>0,a
?
1,c
?
1)
换底公式注意以下两点：
（1） 对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对数转化为常用
对数或自然对数来计算。
（2） 根据换底公式可以很容易得到如下结论：log
a
b=
知识点四：两个常用恒等式
29
1
,log
a
b*log
b
c=log< br>a
c
log
b
a

a
log
N
=N, log
a
b
m
=
a
n
m
log
a
b
n
例题1 计算
lgx?lg14?2lg

7
?lg7?lg18
中的
x
。
3
7
解：
lgx?lg14?2lg?lg7?lg18

3
2
?
7
?
?lg14?lg
??
?lg7?lg18
?
3?
9
14??7
49
?lg1

?lg

18
?x?1


例题2 用log
a
x,log
a
y,log
a
z表示下列各式：

xy
x
2
（1）log
a
(xyz); (2)log
a
2
(3)log
a
z
yz
32


例题

3 （1）设log
a
3=m,log
a
2 =n,求a
2m+n
的值。
(2) 设3
a
=2,3
b< br>=5,试用a,b表示log
3
30



例题4 已知log
a
b*log
3
a=4，求b的值。（ 81 ）
1

1
log
4
例题5 求log
3
9+log
9
27+()
16
的值。（432）
4
例题6 已知a、b、x为正数，且lg(bx)*lg(ax)+1=0求ab的取值范围。

例题7 2005年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年
后国民生产总值是2005年的2倍？（lg2=0.3010,lg1.08=0.334，精确到一年）


作业 已知log
(x+1)
(x
2
+3x)=1，求实数X的值

反思：解题过程中注意对数的底数和真数必须大于0 且底数不等于1

30

第十一讲：对数函数及其性质

教学目标：学会对数函数，掌握对数函数的图像及其性质
了解反函数的概念
教学重难点：重点：对数函数的定义
难点：对数函数的图像及其性质
教学过程：
知识点一：对数函数的概念：
一般地，函数
y?log
a
x
?
a?0,且a?1
?
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定 义域
?
0,??
?
。
将概念分为三个方面来理解：
（1） 定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x恰好ahi
指数 函数的函数值y，所以对数函数的定义域是
?
0,??
?
。
（2） 底数：对数函数的底数a>0且a
?1

（3） 形式上的严格性：在对数函数的定义 表达式中，log
a
x前面的系数必须是1，自变
量x在真数的位置上，否则不是对数 函数。

知识点二：对数函数的图像和性质
通过描点我们得到对数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：

0?a?1

a?1

图


象

定义
域
值
域
性
质

?
0,??
?

R
2）在
?
0,??
?
上是减函数

1）过定点（1，0），即
x?1,y?0

2）在
?
0,??
?
上是增函数
3）当
0?x?1,y?0
；
x?1,y?0
3）当
0?x?1,y?0
；
x?1,y?0

31

在做对数函数的有关题目的同时，我们要知道对数函数和指数函数 是相反的，可以在
一起比较，容易理解。

知识点三：有关反函数
1、 反函数的定义：设A、B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)
所解得的x =g(y)也是一个函数，那么就称函数x=g(y)是函数y=f(x)反函数，
记做x=f
-1
(y),在x=f
-1
(y)中,y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成y= f
-1
(x)
的形式。
2、 反函数的性质：互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
若函数y=f(x)上有一个(a,b)，则(b,a)必在其反函数的图像上，反
之也成立。


例题1．求
y?log
a
x?3x?4
的单调区间。



解：先求定义域
x?3x?4?0?x??1或x?4
，


由于底数
a
没有明确范围，
?
要以底数
a
分类。
设
y?log
a
u,u?x
2
?3x?4
，
1）
0?a?1
，
y?log
a
u
为单调减函数，

u?x?3x?4< br>在
?
??,?1
?
，单调递减，复合后
?
??,?1
?
为增区间，
2
2
?
2
?

u?x?3x?4
在
?
4,??
?
，单调递增，复合后
?< br>4,??
?
为减区间。
2
2）
a?1
，
y ?log
a
u
为单调减增函数，

u?x?3x?4
在
?
??,?1
?
，单调递减，复合后
?
??,?1
?
为减区间，
2

u?x?3x?4
在
?
4, ??
?
，单调递增，复合后
?
4,??
?
为增区间。
2

例题2．已知函数
y?log
1
(x?ax?3a)< br>在区间
?
2,??
?
单调递减，求
a
的取值范围。
2
2
解：设
x?ax?3a?u
，对称轴
u?
增区 间，

2
a1
2
，底数为，
?
应当按
x ?ax?3a?u
的
22
32

a
?2,a?4；由定义域，当
x?2时4-2a+3a>0
，
a??4
。
2

?
?4?a?4
。

?
只需
例题3．若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
?
a,2a
?
上的最大值是最小值的3倍，
求
a
。
解：由对数性质可知
log
a
a?3log
a
2a
，
a?(2a)
3
，
12

?
a?8a
3< br>,8a
2
?1,a
2
?,a??
84
a?0
?
a?
2
。
4
11?x
?log
2
，
x1?x
例题4．已知函数
f(x)?
（1）求函数
f(x)
的定义域；
（2）讨论奇偶性；
（3）当
x?(0,1)
，讨论单调性。
?
x?0
?解：（1）由
?
1?x
，解得定义域为
(?1,0)?(0,1)
。
?0
?
?
1?x
（2）
f(?x)??
数。
（3）在区间
(0,1)
内，任 取
x
1
,x
2
?(0,1)
，且设
x
1< br>?x
2
，
则
f(x
1
)?f(x2
)?
11?x11?x
?log
2
??(?log
2
)??f(x)
，
?
函数
f(x)
为奇函
x1? xx1?x
1?x
1
1
1?x
2
1

?l og
2
??log
2
x
1
1?x
1
x2
1?x
2
由
1?x
2
1?x
1
(1?x
2
)(1?x
1
)?(1?x
1
)(1 ?x
2
)

??
1?x
2
1?x
1
(1?x
2
)(1?x
1
)
1?x
1
?x
2
?x
1
x
2
?1?x
2
?x
1
?x
1
x
2
2(x
2
?x
1
)
??0

(1?x
2
)(1?x
1
)(1?x
2< br>)(1?x
1
)

?
33

f(x
1
)?f( x
2
)?0
，
?
在
(0,1)
单调递减，
因为是奇函数，所以
f(x)在（?1
单调递减。
，0）

例题5：若log
2a
1?a
2
?
0
,则a的取值范围是多少
————。

1?a
反思：
指数函数与对数函数是高中阶段的两个很重要的函数，在高考中历来都有题目出现对
这两个的函数性质要 做到掌握精准，运用熟练。
1）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的 概念、图象和
运算性质。
2）理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数函数的性质和图象。
3）能够利用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

























34

第十二讲 幂函数

教学目标：
1．了解幂函数的概念，会画幂函数
y?x,y?x ,y?x,y?x,y?x
的图
像，并结合这几个幂函数图像，了解幂函数图像的变化情况和性 质。
2.了解几个常见的幂函数的性质。
3.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括、抽象和识图能力
4.使学生进一步体会数形结合思想
教学重难点：重点：幂函数的定义
难点：幂函数的图像和性质
教学过程：
一.创设情境，引入新课
书本72页价格 与需求关系。
y?114.8746x
?0.3815192
，这里需求量y 是x的函数
问1：
y?114.8746x
?0.3815192
与
y?x
2
,y?x
3
,y?x
?1
相比有何共同特征？
问2：它们是指数函数吗？能否从变量所处的位置命名？
二.讲解新课
知识点一：幂函数的概念
1. 定义：一般的对形如
y?x
a
的函数称为幂函数，其中a为常数。
注：（1）只有形如
y?x
a
的函数才是幂函数
（2）幂函数与指数函数的区别
知识点二：几个常见幂函数的图象和性质
1.在 一个坐标系内画出
y?x,y?x,y?x,y?x,y?x
图象，根据图象说出
它们 的性质
2.幂函数
y?x
a
（a为常数）的图象性质。
（1）所有的幂函数在（0，+
?
）都有定义，并且图像都通过点（1，1）
23?1
1
2
23?1
1
2
??
?
上为 增函数。 （2）如果a>0，则幂函数的图像过原点，并在在区间
?
0，
（3）如果 a<0，则幂函数的图像在（0，+
?
）上是减函数，在第一象限内，当x从右边
趋向 于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+
?
时，图像在x轴上方无
限 地逼近x轴。
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数。
35

例1求下列函数的定义域、单调性、奇偶性

(1)y?x

(2)y?x

(3)y?x
?2

?
1
2

(4)y?(x?)?(3?x)
2

2
13
3
1
2
例2根据下列条件对于幂函数
y?x
a
的有关性质的叙述，分别指 出幂函数
y?x
a
的
图象具有下列特点之一时的a的值，其中
a?< br>?
?2,?1,,
11
,1,2,3
?
。
32
（1）图象过原点，且随x的增大而上升
（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随x的增大而下降
（3）图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交
（4）图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交
（5）图象关于原点对称，且过原点
（6）图象关于原点对称，但不过原点

例3 函数
f(x)?(mx?4x?m?2)
围

（二）课堂练习
1.下列函数中，是幂函数的是——————————（ ）
A. y = 2x B.
y?2x
2
C.
y?
2
?
3
4
?(x
2
?mx?1 )
0
的定义域是R，求m的取值范
1
D.
y?2
x

x
2.已知幂函数f(x)的图像过点(3,
4
3)
，则f(4)=______
3.下列结论正确的上是—————————————（ ）
A. 幂函数的图象一定过原点
B. 当a〈 0时，幂函数y?x
a
是减函数
C .当a〉1时，幂函数y?x是增函数
D.函数y?x
2
既是二次函数，也是幂函数< br> 4.函数
y?x
的图象一定不经过____________(填象限)
5.求下列函数的定义域，并判定奇偶性

(1)f(x)?x?x.(2)f(x)?x?3x

2?2
1
3
n
a

36

第十三讲 函数的应用

函数与方程
方程的跟与函数的零点及二分法
教学目标：了解函数零点的概念
掌握二次函数的零点
掌握函数零点存在性判定定理
教学重难点：重点：二次函数的零点
难点：函数零点的判定
教学过程：
一、 创造情境，引入新课
1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？
2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
知识点一：函数的零点
考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
（1）方程 x
2
-2x-3=0 与函数y= x
2
-2x-3；
（2）方程 x
2
-2x+1=0与函数y= x
2
-2x+1；
（3）方程 x
2
-2x+3=0 与函数y= x
2
-2x+3.
思考1：上述三个一元二次方程的实根分别是什么？ 对应的二次函数的图象与x轴的交
点坐标分别是什么?
思考2：一般地，一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a＞0)的实根与对应的二次函数y=ax
2
+bx+c 的
图象与x轴的交点有什么关系？
思考3：更一般地，对于方程f(x)=0与函数y=f(x)上述关系适应吗？
思考4： 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点，那么函数y=f(x)< br>的零点实际是一个什么数？
思考5：函数y=f(x)有零点可等价于哪些说法？

对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

例1：求下列函数的零点：
（1）
y?2?8
;（2）
y?2?log
3
x


知识点二：函数零点存在性原理
思考1:函数f(x)=2
x
-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布？
思考2:二次函数f(x)=x
2< br>-2x-3的零点是什么？函数f(x)=x
2
-2x-3的图象在零点附近如何分布？
思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在 下列那种情况
37
x

下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点吗？
(1)f(1)＞0,f(2)＞0;
(2)f(1)＞0,f(2)＜0;
(3)f(1)＜0,f(2)＜0;
(4)f(1)＜ 0,f(2)＞0.
思 考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什
么条 件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那
么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方
程f(x)=0的根.

例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数

例2 试推断是否存在自然数m，使函数 f(x)=3-2
x
在区间（m，m+1）上有零点？若存在，
求m的值；若不存在， 说明理由．

课堂练习：
1.设m为常数，讨论函数 f(x)=x-4
x
+5-m 的零点个数.
2.若函数 f(x)=2x
2
-3x-m 在区间（-1，1）内有零点，求实数m的取值范围.



用二分法求方程的近似解
思考：怎样计算函数
f(x)?lnx?2x?6
在区间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
区间（a，b） 中点值m f（m）的近似值
-0.084
0.512
0.215
0.066
-0.009
0.029
0.01
0.001
精确度|a-b|
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.007813
2
2.5
（2，3）
2.75
（2.5，3）
2.625
（2.5，2.75）
2.562 5
（2.5，2.625）
2.531 25
（2.5，2.562 5）
（2.531 25，2.562 5）
2.546 875
（2.53125，2.546
2.539 062 5
875）
（2.531 25，2.539
2.535 156 25
062 5）


38

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y =f(x)，通过不断地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法
叫做二分法

知识点二：用二分法求函数零点近似值的步骤
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
求区间的中点c，并计算f(c)的值
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x
0
∈(a,c)
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x
0
∈(c,b).
例1 用二分法求方程
2?3x?7
的近似解（精确到0.1）.
例2 求方程
log
3
x?x?3
的实根个数及其大致所在区间.
x
39