高中数学必修1课后习题答案清晰版

高中数学必修1课后习题答案
不可抄袭
第一章 集合与函数概念
1．1集合
1．1．1集合的含义与表示
练习（第5页）

1．用符号“
?
”或“
?
”填空：

（1） 设
A
为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______
A
，美国____ ___
A
，

印度_______
A
，英国
_______
A
；

（2）若
A?{x|x
2
?x}
，则
?1
_ ______
A
；

（3）若
B?{x|x
2
?x?6?0}
，则
3
_______
B
；

（4）若
C?{x?N|1?x?10}
，则
8
_______
C< br>，
9.1
_______
C
．

1．（1）中国?
A
，美国
?
A
，印度
?
A
，英国< br>?
A
；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．

（2）
?1
?
A

A?{x|x
2
?x}?{0,1}
．

（3）
3
?
B

B?{x|x
2
?x?6?0}?{?3,2}
．

（4）
8
?
C
，
9.1
?
C

9.1?N
．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程
x
2
?9?0
的所有实数根组成的集合；

（2）由小于
8
的所有素数组成的集合；

（3）一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合；

（4）不等式
4x?5?3
的解集．

2．解：（1）因为方程x
2
?9?0
的实数根为
x
1
??3,x
2< br>?3
，

所以由方程
x
2
? 9?0
的所有实数根组成的集合为
{?3,3}
；

（2）因为小于
8
的素数为
2,3,5,7
，

所以由小于
8
的所有素数组成的集合为
{2,3,5,7}
；

?
y?x?3
?
x?1
，得
?
，

?
y??2x?6
?
y?4
（3）由
?
即一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点为
(1,4 )
，

所以一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合为
{(1,4)}
；

（4）由
4x?5?3
，得
x?2
，

所以不等式
4x?5?3
的解集为
{x|x?2}
．

1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合
{a,b,c}
的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得
?
；

取一个元素，得
{a},{b},{c}
；

取两个元素，得
{a,b},{a,c},{b,c}
；

取三个元素，得
{a,b,c}
，

即集合
{a,b,c}
的所有子集为
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b ,c}
．

2．用适当的符号填空：

（1）
a
______
{a,b,c}
； （2）
0
______
{x|x
2
?0}
；
（3）
?
______
{x?R|x
2
?1?0}
； （4）
{0,1}
______
N
；

（5）
{0}
______
{x|x
2
?x}
； （6）
{2,1}
______
{x|x
2
?3x?2?0}
．

2．（1）
a?{a,b,c}

a
是集合
{a,b,c}
中的一个元素；

（2）
0?{x|x
2
?0}

{x|x
2
?0}?{0}
；

（3）
??{x?R|x
2
?1?0}
方程
x
2
?1?0
无实数根，
{x?R|x
2
?1?0}??
；

（4）
{0,1}
N
（或
{0,1}?N
）
{0,1}
是自然数集合
N
的子集，也是真子集；

（5）
{0}
{x|x
2
?x}
（或
{0}?{x|x
2
?x}
）
{x|x
2
?x}?{0,1}
；

（6）
{2,1}?{x|x
2
?3x?2?0}
方程
x
2
?3x?2?0
两根为
x
1
?1,x2
?2
．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）
A?{1,2,4}
，
B?{x|x是8的约数}
；

（2）
A?{x|x?3k,k?N}
，
B?{x|x?6z,z?N}；

（3）
A?{x|x是4与10的公倍数,x?N
?
}，
B?{x|x?20m,m?N
?
}
．


3．解：（1）因为
B?{x|x是8的约数}?{1,2,4,8}
，所以
AB；

（2）当
k?2z
时，
3k?6z
； 当
k?2z?1
时，
3k?6z?3
，

即
B
是
A
的真子集，
BA
；

（3）因为
4
与
10
的最小公倍数是
20
，所以
A ?B
．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设
A?{3,5,6,8},B?{4,5,7,8}
，求
AB,AB< br>．

1．解：
AB?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{5,8}
，


AB?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{3,4,5,6,7,8}
．
< br>2．设
A?{x|x
2
?4x?5?0},B?{x|x
2
? 1}
，求
AB,AB
．

2．解：方程
x< br>2
?4x?5?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?5
，

方程
x
2
?1?0
的两 根为
x
1
??1,x
2
?1
，

得
A?{?1,5},B?{?1,1}
，

即
AB?{?1},AB?{?1,1,5}
．

3．已知
A?{x |x是等腰三角形}
，
B?{x|x是直角三角形}
，求
AB,AB
．

3．解：
AB?{x|x是等腰直角三角形}
，


AB?{x|x是等腰三角形或直角三角形}
．

4．已知全集
U? {1,2,3,4,5,6,7}
，
A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}
，

求
A(
U
B),(
U
A)(
U
B)
．

4．解：显然
U
B?{2,4,6}
，
U
A?{1,3,6,7}
，

则
A(
U
B)?{2 ,4}
，
(
U
A)(
U
B)?{6}
．

1．1集合

习题1．1 （第11页） A组

1．用符号“
?
”或“
?
”填空：

（1）
3
_______
Q
； （2）
3
2
______
N
； （3）
?
_______
Q
；

（4）
2
_______
R
； （5）
9
_______
Z
； （6）
(5)
2
_______
N
．

2
7

1．（1）
3?Q

3
是有理数； （2）
3
2
?N

3
2
?9
是个自然数；

（3）
?
?Q

?
是个无理数，不是有理数； （4）
2?R

2
是实数；

（5）
9?Z

9?3
是个整数； （6）
(5)
2
?N

(5)
2
?5
是个自然
数．

2．已知
A?{x|x?3k?1,k?Z}
，用 “
?
”或“
?
” 符号填空：

（1）
5
_______
A
； （2）
7
_______
A
； （3）
?10
_______
A
．

2．（1）
5?A
； （2）
7?A
； （3）
?10?A
．

当
k?2
时，
3k?1?5
；当
k??3
时，
3k?1??10
；

3．用列举法表示下列给定的集合：

（1）大于
1
且小于
6
的整数；

（2）
A?{x|(x?1)(x?2)?0}
；

（3）
B?{x?Z|?3?2x?1?3}
．

3．解：（1）大 于
1
且小于
6
的整数为
2,3,4,5
，即
{2, 3,4,5}
为所求；

（2）方程
(x?1)(x?2)?0
的两 个实根为
x
1
??2,x
2
?1
，即
{?2,1}
为所求；

（3）由不等式
?3?2x?1?3
，得
?1? x?2
，且
x?Z
，即
{0,1,2}
为所求．

4．试选择适当的方法表示下列集合：

2
7
2
7

（1）二次函数
y?x
2
?4
的函数值组成的集合；

（2）反比例函数
y?
的自变量的值组成的集合；

（3）不等式
3x?4?2x
的解集．

4．解：（1）显然有x
2
?0
，得
x
2
?4??4
，即
y ??4
，

得二次函数
y?x
2
?4< br>的函数值组成的集合为
{y|y??4}
；

（2）显然有
x ?0
，得反比例函数
y?
的自变量的值组成的集合为
{x|x?0}
；

（3）由不等式
3x?4?2x
，得
x?
，即不等式< br>3x?4?2x
的解集为
{x|x?}
．

5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合
A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2}
，则有：


?4
_______
B
；
?3
_______
A
；
{2}
_______
B
；
B
_______
A
；

（2）已知集合
A?{x|x
2
?1?0}
，则有：


1
_______
A
；
{?1}
_______
A
；
?
_______
A
；
{1,?1}
_______
A
；

（3）
{x |x是菱形}
_______
{x|x是平行四边形}
；


{x|x是等腰三角形}
_______
{x|x是等边三角形}
．

5．（1）
?4?B
；
?3?A
；
{2}
B
；
BA
；

4
5
4
5
2
x
2
x

2x?3?3x?x??3
，即
A?{x|x??3},B?{x|x?2}
；

（2）
1?A
；
{?1}
A
；
?

A?{x|x
2
?1?0}?{?1,1}
；

A
；
{1,?1}
=
A
；

（3）
{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一
定是菱形；

{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}
．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合< br>A?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x}
，求
AB,AB
．

6．解：
3x?7?8?2x
，即
x?3
，得
A ?{x|2?x?4},B?{x|x?3}
，

则
AB?{x|x?2}
，
AB?{x|3?x?4}
．

7．设集合
A?{x|x是小于9的正整数}
，
B?{1,2,3},C?{3,4, 5,6}
，求
AB
，


AC
，
A(BC)
，
A(BC)
．

7． 解：
A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8}
，

则
AB?{1,2,3}
，
AC?{3,4,5,6}
，

而
BC?{1,2,3,4,5,6}
，
BC?{3}
，

则
A(BC)?{1,2,3,4,5,6}
，

A(BC)?{1,2,3,4,5,6,7,8}
．

8．学校里开运动会，设
A?{x|x是参加一百米跑的同学}
，

B?{x|x是参加二百米跑的同学}
，
C?{x|x是参加四百米跑的同学}
，
学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明
这项规定，

并解释以下集合运算的含义：（1）
AB
；（2）
AC
．

8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，

即为
(AB)C??
．

（1）
AB?{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}
；

（2）
AC?{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}
．

9．设
S?{x|x是平行四边形或梯形}
，
A?{x|x是平行四边形}
，
B?{x|x是菱形}
，


C?{x|x是矩形}
，求BC
，
A
B
，
S
A
．

9． 解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即
BC?{x|x是正方形}
，

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形
就是菱形，

即
A
B?{x|x是邻边不相等的平行四边形}
，


S
A?{x|x是梯形}
．

10．已知集合
A?{x|3?x?7},B?{x|2?x?10}
，求
R
(AB)
，< br>R
(AB)
，

(
R
A)B
，
A(
R
B)
．
< br>10．解：
AB?{x|2?x?10}
，
AB?{x|3?x?7}
，


R
A?{x|x?3,或x?7}
，
R
B?{x|x?2,或x?10}
，

得
R
(AB)?{x|x?2,或x?10}
，


R
(AB)?{x|x?3,或x?7}
，


(
R
A)B?{x|2?x?3,或7?x?10}
，


A(
R
B)?{x|x?2,或3?x?7或x?10}
．

B组

1．已知集合
A?{1,2}
，集合
B
满足
AB?{1,2}
，则集合
B
有 个．

1．
4
集合
B
满足
AB?A
，则
B ?A
，即集合
B
是集合
A
的子集，得
4
个子集．< br>
2．在平面直角坐标系中，集合
C?{(x,y)|y?x}
表示直线
y?x
，从这个角度看，

?
?
?
2x?y?1?
?
表示什么集合
C,D
之间有什么关系

?
x?4y?5
?
集合
D?
?
(x,y)|
?
2．解：集合
D?
?
(x,y)|
?
?
?
?
2x?y?1?
?
表示两条直线
2x?y?1,x?4y?5< br>的交点的集合，

x?4y?5
?
?
?
?
2x?y?1?
即
D?
?
(x,y)|
??
?{(1,1)}
，点
D(1,1)
显然在直线
y?x
上，

x?4y?5
???

得
D
C
．

3．设集合
A ?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?4)(x?1)?0}，求
AB,AB
．

3．解：显然有集合
B?{x|(x?4)(x?1)?0}?{1,4}
，

当
a?3
时，集合
A?{3}
，则
AB?{ 1,3,4},AB??
；

当
a?1
时，集合A?{1,3}
，则
AB?{1,3,4},AB?{1}
；

当
a?4
时，集合
A?{3,4}
，则
AB?{1,3,4},AB ?{4}
；

当
a?1
，且
a?3
，且
a?4
时，集合
A?{3,a}
，

则
AB?{1,3,4,a},AB??
．

4．已知全集
U?AB?{x?N|0?x?10}
，
A(
U
B)?{1,3,5,7}< br>，试求集合
B
．

4．解：显然
U?{0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10}
，由
U?AB
，

得
U
B?A
，即
A(
U
B)?
U
B
，而
A(
U
B)?{1,3,5,7}
，

得
U
B?{1, 3,5,7}
，而
B?
U
(
U
B)
，

即
B?{0,2,4,6,8.9,10}
．

第一章 集合与函数概念

1．2函数及其表示

1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

（1）
f(x)?
1
； （2）
f(x)?1?x?x?3?1
．

4x?7
7
4< br>1．解：（1）要使原式有意义，则
4x?7?0
，即
x??
，

得该函数的定义域为
{x|x??}
；

?
1?x?0
，即
?3?x?1
，

?
x?3?0
7
4
（2）要使原式有意义，则
?
得该函数的定义域为
{x|?3?x?1}
．

2．已知函数
f(x)?3x
2
?2x
，

（1）求
f(2),f(?2),f(2)?f(?2)
的值；

（2）求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值．

2 ．解：（1）由
f(x)?3x
2
?2x
，得
f(2)?3?22
?2?2?18
，

同理得
f(?2)?3?(?2)
2
?2?(?2)?8
，

则
f(2)?f(?2)?18?8?26
，

即
f(2)?18,f(?2)?8,f(2)?f(?2)?26
；

（2）由
f(x)?3x
2
?2x
，得
f(a )?3?a
2
?2?a?3a
2
?2a
，

同理得
f(?a)?3?(?a)
2
?2?(?a)?3a
2
?2a
，

则
f(a)?f(?a)?(3 a
2
?2a)?(3a
2
?2a)?6a
2
，
< br>即
f(a)?3a
2
?2a,f(?a)?3a
2
?2a,f (a)?f(?a)?6a
2
．

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h
与时间
t
关系的函数
h?130t?5t
2
和二次函 数
y?130x?5x
2
；

（2）
f(x)?1
和
g(x)?x
0
．

3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间
t?0
；

（2）不相等，因为定义域不同，
g(x)?x
0
(x?0)
．

1．2．2函数的表示法
练习（第23页）

1．如图，把截面半径为
25cm
的圆形木头锯 成矩形木料，如果矩形的一边长为
xcm
，

面积为
ycm
2
，把
y
表示为
x
的函数．

1．解：显然矩形的 另一边长为
50
2
?x
2
cm
，


y?x50
2
?x
2
?x2500?x
2
，且0?x?50
，

即
y?x2500?x
2
(0?x?50)
．

2．下图中 哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好请你为剩下的那个图象写出
一件事．

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作
业本再上学；（2 ）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

O

O

O

O

时间

（A）

时间

（B）

时间

（C）

时间

（D）


2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表 示离开家的距离
不发生变化；

图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加
速；

图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，
缓缓行进．

3．画出函数
y?|x?2|
的图象．

?
x?2,x?2
，图象如下所示．

?
?x?2,x?2
3．解：
y?|x?2|?
?

4．设
A?{x|x是锐角},B?{0,1}
，从
A
到
B
的映射是
“求正弦”，与
A
中元素
60
相对应

2
相对应的
A
中元素是什么

2
的
B
中的元素是什么与
B
中的元素
4．解：因为
sin60?
33
，所以与
A
中元素
60
相对应的
B
中的元素是；

22
因为
sin45?
22
，所以与
B
中的元素相对应的
A
中元素是
45
．

22
1．2函数及其表示

习题1．2（第23页）

1．求下列函数的定义域：

（1）
f(x)?
3x
； （2）
f(x)?x
2
；

x?4
4?x
6
f(x)?
； （4）．
< br>x?1
x
2
?3x?2
（3）
f(x)?
1．解：（ 1）要使原式有意义，则
x?4?0
，即
x?4
，

得该函数的定义域为
{x|x?4}
；

（2）
x?R
，
f(x)?x
2
都有意义，

即该函数的定义域为
R
；

（3）要使原式有意义，则
x
2
?3x?2?0
，即
x?1
且
x?2
，

得该函数的定义域为
{x|x?1且x?2}
；

?
4?x?0
，即
x?4
且
x?1
，

?
x?1?0
（4）要使原式有意义，则
?
得该函数的定义域为
{x|x?4且x?1}
．

2．下列哪一组中的函数
f(x)
与
g(x)
相等

x
2
（1）
f(x)?x?1,g(x)??1
； （2）
f(x)?x
2
,g(x)?(x)
4
；

x
（3）
f(x)?x
2
,g(x)?
3
x
6．

x
2
2．解：（1）
f(x)?x?1
的定义域为
R
，而
g(x)??1
的定义域为
{x|x?0}
，

x
即两函数的定义域不同，得函数
f(x)
与
g(x)
不相等；

（2）
f(x)?x
2
的定义域为
R
，而g(x)?(x)
4
的定义域为
{x|x?0}
，

即两函数的定义域不同，得函数
f(x)
与
g(x)
不相等；

（3）对于任何实数，都有
3
x
6
?x
2，即这两函数的定义域相同，切对应法
则相同，

得函数
f(x)
与
g(x)
相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．

（1）
y?3x
； （2）
y?
； （3）
y??4x?5
； （4）
y?x
2
?6x?7
．

3．解：（1）











8
x
定义域是
(??,??)
，值域是
(??,??)
；

（2）











定义域是
(??,0)(0,??)
，值域是
(??, 0)(0,??)
；

（3）










定义域是
(??,??)
，值域是
(??,??)
；












（4）

定义域是
(??,??)
，值域是
[?2,??)
．
4．已知函数
f(x)?3x
2
?5x?2
，求
f(?2)，
f(?a)
，
f(a?3)
，
f(a)?f(3)
．

4．解：因为
f(x)?3x
2
?5x?2
，所以
f(?2)?3?(?2)
2
?5?(?2)?2?8?52
，

即
f(?2)?8?52
；

同理，
f(?a)?3 ?(?a)
2
?5?(?a)?2?3a
2
?5a?2
，

即
f(?a)?3a
2
?5a?2
；

f(a?3)?3?(a?3)
2
?5?(a ?3)?2?3a
2
?13a?14
，

即
f(a?3)?3a
2
?13a?14
；


f(a)?f(3)?3a
2
?5a?2?f(3)?3a
2
?5a ?16
，

即
f(a)?f(3)?3a
2
?5a?16
．

5．已知函数
f(x)?
x?2
，

x?6
（1）点
(3,14)
在
f(x)
的图象上吗

（2）当
x?4
时，求
f(x)
的值；

（3）当
f(x)?2
时，求
x
的值．

5．解： （1）当
x?3
时，
f(3)?
3?25
???14
，
3?63
即点
(3,14)
不在
f(x)
的图象上；

（2）当
x?4
时，
f(4)?
4?2
??3
，

4?6
即当
x?4
时，求
f(x)
的值为
?3
；

（3）
f(x)?
x?2
?2
，得
x?2? 2(x?6)
，

x?6
即
x?14
．

6．若
f(x)?x
2
?bx?c
，且
f(1)?0,f(3)?0
，求
f(?1)
的值．

6．解：由
f(1)?0,f(3)?0
，

得1,3
是方程
x
2
?bx?c?0
的两个实数根，

即
1?3??b,1?3?c
，得
b??4,c?3
，
< br>即
f(x)?x
2
?4x?3
，得
f(?1)?(?1)2
?4?(?1)?3?8
，

即
f(?1)
的值为
8
．

7．画出下列函数的图象：

（1）
F(x)?
?
?
0,x?0
； （2）
G(n)?3n?1,n?{1,2,3}
?
1,x?0
．










7．图象如下：


8．如图，矩形的面积为
10
，如果矩形的长为
x
，宽为
线为
d
，

y
，对角

周长为
l
，那么你能获得关于这些量的哪些函数


8．解：由矩形的面积为
10
，即
xy?10
，得
y?
10
10
(x?0)
，
x?(y?0)
，

y
x
由对角线为
d
，即
d?x< br>2
?y
2
，得
d?x
2
?
100
( x?0)
，

2
x
由周长为
l
，即
l?2x?2y
，得
l?2x?
20
(x?0)
，

x
另外
l?2(x?y)
，而
xy?10,d
2
?x
2
?y
2
，

得
l?2(x?y )
2
?2x
2
?y
2
?2xy?2d
2
? 20(d?0)
，

即
l?2d
2
?20(d?0)
．

9．一个圆柱 形容器的底部直径是
dcm
，高是
hcm
，现在以
vcm
3
s
的速度向容器内
注入某种溶液．求溶液内溶液的高度
xcm
关于注 入溶液的时间
ts
的函数解析
式，并写出函数的定义域和值域．

9 ．解：依题意，有
?
()
2
x?vt
，即
x?
d< br>2
4v
t
，

2
?
d
h
?
d
2
4v
显然
0?x?h
，即
0?
2
t?h
，得
0?t?< br>，

4v
?
d
h
?
d
2
]
和值域为
[0,h]
．

得函数的定义域为
[0,
4v
10．设集合
A?{a,b,c},B?{0,1}
，试问：从< br>A
到
B
的映射共有几个

并将它们分别表示出来．

10．解：从
A
到
B
的映射共有
8
个．

?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a) ?0
?
f(a)?0
????
分别是
?
f (b)?0
，
?
f(b)?0
，
?
f(b)?1
，
?
f(b)?0
，

?
f(c)?0
?
f (c)?1
?
f(c)?0
?
f(c)?1
????
?f(a)?1
?
f(a)?1
?
f(a)?1
?
f(a )?1
????

?
f(b)?0
，< br>?
f(b)?0
，
?
f(b)?1
，
?
f( b)?0
．

?
f(c)?0
?
f(c)?1
?< br>f(c)?0
?
f(c)?1
????





Ｂ组
1．函数
r?f(p)
的图象如图所示．

（1）函数
r?f(p)
的定义域是什么

（2）函数
r?f(p)
的值域是什么

（3）
r
取何值时，只有唯一的
p
值与之对应

1 ．解：（1）函数
r?f(p)
的定义域是
[?5,0][2,6)
；

（2）函数
r?f(p)
的值域是
[0,??)
；

（3）当
r?5
，或
0?r?2
时，只有唯一的
p
值与之对 应．

2．画出定义域为
{x|?3?x?8,且x?5}
， 值域为
{y|?1?y?2,y?0}
的一个函数的图象．

（1）如果平面 直角坐标系中点
P(x,y)
的坐标满足
?3?x?8
，
?1?y? 2
，那么其中
哪些点不能在图象上

（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗

2．解：图象如下，（1）点
(x,0)
和点
(5,y)
不能在图象上；（2）省略．


3．函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最大整数，例如 ，
[?3.5]??4
，
当
x?(?2.5,3]
时，写出函数f(x)
的解析式，并作出函数的图象．

?
?
?3,?2.5 ?x??2
?
?2,?2?x??1
?
?1,?1?x?0
3．解：
f(x)?[x]?
?
?
0,0?x?1

?
?< br>1,1?x?2
?
?
2,2?x?3
?
3,x?3
图象如下


[2.1]?2
．

4．如图所示，一座小岛 距离海岸线上最近的点
P
的距离是
2km
，从点
P
沿海岸< br>正东
12km
处有一个城镇．








（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为
3kmh
，步行的速度是
5kmh
，
t
（单
位：
h
）表示他 从小岛到城镇的时间，
x
（单位：
km
）表示此人将船停在
海岸处距
P
点的距离．请将
t
表示为
x
的函数．

（2）如果将船停在距点
P
4km
处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到
1h
）

4．解：（1）驾驶小船的路程为
x
2?2
2
，步行的路程为
12?x
，

x
2?2
2
12?x
?
，
(0?x?12)
，
< br>35
得
t?
即
t?
x
2
?412?x
?
，
(0?x?12)
．

35
（2）当
x?4
时，
t?


4
2
?412?4258
????3(h)
．

3535
第一章 集合与函数概念

1．3函数的基本性质

1．3．1单调性与最大（小）值
练习（第32页）

1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．










1．答：在一定的范围内 ，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达
到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个 数量时，生产效率随

着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就 越
高．

2．整个上午
(8:0012:00)
天气越来越暖，中午 时分
(12:0013:00)
一场暴风雨使
天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气 转暖，直到太阳落山
(18:00)
才又开始
转凉.画出这一天
8:0020 :00
期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说
出所画函数的单调区间.

2．解：图象如下



[8,12]
是递增区间，
[12,13]
是递减区间，
[13,18]
是递增区间，
[18, 20]
是递减区
间．






3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是
减函数.

3．解：该函数在
[?1,0]
上是减函数，在
[0, 2]
上是增函数，在
[2,4]
上是减函数，

在
[4,5]
上是增函数．

4．证明函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
< br>4．证明：设
x
1
,x
2
?R
，且
x
1
?x
2
，

因为
f(x
1
)?f(x
2
)??2(x
1
?x
2
)?2(x< br>2
?x
1
)?0
，

即
f(x
1
)?f(x
2
)
，

所以函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.

5．设
f(x)
是定义在区间
[?6,11]
上的函数.如果
f(x)在区间
[?6,?2]
上递减，在区间
[?2,11]
上递增，画出f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现
f(?2)
是函数
f(x )
的一个 .

5．最小值．

1．3．2单调性与最大（小）值
练习（第36页）

1．判断下列函数的奇偶性：

（1）
f(x)?2x
4
?3x
2
； （2）
f(x)?x
3
?2x


x
2
?1
（3）
f(x)?
； （4）
f(x)?x
2
?1
.

x
1．解：（1） 对于函数
f(x)?2x
4
?3x
2
，其定义域为
(??, ??)
，因为对定义域内

每一个
x
都有
f(?x)?2( ?x)
4
?3(?x)
2
?2x
4
?3x
2
?f(x)
，

所以函数
f(x)?2x
4
?3x
2
为偶函数；

（2）对于函数
f(x)?x
3
?2x
，其定义域为
(?? ,??)
，因为对定义域内

每一个
x
都有
f(?x)?( ?x)
3
?2(?x)??(x
3
?2x)??f(x)
，

所以函数
f(x)?x
3
?2x
为奇函数；

x< br>2
?1
（3）对于函数
f(x)?
，其定义域为
(??,0) (0,??)
，因为对定义域内

x
(?x)
2
?1x2
?1
????f(x)
，

每一个
x
都有< br>f(?x)?
?xx
x
2
?1
所以函数
f(x)?< br>为奇函数；

x
（4）对于函数
f(x)?x
2
?1
，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内

每一个
x
都有
f(?x)?(?x)
2
?1?x
2
?1?f(x)< br>，

所以函数
f(x)?x
2
?1
为偶函数.

2.已知
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇函数，试将下图
补充完整.






2．解：
f(x)
是偶函数，其图象是关于
y
轴对称的；


g(x)
是奇函数，其图象是关于原点对称的．



习题

A组
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y?f(x)
的单调区间，以及在各单
调区间

上函数
y?f(x)
是增函数还是减函数.

（1）
y?x
2
?5x?6
； （2）
y?9?x
2
.

1．解：（1）














函数在
(??,)
上递减；函数在
[,??)
上递增；

（2）










5
2
5
2
函数
2.证明：

在
(??,0)
上递增；函数在
[0,??)
上递减.
< br>（1）函数
f(x)?x
2
?1
在
(??,0)
上是 减函数；

（2）函数
f(x)?1?
在
(??,0)
上是增函数.

2．证明：（1）设
x
1
?x
2
?0
，而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
，

1
x

由
x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2
?0
，得
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，

即
f(x
1
)?f(x
2
)< br>，所以函数
f(x)?x
2
?1
在
(??,0)
上是 减函数；

（2）设
x
1
?x
2
?0
，而
f(x
1
)?f(x
2
)?
11
x
1?x
2
??
，

x
2
x
1
x
1
x
2
由
x
1
x
2
?0,x
1
?x
2
?0
，得
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，

即
f(x
1
)?f(x
2
)< br>，所以函数
f(x)?1?
在
(??,0)
上是增函数.

3.探究一次函数
y?mx?b(x?R)
的单调性，并证明你的结论.
< br>3．解：当
m?0
时，一次函数
y?mx?b
在
(??,?? )
上是增函数；

当
m?0
时，一次函数
y ?mx?b
在
(??,??)
上是减函数，

令
f(x)?mx?b
，设
x
1
?x
2
，

而
f(x
1
)?f(x
2
)?m(x1
?x
2
)
，

当
m?0时，
m(x
1
?x
2
)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，

得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是增函数；

当
m?0
时，
m(x
1
?x
2
)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，

得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是减函数.

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，
心率再次
< br>1
x

慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（ 示意图）.

4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为


5.某汽车租赁公司的月收益
y
元与每辆车的月租金
x
元间的关系为

x
2
y???162x?21000
，那么，每辆车的月租金多少 元时，租赁公司的月收益最
50
大最大月收益是多少

x
2
5．解：对于函数
y???162x?21000
，

50
当
x??
162
1
2?(?)
50
，

?4050
时，
y
max
?307050
（元）
即每辆车的月租金为
4050
元时，租赁公司最大月收益为
307050
元．

6.已知函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
x?0
时，
f(x)?x(1?x)
.画出函数
f(x)

的图象，并求出函数的解析式.

6．解：当
x?0
时，
? x?0
，而当
x?0
时，
f(x)?x(1?x)
，

即
f(?x)??x(1?x)
，而由已知函数是奇函数，得
f(?x)??f(x)
，

得
?f(x)??x(1?x)
，即
f(x)?x(1?x)
，

?
x(1?x),x?0
所以函数的解析式为
f(x)?
?
.

x(1?x),x?0
?
B组
1.已知函数
f(x)?x
2
?2x
，
g(x)?x
2
?2x(x?[2,4])
.< br>
（1）求
f(x)
，
g(x)
的单调区间； （2）求
f(x)
，
g(x)
的最小值.

1．解：（1） 二次函数
f(x)?x
2
?2x
的对称轴为
x?1
，

则函数
f(x)
的单调区间为
(??,1),[1,??)
，

且函数
f(x)
在
(??,1)
上为减函数 ，在
[1,??)
上为增函数，

函数
g(x)
的单调区间为
[2,4]
，

且函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数；

（2）当
x?1
时，
f(x)
min
??1
，

因为函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数，

所以
g(x)
min
?g(2)?2
2
?2?2?0
．
2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的
2
间面积相同的矩形熊猫居室，如果可 供
建造围墙的材料总长是
30m
，那么宽
x
（单位：
m）为多少才能使建造的每间
熊猫居室面积最大每间熊猫居室的最大面积是多少

2．解：由矩形的宽 为
xm
，得矩形的长为
30?3x3(x
2
?10x)
??
则
S?x
，

22
30?3x
m
，设矩形的面积为
S
，

2
当
x?5
时，
S
max
?37.5m
2
，

即宽
x?5
m
才能使建造的每间熊猫居室面积最大，

且每间熊猫居室的最大面积是
37.5m
2
．

3.已知函 数
f(x)
是偶函数，而且在
(0,??)
上是减函数，判断
f(x )
在
(??,0)
上是增
函数还是减函数，并证明你的判断.

3．判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数，证明如下：

设
x
1
?x
2
?0
，则
?x
1
??x
2
?0
，

因为函数
f(x)< br>在
(0,??)
上是减函数，得
f(?x
1
)?f(?x2
)
，

又因为函数
f(x)
是偶函数，得f(x
1
)?f(x
2
)
，

所以
f(x)
在
(??,0)
上是增函数．


复习参考题

A组

1．用列举法表示下列集合：

（1）
A?{x|x
2
?9}
；

（2）
B?{x?N|1?x?2}
；

（3）
C?{x|x
2
?3x?2?0}
.

1． 解：（1）方程
x
2
?9
的解为
x
1
??3,x< br>2
?3
，即集合
A?{?3,3}
；

（ 2）
1?x?2
，且
x?N
，则
x?1,2
，即集合
B?{1,2}
；

（3）方程
x
2
?3x?2?0的解为
x
1
?1,x
2
?2
，即集合
C?{1 ,2}
．

2．设
P
表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形

（1）
{P|PA?PB}(A,B
是两个定点
)
；

（2）
{P|PO?3cm}(O
是定点
)
.

2 ．解：（1）由
PA?PB
，得点
P
到线段
AB
的两个端点 的距离相等，

即
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线；

（2）
{P|PO?3cm}
表示的点组成以定点
O
为圆心，半径为
3cm
的圆．

3.设平面内有
?ABC
， 且
P
表示这个平面内的动点，指出属于集合

{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是什么.

3．解：集合
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线，

集合
{P|PA?PC}
表示的点组成线段
AC
的垂直平分线，

得
{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是线段
AB< br>的垂直平分线与线段
AC
的

垂直平分线的交点，即
?ABC
的外心．

4.已知集合
A ?{x|x
2
?1}
，
B?{x|ax?1}
.若
B?A< br>，求实数
a
的值.

4．解：显然集合
A?{?1,1}，对于集合
B?{x|ax?1}
，

当
a?0
时，集合
B??
，满足
B?A
，即
a?0
；

当
a?0
时，集合
B?{}
，而
B?A
，则
??1
，或
?1
，

得
a??1
，或
a?1
，

综上得：实数
a
的值为
?1,0
，或
1
．

5.已知集合
A?{(x,y)|2x?y?0}
，求
AB
，
B? {(x,y)|3x?y?0}
，
C?{(x,y)|2x?y?3}
，
AC
，
(AB)(BC)
.

?
?
?
2x?y ?0?
?
?{(0,0)}
，即
AB?{(0,0)}
；

3x?y?0
?
?
1
a
1
a
1
a
5．解：集合
AB?
?
(x,y)|
?
?
?
2x?y?0?
集合
AC?
?
(x,y)|
??< br>??
，即
AC??
；

2x?y?3
?
??
?
?
3x?y?0?
39
集合
BC?
?
(x,y)|
??
?{(,?)}
；

55
?
2x?y?3
??
则
(AB)(BC)?{(0,0),(,?)}
.

3
5
9
5

6.求下列函数的定义域：

（1）
y?x?2?x?5
；

x?4
.

|x|?5
?
x?2?0
，即
x?2
，

?
x?5?0
（2）
y?
6．解：（1）要使原式有意义，则
? 得函数的定义域为
[2,??)
；

?
x?4?0
，即
x?4
，且
x?5
，

?
|x|?5?0
（2）要使原式有意义，则
?
得函数的定义域为
[4,5)(5,??)
．

7.已知函数
f(x)?
1?x
，求：

1?x
（1）
f(a)?1(a??1)
； （2）
f(a?1)(a??2)
.

7．解：（1）因为
f(x)?
所以
f(a)?
即
f(a)?1?
1?x
，

1?x
1?a1?a2
，得
f(a)?1?
，

?1?
1?a1?a1?a
2
；

1?a
1?x
，

1?x
（2）因为
f(x)?
所以
f(a?1)?
即
f(a?1)??
1?(a?1)a
??
，

1?a?1a?2
a
．

a?2

1?x2
8.设
f(x)?
，求证：

2
1?x
（1）
f(?x)?f(x)
； （2）
f()??f(x)
.

1?x
2
8．证明：（1）因为
f(x)?
，

1 ?x
2
1?(?x)
2
1?x
2
??f(x)
，< br>
所以
f(?x)?
22
1?(?x)1?x
1
x
即
f(?x)?f(x)
；

1?x
2
（2）因为
f(x)?
，

1?x
2
1
1?()< br>2
11?x
2
x
所以
f()????f(x)
，

x
1?(
1
)< br>2
x
2
?1
x
即
f()??f(x)
.

9.已知函数
f(x)?4x
2
?kx?8
在
[5,20]
上具有单调性，求实数
k
的取值 范围.

9．解：该二次函数的对称轴为
x?
，

函数
f(x)?4x
2
?kx?8
在
[5,20]
上具有单 调性，

则
?20
，或
?5
，得
k?160
，或
k?40
，

即实数
k
的取值范围为
k?1 60
，或
k?40
．

10．已知函数
y?x
?2
，

k
8
k< br>8
k
8
1
x

（1）它是奇函数还是偶函数
（2）它的图象具有怎样的对称性

（3）它在
(0,??)
上是增函数还是减函数

（4）它在
(??,0)
上是增函数还是减函数

10．解：（1） 令
f(x)?x
?2
，而
f(?x)?(?x)
?2
?x< br>?2
?f(x)
，

即函数
y?x
?2
是偶函数；

（2）函数
y?x
?2
的图象关于
y
轴对称；

（3）函数
y?x
?2
在
(0,??)
上是减函数；

（4）函数
y?x
?2
在
(??,0)
上是增函数．


B组
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有
28
名同学参加 比赛，有
15
人参加游泳比
赛，有
8
人参加田径比赛，有
1 4
人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比
赛的有
3
人，同时参加游泳比 赛和球类比赛的有
3
人，没有人同时参加三项比
赛.问同时参加田径和球类比赛的有多 少人只参加游泳一项比赛的有多少人

1．解：设同时参加田径和球类比赛的有
x
人，

则
15?8?14?3?3?x?28
，得
x?3
，

只参加游泳一项比赛的有
15?3?3?9
（人），

即同时 参加田径和球类比赛的有
3
人，只参加游泳一项比赛的有
9
人．
< br>2.已知非空集合
A?{x?R|x
2
?a}
，试求实数
a< br>的取值范围.

2．解：因为集合
A??
，且
x
2< br>?0
，所以
a?0
．

3.设全集
U?{1,2,3 ,4,5,6,7,8,9}
，
U
(AB)?{1,3}
，
A(U
B)?{2,4}
，求集合
3．解：由
U
(AB)?{1,3 }
，得
AB?{2,4,5,6,7,8,9}
，

集合
AB
里除去
A(
U
B)
，得集合
B
，

所以集合
B?{5,6,7,8,9}
.

4.已知函数
f(x)?
?
?
x(x?4),x?0
x?4),x ?0
.求
f(1)
，
f(?3)
，
f(a?1)
?
x(
的值.

4．解：当
x?0
时，
f(x)?x (x?4)
，得
f(1)?1?(1?4)?5
；

当
x?0
时，
f(x)?x(x?4)
，得
f(?3)??3?(? 3?4)?21
；


f(a?1)?
?
?< br>(a?1)(a?5),a??1
?
(a?1)(a?3),a??1
．

5.证明：

（1）若
f(x)?ax?b
，则
f(< br>x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
2
)?
2
；

（2）若
g(x)?x
2
?ax?b
，则
g(
x
1
?x
2
2
)?
g(x
1
)?g(x
2
)
2
.

B
.

5．证明：（1）因为
f(x)?ax?b
，得
f(

x
1
?x
2
x?x
a
)?a
12
?b?(x
1
?x
2
)?b
，

222
f (x
1
)?f(x
2
)ax
1
?b?ax
2
?b
a
??(x
1
?x
2
)?b
，
< br>222
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x2
)
；

)?
22
所以
f(
（2）因为
g(x)?x
2
?ax?b
，

得
g(
x
1
?x
2
x?x
1
)?(x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
)?a(
12
)?b
，

242
g(x
1
)?g(x2
)
1
?[(x
1
2
?ax
1
?b) ?(x
2
2
?ax
2
?b)]

22

?(x
1
2
?x
2
2
)?a(
1
4
1
2
1
2
x
1
?x
2
)?b< br>，

2
因为
(x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
2
?x2
2
)??(x
1
?x
2
)
2
?0< br>，

即
(x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
2
?x
2
2
)
，

所以
g(
x
1
?x
2
g(x
1
)?g(x
2
)
.

)?
22
1
4
1
2
1
4
6.（1）已知奇函数
f(x)
在
[a,b]
上是减函数，试问：它在
[?b,?a]
上 是增函数还是
减函数

（2）已知偶函数
g(x)
在
[a, b]
上是增函数，试问：它在
[?b,?a]
上是增函数还是
减函数

6．解：（1）函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数，证明 如下：

设
?b?x
1
?x
2??a
，则
a??x
2
??x
1
?b
，

因为函数
f(x)
在
[a,b]
上是减 函数，则
f(?x
2
)?f(?x
1
)
，

又因为函数
f(x)
是奇函数，则
? f(x
2
)??f(x
1
)
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，

所以函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数；

（2）函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数，证明如下：



全月应纳税所得额

设
?b?x
1
?x
2
??a
，则
a??x
2
??x
1
?b
，

因为函数
g(x)
在
[a,b]
上是增函数，则
g(?x
2
)?g( ?x
1
)
，

税
0
率
(
0
)


又因为函数
g(x)
是偶函数，则
g(x
2
)?g(x
1< br>)
，即
g(x
1
)?g(x
2
)
，

所以函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数．

7.《 中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过
2000
元
的部分

不必纳税，超过
2000
元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分 段累计
计算：

某人一月份应交纳此项税款为
26.78
元，那么他 当月的工资、薪金所得是多少

不超过
500
元的部分

5

超过
500
元至
2000
元的
10


部分

7．解：设某人的全月工资、薪金所得
元，应纳此项税款为
y
元，则

超过
2000
元至
5000
元的
15

?
0,0?x?2000
?
(x?2000)?5%,2000?x?2500
?
y?
?

25?(x?2500)?10%,2500?x?4000?
?
?
175?(x?4000)?15%,4000?x?5000
为
x

部分

由该人一月份应交纳此项税 款为
26.78
元，得
2500?x?4000
，


25?(x?2500)?10%?26.78
，得
x?2517.8
，
所以该人当月的工资、薪金所得是
2517.8
元．