[人教版]高一数学必修一全套教学课件(教案)

1
例5．已知函数f(x)满足
f(x)?2f()?x
，求函数f( x)的解析式。（消去法）
x







例6．已知
f(x)?x?1
，求函数f(x)的解析式。









（三）课堂练习：
1．课本P
23
练习4；
1?x1?x
2
)?
2．已知
f(
，求函数f(x)的解析式。
2
1?x1?x
11
3．已知
f(x?)?x
2
?
2
，求函数f(x)的解析式。
xx
4．已知
f(x)?2f(?x)?x?1
，求函数f(x)的解析式。
（四）、归纳小结：
本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。
（五）、作业布置：
5． 课本P
24
习题1.2B组题3，4；
6． 阅读P
26
材料。

- 30 -

1.2.2函数的表示法（三）
【课 型】新授课
【教学目标】
（1）进一步了解分段函数的求法；
（2）掌握函数图象的画法。
【教学重点】函数图象的画法。
【教学难点】掌握函数图象的画法。。
【教学过程】
一、复习准备：
1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次 函数，二次函数，反比例函数的图象，并
在黑板上演示它们的画法。
2. 讨论：函数图象有什么特点？
二、讲授新课：
例1．画出下列各函数的图象：
（1）
f(x)?2x?2　　(?2?x?2)

(0?x?3)
； （2）
f(x)?2x
2
?4x?3　　



例2．（课本P
21
例5）画出函数
f(x)?x
的图象。





例3．设
x?
?
?? ,??
?
，求函数
f(x)?2x?1?3x
的解析式，并画出它的图象。





- 31 -

变式1：求函数
f(x)?2x?1?3x
的最大值。




变式2：解不等式
2x?1?3x??1
。




例4．当m为何值时，方程x
2
?4x?5?m有4个互不相等的实数根。





变式：不等式
x
2
?4x?5? m
对
x?R
恒成立，求m的取值范围。




三、课堂练习：
1．课本P
23
练习3；
?
1
(0?x?1)
?
，　
2．画出函数
f(x)?
?
x
的图象。
?
(x?1)
?
x，　
四、归纳小结：
函数图象的画法。
五、作业布置：
课本P
24
习题1.2A组题7，B组题2；

- 32 -

1.2 函数及其表示复习课
【课 型】复习课
【教学目标】
（1）会求一些简单函数的定义域和值域；
（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；
（3）会解决一些函数记号的问题．
【教学重点】求定义域与值域，解决函数简单应用问题。
【教学难点】对函数记号的理解。
【教学过程】
一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1．说出下列函数的定义域与值域：
y?
2．已知
f(x)?
1
8
；
y?x
2
?4x?3
；
y?
2
；
x?4x?3
3x?5
1
，求
f(2)
，
f(f(3))
，
f(f(x))
；
x?1
?
0(x?0)
?
3．已知
f(x)?
?
?
(x?0)
，
?
x?1(x?0)
?
（１）作出
f(x)
的图象；
（２）求
f(1),　f(?1),　f(0),　f{f[f(?1)]}
的值


二、讲授典型例题：
例１．已知函数
f(x)
=4x+3，g(x)=x
2
, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．









- 33 -

例2．求下列函数的定义域：
（１）
y?








例３．若函数
y?(a2
?1)x
2
?(a?1)x?
围． （
a?
?
1,9
?
）






例４． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1 分钟，付费0.4
元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟， 两种通讯方式
的费用分别为
y
1
,y
2
（元）．
（１）．写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式？
（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？




2
的定义域为Ｒ，求实数a的取值范
a?1
(x?1)
0
x
2
?4
； （２）
y?
2
；
x?2x?3
x?x

- 34 -

三．巩固练习：
1
1．已知
f(x)
=x
2
?x+3 ，求：f(x+1)， f()的值；
x
）?x?2x
,求函数
f(
x
）
2．若
f(x?1
的解析式；
3．设二次函数
f( x)
满足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方 和为10，图象过点(0,3)，求
f(x)
的解析式．
４．已知函数
f(x)?









四、归纳小结：
本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．
五、作业布置：
7． 课本P
２４
习题1.２ B组题１，３；
8． 预习函数的基本性质。

- 35 -
3x?1
的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．
ax
2
?ax?3
3

1.3.1单调性与最大（小）值 （一）
【课 型】新授课
【教学目标】
理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会
运用函数图象理解和研究函数的性质。
【教学重点】掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
【教学难点】理解概念。
【教学过程】
一、复习准备：
1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？
2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：
①随x的增大，y的值有什么变化？
②能否看出函数的最大、最小值？
③函数图象是否具有某种对称性？
3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x
2
的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）

二、讲授新课：
1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：
①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x
2
(x>0)的图象进行讨论：
随x的增大，函数值怎样变化？ 当x
1
>x
2
时，f(x
1
)与f(x
2
)的大小关系怎样？
②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
③定义 增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自
变量x< br>1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x< br>1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasi ng function）
④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性
⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x) 在这一区间上具有（严格
的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？
所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性


- 36 -

2.教学增函数、减函数的证明：
例1．将进货单价40元的商品按50元一 个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，
其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应 定为多少？




1、 例题讲解
例1（P29例1） 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调 区间，
以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？







例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律
p?
k
（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，
V
当其体积V增大时，压强p如何变化 ？试用单调性定义证明.







- 37 -

例3．判断函数
y?






三、巩固练习：
2
在区间[2，6] 上的单调性
x?1
1.求证f(x)＝x＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。




2.判断f(x)=|x|、y=x
3
的单调性并证明。





3.讨论f(x)=x
2
－2x的单调性。 推广：二次函数的单调性




4.课堂作业：书P32、 2、3、4、5题。
四、归纳小结：
比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。
判断单调性的步骤：设x1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2
； →计算f(x
1
)－f(x
2
)至最简→判断差的
符号→下结论。
五、作业布置：P39、1—3题

- 38 -
1
x

1.3.1 单调性与最大（小）值 （二）
【课 型】新授课
【教学目标】
更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数 的最大（小）值及其几
何意义.
【教学重点】熟练求函数的最大（小）值。
【教学难点】理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。
【教学过程】
一、复习准备：
1.指出函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。
2. f(x)＝ax
2
＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？
3.知识回顾：增函数、减函数的定义。
二、讲授新课：
1.教学函数最大（小）值的概念：
① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？
f(x)??2x?3
，
f(x)??2x?3

x?[?1,2]
；
f(x)?x
2
?2x?1
，
f(x)?x
2
?2x?1

x?[?2,2]

② 定义 最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)
≤ M；存在x
0
∈I，使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）
③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.

2、 例题讲解：
2
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
x?1
例1（学生自学P30页例3）
例2．（P31例4）求函数
y?






- 39 -

例3．求函数
y?x?1?x
的最大值






探究：
y?
3
3
的图象与
y?
的关系？
x?2
x
（解法一：单调法； 解法二：换元法）







三、巩固练习：
1. 求下列函数的最大值和最小值：
（1）
y?3?2x?x
2
,x?[?,]
；
（2）
y?|x?1|?|x?2|












- 40 -
53
22

2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到 一些定价和住房率的数据如
右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律→建立函数模型 →求解最大值）








3、







四、归纳小结：
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含 有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范
围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
五、作业布置：
P39页A组5；B组1、2






- 41 -
房价
（元）
160
140
120
100
住房率（%）
55
65
75
85
求函数
y?2x?x?1
的最小值.

1.3.2奇偶性
【课 型】新授课
【教学要求】理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。
【教学重点】熟练判别函数的奇偶性。
【教学难点】理解奇偶性。
【教学过程】
一、复习准备：
1.提问：什么叫增函数、减函数？
2.指出f(x)＝2x
2
－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x
2
－1|的单调区间
3.对于f(x)＝x、f(x)＝x
2
、f(x)＝x
3
、f(x)＝x
4
，分别比较f(x)与f(－ x)。
二、讲授新课：
1.教学奇函数、偶函数的概念：
①给出两组图象：f(x)?x
、
f(x)?
、
f(x)?x
3
；
f(x)?x
2
、
f(x)?|x|
.
发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数：一般地，对于 函数
f(x)
定义域内的任意一个x，都有
f(?x)?f(x)
，那么函数
f(x)
叫偶函数.
③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义.
（ 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有
f(?x)??f(x)
），那么函数
f( x)
叫奇函数。
④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）
⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。
（假如f(x)是奇函数呢？）

1. 教学奇偶性判别：
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
f(x)?x




- 42 -
2
1
x
x
3
?x
2
x?[?1,2]
（2）
f(x)?

x?1

例2．判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?x
4
（2）
f(x)?x
5
（3）
f(x)?x?
11
（4）
f(x)?
2
．
xx
?
1
2
x? 1(x?0)
?
?
2
（5）
g(x)?
?
（6）
y?1?x
2
?x
2
?1

?
?< br>1
x
2
?1(x?0)
?
?2










4、教学奇偶性与单调性综合的问题：
①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞) 上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。
②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上
的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）
③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上 是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证
明。
三、巩固练习：
1、判别下列函数的奇偶性：
f(x)＝|x＋1|+|x－1| 、f(x)＝





3
x
2
、f(x)＝x＋、 f(x)＝
1
x
x< br>1?x
2
、f(x)＝x
2
,x∈[-2,3]

- 43 -

2.设f(x)＝ax
7
＋bx＋5，已知f (－7)＝－17,求f(7)的值。





3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝







4.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都 有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)

5.已知 f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（ ）函数，
且最 值是 。





四、归纳小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和 图象法，
用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与< br>奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这
两个 性质．
五、作业布置
P39页A组6；B组3
1
，求
x?1
f(x)、g(x)。

- 44 -

1.3 函数的基本性质应用
【课 型】练习课
【教学目标】
掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本 性质解决
一些问题。
【教学重点】掌握函数的基本性质。
【教学难点】应用性质解决问题。
【教学过程】
一、复习准备：
1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？
2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？
二、教学典型习例:
1.函数性质综合题型：
①出示例1：作出函数y＝x
2
－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。
分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答
→ 思考：y＝|x
2
－2x－3|的图像的图像如何作？→
②讨论推广：如何由
f(x)
的图象，得到
f(|x|)
、
|f(x)|
的图象？ < br>③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是 增函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）
2. 教学函数性质的应用：
①出示例 ：求函数f(x)＝x＋
1
(x>0)的值域。
x
分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广
②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规 律为降价x元后可多销
售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时 ，销售金额最大？
最大是多少？
分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。

- 45 -

2.基本练习题：
2
?
?
?x?x(x ?0)
1、判别下列函数的奇偶性：y＝
1?x
＋
1?x
、 y＝
?
2

?
?
x?x(x?0)
（变式训练： f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=? ）







2、求函数y＝x＋
2x?1
的值域。





3、判断函数y=
x?2
x?1
单调区间并证明。
cx?d
ax?b
（定义法、图象法； 推广：






的单调性）
4、讨论y=
1?x
2
在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）





- 46 -

三、巩固练习：
ax
2
?b
1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。 （c=0）
x?c





2.已知函数f( x)=ax
2
+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。





3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。






4. 求二次函数f(x)=x
2
－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。





四、归纳小结：
本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质解题
五、作业布置
P44页A组9、10题；B组6题

- 47 -

2.1.1指数与指数幂的运算(一)
【课 型】新授课
【教学目标】
了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念
【教学重点】掌握n次方根的求解.
【教学难点】理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景
【教学过程】
一、复习准备：
1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（
a
2< br>、
a
3
）
2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么 这个数叫做a的平方根；如果一个
数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. → 记法：
a,
二. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？
实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次）
计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，问对折后的面积与厚度？
② 课本P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产 总
值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
课本P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后
t
1
5730
体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为
P?()
. 探究该式意义？
2
3
a

③小结：实践中存在着许多指数函数的应 用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科
学.
2. 教学根式的概念及运算：
① 复习实例蕴含的概念：
(?2)
2
?4
,
?2
就叫4的平方根；
3
3
?27
，3就叫27的立方根.
探究：(?3)
4
?81
,
?3
就叫做
81
的？次方 根, 依此类推,若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a的
n
次方根.
② 定义n次方根：一般地，若
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根.(
n
th root ),其中
n?1
,
n??
?

简记：
n
a
. 例如：
2
3
?8
，则
3
8?2


- 48 -

③ 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如:
3
27?3
,
3
?27??3
, 记：
x?
n
a

当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: < br>(?3)
4
?81
,
81
的4次方根就是
?3
, 记：
?
n
a

强调：负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，即.
n
0?0

④ 练习：
b
4
?a
,则
a
的4次方根为 ；
b
3
?a
, 则
a
的3次方根为 .
⑤ 定义根式：像
n
a
的式子就叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
⑥ 计算
(
2
3)
2
、
3
4
3< br>、
n
(?2)
n
→ 探究：
(
n
a)< br>n
、
n
a
n
的意义及结果？ （特殊到一般）
?
a(a?0)
结论：
(a)?a
. 当
n
是奇数 时，
a?a
；当
n
是偶数时，
a?|a|?
?
< br>?
?a(a?0)
n
n
n
n
n
n
3 、例题讲解（P
5O
例题1）：求下列各式的值
(1)


3
(?8)
3

(2)
2

)

(3)
4
?(10
(?3
?
4

)

(4)a(?b
2

)
三、巩固练习：
1. 计算或化简：
5
?32
；
3
a
6
（推广：
a
mp
?
n
a
m
， a
?
0）.



2、 化简：
5?26?7?43?6?42
；
23?
3
1.5?
6
12




3、求值化简：
四、归纳小结：
1．根式的概念：若n＞1且
n?N
*
，则
x是a的n次方根,n为奇数时,x=
n
a,

n
为偶数时，
x??
n
a
；
3
np
(?a)
3
；
4
(?7
4
)
；
6
(3?
?
6
)
；
2
(a?b)
2
（
a?b
）
?
a(a? 0)
2．掌握两个公式：
n为奇数时,(a),n为偶数时,a?|a|?
?

?a(a?0)
?
n
n
n
n
五、 作业布置： P59 、 1题.

- 49 -

2.1.1指数与指数幂的运算(二)
【课 型】新授课
【教学目标】
使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的
运算.
【教学重点】有理数指数幂的运算.
【教学难点】有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
【教学过程】
一、复习准备：
1. 提问：什么叫根式？ →根式运算性质：
(
n
a)
n
=？、
n
a
n
=？、
a
mp=？
2. 计算下列各式的值：
(
2
?b)
2
；< br>(
3
?5)
3
；
2
3
4
，
5
a
10
，
3
7
9

二、讲授新课：
1. 教学分数指数幂概念及运算性质:
① 引例：a>0时，
a?
5
(a)?a?a
→
② 定义分数指数幂：
规定
a?a(a?0,m,n?N,n?1)
；
a
m
n
n
m*
?
m
n
5
10252
10
5
3
np
a
12
??
；
3
a?(a)?a
→
2
3
2
3
3
2
3
a??
. ?
1
a
m
n
?
1
n
a
m(a?0,m,n?N
*
,n?1)

③ 练习：A.将下列根式写成分 数指数幂形式：
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
n?1)< br>；
2
3
5
；
3
5
4

B. 求值
27
；
5
；
6
；
a
.
④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指 数幂的意义后，指
数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推 广到有
理数指数幂．
指数幂的运算性质：
a?0,b?0,r,s?Q

a
r
·
a
r
?a
r?s
；
(a
r
)
s
?a
rs
；
(ab)
r
?a
r
a
s
．
2
3
2
5
?
4
3
?
5
2
2. 教学例题：
（1）、（P
51
，例2）
解：①
8?(2)?2
2
3
2
3
3
3?
2
3
?2
2
?4


- 50 -

②
25
?
1
2
?(5)
2
?
1
2
? 5
1
2?(?)
2
1
?5
?1
?

5
1
③
()
?5
?(2
?1
)
?5
?2
?1?(?5)
?32

2
3
4 ?(?)
16
?
3
2227
④
()
4
?( )
4
?()
?3
?

81338
（2）、（P51
，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（
a
＞0）
解：
a.a?a?a?a

a?

a
3
2
3
22
2
3
33
1
2
3?< br>1
2
?a

2
3
7
2
a?a?a? a
1
3
2?
?

a
4
1
3
2
2
3
8
3
a?a?a?a?(a)?a

3、无理指数幂的教学
4
3
3
2
的结果？→定义：无理指 数幂.（结合教材P
58
利用逼近的思想理解无理指数幂意义）
无理数指数幂
a
?
(a?0,
?
是无理数)
是一个确定的实数．实数指数幂的运 算性质？
三、巩固练习：

1、练习：书P54 1、2、3 题.




25
?
3
2、求值:
27
;
16
;
()
?3
;
()
3

49
5
?
2
3
4
3
2



3、化简：
(3ab)(?8ab)?(?6ab)
；
(mn)




2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8
1 6

- 51 -

1
(2
n?1
)
2
?()
2n?1
2
4. 计算：的结果
n?2
48



a
10
1
5. 若
a
3
?3,a
10
?384,求a
3
?[()< br>7
]
n?3
的值

a
3



四. 归纳小结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.


五、作业布置：课本P59 2、4题.















- 52 -

2.1.1 指数与指数幂的运算（三）
【课 型】练习课
【教学目标】
n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.
【教学重点】掌握根式与指数幂的运算.
【教学难点】准确运用性质进行计算.
【教学过程】
一、复习提问: （学生回答,老师板演）
1. 提问：什么叫做根式? 运算性质？
2. 提问：分数指数幂如何定义？运算性质？
3. 基础习题练习： （口答下列基础题）
① n为 时，
n
x
n
?|x|?
?
......... ..
?
?
(x?0)
.
(x?0)
6
② 求下列各式的值：
二、教学典型例题：
3
2
6
;
4
16
;
81
；
6
(?2)
2
；
15
?32
；
4
x
8
；
6
a
2
b
4

例1．（P
52
，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）
(2ab)(?6ab)?(?3ab)

（2）
(mn)







例2．（P
52
例5）计算下列各式
（1）
(
3
25?125)?
4
25

（2）


- 53 -
1
4
?
38
8
2
3
1
2
1
2
1
31
6
5
6
a
2
a.a
3
2
( a
＞0）

例
1
3．.已知
a
2
?a
?
1
2
=3，求下列各式的值:
3
a
2
1
a
2
（１）
a?a
?1
； （２）
a
2
?a
?2
； （３）





三、巩固练习：

1. 化简：
(x?y)?(x?y)
.



2. 已知f(x)?
?
x
,x
1
?x
2
?0
， 试求



3.


2
1
?< br>用根式表示
(m
4
n
3
)
，
1
2
1
2
1
4
1
4
?a
?a
?
?
3
2
1
2
．
f(x
1
)?f(x
2
)
的值
其中
m,n?0
.
4. 已知x+x=3,求下列各式的值：
(1)x?x,(2)x?x.


< br>-1
1
2
?
1
2
3
2
?
3
2

- 54 -

5. 求值：
25






3
2
2
3
36
;
27
3
;
()
2
49
4
25
?
;
()
2
;
81?9
2
;
23?
3
1.5?
6
12

4
3
3
6. 已知
x?a
?3
?b
?2
, 求
4
x
2
?2a
?3
x?a
?6
的值.




11
7．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后 用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进
33
行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？






四、归纳小结：
1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.
2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
五，作业布置
化简：（1）
(9)(10)?100
2

（2）
3?22?3?22

（3）


- 55 -
a
a
?
2
3
3
2
9
2
5
aa

2.1.2 指数函数及其性质（一）
【课 型】新授课
【教学目标】
使学生了解指数函数模型的实际背景，认识 数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数
函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指 数函数的性质.
【教学重点】掌握指数函数的的性质．
【教学难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
【教学过程】
一、复习准备：
1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？
2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？
二、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：
① 探究两个实例：
A．细胞分裂 时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂
成8个，如此下去，如果第 x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是
什么？
B．一种放射性物质 不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间
x年为自变量，残留量y的函数 关系式是什么？
② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数（expo nential function），其中x是自
变量，函数的定义域为R.
④讨论：为什么规定
a
＞0且
a
≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模
型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
y?()
x
，
y?2
x
（师生共作→小结作法）
1
2

- 56 -

④ 探讨：函数
y?2
x
与
y?()x
的图象有什么关系？如何由
y?2
x
的图象画出
y?()x
的图象？
根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或13等后？
⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)
3、例题讲解
例1：（P
56
例6）已知指数函数
f(x)?a
x
（< br>a
＞0且
a
≠1）的图象过点（3，π），求
f(0),f(1),f (?3)的值.

1
2
1
2






例2：（P
56
例7）比较下列各题中的个值的大小
（1）1.7
2.5
与 1.7
3
( 2 )
0.8
?0.1
与
0.8
?0.2

( 3 ) 1.7
0.3
与

0.9
3.1






例3：求下列函数的定义域：
（1）
y?2



4
x?4
2
（2）
y?()
|x|

3

- 57 -

三、巩固练习：
4、





5、




2.5
?0.2
4,
,
2.5
1.6
. 3、 比 较大小：
a?0.8
0.7
,b?0.8
0.9
,c?1.2
0.8
；
1
0
,0.
?
2
P
58
1、2题 函数
y?(a
2
?3a?3)a
x
是指数函数，则
a< br>的值为 .





4、探究：在[m ，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？





四、归纳小结
1、理解指数函数
y?a
x
(a?0),注意a?1与0?a?1两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思
想 .
五、作业布置
P
59
习题2.1 A组第5、7、8题

- 58 -

2.1.2指数函数及其性质（二）
【课 型】新授课
【教学目标】
熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域 、值域，判断其单调性；
培养学生数学应用意识
【教学重点】掌握指数函数的性质及应用．
【教学难点】理解指数函数的简单应用模型．
【教学过程】
一、复习准备：
1. 提问： 指数函数的定义？底数a可否为负值？为什么？为什么不取a=1？指数函数的图象
是2. 在同一坐标 系中，作出函数图象的草图：
y?2
x
，
y?()
x
，y?5
x
，
y?()
x
,
y?10
x
,
y?()
x

3. 提问：指数函数具有哪些性质？
二、讲授新课：
1.教学指数函数的应用模型：
① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世
界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达
到13 亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本
国策．
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少
倍？
(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？
（师生共同读题摘要→ 讨论方法 → 师生共练→ 小结：从特殊到一般的归纳法）
② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的
总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？
③ 小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →一般形
式：
2. 教学指数形式的函数定义域、值域：
① 讨论：在[m，n]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域？
② 出示例1. 求下列函数的定义域、值域：
y?2?1
;
y?3

- 59 -
x
5x?1
1
2
1
5
1
10
;
y?0.4
1
x?1
.

讨论方法 → 师生共练 → 小结：方法（单调法、基本函数法、图象法、观察法）
② 出示例2. 求函数
y?2
?x
?
的定义域和值域.
讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？

3、例题讲解
2
x
?1
例1求函数
y?
x
的定义域和值域，并讨论函 数的单调性、奇偶性.
2?1
1
2








例2（P
57
例8）截止到1999年底 ，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长
率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数 最多为多少（精确到亿）？






例3、已知函数
y?9
x
?2?3
x
?2,x?
?1,2
?
，求这个函数的值域






- 60 -

三、巩固练习：
1、P
58
、3


2、 一片树林中现有木材3000 0m
3
，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym
3
，写出x
，
y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m
3






3
?
2
?
1
3
0.76?0.75
22
3. 比较下列各组数的大小：
()与（0.4）
；
（）
.
与（3）
53








四、归纳小结
本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住
a
＞1或0＜
a
＜时
y?a
x
的图象，在此
基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形 如
y?ka
x
（a＞0且
a
≠1）.
五、作业布置
1、P
59
、9
2、设
y
1
?a
3x? 1
,y
2
?a
?2x
,
其中
a
＞0，a
≠1，确定
x
为何值时，有：
①
y
1
?y
2
②
y
1
＞
y
2



- 61 -

2.2.1对数与对数运算 （一）
【课 型】新授课
【教学目标】
理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互化．
【教学重点】掌握对数式与指数式的相互转化.
【教学难点】对数概念的理解.
【教学过程】
一、复习准备：
1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭
（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （ 得到：
()
4
＝？，
()
x
＝0.125
?
x=?）
2.问题 2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年
国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：
(1?8%)
x
=2
?
x=? ）
问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由
1.01
x
?m
求x
1
2
1
2
二、讲授新课：
1. 教学对数的概念：
① 定义：一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.
记作
x?log
a
N
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 → 探究问题1、2的指化对
② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数
log
10
N
简记为lgN 在科学 技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自
然对数，并把自然对数
log
e
N
简记作lnN → 认识：lg5 lg3.5； ln10； ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （
a?0,a?1
时，a
x
?N
?
x?log
a
N
）
负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N > 0 ）
log
a
1??
，
log
a
a??

n
log
a
N
loga?n

a?N
④：对数公式，
a

2. 教学指数式与对数式的互化：

- 62 -

① 出示例1. 将下列指数式写成对数式：
5
3
?125
；
2
?7
?
1
；
3
a
?27
；
10
?2
?0.01

128
（学生试练 → 订正→ 注意：对数符号的书写，与真数才能构成整体）
② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：
log
1
32??5
； lg0.001=-3； ln100=4.606
2
（学生试练 → 订正 → 变式：
log
1
32??
lg0.001=？ ）
2
3、例题讲解
例1（P
63
例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）5
4
=645 （2）
2
?6
?
2
11
（3）
()
m
?5.73

643
（4）
log
1
16??4
（5）
log
10
0.01??2
（6）
log
e
10?2.303











例2：（P
63
例2）求下列各式中x的值
2
（1）
log
64
x??
（2）
log
x
8?6
（3）
lg100?x
（4）
?lne
2
?x

3







三、巩固练习：

- 63 -

1. 课本64页练习1、2、3、4题







2．计算：
log
9
27
；
log
3
243
；
log
3
81
；
log
(2?3)
(2?3)
；
log
4
3
4
5
625
.



3．求
a
log
a
b?log
b
c?l og
c
N
的值(a,b,c?R
+
,
且不等于1，N＞0） .


4．计算
3






四. 归纳小结：
对数的定义：
a
b
?N?b?log
a
N
(a
＞0且
a
≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数
对数的性质 ：
log

1

a
＞0且
a
≠1
a
a?


五．作业布置：P74、1、2

- 64 -
log
3
5
?3
log
3
1
5
的值.
a
log
a
N
?N

2.2.1对数与对数运算（二）
【课 型】新授课
【教学目标】
掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问
题.
【教学重点】运用对数运算性质解决问题
【教学难点】对数运算性质的证明方法
【教学过程】
一、复习准备：
1． 提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对 数式的互化：
a
x
?N
?
x?log
a
N

2． 提问：指数幂的运算性质？
二、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：

① 引例： 由
a
p
a
q< br>?a
p?q
，如何探讨
log
a
MN
和
lo g
a
M
、
log
a
N
之间的关系？
设
log
a
M?p
,
log
a
N?q< br>，由对数的定义可得：M=
a
p
，N=
a
q

∴MN=
a
p
a
q
=
a
p?q

∴
log
a
MN=p+q，即得
log
a
MN=< br>log
a
M +
log
a
N


② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 ，则
log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
;
log
a
M
=log
a
M-log
a
N
；
log
a
M
n
=nlog
a
M(n?R)

N

③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先 通过假设，将
对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成< br>对数式）
④ 运用换底公式推导下列结论：
log
a
b
n< br>?
m
1
n

log
a
b
；
log
a
b?
log
b
a
m

- 65 -

2. 教学例题：
例1. 判断下列式子是否正确，（
a＞0且
a
≠1，
x
＞0且
a
≠1，
x
＞0，
x
＞
y
），
（1）
log
a
x? log
a
y?log
a
(x?y)
（2）
log< br>a
x?log
a
y?log
a
(x?y)

（3）
log
a
x
?log
a
x?log
a
y
（4）
log
a
xy?log
a
x?lo g
a
y

y
1

x
（5）
(lo g
a
x)
n
?nlog
a
x
（6 ）
log
a
x??log
a
（7）
n
log
a
x?







1
log
a
x

n
例2（ P
65
例3例4）：用
log
a
x
，
log
a
y
，
log
a
z
表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）
小 题的值.
x
2
y
xy
（1）
log
a
（2）
log
a
3
（3）
log
z
(4
7
?2
5
)
（4）
lg
5
100

z
8












- 66 -

三、巩固练习：
1、P
68
1、2、3


3. 设
lg2?a
,
lg3?b
，试用a
、
b
表示
log
5
12
.
变式： 已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg
3
的值.


3、计算：
lg14?2lg?lg7?lg18
；
4. 试求
lg
2
2?lg2?lg5?lg5
的值


5. 设
a
、
b
、
c
为正数，且
3
a
?4
b
?6
c
，求证：
??









四 、归纳小结：
对数运算性质及推导；运用对数运算性质；换底公式.
五、作业布置：P743、4、5




1
c
1
a
1

2b
7
3
lg27?lg8?3lg10
lg243
； .
lg1.2
lg9

- 67 -

2.2.1对数与对数运算（三）
【课 型】新授课
【教学目标】
能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解 决应用问
题的能力．
【教学重点】用对数运算解决实践问题.
【教学难点】如何转化为数学问题
【教学过程】
一、复习准备：
1. 提问：对数的运算性质及换底公式？
2. 已知
log
2
3 = a，
log
3
7 = b, 用 a, b 表示
log
42
56
3. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果 人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我
国人口总数将超过14亿？ （答案：
12?(1?0.0125)
x
?14
→
1.0125
x
?
→
x?
二、讲授新课：
1 .教学对数运算的实践应用：让学生自己阅读思考P
67
~P
68
的例5，例 6的题目，教师点
拨思考：
① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用
测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线 的振幅就越大. 这就是我
们常说的里氏震级M，其计算公式为：
M?lgA?lgA
0
，其中A是被测地震的最大振幅，
A
0
是
“标准地震”的振幅（使 用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离 震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时
标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最 大振幅是5级地震最大振幅的多
少倍？（精确到1）
② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确 定的规律衰减，大约每经过5730年
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们 获得了生物体碳14含量P
与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的

- 68 -
7
6
lg7?lg6

?12.4
）
lg1.0125

关系，指出是我们所学过的何种函数？
（Ⅱ）已 知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来
解释P和t之间的关系 ，指出是我们所学过的何种函数？
（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？
④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
1
结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数
P?(
5730
)< br>x
；
2
6、 例题选讲
例1、已知：
log
18
8?a,18
b
?5,求log
36
45
（用含a，b的式 子表示）









例2、计算
log
2









111
?log
3
?log
5

2589

- 69 -

例3，
已lgx?lgy?2lg(x?2y)
求
log









三、巩固练习：
1. 计算：
5
1?log





0.2
3
2
x
的值
y
；
log
4
3?log
9
2?log
1
4
32

2
2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？






3 . P
68
、4

四、归纳小结：
初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象
五、作业布置
P749、11、12

- 70 -

2.2.2对数函数及其性质（一）
【课 型】新授课
【教学目标】
通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的 概念，体
会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象
和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题.
【教学重点】对数函数的图象和性质
【教学难点】对数函数的图象和性质及应用
【教学过程】
一、复习准备：
1. 画出
y?2
x
、
y? ()
x
的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.
2. 根据教材P
73
例，用计算器可以完成下表：
碳14的含量P
生物死亡年数t
0.5

0.3

0.1

0.01 0.001

1
2
讨论：t与P的关系？（对每 一个碳14的含量P的取值，通过对应关系
t?log
5730
1
P
，生物
2
死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数）
二、讲授新课：
1.教学对数函数的图象和性质：

① 定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数
y=log
a
x
叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）
y?log
5
(5x)
② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形 式定义，注意辨别，如：
y?2log
2
x
，
都不是对数函数，而只 能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制
(a?0
，且
a?1)
．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．


- 71 -

④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象
y?log
2
x
；
y?log
0.5
x


⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？
列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）
引申：图象的分布规律？

2、总结出的表格

图象的特征
（1）图象都在
y
轴的右边
（2）函数图象都经过（1，0）点
函数的性质
（1）定义域是（0，+∞）
（2）1的对数是0
x
（3）从左往右看，当
a
＞1时，图象逐
（3）当
a
＞1时，y?log
a
是增函数，当
渐上升，当0＜
a
＜1时，图象逐渐下降 .
0＜
a
＜1时，
y?log
a
x
是减函数.
（4）当
a
＞1时
（4）当
a
＞1时，函数图象在（1， 0）
点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点

x
＞1，则
log
a
x
＞0
左边的纵坐标都小于0. 当0＜
a
＜1时，
0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0
图象正好相反，在（1，0）点右边的纵当0＜
a
＜1时
坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐

x
＞1，则
log
a
x
＜0
标都大于0 .

2. 教学例题
例1：（P71例7）求下列函数的定义域
（1）
y?log
a
x
2
（2）
y?log
a
(4?x)
（
a
＞0且
a
≠1）



0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0

- 72 -

例2. （P72例8）比较下列各组数中的两个值大小
（1）
log
2
3.4,log
2
8.5

（2）
log
0.3
1.8,log
0.3
2.7

（3）
log
a
5.1,log
a
5.9
（
a
＞0，且
a
≠1）

三、巩固练习：
1、P73页3、4题


2．求下列函数的定义域：
y?log
0.2
(?x?6)
；
y?
3
log
2
x
.


3．比较下列各题中两个数值的大小：
log
2
3和log
2
3.5
；
log
0.3
4和log
0.2
0.7
；
log
0.7
1 .6和log
0.7
1.8
；
log
2
3和log
3
2
．


4. 已知下列不等式，比较正数m、n的大小：
log
3
m＜
log
3
n ；
log
0.3
m＞
log
0.3
n ；
log
a
m＞
log
a
n (a＞1)


5. 探究：求定义域
y?log
2
(3x?5)
；y?log
0.5
4x?3
.



四、归纳小结：
对数函数的概念、图象和性质; 求定义域；利用单调性比大小.
五、作业布置
P74页7、8、10

- 73 -

2.2.2 对数函数及其性质（二）
【课 型】新授课
【教学目标】
了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学 习反函数
的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数< br>的图象性质.
【教学重点与难点】理解反函数的概念
【教学过程】
一、复习准备：
1. 提问：对数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
的图象和性质？
2. 比较两个对数的大小：
log
10
7
与
log
10
12
；
log0.7
与
log
0.5
0.8

0.5
3. 求函数的定义域
y?
?
1?log
3
2x
?
；
y?log
a
(2x?8)

二、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用:
① 出示例题（P72例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度p H的计算公式
pH??lg[H
?
]
，
其中
[H
?
]
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升.
（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？
（Ⅱ）纯净水
[H
?
]?10
?7
摩尔升，计算纯净水的酸碱度.
②讨论：抽象出的函数模型？ 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想
2．反函数的教学:
① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把
这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function）
② 探究：如何由
y?2
x
求出x？
③ 分析：函数
x?log2
y
由
y?2
x
解出，是把指数函数
y?2
x
中的自变量与因变量对调位置而得
出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为
y?log
2
x
. < br>那么我们就说指数函数
y?2
x
与对数函数
y?log
2x
互为反函数
④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数
y?2
x< br>及其反函数
y?log
2
x
图象，发现什么性质？
⑤ 分析 ：取
y?2
x
图象上的几个点，说出它们关于直线
y?x
的对称点的 坐标，并判断它们是
?1

- 74 -

否在
y?log
2
x
的图象上，为什么？
⑥ 探究：如果
P
0
(x
0
,y
0
)在函数
y?2
x
的图象上，那么P
0
关于直线
y?x< br>的对称点在函数
y?log
2
x
的图象上吗，为什么？
由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线
y?x
对称)

3、例题讲解
例1、求下列函数的反函数
（1）
y?5
x
（2）
y?log
0.5
x













例2、求函数
log
1
(x
2
?6x?17)
的定义域、值域和单调区间
2








三、巩固练习：

- 75 -

1练习：求下列函数的反函数：
y?3
x
；
y?lo
6
gx

（师生共练 → 小结步骤：解x ；习惯表示；定义域）





2.求下列函数的反函数： y=
(2)
x
(x∈R)； y=
log
a




3． 己知函数
f (x)?a
x
?k
的图象过点（1，3）其反函数
y?f
-1
?
x
?
的图象过（2，0）点，求
f
?
x
?的表达式.





4．教材P75、B组1、2



四、归纳小结：
函数模型应用思想；反函数概念；阅读P73材料

五、作业布置
P74页、9、12



x
(a＞0,a≠1,x＞0)
2
- 76 -

2.3幂函数
【课 型】新授课
【教学目标】
通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体 会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能
进行简单的应用.
【教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
【教学难点】画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
【教学过程】
一、新课引入：
（1）边长为
a
的正方形面积
S?a
2< br>，这里
S
是
a
的函数；
（2）面积为
S
的 正方形边长
a?S
，这里
a
是
S
的函数；
（3） 边长为
a
的立方体体积
V?a
3
，这里
V
是
a
的函数；
（4）某人
ts
内骑车行进了1
km
，则他 骑车的平均速度
v?t
?1
kms
，这里
v
是
t< br>的函数；
（5）购买每本1元的练习本
w
本，则需支付
p?w
元，这里
p
是
w
的函数.
观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）
二、讲授新课：
1、教学幂函数的图象与性质
① 给出定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数.

② 练：判断 在函数
y?,y?2x
2
,y?x
3
?x,y?1
中，哪几 个函数是幂函数？

③ 作出下列函数的图象：（1）
y?x
；（2）y?x
；（3）
y?x
2
；（4）
y?x
?1
；（5）
y?x
3
．

④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，
幂函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；


1
2
1
2
1
x
- 77 -

（Ⅲ）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函< br>当
x
从右边趋向原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
数．在第一象限内，
轴正半轴，当
x
趋于





2、教学例题：
例1（P78例1）．证明幂函数
f(x)?x在[0,??]
上是增函数
证：任取
x
1
,x
2
?[0,??),且x
1
＜< br>x
2
则

f(x?f(x?
1
)
2
)
=
1
x?

2
x

(x
1
?x< br>2
)(x
1
?x
2
)
x
1
?x2
=
x
1
?x
2

x
1
?x
2
因
x
1
?x
2
＜0，
x
1
?x
2
＞0
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
，即
f(x)?x在[0,??]
上是增函数.

例2. 比较大小：
(a?1)
与
a
；
(2?a)
与
2
；
1.1
与
0.9
.

、







1.5
1.5
2< br>?
2
3
?
2
3
?
1
2
?< br>1
2
- 78 -

三、巩固练习：
1、论函数
y?x
的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．







2. 比较下列各题中幂值的大小：
2.3
与
2.4
；
0.31
与
0.35
；
(2)
与
(3)
.










四、归纳小结：
提问方式 ：
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

五、作业布置
P79页1、2、3题



3
4
2
3
3
4
6
5
6
5
?
3
2
?
3
2
- 79 -

第二章、基本初等函数习题课
【课 型】复习课
【教学要求】
掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数 函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指
数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.
【教学重点】指数函数的图象和性质.
【教学难点】指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.
【教学过程】
一、复习准备：
1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.

2. 求下列函数的定义域：
y?8

3. 比较下列各组中两个值的大小：
log
6
7与log
7
6
；
log
3?
与log
2
0.8
；
1.01
2.7
与1. 01
3.5


二、典型例题：
例1：已知
log
54
27
＝
a
，54
b
＝3，用
a,b表示lo g
108
81
的值
解法1：由
54
b
＝3得log
54
3
＝b
∴
log
108
81＝
log
54
81log
54
27?log
54
3
a?ba?b
??
＝
log
54
108log
54
2?12?log
54
272?a
1
2x?1
?1
?
；
y?1?
??
；
y?log
a
(1?x)
2
(a?0,且a?1)

?
2
?
x< br>解法2：由
log
54
27?a得54?27

设
x?log
108
81,则108
x
?81
< br>所以
(54
2
?27
?1
)
x
?3?27< br>
即：
(54
2
?54
?a
)
x
? 54
b
?54
a

所以
54
2x?ax
? 54
a?b
,即2x?ax?a?b

因此得：
x?

a?b

2?a
- 80 -

例2、函数
y?log
1
x?2
的定义域为 .
2



例3、函数
y?()
x


例4、已知函数
f(x)?log
a





例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为
a
元，每期利率为< br>r
，设本利和为
y
元，存期为
x
，
写出本利和
y
随存期
x
变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25% ，试计
算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利
息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）
（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数 的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的
应用问题. ）





三、 巩固练习：
1.函数
y?log
3
(?4x?5)
的定义域为 .，值域为 .


- 81 -
1
2
2
?3x?2
的单调区间为 .
1?x
(a?0且a?1)
.判断
f(x)
的奇偶性并予以证明.
1?x

2. 函数
y?2
?x


2
?3x?2
的单调区间为 .
1
3. 若点(2,)
既在函数
y?2
ax?b
的图象上，又在它的反函数的图象上， 则
a
=______，
b
=_______
4


4. 函数
y?a
x?2
?1
(
a?0
，且
a?1
)的图象必经过点 .



5. 计算
0.064





6. 求下列函数的值域：
y?5
1
2?x
?
1
3
?< br>4
?
3
?
?
?
?
?
?
?2
?
?
5
?
0
??
?
4
3
?16
?0.75
?0.01?
.
1
2
?
1
?

y?
??
?
3
?
1?x
?
1
?
;
y?
??
?1

y?1?2
x

?
2
?
x





四、小结
本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力
五、课后作业：
教材P82 复习参考题A组1——8题

- 82 -

3.1.1 方程的根与函数的零点
【课 型】新授课
【教学目标】
1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系 ，掌握零点存
在的判定条件．
2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值 之积的特点，找到连续函数在
某个区间上存在零点的判断方法．
【教学重点、难点】
重点: 零点的概念及存在性的判定．
难点: 零点的确定．
【学法与教学用具】
1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，
从而完 成本节课的教学目标。
2．教学用具：投影仪。
【教学过程】
(一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程 ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数
y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
（用投影仪给出）
①方程
x
2
?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?3

②方程
x
2
?2x?1?0
与函数
y?x
2
?2x?1

③方程
x
2< br>?2x?3?0
与函数
y?x
2
?2x?3






- 83 -

1．师 ：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和
x
轴交点坐标的关系，引出零
点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

（二）互动交流 研讨新知
函数零点的概念：
对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的 零点．
函数零点的意义：
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f( x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标 ．
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)< br>的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
①（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
②（几何法）对于不能用求根 公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零 点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
①代数法； ②几何法．
2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（１）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个 交点，
二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程
ax
2
?bx? c?0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与
x
轴有一

- 84 -

个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（３）△＜０，方 程
ax
2
?bx?c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无 交点，二次函数无
零点．
3．零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图象：
① 在区间
[?2,1]
上有零点______；
f(?2)?
_______，
f(1)?
_______,
．
f(?2)
·
f(1)
_____0（＜或＞＝）
② 在区间
[2,4]
上有零点______；
．
f(2)
·
f(4)
____0（＜或＞＝）
（Ⅱ）观察下面函数
y?f(x)
的图象

① 在区间
[a,b]
上______(有无)零点；
f(a)
·
f(b)
_____0（＜或＞＝）．
② 在区间
[b,c]
上______(有无)零点；
f(b)
·
f(c)
_____0（＜或＞＝）．
③ 在区间
[c,d]
上______(有无)零点；
f(c)
·
f(d)
_____0（＜或＞＝）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？



- 85 -

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合 函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是
否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

（三）、巩固深化，发展思维
1．学生在教师指导下完成下列例题
例1． 求函数f(x)=
?x
2
?2x?3
的零点个数。
问题：
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数y?x
3
?2x
2
?x?2
，并画出它的大致图象．
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的
图象，结合图象对函数 有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间 ，然后利
用函数单调性判断零点的个数．

2．P88页练习第二题的（1）、（2）小题

（四）、归纳整理，整体认识
1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；
2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。
（五）、布置作业
P88页练习第二题的（3）、（4）小题。





- 86 -

3.1.2用二分法求方程的近似解(1)
【课 型】新授课
【教学目标】
理解二分法求解方程的近似解的思想方法， 会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序
化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
【教学重点、难点】
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜
?
便可判断零点的近似值为a(或b)?
【教学设想】
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程 ㏑x＋2x－6=0的
根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一 节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，
如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定 的精确度的要
求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所 在
的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084, 因为f(2.5)*f(3)＜0,所以
零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5， 3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)
＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75 ）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；
重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在 有限次重复相同的步骤后，在一定的精
确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值 ，特别地可以将区间的端点
作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.539062 5－2.53125∣=0.0078125＜
0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x )=㏑x＋2x－6零点的近似值，即方程㏑x＋2x－
6=0近似值。

- 87 -

这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方
法．
生：认真理解二分法的函数思想，根据课本上二分法的一般步骤，探索求法。
2．为什么由︱a － b ︳＜
?
便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x
0
，则a＜x
0
＜b，则：
0＜x
0
－a＜b－a，a－b＜x
0
－b＜0；
由于︱a － b ︳＜
?
，所以
︱x
0
－ a ︳＜b－a＜
?
,︱x
0
－ b ︳＜∣ a－b∣＜
?
,
即a或b 作为零点x
0
的近似值都达到了给定的精确度
?
。

（三）、巩固深化，发展思维
1．学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2
x
＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

引导学生在方程右边的常数移 到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）
的零点。借助计算机或计算器画出函数 的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分
法求解．

（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1） 本节我们学过哪些知识内容？
（2） 你认为学习“二分法”有什么意义？
（3） 在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？

（五）、布置作业
P92习题3.1A组第4题，第5题。


- 88 -

3.1.2用二分法求方程的近似解(2)
【课 型】新授课
【教学目标】
继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数的零点两侧函数值乘积小 于0这一
结论的实质；通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.
【教学难点】
“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.
【教具准备】
多媒体课件、投影仪.
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
师：观察 二次函数f（x）=x
2
－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x
2
－2x－3
在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘 积有什么特点?在
区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?

引导学生探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，
f（1）＜0， 即f（－2）·f（1）＜0，函数f（x）=x
2
－2x－3在区间（－2，1）内有零点x =
－1，它是方程x
2
－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上， f（2）＜0，f（4）
＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x
2
－2 x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x
2
－
2x－3=0的另一个根.
我们能从二次函数的图象看到零点的性质：
1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
例如，函数 y=x
2
－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点
－ 2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.

- 89 -

2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
师：对任意函数，结论也成立 吗?同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否
得出同样的结论.
二、讲解新课
1.零点的性质
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·
f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=
0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y= f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求
根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f （x）联系起来，利用函数的性质找出零点，
从而求出方程的根.

2.应用举例
【例1】 教科书P
88
例1.
本例是考查函数零点的个数.通过它要让学 生认识到函数的图象及其基本性质（特别是单
调性）在确定函数零点中的重要作用.
（1）函 数f（x）=lnx+2x－6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书
上的图3. 1
－
3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.
（2）教科书上的表3
－
1，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得< br>对表3
－
1的认同感.通过观察表3
－
1，结合图象3.1
－
3，不难得出函数的一个零点在区间（2，
3）内.
（3）要说明函数仅有一个零点 ，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.
可以由增（减）函数的定义证明函数在（0， +∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、
h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说 明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是
增函数.

【例2】 已知函数f（x）=ax
2
+bx+1具有以下性质：
①对任意实数x
1< br>≠x
2
，且f（x
1
）=f（x
2
）时，满足x1
+x
2
=2；
②对任意x
1
、x
2
∈（1，+∞），总有f（
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
）＞.
22

- 90 -

则方程ax
2
+bx+1=0根的情况是 （ ）
A.无实数根







B.有两个不等正根
D.有两个相等正根 C.有两个异号实根
方法探究：（ 1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f（x）
是凸函数，即a＜0 ；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，
可画出函数f（x）的 草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两
个异号实根，故应选C.

（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x
1
x
2
=＜0，可知f（x）
=0有两个异号实根，故应选C.

方法 技巧：解析（2）的求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数
形结合思想解题可 以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函
数语言之中有1个没有转化 （或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结
合思想解题，要注意由数到形，由形到 数转化过程的等价性.

【例3】 研究方程|x
2
－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.
方法探究：纯粹从 解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角
度分析，只需研究函数y=|x< br>2
－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.
解：设y=|x
2
－ 2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个
函数的图象，它们 的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两
个实根；当a=4时，有 三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.
1
a

方法技巧：有关实根个数 的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个
步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画 出图象，关键点画图要准确.

- 91 -

三、课堂练习
教科书P
88
练习题1.（1）（2）

四、课堂小结
1.本节学习的数学知识：
零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.
2.本节学习的数学方法：
归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.

五、布置作业
教科书P
92
习题3.1 1、2、3.

补充题：
1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所示，令g（x）= af（x）+b，则
下列关于函数g（x）的叙述正确的是

A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称
B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有大于2的零点
C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点
D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点
2.方程x
2
－2mx +m
2
－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________. 3.已知二次函数f（x）=x
2
+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内至少存 在一个实数c，使
得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.
课后记：

- 92 -

3.2.1几类不同增长的函数模型
【课 型】新授课
【教学目标】
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增
长差异性.
【教学重点、难点】
1. 教学重点 将实际问题转化 为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函
数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.
【学法与教学用具】
1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.
2．教学用具：多媒体.
【教学过程】
（一）引入实例，创设情景.
教 师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由
学生自己根据数量 关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数
量关系的分析、函数模型的选 择上作指导.
（二）互动交流，探求新知.
1. 观察数据，体会模型.
教师引 导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出
自己的发现，并进行交 流.
2. 作出图象，描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析 三种方案的不同变化趋势，并进
行描述，为方案选择提供依据.
（三）实例运用，巩固提高.
1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的
收 益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息
做出推理判 断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.
2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问

- 93 -

题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际 中广泛应用，体
会它们的增长差异.
3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金 总额是否超出5万元，以及奖励
比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与 作用进行分析、判断。
4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分 析比较，
写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求. 5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数
y?x
n
（
n
＞0）、指数函数
y?a
n
（
a
＞1）、对数函数y?log
a
x
（
a
＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异， 并从函数的
性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告. 教师对学生的结论进行评
析，借助信息技术手段进行验证演示.
6. 课堂练习
教材P
98
练习1、2，并由学生演示，进行讲评。

（四）归纳总结，提升认识.
教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸 、对数增长等不同函数模
型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数 学的实用价值
和内在变化规律.

（五）布置作业
教材P
107
练习第2题
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、 指数函数、对数函数的实例，对它们的
增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用，并思考。有时同一 个实际问题可以建立多个函
数模型，在具体应用函数模型时，应该怎样选用合理的函数模型.







- 94 -

3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）
【课 型】新授课
【教学目标】
能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实
际问题.
【教学重点与难点】
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.
【学法与教学用具】
1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.
2. 教学用具：多媒体
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙 子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今
有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几 何？”这四句的意思就是：有若干只
有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更好的方法？老
师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成 了“独脚鸡”
和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子 数，
即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
（二）结合实例，探求新知
例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以< br>120kmh匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车
离开北京2h内行驶的路程.
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）所涉及的变量的关系如何？
3）写出本例的解答过程.

- 95 -

老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.
学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.


例2．某商店出 售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两
种优惠办法：
1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？
2）本例涉及到几个函数模型？
3）如何理解“更省钱？”；
4）写出具体的解答过程.
在学生自主思考，相互讨 论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是
用数学语言模拟现实的一种模型，它把实 际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用
数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的 关键。数学模型可采用各种形式，如方程
（组），函数解析式，图形与网络等 .



课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提
高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他
因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2
x
元，则每天客房出租数为300－1 0
x
，由
x
＞0，且300－10
x
＞
0得：0＜
x
＜30

- 96 -

设客房租金总上收入
y
元，则有：
y
=（20+2
x
）(300－10
x
)
=－20(
x
－10)
2
＋ 8000（0＜
x
＜30）
由二次函数性质可知当
x
=10时，
y
max
=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
课堂练习2 要建一个容积为8m
3
，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁 的造价
每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造< br>价.


（三）归纳整理，发展思维.
引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：
1） 合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为
函数模型问题：
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观
性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.


（四）布置作业
作业：教材P
107
习题3.2（A组）第3 、4题：


- 97 -

3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）
【课 型】新授课
【教学目标】
能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题， 进一步感受运用函数概念建
立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.
【 教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.
【学法与教学用具】
1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.
2. 教学用具：多媒体
【教学设想】
（一）创设情景，揭示课题.
现实生活中有些 实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其
蕴含的关系来建立. 对于已给定 数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，
验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度 .
（二）实例尝试，探求新知
例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
1）写出速度
v
关于时间
t
的函数解析式；
2）写出汽车行驶路程
y
关于时间
t
的函数关系式，并作图象；
3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
4）假设这辆汽车的里程表在汽车 行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段
路程时汽车里程表读数
s
与时间
t
的函数解析式，并作出相应的图象.
本例所涉及的数学模型是确定的，需要 利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，
此例分段函数模型刻画实际问题.
教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.
注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.
例2. 人 口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效
控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模
型：

- 98 -

y?y
0
e
rt

其中
t
表示经过的时间 ，
y
0
表示
t?0
时的人口数，
r
表示人口的年均 增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份
人数
年份
人数
1950
55196
1955
61456
1951
56300
1956
62828
1952
57482
1957
64563
1953
58796
1958
65994
1954
60266
1959
67207
1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时 期的人口增长率（精确到0.0001），用
马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长 模型，并检验所得模型与实际人口
数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
探索以下问题：
1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？
如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
本例的题型 是利用给定的指数函数模型
y?y
0
e
rt
解决实际问题的一类问题 ，引导学生认识
到确定具体函数模型的关键是确定两个参数
y
0
与
t
.
完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.
在验证问题中的数 据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作
出所确定函数的图象，并由表中数 据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合
程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系 的一种形式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确
定
t
的近似值.
课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数 量分别为1万件，1.2万件，1.3
万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月
产量
t
与月份的
x
关系，模拟函数可以选 用二次函数或函数
y?ab
x
?c(其中a,b,c为常数)
.已知4

- 99 -

月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作 为模拟函数较好，并说明理由.
探索以下问题：
1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？
2）如何对所确定的函数模型进行评价？
本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.
引导学生认识到 比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价
的依据.
本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.
（三）. 归纳小结，发展思维.
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；
1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合 函数解决实际问题的一般方法，指出函
数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重 要思想方法. 利用函数思想
解决实际问题的基本过程如下：

收
集
数

据
画
散
点
图
选
择
函
数
模
型
求
函
数
模
型
检
验
符合
实际

不符合实际
从以上各例体会到：根据收集到的数据 ，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用
的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用 待定系数法得出具体的函数解析式，再
利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过 程.
图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数
对应关系的一种形式向另一种转化.
（四）布置作业：教材P
107
习题3.2（A组）第6题.

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