人教A版高中数学必修1课后习题及答案(全部三章)

高中数学必修1课后习题答案
第一章 集合与函数概念
1．1集合
1．1．1集合的含义与表示
练习（第5页）
1．用符号“
?
”或“
?
”填空：
（1）设
A
为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______
A
，美国_______< br>A
，
印度_______
A
，英国_______
A
；
（2）若
A?{x|x?x}
，则
?1
_______
A
；
（3）若
B?{x|x?x?6?0}
，则
3
_______
B
；
（4）若
C?{x?N|1?x?10}
，则
8
_______
C
，
9.1
_______
C
．
1．（1）中国
?
A
，美国
?
A
，印度
?
A
，英国
?
A
；
中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．
2
2
}?{0,
．
1}
（2）
?1
?
A

A?{x|x?x

,2
（3）
3
?
B

B?{x|x?x?6?0}?{?3
．
}
（4）
8
?
C
，
9.1
?
C

9.1?N
．
2．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程
x
2
?9?0
的所有实数根组成的集合；
（2）由小于
8
的所有素数组成的集合；
（3）一次函数
y?x? 3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合；
（4）不等式
4x?5?3
的解集．
2．解：（1）因为方程
x< br>2
?9?0
的实数根为
x
1
??3,x
2
? 3
，
所以由方程
x
2
?9?0
的 所有实数根组成的集合为
{?3,3}
；
（2）因为小于
8
的素数为
2,3,5,7
，
所以由小于
8
的所有素数组成的集合为
{2,3,5,7}
；
2
2
?
y?x?3
?
x?1
（3）由
?
，得
?
，
y??2x?6y?4
??
即一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点为
(1,4)
，

第1页 共45页

所以一次函数
y?x?3
与
y??2x?6
的图象的交点组成的集合为
{(1,4)}；
（4）由
4x?5?3
，得
x?2
，
所以不等式
4x?5?3
的解集为
{x|x?2}
．
1．1．2集合间的基本关系
练习（第7页）
1．写出集合
{a,b,c}
的所有子集．
1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得
?
；
取一个元素，得
{a},{b},{c}
；
取两个元素，得
{a,b},{a,c},{b,c}
；
取三个元素，得
{a,b,c}
，
即集合
{a,b,c}
的所有子集为
?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}< br>．
2．用适当的符号填空：
（1）
a
______
{a,b,c}
； （2）
0
______
{x|x?0}
；
（3）
?
______
{x?R|x?1?0}
； （4）
{0,1}
______
N
；
（5）
{0}
______
{x|x?x}
； （6）
{2,1}
______
{x|x?3x?2?0}
．
2．（1）
a?{a,b,c}

a
是集合
{a,b,c}
中的一个元素；
22
2
2
}
（2）
0?{x|x?0}

{x|x?0?
2
22
{
；
0}

2
（3）
??{x?R|x?1?0}
方程
x
2?1?0
无实数根，
{x?R|x?1?0}??
；
（4）
{ 0,1}
（5）
{0}
是自然数集合
N
的子集，也是真子集；
N
（或
{0,1}?N
）
{0,1}
{x|x
2
?x}
（或
{0}?{x|x
2
?x}
）
{x|x
2
?x}?{0,
；
1}

2
2
（6）
{2,1}?{x|x?3x?2?0}
方程< br>x?3x?2?0
两根为
x
1
?1,x
2
?2
．
3．判断下列两个集合之间的关系：
（1）
A?{1,2,4}
，
B?{x|x是8的约数}
；
（2）
A?{x|x?3k,k?N}
，
B?{x|x?6z,z?N}
；
（3）
A?{x|x是4与10的公倍数,x?N
?
}
，
B ?{x|x?20m,m?N
?
}
．

第2页 共45页

3．解：（1）因为
B?{x|x是8的约数}?{1, 2,4,8}
，所以
AB
；
（2）当
k?2z
时，
3k?6z
；当
k?2z?1
时，
3k?6z?3
，
即
B
是
A
的真子集，
BA
；
（3） 因为
4
与
10
的最小公倍数是
20
，所以
A?B< br>．
1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）
1．设
A?{3,5,6,8},B?{4,5,7,8}
，求
A
1．解：
A

A
B,AB
．
B?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{5,8}
，
B?{3,5,6,8}{4,5,7,8}?{3,4,5,6,7,8}
．
22
2．设
A?{x|x?4x?5?0},B?{x|x?1}
，求
A
2．解：方程
x
2
?4x?5?0
的两根为
x
1
? ?1,x
2
?5
，
方程
x
2
?1 ?0
的两根为
x
1
??1,x
2
?1
，
得
A?{?1,5},B?{?1,1}
，
即
A
B,AB
．
B?{?1},AB?{?1,1,5}
．
B,AB
． 3．已知
A?{x|x是等腰三角形}
，
B?{x|x 是直角三角形}
，求
A
3．解：
A

A
B?{x|x是等腰直角三角形}
，
B?{x|x是等腰三角形或直角三角形}
．
4．已知全集
U?{1,2, 3,4,5,6,7}
，
A?{2,4,5},B?{1,3,5,7}
，
求
A(痧(?
U
B)
．
U
B),(
U
A)
1,3,6,7}
， 4．解：显然?
U
B?{2,4,6}
，
?
U
A?{
则A(?
U
B)?{2,4}
，
(痧(
U
B)?{6}< br>．
U
A)
1．1集合
习题1．1 （第11页） A组

1．用符号“
?
”或“
?
”填空：

第3页 共45页

（1）
3
_______
Q
； （2）
3
2
______
N
； （3）
?
_______
Q
；
2
（4）
2
_______
R
； （5）
9
_______
Z
； （6）
(5)
_______
N
．
2
7
1．（1）
3?Q

3
是有理数； （2）
3
2
?N

3
2
?9
是个自然数；
（3）
?
?Q

?
是个无理数，不是有理数； （4）
2?R

（5）
9?Z

2
7
2
7
2
是实数；
9?3
是个整数； （6）
(5)
2
?N

(5
2
)?5
是个自然数．
2．已知
A?{x|x?3k?1,k?Z}
，用 “
?
”或“
?
” 符号填空：
（1）
5
_______
A
； （2）
7
_______
A
； （3）
?10
_______
A
．
2．（1）
5?A
； （2）
7?A
； （3）
?10?A
．
当
k?2
时，
3k? 1?5
；当
k??3
时，
3k?1??10
；
3．用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于
1
且小于
6
的整数；
（2）
A?{x|(x?1)(x?2)?0}
；
（3）
B?{x?Z|?3?2x?1?3}
．
3．解：（1）大于
1
且小于
6
的整数为
2,3,4,5
，即
{2,3,4, 5}
为所求；
（2）方程
(x?1)(x?2)?0
的两个实根为
x
1
??2,x
2
?1
，即
{?2,1}
为所求；
（3）由不等式
?3?2x?1?3
，得
?1?x?2
，且
x?Z
，即
{0,1,2}
为所求．
4．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数
y?x?4
的函数值组成的集合；
2
2
的自变量的值组成的集合；
x
（3）不等式
3x?4?2x
的解集．
（2）反比例函数
y?
4．解：（1）显然有
x
2
?0
，得
x
2< br>?4??4
，即
y??4
，
得二次函数
y?x?4
的函数值组成的集合为
{y|y??4}
；
2
2
的自变量的值组成的集合为
{x|x?0}
；
x44
（3）由不等式
3x?4?2x
，得
x?
，即不等式
3x?4?2x
的解集为
{x|x?}
．
5
5
（2）显 然有
x?0
，得反比例函数
y?
5．选用适当的符号填空：
（1）已知集合
A?{x|2x?3?3x},B?{x|x?2}
，则有：

?4
_______
B
；
?3
_______
A
；
{2}
_______
B
；
B
_______
A
；

第4页 共45页

（2）已知集合
A?{x|x?1?0}
，则有：

1
_______
A
；
{?1}
_______
A
；
?
_______
A
；
{1,
_______
A
；
?1}
（3）
{x |x是菱形}
_______
{x|x是平行四边形}
；

{x|x是等腰三角形}
_______
{x|x是等边三角形}
．
5．（1）
?4?B
；
?3?A
；
{2}
B
；
B
2
A
；

2x?3?3x?x??3
，即
A?{x|x??3},B?{x|x?2}
；
（2）
1?A
；
{?1}
2
A
；
?
=
A
；
?1}
A
；
{1,

A?{x|x?1?0}?{?1,1}
；
（3）
{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
；
菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；
{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}
．
等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
6．设集合
A ?{x|2?x?4},B?{x|3x?7?8?2x}
，求
AB,AB
．
6．解：
3x?7?8?2x
，即
x?3
，得
A?{x|2?x? 4},B?{x|x?3}
，
则
AB?{x|x?2}
，
AB?{x|3?x?4}
．
7．设集 合
A?{x|x是小于9的正整数}
，
B?{1,2,3},C?{3,4,5,6}
，求
A

A
B
，
C
，
A(BC)
，
A(BC)
．
7．解：
A?{x|x是小于9的正整数}?{1,2,3,4,5,6,7,8}
，
则
A
而
B
则
A
B?{1,2,3}
，
AC?{3,4,5,6}
，
C?{1,2,3,4,5,6}
，
BC?{3}
，
(BC)?{1,2,3,4,5,6}
，
A(BC)?{1,2,3,4,5,6,7,8}
．
8．学校里开运动会，设
A?{x|x是参加一百米跑的同学}
，
B?{x |x是参加二百米跑的同学}
，
C?{x|x是参加四百米跑的同学}
，

第5页 共45页

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，
并解释以下集合运算的含义：（1）
AB
；（2）
AC
．
8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，
即为
(A
（1）
A
（2）
A
B)C??
．
B?{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}
；
C?{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}
．
9．设
S?{x |x是平行四边形或梯形}
，
A?{x|x是平行四边形}
，
B?{x|x是 菱形}
，
x}

C?{x|是矩形
，求
BC
，
?
A
B
，
?
S
A
．
9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即
BC?{x|x是正方形}
，
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，
即
?
A
B?{x|x是邻边不相等的平行四边形}
，

?
S
A?{x|x是梯形}
．
10．已知 集合
A?{x|3?x?7},B?{x|2?x?10}
，求
?
R
(AB)
，
?
R
(AB)
，
(?
R
A)
10．解：
A
B
，
A(?
R
B)
．
B?{x|2?x?10}
，
AB?{x|3?x?7}
，

?
R
A?{x|x?3,或x?7}
，
?
R
B?{ x|x?2,或x?10}
，
得
?
R
(A

?
R
(A

(?
R
A)

A
B)?{x|x?2,或x?10}
，
B)?{x|x?3,或x?7}
，
B?{x|2?x?3,或7?x?10}
，
(?
R
B)?{x|x?2,或3?x?7或x?10}
．
B组
1．已知集合
A?{1,2}
，集合
B
满足
A
1．
4
集合
B
满足
A
B?{1,2}
，则集合
B
有 个．
B?A
，则
B?A
，即集合
B
是集合
A的子集，得
4
个子集．
2．在平面直角坐标系中，集合
C?{(x,y )|y?x}
表示直线
y?x
，从这个角度看，
集合
D?< br>?
(x,y)|
?
?
?
?
2x?y?1?
?
表示什么？集合
C,D
之间有什么关系？
?
x?4y?5
?

第6页 共45页

?
?
2x?y?1?
2．解：集合
D?
?
(x,y )|
??
表示两条直线
2x?y?1,x?4y?5
的交点的集合，
x?4y?5
?
??
即
D?
?
(x ,y)|
?
?
?
?
2x?y?1?
?
?{(1,1 )}
，点
D(1,1)
显然在直线
y?x
上，
?
x?4y?5
?
得
D
C
．
B,AB
． 3．设集合
A?{x|(x?3)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?4)(x?1)?0}
，求
A
3．解：显然有集合
B?{x|(x?4)(x?1)?0}?{1,4}
，
当
a?3
时，集合
A?{3}
，则
A
当
a?1
时，集合
A?{1,3}
，则
A
当
a?4
时，集合
A?{3,4}
，则
A
B?{1,3,4} ,AB??
；
B?{1,3,4},AB?{1}
；
B?{1,3,4},AB?{4}
；
当
a?1
， 且
a?3
，且
a?4
时，集合
A?{3,a}
，
则
A
4．已知全集
U?A
B?{1,3,4,a},AB??
．
1,3,5,7}
，试求集合
B
．
B?{x?N|0?x?10}
，
A(?
U
B)?{
4．解：显然
U?{0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10}
，由
U?A
得
?
U
B?A
，即
A
B
，
(痧
U
B)?
U
B
，而
A(?1,3,5,7}
，
U
B)?{
U
1 ,3,5,7}
，而
B?痧
得
?
U
B?{
U
(
即
B?{0,2,4,6,8.9,10}
．
B)
，
第一章 集合与函数概念
1．2函数及其表示
1．2．1函数的概念
练习（第19页）
1．求下列函数的定义域：
1
； （2）
f(x)?1?x?x?3?1
．
4x?7
7
1．解：（1 ）要使原式有意义，则
4x?7?0
，即
x??
，
4
（1）
f(x)?

第7页 共45页

得该函数的定义域为
{x|x??}
；
7
4
（2）要使原式有意义，则
?
?
1?x? 0
，即
?3?x?1
，
?
x?3?0
得该函数的定义域为
{x|?3?x?1}
．
2．已知函数
f(x)?3x?2x
，
（1）求
f(2),f(?2),f(2)?f(?2)
的值；
（2）求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值．
2．解：（ 1）由
f(x)?3x?2x
，得
f(2)?3?2?2?2?18
，
同理得
f(?2)?3?(?2)?2?(?2)?8
，
则
f(2)?f(?2)?18?8?26
，
即
f(2)?18,f(?2)?8,f(2)?f(?2)?26
；
（2）由
f(x)?3x?2x
，得
f(a)?3?a?2?a?3a?2a
，
同理得
f(?a)?3?(?a)?2?(?a)?3a?2a
，
则
f(a)?f(?a)?(3a?2a)?(3a?2a)?6a
，
即
f(a)?3a?2a,f(?a)?3a?2a,f(a)?f(?a)?6a
．
3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度
h< br>与时间
t
关系的函数
h?130t?5t
2
和二次函数
y?130x?5x
；
（2）
f(x)?1
和
g(x)?x
．
3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间
t?0
；
（2）不相等，因为定义域不同，
g(x)?x(x?0)
．

1．2．2
0
0
2
222
222
22
22 2
2
22
2
函数的表示法
练习（第23页）
1．如图， 把截面半径为
25cm
的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为
xcm
，
面积为
ycm
，把
y
表示为
x
的函数．
1．解：显然矩形的另一边长为
50?xcm
，

第8页 共45页
22
2

y?x502
?x
2
?x2500?x
2
，且
0?x?50
，
即
y?x2500?x
2
(0?x?50)
．
2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．
（ 1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着
车 一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离
O
时间
O
时间
O
时间
O
时间
（A） （B） （C） （D）

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；
图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；
图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；
图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．
3．画出函数
y?|x?2|
的图象．
3．解：
y?|x?2|?
?






4．设
与
A
?
x?2,x?2
，图象如下所示．
?
?x?2,x?2
A?{x|x是锐角},B?{0,1}
，从
A
到
B
的映射是“求正弦”，
中元素
60
相对应
的
B
中的元素是什么？与
B
中的元素
素是什么？
4．解：因为
sin60?
2
相对应的
A
中元
2
3 3
，所以与
A
中元素
60
相对应的
B
中的元素是；
22
2
2
，所以与
B
中的元素相对应的
A
中元素是
45
．
2
2

第9页 共45页
因为
sin45?

1．2函数及其表示
习题1．2（第23页）

1．求下列函数的定义域：
（1）
f(x)?
3x
； （2）
f(x)?x
2
；
x?4
4?x
6
f(x)?
； （4）．
2
x?1
x?3x?2
（3）
f(x)?
1．解：（1）要使原式有意 义，则
x?4?0
，即
x?4
，
得该函数的定义域为
{x|x?4}
；
（2）
x?R
，
f(x)?x
2
都有意义，
即该函数的定义域为
R
；
（3）要使原式有意义，则
x
2
?3x?2?0
，即
x?1
且
x?2
，
得该函数的定义域为
{x|x?1且x?2}
；
（4）要使原式有意义，则
?
?
4?x?0
，即
x?4
且
x?1
，
x?1?0
?
得该函数的定义域为
{x|x?4且x?1}
．
2．下列哪一组中的函数
f(x)
与
g(x)
相等？
x
2
?1
； （2）
f(x)?x
2
,g(x)?(x)
4
； （1）
f(x)?x?1,g(x)?
x
（3）
f(x)?x
2
, g(x)?
3
x
6
．
x
2
?1
的定义域为
{x|x?0}
， 2．解：（1）< br>f(x)?x?1
的定义域为
R
，而
g(x)?
x
即两函数的定义域不同，得函数
f(x)
与
g(x)
不相等；
4
（2）
f(x)?x
的定义域为
R
，而g(x)?(x)
的定义域为
{x|x?0}
，
2
即两函数的定义域不同，得函数
f(x)
与
g(x)
不相等；
（3）对于任何实数，都有
x?x
，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，
得函数
f(x)
与
g(x)
相等．
3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．

第10页 共45页
3
62

（1）
y?3x
； （2）
y?
3．解：（1）










8
2
； （3）
y??4x?5
； （4）
y?x?6x?7
．
x
定义域是
(??,??)
，值域是
(??,??)
；
（2）










定义域是
(??,0)





（3）









定义域是
(??,??)
，值域是
(??,??)
；

第11页 共45页
(0,??)
，值域是
(??,0)(0,??)
；

（4）










定义域是
(??,??)
，值域是
[?2,??)
．
4． 已知函数
f(x)?3x?5x?2
，求
f(?2)
，
f(?a)< br>，
f(a?3)
，
f(a)?f(3)
．
2
4．解 ：因为
f(x)?3x?5x?2
，所以
f(?2)?3?(?2)?5?(?2)? 2?8?52
，
2
2
即
f(?2)?8?52
；
同理，
f(?a)?3?(?a)?5?(?a)?2?3a?5a?2
，
即
f(?a)?3a?5a?2
；

f(a?3)?3?(a?3)?5?(a?3)?2?3a?13a?14
，
即
f(a?3)?3a?13a?14
；

f(a)?f(3)?3a?5a?2?f(3)?3a?5a?16
，
即
f(a)?f(3)?3a?5a?16
．
5．已知函数
f(x)?2
22
2
22
2
22
x?2
，
x?6
（1）点
(3,14)
在
f(x)
的图象上吗？
（2）当
x?4
时，求
f(x)
的值；
（3）当
f(x)?2
时，求
x
的值．
5．解：（1）当
x?3
时，
f(3)?
3?25
???14
，
3?63
即点
(3,14)
不在
f(x)
的图象上；
（2）当
x?4
时，
f(4)?
4?2
??3
，
4?6

第12页 共45页

即当
x?4
时，求
f(x)
的值为
?3
；
（3）
f(x)?
x?2
x?6
?2
，得
x?2?2(x? 6)
，
即
x?14
．
6．若
f(x)?x
2
?bx?c
，且
f(1)?0,f(3)?0
，求< br>f(?1)
的值．
6．解：由
f(1)?0,f(3)?0
， 得
1,3
是方程
x
2
?bx?c?0
的两个实数根，
即
1?3??b,1?3?c
，得
b??4,c?3
，
即
f(x)?x
2
?4x?3
，得
f(?1)?(?1)
2< br>?4?(?1)?3?8
，
即
f(?1)
的值为
8
．
7．画出下列函数的图象：
（1）
F(x)?
?
?
0,x?0
1,x?0
； （2）
G(n)?3n?1,n?{1,2,3}
．
?









7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为
10
，如果矩形的长为
x
，宽为
y
，对角线为
d
，

第13页 共45页

周长为
l
，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

8．解：由矩 形的面积为
10
，即
xy?10
，得
y?
10
10
(x?0)
，
x?(y?0)
，
y
x
由对角线为
d
，即
d?x
2
?y
2
，得
d ?x
2
?
100
(x?0)
，
x
2
由周长为
l
，即
l?2x?2y
，得
l?2x?
22
20
(x?0)
，
x
2
另外
l?2(x?y)
，而
xy?10,d?x?y
，
得
l?2(x?y)
2
?2x
2
?y
2
?2xy?2d
2
?20(d?0)
，
即
l?2d
2
?20(d?0)
．
9．一个圆柱形容器的 底部直径是
dcm
，高是
hcm
，现在以
vcm
3
s
的速度向容器内注入某种溶液．求溶
液内溶液的高度
xcm
关于注入溶液的 时间
ts
的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．
9．解：依题意，有
?
()
2
x?vt
，即
x?
d
2
4vt
，
?
d
2
h
?
d
2
4v
显然
0?x?h
，即
0?
，
t?h
，得
0?t?
4v
?
d
2
h
?
d
2
]
和值域为
[0,h]
． 得函数的定义域为
[0,
4v
10．设集合
A?{a,b,c},B?{0,1}
，试问：从
A
到
B
的映射共有几个？
并将它们分别表示出来．
10．解：从
A
到
B
的映射共有
8
个．
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
?
f(a)?0
????
分别是
?
f(b)?0
，< br>?
f(b)?0
，
?
f(b)?1
，
?
f( b)?0
，
?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f (c)?0
?
f(c)?1
????
?
f(a)?1
?f(a)?1
?
f(a)?1
?
f(a)?1
????

?
f(b)?0
，
?
f(b)?0
，
?
f (b)?1
，
?
f(b)?0
．
?
f(c)?0
?
f(c)?1
?
f(c)?0
?
f(c)?1
????< br>


第14页 共45页

Ｂ组
1．函数
r?f(p)
的图象如图所示．
（1）函数
r?f(p)
的定义域是什么？
（2）函数
r?f(p)
的值域是什么？
（3）
r
取何值时，只有唯一的
p
值与之对应？
1．解： （1）函数
r?f(p)
的定义域是
[?5,0][2,6)
；
（2）函数
r?f(p)
的值域是
[0,??)
；
（ 3）当
r?5
，或
0?r?2
时，只有唯一的
p
值与之对应 ．
2．画出定义域为
{x|?3?x?8,且x?5}
，值域为
{y|?1 ?y?2,y?0}
的一个函数的图象．
（1）如果平面直角坐标系中点
P(x,y )
的坐标满足
?3?x?8
，
?1?y?2
，那么其中哪些点不能在 图象
上？
（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
2．解：图象如 下，（1）点
(x,0)
和点
(5,y)
不能在图象上；（2）省略．

3．函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最大 整数，例如，
[?3.5]??4
，
[2.1]?2
．
当
x?(?2.5,3]
时，写出函数
f(x)
的解析式，并作出函数的图象．

第15页 共45页

?
?3,?2.5?x? ?2
?
?2,?2?x??1
?
?
?1,?1?x?0
?< br>3．解：
f(x)?[x]?
?
0,0?x?1

?
1,1?x?2
?
?
2,2?x?3
?
3,x?3
?
图象如下



















4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点
P
的距离是2km
，从点
P
沿海岸正东
12km
处有一个城镇．







（1）假设一个人驾驶的 小船的平均速度为
3kmh
，步行的速度是
5kmh
，
t
（ 单位：
h
）表示他从小岛

第16页 共45页

到城镇的时间，
x
（单位：
km
）表示此人将船停在海岸处距
P
点的距离．请将
t
表示为
x
的函数．
（2）如果将船 停在距点
P
4km
处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到
1h
） ？
4．解：（1）驾驶小船的路程为
x?2
，步行的路程为
12?x
，
得
t?
22
x
2
?2
2
12?x
?
，
(0?x?12)
，
35
x
2
?412?x
?
，
(0?x?12)
．
35
即
t?
4
2
?412?4258
????3(h)
． （2）当
x?4
时，
t?
3535


第一章 集合与函数概念
1．3函数的基本性质
1．3．1单调性与最大（小）值
练习（第32页）
1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．









1 ．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率
达 到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人
越多，生产 效率就越高．
2．整个上午
(8:0012:00)
天气越来越暖，中午时分
(12:0013:00)
一场暴风雨使天气骤然凉爽了许
多.暴风雨过后，天气转暖，直到 太阳落山
(18:00)
才又开始转凉.画出这一天
8:00
作为时间函数的 一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.
2．解：图象如下
20:00
期间气温

第17页 共45页

[8,12
是递增区间，
][12,13]
是递 减区间，
[13,18]
是递增区间，
[18,20]
是递减区间．





3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.










3 ．解：该函数在
[?1,0]
上是减函数，在
[0,2]
上是增函数，在[2,4]
上是减函数，
在
[4,5]
上是增函数．
4．证明函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
4 ．证明：设
x
1
,x
2
?R
，且
x
1?x
2
，
因为
f(x
1
)?f( x
2
)??2(x
1
?x
2
)?2(x
2
?x
1
)?0
，
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
所以函数
f(x)??2x?1
在
R
上是减函数.
5．设
f(x)
是定义在区间
[?6,11]
上的函数.如果
f(x)
在区 间
[?6,?2]
上递减，在区间
[?2,11]
上递增，画
出f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现
f(?2)
是函数
f(x )
的一个 .

第18页 共45页

5．最小值．
1．3．2单调性与最大（小）值
练习（第36页）
1．判断下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?2x?3x
； （2）
f(x)?x?2x

423
x
2
?1
2
（3）
f(x)?
； （4）
f(x)?x?1
.
x
1．解：（1）对于函数
f(x)? 2x?3x
，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?2(?x)?3(?x)?2x?3x?f(x)
，
所以函数
f(x)?2x?3x
为偶函数；
（2）对于函数
f(x )?x?2x
，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)?2(?x)??(x?2x)??f(x)
，
所以函数
f(x)?x?2x
为奇函数；
3
33
3
42
4242
42
x
2
?1
（3）对于函数
f( x)?
，其定义域为
(??,0)(0,??)
，因为对定义域内
x
(?x)
2
?1x
2
?1
????f(x)
， 每一个< br>x
都有
f(?x)?
?xx
x
2
?1
所以函 数
f(x)?
为奇函数；
x
（4）对于函数
f(x)?x?1，其定义域为
(??,??)
，因为对定义域内
每一个
x
都有
f(?x)?(?x)?1?x?1?f(x)
，
所以函数
f(x)?x?1
为偶函数.
2.已知
f(x)
是偶函数，
g(x)
是奇函数，试将下图补充完整.



2
22
2

第19页 共45页

2．解：
f(x)
是偶函数，其图象是关于
y
轴对称的；

g(x)
是奇函数，其图象是关于原点对称的．


习题1.3
A组
1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数
y?f(x)
的单调区 间，以及在各单调区间
上函数
y?f(x)
是增函数还是减函数.
（1）
y?x?5x?6
； （2）
y?9?x
.
1．解：（1）













函数在
（2）



第20页 共45页
22
55
(??,)
上递减；函数在
[,??)
上递增；
22

函数在
(??,0)
上递增；函数在
[0,??)
上递减.
2.证明：
（1）函数
f(x)?x?1
在
(??,0)
上是减函数；
（2）函数
f(x)?1?
2
1
在
(??,0)
上是增函 数.
x
22
2．证明：（1）设
x
1
?x
2?0
，而
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
，
由
x
1
?x
2
?0,x
1
?x
2
?0
，得
f(x1
)?f(x
2
)?0
，
2
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以函数
f(x)? x?1
在
(??,0)
上是减函数；
（2）设
x
1
?x
2
?0
，而
f(x
1
)?f(x
2
)?
11
x
1
?x
2
??
，
x
2
x
1
x
1
x
2
由
x
1
x
2
?0,x
1
?x
2
?0
，得
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以函数
f(x)? 1?
1
在
(??,0)
上是增函数.
x
3.探究一次函数
y?mx?b(x?R)
的单调性，并证明你的结论.
3．解：当
m?0
时，一次函数
y?mx?b
在
(??,? ?)
上是增函数；
当
m?0
时，一次函数
y?mx ?b
在
(??,??)
上是减函数，
令
f(x)?mx?b
，设
x
1
?x
2
，
而
f(x
1
)?f(x
2
)?m(x1
?x
2
)
，
当
m?0
时，
m(x
1
?x
2
)?0
，即
f(x
1)?f(x
2
)
，
得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是增函数；
当
m?0
时，
m(x
1
?x
2
)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
得一次函数
y?mx?b
在
(??,??)
上是减函数.

第21页 共45页

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次
慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.
4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为
5.某汽车租赁公司的月收益
y
元与每辆车的月租金
x
元间的关系为

x
2
y???162x?21000
，那么，每辆车的月租金多少 元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多
50
少？
x
2
?162x?21000
， 5．解：对于函数
y??
50
当
x??
162
1
2?(?)
50
，
?4050
时，
y
max
?307050
（元）
即每辆车的月租金为
4050
元时，租赁公司最大月收益为
307050
元．
6.已知函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
x?0< br>时，
f(x)?x(1?x)
.画出函数
f(x)

的图象，并求出函数的解析式.
6．解：当
x?0
时，
?x?0< br>，而当
x?0
时，
f(x)?x(1?x)
，
即
f(?x)??x(1?x)
，而由已知函数是奇函数，得
f(?x)??f(x)
，
得
?f(x)??x(1?x)
，即
f(x)?x(1?x)
，
所以函数的解析式为
f(x)?
?
?
x(1?x),x?0
.
?
x(1?x),x?0
B组
1.已知函数
f(x)?x?2x< br>，
g(x)?x?2x(x?[2,4])
.
（1）求
f(x)
，
g(x)
的单调区间； （2）求
f(x)
，
g(x)
的最小值.
1．解：（1）二次函数
f(x)?x?2x
的对称轴为
x?1
，
则函数
f(x)
的单调区间为
(??,1),[1,??)
，
且函数
f(x)
在
(??,1)
上为减函数，在
[1,??)
上为增函数，

第22页 共45页
2
22

函数
g(x)
的单调区间为
[2,4]
，
且函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数；
（2）当
x?1
时，
f(x)
min
??1
，
因为函数
g(x)
在
[2,4]
上为增函数，
2
所以
g(x)
min
?g(2)?2?2?2?0
．
2.如图所示 ，动物园要建造一面靠墙的
2
间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m
，那么宽
x
（单位：
m
）为多少才能使建造的每间熊猫居 室面积最大？每间熊猫居室的最大面积
是多少？







2．解：由矩形的宽为
xm
，得矩形的长为
30?3x
m
，设矩形的面积为
S
，
2
30?3x3(x
2
?10x)
??
则
S?x
，
22
2
当
x?5
时，
S
max
?37.5m
，
即宽
x?5
m
才能使建造的每间熊猫居室面积最大，
且每间熊猫居室的最大面积是
37.5m
．
3.已知函数
f(x)
是偶函数，而且在
(0,??)
上是减函数，判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数还是减函数，并
证明你的判断.
3．判断
f(x)
在
(??,0)
上是增函数，证明如下：
设
x
1
?x
2
?0
，则
?x
1
??x
2
?0
，
因为函数
f(x)
在
(0,??)
上是减函数，得
f(?x
1
)?f(?x
2< br>)
，
又因为函数
f(x)
是偶函数，得
f(x
1
)?f(x
2
)
，
所以
f(x)
在
(??,0)
上是增函数．

2
复习参考题

第23页 共45页

A组
1．用列举法表示下列集合：
（1）
A?{x|x?9}
；
（2）
B?{x?N|1?x?2}
；
（3）
C?{x|x?3x?2?0}
.
1．解：（1）方程
x< br>2
?9
的解为
x
1
??3,x
2
?3
，即集合
A?{?3,3}
；
（2）
1?x?2
，且
x?N
，则
x?1,2
，即集合
B?{1,2}
；
（3）方程
x
2
?3x?2?0
的解为
x
1
?1 ,x
2
?2
，即集合
C?{1,2}
．
2．设
P
表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
（1）
{P|PA?PB}(A,B
是两个定点
)
；
（2）
{P|PO?3cm}(O
是定点
)
.
2．解：（ 1）由
PA?PB
，得点
P
到线段
AB
的两个端点的距离相 等，
即
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线；
（2）
{P|PO?3cm}
表示的点组成以定点
O
为圆心，半径为
3cm
的圆．
3.设平面内有
?ABC
，且
P
表示这个平 面内的动点，指出属于集合
2
2
{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是什么.
3．解 ：集合
{P|PA?PB}
表示的点组成线段
AB
的垂直平分线，
集合
{P|PA?PC}
表示的点组成线段
AC
的垂直平分线，
得
{P|PA?PB}{P|PA?PC}
的点是线段
AB
的垂直平分线与线 段
AC
的
垂直平分线的交点，即
?ABC
的外心．
4. 已知集合
A?{x|x?1}
，
B?{x|ax?1}
.若
B?A< br>，求实数
a
的值.
4．解：显然集合
A?{?1,1}
，对 于集合
B?{x|ax?1}
，
当
a?0
时，集合
B??
，满足
B?A
，即
a?0
；
当
a?0
时，集合
B?{}
，而
B?A
，则
得
a??1
，或
a?1
，
综上得：实数
a
的值为
?1,0
，或
1
．

第24页 共45页
2
1
a
11
??1
，或
?1
，
a
a

5.已知集合
A?{(x,y)|2x?y? 0}
，
B?{(x,y)|3x?y?0}
，
C?{(x,y)|2x?y? 3}
，求
AB
，
AC
，
(AB)(BC)
. 5．解：集合
A
?
?
2x?y?0?
B?
?
( x,y)|
??
?{(0,0)}
，即
AB?{(0,0)}
；
?
3x?y?0
??
?
?
2x?y?0?
集合
AC?
?
(x,y)|
??
??
，即
AC??
；
2x?y?3
?
??
集合
B
?
?
3x?y?0?
39
C?
?
(x,y)|
??{(,?)}
；
?
55
?
2x?y?3
??
39
B)(BC)?{(0,0),(,?)}
.
55
则
(A
6.求下列函数的定义域：
（1）
y?x?2?x?5
；
（2）
y?
x?4
.
|x|?5
?
x?2?0< br>6．解：（1）要使原式有意义，则
?
，即
x?2
，
x?5?0
?
得函数的定义域为
[2,??)
；
?
x?4?0
（2）要使原式有意义，则
?
，即
x?4
，且
x?5
，
|x|?5?0
?
得函数的定义域为
[4,5)7.已知函数
f(x)?
(5,??)
．
1?x
，求：
1?x
（1）
f(a)?1(a??1)
； （2）
f(a?1)(a??2)
.
1?x
，
1?x
1?a1?a2
所以
f(a)?
，得
f(a)?1?
，
?1?
1?a1?a1?a
2
即
f(a)?1?
；
1?a
1?x
（2）因为
f(x)?
，
1?x
1?(a?1)a
所以
f(a?1)?
，
??
1?a?1a?2
7．解：（1）因为
f(x)?

第25页 共45页

即
f(a?1)??
a
．
a?2
1?x
2
8.设
f(x)?
，求证：
1?x
2
（1）
f(?x)?f(x)
； （2）
f()??f(x)
.
1
x
1?x
2
8．证明：（1）因为
f(x)?
，
2
1?x
1?(?x)
2
1?x
2
??f(x)< br>， 所以
f(?x)?
22
1?(?x)1?x
即
f(?x)?f(x)
；
1?x
2
（2）因为
f(x)?
，
1?x
2
1
1?()
2
11?x
2
x
所以
f()????f(x)
，
x
1?(
1
)
2
x
2
?1
x
1
即
f()??f(x)
.
x
9.已知函数
f(x)?4x?kx? 8
在
[5,20]
上具有单调性，求实数
k
的取值范围.
9．解：该二次函数的对称轴为
x?
2
2
k
，
8
函数
f(x)?4x?kx?8
在
[5,20]
上具有单调性，
k k
?20
，或
?5
，得
k?160
，或
k?40< br>，
88
即实数
k
的取值范围为
k?160
，或k?40
．
则
10．已知函数
y?x
，
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在
(0,??)
上是增函数还是减函数？
（4）它在
(??,0)
上是增函数还是减函数？
10．解：（1）令
f(x)?x
，而
f(?x)?(?x)
即函数
y?x
是偶函数；

第26页 共45页
?2
?2?2
?2
?x
?2
?f(x)
，

（2）函数
y?x
的图象关于
y
轴对称；
（3）函数
y?x
在
(0,??)
上是减函数；
（4）函数
y?x
在
(??,0)
上是增函数．

?2
?2
?2
B组
1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28
名同学参加比赛，有
15
人参加游泳比赛，有
8
人参加田径 比赛，
有
14
人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有
3
人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有
3
人，
没有人同时参加三项比赛.问同时参加田 径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
1．解：设同时参加田径和球类比赛的有
x
人，
则
15?8?14?3?3?x?28
，得
x?3
，
只参加游泳一项比赛的有
15?3?3?9
（人），
即同时参加田径和球类比赛的有
3
人，只参加游泳一项比赛的有
9
人． 2.已知非空集合
A?{x?R|x?a}
，试求实数
a
的取值范围.
2．解：因为集合
A??
，且
x
2
?0
，所以a?0
．
3.设全集
U?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
，
?
U
(A
3．解：由
?
U
(A
集合
A
2
B)?{1,3}
，
A(?
U
B)?{2 ,4}
，求集合
B
.
B)?{1,3}
，得
AB?{2,4,5,6,7,8,9}
，
B
里除去
A(?
U
B)
，得集合
B
，
所以集合
B?{5,6,7,8,9}
.
4.已知函数f(x)?
?
?
x(x?4),x?0
.求
f(1)
，
f(?3)
，
f(a?1)
的值.
?
x(x?4),x? 0
4．解：当
x?0
时，
f(x)?x(x?4)
，得
f( 1)?1?(1?4)?5
；
当
x?0
时，
f(x )?x(x?4)
，得
f(?3)??3?(?3?4)?21
；

f(a?1)?
?
5.证明：
?
(a?1)(a?5),a??1
．
?
(a?1)(a?3), a??1
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
；
)?
22
x?x
2
g(x
1)?g(x
2
)
2
（2）若
g(x)?x?ax?b
， 则
g(
1
.
)?
22
x?x
2
x?x< br>a
5．证明：（1）因为
f(x)?ax?b
，得
f(
1)?a
12
?b?(x
1
?x
2
)?b
，
222
（1）若
f(x)?ax?b
，则
f(

第27页 共45页

f(x
1
)?f(x
2
)ax
1
?b?ax
2
?b
a
??(x
1
?x
2
)?b
，
222
x?x
2
f (x
1
)?f(x
2
)
所以
f(
1
；
)?
22

（2）因为
g(x)?x?ax?b
，
2
x< br>1
?x
2
x?x
1
)?(x
1
2
? x
2
2
?2x
1
x
2
)?a(
12
)?b
，
242
g(x
1
)?g(x
2
)1
?[(x
1
2
?ax
1
?b)?(x
22
?ax
2
?b)]

22
x?x
2
1

?(x
1
2
?x
2
2
)?a(
1
)?b
， < br>22
111
因为
(x
1
2
?x
2
2
?2x
1
x
2
)?(x
1
2
?x
2
2
)??(x
1
?x
2
)
2
?0
，
424
11
即
(x
1
2
?x
22
?2x
1
x
2
)?(x
1
2
?x< br>2
2
)
，
42
x?x
2
g(x
1
)?g(x
2
)
所以
g(
1
.
)?22
得
g(
6.（1）已知奇函数
f(x)
在
[a,b ]
上是减函数，试问：它在
[?b,?a]
上是增函数还是减函数？
（2） 已知偶函数
g(x)
在
[a,b]
上是增函数，试问：它在
[?b, ?a]
上是增函数还是减函数？
6．解：（1）函数
f(x)
在
[ ?b,?a]
上也是减函数，证明如下：
设
?b?x
1
?x
2
??a
，则
a??x
2
??x
1
?b
，
因为函数
f(x)
在
[ a,b]
上是减函数，则
f(?x
2
)?f(?x
1
)，
又因为函数
f(x)
是奇函数，则
?f(x
2
)??f(x
1
)
，即
f(x
1
)?f (x
2
)
，
所以函数
f(x)
在
[?b,?a]
上也是减函数；
（2）函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数，证明如下：
设
?b?x
1
?x
2
??a
，则
a??x
2
??x
1
?b
，
因为函数
g (x)
在
[a,b]
上是增函数，则
g(?x
2
)?g(? x
1
)
，
又因为函数
g(x)
是 偶函数，则
g(x
2
)?g(x
1
)
，即
g(x< br>1
)?g(x
2
)
，
所以函数
g(x)
在
[?b,?a]
上是减函数．
7.《中华人民 共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过
2000
元的部分
不必纳 税，超过
2000
元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
某人一月份应交纳此项税款为
26.78
元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

第28页 共45页

7．解：设某人的全月工资、薪金所得为
x
元，应纳 此项税款为
y
元，则
?
0,0?x?2000
?
(x?2 000)?5%,2000?x?2500
?
y?
?

?
25?(x?2500)?10%,2500?x?4000
全月应纳税所得额
?
?
175?(x?4000)?15%,4000?x?5000
税率(
0
0
)

由该人一月份应交纳此项税款为< br>26.78
元，得
不超过
500
元的部分
5

2500?x?4000
，
超过
500
元至
2000
元的部分
10


超过
2000
元至
5000
元的部分
15

25?(x?2500)?10%?26.78
，得
x?2517.8
，
所以该人当月的工资、薪金所得是
2517.8
元．

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答
第二章 基本初等函数（I）
2．1指数函数
练习（P54）
1. a=
a
,a=
a
,a
2
3
1
2
3
4
4
3
?
3
5
=
1
5
a
3
,a
?
2
3
=
1
3
a
2
.
3
4
2
3
2. (1)
x
=x, (2)
4
(a?b)
3
=(a+b), (3)
3
(m-n)
2
=(m-n),
(4)
(m-n)
=(m-n),(5)
pq
=pq,(6)
33
4
3
2
2
65
3
5
2
m
3
m
=m< br>3?
1
2
=m.
5
2
36
2
66
216
3. (1)()=［()
2
］
2
=()
3
=;
497 7
343
??
1??
3
(2)2
3
×
1. 5
×
12
=2×3×()
3
×(3×2
2
)
6
=2
33
×3
236
=2×3=6;
2
3< br>6
1
2
1111
111
(3)aaa
练习（P58）
1
2
1
4
?
1
8
=a
111??
248
=a; (4)2x
5
8
?< br>1
3
??
??
1
3
?
3
4
33
(x-2x)=x-4x
23
=1-4x
-1
=1
?< br>.
2
x
1211
12

第29页 共45页

1.
如图

图2-1-2-14
2.(1)要使函数有意义,需x-2≥0,即x≥2,所以函数y=3
1
x-2
的定义域为｛x|x≥2｝;
1
(2)要使函数有意义, 需x≠0,即函数y=()
x
的定义域是｛x∣x≠0｝.
2
3.y=2
x
(x∈N
*
)
习题2.1 A组（P59）
1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y.
b< br>2解：(1)
a
3
1133
??
ba
a
2< br>2222
)
=
a?b
=a
0
b
0
= 1. =
1
?(
1
6
6?
b
a
2
b
2
2
3
2
2?
1
2
1
(2)< br>a
1
2
a
1
2
a
=
a
1< br>2
a?a
=
a?a
=a.
1
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3)
m?
3
m?
4
m
( m)?m
6
5
1
4
=
m?m?m
mm
5< br>6
1
4
=
m
111
??
234
51
?
64
=m
0
=1.
m
点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.
3.解：对于（1）,可先按底数5,再按
对于（2）,先按底数8.31,再按
键, 再按1
键,再按1
2,最后按
2,最后按
键,再按
,即可求得它的值 .答案：1.710 0;
即可. 答案：2.881 0;
键,再按2,最后按即可.
答案：4.728 8;
对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按
13
3
4
7
12
137
??
3412
1
?12
3
对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按
键,再按π键,最后 按
2
3
3
4
235
??
346
即可.
答案：8.825 0.
7
12
4.解：(1)aaa
(3)(x y
2
3
1
3
?
=a=a; (2)aa÷a=a
3
??12
4
5
3
5
6
=a;
3
4
12
)=
xy
1
=x
4< br>y
-9
;
2111
???
2
??
2
(4)4ab÷(
?
a
3
b
3
)=(
?
×4)
a
33
b
33
=-6ab
0
=-6a;
33
?
1
3
1

第30页 共45页

16st
)
(5)
(
4
25r< br>1
4
?
1
3
2?6
3
?
2
=
2
3
4?(?)
2
s
33
2?(?)?6?(? )
22
t
5
?
1
2
2
3
3
2?(?)
2
r
3
4?(?)
2
2
?6
s
?3
t
9
125r
9
r
6
=
? 3?6
=;
3
64s
5r
111
??
424(6)(-2xy
1
2
)(3x
1
4
y)(-4xy) =［-2×3×(-4)］x
x
1
2
?
1
4
12
1
4
2
3
y
122
???
333< br>=24y;
(7)(2x+3y
1
4
?
)(2x-3y?
1
3
)=(2x)-(3y
y
?
2
3
1
2
2
?
1
4
2
)=4x-9y
111
?
1
2
;
1
(8)4x (-3xy
1
4
)÷(-6x
?
?3?4
4
?
4
?
2< br>?
3
?
3
xy
)==2xy
3
.
?6
12
点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形 式,但结果不
能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.
5.（1）要使函数有 意义,需3-x∈R,即x∈R,所以函数y=2
3-x
的定义域为R.
（2）要使 函数有意义,需2x+1∈R,即x∈R,所以函数y=3
2x+1
的定义域为R.
(3)要使函数有意义,需5x∈R,即x∈R,所以函数y=(
1
x
1
5x
)的定义域为R.
2
(4)要使函数有意义,需x≠0,所以函数y=0.7的定义域为{x|x≠0}. 点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意
义.
6.解：设经过x年的产量为y,一年内的产量是a(1+
pp
2
), 两年内产量是a(1+)
,…,x年内的产量是a(1+
100100
p
x< br>p
x
),则y=a(1+)(x∈N
*
,x≤m).
100100
点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x的取值范围.
7.(1)3
0.8
与3
0.7
的底数都是3,它们可以看成函数y=3
x
,当x=0.8和0.7时的函数值；
因为3>1,所以函数y=3
x
在R上是增 函数.而0.7<0.8,所以3
0.7
<3
0.8
.
(2)0. 75
-0.1
与0.75
0.1
的底数都是0.75,它们可以看成函数y= 0.75
x
,当x=-0.1和0.1时的函数值；
因为1>0.75,所以函数y =0.75
x
在R上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.75
0.1
< 0.75
-0.1
.
(3)1.01
2.7
与1.01
3 .5
的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01
x
,当x=2.7和3.5 时的函数值；
因为1.01>1,所以函数y=1.01
x
在R上是增函数.而2. 7<3.5,所以1.01
2.7
<1.01
3.5
.
(4)0. 99
3.3
与0.99
4.5
的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0 .99
x
,当x=3.3和4.5时的函数值；
因为0.99<1,所以函数y=0 .99
x
在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.99
4.5
<0.9 9
3.3
.
8.(1)2
m
,2
n
可以看成函数 y=2
x
,当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数y=2
x
在R上 是增函数.
因为2
m
<2
n
,所以m(2)0. 2
m
,0.2
n
可以看成函数y=0.2
x
,当x=m和n 时的函数值;因为0.2<1,
所以函数y=0.2
x
在R上是减函数.因为0.2
m
<0.2
n
,所以m>n.
(3)a
m
,a< br>n
可以看成函数y=a
x
,当x=m和n时的函数值;因为0所以函数y=a
x
在R上是减函数.因为a
m
n
, 所以m>n.
(4)a
m
,a
n
可以看成函数y=a
x< br>,当x=m和n时的函数值;因为a>1,
所以函数y=a
x
在R上是增函数 .因为a
m
>a
n
,所以m>n.
点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.
1
1
9.(1)死亡生物组织 内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=()
5730
.
2

第31页 共45页

1
当时间经过九个“半衰期”后,死 亡生物组织内的碳14的含量为P=()
2
9?5730
5730
=(
1
9
)
≈0.002.
2
答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,
因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
1
(2)设大约经过t万年后 ,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么()
2
答:大约经过6万年后,用一般的放射性探 测器是测不到碳14的.
B组
1. 当0＜a＜1时,a
2x-7
＞a
4x-1
2
?
x-7＜4x－1
?
x＞－3;
10000t
5370
<0.001,解得t>5.7.
当a＞1时,a< br>2x-7
＞a
4x-1
?
2x－7＞4x－1
?
x＜ －3.
综上,当0＜a＜1时,不等式的解集是{x|x＞－3}；
当a＞1时,不等式的解集是{x|x＜－3}.
2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.
解：(1)设y=x+x
1
2
?
1
2
,那么y=( x+x
2
1
2
?
1
2
2
)=x+x
-1
+2.由于x+x
-1
=3,所以y=
5
.
(2) 设y=x
2
+x
-2
,那么y=(x+x
-1
)
2
-2.由于x+x
-1
=3,所以y=7.
(3)设y=x
2-x
-2
,那么y=(x+x
-1
)(x-x
-1
), 而(x-x
-1
)
2
=x
2
-2+x
-2
=
5
,所以y=±3
5
.
点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.
3.解：已知本金为a元.
1期后的本利和为y
1
=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为y
2
=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)
2
,
3期后的本利和为y
3
=a(1+r)
3
,
…
x期后的本利和为y=a(1+r)
x
.
将a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得y=a(1+r)
x
=1 000×(1+0.022 5)
5
=1 000×1.0225
5
≈1118.
答:本利和y随存期x变化的函数关系式为y =a(1+r)
x
,5期后的本利和约为1 118元.
4.解：(1)因为y1
=y
2
,所以a
3x+1
=a
-2x
.所以 3x+1=-2x.所以x=
?
(2)因为y
1
>y
2
,所 以a
3x+1
>a
-2x
.
所以当a>1时,3x+1>-2x.所以x>
?
1
.
5
1
.
5
1
当0?
.
5
2．2对数函数
练习（P64）
111
??1
； （4）
log
27
??

233
11
3
2.（1）
3
2
?9
； （2）
5?125
； （3）
2
?2
?
； （4）
3
?4
?

481
1.（1）
log
2
8?3
； （2）
log
2
32?5
； （3）
log
2
x2
3.（1）设
log
5
25?x
，则
5?25?5，所以
x?2
；

第32页 共45页

< br>（2）设
log
2
11
?x
，则
2
x
??2
?4
，所以
x??4
；
1616
（3）设
lg1000?x
，则
10
x
?1000?10
3
，所以
x?3
；
（4）设
lg0.001?x
，则
10
x
?0.001?10
?3
，所以
x??3
；
4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.
练习（P68）
1.（1）
lg(xyz)?lgx?lgy?lgz
；
xy
2< br>?lg(xy
2
)?lgz?lgx?lgy
2
?lgz?lgx?2 lgy?lgz
； （2）
lg
z
xy
3
11
?l g(xy
3
)?lgz?lgx?lgy
3
?lgz?lgx?3lgy?l gz
； （3）
lg
22
z
（4）
lg
x1122
?lgx?lg(yz)?lgx?(lgy?lgz)?lgx?2lgy?lgz
.
y
2
z22
2234
2.（1）
log
3(27?9)?log
3
27?log
3
9?log
3
3?log
3
3?3?4?7
；
（2）
lg100?2lg100?2lg10?4lg10?4
；
（3）
lg0.00001?lg10
3. (1)
log
2
6?log
2
3?log
2
?5
22
11
??5 lg10??5
; （4）
lne?lne?

22
6
?log
2
2?1
; (2)
lg5?lg2?lg10?1
;
3
11
(3)
l og
5
3?log
5
?log
5
(3?)?log
5
1?0
;
33
51
(4)
log
3
5 ?log
3
15?log
3
?log
3
?log
3
3
?1
??1
.
153
5
4.(1)1; (2)1; (3)
4
练习（P73）
1.函数
y? log
3
x
及
y?log
1
x
的图象如右图所示.
3
相同点：图象都在
y
轴的右侧，都过点
(1,0)

不同点：
y?log
3
x
的图象是上升的，
y?log
1
x
的图象是下降的
3
关系：
y?l og
3
x
和
y?log
1
x
的图象是关于
x
轴对称的.
3

第33页 共45页

1
(1,??)
; （3）
(??,)
； （4）
[1,??)

3
3. (1)
log
10
6?log
10
8
(2)
log
0.5
6?log
0.5
4
(3)
log
2
0.5?log
2
0.6
(4)
log
1.5
1.6?log
1.5
1.4

2. (1)
(??,1)
； (2)
(0,1)
33
习题2.2 A组（P74）
1. (1)
log
3
1?x
； (2)
log
4
1
?x
; （3）
log
4
2?x
； （4）
log
2
0.5?x

6
(5)
lg25?x
(6)
log
5
6?x

2. (1)
5
x
?27
(2)
8
x
?7
(3)
4
x
?3
(4)
7
x
?
(5)
10
x
?0.3
(6)
e?3

3. (1)
0
; (2)
2
; (3)
?2
; (4)
2
; (5)
?14
; (6)
2
.
4. (1)
lg6?lg2?lg3?a?b
; (2)
log
3
4?
x
1

3
lg42lg22a
??
;
lg3lg3b
(3) < br>log
2
12?
lg122lg2?lg3lg3b
3
??2 ??2?
; (4)
lg?lg3?lg2?b?a

lg2lg2lg2a
2
n
3
b
m
5. (1)
x?ab
; (2)
x?
; (3)
x?
; (4)
x?
.
c
m
n
6. 设
x
年后我国的GDP在1999年的GDP 的基础上翻两番，则
(1?0.073)?4

解得
x?log
1.073
4?20
. 答：设
20
年后我国的GDP在1999年的GDP的基础上翻两番.
x
3
4
8. (1)
m?n
; (2)
m?n
; (3)
m?n
; (4)
m?n
.
9. 若火箭的最大速度
v?12000
，
7. (1)
(0,??)
; (2)
(,1]
.
那么
2000ln
?
1?
?
?
M
m
MMM
?
6
?12000?ln(1?)?6?1??e??402
?
mmm
?
答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 kms.
10. (1)当底数全大于1时，在
x?1
的右侧，底数越大的图象越在下方.
所以，①对应函数
y?lgx
，②对应函数
y?log
5
x
，③对应函数
y?log
2
x
.
(2)略. (3)与原函数关于
x
轴对称.
11. (1)
log
2
25?log
3
4?log
5
9?
lg25lg4lg92lg52 lg22lg3
??????8

lg2lg3lg5lg2lg3lg5
(2)
log
a
b?log
b
c?log
c
a?< br>lgblgclga
???1

lgalgblgc

第34页 共45页

12700
，解得
v?1.5
. 答：鲑鱼的游速为1.5米秒.
log
3
2100
1O
(2)令
v?0
，则
log
3
?0
，解得
O?100
. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.
2100
12. (1)令
O?2700
，则
v?
B组
1. 由
xlog< br>3
4?1
得：
4
x
?3,4
?x
?
2. ①当
a?1
时，
log
a
1110
，于是
4
x
?4
?x
?3??

333
3
?1
恒成立；
4
333
②当
0?a?1
时，由
log
a
?1?log
a
a
， 得
a?
，所以
0?a?
.
444
3
综上所述：实数
a
的取值范围是
{a0?a?
或
a?1}

4
1
3. (1)当
I?1
Wm
2
时，
L
1
?10lg
?12
?120
；
10
(2)当
I?10
?12
10
?12
Wm时，
L
1
?10lg
?12
?0

10
2
答：常人听觉的声强级范围为
0120dB
.
4. (1)由
x?1?0
，
1?x?0
得
?1?x?1< br>，∴函数
f(x)?g(x)
的定义域为
(?1,1)

(2)根据(1)知：函数
f(x)?g(x)
的定义域为
(?1,1)

∴ 函数
f(x)?g(x)
的定义域关于原点对称
(x?)
又∵
f(?x)?g?l
a
og?(x1?)
a
l?oxg?(1fx) ?gx(

)
∴
f(x)?g(x)
是
(?1,1)
上的偶函数.
x
x
5. (1)
y?log
2
x
，
y? log
0.3
x
； (2)
y?3
，
y?0.1
.
习题2.3 A组（P79）
1.函数y=
1
是幂函数.
2
x
2.解析:设幂函数的解析式为f（x）=x
α
,
因为点（2,
2
）在图象上,所以
2
=2
α
.
1
所以α=,即幂函数的解析式为f（x）=x
2
,x≥0.
2< br>3.（1）因为流量速率v与管道半径r的四次方成正比,所以v=k·r
4
；
（2）把r=3,v=400代入v=k·r
4
中,得k=
（3）把r=5代入v=
1
400400400
4
＝,即v=r；
8181
34
400
4
400
4
r,得v=×5
≈3 086（cm
3
s）,
8181

第35页 共45页

即r=5 cm时,该气体的流量速率为3 086 cm
3
s.
第二章 复习参考题
A组（P82）
1.（1）11； （2）
1
2
79
1
； （3）； （4）.
825
1000
1
2
2
1
2
1
2
2
2.（1）原式=
(a?b)?(a?b)
(a ?b)(a?b)
?12
1
2
1
2
1
2
1
2
=
a?2ab?b?a?2ab?b
2(a?b)
=;
a?b
a?b
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a
2
?1
(a?a)
a
（2）原式===
2
.
?1?1
1
a?1
(a?a)(a?a)
a?a
a?
10
lg5
2
=
1?lg2
,所以lo g5=
1?a
. 3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log
12
5= =
12
lg12
lg2
2
?3
2lg2?lg3
2 a?b
lg
（2）因为
log
2
3?a
，
log< br>3
7?b

1
3(?b)?1
log
7
2< br>3
?7
3log
7
2?13(log
3
2?log< br>3
7)?1
ab?3
===
a
=.
log
14
56?
1
1?log
3
2?log
3
7
ab?1
log
7
2?7
1?log
7
2
1?? b
a
11
4.（1）（-∞,）∪（
,+∞）;（2）［0,+∞）. 22
2
5.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1, +∞）.
3
6.（1）因为log
6
7>log
6
6=1 ,所以log
6
7>1.又因为log
7
67
7= 1,所以log
7
6<1.所以log
6
7>log
7
6.
（2）因为log
3
π>log
3
3=1,所以log
3< br>π>1.又因为log
2
0.8<0,所以log
3
π>log
2
0.8.
7.证明：（1）因为f（x）=3
x
,所以f（x）·f（ y）=3
x
×3
y
=3
x+y
.
又因为f（x+y）=3
x+y
,所以f（x）·f（y）=f（x+y）.
（2）因为f（x）=3
x
,所以f（x）÷f（y）=3
x
÷3
y
=3
x-y
.
又因为f（x-y）=3
x-y
,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.
8.证明:因为f（x）=lg
1?x
,a、b∈（-1,1）,
1?x< br>所以f（a）+f（b）=lg
(1?a)(1?b)
1?a1?b
=lg,
?lg
(1?a)(1?b)
1?a1?b
a?b
a?b
1 ?ab
）=lg
1?ab?a?b
=lg
(1?a)(1?b)
. f（）=lg（
a?b
(1?a)(1?b)
1?ab1?ab?a?b
1?
1?ab
a?b
所以f（a）+f（b）=f（）.
1?ab
1?
9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·a
x
（a>0,且a ≠1）.

第36页 共45页

因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,
?
k?192,
0
?
192?k?a,
?
?
所以
?
解得
?< br>
7
22
?0.93.
?
?
42?k?a,
?
a?
22
32
?
所以y=192×0.93
x
,
即所求函数解析式为y=192×0.93
x
.
（2）当x=30 ℃时,y≈22（小时）；
当x=16 ℃时,y≈60（小时）,
即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时.
（
3
）图象如图：

图2-2
10.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=x
α
,因为f（ x）的图象过点（2,
11
2
）,
2
??
2
α< br>1
所以=2,即2
2
=2
α
.所以α=
?
. 所以f（x）=x
2
（x>0）.
2
2
图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.
B组
1.A
2.因为2
a
=5
b
=10,所以 a=log
2
10,b=log
5
10,所以
11
1
1
+=+=lg2+lg5=lg10=1.
a
b
log
210log
5
10
3.（1）f（x）=a
?
2
在x∈ （-∞,+∞）上是增函数.
2
x
?1
证明：任取x
1
, x
2
∈（-∞,+∞）,且x
1
2
.
2(2
x
1
?2
x
2
)
2222
f（x
1
）-f（x
2
）=a
?
x
-a+
x
=
x
-
x
=
x
.
x
1
221< br>2
2?1
2?12?12?1
(2?1)(2?1)
因为x
1
,x
2
∈（-∞,+∞）,
所以
2
x
2
?1?0.2
x
1
?1?0.

又因为x
1
2
,
所以
2
x
1
?2
x
2
即
2
x
1
?2
x2
<0.所以f（x
1
）-f（x
2
）<0,即f（x
1
）2
）.
2
在（-∞,+∞）上是增函数.
2
x
?1
所以函数f（x）=a
?
（2）假设存在实数a使f（x） 为奇函数,则f（-x）+f（x）=0,

第37页 共45页

21121
=0a=+=+=1,
?
2
?x
?12
x
?12
?x
?12
x
?12
x
?12
x
?1
1
即存在实数a=1使f（x）=
?
?x
为奇函数.
2?1
即a
?
+a
?
1
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
4.证明:（1）因为f（x）=,g（ x）=,
2
2
所以［g（x）］
2
-［f（x）］
2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］
e
x
?e
?xe
x
?e
?x
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
?)()
=
(
2222
=e
x
·e
-x
=e
x-x
=e
0
=1,
即原式得证.
e
x
?e
?x
e
x
?e< br>?x
（2）因为f（x）=,g（x）=,
2
2
e
2x?e
?2x
e
x
?e
?x
e
x
?e< br>?x
e
2x
?e
?2x
所以f（2x）=,2f（x）·g（ x）=2··=.
222
2
所以f（2x）=2f（x）·g（x）.
e
x
?e
?x
e
2x
?e
?2x
e
x
?e
?x
（3）因为f（x）=,g（x）=,所以g（2x）=,
22
2
e
x
?e
?x
2
e
x
?e?x
2
［g（x）］+［f（x）］=（）+（）
2
2
22< br>e
2x
?2?e
?2x
?e
2x
?2?e
? 2x
e
2x
?e
?2x
==.
42
所以g（2x）=［f（x）］
2
+［g（x）］
2
.
5.由题意可知,θ
1
=62,θ
0
=15,当t=1时,θ=52 ,于是52=15+(62-15)e
-k
,
解得k≈0.24,那么θ=15+47e
-0.2
4t. 所以,当θ=42时,t≈2.3;当θ=32时,t≈4.2.
答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.
6.(1)由P=P
0
e
-k
t可知,当t=0时,P=P< br>0
;当t=5时,P=(1-10%）P
0
.于是有(1-10%)P
0
=P
0
e
-5
k,
(ln0.9)t
1
解得k=
?
ln0.9,那么P=P
0
e
5
.
5
1
?10??n0.9
5
1
所以,当t=10时,P=P
0
e=P
0
e
ln0.81
=81%P
0
.
答:10小时后还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P
0
时,有50 %P
0
=P
0
e
1
(ln0.9)t
5
, 解得t=
ln0.5
≈33.
1
ln0.9
5
答:污染减少50%需要花大约33h.

第38页 共45页

(3)
其图象大致如下
:
图2-3



新课程标准数学必修1第三章课后习题解答
第三章 函数的应用
3．1函数与方程
练习（P88）
1.(1)令 f(x)=-x
2
+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，
所以方程-x
2
+3x+5=0有两个不相等的实数根.
(2)2x(x-2)=-3可化为2x
2
-4x+3=0，令f(x)=2x
2-4x+3,
作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方 程2x(x-2)=-3无实数根.
(3)x
2
=4x-4可化为x
2-4x+4=0,令f(x)=x
2
-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2 -7(3))，
它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x
2
=4x-4有两个相等的实数根. < br>(4)5x
2
+2x=3x
2
+5可化为2x
2
+2 x-5=0,令f(x)=2x
2
+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7( 4))，
它与x轴有两个交点，所以方程5x
2
+2x=3x
2
+ 5有两个不相等的实数根.

图3-1-2-7

第39页 共45页

2.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1> 0,f(1.5)=-2.875<0,
所以f(x)=-x
3
-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.
又 因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x
3
-3x+5在区间(1,1 .5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,
所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.
又因为f(x) =2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,
所以f(x)=e
x
-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.
又因 为f(x)=e
x
-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上 有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(- 3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,
所以f(x)=3(x+2)(x-3) (x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.

图3-1-2-8
练习（P91）
1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x
0
.
下面用二分法求函 数f(x)=x
3
+1.1x
2
+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零 点.
取区间(0，1)的中点x
1
=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·f(1)<0,所以x
0
∈(0.5,1).
再取区间 (0.5，1)的中点x
2
=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x
0
∈(0.5,0.75). 同理,可得x
0
∈(0.625,0.75)，x
0
∈(0.625,0 .687 5)，x
0
∈(0.656 25,0.687 5).
由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.656 25.
2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f (x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.
于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x
0
.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.
取区间(2,3)的中点x
1
=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.
因为f(2.5)·f(3)<0,所以x
0
∈(2.5,3).
再取区间 (2.5,3)的中点x
2
=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.
因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x
0
∈(2.5,2.75).
同理,可得x
0
∈(2.5,2.625),x
0
∈(2.562 5,2.625),x
0
∈(2.562 5,2.593 75),

第40页 共45页

x
0
∈(2.578 125,2.593 75),x
0
∈(2.585 937 5,2.59 375).
由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.593 75.
习题3.1 A组（P92）
1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.
2.由x,f(x)的对应值 表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，
并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”
可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.
3.原方程即 (x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,
可 算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有 一个解.
下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.
取区间(-1，0)的中点x
1
=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.3 75.
因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x
0
∈(-1,-0.5).
再取(-1，-0.5)的中点x
2
=-0.75,用计算器可算得f(-0.75) ≈1.58.
因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x
0
∈(-1,-0.75).
同理,可得x
0
∈(-1,-0.875)，x
0
∈(-0.937 5,-0.875).
由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为-0.937 5.
4.原方程即0.8
x
-1-lnx=0,令f(x)=0.8
x
-1-lnx,f(0)没有意义，
用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,
所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.
下面用二分法求方程0.8
x
-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.
取区间(0.5，1)的中点x
1
=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.
因为f(0.75)·f(1)<0,所以x
0
∈(0.75,1).
再取 (0.75,1)的中点x
2
=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.
因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x
0
∈(0.75,0.875) .
同理,可得x
0
∈(0.812 5,0.875)，x
0
∈(0.812 5,0.843 75).
由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.843 75.
5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.
下面用二分法求函数f(x)=lnx
?
2
在区间(2，3)内的近似解.
x
取区间(2，3)的中点x
1
=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0 .12.
因为f(2)·f(2.5)<0,所以x
0
∈(2,2.5).
再取(2，2.5)的中点x
2
=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.
因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x
0
∈(2.25,2.5).
同理,可得x
0
∈(2.25,2.375)，x
0
∈(2.312 5,2.375),x
0
∈(2.343 75,2.375),
x
0
∈(2.343 75,2.359 375),x
0
∈(2.343 75,2.351 562 5),x
0
∈(2.343 75,2.347 656 25).
由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.
B组
?b?b
2
?4ac
3?(?3)
2
?4?2?(?1)
2
3?17< br>1.将系数代入求根公式x=,得x==,
2a
2?2
4

第41页 共45页

所以方程的两个解分别为x
1
=
3?17
,x
2
=
3?17
.
4
4
下面用二分法求方程的近似解.
取区间(1.775,1.8)和(- 0.3,-0.275),令f(x)=2x
2
-3x-1.
在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)·f(1.8)<0.
所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,
所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.
所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.
2.原方程即x
3
-6x
2
-3x+5=0,令f(x)=x
3
-6x
2
- 3x+5,函数图象如下图所示.

图3-1-2-9
所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.
取区间(-2，0)的中点x
1
=-1,用计算器可算得f(-1)=1.
因为f(-2)·f(-1)<0,所以x
0
∈(-2,-1).
再取(- 2，-1)的中点x
2
=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.
因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x
0
∈(-1.5,-1).
同理,可得x
0
∈(-1.25,-1)，x
0
∈(-1.125,-1), x
0
∈(-1.125,-1.062 5).
由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.
同理,可得原方程在区 间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.
3.(1)由题 设有g(x)=2-［f(x)］
2
=2-(x
2
+3x+2)
2< br>=-x
4
-6x
3
-13x
2
-12x-2.

第42页 共45页

(2)
函数图象如下图所示
.
图3-1-2-10
(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点. < br>取区间(-3，-2)的中点x
1
=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.1 87 5.
因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x
0
∈(-3,-2.5).
再取(-3，-2.5)的中点x
2
=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.2 8.
因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x
0
∈(-3,-2.75).
同理,可得x
0
∈(-2.875,-2.75)，x
0
∈(-2. 812 5,-2.75).
由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.
同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.
所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.
点评：第2、3题采用信息 技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术
条件,建议教师直接 给出函数图象或零点所在区间.
第三章 复习参考题
A组（P112）
1.C 2.C
3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=
?
?
200?1 00t,0?t?2,
图3-2
100t?200,2?t?5.
?
4.(1)圆柱形; (2)上底小、下底大的圆台形;
(3)上底大、下底小的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形. 图略.

第43页 共45页

图3-3
5.令f(x)=2x
3
- 4x
2
-3x+1,函数图象如图3-3所示:
函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,
所以方程2x
3
-4x
2
-3x+1=0的最大的根应在区间(2,3)内.
取 区间(2,3)的中点x
1
=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-0.25.因为f(2 .5)·f(3)<0,所以x
0
∈(2.5,3).
再取(2.5,3)的中点x
2
=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.
因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x
0
∈(2.5,2.75). 同理,可得x
0
∈(2.5,2.625),x
0
∈(2.5,2.56 25),x
0
∈(2.5,2.53125),
x
0
∈(2.51 5625,2.53125),x
0
∈(2.515625,2.5234375).
由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,
所以原方程的最大根约为2.523 437 5.
6.令lgx=
1
11
,即得方程lgx
?
=0,再令g(x)=lgx
?
,用二分法求得 交点的横坐标约为2.5.
x
xx

图3-4
7.如图,作DE⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.
AD
2
x
2
因为AD=x,AB=4,于是AD=AE×AB,即AE==.
AB
4
2
x
2
x
2
所以CD=AB-2AE=4-2×=4< br>?
.
42
x
2
x
2
于是y=AB+BC+ CD+AD=4+x+4
?
+x=
?
+2x+8.
22
x
2
x
2
由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4
?
>0,解得02
.
42

第44页 共45页

x
2
所以所求的函数为y=
?
+2x+8 ,02
.
2
8.(1)由已知可得N=N
0
(< br>1
t
1
λ
).因为λ是正常数,e>1,所以e>1,即0<<1.
??
ee
1
又N
0
是正常数,所以N=N
0
(
?
)
t
是在于t的减函数.
e
NN
1
N
,所以-λt=ln,即t=
?
ln.
N
0
N
0
?
N
0
(2)N=N
0
e
-λt
,因为e
-λt
=
(3)当N=
N
0
1
N
0
1
时,t=
?
=
?
l n2.
2
?
2N
0
?
9.因为f(1)=-3+12+8 =17>0,f(2)=-3×8+12×2+8=8>0,f(3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始.
B组
1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.
?
3
2< br>0?t?1,
?
t,
2
?
?
?
3
( t?2)
2
?3,1?t?2,
2.函数的解析式为y=f(t)=
?< br>?
?
2
?
3,t?2.
?
?
?
函数 的图象为

图3-5



备课资料
［备选例题］
【例】对于函数f(x)=ax
2
+(b+1)x+b-2( a≠0)，若存在实数x
0
，使f(x
0
)=x
0
成立，则 称x
0
为f(x)的不动点.
（1）当a=2,b=-2时，求f(x)的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围.
解： (1)f(x)=ax
2
+(b+1)x+b-2(a≠0),当a=2,b=-2时,f(x )=2x
2
-x-4,
设x为其不动点,即2x
2
-x-4=x， 则2x
2
-2x-4=0,解得x
1
=-1,x
2
=2,即 f(x)的不动点为-1,2．
(2)由f(x)=x,得ax
2
+bx+b-2= 0.关于x的方程有相异实根,则b
2
-4a(b-2)>0,即b
2
-4a b+8a>0.
又对所有的b∈R,b
2
-4ab+8a>0恒成立,故有(4a)
2
-4·8a<0,得0


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