高一数学必修一知识点总结及经典例题分析

高一数学必修1
1.知识点总结

一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性, (2) 元素的互异性, (3) 元素的无序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数
集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N
+
整数集Z 有理数集Q 实数集R
1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方
法{x| x-3>2}
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝


二、集合间的基本关系 1.?包含关系—子集
注意：B包含A有两种可能（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A不属于B或B不属于
A
2．相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①即任何一个集合
是它本身的子集。
②真子集:如果A属于B,且A不属于B那就说集合A是集合B的真子集。
③如果 A属于B, B属于C ,那么 A属于C
④ 如果A属于B 同时 B属于A ，那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
1.规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
2.特点有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集





1 11

三、集合的运算
运算交 集 并 集
类型
定
由所有属于A且由所有属于集合A
义
属于B的元素所或属于集合 B的元
组成的集合,叫素所组成的集合，
做A,B的交集．记叫做A,B的并
作A?
B（读作‘A集．记作：A
?
B（读
），即
交B’），即A< br>?
B=
作‘A并B’
补 集
设S是一个集合，A
是S的 一个子集，由
S中所有不属于A的
元素组成的集合，叫
做S中子集A的补集
（ 或余集）
记作
C
S
A
，即
?
A，或
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

AB ={x|x
?
｛x|x
?
A，且
x
?
B｝．
韦
A
恩
图
图1
示
性
A
?
A=A


A
?
Φ=Φ

质
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
B
x
?
B})．
A
B
S
A


图2

(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B







2.函数基本知识点总结

1．函数的概念：设A、B是非空的 数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对
于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么
2 11

就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中 ，x
叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函
数值，函数 值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定
义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使
各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)换元法
3．映射
一般地 ，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确
定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在 集
合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A
?
B为从集合 A到集合B的一个映射。记作“f（对应关
系）：A（原象）
?
B（象）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
(1)集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯
一的 ；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
4．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意 一个
x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数：一般地 ，对于函数f(x)的定义域内的任意一个
x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函 数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对
○
称；
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x)
○
= 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋
f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
3 11 < /p>

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要
条件．首先看函数的定义 域是否关于原点对称，若不对称
则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)
由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判定; (3)利用定
5、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变
量之间的函数关系时，一是要求出它们之间 的对应法则，
二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
○
值
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]
上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在 区间[b，c]上单
调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
6.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某
个区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
， 当x
1
2
时，都有
f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D
称为y=f(x)的单调增区间. < br>如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在这个区间上是减
函数.区间D称为y=f(x)的单 调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函 数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说
函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区
间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象 从左
到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x，x∈D，且x○
2 作差f(x)－f(x)；
○
1212
12
4 11

3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
12
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)< br>，
y=f(u)
的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能
把单调性相同的区间和在一起写成其并集.















例题：
1.求下列函数的定义域：
2
⑴
y?
x?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2

x?3?3
x ?1
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则函数
f (x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义域是
4.函数
?
x?2(x??1)
?
，若
f(x)?3
，则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

6.已知函数
f(x?1) ?x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的解析式
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4< br>，则
f(x)
= 。
5 11

8.设
f(x)
是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)
,则当
x?(??,0)
时
f (x)
=

f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1

10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论．
2
1?x
11.设函数
f(x)?
判断它的奇偶性并且求证：
f(
1
)??f(x)
．
2
1?x
x













3.基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做a
的
n
次
方根，其中
n
>1，且
n
∈
N
*
．
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
?
a(a?0)
n

a
n
?|a|?
?< br>?
?a(a?0)
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
，
a
?
?
1
m
n
?
1
n
a
? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
6 11
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

3．实数指数幂的运算性质
r
rr?s
（1）
a
·
a?a



(a?0,r,s?R)
；
(a?0,r,s?R)
；

rsrs
(a)?a
（2）
rrs
(ab)?aa
（3）

(a?0,r,s?R)
．
（二）指数函数及其性质
1 、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫
做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零
和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
44< br>33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246

-4-2
0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调递
增
非奇非偶函数
函数图象都过
定点（0，1）
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递
减
非奇非偶函数
函数图象都过
定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f( x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
（3 ）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
，总有
f(1) ?a
；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么
数
x
叫做以 记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
．
a
为底
．．
N
的对数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
2
a
○
x
?N?log
a
N?x
；
log
a
N

7 11

3 注意对数的书写格式．
○
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
○
lnN
．
? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，< br>M?0
，
N?0
，那么：
1
log
○
2
log
○
3
log
○
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； a
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
．
a
注意：换底公式
log
c
b
log
a
b?
（
a?0
，且
a?1
；且
c?1
；．
c?0，
b?0
）
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
1
n
（1）
log
a
b
n
?log
a
b
；（2）
log
a
b?
．
loga
m
b
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对
数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
m
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定
义，注 意辨别。如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
数 ，而只能称其为对数型函数．
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○
2、对数函数的性质：
a>1 0x
都不是对数函
5
8 11

3
3
2.5
2 .5
2
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都
过定点（1，
0）
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定
点（1，0）

（三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂
函数，其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点
（1，1）；
（2）< br>?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函 数．特别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
? 1
时，幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从
右边趋向原点时， 图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图
象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．





例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是 ( )



9 11

2.计算： ①
4?log
2
3
log
3
2
= ；
25
3
log
5
27?2log
5
2
= ;
?
②
2
log
27
64
1
3
1
7
?
4
?(?)
0
?[(?2)< br>3
]
3
?16
?0.75
?0.01
2
=
8
1
③
0.064
?
3.函数y= log
1
(2x
2
-3x+1)的递减区间为 2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知
f( x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
，（1）求
f(x)的定义域（2）求使
f(x)?0
的
x
的取值
1?x
范 围.



















第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念： 对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x )
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有 实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有
交点< br>?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
10 11

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与
○
函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零
点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（1）△＞ ０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函
数的图象与< br>x
轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根，二次函
数的图象与
x
轴有一个交点， 二次函数有一个二重零点或二
阶零点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0
无实根，二次函数的图
象与
x
轴无交点，二次函数无零点．



11 11