高中数学必修1基础练习题(附详细答案)

高中数学必修一基础练习题



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?
??? 高中数学必修一基础练习题
班 号 姓名
?? 集合的含义与表示
1．下面的结论正确的是( )
A．a∈Q，则a∈N
C．x
2
－1＝0的解集是{－1，1}
2．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1，2，3和9，1，4组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程x
2
－4＝0和方程|x－1|＝1的解构成了一个四元集
3．用列举法表 示{(x，y)|x∈N
＋
，y∈N
＋
，x＋y＝4}应为( )
A．{(1，3)，(3，1)} B．{(2，2)}
D．{(4，0)，(0，4)}

B．a∈Z，则a∈N
D．以上结论均不正确
C．{(1，3)，(3，1)，(2，2)}
4．下列命题：
(1)方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
(2)集合{y|y＝x
2
－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}的 公共元素所组成的集合是{0，1}；
(3)集合{x|x－1<0}与集合{x|x>a，a∈R}没有公共元素．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．对于集合A＝
{
2，4，6，8
}
，若a∈A，则8－ a∈A，则a的取值构成的集合是________．
6．定义集合A*B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈B}，若A＝{1，2}，
B＝{0，2}，则A*B中所有元素之和为________．
7．若集合A＝{－1，2}，集合 B＝{x|x
2
＋ax＋b＝0}，且A＝B，则求实数a，b的值．


8．已知集合A＝{a－3，2a－1，a
2
＋1}，a∈R.
(1)若－3∈A，求实数a的值； (2)当a为何值时，集合A的表示不正确．

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?
??? 集合间的基本关系
1．下列关系中正确的个数为( )
①0∈{0}；②?{0}；③{(0，1)}?{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合A＝{x|－1 A．A>B B．AB C．BA D．A?B
3．已知{1，2}?M{1，2，3，4}，则符合条件的集合M的个数是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
M，则a的取值为( ) 4．集合M＝{1，2，a，a
2
－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N
A．－1 B．4 C．－1或－4 D．－4或1
5．集合A中有m个元素，若在A中增加一个元素，则它的子集增加的个数是__________．
6．已知M＝{y|y＝x
2
－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则 集合M与
N之间的关系是________．
7．若集合M＝{x|x
2< br>＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N?M，求实数a的值．





8．设集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|－2＜x＜3}，
(1)若A




B，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a使B?A?

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?
?? 并集与交集
1．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有( )
A．A?C B．C?A C．A＝C D．以上都不对
2．A＝{0，2，a}，B＝{ 1，a
2
}，A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}
和N＝{x|x＝2k－1，k∈N
*
}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则
阴影部分所示的集合的元素共有( )
A．2个 B．3个 C．1个 D．无穷多个
4．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则k的
取值范围是( )
A．k≤3 B．k≥－3 C．k＞6 D．k≤6
5．已知集合M＝{x|－35}，
则M∪N＝________，M∩N＝________．
6．已知集合A＝{(x ，y)|y＝x
2
，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则A∩B中的元素个数 为___．
7．已知集合A＝{x|x
2
＋px＋q＝0}，B＝{x|x
2
－px－2q＝0}，且A∩B＝{－1}，求A∪B.





8．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0，m∈R}，当A∩B＝ B时，求m的取值范围．

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?
?? 集合的补集运算
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{1，3，5，7}，N＝{5，6，7}，
则?
U
(M∪N)＝( )
A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}

2．已知全集U＝{2，3，5}，集合A＝{2，|a－5|}，若?
U
A＝{3}，则a 的值为( )
A．0 B．10 C．0或10 D．0或－10

3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x>4}，
那么集合A∩(?
U
B)等于( )
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}

4．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )



A．A∩B B．A∪B C．B∩(?
U
A) D．A∩(?
U
B)

5 ．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(?
S
A)∩B＝__ ______．

6．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x?B}，若A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{2，4，5}，则A*B的子集的个数是________．
5
7．已知全集U＝R， A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－12
(1)求A∩B； (2)求(?
U
B)∪P； (3)求(A∩B)∩(?
U
P)．




8 ．已知集合A＝{x|2a－2

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?
?? 函数的概念
1．设集合M＝{x|0≤x ≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集
合N的函数关系的是( )
2
2．f(x)＝的定义域是( )
x－x
A．(－∞，1] B．(0，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，1] D．(0，＋∞)
3．函数y＝x
2
－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( )
A．{－1，0，3}
C．{y|－1≤y≤3}




B．{0，1，2，3}
D．{y|0≤y≤3}
4．若函数f(x)＝ax
2
－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的 值是( )
A．1 B．0 C．－1 D．2
x
2
5．函数y＝
2
(x∈R)的值域是________．
x＋1
6．设f(x)＝
1
，则f[f(x)]＝________．
1－x
7．求下列函数的定义域：
4－x
2
(1) f(x)＝2x－1－3－x＋1； (2) f(x)＝.
x＋1





x
2
111
8．已知函数f(x)＝， (1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值； (2)求证f(x)＋f()是定值。
23x
1＋x
2

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?
??
函数的三种表示法
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是( )

3．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于( )
A．8 B．1 C．5 D．－1
4．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由右图
所示的函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为
A．50 kg B．30 kg C．19 kg D．40 kg
5．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为
1
(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f()的值等于________．
f（3）
6．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：


x
f(x)
1
1
2
3
3
1
x
g(x)
1
3
2
2
3
1
则f(g(1))＝________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
7．2010年，广州成功举办了第17届亚运会，在全部可售票中，定价等于或低于100元的票
数占58%.同时为鼓励中国青少年到现场观看比赛，特殊定价门票最低则只需5元．有些
比赛项目则无需持票观看，如公路自行车、公路竞走和马拉松比赛均向观众免票开放．
某同学打算购买x张价格为20元的门票，(x∈{1，2，3，4，5})，需要y元．试用函数的
三种表示方法将y表示成x的函数．

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?
★★ 分段函数及映射
1．设f：x→x
2
是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，2} ，则A∩B一定是( )
A．? B．?或{1} C．{1} D．{1}
2．已知映射f：A→B，即对任意a∈A，f：a→|a|.其中集合A＝{－3，－2 ，－1，2，3，4}，
集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，则集合B中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
x－1（x>0），
?
?
3． 已知f(x)＝
?
0（x＝0），
则f ( f (－2) ) ＝ ( )
?
?
x＋5（x<0），
A．－2 B．0 C．2 D．－1
?
?
x－5 （x≥6）
4．已知f(x)＝
?
，则f(3) = ( )
?
f（x＋2） （x＜6）
?
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，
35
f：x→(x＋1，x
2
＋1)，求B中元素(，)与A中________对应．
24
?
x
2
， x≤0，
?
6．已知函数f(x)＝
?
则f(4)＝________．
?
?
f（x－2）， x＞0，
7．如图所示，函数f(x)的图象是折线 段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，
(6，4)． (1)求f(f(0))的值； (2)求函数f(x)的解析式．




8．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内车距d是车速v(公里
小 时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假
定车速为50 公里小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(S为常数)．

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?
?? 函数的单调性
1．若函数f(x)＝4x
2
－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围 是( )
A．(－∞，40) B．[40，64] C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)
2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a
2
)f(a－2) D．f(6)>f(a)
3．函数y＝x
2
＋x＋1(x∈R)的递减区间是( )
11
－，＋∞
?
B．[－1，＋∞) C.
?
－∞，－
?
D．(－∞，＋∞) A.
?2
??
2
??
4．函数f(x)在(a，b)和(c，d)都是增函数， 若x
1
∈(a，b)，x
2
∈(c，d)，且x
1
2
那么( )
A．f(x
1
)2
) B．f(x
1
)>f(x
2
) C．f(x
1
)＝f(x
2
) D．无法确定
2
?
?
x＋1 （x≥0）
5．函数f(x)＝
?
2
的单调递增区间是________．
?
－x＋1 （x<0）
?
6．若f(x)＝2x
2
－m x＋3在(－∞,－2]上为减函数，在[－2,＋∞)上为增函数，则f(1)＝ ．
1
7．求证：函数f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
x







8．定义在( －1，1)上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且f(1－a)＋f(1－2a)<0.若f(x) 是(－1，1)
上的减函数，求实数a的取值范围．

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?
?? 奇偶性
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝|x| C．f(x)＝－x
2

1
D．f(x)＝
x
2．函数f(x)＝x
2
＋x的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
3．已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )
A．5 B．10 C．8 D．不确定
4．已知函数f(x)在[－ 5，5]上是偶函数，f(x)在[0，5]上是单调函数，且f(－3)不等式 一定成立的是( )
A．f(－1)f(1)
5．函数y＝ax
2
＋bx＋c为偶函数的条件是________．
6． 函数f(x)＝x
3
＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________． ax＋b
12
7．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝，求 函数f(x)的解析式．
25
1＋x
2







8．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且 f(2a
2
＋a＋1)2
－2a＋3)，求
a的取值范围 ．

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?
?? 函数的最大(小)值
11
1．函数y＝
2
在区间[，2]上的最大值是( )
x2
1
A. B．－1 C．4
4
D．－4
2．函数f(x)＝9－ax
2
(a>0)在[0，3]上的最大值为( )
A．9 B．9(1－a) C．9－a D．9－a
2

?
?
2x＋6，x∈[1，2]，
3．函数 f(x)＝
?
则f(x)的最大值、最小值分别为( )
?
x＋7，x∈[－1，1），
?
A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对
4．某公司在甲乙两地同时销售一 种品牌车，利润(单位：万元)分别为L
1
＝－x
2
＋21x和L
2
＝
2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
5．若一次函数y＝f(x)在区间[－1，2]上的最小值为1，最大值为3 ，则y＝f(x)的解析式为_____．
6．函数y＝－x
2
－4x＋1在区间[ a，b](b>a>－2)上的最大值为4，最小值为－4，则a＝____，
b＝________．
2
?
?
－
x
，x∈（－∞，0）
7．画出函数f( x)＝
?
的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．
?
?
x
2
＋2x－1，x∈[0，＋∞）






8．已知函数f(x)＝x
2
＋2ax＋2，x∈[－5，5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．

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?
?
?
指数与指数幂的运算
1．下列等式一定成立的是( )
A．a·a＝a
1
3
3
2
B．a
?
1
2
·a＝0 C．(a)＝a
1
2
329
D．a÷a＝a
1
2
1
3
1
6
4
2.a－2＋(a－4)
0
有 意义，则a的取值范围是( )
A．a≥2 B．2≤a＜4或a＞4 C．a≠2 D．a≠4
1
0
27
2
－
2
3．(1)－(1－0.5)÷()
3
的值为( )
28
1
A．－
3
4．设a－a
1
2
14
B. C.
33
a
2
＋1
＝m，则＝( )
a

7
D.
3
?
1
2
A．m
2
－2
0
－
2
B．2－m
2
C．m
2
＋2
1
D．m
2

1
2
?
2
＝________． 5．计算：(π)＋2×
?
?
4
?
6．若10
2x
＝25，则10
x
等于________．
－
x＋yx－y
11
7．根据条件进行计算：已知x＝，y＝，求－的值．
23
x－yx＋y




8．计算或化简下列各式：
(1)[(0.027)







21
3
－
1.5
32
3
（a·b）·a
1
]＋[81
0.25
－(－32 )
0.6
－0.02×()]； (2)
10
6
a·b
5
1
－
2
2
－
1
?
1
2
?
1
2
·b
1
3
.

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?
??
幂函数
1．幂函数y＝x
n
的图象一定经过(0 ，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( )
A．一点 B．两点 C．三点 D．四点
2．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( )
A．y＝x
2
3
1
2
B．y＝x
4
C．y＝x
－
2
D．y＝x
1
3
3．如图，函数y＝x的图象是( )


4．幂函数f(x)＝x满足x>1时f(x)>1，则α满足的条件是( )
A．α>1 B．0<α<1 C．α>0 D．α>0且α≠1
5 ．函数y＝(2m－1)x
m
2
α
是一个幂函数，则m的值是_______ _．
5
3
3
4
2
1
－
6．下列六个函数 ①y＝x，②y＝x，③y＝x－，④y＝x
3
，⑤y＝x
2
，⑥y＝x2
中，定义域为R
3
的函数有________(填序号)．
7．比较下列各组数的大小：
(1)3






8．已知幂函数y＝x
3m9
(m∈N
*
)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而
－
?
5
2
和3.1
?
5
2
； (2)－8
?
7
8
π
?
1
7
2
?
和－()
8
； (3)(－)
3
和(－)
3
.
936
22
减小，求该函数的解析式．

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?
??
指数函数及其性质
1．下列函数中指数函数的个数为( )
1
－
1
①y＝()
x1
； ②y＝2·3
x
； ③y＝a
x
(a>0且a≠1，x≥0)； ④y＝1
x
； ⑤y＝()
2x
－1.
22
A．1个 B．2个 C．4个 D．5个
2．函数y＝3
x
与y＝3
－
x
的图象关于下列哪条直线对称( )
A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．直线y＝－x
3．若集合M＝{y|y＝2
x
， x∈R}，N＝{y|y＝x
2
，x∈R}，则集合M，N的关系为(
A
．
MN B
．
M
?
N C
．
NM D
．
M
＝
N
4．已知1＞n ＞m＞0，则指数函数①y＝m
x
，②y＝n
x
的图象为( )
5．若函数y＝(2a－1)
x
为指数函数，则实数a的取值范围是________． 6．函数y＝a
x
＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点________(填点的坐标 )．
7．已知函数f(x)＝a
x
－
1
(x≥0)的图象经过点( 2，
1
2
)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．






8．已知指数函数f(x)＝a
x
在区间[1，2]上的最大值比最小值大
a
2
，求a的值．





)

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?
??
指数函数及其性质的应用
1．若2
x1
<1，则x的取值范围是( )
＋
A．(－1，1)
1
?
2．函数y＝
?< br>?
2
?
1－x
B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
的单调递增区间为( )
B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) A．(－∞，＋∞)
3．下列不等关系中，正确的是( )
1
2
1
1
3
A．()<1<()
3

22
22
1
1
1
1
3
1
33
1
3
B．()<()<1 C．1<()<()
2222
2
1
3
1
1
D．()<()
3
<1
22
4．函数f(x)＝2
|x|
，则f(x)( )
A．在R上是减函数 B．在(－∞，0]上是减函数
C．在[0，＋∞)上是减函数 D．在(－∞，＋∞)上是增函数
1
－
5．方程3
x1
＝的解是________．
91
6．已知函数y＝()
x
在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m ＋n的值为________．
3
1
－
1
7．已知2
x< br>≤()
x3
，求函数y＝()
x
的值域．
42






8．已知函数f(x)＝a
2
－
3x
(a>0，且a≠1)．
(1)求该函数的图象恒过的定点坐标； (2)指出该函数的单调性．

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?
??
对数与对数运算
1．使式子log
(x
－
1)
(x
2
－1)有意义的x的值是( )
A．x＜－1或x＞1
1
2．方程2
log
3
x
＝的解是( )
4
A.
3

3
1
B.3 C.
9
D．9
B．x＞1且x≠2 C．x＞1 D．x≠2
2lg（lga
100
）
3．化简：的结果是( )
2＋lg（lga）
1
A.
2
B．1 C．2 D．4
8
4．已知2
x
＝3，log
4
＝y，则x＋2y的值为( )
3
A．3 B．8 C．4 D．log
4
8
5．若log
a
x＝2，log
b
x＝3，log
c
x＝6，则log
abc
x的值为________．
6．已知x，y∈(0，1)，若lgx＋lgy＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y )＝________．
7．计算下列各式的值：
511
－
(1)lg12.5－lg＋lg； (2)lg25＋lg2＋lg10＋lg(0.01)
1
； (3)log
2
(log
2
64)．
822







8．方程lg
2
x＋(lg2 ＋lg3)lgx＋lg2lg3＝0的两根之积为x
1
x
2
，求x
1
x
2
的值．

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?
??
对数函数及其性质
1．下列函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝a
x
与y＝log
a
x(a>0，a≠1)
C．y＝lgx与y＝lgx
B．y＝x与y＝x
D．y＝x
2
与y＝lgx
2

2．函数y＝2＋log
2
x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
3．函数y＝log
1
（3x－2）的定义域是( )
2
A．[1，∞)
22
B．(，＋∞) C．[，1]
33
2
D．(，1]
3
4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
5．函数y＝log
x
(2－x)的定义域是________．
6．若a >0且a≠1，则函数y＝log
a
(x－1)＋1的图象恒过定点________．
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝log
2
（4x－3）； (2)y＝log
5
－
x
(2x－2)．




8．已知f(x)＝log
3
x.
(1)作出这个函数的图象；(2)当0f(2)，利用图象求a的取值范围．

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?
??
对数函数及其性质的应用
11
1．已知y＝()
x
的反函数为y＝f(x)，若f(x
0
)＝－，则x
0
＝( )
42
A．－2 B．－1 C．2
1
D.
2
2．下列四个数中最大的是( )
A．(ln2)
2
B．ln(ln2) C．ln2 D．ln2
3．已知函数f(x)＝2log
1
x的值域为[－1，1]，则函数f (x)的定义域是( )
3
A．[－1，1] B．[
33
，3] C．[，3] D．[－3，3]
33
4．若log
a
－
1
(2x－1)>log
a
－< br>1
(x－1)，则有( )
A．a>1，x>0 B．a>1，x>1 C．a>2，x>0 D．a>2，x>1
5．函数y＝log
1
(1－2x)的单调递增区间为________．
2
6．函数f(x)＝log
a
x(07．已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y ＝log
a
x的最大值比最小值大1，求a
的值．





8．已知函数f(x)＝lg|x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．

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?
??
方程的根与函数的零点
1．函数f(x)＝log
5
(x－1)的零点是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若函 数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx
2
－ax的零点是( )
A．0，2
11
B．0，－ C．0，
22
1
D．2，
2
3．对于函数f(x)＝x
2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至少有一个零点
4．根据表格中的数据，可以判断方程e
x
－x－2＝0必有一个根在区间( )
A.(－1，0)
C．(1，2)

5． 函数f(x)＝(x
2
－1)(x＋2)
2
(x
2
－2x－ 3)的零点个数是________．
6．方程lnx＝8－2x的零点x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__________．
7．判断函数f(x)＝e
x
－5零点的个数．




8．已知二次函数y＝f(x)的图象经过点(0，－8)，(1，－5)，(3，7)三点．
(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的零点；
(3)比较 f(2)f(4)，f(－1)f(3)，f(－5)f(1)，f(3)f(－6)与0的大小关系．









B．(0，1)
D．(2，3)

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?
??
用二分法求方程的近似解
1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x
0
∈[a，b]且满足f(x
0
)＝0，则x
0
是f(x) 的一个零点
B．若x
0
是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法 求x
0
的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
2．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3
x1
?
2
3．用二分法判断方程
?
＝x的根的个数是( )
?
2
?
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．设f(x)＝3
x
＋3x－8，用二分法求方程3
x
＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，
f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5) C．(1.5，2) D．不能确定 < br>5．用二分法研究函数f(x)＝x
2
＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜ 0，f(0.5)＞0，可得其
中一个零点x
0
∈________，第二次应计算________．
6．用二分法求函数f(x)＝3
x
－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200
f(1.5625)＝0.003
f(1.5875)＝0.133
f(1.5562)＝－0.029
f(1.5750)＝0.067
f(1.5500)＝－0.060
根据此数据，可得方程3
x
－x－4＝0的一个近似解(精确度0.1)为________．
1
7．方程x
2
－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．
x



8．用二分法求方程x
2
－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)．

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?
??
函数模型的应用实例
1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，
燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函
数关系用图象表示为图中的( )
2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数
y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型
拟合最好( )
A．y＝t
3
B．y＝log
2
t C．y＝2
t
D．y＝2t
2

3．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50
元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和
为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A．B，A，C

B．A，C，B C．A，B，C D．C，A，B
??
几类不同增长的函数模型
1．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元辆，普
通自行车0.2元辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函
数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4000) B．y＝0.5x(0≤x≤4000)
D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000) C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)
2．某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，
变化情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84% C．减少9.5% D．不增不减
3．某工厂在2002年底制订生产计划，要使2012年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产
值年平均增长率应为( )
A．5－1
1
10
B．4－1 C．3－1
1
10
1
10
D．4－1
1
11
x
6．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x＝____，面积S＝____ ．
2

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参考答案
?
?? 集合的含义与表示
1．选C 对于A，a属于有理数，则a属于 自然数，显然是错误的，对于B，a属于整数，
则a属于自然数当然也是错的，对于C的解集用列举法可 用它来表示．故C正确．
2．选C A项中元素不确定；B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具 有无序性，所以
两个集合相等；D项中两个方程的解分别是±2，0，2，由互异性知，可构成一个三元 集．
3．选C x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝1.
?
x＝2，
?
x－2＝0，
?
4．选A (1)?
?
?
?
故解集为{(2，－2)}，而不是{2，－2}；
?
y＝－2.
?
?
|y＋2|＝0
(2) 集合{y|y＝ x
2
－1，x∈R}表示使y＝x
2
－1有意义的因变量y的范围，
而y＝x
2
－1≥－1，故{y|y＝x
2
－1，x∈R}＝{y|y≥－ 1}．
同理集合{y|y＝x－1，x∈R}＝R.
结合数轴(图1)知，两个集合的公共元素所组成的集合为{y|y≥－1}；
(3) 集合 {x|x－1<0}表示不等式x－1<0的解集，即{x|x<1}．而{x|x>a，a∈R}就是x>a的 解集．结
合图2，当a≥1时两个集合没有公共元素；当a＜1时，两个集合有公共元素，形成的集合为{x|a5．解析：当a＝2时，8－a＝6∈A；a＝4时，8－a＝4∈A；
a＝6时，8－a＝2∈A；a＝8时，8－a＝0?A.
∴所求集合为{2，4，6}．答案：{2，4，6}
6．解析：A*B＝{1，－1，2，0}，∴A*B中所有元素之和为1－1＋2＋0＝2. 答案：2
7．解：由题意知－1，2是方程x
2
＋ax＋b＝0的两个根，
?
?
1－a＋b＝0，
由根与系数的关系可知有
?
故有a＝－1， b＝－2.
?
4＋2a＋b＝0，
?

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8．解：(1)由题意知，A中的任意一个元素都有等于－3的可能，所以需要讨论．
当a－3＝－3时，a＝0，集合A＝{－3，－1，1}，满足题意；
当2a－1＝－3时，a＝－1，集合A＝{－4，－3，2}，满足题意；
当a
2
＋1＝－3时，a无解．综上所述，a＝0或a＝－1.
(2)若元素不互异，则集合A的表示不正确
若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a
2
＋1，则方程无解；
若2a－1＝a
2
＋1，则方程无解．综上所述，a＝－2.

?

??? 集合间的基本关系
1．选C ①、②、③均正确；④不正确．a≠b时，(a，b)与(b，a)是不同的元素．
2．C
3．选A 符合条件的集合M有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}共3个．
4．选B (1)若a＝3，则a
2
－3a－1＝－1，
即M＝{1，2，3，－1}，显然N?M，不合题意．
(2)若a
2
－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1(舍去)，
当a＝4时，M＝{1，2，4，3}，满足要求．
5．解析：由2m＋1－2m＝2·2m－2m＝2m. 答案：2m
6．解析：∵y＝(x－1)
2
－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}，∴N M. 答案：NM
7．解：由x
2
＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3. 因此，M＝{2，－3}．
若a＝2，则N＝{2}，此时N?M；若a＝－3，则N＝{2，－3}，此时N＝M；
若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，此时N不是M的子集，
故所求实数a的值为2或－3.

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?
?
a－2 >－2，
?
?
a－2 ≥－2，
8．解：(1)借助数轴可得，a应满足的条 件为
?
或
?
解得0≤ a ≤ 1.
?
a＋2 ≤ 3，
?
a＋2 < 3，
??
?
?
a－2 ≤ －2，
(2)同理可得a应满足的条件为
?
得a无解，所以不存在实数a使B?A.
?
a＋2 ≥ 3，
?
?

??
并集与交集
1．选A A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C，∴A?C.
?
a＝4，
?
2．选D ∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a
2< br>}，A∪B＝{0，1，2，4，16}，则
?
∴a＝4.
?
a＝16.
?
2
3．选A M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1，3}．
kk
4．选D 因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，且M∩N≠?，所以－ ≥－3?k ≤ 6.
22
5．解析：借助数轴可知：M∪N＝{x|x>－5}，
M∩N＝{x|－3－5} {x|－3?< br>?
y＝x2，
?
?
x＝0，
?
?
x＝1，< br>6．解析：由
?
得
?
或
?
答案：2
???
y＝x，y＝0y＝1.
???
7．解：因为A∩B＝{－1}，所以－1∈A 且－1∈B，将x＝－1分别代入两个方程，得
??
?
1－p＋q＝0
?< br>p＝3
?
，解得
?
. 所以A＝{x|x
2
＋3x＋2＝0}＝{－1，－2}，
??
?
1＋p－2q＝0
?
q＝2
B＝{x|x
2
－3x－4＝0}＝{－ 1，4}，所以A∪B＝{－1，－2，4}．
m
8. 解：由题知，B＝{x|x<－，m∈R}，因为A∩B＝B，所以A?B，
4
m
所 以由数轴(如图)可得－
≤－2，所以m≥8，即m的取值范围是m≥8.
4

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?
?? 集合的补集运算
1．选C M∪N＝{1，3，5，6，7}．∴?
U
(M∪N)＝{2，4，8}．
2．选C 由?
U
A＝{3}，知3?A，3∈U. ∴|a－5|＝5，∴a＝0或a＝10.
3．选D 由题意可得，?
U
B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，
所以A∩(?
U
B)＝{x|－1≤x≤3}．端点处的取舍易出错．
4．选C 阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．
因此，阴影部分所表示的集合为B∩(?
U
A)．
5．解析：由已知可得?
S
A＝{x|x>1}，∴(?
S
A)∩B＝{x|x>1}∩{x|0≤x≤5}＝ {x|1答案：{x|16．解析：由题意知A*B＝{1，3}．则A*B的子集有22＝4个．答案：4
7．解：借助数轴，如图．
(1) A∩B＝{x|－15
(2) ∵?
U
B＝{x|x≤－1或x>3}，∴(?
U
B)∪P＝{x|x≤0或x≥}．
2
55
(3) ?
U
P＝{ x|0U
P)＝{x|－122
8．解：?
R
B＝{x|x≤1或x≥2}≠?，∵ A?
R
B，∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
(1)若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
?
2a－2??
2a－2＜a
(2)若A≠?，则有
?
或
?
. ∴a≤1.
?
a≤1
?
?
2a－2≥2
综上所述，a≤1或a≥2.

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?
?? 函数的概念
1．选D 由函数的定义可以判断只有D正确．
?
?
x－x≠0
2．选B 由函数f(x)的解析式可知，
?
，解得：x>0且x≠1.
?
x≥0
?
3．选A 由对应关系y＝x2－2x得，0→0，1→－1，2→0，3→3，
所以值域为{－1，0，3}．
4．选A f(－1)＝a－1，f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a＝1.
x21
5．解析：y＝＝1－， ∴y的值域为[0，1)．答案：[0，1)
x2＋1x2＋1
x－1x－1
11
6．解析：f[f(x)]＝＝＝. 答案：
(x≠0，且x≠1)
1xx
1－x－1
1－
1－x
1－x
?
?
x≥
2
，
1
?
2x－1≥0 ，
?
?
7．解：(1)要使函数f(x)有意义，应有
?
?
?
≤x≤3.
2
?
3－x≥0
?
?
1
?
x≤3
1
?
∴f(x)的定义域是
?
?
2
，3
?
.
(2)函数f(x)的定义域是
???
4－x
2
≥0，
?
?
?
??
?
?
?
?< br>－2≤x≤2，
?
?
??
?
x
?
??
?
?
x
?
??
?{x|－2≤x≤2，且x≠－1}．
??
??
?
?
x＋1≠0
?
?
?
???
?
x≠－1
?
∴f(x)的定义域是[－2，－1)∪(－1，2]．
1
（）
2
2
x12
8．解：(1)∵f(x)＝，∴f(2 )＋f()＝＋＝1.
2
1＋2
2
1
2
1＋x
2
1＋（）
2
22
1
2
（）
3
13
2
f(3)＋f()＝＋＝1.
3
1＋3
2
1
2
1＋（）
3

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1
（）
2
2
x
2
＋1
x
1xx
2
1
(2)证明：f(x)＋ f()＝＋＝＋＝＝1.

x
1＋x
2
1
2
1＋x
2
x
2
＋1x
2
＋1
1＋（）
x
?


??
函数的三种表示法
1．选A ∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.
2．选C 从y与x的一一对应上来分析，
C项中，当x≤0时，对应的y值有两个，不符合函数定义．
t－1t－1
3．选B 由f(2x＋1)＝3x＋2，令2x＋1＝t，∴x＝，∴f(t)＝3·＋2，
22
3（ x－1）3（a－1）
∴f(x)＝＋2，∴f(a)＝＋2＝2，∴a＝1.
22
4．选C 由题图可知函数的图象是一条直线，所以可用一次函数表示，设其为y＝kx＋b，
将点(30，330)和(40，630)代入，可求得k＝30，b＝－570，
所以y＝30x－570，令y＝0，得x＝19.
11
5．解析：∵f(3)＝1，＝1，∴f()＝f(1)＝2. 答案：2
f（3）f（3）
6．解析：∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
∴ f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2. 答案：1 2
7．解：解析法：y＝20x，x∈{1，2，3，4，5}．
列表法：
x(张)
y(元)
图象法：

8．解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
1
20
2
40
3
60
4
80
5
100
x
f(g(x))
g(f(x))
1
1
3
2
3
1
3
1
3

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x
y

描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x
1
2
<1时，
有f(x
1
)2
)．
…
…
－2
－5
－1
0
0
3
1
4
2
3
3
0
4
－5
…
…
?
★★ 分段函数及映射
1．选B 当x
2
＝1时，x＝±1；当x
2
＝2时，x＝±2.
∴当1∈A时，A∩B＝{1}；当1?A时，A∩B＝?，当x＝±2时，显然A∩B＝?.
2．选A |－3|＝|3|，|－2|＝|2|，|－1|＝1，|4|＝4，且集合元素具有互异性，
故B中共有4个元素，∴B＝{1，2，3，4}．
3．选C f(－2)＝－2＋5＝3，f(f(－2))＝f(3)＝3－1＝2.
4．选A f(3)＝f( 3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，∴f(7)＝7－5＝2.故f(3)＝2.
?
11
5．解析：由题意知
?
解得x＝. 答案：
22
5
x＋1＝.
?
4
2
3
x＋1＝，
26．解析：f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 答案：0
7．解：(1)直接由图中观察，可得f(f(0))＝f(4)＝2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，
???
?
x＝0，
?
?
x＝2，
?
4＝b，
?
b＝4，
将< br>?
与
?
代入，得
?
∴
?
∴y＝－2x＋4( 0≤x≤2)．
???
?
y＝4
?
y＝0
?
0＝ 2k＋b.
?
?
k＝－2.
同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2 (2≤x≤6)．

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?
?
?
－2x＋4， 0≤x≤2，
∴f(x)＝
?

?
?
x－2， 28．解：根据题意可得d＝kv2S. ∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，
11
2
解得k＝. ∴d＝
v
S.
25002500< br>S
当d＝时，可解得v＝25
2
S
?
?
2
（0≤v＜25
2. ∴
d
＝
?
1
?
?
2 500
v
S
（v≥252）
2
2）






??函数的单调性
kkk
1．选C 对称轴x＝，则≤5或≥8，解得k≤40或k≥64.
888
2．选C 因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2)．
131
3．选C y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，
242
1
∴x≤－时单调递减．
2
4．选D 因为无法确定区间的位置关系．
5．解析：作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)
m
6．解析：f(x)的图象的对称轴为x＝＝－2，∴m＝－8.
4
∴ f(x)＝2x
2
＋8x＋3.∴f(1)＝2＋8＋3＝13.答案：13
7．证 明：设x
1
，x
2
为区间(0，＋∞)上的任意两个值，且x
12
，则x
1
－x
2
<0，x
1
x
2
>0.

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1111
x
1
－x
2
因为f(x
1
)－f(x
2
)＝(－－1)－(－－1) ＝－＝<0，即f(x
1
)2
)．
x
1
x
2
x
2
x
1
x
1
x
2
1
故f(x)＝－－1在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
x
8．解：由f(1－a)＋f(1－2a)<0，得f(1－a)<－f(1－2a)．
∵ f(－x)＝－f(x)，x∈(－1，1)，∴f(1－a)－1 <1－a<1，
?
?
2
又∵f(x)是(－1，1)上的减函数，∴
?
－1<1－2a<1，
解得03
?
?
1－a> 2a－1，
2
故实数a的取值范围是(0，)
3








?
?? 函数的奇偶性
1．选C f(x)＝|x|及f(x)＝－x2为偶函数，而f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，故选C.
2．选D 函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．
3．选B f(4)＋f(－4)＝2f(4)＝10.
4．选D 函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，
于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)又f(x)在[0，5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0，5]上是减函数，观察四个选项，
并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确．
5．解析：根据偶函数的性质，得ax2＋bx＋c＝a·(－x)2＋b(－x)＋c，∴b＝0.
答案：b＝0

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6．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案：－3
7．解：∵f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，即
1< br>a
2
b
＝0，∴b＝0，
1＋02
?
12x
又f()＝＝，∴a＝1，∴f(x)＝.
2< br>215
1＋x
1＋
4
8．解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－ ∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
1715
∵2a
2
＋a＋1＝2(a＋)
2
＋>0，2a
2
－2a＋3＝2(a－)
2
＋>0，
4822
2
且f(2a
2
＋a＋1)2
－2a＋3)，∴2a
2
＋a＋1>2a
2
－2a＋3， 即3a－2>0，解得a>.
3









?? 函数的最大(小)值
1．C
2．选A f(x)＝－ax2＋9开口向下，在[0，3]上单调递减，所以在[0，3]上最大值为9.
3．选A f(x)在[－1，2]上单调递增，∴最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.
4．选C 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售15－x辆，公司获利为
19
2< br>19
2
L＝－x＋21x＋2(15－x)＝－x＋19x＋30＝－(x－)＋30＋ ，
24
22
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
5．解析：设f(x)＝ax＋b，易知a≠0. 当a>0时，f(x)单调递增，

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2
a＝
??
3?
f（2）＝3
?
2a＋b＝3
25
则有
?
， ∴
?
，即，∴f(x)＝x＋；
33
5
?
?
f（ －1）＝1
?
?
－a＋b＝1
b＝
3
?
?
?
?
?
a＝－
3
?
?
f（2）＝1，
?< br>?
2a＋b＝1
当a<0时，f(x)单调递减，则有
?
，∴
?
，即
?
，
7
?
?
f（－1）＝3
?< br>?
－a＋b＝3
?
b＝
3
272527
∴f(x)＝ －x＋. 综上，y＝f(x)的解析式为f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.
333333
2527
答案：f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋
3333
6．解析：∵y＝－(x＋2)
2
＋5，∴函数图象对称轴是x＝－2. 故在[－2，＋∞)上是减函数．
又∵b>a>－2，∴y＝－x
2
－4x＋1在[ a，b]上单调递减．∴f(a)＝4，f(b)＝－4.
由f(a)＝4，得－a
2
－4a＋1＝4，∴a
2
＋4a＋3＝0，即(a＋1)(a＋3)＝0.
∴a＝－1或a＝－3(舍去)，∴a＝－1. 由f(b)＝－4，得－b
2
－4b＋1＝－4，
b＝1或b＝－5(舍去)，∴b＝1. 答案：－1 1
7.解：f(x)的图象如图所示，
f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为
f(0)＝－1.
8．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，
当x＝1时，有f(x)
min
＝1，当x＝－5时，有f(x)
max＝37.
(2)∵函数f(x)＝(x＋a)
2
＋2－a
2
图 象的对称轴为x＝－a，f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
2
?
?
指数与指数幂的运算
1311
1
13111111
??
?
3223
2
1．选D a
3
·a
2
＝a ＝a
6
；a·a
2
＝a0＝1；(a3)2＝a6；a
2
÷ a
3
＝a＝a
6
，故D正确．
?
?
a－2≥0
2．选B 要使原式有意义，应满足
?
得a≥2且a≠4.
?
a－4≠0，
?

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3．选D 原式＝1－(1－4)÷
3
2747
（）2＝1＋3×＝.
893
?
11
11
??
22
4．选C 将a
2
－a＝m平方得(a
2
－a)2＝m2，
a
2＋1
1
2
即a－2＋a＝m，所以a＋a＝m＋2，即a＋＝m＋2?＝m
2
＋2.
aa
－
12
－
12
11
19
1131111
2
?
2
＝1＋×
??
2
＝ 1＋×＝. 答案： 5．解析：(π)0＋2－2×
?
?
4
?
22
?
4
?
4288
6．解析：由102x＝25得：(10x)2 ＝25，∴10x是25的平方根．
111
由于10
x
>0，∴10
x
＝5，∴10
－
x
＝
x
＝. 答案：
10 55
7．解：∵
x＋yx－y（x＋y）2（x－y）2
4xy
－＝－＝，
x－yx－yx－y
x－yx＋y
4
11
×
23
＝46.
11
－
23
11< br>把x＝，y＝代入得，原式＝
23
1311
323121019
8．解 ：(1)原式＝()3××(－)×＋(81
4
＋32
5
－×100)
2
＝＋9
2
＝.
1032310033
a
(2)原式＝
?
1
3
·b·a
a·b
1
6
1
2
?
5
6
1
2
·b
1
3
＝a
111
???
326
·b
115
??
236
1< br>＝.
a





??
幂函数
1．选A 当n≥0时，一定过(1，1)点，当n<0时，也一定过(1，1)点．
11
2．选B y＝x
2
不是偶函数；y＝x－2不过(0，0)；y＝x
3
是奇函数．

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2
3．选D 幂函数y＝x
3
是偶函数，图象关于y轴对称．
4．选C 因为x>1时xα>1＝1α，所以y＝xα单调递增，故α>0.
5．解析：令2m－1＝1得m＝1，该函数为y＝x. 答案：1
6．解析：函数①④⑥的定义域为R，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x|x≠0}．
答案：①④⑥
?
?
7．解：(1)函数y＝x
(2)－8
?
7
8
5
2
?
在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1 ，所以3
5
2
?
>3.1
5
2
.
77< br>1
7
111
7
888
1
8
＝－()，函数y ＝x在(0，＋∞)上为增函数，因为>，则()>()，
88989
71
7
从而－8－<－()
8
.
89
222
π
?
2
π
?
2
?
2
?
3
2
?
3
(3)(－)＝()，(－)
3
＝( )
3
，函数y＝x
3
在(0，＋∞)上为减函数，
3366
222
π
?
2
2
π
2
?
3
π< br>?
3
2
?
3
因为>，所以()<()，即(－)<(－)3
.
363636
8．解：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N
*
，∴m＝1，2. 又函数图象关于y轴对称，
∴3m－9为偶数，故m＝1. 即幂函数y＝x
3m
－
9
的解析式为y＝x
－
6
.










??
指数函数及其性质
1．选A 由指数函数的定义可判定，只有③正确．

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2．B
3．选A x∈R，y＝2
x
＞0，y＝x
2
≥0，即M＝{y|y＞0}，N＝{y|y≥0}，所以 MN.
4．选C 由0＜m＜n＜1可知①②应为两条递减曲线，故只可能是选项C或D，
进而再判断①②与n和m的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x＝1，
则①②对应的函数值分别为m和n，由m＜n知选C.
5．解析：函数y＝(2a－1)
x
为指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，
11
∴a>且a≠1. 答案：a>且a≠1
22
6．∵指数函数y＝a< br>x
恒过定点(0，1)．∴y＝a
x
＋1的图象必过点(0，2)．答案：(0 ，2)
111
－
7．解：(1)函数图象过点(2，)，所以a
21
＝，则a＝.
222
111
(2)f(x)＝()
x
－
1
(x≥0)，由x≥0得，x－1≥－1，于是0<()
x
－
1
≤ (
)
－
1
＝2.
222
所以函数的值域为(0，2]．
8．解：由指数函数的概念知a>0，a≠1.
当a>1时，函数f(x)＝a
x
在区间[1，2]上是增函数，
所以当x＝2时，f(x)取最大值a
2
，当x＝1时，f(x)取最小值a， a33
由题意得a
2
＝a＋，即a
2
＝a，因为a>1，所以a ＝；
222
1
当0x
在区间[1， 2]上是减函数，同理可以求得a＝.
2
31
综上可知，a的值为或
22








?

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?
??
指数函数及其性质的应用
1．选D 不等式2
x1
<1＝20，∵y＝2< br>x
是增函数，∴x＋1<0，即x<－1.
＋
1
?
2．选A 定义域为R.设u＝1－x，y＝
?
?
2
?
，∵u＝1－x在R上为 减函数，
1
??
1
?
又∵y＝
?
在(－∞，＋∞ )上为减函数，∴y＝
?
2
??
2
?
u1－x
u< br>在(－∞，＋∞)上是增函数．
2121
1
x
1211111
3．选D ∵函数y＝()在R上是减 函数，而0<<，∴()
3
<()
3
<()0，即()
3
< ()
3
<1.
23322222
4．选B ∵y＝2
x
在R上递增，而|x|在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)是递增，
∴f(x)＝2
|x|
在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)上递增．
1
5．解析：∵3
x-1
＝，∴3
x-1
＝3
-2
， ∴x－1＝－2，∴x＝－1. 答案：－1
9
1
6．解析：函数y＝()
x
在定义域内单调递减，
3
11
∴m＝()
－
1
＝3，n＝()
－
2
＝9， ∴m＋n＝12. 答案：12
33
1111
7．解：∵2
x≤(
)
x-3
，即2
x
≤2
6-2x
，∴x≤ 6－2x，∴x≤2，∴y ＝ ()
x
≥ (
)
2
＝，
4224
1
∴函数值域是[，＋∞)．
4
22
－
8．解：(1)当2－3x＝0，即x＝时，a
23x
＝a
0
＝1. 所以，该函数的图象恒过定点(，1)
33
(2)∵u＝2－3x是减函数，
∴当01时，f(x)在R上是减函数．

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?
??
对数与对数运算
x－1＞0，
?
?
2
1．选B 由
?
x－1＞0，
解得x＞1且x≠2.
?
?
x－1≠1，
1
－
2．选C 由已知得log
3
x＝－2 ，∴ x＝3
2
＝.
9
3．选C 由对数运算可知：lg(lga
100
)＝lg(100lga )＝2＋lg(lga)，∴原式＝2.
4．选A 由2
x
＝3得：x＝log
2
3.
8
2log
2
3
8
∴x＋2y＝log
2
3＋2log
4
＝l og
2
3＋＝log
2
3＋(3log
2
2－log
2
3)＝3.
3log
2
4
1111
5．解析：log
a
x＝＝2，∴log
x
a＝. 同理log
x
b＝，log
x
c＝.
log
x
a236
11
log
abc
x＝＝＝1. 答案：1
log
x
abc
log
x
a＋log
x
b＋log
x
c
6．解析：lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy) ?x＋y＝xy，
lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x －y＋xy)＝lg1＝0. 答案：0
2581
7．解：(1)原式＝lg(××)＝lg10＝1.
252
(2 )原式＝lg[25×2×10
1
2
1
2
7
×(10
－
2
)
－
1
]＝lg(5×2×10
2
×10< br>2
)＝lg10
2
＝.
2
17
(3)原式＝log
2
(log
2
2
6
)＝log
2
6＝1＋ log
2
3.
8．解：因为lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2lg3＝ (lgx＋lg2)(lgx＋lg3)，
111
所以lgx＝－lg2＝lg2
－
1
或lgx＝－lg3＝lg3
－
1
，即x
1
＝， x
2
＝，所以x
1
x
2
＝.
236

高中数学必修一基础练习题



第

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，共



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?
??
对数函数及其性质
1．C
2．选C 当x≥1时，log
2
x≥0，所以y＝2＋log
2
x≥2.
2
3．选D 由函数的解析式得log
1
(3x－2)≥0＝log
1
1.∴0＜3x－2≤1，解得：＜x≤1.
3
22
4．选C 当x＝0时y＝0，而且函数为增函数，可见只有C符合．
2－x>0
?
?
?
?
x<2
5．解析：由对数函数的意义可得
?
x>0
?< br>?
?0x>0且x≠1
?
?
?
?
x≠1
6．解析：当x＝2时y＝1. 答案：(2，1)
7．解：(1)要使函数有意义，须满足：log
2
(4x－3)≥0＝log
2
1，?1≤ 4x－3?x≥1，
∴函数的定义域为[1，＋∞)．
2x－2 >0
?
?
(2)要使函数有意义，须满足
?
5－x>0
?1 ?
?
5－x≠1
8．解：(1)作出函数y＝log
3
x的图象如图所示．

(2 )令f(x)＝f(2)，即log
3
x＝log
3
2，解得x＝2.
由如图所示的图象知：当0故当0f(2)的a的值．


??
对数函数及其性质的应用

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111
?
1
?
1．选C y＝()
x
的反函数是f (x)＝log
1
x，∴f(x
0
)＝log
1
x
0
＝－. ∴ x
0
＝()
2
＝[()
2
]
2
=2.
4242
44
1
2．选D ln2∈(0，1)， ∴ln(ln2)<0，且(ln2)22
1
1
111
?
2
1
3．选B 由－1≤ 2log
1
x≤1，得－≤log
1
x≤，即log
1
() ≤log
1
x≤log
1
()
2
，
2233
33333
11
?
解得
3
≤x≤3.
3
4．选D 要使log
a
－
1
(2x－1)与loga
－
1
(x－1)有意义，则2x－1>0，x－1>0，∴x>1，
∴2x－1>x－1，∴由log
a
－
1
(2x－1)>log
a< br>－
1
(x－1)，
知函数y＝log
a
－
1
x为增函数，∴a－1>1∴a>2. < br>5．解析：y＝log
1
u和u＝1－2x都是减函数，所以函数y＝log
1
(1－2x)在整个定义域上都是单
22
1
调递增的．答案：(－∞，) < br>2
6．解析：由0a
x为减函数，因此在[ 3，5]上的最大值与最小值分别为
333
log
a
3与log
a< br>5，于是依题意可得log
a
3－log
a
5＝1，即log
a
＝1，因此解得a＝. 答案：
555
πππ
7．解：①当a>1时，由 题意得log
a
π－log
a
2＝1，则a＝. ∵>1，∴a＝符合题意．
222
222
②当0a
2－log
a< br>π＝1，a＝. ∵0<<1，∴a＝符合题意．
πππ
π
2
综上所述，所求a的值为或.
2
π
8．解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，
解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝lg|－x|＝ lg|x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示．

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(3)由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
证明：设x
1
、x
2
∈(－∞，0)，且x
1
2
，则f(x
1
)－f(x
2
)＝lg|x
1
|－lg|x
2
| ＝lg
|x
1
|x
1
＝lg||，
|x
2
|x
2
?
x
1
x
1
∵x
1
、x
2
∈(－∞，0)，且x
1
2
，∴|x
1|>|x
2
|>0.∴||>1. ∴lg||>0. ∴f(x
1
)>f(x
2
)．
x
2
x
2
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．


??
方程的根与函数的零点
1．选C log
5
(x －1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log
5
(x－1)的零点是x＝2.
2．选B 由题意知2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax
2
－ax＝ －ax(2x＋1)，
1
使g(x)＝0的x＝0或－.
2
3．选C 若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，

如图(1)或图(2)所示，可知A、D错，若如图(3)所示，可知B错．
4．选C 设f (x)＝e
x
－x－2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22<0，f(2)＝7.39－ 4＝3.39>0，
∴f(1)f(2)<0，由根的存在性定理知，方程e
x
－x －2＝0必有一个根在区间(1，2)内．
5．解析：f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)< br>2
(x－3)(x＋1)＝(x＋1)
2
(x－1)(x＋2)
2(x－3)．
可知零点为±1，－2，3，共4个．答案：4
6．解析：令f(x)＝lnx＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(3)＝ln3－2<0，f(4)＝ln4>0，∴零点在(3，4)上，∴k＝3.答案：3
7．解：法一：f(0)＝－4<0，f(3)＝e
3
－5>0，∴f(0)·f(3 )<0.
又∵f(x)＝e
x
－5在R上是增函数，∴函数f(x)＝e
x
－5的零点仅有一个．

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法二：令y
1
＝e
x
，y
2
＝5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，
数f(x)＝e< br>x
－5的零点仅有一个．

8．解：(1)设函数解析式为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，
c＝－ 8，a＝1，
??
??
由
?
a＋b＋c＝－5，
解得
?
b＝2，
∴f(x)＝x＋2x－8.
?
?
9a＋3 b＋c＝7，
?
?
c＝－8.
2
?
故函
(2) 令f (x)＝0得x＝2或－4， ∴零点是x
1
＝2，x
2
＝－4.
(3) f(2) f (4)＝0，
f(－1) f(3)＝－9×7＝－63 < 0，f (－5) f (1)＝－35<0，f(3) f(－6)＝112>0.

??
用二分法求方程的近似解
1．选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确 ；函数f(x)的零点?f(x)＝0的
根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解 ，D不正确，只有A正确．
2．选D 图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号 的有3个零点，所
以用二分法求解的个数为3.
1
?
2
3．选C 设y
1
＝
?
，y＝x，在同一坐标系下作图象可知，它们有两个交点， 2
?
2
?
1
?
2
∴方程
?
＝ x有两个根．
?
2
?
4．选B 由已知f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴f(1.25)f(1.5)<0，
因此方程的根落在区间(1.25，1.5)内．
0.5
5．解析：由零点的存在性 可知，x
0
∈(0，0.5)，取该区间的中点＝0.25.
2
∴第二次应计算f(0.25)．答案：(0，0.5)，f(0.25)
6．解析：由表中数据可知：f(1.5625)·f(1.5562)＜0.
x
x

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而|1.5625－1.5562|＝0.0 063＜0.1.∴零点x
0
∈(1.5562，1.5625)
可取零点为1.5562. 答案：1.5562
111
7．解：令f(x)＝x
2
－，则当x∈(－∞，0)时，x
2
>0，<0，所以－>0，
xxx
11
所以f(x)＝x
2
－>0恒成立，所以x
2
－ ＝0在(－∞，0)内无实数解．
xx
8．解：令f(x)＝x
2
－5，因 为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4) <0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x
0
，
取区间(2.2，2.4)的中点x
1
＝2.3，f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x
0
∈(2.2，2.3)，
再取区间(2.2，2.3)的中点x
2
＝2.25，f(2.25)＝0.0625， 因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x
0
∈(2.2，2.25)，由于|2. 25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.


?
??
函数模型的应用实例
1．选B 由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.
2．选C 符合指数函数模型．
3．选A 三者的增长率分别为A：
103－100
3
51.4－502.8
100－97
3
＝；B：＝；C：＝.
197
∴C>A>B.
??
几类不同增长的函数模型
1．C
2．选A 设原来商品价格为1个单位，
则1×(1＋20%)
2
×(1－20%)
2
＝0.921 6＝92.16%，∴减少了7.84%.
3．选B 2012年底的总产值在2002年底总产值基础上翻两番，设2002年底总产值为a，

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∴4a＝a(1＋x)，1＋x＝4，∴x＝4－1.
x
111
3－
?
＝－x
2
＋x＋12＝－(x－1)2＋12， 6．解析：依题意得：S＝(4 ＋x)
?
?
2
?
222
11
∴当x＝1时，S最大 值＝12. 答案：1 12
22

10
1
10
1
10
?