高中数学课程课程引入-苏教版高中数学2 1

二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对
应关系f,使对于集合A中的任
意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称
f:A→B为从集合A到集合
B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x
的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|
x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过
四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义
的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
?
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义
域一致
(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标,函数值
y
为纵坐标
的点P
(x
,
y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标<
br>(x
,
y)
均满足函数
关系
y=f(x)
,反过来,
以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x,
y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法:
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某
一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一
个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
,那么就称对应f:A
?
B为从集合A到集
合B的一个映射。记作“f(对应关系):
A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
第 1 页 共 7 页
(2)集合
A
中不同的元素,在集
合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y
=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
,x2
,当
x
1
时,都有f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区
间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
>
f(x
2
),那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(
x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象
从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x,x∈D,且x
2 作差f(x)-f(x);
○
3 变形(通常是因式分解和配方);
○
4
定号(即判断差f(x)-f(x)的正负);
○
5
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
○
1212
12
12
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调
性与构成它的函数
u=g(x)
,
y=f(u)
的单调性密切相关,其规律:
“同增
异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并
集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x
),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的
任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
第 2 页 共 7 页
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x)
= f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x)
=-
○
f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意
:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原
点对称,若不
对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±f(x)=
0
或
f(x)
/
f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式
是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们
之间的对应法则,二是要求出
函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2)
待定系数法
3) 换元法
4)
消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○
2 利用图象求函数的最大(小)值
○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
○
如果函数y=f(x
)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有
最大值
f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数
y=f(x)在x=b处有
最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2
x?1
x?3
?3
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f
(x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x??1)
?
4.函数
,若
f(x)?3
,则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域:
⑴
y?x
2
?2x?3
(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3
x?[1,2]
(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5
6.已知函数
f(x?1)
?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
7.已知函数
f
(2x?1)
的解析式
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4<
br>,则
f(x)
= 。
第 3 页 共 7 页 <
/p>
8.设
f(x)
是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
f(x)
=
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1
10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
.
11.设函数
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证:
1
f()??f(x)
.
2
1?x
x
第三章
基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地
,如果
x?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根
,其中
n
>1,且
n
∈
N
.
*
n
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
?
a(a?0)
?
?
a(a?0)
a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?1)
,
a
n
m*
?
m
n
?
1
a
mn
?
1
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a?a
r
rr?s
(a?0,r,s?R)
;
rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(a?0,r,s?R)
;
(3)
(ab)?aa
(二)指数函数及其性质
(a?0,r,s?R)
.
x
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数,其中x是自变量,函
数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
44
33
22
1<
br>1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2
定义域 R
第 4 页 共 7 页
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
值域y>0
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,
f(x)
?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(
a)]
;
(2)若
x?0
,则
f(x)?1
;
f
(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
;
(3)对于指数函数
f(x
)?a(a?0且a?1)
,总有
f(1)?a
;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果
a?N
(a?0,a?1),那么数
x
叫做以
.
a
为底
..
N
的
对数,记作:
x
x
x
x?log
a
N
(
a
— 底数,
N
— 真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
x
2
a?N?log
a
N?x
;
○
3
注意对数的书写格式.
○
log
a
N
两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
aN
; ○
M
?
log
a
M
-
log<
br>a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
2
log
a
○
注意:换底公式
第 5 页 共 7 页
log
a
b?
log
c
b
log
c
a
(
a?0
,且
a?1
;
c?
0
,且
c?1
;
b?0
).
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
1
n<
br>(2)
log
a
b?
.
log
a
b
;
loga
m
b
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,其中x
是自变量,函数的
定义域是(0,+∞).
注意:
○
1 对
数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y?2log
2
x,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2 对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
○
2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点(1,0)
1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
(a?
R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别
地,当
?
?1
时,
幂函数的图象下凸;当
0?
?
?
1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从右边趋向原点
时,
图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴
正半轴.
例题:
1.
已知a>0,a0,函数y=a与y=log
a
(-x)的图象只能是 ( )
x
?
第 6 页 共 7 页
log27?2log
5
2
2.计算:
①
log
3
2
?
;②
2
4?log
2
3
=
;
25
3
5
=
log
27
64
1
③
0.064
?
?(?
7
)
0?[(?2)
3
]
?
?16
?0.75
?0.01 =
1
3
4
3
1
2
8
3.函数y=log
1
(2x-3x+1)的递减区间为
2
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则a=
f(x
)?0
的5.已知
f(x)?log
1?x
(a?0且a?1)
,(
1)求
f(x)
的定义域(2)求使
a
1?x
x
的取值范围
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数<
br>y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫
做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f
(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)
的图
象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实
数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?<
br>函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求
根公式的方程,可以将它与函数
y?
○
用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
.
(1)△>0,方程
ax?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x
轴有两个交点,二次函
数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax?bx?c?0<
br>有两相等实根,二次函数的图象与
x
轴有一个交点,二次函
数有一个二重零点或
二阶零点.
(3)△<0,方程
ax
?
bx
?
c
?
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
2
f(x)
的图象联系起来,并利
2
2
第 7 页 共 7
页