对口学高中数学几本书-高中数学2-2导数公式大全
高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … }
如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北
冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z
有理数集Q 实数集R
4.集合的表示方法
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方
法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
5、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
2
(3)空集
不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2.“相等”关系:A=B
(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0}
B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定:
空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
?
有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算交 集 并 集 补 集
类型
定
由所有属于A且属
义
于B的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集
.记作A
?
B(读
由所有属于集合A或
属于集合B的元素所
组成的集
合,叫做A,B
的并集.记作:A
?
B
设S是一个集合,A是
S的一
个子集,由S中
所有不属于A的元素组
成的集合,叫做S中子
集A的补集(或余集)
B(或
作‘A交B’),即
A
?
B={x|x
?
A,且
x
?
B}.
韦
恩
图
示
(读作‘A并B’),即
A
?
B
={x|x
?
A,或
x
?
B}).
记作
C
S
A
,即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}
S
A
B
A
B
A
图1
图2
(C
u
A)
?
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.
(C
u
B)= C
u
A
?
A=A
性
A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
质
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D
倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若
集合M={y|y=x
2
-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0},则M
与N的关系是 .
4.设集合A=
?
x1?x?2
?<
br>,B=
?
xx?a
?
,若A
?
B,则
a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得
有40人,
化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6.
用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x
2
+2x-8=0}, B={x|
x
2
-5x+6=0}, C={x|
x
2
-mx+m
2
-19=0},
若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系
f,使对
于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那
么就
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,
x叫做自变量,
x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做
函数值,函数值的集合{f(x)|
x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过
四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使
各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
?
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致
(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标,函
数值
y
为纵坐标的点P
(x
,
y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C
上每一点
的坐标
(x
,
y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反过来,
以满足
y=f(x)
的每一
组有序实数对
x、y
为坐标的点
(x
,
y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某
一个确定的对应法则f,使
对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
,
那么就称对应f:A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):
A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f
:
A
→
B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复
合函数。
二.函数的性质
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x
都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义
域内的任意x都有f
(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有
奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是
偶函数。
注意:
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○
2
由函数
的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定○
是
定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○
2
确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3
作出相应结论: ○
若f(-x) =
f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x)
或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对
称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是
它的图
象关于y轴对称;
②设
f(x)
,
g(x)
的定义域分别是
D
1
,D
2
,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇
?
奇=偶,偶+偶=偶,偶
?
偶=偶
2.单调性
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内
的某个区间D内的任意两个自变量x
1
,
x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
)(f(x1
)>f(x
2
)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);
注意:
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○
2
必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;
当x
1
时,总有f(x
1
)
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)
在这一区间具有(严格的)单调
性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
(3)设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y=
f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g : x→u=g(x) 的象集:
①若u=g(x)
在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=
f[g(x)]在A上是增函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=
f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2
作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3
变形(通常是因式分解和配方)○;
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负)○;
5
下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○。
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数
f(x)?
增函数
g(x)
是增函数;
减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数;增函数
f(x)?减函数
g(x)
是增函数;
减函数
f(x)?
增函数
g
(x)
是减函数。
3.最值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数y=
f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存
在x0
∈I,使得f(x
0
) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有
f(x)≥M;②存
在x
0
∈I,使得f(x
0
) =
M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
注意:
1
函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x
0
∈I,使得f(x
0
)
= M; ○
2
函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任
意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)○。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○
2
利用图象求函数的最大(小)值; ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○<
br>如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在
x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]
上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
4.周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=
f(x),则称f(x)为周期函
数;
(2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作<
br>f(x?
TT
)?f(x?),
若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则
称它为f(x)的
22
T
|
?
|
。
最小
正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为
5.对称性
6、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函
数关系时,
一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法
例题:
1.求下列函数的定义域:
2
⑴
y?
x?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2
x?3?3
x
?1
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f
(x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
4.函数
?
x?2(x??1)
?
,若
f(x)?3
,则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域:
⑴
y?x
2
?2x?3
(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3
x?[1,2]
(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5
6.已知函数
f(x?1)
?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
f(2x?1)
的解析式
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4<
br>,则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1
10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论.
11.设函数
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证:
f(
1
)??f(x)
.
1?x
x
2
一、典型选择题
1.在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
(考点:基本初等函数单调性)
2.函数
A.
B.
是单调函数时,的取值范围 ( )
C . D.
(考点:二次函数单调性)
3.如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有 (
)
A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D. 没有最小值
(考点:函数最值)
4.函数,是( )
有关 A.偶函数
B.奇函数 C.不具有奇偶函数 D.与
(考点:函数奇偶性)
5.函数
A.
在和
B.
都是增函数,若
C.
,且那么( )
D.无法确定
(考点:抽象函数单调性)
6.函数
A.
在区间是增函数,则的递增区间是 ( )
D.
B. C.
(考点:复合函数单调性)
7.函数在实数集上是增函数,则( )
A. B. C.
D.
(考点:函数单调性)
8.定义在R上的偶函数
A.
C.
,满足
B.
D.
,且在区间
上为递增,则( )
(考点:函数奇偶、单调性综合)
9.已知
A.
C.
在实数集上是减函数,若
B.
D.
,则下列正确的是 ( )
(考点:抽象函数单调性)
二、典型填空题
1.函数在R上为奇函数,且,则当, .
(考点:利用函数奇偶性求解析式)
2.函数,单调递减区间为
,最大值和最小值的情况为 .
(考点:函数单调性,最值)
三、典型解答题
1.(12分)已知
(考点:复合函数单调区间求法)
,求函数得单调递减区间.
2.(12分)已知,,求.
(考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想)
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根
式的概念:一般地,如果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n
>1,且
n
∈
N*
.
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
?
a
(a?0)
当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,
当
n
是偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?
?a(a?0)
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定: m
m
?
11
m*
n
a
n
?a(a?0
,m,n?N,n?1)
,
a
n
?
m
?(a?0,m,n?
N
*
,n?1)
n
a
m
n
a
?
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
rrr?s
aa?a
(1)·
(a?0,r,s?R)
;
rsrs
(a)?a
(2)
(a?0,r,s?R)
;
rrs
(ab)?aa
(3)
(a?0,r,s?R)
.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念
:一般地,函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数,其中x
是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
44<
br>33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246
-4-2
0
-1
246
定义域
R
值域y>0
在R上单调递
增
非奇非偶函数
函数图象都过
定点(0,1)
定义域 R
值域y>0
在R上单调递
减
非奇非偶函数
函数图象都过
定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在
[a,b]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a
),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
;
(2)若
x?0,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R;
(3)对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
,
总有
f(1)?a
;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念
:一般地,如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x<
br>叫做以
.
a
为底
..
N
的
对数,记作:x?log
a
N
(
a
— 底数,
N
—
真数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1
注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
2
a?N?logN?x
;
○
3 注意对数的书写格式.
○
x
a
两个重要对数:
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
○
2
log
○
3
log
○
a
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
a
N
; a
M
?
log
a
M
-
log
a
N
;
N
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
.
a
注意:换底公式
log
c
b
log
a
b?
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
1
n
(1)
log
a
b
n
?log
a
b
;(2)
log
a
b?
.
log
b
a
m
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,其中
x
是自
m
变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:
○
1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y?2log
2
x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2
对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
○
2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都
过定点(1,
0)
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定
点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:
一般地,形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别
地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
?
1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从
右边趋向原点时,
图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图
象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.
例题:
1.
已知a>0,a0,函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是
( )
2.计算: ①
lo
g
5
27?2log
5
2
4?log
2
3
3
log
3
2
②= ;=
;
25
2
?
log
27
64
1
3
1
7
?
4
?(?)
0
?[(?2)
3
]
3
?16
?0.75
?0.01
2
=
8
1
③
0.064
?
3.函数y=log
1
(2x
2
-3x+1)的递减区间为
2
4.若函
数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则a=
5.已知
f(x)?log
a
1?x
(a?0且a?1)
,(1)求
f(x)
的定义域(2)求使
f(x)?0
的
x
的取值范围
1?x
第三章
函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数
y?f(x
)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫
做函数<
br>y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)<
br>的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实数根
?<
br>函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
○
2 (几何法)对于不能用求
根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联
○
系起来,并利用函数
的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数y?ax
2
?bx?c(a?0).
(1)△>0,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x
轴有两<
br>个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax
2
?bx?
c?0
有两相等实根,二次函数的图象与
x
轴有一
个交点,二次函数有一个二
重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程
ax
2
?bx?c?0
无
实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二
次函数无零点.
高中数学简单逻辑思维导图-高中数学算法循环次数判断
教师试讲高中数学-高中数学8种数列题型
小马高中数学视频全集-高中数学教师培训计划
高中数学必修四三角函数重难点-高中数学课堂讨论的有效性
高中数学中直线的对称-高中数学集合复习教案
高中数学周期函数的题目-高中数学错位相减例公式
高中数学《椭圆及其标准方程》-高中数学必修课共多少课时
2002全国高中数学联赛-高中数学奥林匹克竞赛初赛
-
上一篇:高中数学必修1第二章试题及答案
下一篇:人教版高一数学必修一集合知识点以及习题