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重点高中数学必修1知识点总结及典型题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 17:01
tags:高中数学必修一

刘艳艳 高中数学老师-体现数学核心素养的高中数学教案


重点高中数学必修1知识点总结
及典型题










































———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:




2



高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合
{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一
个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},
{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q
实数集R

1) 列举法:{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写
在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x|
x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
2
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-
5}

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有 两种可能(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集
?
B或B
?
?
A 合A,记作A
?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
2
实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相
同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合
B的真子集,记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空



集合的真子集。
nn-1
? 有n个元素的集合,含有2
个子集,2个真子集
三、集合的运算
运算交 集 并 集
类型

由所有属于A且属

于B的元素所组成
的集合,叫做A,B的
交集 .记作A
?
B(读
作‘A交B’),即
A
?
B={x|x< br>?
A,且
x
?
B}.
由所有属于集合A或
属于集合 B的元素所
组成的集合,叫做A,B
的并集.记作:A
?
B
(读作‘ A并B’),即
A
?
B ={x|x
?
A,或
x
?
B}).
补 集
设S是一个集合,A是
S的一个子集,由S中
所有不属于A的元素
组成的集合,叫做S
中子集A的补集(或余
集)
记作
C
S
A
,即
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}





A
B
A
B
S

A

图1

图2
A
?
A=A

A
?
Φ=Φ

A
?
B=B
?
A

A
?
B
?
A


A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?

A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c }的真子集共有 个
3.若 集合M={y|y=x-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .
2
4.设集合A=
x1?x?2
,B=
xx?a
,若A
?
B,则
a
的取值范围是
?
?
?
?
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化
学 实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若
B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

2222


二、函数的有关概念



1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照
某个确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一
个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→B为从集合 A到集合B的一个
函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变
量,x的取值范围 A叫做函数的定义域;与x的值
相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x
∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称
为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合
而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意
义.
? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自
变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点
必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) ,
(x
∈A) 中的
x
为横坐标,函数值
y
为纵坐标的点
P
(x

y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图
象.C 上每一点的坐标
(x

y)
均满足函数关系
y=f(x)
, 反过来,以满足
y=f(x)
的每一组有序实
数对
x、y
为坐标的点
(x

y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法:
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区

(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射



一般地 ,设A、B是两个非空的集合,如果按
某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意
一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与
之对应,那么就称对应f:A
?
B为从集合 A到集
合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)
?
B(象)”
对于映射
f

A

B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且
象是唯一的 ;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是
同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函
数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域
是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y =f(x)的定义域为I,如果对于定义域
I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
,当
x
1
2
时,都有f(x
1
)2
),那么就说f(x)在区间
D上是增函数.区间D称为y=f (x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2

当x
1
2
时,都有f(x
1
)< br>>
f(x
2
),那么就说
f(x)

这个区间上是减 函数.区间D称为y=f(x)的单调减
区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,
那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单
调性,在单调区间上 增函数的图象从左到右是上升
的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x,x∈D,且x
2 作差f(x)-f(x);

3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负);

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单

1212
12
12
调性).



(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f< br>[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)

y=f (u)
的单调性密切相关,其规律:“同
增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区
间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并
集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,
都有f(-x) =f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x,
都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原
点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于

原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;

3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-

x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-
f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义 域关于原点对称是函数具有奇
偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原
点对称,若不对 称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)

f(-x)=
±1来判定; (3)利用定理,或借助函数
的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数 的解析式是函数的一种表示方法,要求
两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间
的对应 法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大

(小)值
2 利用图象求函数的最大(小)值

3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区
间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最



大值f(b);
如果函 数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区
间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x= b处有最
小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:

y?
x
2
?2x?15

y?1?(
x?1
)
2

x?1
x?3 ?3
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f (x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x??1)
?
4.函数 ,若
f(x)?3
,则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域:

y?x
2
?2x?3

(x?R)

y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

6.已知函数
f(x?1) ?x
2
?4x
,求函数
f(x)

7.已知函数
f (x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4
,则
f(2x?1)
的解析式
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)


f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:

y?x
2
?2x?3

f(x)
=
y??x
2
?2x?3

y?x
2
?6x?1

10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论

2
1?x
11.设函数
f(x)?
判断它的奇偶性并且求证:
f(
1
)??f(x)


2
1?x
x


第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果
x?a
,那么
x

*

a

n
次方根,其中
n
>1,且
n
N

? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
n
0?0

n

n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是偶数时,
?
a(a?0)

a
n
?|a|?< br>?
?
?a(a?0)
2.分数指数幂



正数的分数指数幂的意义,规定:
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
a
?
?
1
a
m
n
?
1
na
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有
意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a?a
r
rr?s



(a?0,r,s?R)


rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(a?0,r,s?R)


(a?0,r,s?R)

(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a
x(a?0,且a?1)
叫做指数函数,其中x是
自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负
数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
0
a<
>a
1 <
1
66
55
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2





R


y

0

R





0
-1
246





R


y

0

R













函< br>数







0
,< br>1
















0

1




注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: < br>(1)在[a,b]上,
f(x)?a(a?0且a?1)
值域

[f (a),f(b)]

[f(b),f(a)]

(2)若
x?0
,则
f(x)?1

f(x)
取遍所有正数
当且仅当
x?R

(3)对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
,总
f(1)?a

二、对数函数
(一)对数
1.对数的概 念:一般地,如果
x
x
a
x
?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以

a
为底
..
N
的对 数,记作:
x?log
a
N

a
— 底数,
N
— 真
数,
log
a
N
— 对数式)
说明:

1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1

x
2
a?N?log
a
N?x


3 注意对数的书写格式.

log
a
N

两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数
lgN


2 自然对数:以无 理数
e?2.71828?
为底的对

数的对数
lnN

? 指数式与对数式的互化



幂值 真数

a
b
= N
?
log
a
N
= b

底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,< br>M?0

N?0
,那么:
1

log
a< br>(M
·
N)?
log
a
M

log
a
N
; ○
M
?
log
a
M

l og
a
N

N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
. ○
2

log
a

注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
1
n
(2)
log
a
b?
log
a
b

log
b
a
m

a?0
,且
a?1

c?0
,且
c?1

b?
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a ?1)
叫做对数函数,其中
x
是自变量,函数的定
义域是(0,+∞).
注意:

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是
形式定义,注意辨别。如 :
y?2log
2
x

y?log
5
x

5
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)


2、对数函数的性质:
a
>
1
3
2.5
0
<
a
<
1
3
2.5
2
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5




x

-2.5




x



0



R

R












1

0


(三)幂函数
0



R

R












1

0

1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
(a?R)

函数称为幂函数,其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图
象都过点(1,1);
(2)< br>?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在
区间
[0,??)
上是增函数.特别地,当
?
?1
时,幂
函数的图象下凸;当
0??
?1
时,幂函数的图象
上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是
减函数.在第一象限内,当
x< br>从右边趋向原点时,
图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴, 当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x< br>轴正半轴.
例题:
?
1. 已知a>0,a0,函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是 ( )




log27?2log
5
2
2.计算: ①
log
3
2
?
;②
2
4?log
2
3
= ;
25
3
5
=
log
27
64
1

0.064
?
?(?
7
)
0?[(?2)
3
]
?
?16
?0.75
?0.01 =
1
3
4
3
1
2
8
3.函数y=log
1
(2x-3x+1)的递减区间为


2
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则a=
f(x )?0
的5.已知
f(x)?log
1?x
(a?0且a?1)
,( 1)求
f(x)
的定义域(2)求使
a
1?x
x
的取值范围

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念: 对于函数
y?f(x)(x?D)

把使
f(x)?0
成立的实数< br>x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义: 函数
y?f(x)
的零点就是方

f(x)?0
实数根,亦即函数< br>y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x )?0
有实数根
?
函数
y?f(x)

图象与
x< br>轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以

将它与函数
y ?f(x)
的图象联系起来,并利用函
数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)

(1)△>0,方程
a x?bx?c?0
有两不等实根,
二次函数的图象与
x
轴有两个交点,二次函 数有两
个零点.
(2)△=0,方程
ax?bx?c?0
有两相等实根,< br>二次函数的图象与
x
轴有一个交点,二次函数有一
个二重零点或二阶零点. < br>(3)△<0,方程
ax?bx?c?0
无实根,二次
函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型





2
2
2
2
收集
画散
合不
实符< br>选择函
求函

















集合与函数练习卷

班级 姓名 得分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1、图中阴影部分表示的集合是 ( )
A.
A?C
U
B
B.
C
U
A?B

C.
C
U
(A?B)
D.
C
U
(A?B)



2、下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是 ( )
A.
M?{
?
}
,
N?{3.14159}
B.
M?{2,3}
,
N?{(2,3)}

C.
M?{x|?1?x?1,x?N}
,
N?{1}
D.
M?{1,3,
?
}
,
N?{
?
,1,|?3|}

3、已知集合A={
xx≤2,
x?R
},B={
x
x≥a},且
A?B
,则实 数a的取值范围是( )
(A)a≥-2 (B)a≤-2 (C)a≥2 (D)a≤2
1,8
?

(C
U
A)?B?
?< br>2,6
?
, 4、设全集
U?
?
x|x?8,x?N
?
?
,若
A?(C
U
B)?
?
U

A
B
(C
U
A)?(C
U
B)?
?< br>4,7
?
,则 ( )
1,8
?
,B?
?
2,6
?
(B)
A?
?
1,3,5,8
?
,B?
?
2,3, 5,6
?
(A)
A?
?
1,8
?
,B?
?
2,3,5,6
?
(D)
A?< br>?
1,3,8
?
,B?
?
2,5,6
?
( C)
A?
?
5、设P=
{x|y?x},Q?{(x,y)|y?x}
,则P、Q的关系是 ( )
(A)P?Q (B)P?Q (C)P=Q (D)P?Q=
?

6、下列四组函数,表示同一函数的是 ( )
22
x
2
(A)f (x)=
x
, g(x)=x (B) f (x)=x, g(x)=
x
2
(C)f (x)=
x
2
?4
, g(x)=
x?2?
7、函数
y?x?
?
x?1x??1
x?2
(D)f (x)=|x+1|, g(x)=
?

?
?x?1x??1
x
x
的图象是图中的 ( )




8、某部 队练习发射炮弹,炮弹的高度h与时间t的函数关系式是
h
?
t
?
? ?4.9t
2
?14.7t?18
,则
炮弹在发射几秒后最高呢? ( )
A. 1.3秒 B. 1.4秒 C. 1.5秒 D 1.6秒
二、填空题(每小题4分,共16分)
9、已知集合
A?
?
a,b,c,
?
,则集合A的非空真子集的个数是
10 、已知集合M={0,1,2},N={
xx?2a,a?M
},则集合
M?N
= ,
M?N
= 。
11、A={
x
-2<x<5},B={
x
x≤3或x≥8},则(
C
R
A

?

C
R
B
)=
12、
设f(x)=
?
?
|x?1|?2,|x|?1,
, 则
?
1
, |x|?1
?
?
1?x
2
1
f[f()]=

2
三、解答题(每大题13分,共52分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) < br>13、已知集合
A?x?2?x?5

B?xm?1?x?2m?1
.
(1)当m=3时,求集合
AIB

A?B
; (2)若
B?A
,求实数m的取值范围。





14、设集合
A?x|x
2
?4x?0
,
B?x |x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0

????
????
(1)若
A?B?B
,求a的值组成的集合C。 (2)若
A?B?B
,求a的值。





15、求下列函数的值域:
1?x
2

y?x?1
; ⑵
y?
2

1?x
22

y??x?4x? 7
,x
?
{0,1,2,3,4}; ⑷
y??x?4x?7
(x
?
[0,3])








16、某市场经营一批进价为30元件的商品, 在市场试销中发现,此商品的销售单价x(元)与
日销售量y(件)之间有如下表所示的关系。
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …



(1)根据表中提供的数据,确定y与x的一个函数关系式y=f(x);
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出
销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?








参考答案:
1—4:ADBB 5—8:DDCC
9.6 10.
?
0,1,2,4
?

?
0,2,
?
11.
?
xx?3orx??2
?
12.
4

13
13.①
A?B?
?
4,5
?

A?B?
?
?2,5
?

m?3

14. ①
a??1ora?1

a?1

15.①
?
1,??
?

?
?1,1
?


?
?7,?4,?3
?

?
?7,?3
?

16. ①
y??3x?150


p??3(x?40)
2
?300
当x=40时,y有最大值300


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