高一数学必修一各章知识点总结技巧解答

高一数学必修1各章知识点总结
一、集合
1、集合的中元素的三个特性：
2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R
二、集合间的基本关系
1.?包含?关系—子集
注意：
A?B< br>有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A
与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记
?
B或B
?
?
A 作A
?
2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集
合相等?
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真
子集，记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的
真子集。
? 有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算交 集 并 集 补 集
类型
定 由所有属于A且由所有属于集合A设S是一个集合，A
义 属于B的元素所或属于集合B的元是S的一个 子集，由
组成的集合,叫素所组成的集合，S中所有不属于A的
做A,B的交集．记叫做A,B 的并元素组成的集合，叫
做S中子集A的补集
作A
?
B（读作‘A集．记作： A
?
B（读
（或余集）
作‘A并B’），即
记作
C
S
A
，即
交B’），即A
?
B=
A
?
B ={x|x
?
A，或
｛x|x
?
A，且
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x
?
B｝．
性
A
?
A=A


A
?
Φ=Φ

质
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
x
?
B})．
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是
（ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自
身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x
2
-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0 }，则M与N的关系是 .
4.设集合A=
?
x1?x?2?
，B=
?
xx?a
?
，若A
?
B，则
a
的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做 得
正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有
人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成
的集合M= .
7.已知集合A={x| x
2
+2x-8=0}, B={x| x
2
-5x+6=0}, C={x| x
2
-mx+m
2
-19=0}, 若
B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值







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二、函数的有关概念
1．定义域：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.
那么，它的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的
集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意
义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量
和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时
具备)
2．值域 : 先考虑其定义域
3. 函数图象
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．映射 可一对一、多对一
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x
∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
.函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x，x∈D，且x○
1212
2 作差f(x)－f(x)；
○
12
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）；
○
12
第 3 页 共 10 页

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
○
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数< br>f
[
g(x)
]的单调性与构成它的函数
u=g(x)
，y=f(u)
的单调性密切相关，其规律：?同增异减?
2．函数的奇偶性（整体性质）
具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对
○
称；
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x)
○
= 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋
f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
3、求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

4．函数最大（小）值

例题：
1.求下列函数的定义域：
2
⑴
y?
x?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2

x?3?3
x ?1
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则函数
f (x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义域是
4.函数
?
x?2(x??1)
?
，若
f(x)?3
，则
x
=
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
?
2x(x?2)
?5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

第 4 页 共 10 页

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

6.已知函数
f(x?1) ?x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的解析式
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4< br>，则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=

f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1

10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论．
2
1?x
11.设函数
f(x)?
判断它的奇偶性并且求证：
f(
1
)??f(x)
．
2
1?x
x


第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根 式的概念：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈
N*
．
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
n
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
?
a(a?0)

a
n
?|a|?
?< br>?a(a?0)
?
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
第 5 页 共 10 页
m
n
，

a
?
m
n
?
1
m
n
?
1
n
a
? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
rrr?s
（1）
a
〃
a?a

a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)




(a?0,r,s?R)
；
(a?0,r,s?R)
；

rsrs
(a)?a
（2）
rrs
(ab)?aa
（3）
(a?0,r,s?R)
．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a
x(a?0,且a?1)
叫
做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零
和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
44< br>33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246

-4-2
0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调递
增
非奇非偶函数
函数图象都过
定点（0，1）
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递
减
非奇非偶函数
函数图象都过
定点（0，1）



注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在 [a，b]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a ),f(b)]
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或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R；
（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
， 总有
f(1)?a
；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念 ：一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么
数x
叫做以
．
a
为底
．．
N
的对数，记作：x?log
a
N
（
a
— 底
数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
2
a
○
x
?N?log
a
N?x
；
log
a
N
3 注意对数的书写格式．
○
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无 理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
○
lnN
．
? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
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1
log(M
〃
N)?
log
○
aa
M
＋
log
a
N
；
2
log○
a
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
3
log
○
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
．
log
c
b
（
a?0
，且
a?1
；c?0
，且
c?1
；
log
c
a
注意：换底公 式
log
a
b?
b?0
）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）
log
a
b
n
?
m
1
n
（2）
log
a
b?
． log
a
b
；
m
log
b
a
（二）对 数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且< br>a?1)
叫做
对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+≦ ）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定
义，注意辨 别。如：
y?2log
2
x
，
y?log
5
函数， 而只能称其为对数型函数．
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○
2、对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
1.5
x
5
都不是对数
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345 678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2. 5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都
过定点（1，
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定
点（1，0）
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0）

（三）幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如y?x
?
(a?R)
的函数称为
幂函数，其中
?
为常数 ．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+≦）都有定义并且图象都过
点（1，1）；
?
?0
时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特别 地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；
当
0?
?
? 1
时，幂函数的图象上凸；
?
?0
时，（3）幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数．在
第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象在< br>y
轴右方无
限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方
无限地逼近
x
轴正半轴．
例题：
1. 已知a>0，a0，函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是
( )


2.计算： ①
25
3
1

log
3
2
?
log
27
64
;②
2
4?log
2
3
= ；
log
5
27?2log
5
2
=
③
0.064
?
1
3
1
7
?
4< br>?(?)
0
?[(?2)
3
]
3
?16
?0 .75
?0.01
2
=
8
3.函数y=l og
1
(2x
2
-3x+1)的递减区间为
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍，则a=
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5.已知
f(x)?log
a
1?x
(a?0且 a?1)
，（1）求
f(x)
的定义域（2）求使
f(x)?0
的< br>x
的取
1?x
值范围

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)( x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴 交点的
横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数< br>y?f(x)
的图象与
x
轴
有交点
?
函数
y ?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与
○
函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数 的性质找出零
点．
4、二次函数的零点：二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（1）△＞０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函< br>数的图象与
x
轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax
2
?bx?c?0
有两相等实根，二次函
数的图象与
x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或
二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?0
无实根，二次函数的图
象与
x
轴无交点， 二次函数无零点．
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