高中数学必修1教案

高中数学必修1教案

第一篇：高中数学 必修1 集合教案
学习周报专业辅导学习
集合
一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常
用数集，集合元素的特
征等集合的基础知识。
②重点：集合的基本概念及集合元素的特征
③难点：元素与集合的关系
④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意
集合中元
素的基本属性的理解与把握。
二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其
对象是否从属已知集合。
培养分析、判断的能力；
②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。
三、教学过程：
ⅰ）情景设置：
军训期间，我们经常会听到教官在高喊：的全体同 学集
合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教
官的身边，而那些不是咱们班的 学生便会自动走开。这样一

来教官的一声“集合”就把“某些指定的对象集在一起”了。
数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的
概念，而是一个名词性质的概念，同 学们在教官的集合号令
下形成的整体即是数学中的集合的涵义。
ⅱ）探求与研究：
① 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，
也简称集。
问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？
② 为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集
在了一起并作为一个
整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，
以示它作为一个
整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大
写的拉丁字母a、
b、c??来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就
可分别记
为??
另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元
素，并用小写字
母a、b、c??表示
同学口答课本p5练习中的第1大题
③ 分析刚才同学们所举出的集合例子，引出：

对某具体对象a与集合a，如果a是集合a中的元素，
就说a属于集合
a，记作a∈a；如果a不是集合a的元素，就说a不属
于集合a，记作
a?a
④ 再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师
生共同讨论得出结论：
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
然后请同学们分别阅读课本p5和p40上相关的内容。
⑤ 在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅
读课本p4上与数集有
关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用
字母来表示？你
能分别说出各数集中的几个元素吗？）
注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原
来的自然数就是
1、2、3、4??的概念有所不同
同学们完成课本p5练习第2大题。
XX
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注意：符号“∈”、“?”的书写规范化
练习： 下列指定的对象，能构成一个集合的是

① 很小的数
② 不超过30的非负实数
③ 直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点
④ π的近似值
⑤ 高一年级优秀的学生
⑥ 所有无理数
⑦ 大于2的整数
⑧ 正三角形全体
a、②③④⑥⑦⑧b、②③⑥⑦⑧c、②③⑥⑦
d、②③⑤⑥⑦⑧
给出下列说法：
① 较小的自然数组成一个集合
② 集合{1，-2，，π}与集合{π，-2，，1}是同一个
集合
③ 某同学的数学书和物理书组成一个集合
④ 若a∈r，则a?q
⑤ 已知集合{x，y，z}与集合{1，2，3}是同一个集合，
则x=1，y=2。
z=3
其中正确说法个数是
a、1个b、2个c、3个d、4个
已知集合a={a+2，2，a2+3a+3}，且1∈a，求实数a 的

值
ⅲ）回顾与总结：
1． 集合的概念
2． 元素的性质
3．几个常用的集合符号
ⅳ）作业：①p7习题1.1第1大题
②阅读课本并理解概念
课后反思：这节课由于开学典礼的影响，没有来得及全
部上完。等待明天继续上
然后与老教师产生一节课的差距。总体来看，比昨天稍
微好一点，语气上连贯了
些，但是还没有理清自己上课的思路，到了课堂上原本
的准备有些忘记了。
XX
第二篇：高中数学《余弦定理》教案1 苏教版必修5
1.2余弦定理 第1课时
知识网络
三角形中的向量关系→余弦定理 学习要求
1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；
3． 能初步运用余弦定理解斜三角形．
自学评价
1．余弦定理：

a2 ?b2?c2?2bc?cosa，______________________，
_______ _______________.变形：cosa?
b
2
?c
2
?a
2
。
2bc
___________________，___________________ .
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问
题：
_______________________________；
_______________________________．
在?abc中。
已知b?3，c?1，a?600，求a； 已知a?4，b?5，c?6，
求a．
点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的
问题：已知三边，求三个
用心爱心角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两个角．

a,b两地之间隔着一个水塘，听课随笔
择另一点c，测ca?182m,cb?126m,?acb?630
。
求a,b两地之间的距离确到1m）．
用余弦定理证明：在?abcc为锐角时，a2?b2?c2；当
ca2?b2?c2
．
点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广． 追踪训练
一
１．在△ａｂｃ中。
求a；
已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３。
２．若三条线段的长为５，６，７，则用这
三条线段ａ．能组成直角三角形 ｂ．能组成锐角三角
形 ｃ．能组成钝角三角形
专心
ｄ．不能组成三角形
３．在△ａｂｃ中，已知a2?b2?ab?c2，试求∠ｃ的大
小．
４． 两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速
度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４ ５°
的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？

在△abc中，bc=a，ac=b，且a，b是方程x2
?23x?2?0的两根。
2cos?a?b??1。
求角c的度数；
求ab的长； 求△abc的面积。
用心爱心
在△abc中，角a、b、c听课随笔
分别为a，b，c，证明： a2
?b2
?a?b?。
c
2?
sinsinc
追踪训练二
1．在△abc中，已知b?2。
c?1，b=450则a? a2b
6?2
2 c
6?2
6?22
d2
2．在△abc中，已知ab=5，ac=6，bc=31则a=

a?2???
b3
c6d4
3．在△abc中，若b?10，c?15，c=?
6
则此三角形有解。
4、 △abc中，若a2
?c2
?bc?b2
， 则a=_______.
专心
用心爱心 专心3
第三篇：高中数学 《余弦定理》教案1 苏教版必修5
第 3 课时：§1.2余弦定理
一、知识与技能
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦
定理的两种表示 形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用
余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算
有关的实际问题
3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间
联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.

二、过程与方法
利用向量的数量积推出余弦定 理及其推论，并通过实践
演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
三、情感、态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运
算能力；
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的
关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：向量方法证明余弦定理.
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.新授课1课时
一、创设情景，揭示课题
1.正弦定理的内容？
2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？
二、研探新知
1．余弦定理的向量证明：
方法1：如图，在?abc中，ab、bc、ca的长分别为c、a、b．∵ac?ab?bc，?????????
∴
ac?ac???ab??? ??????????????????2?2ab?bc?bc?????????
2

b?ab???2?2|ab|?|bc|cos+bc222????? ????2?c2?2accosb?a
2 即b?c?a?2accosb；
同理可证：a?b?c?2bccosa，c?a?b?2abcosc． 222222
方法2：建立直角坐标系，则a,b,c．所以

a2?2?2?c2cos2a?c2s in2a?2bccosa?b2?b2?c2?2bccosa，同
理可证 1
b2?c2?a2?2accosb，c2?a2?b2?2abcosc
注意：此法的优点在于不必对a是锐角、直角、钝角进
行分类讨论．
于是得到以下定理
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
b2?c2?a2
a?b?c?2bccosa?cosa? 2bc222
c2?a2?b2
b?c?a?2accosb?cosb? 2ca222
a2?b2?c2
c?a?b?2abcosc?cosc? 2ab222
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中
三个量，可以求出第四个量，能否由 三边求出一角？

语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 用符号语言
表示：a2?b2?c2?2bccosa，?等；
2. 理解定理
注意：熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”
等
余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边
和它们的夹角，求第三边和其他两个角
当夹角为90?时，即三角形为直角三角形时即为勾股定
理
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2
变形：cosa?cosb?cosc? 2bc2ac2ac
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关
系，余弦定理 则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，
如何看这两个定理之间的关系？
若?abc 中，c=900，则cosc?0，这时c2?a2?b2，由此可
知余弦定理是勾股定理的推广，勾股 定理是余弦定理的特
例。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知b?3,c?1,a?600，求a；已知a?4,b?5,c?6，
14例1）
求a

7，8的三角形中，求最大角与最小角的和 例2 边长为
5。
例3 在?abc中，最大角a为最小角c的2倍，且三边a、
b、c为三个连续整数，求a、b、c的值
例4 在?abc中，a、b是方程x?23x?2?0的两根，又
2cos?1，求：角 c的度数；求ab的长；?abc的面积
四、巩固深化，反馈矫正
1．在?abc 中，sina:sinb:sinc?3:5:7，那么这个三角
形的最大角是_____ 2
2. 在?abc中，?b，则a?______
在?abc中，s?a2?b2?c2
3. 4，则角c的度数是______
4. 在?abc中，已知a?7,b?8,cosc?13
14，则最大角的余弦值是______
5.已知锐角三角形的边长分别是1、3、a，则a的取值
范围是_______
6.用 余弦定理证明：在?abc中，当c为锐角时，a2?b2?c2；
当c为钝角时，a2?b2?c2．
五、归纳整理，整体认识
1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾
股定理是余弦定理的特例；
2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两

边及它们的夹角，求第三边。
六、承上启下，留下悬念
1．书面作业
七、板书设计
八、课后记：
第四篇：高中数学 《正弦定理》教案1 苏教版必修5
第 1 课时：§1.1正弦定理
一、知识与技能
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容和推导过程；
2.能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定
理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；
3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间
联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能
力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形
中，边与其对角的关系，引导学生通 过观察，推导，比较，
由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践
操作。
三、情感、态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运
算能力；
2.培养学生合情推理探 索数学规律的数学思想能力，通
过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体
现事 物之间的普遍联系与辩证统一。
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的
个数。
1. 学法：引导学生首先 从直角三角形中揭示边角关系：
abc??，接着就一般斜三角形sinasinbsinc
进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向
量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识 的简捷，
新颖。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器新
授课1课时
一、创设情景，揭示课题
1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？
2.这种关系在任意三角形中也成立吗？
3.介绍其它的证明方法
二、研探新知
1.正弦定理的推导
ab,sinb?,sinc?1， cc

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinasinbsincsinasinbsinc
在直角三角形中：sina?
能否推广到斜三角形？
斜三角形中
证明一：在任意斜△abc中，先作出三边上的 高ad、be、
cf，则ad?csinb，be?asinc，cf?bsina．所以
s? abc?111absinc?acsinb?
bcsina，每项222
1abc
??同除以abc即得：．
2sinasinbsinc
证明二：如图所示，∠a＝∠d
bcaa?2r，?2r ??cd?2r同理 ∴
sinasindsinbsinc
???????????????
证明三：过a作单位向量j垂直于ac，由ac+cb?ab，
两边同乘以单位向量j得j
????????????????
??j?ab，则j?ac+j?cb?j?ab
??????
????????????
∴|j|?|ac|cos90?+|j|?|cb|cos=| j|?|ab|cos

ac
∴asinc?csina∴=
sinasinc????cbabc
??同理，若过c作j垂直于cb得：=∴
sinasinbsincsincsinb
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即
a
sina
2.理解定理
?
b
sinb
?
c
sin
正弦定理说明同一三角形中，边与其对角 的正弦成正
比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使
a?ksina,b?ksinb,c ?ksinc；
abcabbcac
==等价于=，=，=，即可得正弦定理的

sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc
变形形式：
1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc；
abc
,sinb?,sinc?； 2r2r2r
3）sina:sinb:sinc?a:b:c．
2）sina?
利用正弦定理 和三角形内角和定理，可解决以下两类斜
三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如a?
bsina
； sinb
a
sinb。 b
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求
其它的边和角．如sina?一 般地，已知两边和其中一边的对
角解斜三角形，有两解或一解．
a?bsinabsina?a?ba?ba?b
一解两解一解一解
abc
注意：正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所
对角的正弦比相等，==

sinasinbsinc
它适合于任何三角形。可以证明
abc
?2r ==
sinasinbsinc
每个等式可视为一个方程：知三求一
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的
过程叫作解三角形。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知在?abc中，c?10,a?450,c?300,求a,b和b
解：?c?10,a?45,c?30∴b?180??105由
ac
?得sinasinc
csina10?sin450bc
???2 a?由得 sinbsincsincsin300
csinb10?sin1050?20
b???20sin75?20??56?52 0
sinc4sin30
例2 在?abc中，b?,b?600,c?1,求a和a,c
bccsinb1?sin6001解 ：
∵?,?sinc???，?b?c,b?600,?c?b,c为锐角。
sinbsincb23

?c?300,b?900∴a?b2?c2?2
例3 ?abc中，c?6,a?450,a?2,求b和b,c
accsina6?sin450300
?,?sinc???解：? ?csina?a?c,?c?60或120
sinasinca22csinb6sin750
?当c?60时，b?75,b???3?1， 0
sincsin60
csinb6sin150
?当c?120时，b?15,b????1
sincsin600
?b??1,b?750,c?600或b?3?1,b?150,c?1200
例4 试判断下列三角形解的情况： 已知
b?11,c?12,b?600
已知a?7,b?3,a?1100已知b?6,c?9,b?450
四、巩固深化，反馈矫正
1.在?abc中，三个内角之比a:b:c?1:2:3，那么a:b:c
等于____ 2.在?abc中，b?1350,c?150,a?5,则此三角形的最
大边长为_____
3.在?abc中，已知a?xcm,b?2cm,b?450，如果利用正弦
定理解三角 形有两解，则的取值范围是_____ 4.在?abc中，
已知b?2csinb，求?c的度数
五、归纳整理，整体认识

1．用三种方法证明了正弦定理：
转化为直角三角形中的边角关系；利用向量的数量
积．外接圆法 2．理论上正弦定理可解决两类问题：
两角和任意一边，求其它两边和一角；
两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它
的边和角．
3.判断三角形的形状 特征，必须深入研究边与边的大小
关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大
小 关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝
角？
此类问题常用正弦定理进行 代换、转化、化简、运算，
揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作
出正确的 判断．六、承上启下，留下悬念
七、板书设计 八、课后记：
第五篇：高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教
版必修5
第 10 课时：§3.4.1基本不等式的证明
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式
的基本思想方法；
2.会用基本不等式解决简单的最大值问题；
3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的

几何意义 ，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：
当且仅当这两个数相等；
4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数的证明以及它的几何解释；
二、过程与方法
1.通过实例探究抽象基本不等式；
2.本节学习是学生对不等式 认知的一次飞跃。要善于引
导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一
步突破难 点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并
为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注 重严
密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良
好的数学品质
三、情感、态度与价值观
1.通过本节的学习，体会数学于生活，提高学习数学的
兴趣
2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的
几何解释，丰富学生数形结合的想象力
?a?b的证明过程；
2a?b等号成立条件及 “当且仅当a?b时取等号”的数
学内涵 2
1.学法：先让学生观察常见的图形，通过 面积的直观比
较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，

可积极 调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分
的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
2.教学用具：直角板、圆规、投影仪新授课1课时
一、创设情景，揭示课题
a?
b 2
a?b2.
的几何背景： 21. 提问：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的，颜色的明暗
使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这
个图 案中找出一些相等关系或不等关系吗？。
二、研探新知
22重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a、b，我们有
a?b?2ab，当且仅当a?b时，等号成立。
证明: a?b?2ab?,当a?b时，?0,当a?b时,
?0,
1 22222
所以a?b?2ab
22注意强调当且仅当a?b时, a?b?2ab 22
注意：等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；
公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复

杂的变量式，因此应用范围比较广泛。
基本不等式：对任意正数a、b
，有a?b?当且仅当a?b时等号成立。 2
a?b?当且仅当a?b时等号成立。 2证法1：可以将基本
不等式2看作是基本不等式1的推论。 由基本不等式1。
得2?2?
?
证法2：a?
b11?
?2?2??2?
0?a?b222
时，取“?”。
a?
b，只要证?a?
b，只要证0?a?
b，只要证0?2
a?
b??a?b时，取“?”。 2
a?b?证法4：对于正数a,b
有2?
0，?a?b?
?0?a?b??2

a?
b说明： 把a,b的算术平均数和几何平均数，上述不等
式可叙述为：两个正2证法3
?
数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论
可推广至3个正数。
基本不等式成立的条件是：a?0,b?0
不等式证明的三种方法：比较法、分析法、综合法
a?b?ab的几何解释：以a?b为直径作圆，在直径ab上
取一点c， 过c作弦2
a?bdd??ab，则cd2?ca?cb?ab，从而cd?ab，而半径?cd?ab
2a?b?几何意义是：“半径不小于半弦” 2b 当且仅当
a?b时，取“?”的含义：一方面是当a?b时取等号，即
a?ba?b
??；另一方面是仅当a?b时取等号，即
2 a?b??a?b。 2
22如果a,b?r，那么a?b?2ab．
如果把a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正
数a、b的等比中项，那么该定理可以叙2
述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
.
2.在数学中，我们称a?b为a、b的算术平均数，称ab

为a、b的几何平均数.本节定理还可叙2
述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 设a,b为正数，证明下列不等式成立：
证明：∵a,b为正数，∴ba1??2；a??2 abababa,也为正
数，由基本不等式得??2∴原不等式成立。 ab
ab∵a,1
a
均为正数，由基本不等式得a?1
a??2，∴原不等式成立。
例2 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：
a2?b2?c2?ab?bc?ca
证明 ：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2?b2?2ab，
b2?c2?2bc，c2?a2?2c a， 以上三式相加：2?2ab?2bc?2ca，
所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．
例3 已知a,b,c,d都是正数，求证?4abcd．
证明：由a,b,c,d都是正数，得：
ab?cd
2??
0，ac?bd
2??0，∴
4?abcd，即?4abcd．

例4 已知函数y?x?1
x?1,x?，求y的范围
例5
2?2．
?0， 又x2?3?1。
?。
22
???
?2?2．
四、巩固深化，反馈矫正
1.已知x,y都是正数，求证： ?8x3y3
2.已知a,b,c都是正数，求证：?8abc；
3. 思考题：若x?0，求x?1
x的最大值
五、归纳整理，整体认识
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法。
小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计
八、课后记：