山西高中数学课本2017-高中数学学考试题 百度文库
家教资料---集合与函数专题复习
集合与函数知识点讲解
1.
对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:集
合A?
?
x|y?lgx
?
,B?
?
y|y?lgx
?
,C?
?
(x,y)|y?lgx
?
,A、B、C
中元素各表示什么?
2.
进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2
如:集合A?x|x?2x?3?0,B?
?
x|ax?1
?
??
若B?A,则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质:
n
(1)集合a
1
,a
2
,?
?,a
n
的所有子集的个数是2;
??
4.
你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式
的取值范围。
ax?5
?0的解集为M,若3?M且5?M,求实数a
2
x?a
(∵3?M,∴
a·3?5
?0
2
3?a
a·5?5
?0
2
5?a
5
??
?a?
?
1,
?<
br>?
?
9,25
?
)
3
?
?
∵5?M,∴
补充:数轴标根法解不等式
5. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素
的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
6 . 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
7. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例
:函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是
(答:
?
0,2
?
??
2,3
?
?
?
3,4
?
)
8. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f(x)的定义域是a,b,b
??a?0,则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是_____________。
??
1
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(答:a,?a)
9.
求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
如:f
令t?
??
?
2
x?1?e
x
?x,求f(x).
?
x?1,则t?0
∴x?t?1
∴f(t)?e
t
2
?1
?t
2
?1
∴f(x)?e
x
2
?1
?x
2
?1
?
x?0
?
10. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
?
?
1?x
如:求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数
?
x?0
?
?
?<
br>x?1
?
x?1
?
)
(答:f(x)?<
br>?
?
?
??x
?
x?0
?
11.
反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y?f(x)的定义域为A,值域为C,a?A,b?C,则f(a)=b?f(b)?a
?f
?1
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a,f
?
f
?1
(b)
?
?
f(a)?b
12. 如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
如何判断复合函数的单调性?
(y?
f(u),u??(x),则y?f
?
?(x)
?
(外层)(内层)
当内、外层函数单调性相同时f?(x)为增函数,否则f?(x)为减函数。)
????
y?log
1
?x?2x的单调区间
如:求
2
?
2
?
(设u??x?2x,由u?0则0?x?2
且log
1
u?,u??
?
x?1
?
?1,如图:
2
2
2
2
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u
O 1 2 x
当x?(0,1]时,u?,又log
1
u?,∴y?
2
当x?[1,2)时,u?,又log
1
u?,∴y?
2
∴??)
13.
函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称
若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶
函数;一个
偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)?0。
a·2
x
?a?2
为奇函数,则实数a?
如:若f(x)?
2
x
?1
(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)?0
a·2
0
?a?2
?0,∴a?1)
即
0
2?1
2
x
,
又如:f(
x)为定义在(?1,1)上的奇函数,当x?(0,1)时,f(x)?
x
4?1
求
f(x)在
?
?1,1
?
上的解析式。
2
?x
(令x?
?
?1,0
?
,
则?x?
?
0,1
?
,f(?x)?
?x
4?1
2
?x
2
x
??
又f(x)为奇函数,∴f(x)??
?x
x
4?11?4
3
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?
2
x
?
?
x
?
4?1
又f(0)?0,∴f(x)?
?
x
?
2
?
?4
x
?1
14. 你熟悉周期函数的定义吗?
x?(?1,0)
x?0
x?
?
0,1
?
)
(若
存在实数T(T?0),在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x),则f(x
)为周期
函数,T是一个周期。)
如:若f
?
x?a
?
??f(x),则
(答:f(x)是周期函数,T?2a为f(x)的一个周期)
又如:若f(x)图象有两条对称轴x?a,x?b
?
?
?
即f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(b?x)
则f(x)是周期函数,2a?b为一个周期
如:
15. 常用的图象变换:(此类问题一定要搞清)
f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称
f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称
f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称
f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称
f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称
f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a,0)对称
4
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y?f(x?a)
左移a(a?0)个单位
将y?f(x)图象????????
??
y?f(x?a)
右移a(a?0)个单位
??????????
注意如下“翻折”变换:
上移b(
b?0)个单位
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
y?f(x?a)?b
f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)
如:f(x)?log
2
?
x?1
?
<
br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象
y
y=log
2
x
O 1
x
16. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k<0) y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
O
x
x=a
(1)一次函数:y?kx?b
?
k?0
?
(2)反比例函数:y?
的双曲线。
kk
?
k?0?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a,b)
xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?
(3)二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线
?
?
??
2a4a
2
?<
br>b4ac?b
2
?
b
顶点坐标为
?
?,
?
,对称轴x??
4a
?
2a
?
2a
5
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开口方向:a?0,向上,函数y
min
4ac?b
2
?
4a
a?0,向下,y
max
4ac?b
2
?
4a
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0,??0时,两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴
的两个交点,也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2
如:二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k
?
2a
?
?
f(k)?0
y
(a>0)
O k x
1
x
2
x
一根大于k,一根小于k?f(k)?0
(4)指数函数:y?a
x
?
a?0,a?1
?
??
(5)对数函数y?log
a
xa?0,a?1
由图象记性质! (注意底数的限定!)
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1
O 1 x
(0
6
家教资料---集合与函数专题复习
(6)“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
17. 基本运算上需注意的问题:
指数运算:a?1(a?0),a
m<
br>n
n
m
?
m
n
0?p
?
1
(a?0)
p
a
a?a(a?0),a?
1
n
a
m
(a?0)
对数运算:log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM?0,N?0
log
a
??M1
n
?logM?log
a
M?log
a
N,log
aa
M
Nn
对数恒等式:a
log
a
x
?x
对数换底公式:log
a
b?
18 . 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
如:(1)x?R,f(x)满足f(x?y)?f(x)
?f(y),证明f(x)为奇函数。
(先令x?y?0?f(0)?0再令y??x,??)
(2)x?R,f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y),证明f(x)是偶函数。
(先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
?
f(t·t)
∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)
∴f(?t)?f(t)??)
(3)证明单调
性:f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
???
19.. 掌握求函数值域的常用方法了吗?
(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性
法,导数法等。
)
如求下列函数的最值:
(1)y?2x?3?13?4x
(2)y?
logc
b
n
?log
a
m
b
n
?log<
br>a
b
log
c
am
??
2x?4
(先√X=?)
x?3
2x
2
(3)x?3,y?
x?3
7
家教资料---集合与函数专题复习
(4)y?x?4?9?x
(5)y?4x?
2<
br>?
设x?3cos?,??
?
0,?
?
?
9
,x?(0,1]
x
集合与函数巩固练习
1
.满足关系{1,2}
?
A
?
{1,2,3,4,5}的集合的个数是(
)
A:4 B:6 C:8
D:9
2.以实数
x
,
?x
,
|x|
,
x
2
,
?
3
x
为元素所组成的集合最多含有( )
A:2个元素 B:3个元素 C:4个元素 D:5个元素
3.已知集合M有3个真子集,集合N有7个真子集,那么M∪N的元素个数为( )
(A)
有5个元素 (B)至多有5个元素
(C) 至少有5个元素
(D)元素个数不能确定
4.
已知A={(x,y)|y=x?-4x+3},
B={(x,y)|y=-x?-2x+2},求A∩B.
5.某班考试中,语文、数学优秀的学生分
别有30人、28人,语文、数学至少有一科优秀的学
生有38人,求:
(1) 语文、数学都优秀的学生人数;
(2) 仅数学成绩优秀的学生人数.
3
6.已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x<-1或x>5}.
(1) 若A∩B=Φ,求a的取值范围;
(2)
若A∪B=R,求a的取值范围.
7、不等式
(1?x
2
)(?2x?3)?0
的解集是( )
3
?
3
??
3
???
B.
?
xx?
?
C.
?
xx?
?
2
?
2
???
?
2
?
3
?? D.
?
xx??
?
2
??
8、已知集合<
br>M?
?
(x,y)x?y?2
?
,N?
?
(x,y)
x?y?4
?
,那么集合
M?N
为(
A.
??
A.
x?3,y??1
2
)
B.
(3,?1)
C.
?
3,?1
?
D.
?
(3,?1)
?
9. 二次函数
y?ax?bx?
c
中,若
ac?0
,则其图象与
x
轴交点个数是(B )
A.1个 B.2个 C.没有交点 D.无法确定
10.
下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A.
y?x?1与y?(x?1)
2
B.
y?x?1与y?
x?1
x?1
x
100
2
C.
y?4lgx与y?2lgx
D.
y?lgx?2与?lg
8
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11、函数
f(x)?
2
(x?0)
的反函数
f
?1
(x)?
( )
x
x2x
A.
(x?0)
B.
(x?0)
C.
?(x?0)
D.
2x(x?0)
2x2
12、函数
f(x)?log
a
(x?2)(0?a?1)
的图象必不过( )
A.第一象限
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13、若
lga,lgb
是方程
2x?4x?1?0
的两个实根,则
ab
的
值等于( )
2
1
2
14.函数
y?f(x)
的图象与
y?log
1
(1?x)
的图象关于直线
y?x
对称,则<
br>f(x)
=( )
2
A.
2
B. C.
100
D.
10
A.
1?2
?x
B.
1?2
C.
1?2
D.
1?2
x
x
?x
(提示:根据原函数与反函数图象的性质)
15、若
f(x)?
x?1,则方程
f(4x)?x
的根是( )
x
11
A.
B.
?
C.2
D.
?2
2
2
16、如果奇函数
f(x)
在[3,7]
上是增函数且最小值是5,那么
f(x)
在
[?7,?3]<
br>上是( )
A.增函数且最小值是
?5
B增函数且最大值是
?5
.
C.减函数且最小值是
?5
D.减函数且最大值是
?5
17.
下列各图象表示的函数中,存在反函数的只能是( )
A.
.
B.
CD.(提示:根据图像判断)
x
18. 若函数
f(x)
为奇函
数,且当
x?0时,f(x)?10,
则
f(?2)
的值是( )
9
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A.
?100
B.
11
100
D.
?
C.
100100
19、奇
函数
f(x)
定义域是
(t,2t?3)
,则
t?
(提示:根据奇偶函数定义域特点)
20.
y?(log
1
a)
x
在R上为减函数,则
a?
2
21.设f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,并且
f(x)?g(x)?x<
br>2
?x
,求
f(x)
。
解:
f(x)
为奇函数
?f(?x)??f(x)
g(x)
为偶函数
?g(?x)??g(x)
f(x)?g(x)?x
2
?x
?f(?x)?g(?x)?x
2
?x
从而
?f(x)?g(x
)?x
2
?x,f(x)?g(x)??x
2
?x
??
f(x)?g(x)?x
2
?x
?
f(x)??x
?
f(x)?g(x)??x
2
?x
?
?
?
g(x)
??x
2
22.(1)已知f(2x+1)=x
2
+x,
,求f(x)的表达式
(2)已知f(x)=x
2
+x,
,求f(2x+1)的表达式
(3) 已知f(2x+1)=x
2
+x,
,求f(x
2
+x)的表达式
23.(1)已知f(2x+1)定义域(0,6),求f(x)定义域
(2)已知f(x)定义域(0,6),求f(2x+1)定义域
(3)
已知f(2x+1)定义域(0,6),求f(x
2
+x)定义域
24.已知f(x)为奇函数,x>0,
f(x)=x
2
+x,求f(x)解析式
25.已知函数f(x)=
mx
2
?mx?
1
的定义域是一切实数,则m的取值范围是
A.0
10
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