高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾
一、 集合
1．集合的概念描 述：集合的元素具有
______性、______性和______性．如果a是
集合A的元 素，记作________．
2．常用数集的符号：自然数集______；
正整数集___ ___；整数集______；有理数集
______；实数集______．
3．表示集合 有两种方法：______法和
______法．______法就是把集合的所有元素
一一列 举出来，并用_____号“_____”起来；
______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内
先写上表示这个集合元素的一般符号及取值
（或变化）范围，再画一条______，在此后
面写出这个集合中元素所具有的_____性质．
4．集合间的关系：A?B ? 对任意的
x?A有______，此时我们称A是B的___ ___；
如果_______，且_______，则称A是B的真
子集，记作______； 如果______ ，且______，
则称集合A与集合B相等，记作_______；
空集 是指____________的集合，记作_____．
5．集合的基本运算： 集合{ x | x?A且
x?B }叫做A与B的______ ，记作_______；
集合{ x | x?A或x?B }叫做A与B的______，
记作_______；集合{ x | x
?
A且x?U }叫做A
的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．
6．性质：① A ? A， ? ? A；
② 若A ? B，B ? C，则A ? C；
③ A∩A＝A∪A＝A；
④ A∩B＝B∩A， A∪B＝B∪A；
⑤ A∩?＝?； A∪?＝A；
⑥ A∩B＝A ? A∪B＝B ? A ? B；
⑦ A∩
C
U
A＝?； A∪
C
U
A＝U；
⑧
C
U
(
C
U
A)＝A；⑨
C
U
(A∪B)＝
C
U
A∩
C
U
B．
7．集合的 图示法：用韦恩图分析集合的
关系、运算比较直观，对区间的交并、补、
可用于画数轴分析的方 法．
8．补充常用结论：① 若集合A中有n
(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子 集个
数为2（包括A与?）；②对于任意两个有限
集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”
计算：
card(A∪B)＝card A ? card B ? card(A∩B)
9．易错点提醒：①注意不要用错符号
“?”与“?”；②当A ? B时，不要忘了A
＝? 的情况讨论；
n
二、 函数及其表示法
1． 函数的定义：设A，B是非空数集，
如果按照某种确定的_________ f，使对于集
合A中的任意一个数x，在集合B中都有
____________的数 f ( x ) 和它对应，则称f为
从集合A到集合B的函数，记作_________．
函数的三 要素是指函数的_____________、
_____________和___________ ___．
2． 函数的表示法：_____________法、
____________ 法和____________法．
3． 解有关函数定义域、值域的问题，
关键是把握自变 量与函数值之间的对应关
系，函数图象是把握这种对应关系的重要工
具．当只给出函数的解析式 时，我们约定函
数的定义域是使函数解析式_____________
的全体实数．
4． 求函数解析式的常用方法：①待定
系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），
等（试各举一例）．
5． 函数图象的变换：根据函数图象的
变换规律，可以由基本初等函数 的图象为基
础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函
1 4

数图象解决各类问题．
① y ? f ( x ?a ) 的图象可以由y ? f ( x ) 的图
象向______平移____个单位得到；
② y ? f ( x )?? b 的图象可以由y ? f ( x ) 的
图象向______平移____个单位得到；
③ ______________的图象与y ? f ( x ) 的图
象关于x轴对称；
④ _______________的图象与y ? f ( x ) 的图
象关于y轴对称；
⑤ ______________的图象与y ? f ( x ) 的图
象关于原点对称；
⑥ y ? f ( | x | ) 的图象可以由y ? f ( x ) 的图
象________________________得到；
⑦ y ? | f ( x ) | 的图象可以由y ? f ( x ) 的图
象_______________________得到；
论哪一种方法，①化归为基 本初等函数问题，
②化归为方程有解问题的讨论，③化归为解
不等式问题，④利用函数图象，等 是最基本
的解题策略．
6． 二次函数在闭区间上的值域（最值）
的求法：①图象法 （特别注意对称的位置、
开口方向）；②配方法．注意：不能不加分析
地将区间端点代入．
7． 奇偶性的定义：
y?f(x)
为奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
f(?x)?f(x)?0
；
y?f(x)
为偶函数 ?
f(?x)?f(x)
?
f(?x)?f(x)?0
；
8． 关于函数奇偶性的注意点：①如果
奇函数y ? f ( x )在原点有定义，则
f(0) ?0
；
②奇偶函数的定义域一定关于原点对称，所
以判定函数的奇偶性时，首先应该看 定义域
是不是关于原点对称．
9． 奇偶函数的图象规律：奇函数的图
象关于___ _____对称；偶函数的图象关于
________对称．
10． 奇偶函数的单调性规律 ：奇函数在
关于原点对称的两个区间上的单调性
________；偶函数在关于原点对称的两 个区
间上的单调性________．
11． 奇偶函数的运算规律：① 若干个
奇偶性相同的函数相加减，其奇偶性不变；
② 若干个奇偶函数相乘除，当奇函数个数为
奇数时结果为奇函数，当奇函数个数为偶数
时结果为偶函数．（类似“负负得正”的规律）
三、 函数的基本性质
1． 函数单调性的定义：对于定义域内
的某个区间D上任意 两个值
x
1
,x
2
，若
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D上增函
数，若
x
1
?x
2
时，都有< br>f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D 上减函数．
2． 利用定义证明单调性的一般步骤：
①设、②减、③代、④化、⑤断，其中“ 化”
的目标是_____________________________．
3． 复合函数的单调性规律：同增异减．
4． 单调函数的运算规律：
① 增函数＋增函数＝增函数；
② 减函数＋减函数＝减函数；
③ 增函数－减函数＝增函数；
④ 减函数－增函数＝减函数；
注意：单调函数的乘除规律比较复杂，
不能按以上规律随意类比．
5． 求函数值域 （最值）的常用方法：
①配方法，②利用单调性，③换元法，④数
形结合，⑤判别式法，等（试 各举一例）；无
四、 指数幂运算与对数运算
①
a?
____； ②
a
?1
?
____；②
a
0
?
____；．
2． 无理数指数幂：是一个确定的实数，
我们可以根据无理指数的有理数近似值计算
出其任意精确度的近似值．
n
m
1． 分数指数、零指数与负指数的定义：
2 4

a
s
?a
t
?
______；3． 指数幂 的运算性质：
(a
s
)
t
?
______；
(ab )
r
?
______；
⑥
log
a
M
n
?
_______； ⑦
log
a
m
M
n
?
______
⑧换底公式：______________________；
⑨
log
a
b?log
b
a?
__________；
⑩
log
a
b?log
b
c?
__________；
6． 常用 对数与自然对数：①
log
10
N
叫
做常用对数，简记为_____ _，一个正整数的
位数等于
[lgx]?1
；②
lg2?lg5?
_ ______；
③
log
e
N
叫做自然对数，简记为_______ __，
其中e是一个无理数，其近似值为________．
4． 对数的定义：
a
x
?N?x?
______；
其中a的取值范围是_________，N的 取值范
围是_________，零和负数没有对数．
5． 对数的运算性质：①
log
a
a?
____；
②
log
a
1?
______； ③
a
log
a
N
?
______；
④
l og
a
M?log
a
N?
__________；
⑤log
a
M?log
a
N?
__________；
五、 几类基本初等函数的图象与性质
1． 指数函数：画出指数函数
y?a
x
的图象，结合图象体会下表：
图象特征 函数性质
a?1

0?a?1

a?1

0?a?1

向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点（0，1）
图象自左向右逐渐上升 图象逐渐自左向右下降
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
+

a
0
?1

增函数
x?0时a
x
?1

x?0时0?a
x
?1

减函数
x?0时0?a
x
?1

x?0时a
x
?1

第一象限内的图象在直第一象限内的图象在直
线y =1的上方 线y =1的下方
第二象限内的图象在直第二象限内的图象在直
线y =1的下方 线y =1的上方
图象上升的趋势是越来图象下降的趋势是越来函数值增长开始函数值减小开始
越陡 越缓 较慢，后来极快； 极快，后来较慢；
2． 对数函数：画出指数函数
y?log
a
x
的图象，结合图象体会下表：
图象特征 函数性质
a?1

0?a?1

a?1

0?a?1

非奇非偶函数
函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点（1，1）
图象逐渐上升 图象逐渐下降
函数的定义域为（0，＋∞）
函数的值域为R
log
a
a?1

增函数
x?1时log
a
x?0

0?x?1时log
a
x?0

减函数
0?x?1时log
a
x?0

x?1时log
a
x?0

第一象限的图象在直第一象限的图象在直
线x =1右边 线x =1左边
第二象限的图象在直第二象限的图象在直
线x =1左边 线x =1右边
3 4

3． 幂函数：结合以下图象说出幂函数的性质：
y?x
n

奇函数（p奇q奇） 偶函数（p偶q奇） 非奇非偶函数（q偶）
y y
x
y
n?1

x x

y y
x

y
x

0?n?1

x
我们只研
究n是有
理数的情
况，规定

n?
p
是
q

y y

y
既约分数
x
n?0

x x

六、 函数的应用
1． 方程与函数的关系：方程
f(x)?0
实
根 ? 函数
y?f(x)
的图象_______________
? 函数
y?f(x)
有________．
2． 闭区间上函数零点存在定理：区间< br>[a，b]上的连续函数
y?f(x)
如果有
f(a)f(b)?0
， 则：函数
y?f(x)
在区间(a，
系（包括等量关系和不等关系）．
6． 二次方程的实根分布：设二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
(a>0)， 二次方程
f(x)?0
①两根均大于k 、②两根均大于k 、③两根
均在(m，n)内、 ④一根小于m另一个大于n，
这些实根分布的等价条件分别为：
?
??0
?
??0
??
bb
??
①?
?
k??
； ②k ?
?
k??
；
2a2a
??
??
?
f(k)?0
?
f(k)?0
??0< br>?
?
?
??0
b
?
?n
?
?
m??
③ ?
?
； ④?
?
f(m)?0
；
2a
?
f(n)?0
?
f(m)?0
?
?
??
f(n)?0
⑤有且仅有一根在(m，n)内?
f(m)f(n)?0
．
b)内有_______，方程在(a，b)内有_______．
3． 二分法求函数零点的一般步骤：
①确定区间[a，b]，使
f(a)f(b)?0
； ②求区
间(a，b)中点c；③计算
f(c)
，若
f(c)?0
，< br>则____________；若
f(c)?0
，则__________；
若
f(c)?0
，则___________；④判断是否达
到精确度
?
：若
|a?b|?
?
，则_____________；
否则______ ___________．
4． 不同增长速度的函数模型：当x足够
大时，下列各类函数： ①一次函数、②反比
例函数、③幂函数(
n?1
)、④指数函数(
a?1)、
⑤对数函数(
a?1
)，它们的函数值从小到大
依次是：_____ _________________．
5． 解函数实际应用问题的关键：耐心
读题，理解题意，分析题中所包含的数量关
4 4