高中数学必修1知识点汇总(文科)

高中数学必修1知识点汇总（文科）
第一章 集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示自 然数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表 示整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系 对象
a
与集合
M
的关系是
a ?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法 ①自然语言法： 用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，
写在大括号内表示集合.③描 述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦
恩图来表示集合.
（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限 集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元
素的集合叫做空集(
?
).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
A中的任一元素都属
于B
(2)
??
性质 示意图
A?B

子集
（或
B?A)

A
?
B
?
A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

（1）
??A
（A为非空子集）
?
A(B)
BA
或
真子集
（或B
?
A）
?
A?B
，且B中至
少有一元素不属于A
BA
(2)若< br>A?B
且
B?C
，则
??
A?C

?

集合
相等
A中的任一元素都属
A?B

于B，B中的任一元素
都属于A
(1)A
?
B
(2)B
?
A
A(B)

（7）已知集合
它有< br>2
n
A
有
n(n?1)
个元素，则它有
2
n
个子集，它有
2
n
?1
个真子集，它有
2
n
?1
个非空子集，
【1.1.3】集合的基本运算
?2
非空真子集.
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质 示意图
交集
AB

{x|x?A,
且
x?B}

{x|x?A,
或
x?B}

并集
AB

A
（2）
A
（3）
A

A
（1）
A
（2）
A
（3）
A

A
（1）
A?A

???

B?A

B?B

A?A

??A

B?A

B?B

AB

A
B


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1
A(?
2
A(?

U
A)?U
U
A)??
补集
?
U
A

{x|x?U,且x?A}

痧B)?(
U
A)(?
U
(A
U
B)
痧B)?(
U< br>A)(?
U
(A
U
B)

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|?a(a?0)

|x|?a(a?0)

把
{x|?a?x?a}

x|x??a
或
x?a}

ax?b
看成一个整体，化成< br>|x|?a
，
|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)

|x|?a(a?0)
型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
??b
2
?4ac

二次函数
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
O



一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根 < br>?b?b
2
?4ac
x
1,2
?
2a
（其中
x
1
x
1
?x
2
??
b

2a
无实根
?x
2
)

{x|
x??
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

b
}

2a
R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x
1
?x?x
2
}

〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
?

?

（1）函数的概念①设
A
、
B
是两个非空的数 集，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个数
x
，
在集合
B
中都有唯一确定的数
则
f(x)
和它对应，那么 这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法
f
）叫做集合
A
到
B
的一个函数，记作
f :A?B
．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③
只有定义域相同，且对应法则也相同 的两个函数才是同一函数．

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（2）区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数，且
a?b，满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记做
[a,b]
；满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做开区间，记做
(a, b)
；满足
a?x?b
，或
a?x?b
的实数
x
的
集合叫做半开半闭区间，分别记做
[a,b)
，
(a,b]
；满足< br>x?a,x
合分别记做
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)．
注意：对于集合
{x|a?
?a,x?b,x?b
的实数
x
的集
x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可以大于 或等于
b
，而后者必须
a?b
．
（3）求函数的定义域时，一般 遵循以下原则：①
时，定义域是使分母不为零的一切实数．③
f(x)
是整式时，定义 域是全体实数．②
f(x)
是分式函数
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被 开方式为非负值时的实
数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数 须大于零且不等于
1．⑤
y?tanx
中，
x?k
?
??
2
(k?Z)
．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若
f(x)是由有
限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的 交集．⑧
对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
定义域应由不等式
a?f(x)
的定义域为
[a,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的
g(x)?b
解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需
对字 母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实
际意义 ．
（4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此
求函数的 最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方
法：
①观察法 ：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式
化成含有自变 量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若
函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关于
x
的二次方程
a(y)x
2
?b(y)x?c(y)?0
，则在
a(y)?0
时， 由于
x,y
为实数，故必须有
??b
2
(y)?4a(y)?c(y )?0
，从而确定函数的值域或最
值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤ 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难
为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它
的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确
定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、 列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达
式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格 来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是
用图象表示两个变量之间的对应关系．

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（6）映射的概念①设
A、
B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个元素，在集
）叫做合
B
中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包 括集合
集合
A
，
B
以及
A
到
B
的 对应法则
f
A
到
B
的映射，记作
f:A?B
．②给 定一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元
素
a
和元素
b
对应，那么我们把元素
b
叫做元素< br>a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象．

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个自变量
的值x
1
、x
2
,当x< x时，都
12
．．
．．．
有f(x)12
．．
．．．．．．．．．
f(x)在这个区间上是增函数．
．．．
图象 判定方法
（1）利用定义
y
y=f(X)
f(x )
1
（2）利用已知函数的
f(x )
2
单调性
（3）利用函数图象（在
某个区间图
o
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某
个区间上的任意两个 自变量
的值x
1
、x
2
，当x< x时，都
12
． ．
．．．
有f(x)>f(x)，那么就说
12
．．
．．．．．．． ．．
f(x)在这个区间上是减函数．
．．．
x
1
x
2
x

象上升为增）
（4）利用复合函数
（1）利用定义
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
（2）利用已知函数的
单调性
（3）利用函数图象（在
某个区间图
x
2
o
x
1
x

象下降为减）
（4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数 ，增函数减去一个减函数为
增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数
y?f[ g(x)]
，令
u?g(x)
，若
y?f(u)
为增，
u? g(x)
为增，则
y?f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
y

为减，则
则
y?f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为减，
y?f[g(x) ]
为减；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为增，则
y? f[g(x)]
为减．
（2）打“√”函数
a
f(x)?x?(a?0)
的图象与性质
x
o

x

f(x)
分别在
(??,?a ]
、
[a,??)
上为增函数，分别在
[?a,0)
、

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(0,a]
上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数
y?f(x)
的定义 域为
I
，如果存在实数
M
满足：（1）对于任意的
x?I
， 都有
．那么，我们称
M
是函数
f(x)?M
值，记作
；（2 ）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
f (x)
的最大
f
max
(x)?M
．②一般地，设函 数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
m
满足：（1 ）
对于任意的
x?I
，都有
数
（2）存在
x
0?I
，使得
f(x
0
)?m
．那么，我们称
m
是函
f(x)?m
；
f(x)
的最小值，记作
f
max(x)?m
．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x) 定义域内
任意一个x，都有
．
f(－x)=－
．．．．．．
f(x) ,那么函数f(x)叫做奇函
．．．．．．
数．
．
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内
任意一个x，都有
．
f(－x)=f(x),
．．．．．．．．．
那么函数f(x)叫做偶函数．
．．．

（1）利用定义（要先
判断定义域是否关于
原点对称）
（2）利用图象（图象
关于y轴对称）

②若函数
图象 判定方法
（1）利用定义（要先
判断定义域是否关于
原点对称）
（2）利用图象（图象
关于原点对称）
f(x)
为奇函数，且在
x ?0
处有定义，则
f(0)?0
．③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间
增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶 函数（或奇函数）
的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函 数，一个偶函数与一
个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；
④画出函数的图象．利用基本函数图象 的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等 各种基本初等函数的图象．①平移变换
h?0,左移h个单位
y?f(x)????????y ?f(x?h)
h?0,右移|h|个单位
k?0,上移k个单位
y?f(x)??? ?????y?f(x)?k

k?0,下移|k|个单位


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②伸缩变换
0?
?
?1 ,伸
y?f(x)?????y?f(
?
x)

?
?1,缩
0?A?1,缩
y?f(x)?????y?Af(x)

A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
（2）识图 对于给定函 数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的
定义域、值域、单调 性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质， 为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题
途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形 结合解题的思想方法．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念①如果
x
奇数时，< br>a
的
n
次方根用符号
方根用符号
?
n
n?a,a?R,x?R,n?1
，且
n?N
?
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根．当
n
是
a
表示；当< br>n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a
表示，负的
n
次
n
n
a
表示；0的
n
次方根是0；负数
a
没有
n
次方根．②式子
a
叫做 根式，这里
n
叫做根指
n
数，
a
叫做被开方数．当
n
为奇数时，
a
为任意实数；当
n
为偶数时，
a?0
．③根式的性质：
(a)
n
?a
；
当
n
为奇数时 ，
n
?
a (a?0)
．
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
?a (a?0)
m
n
（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)．0的
m
n
正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：
a< br>?
1
m
1
?()
n
?
n
()m
(a?0,m,n?N
?
,
且
aa
n?1)
．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算 性质①
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s? R)

(a
r
)
s
?a
r s
(a?0,r,s?R)
③
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?R)

【2.1.2】指数函数及其性质

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