高中数学必修1 函数与方程

函数与方程（1）
教学目标： 1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系
2、掌握零点存在的判定条件．
教学重点：零点的概念及存在性的判定．
教学难点：零点的确定．
教学过程：
一、知识点点拨：
1、函数零点的概念：
对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f (x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点．
2、函数零点的意义：
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x) ?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标．
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
3、函数零点的求法：
求函数
y?f(x)
的零点：
1
（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根； ○
2
（几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的性质○
找 出零点．
4、利用函数的性质找出零点．（零点存在性的探索）
（Ⅰ）观察二次函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图象：
1
在区间
[?2,1]
上有零点______； ○
．
f(?2)?
_______，
f(1)?
_______,
f(?2)
·
f(1)
_____0（＜或＞）
2
在区间
[2,4]
上有零点______；
f(2)
·
f(4)
____0（＜或＞）○．
（Ⅱ）观察下面函数
y?f(x)
的图象

1
在区间
[a,b]
上______(有无)零点；
f(a)
·
f(b)
_____0（＜或＞）○．
2
在区间
[b,c]
上______(有无)零点；
f(b)
·
f(c)
_____0（＜或＞）○．
------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ----------------------------------
１

3
在区间
[c,d]
上______(有无)零点；
f(c)
·
f(d)
_____0（＜或＞）○．
函数零点存在性定理：
一般地，如果函数
y?f(x)
在区间
[a ,b]
上图象是连续不断）的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间内有零点，即存在
c?(a,b)
，使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程
f(x)
=0的根(注意：
（a,b）
反之不一定成立)
二、例题讲解
例１、已知函数
f
?
x
?
的图象是不间断的，并有如下的对应值表：
x

f
?
x
?

1
8
2
7
3
–3
4
5
5
–5
6
–4
7
–8
那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
分析：
f(2)?0
解：略
例２、方程
xlnx?2
必有一个根的区间是（ ）
,f(3)?0,f(4)?0,f(5)?0

?
1
?
A.
?
1,2
?

B.
?
2,3
?

C.
?
,1
?

D.
?
3,??
?

?
e
?
分析：可用零点存在定是验证
解：略
例３、（1 ）求证：函数
f(x)?x?x?1
在区间
?
?2,?1
?
上存在零点．
32
（2）当
m?
（给出一个实数值即可） 时，函数
f(x)?x?x?m
在区间
?
?2,?1
?
上存 在零点．
32
分析：因为
f(?2)?0,f(?1)?0
，由零点存在定 理可知存在零点
解：略
例4、：（1）求函数
y?x?64x
的零点 < br>（2）设函数
f(x)?
?
3
?
2x?2,x?[1,??)
2
?
x?2x,x?(?1,1)
，求函数
y?f(x)?
1
的零点
4
分析：
f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
的实根
解：略
四、课堂小练：
1、求下列函数的零点
（1）
y?2x(x?2)?3
； （2）
y?(x?1)(x?3x?1)
< br>----------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------
２

2

2、．若函数
f
?
x
?
?ax?b
只有一个零点2，那么函数
g
?
x
?
?bx< br>2
?ax
的零点是（ ）
Ａ、
0,2
Ｂ、
0,
2
111
Ｃ、
0,?
Ｄ、
?

22
2
3、对于函数
f
?
x
?
?x?bx?c
，若
f
?
m
?
?0,f
?
n
?
?0
(mf
?
x
?
在区间
?
m,n
?
内 （ ）
A、一定没有零点 B、可能有两个零点 C、有且只有一个零点 D、一个或两个零点
4、已知二次函数
y ?f
?
x
?
有两个相异零点
x
1
,x
2< br>，且函数
y?f
?
x
?
满足
f
?
3 ?x
?
?f
?
3?x
?
，则
x
1
?x
2
?

5、二次函数
f(x)?ax
2
?bx ?c
若
f(x
1
)?f(x
2
)(x
1
? x
2
)
则
f(x
1
?x
2
)?
（ ），
4ac?b
2
bb
A、
?
B、
?
C、
c
D、
2aa
4a
函数与方程（2）
教学目标：
结合二次函数图象的性质，简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。
教学重点：一元二次方程实根分布及其简单运用
教学难点：一元二次方程实根分布及其简单运用
教学过程：
一、预习导引
1、回顾：二次方程 的根及相应二次函数 的零点的关系
2、二次函数
y?x2
?(a?2)x?3
，
x?[a,b]
关于直线
x?1
对称，则
b?

2
3、二次方程< br>ax?bx?c?0
的两根
x
1
、
x
2
当系 数
a,b,c
满足 关系时两根均为正数，满足 关系
时两根为一正一负
4、已知
f(x)
是偶函数，且其图像与x轴有四个 交点，则方程
f(x)?0
的所有实根之和为（ ）
A、4 B、2 C、1 D、0
二、知识点点拨
设 方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的不等两根为
x
1
,x
2
且
x
1
?x
2
，相应的二次函 数为
f
?
x
?
?ax?bx?c?0
，
22
方程的根即为二次函数图象与
x
轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是 充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分
布
情
况
两个负根即两根都小
于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根
即一个根小于0，
一个大于0
?
x
1
?0?x
2
?

?
x
1
?0,x
2
?0
?

?
x
1
?0,x
2
?0
?

< br>----------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------
３

大
致
图
象
（
a?0
）




得
出
的
结
论
?
? ?0
?
b
?
?0

?
?
?
2a< br>?
?
f
?
0
?
?0
?
??0
?
b
?
?0

?
?
2a
?
?< br>?
f
?
0
?
?0
f
?
0
?
?0

a?0
）



a?0
）


大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?< br>?0

?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
?
??0
?
b
?
?0

?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
表二：（两根与
k
的大小比较）
f
?
0
?
?0


一个根小于
k
，
分
布
情
况
两根都小于
k
即

两根都大于
k
即

一个大于
k
即

x
1
?k,x
2
?k

x
1
?k,x
2
?k

x
1
?k?x
2


大
致
图
象
（
k
k


k

------------------------------------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----
４

得
出
的
结
论< br>?
??0
?
b
?
?k

?
?
?
2a
?
?
f
?
k
?
?0
?< br>??0
?
b
?
?k

?
?
?
2a
?
?
f
?
k
?
?0
f
?< br>k
?
?0

a?0
）


分
布
情
况
大
致
图
象
（
a?0
）



得
出
的
结
论

大
致
图
象
（
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?k

?
??
2a
?
?
f
?
k
?
?0
?
??0
?
b
?
?k

?
?
?2a
?
?
f
?
k
?
?0
表三：（根在 区间上的分布）
两根有且仅有一根在
f
?
k
?
?0




两根都在
?
m,n
?
内
?
m,n
?
内（图象有两种
情况，只画了一种）
一根在
?
m,n
?
内，
另一根在
?
p,q
?
内，
m?n?p?q


?
??0
?
?
f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0

?< br>b
?
m???n
2a
?
?
f
?
m< br>?
?f
?
n
?
?0

?f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0< br>?
?
f
?
m
?
f
?
n
?< br>?0
或
?
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
?
f
?
p
?
?0
?
?
f
?
q
?
?0
?
-- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------------------
５

大
致
图
象
（
a?0
）


得
出
的
结
论
?
??0
??
f
?
m
?
?0
?
?
f
?< br>n
?
?0

?
b
?
m???n
2a
?
?
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0

?f
?
m
?
?0
?
?< br>f
?
n
?
?0
?
?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
或
?
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0?
f
?
p
?
?0
?
?
f
?< br>q
?
?0
?
三、例题讲解
例、求实数
m
的 范围，使关于
x
的方程
x
2
?(m?3)x?m?0
的两根 情况如下：
(1)两个负根；(2)两根都小于1；(3)两根都大于1 ；(4)一个根大于1，一个根小于1
(5)两个根都在（0,2）内 (6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内
(7)一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
分析：画出对应函数图象，数形结合分析得出参数满足的充要条件
解：略
四、课堂练习：
2
1.若方程
x?ax?2?0
的两个根，都小于 -1，求
a
的取值范围。
2
2.已知关于
x
的方程
kx?2kx?k?2?0
有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求 实数
k
的取值范围。
教学目标：
1、理解二分法求方程近似解的实质
2、能够借助计算器用二分法求方程的近似解
3、通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性
教学重点： 理解二分法求方程近似解的实质
通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性
教学难点：理解二分法求方程近似解的实质
教学过程：
一、自学导引：
1.函数零点存在定理:如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是 _______的一条曲线,并且有__________,那么,
函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点,即存在
c?
_____使得
f(c)? 0
,这个
c
也就是方程
f(x)?0
的___.
2.一般地,我们把_________称为区间
(a,b)
的中点．
3. 对于在
[a,b]
区间上_________且_________的函数
y?f(x )
,通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间
------------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------
６


函数与方程（3）

_________,使区间的两个端点____ _____零点,进而得到零点_________的方法叫做二分法.
4、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是 （ ）

y
y
y
y



o
o
o

o
x
x
x
x

A B C D
5.给定精确度
?
,用二分法求函数零点近似值的步骤是:
(1)确 定区间_________,验证
f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
(2)求区间
(a,b)
的中点____;
(3)计算
f(c)
;
①若_________,则
c
就是函数的零点;
②若
f(a)? f(c)?0
,则令_________(此时零点
x
0
?(a,c)
);
③若
f(c)?f(b)?0
,则令_________(此时零点
x
0
?(c,b)
).
(4)判断是否达到精确度
?
:即 若_________,则得到零点近似值
a
(或
b
),否则重复(2)~( 4).
二、知识点点拨
1、一般地，我们把
a?b
称为区间
(a,b)
的中点
2
2、对于在区间
[a,b]
上连续不断，且满足
f(a)f(b)?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函数
f(x)
的零点
所在的区 间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
（1）用二分法 的条件
f(a)f(b)?0
表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点，而非不变号零点。
（2）二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断
f(x)
的符号 ，逐步将有根区间缩小，
直至有根区间足够小，便可求出满足精度要求的近似根。
用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
1、确定区间
[a,b]
，使
f(a)f(b)?0
，给定精度ε；
2. 求区间
(a,b)
的中点
c

3. 计算
f(c)
：
（1）若
f(c)
=0，则
c
就是函数的零点；
（2）若
f(a)f(c)?0
，则令
b?c
，此时零点
x
0
?(a,c)
；
（3）若
f(c)f(b)?0
，则令
a?c
，此时零点
x
0
?(c,b)
.
4. 判断是否达到精确度ε：若
|a?b|?
?
，则得到零点近似值
a
（或
b
）；
否则重复步骤 2～4．
三、例题分析：
例1、已知二次函数
y?ax?bx?c
的部分对应值如下表
------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------------
７

2

x
y
-3
6
-2
m
-1
-4
0
-6
1
-6
2
-4
3
n
4
6
不求
a,b,c
的值，则方程的两个根所存在的区间是（ ）
A、
?
?3,?1
?
和
?
2,4
?
B、
?
?3,?1
?
和
?
?1,1
?

C、
?
?1,0
?
和
?
1,2
?
D、
?
??,?3
?
和
?
4,??
?

例2、：利用计算器，用二分法求方程2＋3x＝7的近似解（精确度0.1）
分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
解:原方程即2＋3x＝7 ,令f（x）＝2＋3x －7,用计算器作出函数的对应值表与图象（如下):
x 0
-6
1
-2
2
3
3
10
4
21
5
40
6
75
7
142
xx
x
f（x）＝2＋3x －7

4
3
x
f?x? =
?
2
x
+3?x< br>?
-7
2
1
-2
-1
01
246810-2
-3
-4
-5
-6

观察上图和表格,可知f(1 )·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x
0
.取区间(1,2)的中点x
1
=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0,所以 x
0
∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x
2
=1.25,用计算 器求得
f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.2 5,1.5),同理可得x
0
∈(1.375,1.5),
x
0
∈ (1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1, 所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.
四、课堂练习
1、函数在
f(x)?lnx?
2
的零点的大致区间是 （ ）
x
A、
(1,2)
B、(2,3) C、
(1,e)
D、
(e,??)

2、方程
log
3
x?x?3
的解所在区间是 （ ）
A、（0，2） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）
3、下列方程在区间
?
2,3
?
内一定没有实根的是 （ ）
?
1
?
2x?1
A、
x?2x?1?0
B、
lgx?x?3?0
C、
2?5?x
D、
log
1
x?
??

?
2
?
2
x
4、用计算器求方程
2?x?4
的近似解（精确到0.1）；
x
-------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- ---------------------------
８

函数与方程（4）
教学目标： 1、会从图象来判断近似解及根的个数问题

2、体会数形结合思想在解决函数问题中的应用
教学重点：会从图象来判断近似解及根的个数问题
教学难点：数形结合思想的熟练运用。
教学过程：
一、自学导引
1、在 同一坐标系中画出函数
y?log
a
与函数
y?x?2
的简图，有几 个交点？
2、方程
log
a
=
x?2
的根有几个？
二、知识点导引
函数与方程思想：是指在解决某些数学问题时，构造适当的函数与方程，把问 题转化为研究辅助函数与辅助
方程性质的思想。因而函数
f(x)
的图象与
x
轴的交点个数就是方程
f(x)?0
的实根个数。
三、例题分析

例1、（1）方程
x
2
?lgx
在
(0,10)
实数解的个数 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3

分析：画出
y?x
2
与y?lgx
的图象，数形结合得出结论
（2）方程
x?2x?lnx?1?0
实根的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无数多个
分析：从结构式来看所给 的方程既不是关于x二次函数方程也不是对数方程，不能套用高中解方程的方法来处理，
必须分析结构式 ，将其移项后适当变形不难发现原方程可化为
lnx??x?2x?1
，构造两个函数借用图象 处理。
解：原方程可化为：
lnx??x?2x?1

构造函数
f(x)?lnx
，
g(x)??x?2x?1,(x?0)

在同一坐标系中画出两个函数的图象， 可看出两函数的图象有两个交点，
所以原方程有两个实根.故选（C）.
总结：对于求解方程的根的个数时，当不能直接求解时，
可分别构造函数，通过其图象来求解，这是一种处理非常见方程的好方法。
（3）. 若关于 x的方程
x?4|x|?5?m
有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为________ ___。
分析:
m?(1，5)

解：设
y
1
?x?4|x|?5y
2
?m
，画出两函数图象示意图，要使方程
x ?4|x|?5?m
有四个不相等实根，
只需使
1?m?5

22< br>2
2
x
x
2
2
2
------------ -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- -----------------------------
９

x
例2、（1）若直线
y?2a
与函数
y ?a?1
?
a?0,且a?1
?
的图象有两个公共点，
则
a
的取值范围是_________
（2）函数
y?loga
x(a?0,a?1)
在
[2,??)
上恒有
y?1
，则
a
的取值范围（ ）
A：
(,1)?(1,2)
B：
(0,)?(1,2)
Ｃ：
(?3,0)?(3,??)
Ｄ：
(??,?3)?(0,3)

分析：（1）由于底数不定，所以需分类画出函数
y?|a
x
?1|
的图象。
（2） 作出函数
y?|lo g
a
x|在[2,??)
上图象，观察并分析出函数值恒大于1时，参数
a< br>满足的条件
解：略
四、课堂练习
x
1、
f(x)?3?1
与
g(x)?2
交点的个数为 （ ）
1
2
1
2
Ａ：0个 Ｂ：1个 Ｃ：2个 Ｄ:3个
2、方程
a
x
?log
a
x(a?0,a?1)
的实根的个数 （ ）
A、当
a?1
时，方程没有实数解。 B、当
a?1
时，方程有两个实数解
C、当
0?a?1
，方程只有一个实数解。 D、当
0?a?1
时，方程有两个实数解。
3、方程
2
A
1
的根的范围为 （ ）
x?1
1133
(0,)

B(,1)

C(1,)

D(,2)

2222
x?2
?< br>4、函数
y?log
1
x
的定义域为
[a,b]
，值 域为［０，２］，则区间
[a,b]
的长度
b?a
的最小值是（ ）
2
Ａ：
153
， Ｂ：３， Ｃ：， Ｄ：１
4 4
2
?
?
x?bx?c
?
x?0
?
5、设 函数
f
?
x
?
?
?
，若
f
??4
?
?0
，
f
?
?2
?
??2，则
?
?
2
?
x?0
?
关于
x的方程
f
?
x
?
?x
的解的个数是 （ ）
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
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１０

6、已知函数
f(x)?x
2
?ax?3

(1)当
x?R
时，
f(x)?a
恒成立，求
a
的 取值范围
(2)当
x?[?2,2]
时，
f(x)?a
恒成立，求
a
的取值范围



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１１