2018文科高中数学统计-为什么90年代高中数学不学向量
3. 函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次
函数的特征来求值;常转化为型
②逆求法(反求法):通过反解,用
如:
f(x)?a
x
2
?bx?c,x?(m,n)
的形式;
y
来表示
x<
br>,再由
x
的取值范围,通过解不等式,得出
y
的取值范围;常用来解,
型
y?
ax?b
,x?(m,n)
;
cx?d
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
常针对根号,举例:
令 ,原式转化为: ,再利用配方法。
⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不
等式法:转化成型如:
y?x?
k
(k?0)
,利用平均值不等式公式来求值
域;
x
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y
=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数.
区间D称为y=f(x)的
单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
>
f(x
2
),
那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为
y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
⑴单调性:定义(注意定义是相对与某个具体的区间而言)
增函数:
对任意的x1
,x
2
?[a,b],x
1
?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
减函数:
对任意的x
1<
br>,x
2
?[a,b],x
1
?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
注:① 函数上的区间I且x
1,x
2
∈I.若
f(x
1
)?f(x
2
)>0(x
1
≠x
2
),则函数f(x)在区间I上是增函数;
x
1
?x
2
若
f(x
1
)?f(x
2)
<0(x
1
≠x
2
),则函数f(x)是在区间I上是减函数
。
x
1
?x
2
② 用定义证明单调性的步骤:
u
<2>
f(x
1
)?f(x
2
)
作差整理;
<3>判断差的符号; <4>下结论;
③
增+增=增 减+减=减
<1>设x1,x2∈M,且
x
1
?x
2
;则
④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减
?
(
y<
br>?
f
(
u
),
u
?
?
(
x
),则
y
?
f
?
?
(
x
)
(外层)(内层)
O 1 2 x
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(2) 图象的特点
如果函数
y
=f(x)
在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
y=f(x)
在这一区间
上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数
的图象从左到右是下
降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
○
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2 作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3 变形(通常是因式分解和配方);
○
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
○
5
下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调
性与构成它的函数
u=g(x)
,
y=f(u)
的单调性密切相关,
其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间和
在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域
内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)
就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○
2确定f(-x)与f(x)的关系;
○
3作出相应结论:若f(-x)
= f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函
数;若f(-x)
=-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原
点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的
定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非
偶函数.若对称,(1)再根据
定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x
)=
0或
f(x)
/
f(-x)=
±1来判定;
(3)利用定理,或
借助函数的图象判定 .
⑵奇偶性:定义(注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系)
f(x) -f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0
?
f(x)
=-f(-x)
?
f(x)为奇函数。
注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)=
f(|x|);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.
a·2
x
如:若f(x)?
?a?2
2
x
?1
为奇函数,则实数a?
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0
(∵f(x)为奇函数,x?R,又0?R,∴f(0)?0
即
a·2
0
?a?2
?0,∴a?1)
2?1
⑶周期性:
①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ,a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。
1.定义 函数的周期性的定义及常用结论
一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个x的值.
若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期;
若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,|b-a|是它的一个周期;
2.函数的周期性的定义及常用结论
一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个x的值.
若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期;
若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,|b-a|是它的一个周期;
3.有关对称性的几个重要结论
一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值.
a+b
若f(x
+a)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x),则
函数f(x)的图象关于直
2
线x=a对称;
a+b
若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(0, )中心对称.
特别地,若f(a+x)=-f(a-x),则函数f(x)的图象
2
关于点(a,0)中心对
称.
4.对称性与周期性之间的关系
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的.一般地,若
f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)必为周期函
数,且2|b-a|是
它的一个周期;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)必为周期函数
,且2|b-a|为它的一个
周期;若f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(
a≠b),则f(x)为周期函数,且4|b-a|是它的一个周期.
⑷对称性:①若f(
x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=
a?b
对称;(
即:‘一均二等’的原则)
2
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y
=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=
③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即
y轴),直线y=0(即x轴),原点。
b?a
对称.
2
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函
数关系时,
一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○
2 利用图象求函数的最大(小)值
○
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○
3
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在
区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=
f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)
在x=b处有
最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
x?1
2
x?3?3
y?1?(
x?1
)
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f
(x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2,3]
,则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x?
4.函数
f(x)?
?
?1)
?<
br>x
2
(?1?x?2)
,若
f(x)?3
,则
x
=
?
?
2x(x?2)
5.求下列函数的值域:
⑴
y?x
2
?2x?3
(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3
x?[1,2]
(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5
6.已知函数
f(x?1)
?x
2
?4x
,求函数
f(x)
,
f(2x?1)
的解析式
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4<
br>,则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数,且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1
10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
.
11.设函数
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证:
f(
1
)??f(x)
.
1?x
2
x
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