高一数学必修一 函数知识点总结

3. 函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次 函数的特征来求值；常转化为型
②逆求法（反求法）：通过反解，用
如：
f(x)?a x
2
?bx?c,x?(m,n)
的形式；
y
来表示
x< br>，再由
x
的取值范围，通过解不等式，得出
y
的取值范围；常用来解， 型
y?
ax?b
,x?(m,n)
；
cx?d
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
常针对根号，举例：

令 ，原式转化为： ，再利用配方法。
⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不 等式法：转化成型如：
y?x?
k
(k?0)
，利用平均值不等式公式来求值 域；
x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y =f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.
区间D称为y=f(x)的 单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，
那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数.区间D称为 y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）
增函数：
对任意的x1
,x
2
?[a,b],x
1
?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)
减函数：
对任意的x
1< br>,x
2
?[a,b],x
1
?x
2
?f(x
1
)?f(x
2
)

注：① 函数上的区间I且x
1，x
2
∈I.若
f(x
1
)?f(x
2
)＞0（x
1
≠x
2
），则函数f(x)在区间I上是增函数；
x
1
?x
2
若
f(x
1
)?f(x
2)
＜0（x
1
≠x
2
），则函数f(x)是在区间I上是减函数 。
x
1
?x
2
② 用定义证明单调性的步骤:
u


<2>
f(x
1
)?f(x
2
)
作差整理；

<3>判断差的符号； <4>下结论；

③ 增+增=增 减+减=减
<1>设x1，x2∈M，且
x
1
?x
2
；则
④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减
?

（
y< br>?
f
(
u
)，
u
?
?
(
x
)，则
y
?
f
?
?
(
x
)
（外层）（内层）
O 1 2 x


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（2） 图象的特点
如果函数
y =f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)
在这一区间
上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数
的图象从左到右是下 降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
○
2 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调 性与构成它的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的单调性密切相关，
其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和
在一起写成其并集.


8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)
就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函
数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的
定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非 偶函数.若对称，(1)再根据
定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x )=
0或
f(x)
／
f(-x)=
±1来判定; (3)利用定理，或
借助函数的图象判定 .

⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）
f(x) －f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0
?
f(x) =－f(-x)
?
f(x)为奇函数。

注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.
a·2
x
如：若f(x)?
?a?2
2
x
?1
为奇函数，则实数a?



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0
（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

即
a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

2?1


⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。

1.定义 函数的周期性的定义及常用结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；
2．函数的周期性的定义及常用结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值．
若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期；
若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期；
3．有关对称性的几个重要结论
一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值．
a＋b
若f(x ＋a)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则 函数f(x)的图象关于直
2
线x＝a对称；
a＋b
若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(0, )中心对称． 特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象
2
关于点(a,0)中心对 称．
4．对称性与周期性之间的关系
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若 f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函
数，且2|b－a|是 它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数 ，且2|b－a|为它的一个
周期；若f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)( a≠b)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|是它的一个周期．

⑷对称性:①若f( x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=
a?b
对称;( 即:‘一均二等’的原则)
2
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y =f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=
③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即 y轴),直线y=0(即x轴),原点。
b?a
对称.
2

9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函 数关系时，
一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○
2 利用图象求函数的最大（小）值
○
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○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在 区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y= f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)
在x=b处有 最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
x?1
2

x?3?3
y?1?(
x?1
)
2.设函数
f(x)
的定义域为
[0，1]
，则函数
f (x
2
)
的定义域为_ _
3.若函数
f(x?1)的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义域是
?
x?2(x?
4.函数
f(x)?
?
?1)
?< br>x
2
(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
=
?
?
2x(x?2)
5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]

(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5

6.已知函数
f(x?1) ?x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的解析式
7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4< br>，则
f(x)
= 。
8.设
f(x)是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3x)
,则当
x?(??,0)
时
f(x)
=
f(x)
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1

10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论
．
11.设函数
f(x)?
1?x
2
判断它的奇偶性并且求证：
f(
1
)??f(x)
．

1?x
2
x



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