高中数学必修1-4_知识点总汇

数学必修1-5常用公式及结论
必修1
： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
?
A?B

3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
A?B

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
A?B

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
C
U
A

5．集合
{a
1
, a
2
,?,a
n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1
个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )是减函数
1

*
nnn

2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
?
b4ac?b
2
?
b
4ac?b
2
1、 顶点坐标公式：
?
?
?
2a
,
4a
?
?< br>， 对称轴：
x??
2a
，最大（小）值：
4a

??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3) 两根式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：（1）a
m
? a
n
= a
m + n
，（2）
a?a?a
( ab )
n
= a
n
? b
n

?
1
1
a
n
?
a
?
?n
m
n
（5）
??
?
n
（6）a
0
= 1 ( a≠0)（7）
a?
n
（8）
a
m
?a
（9）
a
m
?

n
m
a
b
?
b
?
a
n
n
mnm?n
，（3）( a
m
)
n
= a
m n
（4）
n
2、根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
4、 指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）





1
0
X
Y
a > 1
1
0
X
Y
0 < a < 1
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
5.指数式与对数式的互化：

log
a< br>N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

2

五、对数与对数函数1对数的运算法则：
（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1（4）log
a
a
b
= b（5）a
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
(
log
a
N

= N
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
（8）log
a
N
b
= b log
a
N （9）换底公式：log
a
N =
n
log
b
N

log
b
a
（10）推论
log
a
m
b?
（11）log
a
N =
e
A
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N （13）自然对数：ln A = log
log
N
a
（其中 e = 2.71828?） 2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）




0
1
X
0
1
Y
a >1
Y
0 < a < 1
X
六、幂函数y = x
a
的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .



例如： y = x
y?
2
a > 1
0 < a < 1 a < 0
x?x

y?
1
2
1
?x
?1

x
七.图 象平移：若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单 位，
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时 间
x
的
总产值
y
，有
y?N(1?p)
.
3

x

九、函数的零点：1.定义：对于
y?f( x)
，把使
f(x)?0
的X叫
y?f(x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理：如果函 数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一 条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度
?
）
（1）确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
1
?
a?b

2
（3）计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就是零点；②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
x
0
?
?
a,x
1
?
③若
f( x
1
)?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
；
（4）判断是否达到精确度
?< br>，若
a?b?
?
，则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否
则重复（2）到（4）









4

必修4 一、
三角函数与三角恒等变换1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
图象

定义域
值域
周期性
奇偶性
R
[-1,1]
2π
奇函数
增区间[-
单调性
R
[-1,1]
2π
偶函数

{x| x≠

?
+kπ,k∈Z}
2
R
π
奇函数
?
2
+2k
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
增区间(-
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z )
π)
对称轴
对称中心
?
π,+2kπ]减区间
2
3
?
?
[+2kπ, +2kπ]
2
2
?
x = + kπ( k∈Z )
2
( kπ,0 ) ( k∈Z )
??
+kπ,+k
22
( k∈Z )
x = kπ ( k∈Z )
(
无
?
?
+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z )
22
sin
?
2、同角三角函数公式 sin
2
α+ cos
2
α= 1
tan
?
?
tanαcotα=1
cos
?
3、二倍角的三角函数公式sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos
2
α-1 = 1-2 sin
2
α= cos
2
α-
2tan
?

2
1?tan
?
1?cos2
?
1?cos2
?
22
4、降幂公式
cos
?
?

sin
?
?

22
2
?
?
sin
2
α
tan
5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα)
2
1 + cos2α=2 cos
2
α 1- cos2α= 2 sin
2
α
6、两角和差的三角函数公式sin (α±β) = sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) = cos
αcosβ干sinαsinβ
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

1
?
tan
?
tan
?
5

7、两角和差正切公式的变形：
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
1?tan
?
tan45??tan
?
1?tan
?
tan45??tan
?
??
== tan (+α) == tan (-α)
1?tan
?
1?tan45?tan
?
1?tan
?
1?tan45?tan
?
44
8、两角和差正弦公式 的变形（合一变形）
asin
?
?bcos
?
?a
2?b
2
sin
?
?
?
?
?
（其中
tan
?
?
9、半角公式：
sin
b
） < br>a
?
2
??
1?cos
?
?
1?co
?
s

cos??

222
1?co s
?
sin
?
1?cos
?

??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?

tan
?
2
??
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cosα， tan (π－α) = －tanα；
sin (π+α) = －sinα cos (π+α) = －cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π－α) = －sinα cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tanα
sin (－α) = －sinα cos (－α) = cosα tan (－α) = －tanα
???
－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα
222
???
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sinα tan (+α) = －cotα
222
sin (
11.三角函数的周期公式 函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x??
)
，x∈R(A,
ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
2
?
?
?
(x?
?
，
)；函数
y?tan
?
.
?
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期< br>T?
二、平面向量 （一）、向量的有关概念
1、向量的模计算公式：（1）向量法：|
a
| =
a?a?a
；
2
22
（2）坐标法：设
a
=（x，y），则|
a
| =
x?y


6

2、单位向量的计算公式：
??
（1）与向量
a
= （x，y）同向的单位向量是
?
xy
?
?
?
x
2< br>?y
2
,
x
2
?y
2
?
；
?
?
（2）与向量
a
=（x，y）反向的单位向量是
?
x
?
?
22
,?
y
?
?
?
；
?
x?yx
2
?y
2
?
3、平行向量
规 定：零向量与任一向量平行。设
a
=（x
1
，y
1
），b
=（x
2
，y
2
），λ为实数
向量法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=>
a
=λ
b

坐标法：
a
∥
b
（
b
≠
0
）<=> x
x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0 <=>
1
x
2
y
?
（y
1
≠0 ，y
2
≠0）
1
y
2
4、垂直向量
规定：零向量 与任一向量垂直。设
a
=（x
1
，y
1
），
b=（x
2
，y
2
）
向量法：
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0 坐标法：
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
5.平面两点间的距离公式

d
=
|
???
AB
?
|?
???
AB
?
?
???
AB
?
?(x
2
y
2
A,B
2
?x
1
)?(
2
?y
1)
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x2
,y
2
)
).
（二）、向量的加法
（1）向量法 ：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角）
（2）坐标法：设
a< br>=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
， y
2
），则
a
+
b
=（x
1
+ x
2
，y
1
+ y
2
）
（三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量）
（2）坐标法： 设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
-
b
=（x
1
- x
2
，y
1
- y
2
）
（3）、重要结论：| |
a
| - |
b
| | ≤ |
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|

7

（四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos
?
=
a?b
|a||b|

（2）坐标法：设
a
=（x< br>1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2< br>），则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2

（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：
a
·
b
= |
a
| |
b
| cos
?

（2）坐标法：设
a
=（x
1
，y
1
），
b
=（x
2
，y
2
），则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2

（3） a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理：如果e
1
、e
2
是同 一平面内的两个不共线向量，那么对于这一
平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e2
．不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
（七）.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2< br>)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心 的坐
标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)

33
8