高中数学必修一集合

集合的含义与表示


1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。
2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“?”来表示。
3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。


一、集合与元素的概念：
一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合， 简称集。集合中
每一个对象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；
由1，2，3， 4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与
2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。
二、
集合中元素的特性：
1、确定性：设
A
是一个给定的集合，< br>x
是某一具体的对象，则
x
或者是
A
的元素，或
者不 是
A
的元素，二者必居其一，不能模棱两可．
2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元
素只能算是一个。
3 、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如
?
a,b
?
和
?
b,a
?
表示同一个集合．
特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐 标系中，点（l，0）和点（0，
l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集 合。
三、元素与集合的关系：
一般地，如果
a
是集合
A
的元素，就说
a
属于
A
，记作
a?A
；如果
a不是集合的元素，
就说
a
不属于
A
，记作
a?A
。
四、集合的分类：
按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。
（1）有限集：含有有限个元素的集合；
（2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作
?
．空集是个特殊的集合，空集归入
有限集。如：
{x?R|x?1?0}
。
按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为：
（1）单元素集：只含一个元素的集合；如
?
0
?
，
?
?
?
。
（2）数集：有一些数字组成的集合；
（3）点集：由符合某一条件的点
?
x,y
?
，组成的集合；
2
?
?
x,y
?
y?2x?1
?

（4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的 解的集合，简称解集。如：

方程
x
2
?x?2?0
的 解集是：
?
?1,2
?
。

五、常用数集的关系及记法
???
正整数
?
?
?
?
?
???
?
N
?
??
?
自然数
?
N
?
?< br>??
整数
??
?
?
有理数集
?
(Z)
?
0
?
实数集
?
(Q)
?

?
负整数
?
(R)
?
?
?
?
?
分数:指有限 小数和无限循环小数.
?
?
无理数:指无限不循环小数.
六：集合的表示方法
（1）列举 法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程
x
2
?1?0
的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是 否属于这个集合，并把这个条件写在大括
号内表示集合的方法。①格式：
x?AP
?< br>x
?
；②含义：它表示集合由具有性质
P
?
x
?的
所有元素构成的。其中
x
为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素 是“谁”，
是“什么样”；
I
表明了
x
的范围；
P
?
x
?
为该集合中元素所具有的特征。如：不等式
x?3?2
的解集 可以表示为：
{x?R|x?3?2}
或
{x|x?3?2}
。
（ 3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合
?
1，2，3，4< br>?
可用韦恩图表示为：

基础巩固
1. 若集合
A
含有两个元素0,1，则( )
A．1?
A

C．0?
A

B．0∈
A

D．2∈
A

??
2. 已知集合
A
＝{1,2 ,3,4,5}，
B
＝{(
x
，
y
)|
x
∈
A
，
y
∈
A
，
x
－
y
∈
A
}，则
B
中所含元素的个
数为( )
A．3
C．8
2
B．6
D．10
3. 已知集合
A含有三个元素1,0，
x
，若
x
∈
A
，则实数
x
＝________.
?
12145
?
4. 集合
?
，，，，
?
可用特征性质描述法表示为__________． ?
45278
?
5.设a，b∈R，集合
{1，a+b，a}={0，， b}
，则b-a=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
能力提升
6. 已知集合A中含有三个元素m－1,3m，m
2
－1，若－1∈A，求实数m的值．
7. 已知集合M含有三个元素1,2，x
2
，则x的值为______________．
8. 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x
2
＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝
____________.

9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；

10. 已知集合A＝{x∈R|ax
2
－3x＋1＝0，a∈R}，若A 中元素最多只有一个，求a的取值范
围．

集合的关系与运算


1.
2.
3.
4.
掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。
了解空集的含义与性质。
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。


一、子集：
一般地，对于两个集合
A
与
B
，如果集合A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，我们
．．
就说集合
A
包含于集合
B
，或集合
B
包含集合
B
。
记作:
A?B或B?A
， 读作：
A
包含于
B
或
B
包含
A
。
二、集合相等
：
一般地，对于两个集合
A
与
B
， 如果集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，同时
．．
集 合
B
的任何一个元素都是集合
A
的元素，我们就说集合
A
等 于集合
B
，记作
A
=
B
。
．．
特别提醒 ：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证
A?B
，只需证< br>A?B
与
B?A
都成立即可。
三、真子集：
对于两个集合
A
与
B
，如果
A?B
，并且
A?B
，我们 就说集合
A
是集合
B
的真子集，
记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A


四、并集：

1、并集的概念：
一般地，由所有属于集合
A
或属于集合< br>B
的元素所组成的集合，叫做
A
与
B
的并集。
记作：A
?
B，读作：
A
并
B
。
符号语言表达式为：
A
?
B
?xx?A，或x?B
。
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）
五、交集：
1、交集的概念： < br>一般地，由所有属于
A
且属于
B
的元素所组成的集合,叫做
A
与
B
的交集。
记作：
A
?
B
；读作：
A
交
B
。
符号语言表达式为：
A
?
B
?xx?A，且x?B

韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：
如：｛1,2,3,6｝
?
｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
特别提醒 ：对于
A
?
B
?xx?A，且x?B
，是指
A
?< br>B
中的任一元素都是
A
与
B
的公共元素，同时这些公共元素都 属于
A
?
B
。还有并不是任何两个集合总有公共元素，
当集合
A
与集合
B
没有公共元素时，不能说
A
与
B
没有 交集，而是
A
?
B
??
。


六：全集与补集：
1、全集的概念：
如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个 集合的全部元素，这个集合就可以看作一
个全集，全集通常用
U
表示。
2、补集的概念：
一般地，设
U
是一个集合，
A
是
U
的一个子集（即
A?U
），由
U
中所有不属于
A
的
元素组成的集合，叫做
U
中子集
A
的补集（或余集）。
记作：?
U
A；读作：
A
在
U
中的补集；
符号语言表达式为：?
U
A
?xx?U,且x?A
；
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：


基础巩固
1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是( )
A．16
C．7
B．8
D．4
??
??
??
??
2. 满足{a，b}?A{a，b，c，d}的集合A有________个( )
A．1
C．3
B．2
D．4
3. 已知P＝{x|－1A．{x|－2C．{x|1B．{x|－2D．{x|－14. 设全集
U< br>＝R，集合
A
＝{
x
|－2≤
x
≤2}，
B
＝{
x
|－1≤
x
≤3}，则图中阴影部分表示的

< br>集合为( )

A．{
x
|－2≤
x
≤3}
C．{
x
|0≤
x
≤2}
B．{
x
|－1≤
x
≤2}
D．{
x
|－1≤
x
≤2}
5. 设全集U＝{1,2, 3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?
U
B)＝( )
A．{1,2,5,6}
C．{2}

6.设全集为R，集合A＝{ x|x
2
－9<0}，B＝{x|－1R
B)＝( )
A．(－3,0)
C．(－3，－1]

能力提升
7. 若集合A＝{1,3，x}，B＝{x
2,
1}，且B?A，则实数x的值是_ _______．

8. 已知集合M含有三个元素1,2，x
2
，则x的值为______________．

9. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)若x∈N，求集合A的子集的个数．


10. 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤ 6}，求(?
U
A)∩(?
U
B)．
B．(－3，－1)
D．(－3,3)
B．{1}
D．{1,2,3,4}

集合的关系与运算

1．掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。
2．了解空集的含义与性质。
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。


一、子集：
一般地，对于两个集合
A
与
B
，如果集合A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，我们
．．
就说集合
A
包含于集合
B
，或集合
B
包含集合
B
。
记作:
A?B或B?A
， 读作：
A
包含于
B
或
B
包含
A
。
二、集合相等
：
一般地，对于两个集合
A
与
B
， 如果集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，同时
．．
集 合
B
的任何一个元素都是集合
A
的元素，我们就说集合
A
等 于集合
B
，记作
A
=
B
。
．．
三、真子集：
对于两个集合
A
与
B
，如果< br>A?B
，并且
A?B
，我们就说集合
A
是集合
B的真子集，
记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A


四、并集：
一般地，由所有属于集合
A
或属于集合
B
的元 素所组成的集合，叫做
A
与
B
的并集。
记作：A
?
B，读作：
A
并
B
。
符号语言表达式为：
A
?
B
?xx?A，或x?B
。
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）
如：｛1,2,3,6｝
?
｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。
五、交集：
一般地，由所有属于
A
且属于
B
的元素所组成 的集合,叫做
A
与
B
的交集。
记作：
A
?
B
；读作：
A
交
B
。
符号语言表达式为：
A
?
B
?xx?A，且x?B

韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：
如：｛1,2,3,6｝
?
｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

六：全集与补集：
1、全集的概念：
如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个 集合的全部元素，这个集合就可以看作一
个全集，全集通常用
U
表示。
2、补集的概念：
??
??

一般地，设
U
是一个集合，
A
是
U
的一个子集（即
A?U
），由
U
中所有不属于
A
的
元素组成的集合，叫做
U
中子集
A
的补集（或余集）。
记作：?
U
A；读作：
A
在
U
中的补集；
符号语言表达式为：?
U
A
?xx?U,且x?A
；
韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）： __

基础巩固
1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是( )
A．16
C．7
B．8
D．4
??
2. 满足{a，b}?A{a，b，c，d}的集合A有________个( )
A．1
C．3

3. 已知P＝{x|－1A．{x|－2C．{x|1B．{x|－2D．{x|－1B．2
D．4
4. 设全集
U
＝R，集合
A
＝{
x
|－2≤x
≤2}，
B
＝{
x
|－1≤
x
≤3}，则图 中阴影部分表示的
集合为( )

A．{
x
|－2≤
x
≤3}
C．{
x
|0≤
x
≤2}
B．{
x
|－1≤
x
≤2}
D．{
x
|－1≤
x
≤2}
5.设全集U＝{1,2,3 ,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?
U
B)＝( )
A．{1,2,5,6}
C．{2}
B．{1}
D．{1,2,3,4}
6. 设全集为R，集合A＝{x|x
2
－9<0 }，B＝{x|－1R
B)＝( )
A．(－3,0)
C．(－3，－1]
B．(－3，－1)
D．(－3,3)
能力提升
7. 若集合A＝{1,3，x}，B＝{x
2,
1}，且B?A，则实数x的值是_ _______．
8. 已知集合M含有三个元素1,2，x
2
，则x的值为______________．
9. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；

(2)若x∈N，求集合A的子集的个数．
10. 已知全集U＝R，集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，求(?
U
A)∩(?
U
B)．