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超准公式和差化积、积化和差、万能公式94529

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 17:18
tags:和差化积公式

sound的过去式-that什么意思中文



正、余弦和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin
α
+sin
β
=2sin[(
α+β
)2]·co s[(
α-β
)2]
sin
α
-sin
β
=2cos[(
α+β
)2]·sin[
(α-β
)2]
cos
α
+cos
β
=2cos[(
α+β
)2]·cos[
(α-β
)2]
cos
α
-cos
β
=-2sin[(
α+β)2]·sin[(
α-β
)2] 【注意右式前的
负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程






















sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为
sin(
α+β
)=sin
α
cos
β
+cos
α
sin
β

sin(
α-β
)=sin
α
cos
β-
cos
α
sin
β

将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(
α+β
)+sin(
α-β
)=2sin
α
cos
β,


α+β=θ

α-β=φ

那么
α=(θ+φ)2, β=(θ-φ)2

把α,β的值代入,即得
sin
θ+
sin
φ=2
sin[
(θ+φ)2
]cos[(
θ-φ)2
]
编辑本段正切的和差化积
















tanα±tanβ=sin(α±β)(cosα·cosβ)(附证明)
cotα±cotβ=sin(β±α)(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)(cosα·sinβ)
tanα- cotβ=-cos(α+β)(cosα·sinβ)
证明:左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)(cosα·cosβ)
=sin(α±β)(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
编辑本段注意事项
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必
须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正,正在前,余加余,余并肩
正减正,余在前,余减余,负正弦
反之亦然













生动的口诀:(和差化积)
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
咕+咕=咕咕
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
编辑本段记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出
了各自的简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值< br>域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因
此 乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相
同而造成有系数2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘
积。这一点主要是根 据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公
式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消 和相同的项,也就无法化
简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式 的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,
才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和 β,这两个角应该是
(α+β)2和(α-β)2,也就是乘积项中角的形式。
注意和 差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;
而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差
角”(α-β)2的三角函数名。

是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展
开中含有 两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘
积。所以,余弦的和差化作同名三角函 数的乘积;正弦的和差化作异名三角
函数的乘积。
(α-β)2的三角函数名规律为: 和化为积时,以cos(α-β)2的形
式出现;反之,以sin(α-β)2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α
和β调换位置对结果没 有影响,也就是若把(α-β)2替换为(β-α)2,
结果应当是一样的,从而(α-β)2的形式是 cos(α-β)2;另一种情况可
以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定 ,如(0,π]内余弦函数的
单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cos α
小于cosβ。但是这时对应的(α+β)2和(α-β)2在(0,π)的范围内,
其正弦 的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就
在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]2(注意: 此时差的余弦在和的
余弦前面)
或写作:sinαsinβ=-[cos(α+β)- cos(α-β)]2(注意:此时公式
前有负号)
cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
编辑本段证明














积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明:
sinαsinβ=-12[-2sinαsinβ]
=-12[(cosαcosβ- sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3个式子也是相同的证明方法。
(参见和差化积)
编辑本段作用
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化 为另两个三角函数值的和
乘以常数的形式,所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。

在历史上,对数出现之前,积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运
算,运算需要利用三角函数表。
运算过程:将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数,通过
查表求出对应的反三 角函数值,即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式,套
用积化和差后再次查表求三角函数的值 ,并最后利用加减算出结果。
对数出现后,积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。
编辑本段记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出
了各自的简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值< br>域都是[-1,1],其和差的值域应该是[-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此
除 以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相
同而造成有系数2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名,化为和差形式时,都应是同名三角
函数的和差。这一点主要是根据证 明记忆,因为如果不是同名三角函数,两
角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相 同的项,也
就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记 忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同
名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函 数的乘积。所以反过来,
同名三角函数的乘积,化作余弦的和差;异名三角函数的乘积,化作正弦的和差。
是和还是差?
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为:“ 小角”β以
cosβ的形式出现时,乘积化为和;反之,则乘积化为差。
由函数的奇偶 性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ,那
么若把β替换为-β,结果应当是一样的,也就 是含α+β和α-β的两项

调换位置对结果没有影响,从而结果的形式应当是和;另一种情况可以类似
说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况,完全可以死记下来。
当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如[0,π]内余弦函
数的单调性。因为这 个区间内余弦函数是单调减的,所以cos(α+β)不大
于cos(α-β)。但是这时对应的α和β 在[0,π]的范围内,其正弦的乘
积应大于等于0,所以要么反过来把cos(α-β)放到cos( α+β)前面,要
么就在式子的最前面加上负号。
万能公式


【词语】:万能公式
【释义】:应用公式sinα=[2tan(α2)]{1+[tan(α2)]^2}
cosα=[1-tan(α2)^2]{1+[tan(α2)]^2}
tanα=[2tan(α2)]{1-[tan(α2)]^2}
将sinα、cosα、tanα代换成tan(α2)的式子,这种代换称为万能置换。
【推导】:(字符版)

sinα=2sin(α2)cos(α2)=[2sin(α 2)cos(α2)][sin(α2)^2+cos(α2)^2]=[2tan(α2)][1+(tanα
2)^2]

cosα=[cos(α2)^2-sin(α2)^2]=[c os(α2)^2-sin(α2)^2][sin(a2)^2+cos(a2)^2]=[1-tan(α2 )
^2][1+(tanα2)^2]
tanα=tan[2*(α2)]=2tan (α2)[1-tan(α2)^2]=[2tan(α2)][1-(tanα2)^2]





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