贷款年利率公式积化和差和差化积

积化和差与和差化积公式

田云江

[基本要求]
能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。
[知识要点]
1、积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
积化和差公式是由正弦或余弦的和 角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为
一个：
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
2、和差化积公式
sinθ+sinφ=2sincos
sinθ-sinφ=2cossin
cosθ+cosφ=2coscos
cosθ-cosφ=-2sinsin
和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：
①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos
②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有 系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余
弦的和或 差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差 化
积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离， 在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如
在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂 公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使
用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和 、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生
特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式 ，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”
是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]
1、求下列各式的值
①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°
②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°
③csc40°+ctg80°
④cos
2
71°+cos71°cos49°+cos
2
49°
解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°
=+cos80°+2cos100°cos60°
=+cos80°-cos80°=
②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°
=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)
=sin22°+-sin22°=
③csc40°+ctg80°=+
===
==
==2cos30°=
④解法一：cos
2
71°+cos71°cos49°+cos
2
49°
=(cos71°+cos49°)
2
-cos71°cos49°
=(2cos60°cos11°)
2
-(cos120°+cos22°)
=cos
2
11°+-cos22°
=cos
2
11°+-(2cos
2
11°-1)
=cos
2
11°+-cos
2
11°+=
解法二：cos
2
71°+cos71°cos49°+cos
2
49°
=+(cos120°+cos22°)+
=+cos142°-+cos22°++
=+(cos142°+cos98°)++cos22°
=+cos120°cos22°+cos22°=
解法三设x=cos
2
71°+cos71°cos49°+cos
2
49°
y=sin
2
71°+sin71°sin49°+sin
2
49°
则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)
=2+cos22°
x-y=(cos
2
71°-sin
2
71°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos
2
49° -sin
2
49°)
=cos142°+cos120°+cos98°
=-+(cos142°+cos98°)
=-+2cos120°cos22°
=--cos22°
联立二式得x=
2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=
求tgαtgβ的值
解：
①
2
+②
2
得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)= ∴cos(α-β)=
②
2
-①
2
得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ- sinαsinβ)=-
∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-
∴2·cos(α+β)+2cos(α+β)=-
∴cos(α+β)=-
又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=
cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-
∴tgαtgβ==-=-
3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()=+4
(1)求a、b的值
(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
解：(1)∵f(x)=sin(ωx+φ)+1
∴=π
1+=7
由条件asin+bcos+1=+4
∴a= b=6
(2)由
两式相减得 a(sin2α-sin2β)+b(cos2α-cos2β)=0
2a[sin(α-β)cos(α+β)]+2b[-sin(α+β)sin(α-β)]=0
∵α≠kπ+β (k∈z) ∴α-β≠kπ (k∈z)
∴acos(α+β)-bsin(α+β)=0
∴tg(α+β)===
4、求函数y=cos2xcos(2x+) (0≤x≤)的最值
解：y=cos2xcos(2x+)
=[cos(4x+)+cos(-)]
=cos(4x+)+
∵0≤x≤ ∴≤4x+≤
∴-1≤cos(4x+)≤
∴-+≤y≤
∴y
max
= ,y
min
=
[自我检测]
1、sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ]可化简为（ ）
A、sinβ B、cosβ C、sinα D、cosα
2、已知cos (α+β)cos(α-β)=则cos
2
α-sin
2
β的值为（ ）
A、- B、- C、 D、
3、在△ABC中，若B=30°则cosAsinC的取值范围（ ）
A、[-1，1] B、[- ，] C、[- ，] D、[- ，]
4、函数y=sin(2x+α)cos(2x-α),(α为常数)的最小正周期是（ ）
A、 B、π C、2π D、4π
5、设m=||,n=|sin|,则m、n的大小关系是（ ）
A、m≤n B、m≥n C、m=n D、不能确定
6、若sinα+sinβ=(cosβ- cosα)且α∈(0,π),β∈(0,π)则α-β等于（ ）
A、- B、- C、 D、
7、函数f(x)=sinxcos(x-)的最小值是（ ）
A、 B、 C、- D、-
8、sin
2
5°+cos35°cos25°的值是（ ）
A、 B、 C、- D、
9、已知函数y=asinx+cosx的最大值为，则a的值为（ ）
A、-1 B、 C、±3 D、±2
10、若sinx- cosx=2sin(x+φ)，φ∈[0，2π）则角φ等于（ ）
A、 B、π C、 D、
[参考答案]
1、原式=sin(α+β)cosα- 2cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ ∴选A。
2、cos( α+β)cos(α-β)={[cos(α+β)+(α-β)]+cos[(α+β)-(α-β)]}
=[cos2α+cos2β]=
∴选C.
[2cos
2
α-1+1-2sin
2
β]=cos
2
α-sin
2
β
3、cosAcosC=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(π-B)-sin(A-C)]
=-sin(A-C)
∵-1≤sin(A-C)≤1
∴-≤-sin(A-C)≤ ∴选C.
4、y=[sin4x+sin2x] ∴T== ∴选A.
5、m=|sincos|≤|sin| ∴选A.
6、D 7、D


8、B 9、D10、D
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