高一数学必修一函数的基本性质

明了
目 录
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
1.1.2 集合间的基本关系
1.1.3 集合的基本运算
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
1.3.2 奇偶性
章末整合提升

第二章 基本初等函数（I）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.2 指数函数及其性质
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
2.2.2 对数函数及其性质
2.3 幂函数
章末整合提升

第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
3.2.2 函数模型的应用实例
章末整合提升












1

明了
1.3函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值

【目标要求】
1.理解函数的单调性、最大（小）值得概念及其几何意义.
2.掌握判断函数单调性的一般方法.
3.会求一些简单函数的最值.

【基础知识解读】
知识点一 增函数、减函数、单调性、单调区间的概念
1.增函数、减函数定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，
都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区 间D上是增函数．
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的 任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，
都有f(x
1
)>f(x
2
)，那么就说f(x)在区间D上 是减函数．
注意：
①.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②.增（减）函数 定义中的x
1
，x
2
必须满足三个特性：一是任意性，即“任意取x
1
，x
2
”；二是有序性，通常规定
x
1
2< br>；三是同区间性，即x
1
，x
2
必须同属于一个单调区间，三者缺一不 可.（这也是利用单调性求解不等式这类题
的解题思路）.
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间M上具有（严 格的）单调
性，区间M叫做y=f(x)的单调区间.（如果函数在某个区间M上有增有减就叫不具有单 调性）.

知识点二 函数单调性的证明（判断）方法
①.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
②.任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
③.作差f(x
1
)－f(x
2
)；
④.变形（通常是因式分解和配方）；
⑤.定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例：求证：函数
f(x)?2x?1
在R上是增函数.

知识点三 复合函数的单调性
复合函数
y?f(g(x))
的单调性：若
u?g(x)
在区 间
a,b
上的单调性与
y?f(u)
在
g(a),g(b)（或
者
g(b),g(a)
）上的单调性相同，则复合函数

u?g(x)

增
增
减
减
y?f(u)

增
减
增
减
y?f(g(x))

增
减
减
增
????
??
y?f(g(x))
在
a,b
上单调递增，否则单调递 减，
可简记为“同增异减”，如右表：
例.判断函数
f(x)?


2

??
x
2
?1
在定义域上的单调性.

明了
【应用能力提升】




应用点一 函数单调性的判定及证明
例1.证明函数
f(x)??x
在定义域上是减函数.

例2.判定函数
f(x)?x?

应用点二 复合函数的单调性
例 3.讨论函数
f(x)?
p
(p?0)
的单调性.（注意讨论情况）
x
1
的单调性.
2
x?x?20
例3.函数f(x)对任 意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）－1，并且当x > 0时，f（x）>1.求证：f（x）是R
上的增函数.

应用点三 函数的单调性的应用
1.利用函数的单调性比较大小与解不等式
2
例4.已知函数
f(x)?x?bx?c
对任意实数t都有
f(2?t)?f(2?t)
，试 比较
f(1),f(2),f(4)
的大小.

例5.已知f(x)是(0,??)
上的增函数，且
f()?f(x)?f(y),f(2)?1
，解不 等式
f(x)?f(

2.利用函数的单调性求函数的值域或最值
2
例6.求函数
f(x)?x?2ax?1
在区间[0,2 ]上的最大值和最小值.
x
y
1
)?2
.
x?3
补充：①求函数最大（小）值得常用方法：配方法、判别式法、换元法、数形结合法、利用函数的单调性等；
②对于求含参数的函数的最大（小）值时应注意两种情况：动轴定区间，定轴动区间.

3.利用函数的单调性求参数的取值范围
2
(1?a)x?2
在区间（—∞,4 ]上是减函数，求实数a的取值范围； 例7.（1）.已知函数
f(x)?x?2
3
（2）. 已知
f(x)??x?ax
在（0,1）上是增函数，求实数a的取值范围.
1
x
2
?2x?a
,x?
?
1,??
?
.（1）当
a?
时，求函数f(x)的最小值；例8.已知函数
f(x)?
（2）若对任意
x
2
x?
?
1,??
?
,f(x) ?0
恒成立，试求实数a的取值范围.

结论：
a?f(x)(a?f(x ))
恒成立等价于
a?f(x)
max
(a?f(x)
min
)
.
3

明了
1.3函数的基本性质
1.3.2 奇偶性

【目标要求】
1.了解函数奇偶性的含义.
2.理解奇函数、偶函数的定义及图象特征.
3.会判断函数的奇偶性，并能解决函数的奇偶性与单调性的综合问题.

【基础知识解读】
知识点一 函数奇偶性的概念

定义
定义域
偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都
有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数．
奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都
有f(－ x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
关于原点对称（判断函数的奇偶性的一个必不可少的条件）
关于y轴对称 关于原点对称
图象特征 若点（x，f(x)）在其图象上，那么点（－x，f(－x)），若点（x，f(x)）在 其图象上，那么点（－x，f(－x)），
即点（－x，f(x)）也在f(x)的图象上 即点（－x，－f(x)）也在f(x)的图象上
单调性 在对称区间上，单调性相反 在对称区间上，单调性相同
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇 偶性是函数的整体性质，只有对其定义域内的每一个x，
都有f(－x)=f(x)（或f(－x)=－ f(x)），才能说f(x)是偶（或奇）函数.
②判断函数y=f(x)的奇偶性的一个必不可少的 条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原
点对称，则这个函数一定不具有奇偶 性.
③若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0.
④若f(－x)=－f(x)，且 f(－x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这类函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D， D是
关于原点对称的非空实数集.
53
例.已知函数
f(x)?x?ax? x?8
，且
f(?2)?10
，则
f(2)?
————.
知识点二 函数奇偶性的判定
判断函数f(x)的奇偶性主要分为三步进行：
（1）判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）化简函数f(x)的解析式（注意定义域）；
（3）求出f(－x)，根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性：
①由
f(?x)?f(x)?0
或
f(?x)
??1(f(x)?0)得
f(?x)??f(x)
，则f(x)是奇函数；
f(x)
f(?x )
?1(f(x)?0)
得
f(?x)?f(x)
，则f(x)是偶函数．
f(x)
②由
f(?x)?f(x)?0
或
拓展：若
f( ?x)??f(x)
，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；而定义域关于原点对称的非零常数函数 f(x) = c
（c≠0）是偶函数.
例.判断下列函数的奇偶性：
42
3
（1）
f(x)?x?2x
； （2）
f(x)?x?
1
； （3）
f(x)?
x
x
2
?1?1?x
2
；
（4）
f(x)?2?x
； （5）
f(x)?
4

x
； （6）
f(x)?x
3
?x
2
.

明了
【应用能力提升】




应用点一 函数奇偶性的判定及证明
1.分段函数奇偶性的判断
例1.判断下列函数的奇偶性： ?
(x?5)
2
?4,?6?x??1,
（1）.
f(x)?< br>?
；
2
(x?5)?4,1?x?6
?
?
x
2
?2x?3,x?0
?
（2）.
f(x)?
?
0,x? 0,
.
?
?x
2
?2x?3,x?0
?
分析： 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其 奇
偶性.
2.抽象函数奇偶性的判断
例2（1）.若对于任意实数a，b，函数f (x)，x∈R都有
f(a?b)?f(a)?f(b)
，求证：f(x)为奇函数；
（2）.若对于任意实数x
1
，x
2
，函数f(x)，x∈R都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
?x
2
)? f(x
1
)?f(x
2
)
，求证：f(x)
为偶函数.


应用点二 函数奇偶性应用
1.利用奇偶性求函数的解析式
3
例3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x ?x?1
，求f(x)的解析式.


6
上的奇函数，
3
上是关于x的一次函数，
6
上是关于x的二次函数，例4.已知f(x)是定义在?6,
且f(x)在
0,
在
3,
且当
3?x?6
时，
f(x)?f(5)?3,f(6)?2
，求f(x)的解析式.


应用点三 函数单调性与奇偶性的综合应用
例5.已知奇函数即y=f(x)，x∈（—1, 1）在（—1,1）上是减函数，解不等式
f(1?x)?f(1?3x)?0
.


例6.函数
f(x)?
??????
ax?b
12< br>是定义在（—1,1）上的奇函数，且.（1）求函数f(x)的解析式；（2）用定义
f()?
25
1?x
2
证明：f(x)在（—1,1）上是增函数；（3）解不等式< br>f(t?1)?f(t)?0
.


5