高一数学必修一导学案 及答案

课题：1．1．1集合的含义与表示(1)
一、三维目标：
知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常用数集及 其记法、集合中元素的
三个特征。
过程与方法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。
情感态度与价值观:培养学生的应用意识。
二、学习重、难点：
重点：掌握集合的基本概念。
难点：元素与集合的关系。
三、学法指导：认真阅读教材P
1
-P
3
，对照学习目标，完成导学 案，适当总结。
四、知识链接：
军训前学校通知：8月13日8点，高一年级在操场集合进 行军训动员；试问这个通知的对象是
全体的高一学生还是个别学生？


初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合” 这一词？（试举几
例）

五、学习过程：
1、阅读教材P
2
页8个例子
问题1：总结出集合与元素的概念：

问题2：集合中元素的三个特征：

问题3：集合相等：

问题4：课本P
3
的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子。



2、集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁
字母a,b,c,…表示。
问题5：元素与集合之间的关系？
A例1：设A表示“1---- 20以内的所有质数”组成的集合，则3、4与A的关系？
关 系
属 于
不属于

－1－
文字语言


符号语言

问题6：常用数集及其记法：
数集名称
符号名称
自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

B例2：若
x?N
?
，则
x?N
，对吗？

六、达标检测：
A1.判断以下元素的全体是否组成集合：
（1）大于3小于11的偶数； （ ） （2）我国的小河流； （ ）
（3）非负奇数； （ ） （4）本校2009级新生； （ ）
（5）血压很高的人； （ ） （6）著名的数学家； （ ）
（7）平面直角坐标系内所有第三象限的点 （ ）
A2.用“∈”或“
?
”符号填空：
（1）8 N； （2）0 N； （3）-3 Z； （4）
2
Q；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A；
B3.下面有四个语句:①集合N中最小的数是1;②若
?a?N< br>，则
a?N
;③若
a?N
，则
a?bb?N
，
的最小值是2;④
x?4?4x
的解集中含有2个元素；
其中正确语句的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
B4.已知集合S中的三个元素a,b,c是
?< br>ABC的三边长，那么
?
ABC一定不是 （ ）
A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形
B5. 已知集合A含有三个元素2，4，6，且当
a?A
，有6-a∈A，那么a为 （ ）
A．2 B.2或4 C.4 D.0
2
B6. 设双元素集合A是方程x-4x+m=0的解集,求实数m的取值范围。



2
C7. 已知集合A由1,x,x三个元素构成,集合B由 1,2,x三个元素构成,若集合A与集合B相等,求x
的值。



七、学习小结：
1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的 ”应理解为：对于一个给
定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为 ：对于给定的集合，
它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号。
八、课后反思:
－2－
2

课题：1.1.1集合的含义与表示(2)
一、三维目标：
知识与技能：掌握表示集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合。
过程与方法：通过集合表示方法的学习,体会集合的表示方法的区别与联系。
情感态度与价值观：提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、学习重、难点：
重点：集合的两种表示方法。
难点：对描述法的理解。
三、学法指导：
学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接：
1.集合中元素的特征是：

2.常用数集及其记法：


五、学习过程：
1、阅读教材P
3
页，回答问题：
问题1.列举法的定义：


问题2. {1,2,3}与{3，2，1}表示的集合的关系？

例1．请用列举法表示下列集合：
（1）小于5的正奇数。 (2)能被3整除且大于4小于15的自然数。
（3）方程
x?9?0
的解的集合。

问题3.用列举法能表示元素个数无限个的集合吗？举例说明？


问题4. 什么样的集合适合用列举法表示？


2、阅读教材P
4
页，回答问题：
问题5.描述法的定义：

－3－
2

B例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
2
（1）方程x-3=0的所有实 数根组成的集合。（2）由大于10小于30的所有整数组成的集合。



问题6.什么样的集合适合用描述法表示？一个集合是否既能用列举法表示，又能用描述法表示？并
举 例说明。




问题7.集合
{x|x
＞3< br>}
与集合
{t|t
＞3
}
是否表示同一个集合？

六、达标检测：
A1.教材12页A组3，4题




B2.方程组
?
?
x?y?2
的解集用列举法表示为________；用描述法表示为 。
?
x?y?5
B3.
{(x,y)|x?y?6,x?N,y?N}
用列举法表示为 。
B4.已知
A?{x|x?3k?1,k?Z},
用
?
或
?
符号填空：（1）5 A （2）—7 A
B5.集合M={（x,y）|xy>0,x∈R,y∈R}是指
A第一象限内的点集 B第三象限内的点集
C第一、三象限内的点集 D第二、四象限内的点集
B6.用列举法将集合{（x,y）|x∈{1，2},y∈{1，2}}可以表示为
A.{{1，1}，{1，2}，{2，1}，{2，2}} B.{1，2}
C.{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} D.{（1，2）}
B7．已知集合A={-2，-1，0，1}，集合B={y|y=|x|, x∈A}，则B=
B8．已知集合A={（x,y）|y=2x+1},B={（x,y）|y=x+3},a∈A且a∈ B则a为
C9.试选择适当的方法表示下列集合：
（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
（2）不等式x-3＞2的解的集合；
－4－

（3）二次函数y=x-10图像上的所有的点组成的集合；
七、学习小结: 本节课介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

八、课后反思：

2
课题：1.1.2集合间的基本关系
一、三维目标：
知识与目标：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）
能利用Venn图表达集合间的关系；（4）了解空集的含义。
过程与方法：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的
关系，掌握并能使用Venn图表达集合间的关系。
情感态度与价值观：通过学习，提高利用类比发现新结论的能力，加强从具体到抽象的思维能
力，树立数形结合的思想。
二、学习重、难点：
重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。
难点：弄清属于与包含的关系。
三、学法指导：
研读学习目标，了解本章重难点， 精读教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，
再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提 高，完成学习任务。
四、知识链接：
1.集合的表示方法有哪些？ 各举一例。





2.用适当的方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数



3.用适当的符号填空： 0 N； 2 Q； -1.5 R。
思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

五、学习过程
想一想：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1）
A?{1,2,3}
，
B?{1,2,3,4,5}
； （2）
C?{汝城一中高一二班全体女生}
，
D?{汝城一中高一二班全体学生}
；
（3）
E?{x|x是两条边相等的三角形}
，
F?{xx是等 腰三角形}

1． 子集的定义：
对于两个集合A，B， ，我们说这两个集合有
包含关系，称集合A是集合B的子集。 记作：
A?B(或B?A)
。
－5－

读作：A包含于B，或B包含A。
当集合A不包含于集合B时，记作A B。
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
B(A)
如：（1）中
A?B
，
B A
注：Venn图是解决复杂的关于集合问题的有力工具。
2． 集合相等定义：
如果 ，则集合A与集合B中的元素是一样的，
因此集合A与集合B相等，即若
A?B且B?A
，则 。
如（3）中的两集合
E?F
。
3． 真子集定义：
若集合
A?B
，但存在 ，则称集合
A
是集合
B
的真子集，
记作： 。
读作：A真包含于B（或B真包含A）。
如：（1）和（2）中A B，C D。
4． 空集定义：
称为空集，记作：
?
。
用适当的符号填空：
?

?
0
?
； 0
?
；
?

?
?
?
；
?
0
?

?
?
?

5． 几个重要的结论：
（1） 空集是任何集合的子集；
（2） 空集是任何非空集合的真子集；
（3） 任何一个集合是它本身的子集；
（4） 对于集合A，B，C，如果
A?B
，且B?C
，那么
A?C
。
说明：
1． 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

六、达标训练：(A表示基础题，B表示简单应用，C表示知识点运用，D表示能力提高)

A1．填空：
（1）．2 N；
{2}
N；
?
A;
（2）．已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C

B2.判断题
（1）空集没有子集。 （ ）
（2）空集是任何集合的子集。 （ ）
（3）任一集合必有两个或两个以上的子集。 （ ）
（4）若
B?A??
，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B。 （ ）
B3.以下五个式子中错误的个数是 （ ）
①{1}
?
{1，2,3} ②{1,-3}={-3,1} ③{1，2,0}
?
{1，0, 2} ④
?
?
{0，1, 2}⑤
?
?
{0}
B4.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,
m
}.若B
?
A,则实数m=_______.
2
2
－6－

B5.写出集合
{a,b,c}
的所有子集，并指出哪些是它的真子集。
思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？










C6.集合
A?xx?x?6?0,B?xmx?1?0,
B A，求m的值。











D7．已知集合
A?x?2?x?5,B?x?m?1?x?2m?1< br>且
A?B
，
求实数m的取值范围。










七、学习小结：
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及 符号；并用Venn
图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。
－7－
?
2
?
??
????

八、课后反思
－8－

课题：1.1.3集合的基本运算（一）
一、三维目标：
知识与目标：（1）理解交集与并集的概念；（2）掌握交集与并集的区别与联系；
（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。
过程与方法：通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算。体会直观图示对理解抽象概
念的作用，培养数形结合的思想。
情感态度与价值观：通过使用集合的语言，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，
学会用数学的思维方式去认识世界、解决问题，养成事实求是、扎实严谨的科学态度。
二、学习重、难点：
重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。
难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。
三、学法指导：
研读学习 目标，了解本章重难点，精读教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，
再通过课堂各小组 展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。
四、知识链接：
1. 子集的定义、及子集的符号语言和Venn图表示？


2. 真子集的概念及真子集的符号语言和Venn图表示？


3.适当符号填空：
0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x＋1＝0,x∈R}

{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2}
4.已知集合A={1,2,3,}，B={2,3,4}，写出 由集合A，B中的所有元素组成的集合C。


五、学习过程：
交集、并集概念及性质：
思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
C?
?
1,2,3,4,5,6
?
； （1）
A?{1,3 ,5}
，
B?{2,4,6},
（2）
A?{xx是有理数}
，B?{xx是无理数},
2
C?
?
xx是实数
?
；
6． 并集的定义：
一般地， ，叫做集合A与集合B的并集。记
作： （读作：“A并B”），即

A?B?xx?A,或x?B

用Venn图表示：

－9－
??

这样，在思考1中，集合A，B的并集是C，即

A?B
= C
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A∪B＝A
?
, A∪B＝B
?
.
巩固练习：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝
②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ 。
7． 交集的定义：
一般地， 叫作集合A、B的交集，记作
（读“A交B”）即：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）

常见的五种交集的情况：

B A
A(B) A
B


A B
A
B




讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？
A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A

A∩B＝A
?
A∩B＝B
?

巩固练习:
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝ 。
六、达标训练：(A表示基础题，B表示简单应用，C表示知识点运用，D表示能力提高)
A1.教材12页A组5---8题。





A2.已知集合A={x|-3－10－

A3.集合A={x|x＞0}，B={x|x＜3}，则A∩B= （ ）
A.{x|x＜0} B.{x|0＜x＜3} C. {x|x＞3} D.R
A4.设集合 A={m∈Z|-3＜m＜2}，Ｂ＝｛n∈Z｜-1≤n≤3｝，则A∩B= （ ）
A.0 B.1 C. 2 D.3
B5. 若集合 A={x|x≤4}，Ｂ＝｛x|x≥a｝，满足A∩B={4}，则实数a= 。
B 6.已知
M?{1},N?{1,2}
，设
A?{(x,y)|x?M,y?N}，
B?{(x,y)|x?N,y?M}
，
求A∩B，A∪B.






C7.设集合A={x|-1＜ｘ＜a}，B＝｛ｘ｜1＜ｘ＜3｝，求A∩B.








C8.设A={-4,2，a-1,
a
}, B=｛9,a-5,1-a｝，已知A∩B={9}，求a.








D9.已知集合
A?xx?mx?m?19?0,
2
?
22
?
B?yy
2
?5y?6?0

??

C?zz?2z?8?0
是否存在实数m，同时满足
A?B? ?,A?C??
？



七、学习小结：
1.理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集和并集。
2.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会数形结合的数学思在求解问题过程中，充分利用数轴、
Venn图。
－11－
?
2
?

八、课后反思：
－12－

课题：1.1.3集合的基本运算（二）
一、三维目标：
知识与目标：（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义；
（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“
C
U
A
”的含义；
（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。
过程与方法：通过观察和类比，借助图理解集合补集的含义和集合的基本运算。
情感态度与价值观：体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想。
二、学习重、难点：
重点：补集的有关运算及数轴的应用。
难点：对补集概念的理解。
三、学法指导：
研读学习目标，了解本章重难点，精读 教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，
再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高， 完成学习任务。
四、知识链接：
1．什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？

2．什么叫交集、并集？符号语言如何表示？

3．已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B与R有何关系？

五、学习过程：
思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、
B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？


全集、补集概念及性质
1.全集的定义：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问 题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，
全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念 。
2.补集的定义：
对于一个集合A， ，叫作集合A相对于全集U的补
集，记作：
读作：“A在U中的补集”，即
C
U
A?xx?U,且x?A

用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）
??


－13－

讨论：集合A与
C
U
A
之间有什么关系？→借助Venn图分析。
A?C
U
A??

C
U
U??,
A?C
U
A?U,
C
U
??U
C
U
(C< br>U
A)?A

巩固练习
①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则
C
U
A
= ，
C
U
B
= ；
②．设U＝{x|x<8，且x∈N}， A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则
C
U
A
＝ ；
③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则
C
U
A
＝ 。

六、达标训练：(A表示基础题，B表示简单应用，C表示知识点运用，D表示能力提高)

A ( )
1
、
已知U为全集,M
、
N?U
，
且M∩N=N
，
则
、
C
U
M?C
U
N< br>
A
、
C
U
M?C
U
N B
C
、
C
U
N ?M D
、
M?C
U
N

A2.全集与补集有什么关系呢？
C
A
M
与
C
B
M
相等吗？
A2.若S={1，2，4，8}，A=
?
，则C
S
A= .
B3.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则CU
（A∩B）= .
B4.若U={1，3，a+2a+1}，A={1，3}，C
U
A={5}，则a= .
B5.设U=R，A={x|x>0}, B={x|x>1}，则A∩C
U
B= .
B6.设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={5，3，4}，C={3，4 }，则
（A∪B）∩（C
U
C）= . B7.设全集U={2，3，m+2m-3}，A={|m+1|，2}，C
U
A={5} ，求m的值。







2
B8.已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x-5x+m=0，x∈U}，求C
U
A、m.





－14－
2
2

C9.设全集
U?xx ?4,集合A?x?2?x?3,B?x?3?x?3
，求
C
U
A
，

A?B
，
A?B,C
U
(A?B),(C
U
A)?(C
U
B),(C
U
A)?(C
U
B), C
U
(A?B)
.
通过本题，你能得出什么结论?







C10.设全集U为R，
A ?xx?px?12?0,
??????
?
2
?
B?xx
2
?5x?q?0
，若
??

(C
U
A)?B?< br>?
2
?
,A?(C
U
B)?
?
4
?
，求
A?B
.






D11.已知集合A={x|x＜a }, B={x|1＜x＜2}且A∪
C
R
B
=R，求实数a的取值范围。












七、归纳小结：
1.能熟练求解一个给定集合的补集。
2.注重一些特殊结论在以后解题中应用。
八、课后反思：

－15－

－16－

课题：1.2.1 函数的概念（1）
一、三维目标：
知识与技能:正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。 < br>过程与方法:通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。在此基础上再
用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
情感态度与价值观:培养学生的应用意识，激发学生的学习兴趣。
二、学习重、难点：
重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念；
难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解。
三、学法指导：认真阅读教材P15-P19，对照学习目标，完成导学案，适当总结。
四、知识链接：
A问题1：回顾初中所学过的几种函数？
一次函数
y?kx?b(k?0)

二次函数
y?ax?bx?c(a?0)

反比例函数
y?
2
k
(k?0)

x
A问 题2：初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x
的值， 相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。
五、学习过程：
A问题3：对教科书中的实例(1)，你能得出炮弹飞行1s,5s,10 s,20s时距地面多高吗？其中时间t的
变化范围是多少？(点拨：用解析式刻画变量之间的对应关系 ，关注t和h的范围)
解:h(1)= h(5)= h(10)= h(20)=
炮弹飞行时间t的变化范围是数集< br>A?{x0?x?26}
，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集
。从问题的实际意义可 知，对于数集A中的任意
B?{h0?h?845}
，对应关系
h?130t?5t< br>2
（*）
一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。
A( 展示)问题4：对教科书中的实例(2)，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭
氧 空洞面积大约为2000万平方千米？其中t的取值范围是什么？(点拨：用图像刻画变量之
间的对应关 系)
例子（2）中数集
A?{t1979?t?2001}
，
B?{S0? S?26}
，并且对于数集A中的任意一个时间
t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭 氧层空洞面积S和它对应。
A问题5：在教科书中的实例3中，恩格尔系数与时间的关系是否和前两例 中的两个变量之间的关系
相似？请你仿照例1和例2，用集合与对应的语言来描述表1—1中恩格尔系数 与时间的关系？
(点拨：用表格刻画变量之间的对应关系)



－17－

B问题6：以上三个实例的共同特点是什么？
（归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都 可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：
对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中 都有唯一确定的y和它对应，记作
f:A?B
。）
B问题7：概括函数的定义。 < br>设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集
合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
（fu nction）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（do main）；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）。
1
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”注意：○；
2
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○
③ 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
讨论：
y?f(x)的含义?f(x)与f(a)的含义有什么不同
？



A问题8：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
答:一次函数
y?kx?b(k?0)
定义域 、值域 、对应法则
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
定义域 、值域
对应法则
2
k
(k?0)
定义域 、值域 、对应法则
x
1
B例．已知函数
f(x)?x?3?
，（教材第17页例1）
x?2
反比例函数
y?
（1）求函数的定义域；
（2）求
f(?3),f()
的值；
（3）当a>0时，求
f(a),f(a?1)
的值。
分析：函数的定义域 通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式
y?f(x)
，
而 没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
A练习3 已知函数
f(x)?3x?2x

（1）求
f(2),f(?2),f(2)?f(?2)
的值。

－18－
3
2
3

（2）求
f(a),f(?a),f(a)?f(?a)
的值。

六、 达标检测：
A1.下列说法正确的是 （ ）
（A）函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应。
（B）函数的定义域和值域可以是空集。
(C) 函数的定义域和值域一定是非空数集。
(D) 函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了。
A2.已知函数
f(x)?
x?1
则f(2)?
（ ）
x?1
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
B3：下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是 （ ）

B4：依函数的定义，平行于y轴的直线与函数图像最多有_____个交点。
C5：“函数 是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型”构成函数的要素有哪些？你能举出生活
中一些函数的例子吗 ？并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应
关系。

A6、做课本24页习题1.2A组 1、3、4、5、6、7




七、学习小结：
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概
念。重视研究问题的方法和过程。
八、课后反思：

－19－

课题：§1．2.1函数的概念(2)
一、三维目标：
知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区 间”的符号表示某些集
合。
过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域 和值域。掌握判别两个函数是否相
等的方法。
情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。
二、学习重、难点：
重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。
四、知识链接：
1. 写出函数的定义：



注：
（1）对应法则f(x)是一个函 数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘
积”，在不同的函数中，f的具 体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f
可能不便使用或不能使用解析 式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符
号f(x)表示外，还常用g(x )、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)
中 当自变量x=a时的函数值。
（2）定义域是自变量x的取值范围；
（3）值域是全体函数 值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域
也随之确定。
2.集合的表示方法有： 。

五、学习过程：

A问题1. 区间的概念
设a、b是两个实数，且a（1）满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做 ，表示为 ；
（2）满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做 ,表示为 ；
（3）满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做 ，表示为 ；
（4）满足不等式
a?x?b
的实数x的集合叫做 ，表示为 ；

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在
区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点；
－20－

实数集R也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+
∞”读作“ ”，还可以把满足x
?
a, x>a, x
?
b, x为 。
B（展示）例1．求下列函数的定义域。
1
1
f(x)?x?1?（1）
f(x)?
；(2)
f(x)?x?4?x?2
；(3)
2?x
(1?2x)(x?1)






A练习1：
求下列函数的定义域（用区间表示）
x?2
1
① f(x)＝
9?x
＋ ②f(x)＝
??3x?4

x?3
x?4





A问题2、从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下情况：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是 ；
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是 ；
（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是 ；
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ；
（5）如果f(x)是由实际问题列出的， 函数的定义域由 数学式子本身的意义和问题的
实际意义决定。
B例2．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？
x
2

(1) y=(
x
); (2) y=; (3) y=
3
x
3
; (4)y=
x
2
.
x
2


B练习2：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （ ）
A. f ( x ) = (x －1) ；g ( x ) = 1 B. f ( x ) = x； g ( x ) =
x

0
22 、
C．f ( x ) = x ；f ( x ) = (x + 1) D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
x
2

结论
：
判断两个函数是否相同，要看 这两个函数才算
相同。
B练习3：课本P19练习3。
2
－21－

C例3.求下列函数的值域（点 拨：注意函数的定义域和对应法则决定值域）
(1)y?2x?1,x?
?
1,2,3 ,4,5
?
;
(2)y?x?1
(5)y??x
2
?2x? 3(?5?x??2)








六、达标检测：
A练习:1、用区间表示下列数集。
、
(1)
?
x|x?1
?
?

(2)
?
x|2?x?3
?
?

(3)
?
x|x?1且x?2
?
?

B2练习p24.2.







B3、求函数
y?x?2x?2(0?x?3)
的值域。





－22－
2

C4、P25 B组题1.













七、学习小结：
本节课我们学习了求函数定义域的方法。函数定 义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予
以重视。能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。




















－23－

八、课后反思：你还有什么困惑吗？写出来。


－24－

课题：1.2.2 函数的表示方法（1）
一、三维目标：
知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法。
过程与方法：通过实 例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系，并
初步感知处理函数问题的 方法。
情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学生学数学 用数
学的意识。
二、学习重、难点：
重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择。
三、学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材，通过对教材中的例
题的研究，完成学习目标 。
四、知识链接：
1. 回忆函数的两种定义；
（设在某变化过程中有两个变量x和y，，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个
y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。
设A、B是非空的数集，如 果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集
合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。
记作：y=f( x)，x∈A．
2.函数的三要素分别是什么？
3．作出下列函数的图象；
（1）
y?1?x(x?Z)
， （2）
y?x?2x?2(0?x?3)




五、学习过程：
1、函数的三种表示方法
（1）解析法：（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）。
举例：如
y?3x?2x?1,S?
?
r,C?2
?
r,S?6t
等 。
优点：
?
222
2
量间的关系；
?
简明，全面 地概括了变
意一个自变量所对应的函数值；
?
可以通过解析式求出任

（2）列表法：（列出表格表示两个变量的函数关系）：
举例： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：（用图象来表示两个变量的函数关系）。
－25－

举例：
优点：直观形象地表示自变量的变化。
2、例题：

A 例1：某种笔记本的单价是5元，买x（
x?{1,2,3,4,5}
个笔记本需要y元,试用 函数的三种表
示法表示函数
y?f(x)
。
解：这个函数的定义域是数集< br>{1,2,3,4,5}
，用解析法可以将函数
y?f(x)
表示为
y ?5x
，
x?{1,2,3,4,5}
。
用列表法可以将函数
y?f(x)
表示为
笔记本数x
钱数y
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
图象法略。
说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。
A练习1：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数。






点拨：
1
函数 图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是○
否是函数图象的 依据；
2
解析法：必须注明函数的定义域； ○
3
图象法：是否连线； ○
4
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。 ○
C思考：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？



B例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 第二次 第三次
－26－
第四次 第五次 第六次

王伟
张城
赵磊
班级平均分
98
90
68
88.2
87
76
65
78.3
91
88
73
85.4
92
75
72
80.3
88
86
75
75.7
95
80
82
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。
分析：画出“成绩”与“测试时 间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始
终高于班级平均水平，学习情况比较稳定 而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大。赵磊同 学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线
呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。
B问题2：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？
主要是为了区分这 三个函数,并且让这三个函数具有整体情况.图中的虚线不是函数图像的组成
部分。
六、达标检测：
A1课本P23练习1、2。


A2．已知
f(x)
与
g(x)
分别由下表给出
x 1
4
2
3
3
2
4
1
f(x)


x 1
3
2
1
3
4
4
2
g(x)

那么
f(g(3))?

B3.在一定范围内,某种产品的购买量 y吨与单价x元之间满足一次函数关系。如果购买1000吨，每
吨800元，购买2000吨，每吨7 00元，若一客户购买400吨，单价应该是 （ ）
（A）820 （B）840 （C）860 （D）880
?
x
2
?2(x?2)
B4．设函数
f(x)?
?
，则
f(?4)?
，若
f(x
0
)?8
，则
x
0
= 。
?
2x(x?2)
A5.课本P24习题1.2 8、9题 。

七、学习小结：
本节课我们学习了函数的表示方法:解析法，列表法，图像法。理解函数的三 种表示方法，在具
体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数。
八、课后反思：
－27－

课题：1.2.2 函数的表示方法（2）
一、三维目标：
知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握分段函数及其简单应用。
过程与方法：通过 实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系，并
初步感知处理函数问题 的方法。
情感态度与价值观：激发学习兴趣，培养学生合作学习的能力。
二、学习重点、难点：分段函数的理解，分段函数的图象及简单应用。
三、学法指导：
对于例1例2自学完成,对于例3例4可以小组合作探究,然后独立完成达标检测。
四、知识链接：
A1．函数的三种表示方法：解析法 图像法 图表法
A2．作出函数
y?x
的图象？



五、学习过程：
B例1．作出函数
y?x?1
的图象，并分别求出函数的值域。
提示：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。






B例2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。
如果某条线 路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的
图像。
2
0?x?5

y= 3
5?x?10


4
10?x?15

5
15?x?20


－28－

说明：表 示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为
分段函数。注意它 是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。
C例3．作出下列各函数的图象：
?
1
?
x
2
?2x(x?0)
?
(0?x?1)
（ 1）
f(x)?
?
x
； （2）
f(x)?
?
2

?
?x?2x(x?0)
?
?
x(x?1)














D讨论：对第（2）小题的函数，试根据
a
的取值讨论方程f(x)?a
的根的个数问题。







六、达标检测：
?
x?1(x?0)
?
A1．已知< br>f(x)?
?
?
(x?0)
，则
f{f[f(?1)]}= 。
?
0(x?0)
?
?
x?2(x??1 )
?
2
A2在函数
f(x)?
?
x(?1?x?2)
中，若
f(x)?3
，则
x
的值为 。
?
2 x(x?2)
?
B3.国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超 过20g不超过40g时付邮资
160分；依次类推，写出每封xg(
0?x?100
)的信与所付邮资y之间的函数解析式，并画出这个函
数的图象。




－29－

B4 如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，自点B（起点）沿着折线BCDA向点A （终点）
运动。设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式。并画出这个 函数的
图象。


D C






A B








七、学习小结：
















八、课后反思：

30－ －

－31－

课题：1.2.2 函数的表示方法（第3课时）
一、三维目标：
知识与技能：使学生了解映射的概念、表示方法；会判断一个对应是否是映射。
过程与方法： 通过一些对应的例子引入映射，再比较函数与映射的关系，培养学生从一般到特殊的思
想方法。
情感态度与价值观：使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。
二、学习重、难点：
重点：映射的概念；函数与映射的关系。
难点：对映射的概念的理解。
三、学法指导：学习中体会从特殊到一般的认知规律，注重知识间的联系。
巩固旧知：（函数基础习题练习）
1求出下列函数的定义域：
y?




2. 已知
f(x)?






1
8
；
y?
2
；
y?
x?4x?3
3x?5
x
2
?4x?3

1
，求
f(2)
，
f(f(3))
，
f(f(x))
.
x?1
?
0(x?0)
?
3. 已知
f(x)?
?
?
(x?0)
，作出
f(x)
的 图象，求
f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}
的值。
?
x?1(x?0)
?






4课本P25 B组 第3题。





－32－

四、知识链接
1背写出函数的定义：




2在初中学过一些对应的例子：如数轴上的点与实数对应；生活中也有一些对应的例子： 如某个班
级每个学生的学号与每个学生对应 等等。
五、学习过程
1映射的概念
阅读课本P22页，理解映射的概念: 一般地，设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系?，使对于集合A中的任何一个元素X，在集合B中都有唯一的元素Y和它对应，那么就称
对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射(记住)。
点拨：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应关系，缺一不可；
（2）A，B可以是数 集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”
表示A到B的映射，符号 “f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
（3）集合A中的元素在集合B中一定有元素和它 对应，并且是唯一的；但集合B中的元素在A
中可以没有元素和它对应，即使有也可以不唯一。
举例：下列对应，哪些是集合A到集合B的一个映射（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）

注：对每个对应都要强调对应法则，集合顺序。
答：由映射定义，上述四图中 对应是A到B的映射， 对应不是A到B的映射。
对应法则分别是 。
思考：函数与映射的关系？


－33－

2.例题分析
A例题 探究从集合
A
到集合
B
一些对应法则，哪些是映射？
①
A
={
P
| P是数轴上的点}，
B
=
R
,对应法则f: 数轴上的点与它代表的实数对应；
②
A
={三角形}，
B
={圆}，对应法则f： 每一个三角形都对应它的内切圆；
③
A
={
P
|
P
是平面直角坐标系中的点}，
B?(x,y)x?R,y?R
，对应法则f：平面直角坐标
系中的点与它的坐标对应 ；
④
A
={友好三中的班级}，
B
={友好三中的学生} ，对应法则f ：每一班级都对应班里的学生。








六、达标检测：
A1判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射,并说明理由。
（1）设A={1，2，3 ，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。f:
x?2x?1
;
（2）设A=N，B={0，1}，f:
x?x除以2得的余数
；
（3）设A=R, B=R， f:
x?x取倒数
；





B2.在映射f:A
?
B中，A=B ={(x,y)
x,y?R
}且，
f:(x,y)?(x?y,x?y)
则与 A中的元素（-1，
2）对应的B中的元是 。
B3．课本P
24
习题1.2A组题第10题 。




七、学习小结：



八、课后反思：

－34－
*
??

－35－

课题：1.2 函数及其表示 （习题课）
一、三维目标：
知识与技能：对函数
f(x)
记号的理解与运用，会根据条 件求函数的解析式，理解函数的三种表
示法及其简单应用，掌握函数的图像及其简单应用。
过程与方法：通过本节内容的学习，使学生加深对函数及其应用的理解、初步体会学习函数的方法。
情感态度与价值观：激发学习兴趣，培养学生合作探究学习的能力。
二、学习重、难点： < br>重点：函数
f(x)
记号的理解与运用，会根据条件求函数的解析式，掌握函数的图像及 应用。
难点：函数的图像及其应用。
三、知识链接：1、函数的概念 ：
2、函数的三种表示方法：
四、学法指导：回顾前几节函数知识的内容，认真学习导学案中的例题，灵活运用函数知识解
决问题，并注意方法规律总结。
五、学习过程：
A1. 函数
f(x)
记号的理解与运用：
已知函数
f(x)
=4x+3，g(x)=x
2
,求f[4] g[6].，f[g(x)]，g[f(x)]。











B2.解析式法及应用：例1求函数的解析式：
2
(1)已知
f
( 2
x
＋1)＝
x
＋1，求
f
(
x
)； < br>t
－1
t
－1
2
解：(1)设
t
＝2
x
＋1，则
x
＝， ∴
f
(
t
)＝()＋1.
22
x
－1
2
从而
f
(
x
)＝()＋1.
2
1
x
(2)已知
f
()＝，求
f
(
x
)．
x
1－
x
2
111
x
解法一：设
t
＝， 则
x
＝(
t
≠0)，代入
f
()＝，
xtx
1－
x
2
1
得
f
(
t
) ＝
t
t
1
2
1－()
＝， 故
f
(
x
)＝
2
(
x
≠0)．
t
－1
x
－1
2
tx
－36－

1
x
1
xx
解法二：∵
f
()＝， ∴
f
(
x
)＝
2
(
x
≠0)．
2
＝
x
1－
x
1
2
x
－1
()－ 1
x

(3)已知
f
(
x
)是一次函数，且满足3
f
(
x
＋1)－2
f
(
x
－1)＝2x
＋17，求
f
(
x
)；
解：设
f
(
x
)＝
ax
＋
b
(
a
≠0)，
则3
f
(
x
＋1)－2
f
(
x
－1)＝ 3
ax
＋3
a
＋3
b
－2
ax
＋2
a
－2
b
＝
ax
＋
b
＋5
a
＝ 2
x
＋17，
∴
a
＝2，
b
＝7，∴
f
(
x
)＝2
x
＋7.

（4）已知
f( x)
满足
2f(x)?f()?3x
，求
f(x)
.
1< br>解：2
f
(
x
)＋
f
()＝3
x
① ，
1
x
x
113
把①中的
x
换成，得2
f
()＋
f
(
x
)＝②，
xxx
31
① ×2－②得3
f
(
x
)＝6
x
－，∴
f
(
x
)＝2
x
－.
xx
方法总结：第(1)题用代入法；第 (2)题用配凑法；第(3)题已知一次函数，可用待定系数法；第
(4)题用方程组法。
A3列表法及应用
【例2】 某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示：
月份
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
零售量
y
81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123
则零售量是否为月份的函数？为什么？






B4 图象法及应用
【例3】 作出下列函数的图象：(1)
y
＝1＋
x
(
x
∈Z)； (2)
y
＝
x
2－2
x
(
x
∈[0,3) )






【例4】汽车经过启动、加速行 驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程
s
看作时间
t的函数，其图象可能是 ( )

－37－

解析：因为汽车先启动、再加速、到匀速、最 后减速，
s
随
t
的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，
故A图比较 适合题意，故答案选A.
C5. 函数应用问题：
C【例5】例. 中山移动公司开展了两 种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4
元；“神州行”不缴月租，每通话1 分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费
用分别为
y
1,y
2
（元）.
Ⅰ.写出
y
1
,y
2
与x之间的函数关系式？
Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？









六、达标检测：
一、选择题
2
1－
x
1
A1．若
f
(1 －2
x
)＝
2
(
x
≠0)，那么
f
()等 于 ( )
x
2
A．1 B．3
C．15 D．30
B2．已知
f
(
x
)是一次函数，2
f
(2)－3
f
(1)＝5,2
f
(0)－
f
(－1)＝1， 则
f
(
x
)＝ ( )
A．3
x
＋2 B．3
x
－2
C．2
x
＋3 D．2
x
－3

|
x
|
B3．函数
y
＝
x
＋的图象为 ( )

x

C4．如下图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为
止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h
和时间
t
之间的关系，其中不正确的有
( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
－38－

C5．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙 所示．某天0点到6点，
该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)。

给出以下三个诊断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断是 ( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
二、填空题
x
1

2

A6．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
b
，若
f
(2 )＝8，则
f
(0)＝________.
f
(
x
)

2

1

B 7．已知一次函数
f
(
x
)，且
f
[
f
(
x
)]＝16
x
－25，则
f
(
x
)＝_ _______.
B8．已知函数
f
(
x
)，
g
(
x
)分别由下表给出
x
1

2

则
f
[
g
(1)]的值为__________；当
g
[f
(
x
)]＝2时，
x
＝__________.
g
(
x
)

3

2

三、解答题
B9 (1)已知
f
(
x
＋1)＝
x
2
＋
x
－1，求
f
(2)和
f
(
x
)．

3
1
3
1
）?x?2x
,求
f(
x
）
（2） 若
f(x?1





B10．作出下列函数的图象：
1
2
(1)
y
＝，
x
>1； (2)
y
＝
x
－4
x
＋3，
x
∈[1,3 ]．
x





创新题型
C11． 设
f
(
x
)是定义在R上的函数，且满足
f
(0)＝1，并 且对任意实数
x
，
y
，有
f
(
x
－
y
)＝
f
(
x
)－
y
(2
x
－
y
＋1)，求
f
(
x
)的解析式。







七、学习小结：
八、课后反思：
－39－

课题：1.3.1函数的基本性质----单调性
一、三维目标：
知识与技能:
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征；
（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明。
过程与方法：由一元 一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认
识；利用函数对应的表格 ，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符
号将自然语言的描述提升到形式化的定义， 从而构造函数单调性的概念。
情感态度与价值观：在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、 自然语言、数学语言的转化
中感知数学的严谨美。
二、学习重、难点：
重点：理解增函数、减函数的概念。
难点：单调性概念的形成与应用。
三、学法指导：
在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论 证的学习过程中生疑与析疑，
合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法。
四、知识链接：
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y


1 1 1

-1 -1
1 x 1 x 1 x

-1
-1 -1 -1

1
随x的增大，y的值有什么变化？ ○
2
能否看出函数的最大、最小值？ ○
3
函数图象是否具有某种对称性？ ○
y
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
1
从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2
在区间 ____________ 上，随着x的增 ○
大，f(x)的值随着 ________ 。

2．f(x) = -2x+1
1
从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2
在区间 ____________ 上，随着x的增 ○
大，f(x)的值随着 ________。
2
3．f(x) = x
－40－
1
-1
-1
1 x
y
1
-1
-1
1 x

1
在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○
着x的增大而 ________ 。
2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○
着x的增大而 ________ 。
y

1
五、学习过程：
-1
1 x
（一）函数单调性定义
-1
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f( x
1
)2
)，
那么就说f(x)在区间D上是增函数。
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义：（学生活动）
_______________ __________________________________________________ _____________
________________________________ ______________________________________________

2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有
（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)； ○
3
变形（通常是因式分解和配方）○；
4
定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）○；
5
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○。
注意：
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2
必须是对于区间 D内的任意两个自变量x
1
，○x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) (或
f(x
1
)?f(x
2
)
)．
3
反映在图象上，若
f(x)
是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）○
的。
（二）典型例题

A1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区
间上，它是增函数还是减函数？

－41－

A2. 求证：函数
y
＝
1
在区间(1，＋∞)上为单调减函数。
x
－1








六 达标训练：
A1．证明函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。





2
B2. 写出f(x)=x－4x+5的单调递增区间，并证明。





2
C3. 讨论函数
y
＝
x
－2(2
a
＋ 1)
x
＋3在[－2,2]上的单调性。



七、学习小结：
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助 计算机，求函数的
单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

八、课后反思：



－42－

课题：1.3.1函数的最大(小)值
一、三维目标：
知识与技能:（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义；
（2）理解函数的最大（ 小）值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调
性的应用之一。
过程与方法： 借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念，培养应用函数的单调性求解
函数最值问题。
情感态度与价值观：在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐。
二、学习重、难点：
重点：应用函数单调性求函数最值。
难点：理解函数最值可取性的意义。
三、学法指导：
通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念， 从而掌握应用单调性求
函数最值这一基本方法。
四、知识链接：
1.增函数的定义?减函数的定义?函数单调性的定义?




2. 判断函数单调性的方法步骤：




五、学习过程：
1.画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
1
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○
2
指出图象的最高点或最低点。 ○
（1）
f(x)??2x?3


（3）
f(x)?x




－43－
2
（2）
f(x)??2x?3
，
x?[?1,2]

（4）
f(x)??x

2

2.函数最大（小）值定义
(1)．最大值
一般地，设函数
y=f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈
I
，都有
f(x)≤M
；
（2）存在
x
0
∈I
，使得
f(x
0
) = M

那么，称
M
是函数
y=f(x)
的最大值（Maximum Value）。
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。
(2). 最小值
一般地，设函数
y=f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数M满足：
（1）__________________________________________ _____；
（2）___________________________________ _____________
那么，称
M
是函数
y=f(x)
的最小值（Minimum Value）。
注意：
1
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x
0
∈
I
，使得f(x
0
) = M； ○
2
函数最大（小） 应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈
I
，都有f(x)≤M（f(x)○≥M）。
六、达标训练：
2
A1. （1）．函数
f
(x
)＝2
x
－
x
的最大值是
( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2) ．已知函数
f
(
x
)＝3
x
－2＋
x
，则 它的最小值是
( )
A．0 B．1
2
C. D．无最小值
3
2
(3)．函数
f
(
x
)＝x
－2
ax
＋
a
＋2在[0，
a
]上的最大值 为3，最小值为2，则
a
的值为
( )
A．0
C．1

B2.已知函数
y
=









－44－










B．1或2
D．2
2
(
x
?
[2，6])，求函数的最大值和最小值。
x?1

C3. 已知函数
f
(
x
)＝
x
＋2
ax
＋2，
x
∈[－5,5]，
(1 )当
a
＝－1时，求函数
f
(
x
)的最大值与最小值；
(2)求实数
a
的取值范围，使函数
y
＝
f
(
x
)在区间[－5,5]上是单调函数。





1
2
D4. 已知函数
f
(
x
)＝－< br>x
＋
x
，是否存在实数
m
、
n
，
m
<
n
，使当
x
∈[
m
，
n
]时， 函数的值域恰为[2
m,
2
n
]，
2
若存在，求出
m
、
n
的值；若不存在，说明理由。









七、学习小结：
1. 概念：最大值与最小值；
2. 求最大值与最小值的方法：
1）图象法 2）配方法（二次函数） 3）判别公式法 （二次函数）
3. 数形结合是研究函数性质的常用方法。













八、课后反思：


－45－
2

－46－

课题：1.3.2函数的奇偶性
一、三维目标：
知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。
情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培< br>养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养
学生善于探 索的思维品质。
二、学习重、难点：
重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
三、学法指导：
学生在独立思考的基础上进行合作交流 ，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面
的体验和理解。对于奇偶性的应用采取讲练结合 的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。
四、知识链接：
1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义：




32
2.分别画出函数
f
(
x
) =
x
与
g
(
x
) =
x
的图象,并说出图象的对称性。






五、学习过程：
函数的奇偶性：
（1）对于函数
f(x)
，其定义域关于原点对称：
．．．．．．．．．
如果______________________________________，那么函数
f (x)
为奇函数；
如果_______________________ _______________，那么函数
f(x)
为偶函数。
（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。
（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 。
六、达标训练：
A1、判断下列函数的奇偶性。
45
（1）f（x）＝x； （2）f（x）＝x；

－47－

（3）f（x）＝x＋


11
（4）f（x）＝
2

x
x
A2、二次函数
y? ax?bx?c
(
a?0
)是偶函数,则b=___________ .
B3、已知
f(x)?ax?bx?cx?dx?5
，其中
a,b,c,d
为 常数，若
f(?7)??7
，则
753
2
f(7)?
_______ .
B4、若函数< br>f(x)
是定义在R上的奇函数，则函数
F(x)?f(x)?f(x)
的图象 关于 （ ）
（A）
x
轴对称 （B）
y
轴对称 （C）原点对称 （D）以上均不对
B5、如果定义在区间
[3?a,5]
上的函数
f(x)
为奇函数，则
a
=_____ .
C6、若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，且当
x?(0,??)
时，
f(x )?x(1?
3
x)
，那么当
x?(??,0)
时，
f(x)
=_______ .
D7、设< br>f(x)
是
(??,??)
上的奇函数，
f(x?2)??f(x)< br>，当
0?x?1
时，
f(x)?x
，则
f(47.5)
等于 （ ）
（A）0.5 （B）
?0.5
（C）1.5 （D）
?1.5

D8、定义在
(?1,1)
上的奇函数f(x)?
x?m
，则常数
m?
____ ,
n?
_____ .
2
x?nx?1

七、学习小结：
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义
法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合
应用 是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。













八、课后反思：



－48－

课题：2.1.1指数与指数幂的运算
一、三维目标：
知识与技能：1.理解n次方根及根式的概念； 2.正确运用根式运算性质进行运算变换。
过程与方法：由简单的根式运算推广到一般的根式运算。
情感态度与价值观：提高学生的分析问题的能力，体会数学的魅力。
二、学习重、难点：
重点：利用根式的运算性质进行化简。
难点：条件求值问题。
三、学法指导：联系初中学习的幂值运算知识，认真阅读教材P
48
---P
50
，对照学习目标，完成导学案，
适当总结。
四、知识链接：
1.4的平方根是 ，4的算术平方根是 ，
4
的值是 。
2.0的平方根是 ，正数的平方根是 个，负数的平方根是 个。
3. 实常数
a
的平方根、立方根是什么概念？


五、学习过程： 阅读教材P
48
——P
50
页，回答下列问题：
问题1：-8的立方根 ，16的4次方根 ，32的5次方根 ，
-32的5次方根 ，0的7次方根 ，
a
的立方根 .
问题2：n次方根的概念：



问题3：负数没有n次方根这种说法正确吗？

35
问题4：设
a
为实常数，（1）则关于
x
的方程x=a, x=a分别有解吗？有几个解？（2）则关于
x
的方
46
程x=a, x=a分别有解吗？有几个解？

问题5： 当n是奇数时，a的n次方根有几个？该如何表示？当n是偶数时呢？

问题6：
4
16??2
是否正确？教材对于负数和零的n次方根有何说明？

A例1、（1）64的6次方根是 ，（2）若
(x?2)
有意义，则x的取值范围是 。
0
6
－49－

问题6：我们把式子
n
a(n?N,n?1)
叫做 ，其中
n
叫做 ，
a
叫做 。
354
问题7：
(
3
2)?

(
5
?2)?

(
4
2)?

n
根据以上例子试总结归纳，一般地
(
n
a)
等于什么？


问题8:
3
(?2)
4
3
?

5
2
5
?

4
(?2)
4
?

2
4
?

根据以上例子试总结归纳，一般地
n
a
n
等于什么？



A例2、求值：
(1)
3
(?8)
3
(2)
(?10)
2
(3)
4
(3?
?
)
(4)
8
(a?b)
8





A例3、化简:
B(1)
(
?
?
?
?124
)?4
C(2)
5?26






六、达标检测：
A1.
(?5)?
；
((?5))?
；
(3?
?
)
= ；
7
(x?7)
= ；

4
0
B2 .
a
－2＋(
a
－4)有意义，则
a
的取值范围是
( )
A．
a
≥2
C．
a
≠2








B．2≤
a
<4或
a
>4
D．
a
≠4
－50－
222
2
7

1
42
B3．若
a
<，则化简(2
a
－1)的结果是
2
( )
A.2
a
－1 B．－2
a
－1
C.1－2
a
D．－1－2
a



22
x
B4．若
x
－2
x
＋1＋
y
＋6
y
＋9＝0，则
y< br>＝________.

A5.化简：
6



B6.(1) 设-3＜x＜1，求
x
2
?2x?1?




（2）化简：
(a?1)?(1?a)?
3
(1?a)
.




24
（3）若代数式
2x?1?2?x
有意 义，化简
4x?4x?1?2
4
(x?2)
.
1
3
3
3
?3?0.125
.
48
x
2
?6x?9
的值。
223







七、学习小结：
总结一下通过本节课你都学到了什么？还有那些地方有疑问？

八、课后反思：

－51－

－52－

课题：2.1.2指数函数及其性质（第一课时）
一：学习目标：
知识与技能：初步理解指数函数的定义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象。
过 程与方法：引入，剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思
维活动，培 养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研 究函数的规律和方法，提高学生的学习能
力养成积极主动。
二、学习重点、难点：
重点：指数函数的定义、图象、性质。
难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。
三、学法指导：动手作简单的指 数函数的图象对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，在借助
图象研究指数函数的性质时会遇到分 类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个
高中的数学学习。
四、知识链接：
1 ．计算并完成以下表格
n -3 -2 -1 0 1 2 3
2
n


3
n


n

?
1
?
??

?
2
?
n

?
1
?
??

?
3
?


2函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？


五、学习过程：
－53－

问题1：据国务院发展研究中 心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20
年我国GDP（国内生产总值）年 平均增长率可望达到7.3﹪.那么，在2001~2020年，各年的GDP可望
为2000年的多少 倍？
如果我国2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第一年，那么：
1年后（即2001）年我国的GDP可望为2000年的 倍；
2年后（即2002）年我国的GDP可望为2000年的 倍；
3年后（即2003）年我国的GDP可望为2000年的 倍；
4年后（即2004）年我国的GDP可望为2000年的 倍；
设x年后我国的GDP为2000年的y倍，那么y与x的函数关系式是什么？
即从2000年起，x年后我国的GDP为2000年的 倍。
问 题2：当生物死后，它机体内原有的碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为
原来的 一半，这个时间成为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t
之间的关 系为
t
5730
?
1
?
P?
??
?2
?

如果以字母a代替
??
?
1
?< br>?
2
?
1
5730
和1.073那么以上两个函数解析式都表 示为
的形式，其中自变量x是 底数a是一个 的常量。
总结指数函数的概念：
1
指数函数的定义是一个形式定义； 注意：○
2
注意指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、和零。 ○
A例1.判断下列函数是否为指数函数？
4
x
(1)
y?
4
(2)
y?x
(3)
y??4
(4)
y?4
xx?1

－54－

问题3：在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。
（1）y=2 (2)y =3 (3)y=(12) (4)y=(13)



思考:问题3中图象有何共同特征？当底数
0?a?1
和
a?1
时图象有何 区别？






问题4：指数函数性质
根据指数函数的图象特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表：



图


象





(1)定义域：
性

质
(2)值 域：
(3)过定点：
(4)单调性:
－55－
xxxx
a>1

0

A例2.已知指数函数
f(x)?a(a?0,且a?1)
的图 像经过点（3，
?
），求f(0),f(1),f(-3)的值。



六、达标检测：
A1、某种细胞分列时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个…… 以此类推，写出一个这样的细胞分裂
x次后，得到的细胞个数y与x的函数解析式。



B2说明下列函数的图象与指数函数
y?2
的图象的关系，并画出它们的示意图。
⑴
y?2

x?1
x
x
； ⑵
y?2
x?2


B3从问题3画出的图象中你能发现函数
y?2
的图象和函数
y?()
的图象有什么关系？可否利
用
y?2
的图象画出
y?()
的图象？
x
x
1
2
x
1
2
x

七、学习小结：
1.利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像。 < br>2.指数函数的性质：（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；（2）函数的特殊值（0，1） ；（3）函数
的单调性：a>1,单调增； 0八、课后反思：
－56－

－57－

课题：2.1.2指数函数及其性质（第二课时）
一、学习目标：
知识与技能：进一步掌握指数函数的图象和性质并能简单应用。
过程与方法：通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学
习能力养成积极主动。
二、学习重、难点：
初步学会应用指数函数的性质进行比较大小和求函数的定义域与值域。
三、学法指导： 通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。通过探究
体会 “数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习
过程；体 验研究函数的一般思维方法。
四、知识链接：
1、 回顾指数函数的概念；


2、指数函数
y?a
的图象和性质：

图像
0
a>1
x
定义域
值域
性质











－58－

五、学习过程：
A例1、 比较下列各题中两个值的大小。
(1)
1.7




2.5
与
1.7
； (2)
0.8
3?0.1
与
0.8
?0.2
； (3)
1.7
0.3
与
0.9
3.1
.
ax
?1
B例2、当
a?1
时，证明函数
y?
x
是奇函数。
a?1





六、达标检测：
A1、教材60页习题1（解题过程）。


2、求下列函数的定义域、值域：
1
2x?1
B（1）
y?8
B （2）
y?1?()

1
2
x


a
x
?1
(a?0,a?1)
C（3）
y?3
C（4）
y?
x
a?1
?x


－59－

B3设
y
1
?4

0.9
1
,y
2
?8
0.44
,y
3
?()
? 1.5
，则
2
B．
y
2
＞
y
1
＞
y
3
C．
y
1
＞
y
2
＞
y
3
D．
y
1
＞
y
3
＞
y
2

（ ）
A．
y
3
＞
y
1
＞
y
2

B4若集合
M?{y|y?2
x
},P?{y|y?x?1}
，则M ∩P= （ ）
A．
{y|y?1}

B5不等式
6

C6函数
y
=
x
2
?x?2
B．
{y|y?1}
C．
{y|y?0}
D．
{y|y?0}

?1
的解集是_ ___。
1
的值域是_ _______。
2
x
?1
七：学习小结：
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的应用。
会利用指数函数的性质判断两个指数幂的大小。














八、课后反思：


－60－

－61－

课题：2.2.1对数与对数运算（1）
一、三维目标：
知识与技能: 1．理解对数的概念，能说明对数与指数的关系；
2．掌握对数式与指数式的互化。
过程与方法: 通过与指数式的比较，引出对数定义。
情感态度与价值观: 学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力。
二、学习重、难点：
重点：对数的概念，对数式与指数式的互化。
难点：对数概念的理解。
三、学法指导：与指数式的比较，学习对数定义。
四、知识链接：
思考： 在2.1.2的例8中，得到函数关系式
y?13?1.01
，如果问“哪一年的人口数要
达到18亿、20亿、30亿……”，该如何解决？
即：
x
182030< br>?1.01
x
,?1.01
x
,?1.01
x
,在这些式子中，
x
分别等于多少？
131313
像上面的式子，已知 和 的值，求 ，这就是我们这节课所要学习的 问题。
五、学习过程：
A问题1、把上述问题一般化，你能概括出对数的定义吗？
1. 对数的定义:
一般地，若
a?N(a?0,且a?1)
，那么数

叫做以a为底
N
的 ，记作，其

中，
a
叫做对数的 ，
N
叫做 。
特别地，将以10为底的对数叫做常用对数，并把 ,记作 .以无理数e =2.71828…为底
数的对数称为自然对数，并把 ,记作 。

你能将上述人口问题中的时间用对数表示吗？


B问题2、
在指数式a
x
?N与对数式 log
a
N?x中，a,x,N的名称

与位置有什么变化？



对数与指数的关系:
当a?0,且a?1时


－62－
x

?

B例1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式:
（1）5=625 （2）
2



（4）
log
1
16??4
（5）
lg0.01??2
（6）
ln10?2.303

2
4

?6
?
11
m
（3）
()?5.73
643




B问题3. (1)是不是所有的实数都有对数？

(2)log
a
1?


(3)log
a
a?

C例2.求下列各式中x的值：

(1)log
64
x??;

(2)log
x
2?6





(3)lg1000?x

(4)?lne?x





六、达标检测：
A1.把下列指数式写成对数式：
?
1
1
3
27?
＝8 ⑵＝32 ⑶＝⑷
2
22
⑴
3
2

1
3
1
3
35?1
解：





－63－

B2.把下列对数式写成指数式：
(1)
log
3
9=2 ⑵
log
5
125=3
⑶
log
2
11
＝-2 ⑷
log
3
＝-4
481
解：





B3.求下列各式的值。
(1)
log
5
25 ⑵
log
2
1
⑶
lg
100
16

⑷
lg
0.01 ⑸
lg
10000 ⑹
lg
0.0001
解：





C4.求下列各式的值。
(1)
log
15
15 ⑵
log
0.4
1 ⑶
log
9
81
⑷
log
2.5
6.25 ⑸
log
7
343 ⑹
log
3
243
解







七、学习小结：
本节课学习了以下内容：
⑴对数的定义 ⑵指数式与对数式互换 ⑶求对数式的值
－64－

八、课后反思：

－65－

课题：2.2.1对数与对数运算（2）
一、三维目标：
知识与技能: 1．理解和掌握对数运算的性质；
2．掌握对数式与指数式的关系。
过程与方法: 通过对具体实例的学习,使学生了解知识源于生活，服务于生活。
情感态度与价值观: 1.通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；
2.在学习过程中培养学生探究的意识，体会数学的应用价值。
二、学习重、难点：
重点：对数运算的性质与对数知识的应用。
难点：正确使用对数的运算性质。
三、学法指导：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接：
B㈠ ⑴、
1.082?2
,

x
的值可以表示为___________。
⑵、
4?64
,对数形式记作_______________。
⑶、
8?4
,对数形式记作____________________。
⑷ 、
10
?2
3
x
2
3
?0.01
,对数形 式记作__________________。
A㈡对数的定义及对数恒等式：
log
a
N?b?
（
a
＞0，且
a
≠1，N＞0）.
A㈢指数的运算性质：
a
m
?a
n
?_______;a
m
?a
n?_______
；
m
(a
m
)
n
?___ _____;a
n
?__________
。
五、学习过程：
A问题1：我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，
得 出相应的对数运算性质吗？
例如:
a?a?a
mnm?n
,设M?a
m
,N?a
n
,
于是
MN?a
m?n
,
由对数的定义得到
M?a
m
?m?log
a
M,N?a
n
?n?log
a
N

MN?a
m?n
?m?n?log
a
MN

－66－

?log
a
M?log
aN?log
a
MN

即：同底对数相加，底数不变，真数相乘。
B问题2:请根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质。

如果
a
＞0且
a
≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）< br>log
a
MN?log
a
M?log
a
N

（2）
log
a
M
?log
a
M?log
a
N

N
(n?R)

n
（3）
log
a
M?nlog
a
M

















C问题3:
1. 在上面的式子中，为什么要规定
a
＞0，且
a
≠1，M＞0，N＞0呢？




2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？




－67－

B例1.计算：
①
lg0.01
； ②
log
2
(2
⑤
log
2
4
?
3
4)
； ③
lg2?lg5
； ④lg100
15

71
?log
2
12?log
2
42?1
； ⑥
(lg2)
2
?lg2?lg50?lg25
；
482
25
⑦
㏒（
； ⑧
log
3
3
9?3）










2726
?log
3
?log
3
.

535
C例2． 用
㏒
a
x , ㏒
a
y , ㏒
a
z
表示下列各式：
x
2
x
xyz）
㏒㏒
（1）
㏒（
（2） （3）

a
aa
2
yz
yz
2








C例3．必修一66页例5、例6请同学们认真 阅读例题内容及解法，要求每个人都可以在课堂上展示。
（要求展示）



－68－

六、达标检测：
A1、判断下列式子是否正确，
a
＞0且
a≠1，
x
＞0且
a
≠1，
x
＞0，
x
＞
y
，则有
（1）
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)
（ ）
（2）
log
a
x?log
a
y?log
a
(x?y)
（ ）
（
n
（5）
(log
a
x)?nlog< br>a
x
（ ）
3）
（6）
log
a
x??log
a
（7）
n
log
a
x?
1
（ ）
x
l og
a
x
?log
a
x?log
a
y
1< br>log
a
x
（ ）
n

（ ）
（4）
1
B2. lg5＋lg2= ； log
3
5－log
3
15= ； lg

－lg25= ；
4

log
2
（log
2
16）= .
B3．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
xyxyx
⑵ lg ⑶ lg ⑷ lg
2

zyz
z







七、学习小结：



八、课后反思：



－69－
23
log
a
xy?log
a
x?log
a

（ ）
(1) lg （x y z）

课题：2.2.1
一、三维目标：
对数与对数运算（3）
知识与技能:
（1）在对数运算性质的基础上,利用指数式与对数式之间的关系探索发现换底公式；
（2）能够利用换底公式进行对数的化简和运算。
过程与方法：
（1） 先从特殊的常用对数和自然对数入手,利用计算器进行对数的运算,从中发现对于底数不是
10或
e
为底的对数需要寻求办法把对数进行转换为常用对数或自然对数；
（2）学会把未知的问题转化为已知的问题去思考解决。
情感态度与价值观：了解对数的运算过程中出现的问题,体会数学运算的处理。
二、学习重、难点：
重点：对数的换底公式、利用对数的运算性质和换底公式进行化简计算。
难点：对数的换底公式。
三、学法指导：观察、思考、探究。
四、知识链接：
B如何求解
1.06?2
中的
x
?
x
分析：
1.06?2
?

x?log
1.06
2
；
x
1.06
x
?2

?

log
10
1.06
x
?log
10
2

?

x?log
10
1.06?log
10
2

?
x?
log
10
2
；
log
10
1.06
log
10
2

lo g
10
1.06
?
log
1.06
2?
猜测：log
b
N?
习过程：
log
a
N
（
a?0
且
a?1
，
b?0
且
b?1
，< br>N?0
）[来源:学§科§网Z五、学
log
a
b
B问题1、 模仿上面证明过程证明换底公式
log
b
N?

特例：
N? a
时，
log
b
a?
log
a
N
.
log
a
b
log
a
a
1
?
；
log
a
blog
a
b
－70－

β

log
a
α
b=log
a
b
α
β
；[来
a
log
a
b
=b

B例1、计算下列各式的值：[来源:Z_xx_]
log
81
32
；[来源:学.科.网Z.X.X.K] ①
log
4
3?log
9
32
； ②
log
16
27g
③
11lg2lg5
?
?
； ④ ；
log2
3log
13.5
3
log
50
10log
5
10
log
3
4
⑤
3






?7
log
7
2
； ⑥
3
log
9
4
?5
log
5
2
.
C例2、已知
log
3
2?a
，
log
37?b
，试用
a
、
b
表示
log
4
7
.





1
α
1
β
2
C例3、已知方程
x
＋
x
log
2
6 ＋log
2
3＝0的两根为
α
和
β
，求()·()的值。
44







－71－

六、达标检测：
A1．求值：
?
log
3
2?log
9
2
?
?
?
log
43?log
8
3
?
=_________.
A2．
log
a
?log
c
= .
A3．
log
2
3?log
3
4?log
4
5?log
5
2
= .
2
2
B 4．已知
log
8
a?log
4
b?5
，且
log
8
b?log
4
a?7
，那么
log
4
c a
ab
=______.
B5．若
log
18
9?a，
18?5
，则
log
5
45?
________（用
a
、
b
表示）。
13
B6．设log
x
＝，求
x
.
82




< br>22
x
B7．已知
x
＋
y
－4
x
－ 2
y
＋5＝0，求log
x
y
的值。





C8．若
a
、
b
是方程2lg
2
x?lgx
4
?1?0
的两个实根，求
lg( ab)?
?
log
a
b?log
b
a
?
的 值。






七、学习小结： 1．对数的换底公式；2．不同底数的对数式之间的互相转化。
八、课后反思：
－72－
b

－73－

课题：2.2.2 对数函数及其性质（1）
一、三维目标：
知识与技能：掌握对数函数的概念，图象。
过程与方法：用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想。
情感态度与价值观：
① 通过对对数函数图像的学习，加深对人类认识事物的一般规律的理解 和认识，使学生体会知
识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣。
② 通 过学生的相互交流来加深理解对数函数图像的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾
听，接受别人建 议的优良品质。
二、学习重、难点：
重点：准确描绘出对数函数的图像。
难点：依据图像来进行对相关问题的处理。
三、学法指导：对比指数函数相关性质。
四、知识链接：
B1. 在同一直角坐标系中画出
y?2
x
、
y? ()
x
的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质。











五、学习过程：
材料1： 回忆学习指数函数时用的实例。某种细胞分裂时，一个分裂成为 原来的两个。细胞
的个数y是分裂次数x的函数：y=
2
。如果要求这种细胞经过多少 次分裂，大约可以得到1万个，
10万个……细胞，根据下表：
y
x
2 4 …… 约10000个 …… 约10000个 …… y
x
1
2
1 2 ……
约
log
2
10000

……
约
log
2
100000

……
log
2
y


A问题1、分裂次数x就是分裂后要得到的细胞个数y的函数吗?为什么?

材料2 ：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用
t?log
573 0
1
2
P
估算出土文物或古遗迹的年代。根据下表：
－74－

碳14的含
量P
生物死亡年
数t
0.5 0.3 0.25 0.1 0.625 0.125 0.01 0.001
5730 9953 11797 19035 22920 17910 38069 57104

B问题2、t是其体内碳14含量P的函数吗?为什么?


根据材料1、2，可以得到生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数。
(一) 对数函数的概念
对数函数的定义：一般地，形如
y?log
a
x
(a?0且a?1)
的函数叫做对数函数，其中x是自变量，
函数的定义 域为
?
0,??
?
.
B例1、判断下列函数是否是对数函数：[
①
y?log
x
3
； ( ) ②
y?log
1
2x
； ( ) [来源:
2
③
y?2log
3
x
； ( ) ④
y?log
x
x
； ( )
2
⑤
y?2log
2
x
； ( ) ⑥
y?log
1
x
； ( ) [来源:
1
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
y?log5
注意：○
函数，而只能称其为对数型函数。
2
对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
。 ○
B例2、求下列函数的定义域：
3
（1）
y?log
a
x
（2）
y?log
a
(3?x)

x
不是对数
5










－75－

C例3、(1)在同一直角坐标系 画出函数
y?log
2
x
和
y?log
1
x
的图像。
2









利用换底公式,可以得到:
y?log
1
x??log
2
x
,又点
(x,y)和点（x,?y)
关于
x
轴对称,所< br>2
以,
y?log
2
x和y?log
1
x
的 图象关于
x
轴对称,因此,我们可以根据
y?log
2
x
的 图象得到函数
2
y?log
1
x
的图象。
2

对比指数函数相关性质猜想对数函数的相关性质，并填写下表


图


象

0＜a＜1


a＞1
定义域
值域
性质


（1）经过定点 ，即x= 时，y=
(2) (2)

C例4、比较下列各组数中两个值的大小：
（1）
log
2
3.4,log
2
8.5

（2）
log
0.2
1.4,log
0.2
2.5

－76－

（3）
log
a
5.4,lo g
a
5.5(a?0,且a?1)

六、达标检测：
B1、在同 一直角坐标系中用描点法画出函数
y?log
1
x
，
y?log1
x
，
y?log
2
x
，
23
y?log
3
x
的图像。











C2、 试归 纳、猜想底数同样大于1的函数图象的规律，底数同样在
?
0,1
?
的函数图 象的规律。
B3、求下列函数的定义域：
(1)
y?log
5
(1?x)
; (2)
y?




B4、比较下列各题中两个值的大小：
(1)
log
10
6
，
log
10
8
； (2)
log
0.5
6
，
log
0.5
4
； (3)
log
2
0.5
，
log
2
0.6
；
33
1
1
; (3)
y?log
7
()
;
log
2
x
1?3x


(4)
log
1.5
1.6
，0； (5)
log
2
0.5
，1 ； （6）
log
3
2
，
log
2
2
.
323


七、学习小结：

－77－

八、课后反思：

－78－

课题：2.2.2 对数函数及其性质（2）
一、三维目标：
知识与技能:
1.能够准确描绘出对数函数的图像，并可以利用图像来解决相关问题；
2．能够利用对数函数的相性质解决相关问题。
过程与方法:
1.通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习；
2.通过探究对数函数的图像，感受数形结合思想，培养学生数学的分析问题的意识。
情感态度与价值观:
1.通过对对数函数图像的学习，加深对人类认识事物的一般规律的理解 和认识，使学生体会知识
之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣；
2.通 过学生的相互交流来加深理解对数函数图像的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，
接受别人建 议的优良品质。
二、学习重、难点：
重点：准确描绘出对数函数的图像。
三、学法指导：对比指数函数相关性质。
四、知识链接：
B1、求下列函数的定义域：
(1)
y?log
3
x
; (2)
y?
3
log
2
x
; (3)
y?log
0.5
(4x?3)
.






五、学习过程：
B例1、如图所示曲线是对数函数
y?log
a
x
的图像，已
知a值取
3,,,
难点：依据对数的函数性质进行对相关问题的处理。
y
431
，则相应于
C
1
,C
2
,C3
,C
4
的a
3510
C
1
C
2
值依次为




B变式训练1：已知< br>a?0.3,b?3,c?log
3
0.3,d?log
0.3
3
将a，b，c，d四数从小到大排列
－79－
30.3
0
1
x
C
3
C
4

B问题1 、说明函数
y?log
3
(x?2)
与函数
y?log
3< br>x
的图像关系。




C问题2、将函数
y?log
a
x
的图像沿x轴向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到函数 图
像的解析式：



C例2 、(1)若
(log
a
2
2
)?1
,求a的取值范围;
3
(2)解不等式:
2log
a
(x?4)?log
a
(x?2)
.







22
D例3、已知函数
f
(
x
)＝lg[（a
－1）
x
＋(
a
＋1)
x
＋1]，若
f
(
x
)的定义域为R，求实数
a
的取值范围。





?
?
(6?a)x?4a,(x?1)< br>D例4、已知
f(x)?
?
是R上的增函数，求
a
的取值范围 。
,(x?1)
?
?
log
a
x





D例5、必修一72页例9,认真阅读,理解题意,在课堂上展示。




－80－

六、达标检测：
A1、函数
y?log
a
(x?2)?1(a?0 ,a?1)
恒过定点
B2、为了得到函数
y?lg< br>x?3
的图像，只需把函数
y?lgx
的图像上所有点向
10
平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度
B3、已知下列不等式，比较m,n的大小：
(1)
log
3
m?log
3
n
； (2)
log
0.3
m?log
0.3
n;




(3)
log
a
m?log
a
n(0?a?1)
； (4)
log
a
m?log
a
n(a?1)
；



B4、已知
log
a
2
?1
，则a的取值范围
3
B5、已知函数
y?log
2
(x?a)
的图象经过点（ 1，3），则函数
y?log
a
(2x?a)
的取值大于0时，x的
取值范围为
x
B6、函数
f(x)?a ?log
a
(x?1)
在
?
0,1
?
上的最大值与 最小值之和为
a
，求实数
a
的值。




B7、解不等式
log
1
(x
2
?x?2)?l og
1
(x?1)?1
.
22





七、学习小结：

八、课后反思：


－81－

－82－

课题：2.2.2 对数函数及其性质（3）
一、三维目标：
知识与技能：
能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题，并可以利用图像来解决相关问题。
过程与方法：
③ 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。
④ 通过探究对数函数形式的复合函数单调性，感受复合思想，培养学生数学的分析问题的意识。
情感态度与价值观：
通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解，增强学 生数学交流能力，培养
学生倾听，接受别人建议的优良品质。
二、学习重、难点：
重点：准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。
三、学法指导：对比指数函数相关性质。
四、知识链接：

B1.函数
y?lg(x?4)
的定义域为

B2.若
log
m
2?log
n
2?0
时，则m，n的大小关系是

五、学习过程：
2
B 例1、讨论函数
f(x)?log
a
(3x?2x?1)
的单调性。
难点：依据图像来进行对相关问题的处理。
思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对
a
进行讨论。
2
解:由
3x?2x?1?0
得函数的定义域为
?
xx?1或x<-
?

?
?
1
?
3
?
则当a>1时，
2
2
若x>1,∵u=
3x?2x?1
为增函数， ∴
f(x)?log
a
(3x?2x?1)
为增函数。
2
2
若x<
?
,∵u=
3x?2x?1
为减函数， ∴
f(x)?log
a
(3x?2x?1)
为减函数。
1
3
当1>a>0时，
2
2
若x>1,∵u=
3x?2x?1
为增函数， ∴
f(x)?log
a
(3x?2x?1)
为减函数。
2
2
若x<
?
,∵u=
3x?2x?1
为减函数， ∴
f(x)?log
a
(3x?2x?1)
为增函数。
1
3
B变式训练1:求以下函数的单调区间：
－83－

2
2
（1）
y?log
2
(x?2x?3)
（2）
y?log
3
x
（3）
y?log
1
(x
2
?x)

2







C总结
y?log
a
f(x)
单调区间的求法：



C例2、已知
f(x)?2?log
3
x, x?
?
1,9
?
,
求
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?fx
思路分析：要求
y?< br>?
?
f
?
x
?
?
?
?fx
解:∵
f(x)?2?log
3
x,x?
?
1,9
?
,

∴
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?fx
2
2
2
2
2
??< br>的最大值，及此时
x
的值
2
??
的最大值，要做两件事，一是求表达式，二是求定义域。
2
3
??
=
?
2?logx
?
?2?log
3
x
2
=
?
2?log
3
x
?
?2?2l og
3
x

2
2
2
=
lo g
3
x?6log
3
x?6
=
?
log
3
x?3
?
?3

∵函数
f(x)的定义域为
?
1,9
?
,

∴要使函数
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?fx
2
??
有意义，
2
?
1?x
2
?9
2
就需要
?
∴
1?x?3,
?0?log
3
x?1
，∴
6?y??
log
3
x?3
?
?3?13

?
1?x?9
当
log
3
x?1
时即
x?3
时
y?13

∴
x?3
时，函数取
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?fx

B变式训练2: 求函数
f(x)?log
1
(3?2x?x)
的值域。
2
2
2
??
最大值13
2








－84－

C例3、已知函数
f(x)?log
2
1?x
,x?
?
?1 ,1
?
,

1?x
⑴判断
f(x)
的奇偶性； ⑵讨论
f(x)
的单调性并证明。

C问题3：在指数函数
y?2
中，x是自变量，y为因变量。如果把y当成自变量， x当成因变量，
那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。


结论：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自 变量，而把这个函
数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数。
如：函数
y?2< br>x
与对数函数
y?log
2
x
互为反函数。
C问题 4：以
y?2
与
y?log
2
x
为例研究互为反函数的两个 函数的图象和性质有什么特殊的联系？

C问题5：与点
?
a,b
?
关于直线
y?x
对称的点坐标是什么？

B例4、求下列函数的反函数：
x
（1）
y?3
； （2）
y?log
6
x

x
x
六、达标检测： < br>x
B1、已知a>0,且a≠1,则在同一坐标系内函数y=a与y=log
a
(-x)的图象可能是_____

y y
y
y


1
1
1

1

-1
x
1
x
x

-1
-1
0 0
0
0


(3) (4)
(2)
(1)

B2、已知函数
f(x)
的图像过点（1，2）则其反函数的图像过点
C3、函数
f(x)?log
2
(1?x)
的大致图像是 （填序号）



x
y
y
y
y
-1
0
(1)
x
0
1
x
－85－
0
x
0
x
(3)

C4、已知
f(x)? |lgx|
，则
f(),f(),f(2)
的大小关系 C5、已知函数
f(x)?log
a
|x?1|
在区间
(?1, 0)
上有
f(x)?0
，那么下面结论正确的
是 （填序号）
①
f(x)
在
(??,0)
上是增函数 ②
f(x)
在
(??,0)
上是减函数
③
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数 ④
f(x)
在
(??,?1)
上是减函数
C6、已知函数
f(x)?log
1
(x
2
?ax?a)
在区间
??,2< br>上是增函数,求实数
a
的取值范围。
2
1
4
1
3
??














七、学习小结：



八、课后反思：

－86－

课题：2.3幂函数
一、三维目标：
知识与技能：
(1)理解幂函数概念，会画幂函数
y? x
，
y?x
，
y?x
，
y?x
，
y?x< br>
的图象；
(2)结合常见的幂函数图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法：
(1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力；
(2)使学生进一步体会数形结合的思想方法。
情感态度与价值观：
(1)通过生 活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习
兴趣；
(2)了解幂函数图象的变化规律使学生认识到数学美，从而激发学生的学习欲望。
二、学习重、难点：
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
三、学法指导：
认真阅读教材，体会幂函数与指数函数的不同，在比较过程中进一步掌握指数函数，学习幂函数，
认识和掌握五个具体幂函数的图像和性质。
四、知识链接：
1.指数函数定义：
2.对数函数定义：
五、学习过程：
（一）、问题：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，则她需要付款
p
(元)与 w (千克)的函数关系式
为 ；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
s
与a的函数关系式为 ；
(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
v
与a的函数关系式为 ；
(4)如果正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长
a
与s的函数关系式为 ；
(5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v (kms)与t(s)的函数关系式
为 。
思考：若 这些函数的自变量用x来表示,函数值用y来表示,则函数关系式是怎样的？它们有怎样的特
点？

（二）、幂函数的定义：一般地，函数
y?x
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
为常数。
例1：判断下列函数是否为幂函数？
?
23
?1
1
2
(1)y?x
4
(2)y?2x
2
(3)y??x
3
(4)y?
1
x
(5)y?2.3

2
x

探究1：怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数？

－87－

?1
23
（三）、请在同一坐标系内作出幂函数
y?x
，
y?x
，
y?x
，
y?x
，y?x
的图象。

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y?x

… …


2
… …
y?x



…
y?x
3

…

1

…
y?x
2

…


…
y?x
?1

…
1
2
（四）、请结合图像总结函数
y?x
；
y?x
；
y?x
；
y?x
；
y?x
的性质。

1

?1
y?x

y?x
2

y?x
3

2
y?x

y?x

定义域
值 域
奇偶性
单调性
定 点

?1
23
（五）、根据上表的内容并结合图象，试总结函数
y?x
；
y?x
；
y?x
；
y?x
；
y?x
的
共同性质。
23
1
2
?1





















1
2
(1)函数
y?x,y?x,y?x,y?x和y?x
的图象都 通过点 ；
(2)函数
y?x,y?x,y?x
是 ，函数
y?x
是 ；（奇函数、偶函数）
(3)在区间上，函数
y?x,y?x，y?x和y?x
都是 ，
（0，＋?）
函数
y?x
是 ；（增函数、减函数）
(4)在第一象限内，函数
y?x
的图象向上与 无限接近，向右与 无限接近。

探究2：通过对以上五个函数图象的观察和填表 ，你能类比出一般的幂函数
y?x
的性质和图象的变
化规律吗？
(1)所有的幂函数在 上都有定义, 并且函数图象都经过定点 。
(2)如果
?
?0
，则幂函数
y?x
在(0,+∞)上为 。
如果
?
?0
，则幂函数
y?x
在(0,+∞)上为 。
－88－
?
?
?
?1
?1
3?12
23
1
2
?1
23
1
2

探究3：幂函数
y?x
，当x∈[0，+∞）时，α>1与0<α<1的图象有何不同？

例2：比较大小：
(1)1.5,1.7
1.51.5
?
（2）
1.1


?
1
2
，
0.9
?
1
2

六、达标检测：
A1．在下列函数中,定义域为R的是 ( )
A. y?x B. y?x C. y?2
x
D. y?x
?1

21
12
11
B2．
若T
1
?()
3
,T
2
?()
3
,T
3
?()
3
,则
( )
252
A. T
1
?T
2
?T
3
B. T
3
?T
1
?T
2
C. T
2
?T
3
?T
1
D. T
2
?T
1
?T
3

3
2
?
1
3
A3. 幂函数
y?x在[?1,1]上是
( )
A.增函数且是奇函数 B. 增函数且是偶函数
C. 减函数且是奇函数 D. 减函数且是偶函数
B4．如图所示，曲线C
1
、C< br>2
、C
3
、C
4
为幂函数
3
5
3< br>y?x
?
在第一象限内的图象，已知
?
取
4
，，1，?2
四
34
C
1
C
2 < br>个值，则相应于曲线C
1
、C
2
、C
3
、C
4
的解析式中的指数
?
依次可取 （ ）
4343
，1，，?2 B. ?2，1，，
3434

3443
C. ?2，1，， D. ，，1，?2
4334
A.

B5．比较大小
1
2
1
2
3
3
C
3
C
4
(1)
3.14
，
?
(2)
(?0.38)
，
?
?0.39
?
(3)
1.25
，
1.22
(4)
()
?1?1
1
3
?0.25
，
()
1
3
?0.27


B6.函数
y?(m?m?1)x
A7.函数< br>y?x?x
B8.已知
(a?3)



－89－
?
3
5
1
2
?
3
5
2m
2
?2m?1
是幂函数，实数
m
的值为
?(x?2)
0
的定义域为
?
3
5
?(1?2a)
，求实数
a
的取值范围。

B9.(1)已知幂函数
y?f(x)
的图象过点
(2,2)
，试求出这个函数的解析式。
(2)
若幂函数y?f(x)的图象经过点(9,),求f(25)的值
。




B10．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时， 其流量速率R与管道半径r的四
3
次方成正比：（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为 3cm的管道中，流量速率为400cms，求该
气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（3）中的气体通过的管道半径为5cm，
计算该气体的流量速率。








七、学习小结：
1.一般地, 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数。
2.幂函数
y?x
图象过定点 。
3.幂函数
y?x
,当
?
?0
时,图象在第一象限单调递 ;当
?
?0
时,图象在第一象限单调
递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近。






八、课后反思：


?
1
3
?
－90－

课题：3.1.1方程的根与函数的零点
一、三维目标：
知识与技能：结合二次函 数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系；过程
与方法：掌握判定函数零点存 在的条件，并能简单应用；
情感态度与价值观：通过学习，体会数形结合的思想从特殊到一般的思考问题的方法。
二、学习重、难点：
函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。
三、学法指导： 认真阅读教材，在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上，结合二次函数图象，由特
殊到一般逐渐理解零 点的概念，并会判断零点的存在。
四、知识链接：
五、学习过程：
（一）、认真阅读教材P86---P87页内容，思考：
1．通过书中三个具体一元二次 方程的根与相应的二次函数的图像与x轴的交点的关系归纳一元
2
二次方
ax?bx? c?0
(a?0)
的根与相应的二次函数
y?ax?bx?c
(a?0)的图象有什么关
2
系？

















2．函数的零点的概念：
对于函数
y
＝
f
(
x
)，把 叫做函数
y
＝
f
(
x
)的零点。
注: 函数的零点是一个实数，而不是一个点。
3．方程、函数、图象之间的关系：
－91－

方程
f
(
x
)＝0 ?函数
y
＝
f
(
x
)的图象
?函数
y
＝
f
(
x
) 。
练习：
Al．函数
y
＝
x
－1的零点是 ( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．0 D．1 < br>A2．函数
f
(
x
)＝
x
2－3
x
－4的零点是________
B3．若函数
f
(
x
)＝
x
2＋2
x
＋
a
没有零点，则实数
a
的取值范围是 ( )
A．
a
<1 B．
a
>1
C．
a
≤1 D．
a
≥1
C4．已知函数
f
(
x
)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
（二）、认真阅读教材P87---P88页内容，探究：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零 点？怎样
的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
22
1观察二次函数
y?x?2x?3
的图象 我们发现函数
y?x ?2x?3
在区间
[?2,1]
上有零点。计
算
f(?2)
和
f(1)
的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间
[2,4]
上是否 也具有这种特点呢？



2猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)
上有零点。
3．函数零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c
也就是方程f(x) = 0的根。
思考：若函数
y
=
f
(
x
) 在区间(
a
,
b
)内有零点，一定能得出
f
(
a
)·
f
(
b
)<0的结论吗？


２
A例1、求证:函数f(x)=2x-3x-2 有两个零点。





A例2 、求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点个数。












－92－

六、达标检测： 2
A1．函数
f
(
x
)＝ln
x
－的零点所在 的大致区间是 ( )
x
1
A．(1,2) B．(2,3) C．(1，)和(3,4)
e
D．(e，＋∞)
B2．函数
f(
x
)＝
x
2－
ax
－
b
的两个零点 是2和3，求函数
g
(
x
)＝
bx
2－
ax
－1的零点。






C3.讨论函数< br>y
＝(
ax
－1)(
x
－2)(
a
∈R)的 零点。











x
D4若函数
f
(
x
)＝
a
－
x
－
a
(
a
>0，且
a
≠1) 有两个零点，则实数
a
的取值范围是________。






七、学习小结：
1．函数零点的定义。
2．等价关系。
3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断。








八、课后反思：
－93－

－94－

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解
一、三维目标：
知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用
方法；理解二分法的步骤与思想。
过程与方法：了解用二分法求方程的近似解的特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，
初步了解算法思想。
情感态度与价值观: 回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历史，激发学习的热情和学
习的兴趣。
二、学习重、难点：用二分法求方程的近似解。

三、学法指导：认真阅读教材P89—90，了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。
四、知识链接：
1函数零点的概念：
2．等价关系：方程
f
(
x
)＝0 ?函数
y
＝
f
(
x
)的图象
?函数
y
＝
f
(
x
)
3．函数零点存在定理：


4.30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币， 用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？（请写出具
体过程）




五、学习过程：
今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考 下面的问题：能否求解下列方
23
程：（1）
x
?2
x
?1 =0；（2）lg
x
=3?
x
；（3）
x
?3
x< br>?1=0。
实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，学完本节课，你将对如何求一元 方程的近似解有
新的收获。认真阅读P89—90页，回答下面问题：
1、 什么叫做二分法：




2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗？利用二分法求函数零点必须满足什么条件？


－95－

A例1、下列函数图象与
x
轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )

注：(1)准确理解“二分法”的含义：二分就是平均分成两部分；二分法就是通 过不断地将所选区间
一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度 ，用此区间的某
个数值近似地表示真正的零点。
(2)“二分法”与判定函数零点的定理密切 相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点
左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。
3．给定精确度
ε
，用二分法求函数
f
(
x
)零点 近似值的步骤如下：
(1)确定 ，验证 ，给定 ；
(2)求区间 ；(3)计算 ；
①若 ，则
c
就是函数的零点；
②若 ，则令

(此时零点
x
0∈(
a
，
c
))；
③若 ，则令

(此时零点
x
0∈(
c
，
b
))。
(4)判断是否达到精确度
ε
：即若 ，则得到零点近似值
a
(或
b
)；否则重复(2)～(4)．
4．求函数零点的近似值时，所要求的 精确度 不同，得到的结果也不相同，精确度
ε
是指在计算
过程中得到某个区间(
a
，
b
)后，若 |
a
－
b
|<
ε
，即认为已达到所要求的精确度，否则应继续计算，
直到达到精确度为止。
5．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个中点坐标、 计算中点的函数
值、所取区间等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间。
B例 2、用二分法求方程lg
x
=3?
x
的近似解（精确度为0.1）。
如何判断根所属的区间：
可先把方程转化为lg
x
+
x
? 3=0，再设
f
(
x
)=lg
x
+
x
?3 ，由
f
(2.5)＜0，
f
(3)＞0，可判断根在区间
（2.5， 3）内．解决了这个困难，顺利进入了不断二分区间的环节，建议可用表格形式来完成求解过
程，即：

根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号


f(2)
<0，
f(3)
>0
f(2.5)
<0
（2，3） 2.5

（2.5，3）
f
(2.5)<0，
f
(3)>0 2.75
f
(2.75)>0


（2.5，2.75）
f
(2.5)<0，
f
(2.75)>0 2.625
f
(2.625)>0

（2.5，2.625）
f
(2.5)<0，
f
(2.625)>0 2.5625
f
(2.5625)<0

（2.5625，2.625）
f
(2.5625)<0，
f
(2.625)>0


－96－

由于
2.5625?2.625?0.0635 ?0.1
，所以原方程的近似解为
x
1
≈2.5625
注：(1) 若方程的根可以转化为两个函数图象交点的横坐标，也可以通过两个函数图象的交点，
确定原方程的根所 在的大致区间，再用二分法求解。
(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值。用二分法求解时要 注意给定函数的符号、二分法
求解的条件及要求的精确度。
六、达标检测：
A1下列函数中能用二分法求零点的是 ( )

A2．设
f
(
x
)＝3
x
＋ 2
x
－8，用二分法求方程3
x
＋2
x
－8＝0在
x
∈(1,2)内近似解的过程中得
f
(1)<0，
f
(1.5)> 0，
f
(1.25)<0，则方程的根在区间 ( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
B3.求函数
f
(
x
)＝
x
3＋2
x
2－3
x
－6的一个为正数的零点 (精确度0.1)。












C4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李 咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的
机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标 ．某次猜一种品牌的手机，手机价格在
500～1000元之间。选手开始报价：1000元，主持人回 答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，
低了；800元，低了；880元，高了；850元 ，低了；851元，恭喜你，你猜中了。表面上看猜价格具
有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过 程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价
方案来帮助选手猜价吗？




－97－

七、学习小结：

八、课后反思：

－98－

课题：3.1函数与方程习题课
一、三维目标：巩固函数零点与用二分法求方程的近似解的应用等有关知识。
二、知识链接：
1．函数的零点的概念：
2．方程、函数、图象之间的关系：
方程
f
(
x
)＝0 ?函数
y
＝
f
(
x
)的图象
?函数
y
＝
f
(
x
)
3．函数零点存在定理：


4.利用二分法求函数零点必须满足什么条件？



5．给定精 确度
ε
，用二分法求函数
f
(
x
)零点近似值的步骤如下：







三、巩固训练
（一）、选择题
1．函数
f
(
x
)＝－
x
2
＋5
x
－6的零点是
A．－2,3 B．2,3 C．2，－3 D．－2，－3
2．函数
f
(
x
)＝x
－
a
x
没有零点，则
a
的取值范围是
A．
a
<0 B．
a
≤0 C．
a
>0 D．
a
≥0
3．用二分法求函数
f
(
x
)＝
x
3
＋5的零点可以取的初始区间是
A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
4．根据表中的数据，可以判定方程e
x
－
x
－2 ＝0的一个根所在的区间为


x
－1

0

1

2

3

e
x

0.37

1

2.72

7.39

20.09

x
＋2

1

2

3

4

5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)

－99－
)
)
)
)
(
(
(
(

?
?
x
＋2
x
－3，
x
≤0
5．函数
f
(
x
)＝
?
?
－2＋ln
x
，
x
>0
?
2

的零点个数为
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2
6．若方程2
ax
－
x
－1 ＝0在(0,1)内恰有一解，则
a
的取值范围是
( )
A．
a
<－1 B．
a
>1 C．－1<
a
<1 D．0≤
a
<1
7．已知函数
f
(
x
)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为
( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4
8函数
f
(
x
)＝e＋
x
－2的零点所在的一个区间是
x
D．4,3
( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
3
9．用二分 法研究函数
f
(
x
)＝
x
＋3
x
－1的零 点时，第一次经过计算
f
(0)<0，
f
(0.5)>0，可得其中一
个零点
x
0
∈________；第二次应计算________，以上横线上应填 的内容为
( )
A．(0,0.5)，
f
(0.25) B．(0,1)，
f
(0.25) C．(0.5,1)，
f
(0.75) D．(0,0.5)，
f
(0.125)
（二）、填空：
10．在用二分 法求方程
f
(
x
)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，
f(0.625)<0，
f
(0.75)>0，
f
(0.6875)<0，
即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)。
2
11．若函 数
f
(
x
)＝
ax
－
b
有一个零点是3， 那么函数
g
(
x
)＝
bx
＋3
ax
的零点 是________。
2
12．已知方程2
x
＋(
m
＋1 )
x
＋
m
＝0有一正根一负根，则实数
m
的取值范围是__ ______。
13．已知图象连续不断的函数
y
＝
f
(
x
)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精
确度为0.01) 的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次。
x
14．(2 009·山东卷)若函数
f
(
x
)＝
a
－
x
－
a
(
a
>0，且
a
≠1)有两个零点，则实数
a
的取值范围是
________。
2
15．已知
m
∈R 时，函数
f
(
x
)＝
m
(
x
－1)＋x
－
a
恒有零点，求
a
的范围。













16．若函数
f
(
x
)为定义在R上的奇函数，且当x
>0时，
f
(
x
)＝ln
x
＋2
x
－6，试判断函数
f
(
x
)的零点
－100－