高中数学情境解题例题-北京2020平谷高中数学二模
高中数学常用公式及结论大全(新课标)
必修1
1、集合的含义与表示
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合
。它具有三大特性:
确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为:{元素|元素的特征},例如
{x|x?5,且x?N}
2、常用数集及其表示方法
(1)自然数集N(又称非负整数集):0、1、2、3、……
(2)正整数集N
*
或N
+
:1、2、3、……
(3)整数集Z:-2、-1、0、1、……
(4)有理数集Q:包含分数、整数、有限小数等
(5)实数集R:全体实数的集合
(6)空集Ф:不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系:属于∈,不属于
?
例如:a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等
(1)子集的概念
如果集合A中的每
一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如图1),记
作
A?B
或
B?A
.
A,B
B
A
或
若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,
记作
P?Q
(图1)
(2)真子集的概念
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不
属于A,那么集合A叫做集合B的
?
真子集(如图2).
A
?
?
B
或
B
?
A
.
B
A
(图2)
(3)集合相等:若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
A?B,B?A?A?B
5、重要结论(1)传递性:若
A?B
,
B?C
,则
A?C
(2)空Ф集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.
6、含有
n
个元素的集合,它的子集个数共有
2
个;真子集有2
–1个;非空子集有
2
–1个(即
不计空集);非空的真子集有
2
–2个.
7、集合的运算:交集、并集、补集
(1)一般地,由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
n
nnn
A
?
B
1
(2)一般地,对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并
集
.记作A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
A
?
B
(3)若A是全集U的子集,由U中不属于A的元素构成的集合,
叫做A在U中的补集,记作
C
U
A
C
U
A
A
注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了
A??
的情况。
8、映射观点下的函数概念
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做
A到B的函数,记作y=f(x),
其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域
,象的集合C(C
?
B)叫做函数y=f(x)
的值域.函数符号y=f(x)表示“
y是x的函数”,有时简记作函数f(x).
,
C
U
A?
?
x|x?U,且x?A
?
?
2x?1
x?0
9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如<
br>y?
?
2
x?0
?
?x?3
10、
求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
1
,则x?1?0
x?1
②偶次方根的被开方数大于或等于零;
如:y?5?x,则5?x?0
③对数的底数大于0且不等于1;
如:y?log
a
(x?2),则a?0且
a?1
①分式的分母不为零;
如:y?
④对数的真数大于0;
如:
y?log
a
(x?2),则x?2?0
⑤指数为0的底不能为零;
如:y?(m?1)
,则
m?1?0
11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(1)奇函数满足
f(?x)??f(x)
, 奇函数的图象关于原点对称;
(2)偶函数满足
f(?x)?f(x)
, 偶函数的图象关于y轴对称;
注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;
②若奇函数在原点有定义,则
f(0)?0
③根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当
x
1
?x<
br>2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,则<
br>f(x)
在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,则
f(x)
在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
函数
f(x)在某区间上是增函数或减函数,那么说
f(x)
在该区间具有单调性,该区间叫做
单调(增减)区间
13、一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
x
?b?b
2
?4ac
2
(1)求根公式:
x
1,2
?
(2)判别式:
??b?4ac
2a
(3)
??0
时方程
有两个不等实根;
??0
时方程有一个实根;
??0
时方程无实根。
b
c
(4)根与系数的关系——韦达定理:
x
1
?x
2<
br>??
,
x
1
?x
2
?
a
a
14、二次函数:一般式
y?ax?bx?c
(a?0)
; 两根式y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(a?0)
2
2
(1)顶点坐标为
(?
b
b4ac?b
(2)对称轴方程为:x=
?
;
,)
;
2a
2a4a
2
y
x
0 4ac?b
2
b
(3)当
a?0
时,图象是开口向上的抛物线,
在x=
?
处取得最小值
4a
2a
4ac?b
2
b
当
a?0
时,图象是开口向下的抛物线,在x=
?
处取得最大值
4
a
2a
(4)二次函数图象与
x
轴的交点个数和判别式
?
的
关系:
??0
时,有两个交点;
??0
时,有一个交点
(即顶点);
??0
时,无交点。
15、函数的零点
2
使
f(x)?0
的实数
x
0
叫做函数的零点。例如
x
0??1
是函数
f(x)?x?1
的一个零点。
注:函数
y?f
?
x
?
有零点
?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴有交点
?
方程
f
?
x
?
?0
有实根
16、函数零点的判定:
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a
)?f(b)?0
。那
么,函数
y?f
?
x
?
在区
间
?
a,b
?
内有零点,即存在
c?
?
a,b?
,使得f
?
c
?
?0
。
17、分数指数幂
(
a?0,m,n?N
,且
n?1
)
(1)
a
m
n
?
?a
.如
x?x
;(2)
a
nm
3
3
2
?
m
n
?
1
ma
n
?
1
n
a
m
. 如
1
x
3
?x
?
3
2
n
;(3)
(
n<
br>a)?a
;
(4)当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;
当
n
为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
18
、有理指数幂的运算性质(
a?0,r,s?Q
)
(1)
a?a?a
rsr?s
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
rrr
; (2)
(a)?a
;
(3)
(ab)?ab
rsrs
19、指数函数
y?a
(
a?0
且
a?1
),其中
x
是自变量,
a
叫做底数,定义域是R
x
图
象
性
质
y
1
0
a?1
x
0?a?1
y
1
0
x
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在 R上是增函数
(4)在R上是减函数
3
20、若
a?N
,则
b
叫做以
为底<
br>N
的对数。记作:
log
a
N?b
(
a?0,a?1
,
N?0
)
其中,
a
叫做对数的底数,
N
叫做对数的真数。
注:指数
式与对数式的互化公式:
log
a
N?b?a
b
?N
(a?
0,a?1,N?0)
21、对数的性质
(1)零和负数没有对数,即
l
og
a
N
中
N?0
;
(2)1的对数等于0,即
log
a
1?0
;
底数的对数等于1,即
log
a
a?1
22、常用对数
lgN
:以10为底的对数叫做常用对数,记为:
log
10
N?l
gN
自然对数
lnN
:以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然
对数,记为:
log
e
N?lnN
23、对数恒等式:
a
log
a
N
?N
24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
M
?log
a
M?log
a
N<
br>;
N
n
(3)
log
a
M?nlog
a<
br>M(n?R)
(注意公式的逆用)
25、对数的换底公式
log
a
N?
推论①
log
m
N
(a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,
N?0
).
log
m
a
1
n
n<
br>或
log
a
b?
;
②
log
a
m
b?log
a
b
.
log
b
a
m
26、对数函数
y?log
a
x
(
a?0
,且
a?1
):其中,
x
是自变量,
a叫做底数,定义域是
(0,??)
图像
y
a?1
0?a?1
x
0
1
x
0
1
定义域:(0, ∞)
性质
值域:R
过定点(1,0)
增函数
取值范围
0
减函数
0
x>1时,y<0
x
27、
指数函数
y?a
与对数函数
y?log
a
x
互为反函数;它
们图象关于直线
y?x
对称.
4
28、幂函
数
y?x
(
?
?R
),其中
x
是自变量。要求掌握
?
??1,,1,2,3
这五种情况(如下图)
29、幂函数
y?x
的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(Ⅱ)当
?
?0
时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.
(Ⅲ)当
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是
减函数.
3
?
1
2
?
-2
3
2
y?x
2
y?x
2
1
1
2
y?x
3
y?x
?1
1
-1
-2
2
1
1
1
1
y?
1
2
x
-2
1
-1
-2
2
-2
-1
-3
必修2
30、边长为
a
的等边三角形面积
S
正?
?
3
2
a
4
31、柱体体积:
V
柱
=S
底
h
,
锥体体积:
V
锥
=S
底
h
1
3
4
3
2
球表面积公式:
S
球
?4
?
R, 球体积公式:
V?
?
R
(上述四个公式不要求记忆)
3
32、四个公理:
①
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
②
过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
③
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④
平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性)。
33、等角定理:
1
2 3
空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图)
?
(在同一平面内,没有公共点)
平行
:
?
共面直线?
?
34、两条直线的位置关系:
?
(在同一平面内,有一个公共点)
?
相交
:
?
:(不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点)
?
异面直线
直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面上;(2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交)
两个平面的位置关系:(1)两个平面平行;(2)两个平面相交
35、直线与平面平行:
定义 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。
判定
平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。
性质
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
36、平面与平面平行:
5
定义
两个平面没有公共点,则这两平面平行。
判定
若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平 行。
性质 ①
如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。
②
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。
37、直线与平面垂直:
定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。
判定
一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。
性质
①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。
38、平面与平面垂直:
定义 两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。
判定
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
性质
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
39、三角形的五“心”
(1)
O
为
?ABC
的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的
距离相等
(2)
O
为
?ABC
的重心(各边中线的交点).重心将
中线分成2:1的两段
(3)
O
为
?ABC
的垂心(各边高的交点).
(4)
O
为
?ABC
的内心(各内角平分线的交点).
内心到三边的距离相等
(5)
O
为
?ABC
的
?A
的旁心(各外角平分线的交点).
40、直线的斜率:
(1) 过
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
两点的直线,斜率
k?
y
2
?y
1
x?x
,(
x
1
?x
2
)
21(2)已知倾斜角为
?
的直线,斜率
k?tan
?
(
?
?90
0
)
(3)曲线
y?f(x)
在点(x
0
,y
0
)
处的切线,其斜率
k?f
?(x
0
)
41、直线位置关系:已知两直线
l
1:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
,则
l
1
l
2
?k
1
?k
2
且b
1
?b
2
l
1
?l<
br>2
?k
1
k
2
??1
特殊情况:(1
)当
k
1
,k
2
都不存在时,
l
1
l2
;(2)当
k
1
不存在而
k
2
?0
时,
l
1
?l
2
42、直线的五种方程 :
①点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过点
(x
1
,y
1
)
,斜率为
k
).
②斜截式
y?kx?b
(直线
l
在
y轴上的截距为
b
,斜率为
k
).
③两点式
y?y
1
yy
?
x?x
1
(直线过两点
(x
1
,y
1
)
与
(x
2
,y
2
)
).
2
?
1
x
2
?x
1
④截距式
x
a
?
y
b
?1
(
a,b
分别是直线在<
br>x
轴和
y
轴上的截距,均不为0)
6
⑤一般式
Ax?By?C?
0
(其中A、B不同时为0);可化为斜截式:
y??
AC
x?
<
br>BB
43、(1)平面上两点
A(x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
)
间的距离公式:|AB|=
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)<
br>2
(2)空间两点
A(x
1
,y
1
,z<
br>1
),B(x
2
,y
2
,z
2
)
距
离公式|AB|=
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
(3)点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,
y
0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0
). 44、两条平行直线
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C<
br>2
?0
间的距离公式:
d?
C
1
?C
2A?B
22
注:求直线
Ax?By?C?0
的平行线,可设平
行线为
Ax?By?m?0
,求出
m
即得。
Ax?B
1<
br>y?C
1
?0
45、求两相交直线
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点:解方程组
?
?
A
1
x?By?C?0
?
222
46、圆的方程:
①圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
其中圆心为
(a,b)
,半径为
r
②圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
.
22
222
D
2
?E
2
?4F
DE
其中圆心为
(?,?)
,半径为
r?
,其中
D
2
?E
2
?4F
>0 2
22
222
47、直线
Ax?By?C?0
与圆的
(
x?a)?(y?b)?r
位置关系
(1)
d?r?相离???0
;
Aa?Bb?C
(2)
d?r?相切???0
;
其中<
br>d
是圆心到直线的距离,且
d?
22
A?B
(3)
d
?r?相交???0
.
48、直线与圆相交于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
两点,求弦AB长度的公式:(
1)
|AB|?2r
2
?d
2
(2)
|AB|?1?k
2
,其中
k
是直线的斜率
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
(结合韦达定理使用)
49、两个圆的位置关系:设两圆的圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,
O
1<
br>O
2
?d
1)
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
2)
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
3)
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相交?2条公切线
;
4)
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
5)
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
必修③公式表
50、算法:是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或
步骤必须是明确和
有效的,而且能够在有限步之内完成.
51、程序框图及结构
7
程序框
名称
起止框
功能
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不
可少的。
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法
输入、输出框
中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公
处理框
式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明
“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
52、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
53、三种抽样方法的区别与联系
类别 共同点 各自特点 相互联系
简单随机抽
从总体中逐个抽取
样
各层抽样可采用
分层
抽取过程将总体分成几层
简单随机抽样或
抽样 中每个个体进行抽取
系统抽样
被抽取的概
将总体平均分成
率相等
在起始部分抽样
几部分,按事先确
系统抽样
时采用简单随机
定的规则分别在各
抽样
部分抽取
54、(1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率组距)
适用范围
总体中个体数较少
总体有差异明显的几部
分组成
总体中的个体较多
频数频率
?
极差
?
频率?小矩形面积?组距??频率
。
组数?
?
,
,
?
组距
样本容量组距
??
(2)数字特征
众数:一组数据中,出现次数最多的数。
中位数:一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其平均数)。
平均
数:
x?
标准差:
s?
1
1
?
x
1
?x
2
???x
n
?
方差:
s
2
=
[(x
1
?x)
2
n
n
?(x
2
?x)
2
?(x
3
?x)
2
??(x
n
?x)
2
]
222
1
?
x
1
?
x?x
2
?x?
?
?x
n
?x
?
注:通过标准差或方差可以判断一组数
?
??
n
?
??????据的分散程度;其值越小,数据越集中;其值越大,数据越分散。
?
?bx?a
,其中
b?
回归直线方程:
y
?
xy
i
i?1n
n
i
?nxy
,
a?y?bx
?
x
i?1
2
i
?nx
2
8
55、事件的分类:
(1)必然事件:必然事件是每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=1
(2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0
(3)随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件
基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。
56、在
n次重复实验中,事件A发生的次数为m,则事件A发生的频率为mn,当n很大时,m
总是在某个常数
值附近摆动,就把这个常数叫做事件A的概率。(概率范围:
0?P
?
A
?<
br>?1
)
57、互斥事件概念:在一次随机事件中,不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图1)。
如果事件A、B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)
图1
B
58、对立事件(如图2):指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。
A
对立事件性质:P(A)+P(
A
)=1,其中
A
表示事件A的对立事件。
A B
59、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征:
(1)基本事件个数是有限的;
图(2)
(2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同.
60、设一试验有n个等可能
的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概
率P(A)公式为
m
A包含的基本事件的个数
P
?
A
?
?
=
n
基本事件的总数
运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随
机事件的概率公式分别求它
们的概率,然后计算。
在计算某些事件的概率较复杂时,可转而先示对立事件的概率。
构成事件A的区域长度(面积
或体积)
61、几何概型的概率公式:
P
?
A
?
?
试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积)
必修④公式表
62、终边
相同角构成的集合:
?
?
|
?
?
?
?2k
?
,k?Z
?
l
63、弧度计算公式:
?
?
r
r
)
?
l
64、扇形面积公式:
S?
6
5、三角函数的定义:已知
P
?
x,y
?
是
?
的终
边上除原点外的任一点
则
sin
?
?
11
lr?
?
?r
2
(
?
为弧度)
22
yxy
,c
os
?
?,tan
?
?
,其中
r
2
?x<
br>2
?y
2
rrx
P(x,y)
r
y
)
?
x
66、三角函数值的符号
+
— —
+ + +
+
— —
+
— —
sin
?
cos
?
tan
?
9
67、特殊角的三角函数值:
?
sin
?
0
?
6
1
2
3
2
3
3
2
?
4
2
2
2
2
1
2
?
3
3
2
?
2
1
2
?
3
3
2
-
3
?
4
2
2
5
?
6
1
2
?
0
3
?
2
-1 0
cos
?
1
1
2
3
0
1
23
- -
2
22
-1
-
-1 0
tan
?
0
不存
在
-
3
3
3
0
不存
在 68、同角三角函数的关系:
sin
?
?cos
?
?1,tan
?
?
sin
?
cos
?
69、和角与差角公式:
二倍角公式:
sin(
?
?
?
)?sin
?
co
s
?
?cos
?
sin
?
;
sin2
?
?2sin
?
cos
?
co
s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1
tan
?
?tan
?
2tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
tan2
?
?
2
1tan
?
tan
?
1?tan
?
70、诱导公式
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限;其中,奇偶是指
?
的个数,符号参考第66条.
2
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?<
br>sin
?
?
?
?
?
??sin
?
s
in
?
?
?
?
??sin
?
sin
??
?
?
?
?sin
?
cos
?
??2k
?
?
?cos
?
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
cos
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
tan
?
?
?
?
??tan
?
tan?
?
?
?
?
??tan
?
tan
?<
br>?
?2k
?
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
???
?
sin(?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?
sin(?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?
2222
b
).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如
y?
a
?
2
?
1?cos
?
?
1?cos
?<
br>,
cos
2
?
2
22
?
6
71、辅助角公式:
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角<
br>?
所在象限与点
(a,b)
的象限
相同,且
tan
?
?
3sinx?cosx?2sin(x?)
72、半角公式(降幂公式)
:
sin
2
73、三角函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质(
A?0,
?
?0
)
(1)最小正周
期
T?
2
?
?
;振幅为A;频率
f?
1
;
相位:
?
x?
?
;初相:
?
;值域:
[?A,A]
;
T
对称轴:由
?
x?
?
?
?
2
?k
?
解得
x
;对称中心:由
?
x?
?
?k
?
解得
x
组成的点
(x,0)
(2)图象平移:
x
左加右减、
y
上加下减。
例如:向左
平移1个单位,解析式变为
y?Asin[
?
(x?1)?
?
]
10
向下平移3个单位,解析式变为
y?Asin(
?
x?
?
)?3
(3)函数
y
?tan(
?
x?
?
)
的最小正周期
T?
?
.
?
74、正弦定理:在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等。
abc
???2R
(R是三角形外接圆半径)
sinAsinBsinC
75、余弦定理:
b?c?a
,
222
2bc
a?b?c?2bccosA,
c
2
?a
2
?b
2
222
b?c?a?2cacosB,
推论
cosB?,
2ca
222
c?a?b?2abcosC.
a
2
?b
2
?c
2
cosC?.
2ab
cosA?
76、三角形的面积公式:
S
?ABC
?
222
C
b
A
a
c
B
111
absinC?acsinB?bcsinA.
222
77、三角函数的图象与性质和性质
三角函数
y?sinx
y
1
y?cosx
y
1
x
y?tanx
y
图象
-
?
0
?
?
-1
2
x
2
?
-
?
0
?
?
2
-1
2
2
?
-
?
0
?
2
x
2
3
?
2
定义域
值域
最大值
最小值
周期
奇偶性
在
[?
单调性
k?Z
(??,??)
[-1,1]
(??,??)
[-1,1]
(k
?<
br>?
?
2
,k
?
?
?
2
)
(??,??)
x?
?
2
?2k<
br>?
,
y
max
?1
x?2k
?
,
y
max
?1
x???
2
?2k
?
,
y
min
??1
<
br>x?
?
?2k
?
,
y
min
??1
2
?
奇函数
2
?
偶函数
?
奇函数
在
(?
?
2
?2k
?
,
?
2
?2k
?
]
在
[?
?
?2k
?
,2k
?
]
上是增函数
?
2
?k
?
,
?
2
?2k
?
)
上是增函数
在
[
上都是增函数
?
2
?2k
?
,
3
?
?2k<
br>?
]
2
在
[2k
?
,
?
?2k
?
]
上是减函数 上是减函数
11
78、向量的三角形法则:
79、向量的平行四边形法则:
a+b b
b
a+b
b b-a
a a
a
80、平面向量的坐标运算
:设向量a=
(x
1
,y
1
)
,向量b=
(x2
,y
2
)
(1)加法a+b=
(x
1?x
2
,y
1
?y
2
)
. (2)
减法a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)数乘
?
a=
?
(x
1
,y
1
)?(
?
x
1
,
?
y
1
)
(4)数量积a·b=|
a
||b|cosθ=
x1
x
2
?y
1
y
2
,其中
?
是这两个向量的夹角
(5)已知两点A
(x
1
,y
1
)<
br>,B
(x
2
,y
2
)
,则向量
AB?OB?
OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
).
81、向量a=
(x,y)
的模:|a|=
(a)?
82、
两向量的夹角公式
cos
?
?
2
a?a?x?y
,即
|a|?a
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
22
2
2
ab
ab
83、向量的平行与垂直 (b
?
0)
a||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x
2
y
1?0
. 记法: a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
a
?
b
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
记法: a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
必修⑤公式表
84、数列前
n
项和与通项公式的关系:
,n?1;
?
S
1
( 数列
{an
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?
a
n
?
?
n?2.
?
S
n
?S
n?1
,
85、等差、等比数列公式对比
n?N
?
等差数列
定义式
通项公式及
推广公式
中项公式
a
n
?a
n?1
?d
?a
n
).
等比数列
a
n
(
q
a
n?1
?q
?0
)
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
a
n
?a
1
q
n?1
a
n
?a
m
q
n?m
a?b
2
若
a,A,b
成等差,则
A?
若
a,G,b
成等比
,则
G?ab
若
m?n?p?q?2r
,则
a
n
a
m
?a
p
a
q
?a
r
2
2
运算性质
若
m?n?p?q?2r
,则
an
?a
m
?a
p
?a
q
?2a
r
n
?
a
1
?a
n
?
2
<
br>n
?
n?1
?
?na
1
?d
2
S<
br>n
?
前
n
项和公
式
q?1,
?
na
1
?
S
n<
br>?
?
a
1
1-q
n
a
1
?a
n
q
?
,q?1.
?
1?q1?q
?
??
一个性质
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
成等差数列
S
m
,S
2m
?S
m
,
S
3m
?S
2m
成等比数列
12
86、解不等式
(1)、含有绝对值的不等式
当a >
0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
. [小于取中间]
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.[大于取两边]
(2)、解一元二次不等式
ax?bx?c?0,(a?0)
的步骤:
①求判别式
??b?4ac
??0
??0
??0
②求一元二次方程的解:
两相异实根 一个实根 没有实根
③画二次函数
y?ax?bx?c
的图象
④结合图象写出解集
2
2
2
?<
br>b
?
ax
2
?bx?c?0
解集
?
xx?x
2
或x?x
1
?
?
xx??
?
R
2a
??
ax
2
?bx?c?0
解集
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
注:
ax?bx?c?0
(a?0)
解集为R
?
ax?bx?c?0
对
x?R
恒成立
?
??0
(3)高次不等式:数轴标根法(奇穿偶回,大于取上,小于取下)
(4)分式不等式:先移项通分,化一边为0,再将除变乘,化为整式不等式,求解。
如解分式不等式
22
x?1x?1(x?1)?x
??1
:先移项
?1?0;
通分
?0;
xxx
再除变乘
(2x?1)x?0
,解出。
87、线性规划:
(1)一条直线将平面分为三部分(如图):
直线
Ax?By?C?0
Ax?By?C?0
Ax?By?C?0
(2)不等式
Ax?By?C?0
表示直线
Ax?By?C?0
某一侧的平面区域,验证方法:取原点(0,0)代入不
等式,若不等式成立,则平面区域在原点所在的一侧。假如
直线恰好经过原点,则取其它点来验证,例如取点(1,0)。
(3)线性规划求最值问题:
一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标,代入目标函数
z
,最
大的为最大值。
13
选修1-1
88、充要条件
(1)若
p?q
,则
p
是
q
充分条件,
q
是
p
必要条件.
(2)若
p?q
,且
q?p
,则
p
是
q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
89、逻辑联结词。“p或q”记作:p∨q; “p且q”记作:p∧q; 非p记作:┐p
90、四种命题: 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
否命题:若┐p,则┐q 逆否命题:若┐q,则┐p
注意:(1)原命题与逆否命题同真同假,但逆命题的真假与否命题之间没有关系;
(2)┐p是指命题P的否定,注意区别“否命题”。例如命题P:“若
a?0
,则
b
?0
”,
那么P的“否命题”是:“若
a?0
,则
b?0
”
,而┐p是:“若
a?0
,则
b?0
”。
91、全称命题:含有“
任意”、“所有”等全称量词(记为
?
)的命题,如P:
?x?R,(x?1)?0<
br>
特称命题:含有“存在”、“有些”等存在量词(记为
?
)的命题,如q:<
br>?x?R,x??1
注:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,
2
如上述命题p和q的否定:┐p:
?m?R,(m?1)?0
,
┐q:
?x?R,x??1
2
2
2
92、椭圆
①定义:若F
1
,F
2
是两定点,P为动点,且
PF
1
?PF
2
?2a
(
a
为常数)则P点的轨迹是椭圆。
x
2
y
2
y
2
x
2
②标准方程:
焦点在x轴:
2
?
2
?1
(a?b?0)
;
焦点在y轴:
2
?
2
?1
(a?b?0)
;
abab
长轴长=
2a
,短轴长=2b 焦距:2c
恒等式:
a
93、双曲线
①定义:若F
1
,F
2
是两定点,
PF
,则动点P的轨迹是双曲线。
1
?PF
2
?2a
(
a
为常数)
②图形:如图
③标准方程:
2
-b
2
=c
2
离心率
:
e?
c
a
x
2
y2
焦点在x轴:
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
ab
y
2
x
2
焦点
在y轴:
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
ab
实轴长=
2a
,虚轴长=2b, 焦距:2c
14
恒等式:
a
2
+b
2
=c
2
离心率
:
e?
c
a
ba
当焦点在y轴时,渐近线方程为
y??x
x
;
ab
22
渐近线方程:当焦点在x轴时,渐近线方程为
y??
等
轴双曲线:当
a?b
时,双曲线称为等轴双曲线,可设为
x?y??
。
94、抛物线
①定义:到定点F距离与到定直线
l
的距离相等的点M的轨
迹是抛物线(如左下图MF=MH)。
②图形:
H
M
p
F
(,0)
F
2
准线
2px,(p?0
),(p?0
)2py,(p?0
)
方程
y?2px,(p?0)
y??
x?2py
x??
焦点:
F
(
2
222
p
,0)
2
p
2
F
(?
p
,0)
F
(0,
p
)
F
(0,?
p
)
2
2
2
x?
p
2
准线方程:
x??
y??
p
2
y?
p
2
注意:几何特征:焦点到顶点的距离=
p
;焦点到准线的距离=
p;
2
95.导数的几何意义:
f(x
0
)
表
示曲线
f(x)
在
x?x
0
处的切线的斜率
k
;
导数的物理意义:
f(x
0
)
表示运动物体在时刻<
br>x
0
处的瞬时速度。
96、几种常见函数的导数
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
11
1
xx
xx
(5)
(lnx)
?
?
;
(a)
?
?alna
.
(6)
(e)
?
?e
;.
(7)
()
?
??
2
x
x
x
97、导数的运算法则
(1)
C
?
?0
(C为常数). (2)
(x)'?nx
nn?1
u
'
u
'
v?uv
'(v?0)
. (1)
(u?v)?u?v
.
(2)
(uv)?uv?uv
. (3)
()?
vv
2
''''''
98.函数的单调性与其导函数的正负的关系:
在某个区间(a , b)内,
如果
f'(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增; 如果
f'(x)?0
,那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减。
注:若函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增,则
f'(x)?0
15
若函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减,则
f'(x)?0
99、判别
f(x
0
)
是极大(小)值的方法
(1)求导
f
?
(x)
;
(2)令
f
?
(x)
=0,解方程,求出所有实根
x
0
(3)列表,判
断每一个根
x
0
左右两侧
f'(x)
的正负情况:
极大值
极小值
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x
)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极大值;
如果在
x
0
附近的左侧f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则<
br>f(x
0
)
是极小值.
100、求函数在闭区间[a ,
b]上的最值的步骤:
(1)求函数
f(x)
的所有极值;
(2)求闭区间端点函数值
f(a),f(b)
;
(3)将各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值。
注意:(1)无论是极值还是最值,都是函数值,即
f(x
0
)
,
千万不能写成导数值
f(x
0
)
。
(2)若在某区间内只有一个极值,则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。
选修1-2
101、复数
z?a?bi
,其中
a
叫做实部
,
b
叫做虚部
(1)复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,b,c,d?R
)
(2)当a=0,b≠0时,z=bi为纯虚数;
(3)当b=0时,z=a为实数;
(4)复数z的共轭复数是
z?a?bi
(5)复数
z?a?bi
的模
|z|
=
a
2
?b
2
.
2
2
(6)i=-1, (-i)=-1.
(7)
复数
z?a?bi
对应复平面上的点
(a,b)
,
102、复数的四则运算法则
(1)加:
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)减:
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(
3)乘:
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;类似多项式相乘
(4)除:
?
a?bi(a?bi)(c?di)
?
(分子、分母乘
分母共轭复数,此法称为“分母实数化”)
c?di(c?di)(c?di)
22
103、常用不等式:
(1)重要
不等式:若
a,b?R
,则
?
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取
“=”号).
(2)基本不等式:若
a?0,b?0
,则
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
基本不等式的适用原则可口诀表示为:一正、二定、三相等
当
ab
为定值时,
a?b
有最小值,简称“积定和最小”
16
当
a?b
为定值时,
ab
有最大值,简称“和定积最大”
104、推理:
(1)合情推理:包含归纳推理(从特殊到一般)和类比推理(从特殊到特殊)
(2)演绎推
理:从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提(已知的一般原
理)、小前提(所研究
的特殊情况)、结论(根据一般原理,对特殊情况得出的判断)
105、证明:
(1)直接证明:包括综合法(又叫由因导果法)和分析法(又叫执果索因法)
(2)间接证
明:又叫反证法,通常假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此
说明假设错误,从而证
明原命题成立。
坐标系与参数方程
106、极坐标系:其中
|OM|?
?
极径
?
·
M
(x,y)
点
y
极轴
x
)极角
?
(1)如图,点M的极坐标为
(
?
,
?
)
极点O
(2)极坐标与直角坐标的互化公式:
222
x
①
x?
?
cos
?
,y?
?
sin
?
;
②
?
?x?y
,
tan
?
?
y
x
107、参数方程形如
?
?
x?f(t)
,(t为参数)
…………(*)
?
y?g(t)
参数方程是借助参数
t
,间接给出
x,y
之间的关系,而普通方程是直接给出
x
与
y
的关系,
如
x?y?1?0
222
(1)圆
x?y?r
的
参数方程是
?
?
x?rcos
?
,(
?
为参数)<
br>
?
y?rsin
?
?
x?acos
?
x<
br>2
y
2
(2)椭圆
2
?
2
?1
的参
数方程
?
,(
?
为参数,a?b?0)
ab
y?
bsin
?
?
(3)参数方程与普通方程的互化:消去参数方程的参数,得到普通方程
。
消去参数的方法有:①公式法:用公式
sin
?
?cos
?
?1
等
②代入法:方程(*)
中,由
x?f(t)
解出
t?h(x)
,代入
y?g(t)
③加减消元法:方程(*)中,两式相加(减)消去参数
t
请同学们试着将圆的参数
方程
?
22
s
?
x?a?rco
?
,(
?
为参数)
,化为圆的标准方程
?
?
y?b?rsin
___
_______________,说说你用的是什么方法?
提示:解参数方程问题,通常先将参数方程化为普通方程,再求解。
17
几何证明选讲
108.平行线等分线段定理:如果一组
平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上
截得的线段也相等。
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分国一腰
109.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
推论:平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
110.判定两个三角形相似的方法:
预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形相似
判定定理1:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似
引理:若一条直线截三角形两边(或延长线)所得的对应线段成比例,那么直线平行第三边
111.相似三角形的性质定理:
1)相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比
2)相似三角形周长的比等于相似比
3)相似三角形面积的比等于相似比的平方
112.直角三角形的射影定理
C
如图
Rt
△ABC中,CD是斜边AB上的高,则
(1)
CD?AD?BD
(2)
AC?BC?AB?CD
(3)
AC?AD?AB
;
BC?BD?AB
22
2
A D
B
113.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角为直角
114.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1:经过圆心垂直于切线的直线必经过切点
推论2:经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
1(
115.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
如图:
?1??2
2
116.与圆有关的定理:
^
(1)相交弦定理:圆内两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等;
(2)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等;
(3)切
割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项;
(4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线
18
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